СКАЛЯРНЫЙ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Том 3web.kpi.kharkov.ua/vm/wp-content/uploads/sites/22/2013/06/1Skalyarny-j... · Поверхностный интеграл

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Национальный технический университет

«Харьковский политехнический институт»

В.А.ВАНИН, Ю.Л.ГЕВОРКЯН, А.Л.ГРИГОРЬЕВ

СКАЛЯРНЫЙ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКОГО ИНЖЕНЕРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Том 3

Специальные главы курса высшей математики

Харьков НТУ «ХПИ» 2012

ФУНДАМЕНТАЛЬНА ОСВ ІТА ДЛЯ ВИСОКИХ ТЕХНОЛОГ ІЙ

2

УДК 51(075) ББК 22.1я7

В17 Р е ц е н з е н ты :

А.Г. Николаев, д-р физ. - мат. наук, проф., Национальный аэрокосмический университет им. М.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

Е.Я. Хруслов, д-р физ. - мат. наук, проф., академик НАНУ, Физико-технический институт низких температур им. Б.Е. Веркина НАН Украины

Интеллектуальная собственность авторов. Все права защищены. При перепечатке материалов пособия ссылка на первоисточник обязательна.

Серия основана в 2010 году

Містить систематичний виклад інтегралів по мірі та теорії поля, орієнтований

на використання відповідних методів для вирішення практичних інженерних за-дач. Призначено для студентів, аспірантів, викладачів та наукових співробітників технічних університетів.

Ванин В.А. В 17 Скалярный и векторный анализ для классического инженерного об-

разования [Текст]: специальные главы курса высшей математики/ В.А. Ванин, Ю.Л. Геворкян, А.Л. Григорьев. – Т.3. – Х.: Підручник НТУ «ХПІ», 2012. – 464 с. – На рус. яз. – (Серия «Фундаментальна освіта для високих технологій»)

ISBN 978-966-2426-16-8 (полное собрание) ISBN 978-966-2226-63-2 (том 3)

Содержит систематическое изложение интегралов по мере и теории поля, ори-

ентированное на использование соответствующих методов для решения практи-ческих инженерных задач. Предназначено для студентов, аспирантов, препода-вателей и научных сотрудников технических университетов.

Ил.: 389 рис. + 99 порт. Табл. 1. Библ. 41 назв. УДК 51(075) ББК 22.1я7 ISBN 978-966-2426-16-8 (полное собрание) Ванин В.А., Геворкян Ю.Л., ISBN 978-966-2226-63-2 (том 3) Григорьев А.Л., 2012 Підручник НТУ «ХПІ», 2012

C

C

3

Оглавление Предисловие…………………………………………………………………...9

Часть 1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы по мере……………………………………………………13 Глава 1. Кратные интегралы………………………………………………14

§ 1. Замкнутые области……………………………………………………14 Перфорированная пластина. Поверхность опоры.

§ 2. Двойной интеграл: определения и свойства………………………...16 Жорданова сеть. Приграничная полоса. Интеграл, равный объёму пи-рамиды. Оценка для интегрирования по кругу.

§ 3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах………22 Интеграл по прямоугольной области. Форма границы влияет на поря-док интегрирования. Выбор порядка для правильной области. Экспо-ненты интегрируются просто. Квадрат в квадрате.

§ 4. Двойной интеграл в полярных координатах………………………...26 Цилиндрическое отверстие в шаре. Псевдополярные координаты. Момент инерции эллипса.

§ 5. Общая замена переменных в двойном интеграле…………………...31 Эллиптический якобиан. Якобиан для косоугольной системы.

§ 6. Тройной интеграл: определения и свойства…………………………34 Трёхмерные сети. Лемма о «приграничном слое». Нулевое продолже-ние функции. Методы Монте-Карло.

§ 7. Сведение тройного интеграла к повторному………………………..38 Правильные и неправильные тела. Интеграл по пирамиде. Учет и контроль. Интеграл «два в одном».

§ 8. Замена переменных в тройном интеграле…………………………...42 Тройной интеграл по симметричной области. Объём эллипсоида. «Гуттаперчевый якобиан».

Глава 2. Криволинейные и поверхностные интегралы………………...50 § 9. Спрямляемые кривые…………………………………………………50

Длина конической спирали. Трёхгранник Френе. Что означает термин «спрямляемая»? Длины плоских спиралей. Натуральный параметр кривой.

4

§ 10. Интеграл по длине дуги……………………………………………..55 Неплоская криволинейная трапеция. Интегрирование по периметру прямоугольника. Момент инерции цилиндрической спирали. Якобиан криволинейного интеграла. Несобственный криволинейный интеграл.

§ 11. Квадрируемые поверхности…………………………………………62 Дифференциал площади в цилиндрических координатах. Дифферен-циал площади в сферических координатах. «Сапог Шварца». Каса-тельные и секущие плоскости: интуиция молчит. Натуральные па-раметры цилиндрической поверхности. Геодезические линии. Нор-мальные геодезические параметры. Площадь крыши цирка. Площадь сферического купола.

§ 12. Интеграл по площади поверхности………………………………...74 Объём наклонной башни. Интегрирование по граням куба. Момент инерции сферы. Якобиан для дирижабля.

