ГЛАВА 3

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

§1. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть имеется прямоугольная система координат .XOY

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел ее координат, а положение линии на плоскостиопределять с помощью уравнения, т.е. равенства, связывающего координаты точек линии.

Уравнением линии на плоскости XOY

называется

такое уравнение 0),( yxF

с двумя переменными,

которому удовлетворяют координаты x и yкаждой точки линии и не удовлетворяют координаты

любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные x

и y

в уравнении линии называют

текущими координатами точек линии.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи:

1. зная геометрические свойства линии, найти ее уравнение;

2. зная уравнение линии, изучить ее форму и свойства.

Простейшей из линий является прямая. Различным способам задания прямой соответствуют различные виды ее уравнений. Рассмотрим их.

Положение прямой на плоскости относительно прямоугольной системы координат определяется точкой

),,( 000 yxM

принадлежащей этой прямой, и ненулевым

вектором ),0)(,( 22 BABAn

перпендикулярным

к прямой. Вектор n

называется нормальным

вектором прямой.

1. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору.

�⃗�( 𝐴 ,𝐵)

𝑀 0(𝑥0 , 𝑦0) 𝑀 (𝑥 , 𝑦 )𝑙

Если ),( yxM

произвольная точка этой прямой, то

n .000 MMnMMВыражая скалярное произведение через координаты

векторов MM 0

и ,n получим уравнение прямой,

заданной точкой и нормальным вектором:

.0)()( 00 yyBxxA

(1.1)

2. Общее уравнение прямой.

В уравнении (1.1) раскроем скобки и приведем подобные:

0)( 00 C

ByAxByAx

или

.0 CByAx

(1.2)

Уравнение (1.2) называют общим уравнением прямой на плоскости.

Рассмотрим частные случаи расположения прямой на плоскости и запишем соответствующие уравнения:

1) 0,0 ByAxC

прямая проходит через точку );0,0(O

2) 0,0 CAxB

прямая параллельна оси ;OY

3) 0,0 CByA прямая параллельна оси ;OX

4) 0,0 AxCB

или 0x

прямая совпадает с осью ;OY

5) 0,0 ByCA

или 0y

прямая совпадает с осью .OX

3. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

Положение прямой на плоскости определяется также точкой

),( 000 yxM

этой прямой и ненулевым вектором

),,( nms

параллельным данной прямой, который

называется направляющим вектором этой прямой.

),( yxM

Если произвольная точка этой прямой, то

,|| 00 stMMsMM

(1.3)

где

t

числовой множитель, который может быть любым

действительным числом в зависимости от положения точки

M

на прямой.

�⃗�(𝑚 ,𝑛)�⃗�(𝑚 ,𝑛)

𝑀 0(𝑥0 , 𝑦0) 𝑀 (𝑥 , 𝑦 )

Записав обе части равенства (1.3) через координаты, получим

),(),(

),(,

00

00

tntmyyxx

nmtyyxx

tnyy

tmxx

0

0

.,,0

0

ttnyy

tmxx(1.4)

Уравнения (1.4) называют параметрическими уравнениями прямой на плоскости.

Исключив из уравнений (1.4) параметр ,t получим

уравнение

,00

n

yy

m

xx

(1.5)

которое называют каноническим уравнением прямой на

плоскости.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть прямая проходит через точки ),( 111 yxM

и

).,( 222 yxM

Тогда вектор ),( 121221 yyxxMM

будет направляющим для этой прямой. Воспользовавшись

уравнением (1.5), получим уравнение

,12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

(1.6)

которое называют уравнением прямой по двум точкам.

5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть на плоскости XOY

задана произвольная прямая, не

параллельная оси ,OY проходящая через точку ).,( yxM

Тогда первая координата ее направляющего вектора ),( nms

не равна нулю, т.е. .0m

𝑋

𝑌

𝛼𝛼

�⃗�

𝑙

𝑀 0

𝑚

𝑛

Преобразуем уравнение (1.5):

)()( 0000 xxnyym

n

yy

m

xx

00 xx

m

nyy

k

00 xxkyy

.

(1.7)

Уравнение (1.7), где tgm

nk

угловой

коэффициент прямой,

положительному направлению оси

угол наклона прямой

,OX называется

уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту.

