Элементы геометрии треугольника и тетраэдраВыполнил ученик 9 «в»класса МОУ

«СОШ №5 УИМ»г.Магнитогорска

Безбородов АндрейНаучные руководители :

Никифорова Наталья Сергеевна;

Устинов Алексей Викторович

A

B

C

X

O

l

A

B

C

D

O B

C

A

A

B

C

D

O

A

B

C

D

B1

C1

T1

TA

A1

O

По теореме о том , что площади треугольников , имеющие равные высоты , относятся как их основания

OB1:OB=1:3

OC1:OC=1:3

номеномер р

Элементы геометрии Элементы геометрии треугольника треугольника

Элементы геометрии Элементы геометрии тетраэдра тетраэдра

1 1 Медианы Медианы треугольника треугольника пересекаются в одной пересекаются в одной точкеточке

Медианы тетраэдра Медианы тетраэдра пересекаются в пересекаются в одной точкеодной точке

22 Около треугольника Около треугольника можно описать только можно описать только одну окружность одну окружность

Около тетраэдра Около тетраэдра можно описать можно описать только одну сферутолько одну сферу

4 4 В треугольник можно В треугольник можно вписать только одну вписать только одну окружность окружность

В тетраэдр можно В тетраэдр можно вписать только одну вписать только одну сферусферу

33 Высоты треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной пересекаются в одной точке точке

Высоты Высоты ортоцентрического ортоцентрического тетраэдра тетраэдра пересекаются в пересекаются в одной точкеодной точке

5 5 В треугольнике В треугольнике биссектрисы биссектрисы пересекаются в одной пересекаются в одной точкеточке

Биссекторные Биссекторные плоскости плоскости двугранных углов двугранных углов тетраэдра тетраэдра пересекаются в пересекаются в одной точкеодной точке

66 Серединные Серединные перпендикуляры перпендикуляры треугольника треугольника пересекаются в одной пересекаются в одной точкеточке

Перпендикуляры, Перпендикуляры, восстановленные к восстановленные к граням тетраэдра из граням тетраэдра из их центроидов их центроидов пересекаются в пересекаются в одной точкеодной точке

77 Центр вписанной Центр вписанной окружности окружности равноудален от равноудален от сторон треугольника сторон треугольника

Центр вписанной Центр вписанной сферы равноудален сферы равноудален от всех гранейот всех граней

88 Центр описанной Центр описанной окружности окружности равноудален от равноудален от вершин треугольникавершин треугольника

Центр описанной Центр описанной сферы равноудален сферы равноудален от вершин тетраэдра от вершин тетраэдра

99 Центр описанной Центр описанной окружности лежит на окружности лежит на пересечении пересечении серединных серединных перпендикуляров к перпендикуляров к сторонам сторонам треугольника треугольника

Центр описанной Центр описанной сферы лежит на сферы лежит на пересечении пересечении перпендикуляров, перпендикуляров, восстановленных к восстановленных к граням из центров их граням из центров их описанных описанных окружностей окружностей

1111 Медианы Медианы треугольника делятся треугольника делятся точкой пересечения в точкой пересечения в отношении 2:1отношении 2:1

Медианы тетраэдра Медианы тетраэдра делятся точкой делятся точкой пересечения в пересечения в отношении 3:1отношении 3:1

1212 Теорема косинусовТеорема косинусов Теорема косинусов Теорема косинусов для тетраэдрадля тетраэдра

1313 Теорема синусовТеорема синусов Теорема синусов для Теорема синусов для тетраэдратетраэдра

1414 У треугольника У треугольника существуют 3 существуют 3 вневписанные вневписанные окружностиокружности

У тетраэдра У тетраэдра существуют от 4 существуют от 4 вневписанные сферы вневписанные сферы и от 0 до 3 сфер, и от 0 до 3 сфер, касающихся касающихся «чердаков» «чердаков» тетраэдратетраэдра

1515 Теорема ПифагораТеорема Пифагора Теорема Пифагора Теорема Пифагора для трехгранных для трехгранных угловуглов

1616

1010 Центр вписанной Центр вписанной окружности лежит на окружности лежит на пересечении пересечении биссектрис биссектрис треугольникатреугольника

Центр вписанной Центр вписанной сферы лежит на сферы лежит на пересечении пересечении биссекторных биссекторных плоскостей плоскостей тетраэдратетраэдра

А

О

B

C

A

B

C

A1C1

O

B1

A B

C

A

B

C

a

b

c

O

А

А1

В

В1С

С1

О

AC1/BC1=AB1/CB1=CA1/BA1=1

d

c

b

o1

oa

o2

e

Т.к G Є AO2;G Є DO; G Є BO1;CO1 перес-ет BO1 перес-ет DO G=CO1 перес-ет BO; G= BO перес-ет AO2= Q G=Q;G=CO1 перес-ет AO2= M; G= BO1 перес-ет AO2 G=M G=M=Q

M

Q

G

Центроид треугольника

Центроид тетраэдра

А

А1

В

В1С

С1

В2

А2С2

O

a b

c

A B

C

AB^2=AC^2+BC^2-2*AC*BC*cos c

AB^2=OA^2+OB^2-2*AO*BO*cos гамма

OA^2-AC^2+OB^2-BC^2+

+2AC*BC*cos c-2AO*BO*cos гамма=0

OA^2-AC^2=OC^2

OB^2-BC^2=OC^2

OA*OB*cos гамма=OC^2+AC*BC*cos c

cos гамма =cos альфа*cos бетта + sin альфа*sin бетта*cos c

cos гамма=OC:OA*OC:OB+AC:OA*BC:OB*cos c

Sin^2 угла с =1-cos^2 угла с=1-(cos гамма-cos альфа*cos бетта)^2 /(sin^2 альфа*sin*2 бетта)=(1-cos ^2 альфа * - cos^2 бетта –cos ^2 гамма +2*cos альфа*cos бетта*cos гамма)/(sin^2 альфа* sin^2 бетта)

Sin ^2 угла с /sin ^2 гамма=(1-cos^2 альфа- сos ^2 бетта – cos ^2 гамма +2*cos альфа*cos бетта *cos гамма)/(sin^2 альфа* sin^2 бетта*сos^2 гамма)

Sin угла а/sin альфа=sin угла b/sin бетта

=sin угла с/sin гамма

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ СИНУСОВ ДЛЯ ТРЕХГРАННОГО УГЛА

Cos гамма=сos альфа * сos бетта

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕХГРАННОГО УГЛА

A

B

C

D

F

V=VABCF+VABDF-VACDF-VBCDF=r/3*

*(SABC+SABD-SACD-SBCD)

SABC+SABD<SACD+SBCD