第第 33 章章水文学统计基本原理与方法水文学统计基本原理与方法

水文学统计基本原理与方法水文学统计基本原理与方法

内 容： 3.1 3.1 水文统计的意义及基本概念水文统计的意义及基本概念 3.2 3.2 频率和概率频率和概率 3.3 3.3 经验频率曲线经验频率曲线 3.4 3.4 随机变量的统计参数 随机变量的统计参数 3.5 3.5 理论频率曲线理论频率曲线 3.6 3.6 抽样误差抽样误差 3.7 3.7 水文频率分析方法水文频率分析方法 3.8 3.8 相关分析相关分析

重 点： 水文频率及水文相关分析等水文统计基本知识；水文频率及水文相关分析等水文统计基本知识； 水文频率及水文相关分析等水文统计计算。水文频率及水文相关分析等水文统计计算。

难 点： 水文频率及水文相关分析等水文统计计算水文频率及水文相关分析等水文统计计算

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3.1 3.1 水文统计的意义及基本概念水文统计的意义及基本概念3.1.1 3.1.1 水文统计的意义水文统计的意义 水文现象具有必然性、偶然性（随机性）；水文现象具有必然性、偶然性（随机性）； 利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的随机利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的随机

现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统计规律性；现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统计规律性； 以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意义下以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意义下

的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需要。要。

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3.1.2 3.1.2 事件事件 随机试验：对随机现象的观测；随机试验：对随机现象的观测； 事件：随机试验的结果。包括：事件：随机试验的结果。包括：

1) 1) 必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。必然事件：在一定能够的条件组合下，必然会发生的事情。2) 2) 不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。不可能是件：在一定的条件组合下，一定不可能发生的事情。3) 3) 随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。随机事件：在一定的条件组合下，可能发生也可能不发生的事件。

随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随随机变量：受随机因素影响，遵循统计规律的变量。通俗地讲，指在随机试验中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某机试验中测量到的数量。对于水文现象而言，指某种水文特征值，如某地区流域出口的年径流量和洪峰流量等。分：地区流域出口的年径流量和洪峰流量等。分：1)1) 连续性随机变量，如水位、流量；连续性随机变量，如水位、流量；2)2) 离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。离散性随机变量，如投掷硬币的正反面。

总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。总体：随机变量所能取值的全体，分有限和无限总体。 样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。样本：从总体中随机抽取出的一组观测值。 样本容量：样本中所汉随机变量的项数。样本容量：样本中所汉随机变量的项数。

3.1.3 3.1.3 总体、样本、样本容量总体、样本、样本容量

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3.1.3 数理统计法对水文资料的要求 检查资料的可靠性；检查资料的一致性；检查资料的代表性；检查资料的随机性；检查资料的独立性

3.2.1 概率和频率(1)频率 指在具体重复的实验中，某随机事件 A 出现的次数（频数） m 与试验

总次数 n 的比值，即：

3. 2 频率和概率

n

mAW )(

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反应随机事件各种结果的数量。 概率：概率是指随即事件在客观上出现的可能性。可分为事先概率和事后概率。 概率：概率是指随即事件在客观上出现的可能性。可分为事先概率和事后概率。

(2) 概率 概率是指随即事件在客观上出现的可能性，即该事件的发生率，亦称为机率。根据事件出现的可能性是能够预先估计出来，可分为事先概率和事后概率：

事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估计出来，如 1) 投硬币出现正面和反面的机率； 2) 投掷骰子出现某一个点子的概率 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预先估计出来，必

须通过大量的重复试验之后才能估计出它出现的可能性。如： 1) 河流决堤的机率； 2) 河流出现大型污染事件的机率

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[ 例 ]袋中有手感完全相同的 20 个白球和 10 个黑球，问：摸出白球和黑球的概率各是多少？摸出白或黑求的概率是多少？摸出红球的概率是多少？

3

2

1020

20)(

＝白P

3

1

1020

01)(

＝黑P

11020

1020)(

＋

＝白或黑P

01020

0)(

＝红P

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概率的基本性质概率的基本性质：：1)(0 AP

1) P(A)=1 ， A 属于必然事件；2) P(A)=0 ， A 属于不可能事件；3) 0<P(A)<1 ， A 属于随机事件；

(3) 频率与概率的关系

频率是经验值，概率是经验值； 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性； 样本容量越大，结果越准确； 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样本系列，推

求频率作为概率的近似值。

)()(lim APAWn

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3.2.2 概率运算定律(1) 概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不能发生，这类事件称为互斥事件；

概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率总和。

[ 例 ]袋中有手感完全相同的 20 个白球和 10 个黑球，问：摸出白或黑求的概率是多少？

3

2

1020

20)(

＝白P

3

1

1020

01)(

＝黑P

13

1

3

2)()()( ＋＝黑白＝白或黑 PPP

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[ 例 ]某测站有 40 年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表 3.2 所示，试确定水位 H≥2.0m 和 H≥2.7m 的概率？

%70)0.4()5.3()7.2()0.2( WWWHP ＝

%5.92%70%5.22)7.2()0.2()7.2( HPWHP ＝

某站水位频率计算 表 3.2

序号 水位 H（ m） 频数 f（ a） 频率W（%） 累积频率 P （%）

12345

4.03.52.72.01.9

2101693

52540

22.57.5

53070

92.5100

∑ ∑ — 40 100 — 注：表中水位为相对高程。