Преобразуем уравнение (1.7):

b

kxykxykxkxyy )( 0000

.bkxy

(1.8)

Уравнение (1.8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

6. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая пересекает ось OX

в точке

О Х

Y

N(0,b)

M(a,0)

a

b

),0,(aM

а ось OY

в точке ).,0( bN

В этом случае уравнение (1.6) прямой, проходящей через две точки, примет вид:

ababyaxbyabax

b

y

a

ax 1

0

0

0

1b

y

a

x

(1.9)

Уравнение (1.9) называют уравнением прямой в отрезках,

так как числа a

и b

указывают, какие отрезки отсекает

прямая на осях координат.

§2. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть прямые 1L

и 2L

заданы общими уравнениями:

.0:

,0:

2222

1111

CyBxAL

CyBxAL

Тогда их нормальные векторы соответственно

),( 111 BAn

и ).,( 222 BAn

Возможны следующие случаи взаимного расположения прямых:

1) ;||2

1

2

1

2

121 C

C

B

B

A

ALL

2) 1L

совпадает с ;2

1

2

1

2

12 C

C

B

B

A

AL

3)1L ;00 2121212 BBAAnnL

4) 1L

пересекается с 2L

под углом .

||||cos

21

21

nn

nn

Тогда

.cos22

22

21

21

2121

BABA

BBAA

(2.1)

2. Пусть прямые 1L

и 2L

заданы уравнениями с

угловым коэффициентом:

.:

,:

222

111

bxkyL

bxkyL

Возможны следующие случаи взаимного расположения

прямых:

1) ;,|| 212121 bbkkLL

2) 1L

совпадает с ;, 21212 bbkkL

3) 1L ;1212 kkL

4) 1L

пересекается с 2L

под углом

.1 21

12

kk

kktg

(2.2)

§3. Расстояние от точки до прямой.

Пусть заданы прямая l

уравнением 0 CByAx

и точка ).,( 000 yxM

𝑙

𝑀 0

Расстояние от точки 0M

до прямой l

равно модулю проекции вектора ,01MM

где

),( 111 yxM

произвольная точка прямой ,l

на направление нормального вектора ).,( BAn

𝑋

𝑌

𝑑 �⃗�

𝑀𝑜𝑀 1

𝑙

Следовательно:

||01

01n

nMMMMпрd

n

.

)()(

22

1100

22

1010

BA

ByAxByAx

BA

ByyAxx

Поскольку ,),( 111 lyxM

то

.0 1111 ByAxCCByAx

Поэтому

.22

00

BA

CByAxd

(3.1)

Пример.

Зная уравнение двух сторон параллелограмма

:1l 03 yx и :2l 0652 yxи одну из его вершин ),2,1( A

составить уравнения

двух других сторон.

Решение. Введем обозначение )3,1(1 n и )5,2(2n нормальные векторы прямых

1l и 2l соответственно.

Поскольку ,5

3

2

1

,

то векторы 1n и 2n

не коллинеарны, а прямые 1l и 2l не параллельны.

Значит, нам даны уравнения двух смежных сторон

параллелограмма. Поскольку, координаты точки A

не удовлетворяют ни одному из уравнений, то вершина

A

не лежит ни на одной из этих прямых.

A

B C

D

2x+5y+6=0

x-3y=02n 1n

Поскольку ,|| 1lAB то )3,1(1 n AB

и,

воспользовавшись формулой (1.1), составим уравнение

прямой AB

по точке )2,1( A

и нормальному

вектору :1n

.073

,0631

,0)2(3)1(1

yx

yx

yx

Аналогично, )5,2(|| 22 nlAD AD

и уравнение прямой :AD

.0852

,010522

,0)2(5)1(2

yx

yx

yx

Пример. Треугольник ABC

задан координатами своих

вершин: ).1,6(),2,2(),2,1( CBA

Требуется:

а) записать уравнение прямой, содержащей сторону ;AB

б) записать уравнение прямой, содержащей высоту CD

и вычислить ее длину .CD

A B

C

D

Решение.а) Для того, чтобы найти уравнение прямой ,AB

воспользуемся каноническим уравнением (1.5).

Направляющим вектором этой прямой возьмем вектор

,AB т.е. ).4,1( ABs

В качестве точки на прямой можно взять любую из точек

A

или ;B

выберем .A

Тогда уравнение прямой

AB

будет

.064

4424

2

1

1

yx

xyyx

б) Запишем уравнение высоты .СD

Воспользуемся

уравнением (1.1) прямой по точке и нормальному вектору.

Поскольку СD

высота треугольника ,ABC

то

AB .CD Значит, в качестве нормального вектора

прямой CD

можно взять вектор ,AB

т.е. ),4,1( ABn

а в качестве фиксированной

точки на прямой берем точку .C

Тогда уравнение CD

.0240)1(4)6(1 yxyx

Вычислим длину высоты .CD

Она равна расстоянию от

точки C

до прямой .AB

Воспользуемся формулой (1.13):

17

19

14

616422

CD

§4. Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости в

пространстве.

Плоскость в пространстве относительно выбранной

прямоугольной системы координат Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них

соответствует определенный вид ее уравнения.

1) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору (по точке и нормальному вектору).

Положение плоскости в пространстве вполне определяется

какой-либо точкой ),,,( 0000 zyxM

принадлежащей

этой плоскости, и ненулевым вектором

),0)(,,( 222 CBACBAn

перпендикулярным к плоскости.

n

называют нормальным вектором плоскости. Вектор

Р

0M

n

M

Если ),,( zyxM

произвольная точка этой плоскости, то

n .000 MMnMMВыражая скалярное произведение через координаты

векторов MM 0 и ,n получим уравнение

плоскости, заданной точкой и нормальным вектором:

.0)()()( 000 zzCyyBxxA

(4.1)

2) Общее уравнение плоскости.

В уравнении (4.1) раскроем скобки и приведем подобные:

0)( 000 D

CzByAxСzByAx

или

.0 DCzByAx

(4.2)

Уравнение (4.2) называют общим уравнением плоскости

в пространстве.

3) Уравнение плоскости, проходящей через три

данные точки.

Чтобы определить уравнение плоскости, проходящей

через три точки

),,,(),,,(),,,( 333322221111 zyxMzyxMzyxMне принадлежащие одной прямой, необходимо взять

на этой плоскости произвольную точку ).,,( zyxM

Тогда векторы 31211 ,, MMMMMM

компланарны и их смешанное произведение равно нулю.

Следовательно, выражая смешанное произведение векторов

через их координаты, получаем уравнение плоскости,

проходящей через три данные точки:

.0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

(4.3)

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей

через точки ).3,5,0(),1,6,3(),4,5,2( CBAРешение. Воспользуемся уравнением (2.3):

0

435520

415623

452

zyx

.792177

)4(2)5(17)2(7

702

511

452

zyx

zyx

zyx

Таким образом , уравнение искомой плоскости

.0792177 zyx

4) Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях OyOx, и Ozсоответственно отрезки ba,

и ,c

т.е. проходит

через три точки ).,0,0(),0,,0(),0,0,( cPbNaM

Z

X

YО b

c

a

M

N

P

Подставляя координаты этих точек в уравнение (2.3), получим

.0

0

0

ca

ba

zyax

Раскрыв определитель, имеем

0|:

0

abcabcabzacybcx

abzacyabcbcx

.1c

z

b

y

a

x

(4.4)

Уравнение (4.4) называется уравнением плоскости в отрезках. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

§5 Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

Пусть плоскости 1P и 2P заданы уравнениями в

общем виде:

.0:

,0:

22222

11111

DzCyBxAP

DzCyBxAP

Тогда их нормальные векторы соответственно

),,( 1111 CBAn и ).,,( 2222 CBAn

Возможны следующие случаи взаимного расположения плоскостей:

1) ;||2

1

2

1

2

1

2

121 D

D

C

C

B

B

A

APP

2) 1P

совпадает с ;2

1

2

1

2

1

2

12 D

D

C

C

B

B

A

AP

3)

1P ;00 212121212 CCBBAAnnP

4) 1P

пересекается с 2P

под углом .

Тогда

.

||||cos

22

22

22

21

21

21

212121

21

21

CBACBA

CCBBAA

nn

nn

§6 Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка ),,( 0000 zyxM

и плоскость P

своим уравнением .0 DCzByAx

Расстояние от точки 0M

до плоскости находят по

формуле

.222

000

CBA

DCzByAxd

Вывод этой формулы такой же, как и вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости.

§7 Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве.

1. Общие уравнения прямой.

Прямую в пространстве можно представить как пересечение двух непараллельных плоскостей , поэтому аналитически ее можно задать системой двух линейных уравнений вида

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

(7.1)

Уравнения (7.1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

𝑃1

𝑃2

𝐿

2. Уравнения прямой по точке и направляющему вектору.

Положение прямой в пространстве определяется однозначно,

если на ней заданы точка ),,,( 0000 zyxM принадлежащая

этой прямой и ненулевой вектор ),,,( pnms

параллельный данной прямой.

Тогда канонические уравнения прямой по точке и

направляющему вектору будут иметь вид

,000

p

zz

n

yy

m

xx

(7.2)

Преобразовав уравнения (7.2) к виду

.,,

0

0

0

t

tpzz

tnyy

tmxx

(7.3)

получим параметрические уравнения прямой в пространстве.

3. Уравнения прямой, проходящей через две точки.

Прямая, проходящая через точки ),,( 1111 zyxM и

),,,( 2222 zyxM определяется уравнениями

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

(7.4)

§8 Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.

Для того, чтобы привести уравнения (7.1) к каноническому

виду (7.2), нужно определить координаты 000 ,, zyx

какой либо точки ,0M лежащей на этой прямой,

и координаты pnm ,,

направляющего вектора s

прямой.

Чтобы определить точку ,0M нужно в систему (7.1)

подставить конкретное значение одной из переменных и,

решив ее, найти соответствующие значения двух других

переменных.

s

В качестве направляющего вектора можно взять

вектор, равный векторному произведению векторов

),,( 1111 CBAn и ),,( 2222 CBAn , т.е.

.

222

11121

CBA

CBA

kji

nns

(8.1)

Пример. Найти канонические уравнения прямой

.052

015

zyx

zyx

(8.2)

Решение. Определим координаты какой-либо точки прямой.

Для этого, полагая, например ,0z из системы (8.2)

получим систему

,

0

052

01

z

yx

yx

решив которую, найдем:

0,1,2 zyx

или ).0,1,2(0 M

Теперь найдем направляющий вектор .sИмеем ).1,1,2(),5,1,1( 21 nn

Тогда

.3114

112

51121 kji

kji

nns

Отсюда канонические уравнения прямой запишутся в виде

.311

1

4

2 zyx

§9 Взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть прямые 1l и 2l заданы каноническими

уравнениями соответственно

1

1

1

1

1

1

p

zz

n

yy

m

xx

и

.2

2

2

2

2

2

p

zz

n

yy

m

xx

Возможны следующие случаи взаимного расположения прямых:

1)

.),,(

,

,),,(

,||||

21111

2

1

2

1

2

1

21111

2121

lzyxM

p

p

n

n

m

m

lzyxM

ssll

2) 1l совпадает с 2l

.),,(

,

,),,(

,||

21111

2

1

2

1

2

1

21111

21

lzyxM

p

p

n

n

m

m

lzyxM

ss

Под углом между прямыми в пространстве понимают угол между их направляющими векторами. Поэтому, даже если прямые в пространстве скрещиваются, угол между ними все равно можно найти.

3) 1l 2l 1s

.0

0

212121

212

ppnnmm

sss

4) Пусть угол между прямыми равен .

Тогда

.22

22

22

21

21

21

212121

pnmpnm

ppnnmmсos

(9.1)

§10 Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Рассмотрим прямую p

zz

n

yy

m

xxl 000:

и плоскость 0: DCzByAxP в пространстве.

Возможны следующие случаи их взаимного расположения:

1)

.0

,0

,),,(

,0

0000000DCzByAx

pCnBmA

PzyxM

nsPl

𝑃

𝑙𝑀 0�⃗�

�⃗�

2)

.0

,0

,),,(

,0||

0000000DCzByAx

pCnBmA

PzyxM

nsPl

�⃗�

�⃗�𝑙 𝑀 0

𝑃

3) l P

.||C

p

B

n

A

mns

�⃗��⃗� 𝑙

𝑃

4) Прямая l

пересекает плоскость P под углом и

.||

||||

||sin

222222 pnmCBA

CpBnAm

sn

sn

(10.1)

𝜑�⃗�

�⃗�𝑙

𝑃1

Пример. Найти угол между прямой, проходящей через точки

)4,1,5( A и ),3,1,6( B и плоскостью

.0722 zyxРешение. В качестве направляющего вектора прямой можно

взять вектор ).1,0,1(ABs

Так, как нормальный вектор данной плоскости ),1,2,2( n

то по формуле (7.1), получим

.42

1

23

3

101144

|110)2(12|sin