Глава 3. Интегралы по мере………………………………………………..82 § 13. Мера замкнутой области. Интеграл по мере……………………….82

Иерархия мер. «Древние греки не знали меры». Мера Жордана. Геоде-зические линии, кривизна и мера пространства. Многомерный инте-грал. Группировка интегралов. Интегрирование разрывной функции.

§ 14. Физические и технические приложения интегралов по мере…….91 Объём параболоида. Площадь эллипса. Длина листа в рулоне. Масса Солнца. Масса конической шайбы. Момент инерции шайбы. Момент инерции цилиндра. Центр масс для квадранта эллипса. Центр масс для первого октанта эллипсоида. Центр масс сферического купола. Теорема о моменте инерции относительно смещённой оси.

§ 15. Несобственные интегралы по мере………………………………..100 Интегрирование по полосе. Шкала сходимости степенных интегра-лов. Оценка двойного несобственного интеграла. Энергия централь-ного поля. Моменты экспоненциальной функции. Оценка для интегра-ла от осциллирующей функции. Круги на поверхности плиты. Интег-рируемые и неинтегрируемые особенности. Логарифмическая особен-ность. Несобственный интеграл от нечётной функции. Степенной интеграл по всему пространству. Неограниченность функции на гра-нице области. Интегрирование функции, неограниченной на разрезе. Несобственные интегралы третьего рода.

§ 16. Векторный интеграл по мере и его приложения………………….121 Теорема о центре масс многосвязной области. Поле заряженного цилиндра. Магнитное поле петли с током. Поле соленоида. Инте-грал Пуассона. Взаимодействие вращающихся дисков. Гравитаци-онная индукция: миф или реальность? Похожие противоположно-сти. Гравитационное взаимодействие шаров. Поле заряженного шара. Путешествие к центру астероида. Равновесие Солнца. Элек-тростатическая защита. Что первично: интеграл или интеграль-ная сумма?

5

Часть 2. Теория поля……………………………………………….147 Глава 4. Начала векторного анализа…………………………………….148

§ 17. Основные понятия и классификация полей………………………148 Завещание Эйнштейна. Связанность физического поля. Квазиста-ционарное поле. Силовые поля внутри атома. Тензорные поля.

§ 18. Методы визуализации поля. Векторные линии и трубки………..157 Сечения параболоида. Мнимое опровержение очевидного. Сечения четырёхмерной сферы. Эллипсоидальные поверхности уровня. Век-торные линии на цилиндре. Винтовое движение. Центр для поля вра-щений. Узел поля. Седло плоского векторного поля. Собственные векторы и фокус линейного поля. Вихревой источник линейного поля. Векторные линии однородного поля. Векторные линии центрального поля и диполя.

§ 19. Элементарные поля источников…………………………………...170 Законы сохранения поля. Поляризация вещества и … поля. Линейна нелинейность. Поле прямолинейного проводника с током. Поле заря-женного отрезка. Изоморфизм плоских векторных полей. Неэлемен-тарное поле нуклона.

§ 20. Ограниченность поля источников…………………………………182 Условие Липшица. Краевые эффекты. Концентраторы поля. Тайны пирамиды. Ближнее поле проводника с током. Поле заряженного стержня.

§ 21. Асимптотика дальнего поля………………………………………..196 Центр приведения источников поля. Центрирование диполя и дипо-лей. Монопольное поле. Диполи и мультиполи. Монопольная асимпто-тика магнитного поля. Дальнее поле петли с током. Дипольные мо-менты петель. Асимптоты плоских полей. Линейность и симметрия асимптоты. Физические диполи фундаментальных полей.

§ 22. Области непрерывности и дифференцируемости поля………….212 Регулярная область поля. Ударные волны. Атмосферный фронт. Поле грозового облака. Поле заряженной поверхности. Векторный потен-циал поверхностных токов. Сингулярные точки физических полей. Внутреннее поле скалярных источников.

Глава 5. Инвариантные производные поля…………………………….232 § 23. Градиент скалярного поля………………………………………….232

Оператор Гамильтона. Градиент кулоновского потенциала. Опреде-ление напряжённости поля по его скалярному потенциалу. Производ-ные квадрата радиус-вектора. Производные и линии уровня скалярно-

6

го поля. Потенциальные течения. Градиент температуры или кон-центрации. Нормальные напряжения и токи смещения Максвелла. Гармоничность кулоновского потенциала. Гравитационное давление. Вольвокс, или галактика в пруду. «Место под солнцем» расположено на коротационной окружности. Звёздные пленники галактического диска. Аксиальные колебания звёзд Галактики.

§ 24. Производные векторного поля. Первая теорема Гельмгольца…..251 Поле скоростей движения сплошной среды. Ротор и угловая ско-рость. Линейные деформации и след тензора. Дивергенция радиус-вектора. Углы скашивания и нелинейные инварианты тензора. Усло-вие Громеки.

§ 25. Специальные векторные поля. Вторая теорема Гельмгольца…...260 Условие соленоидальности центрального поля. Теорема Эренфеста. Симметричные решения уравнения Лапласа. Градиент, дивергенция и ротор в криволинейных координатах. Спектральные свойства тензо-ра специального поля. Специальные плоские поля. Поле направлений.

§ 26. Инвариантные производные второго порядка……………………274 Перестановочность производных. Волновые уравнения. Волны Далам-бера. Уравнение и метод Фурье. Уравнения Гельмгольца и Клейна – Гордона. Цилиндрические волны переноса. Уравнение Шредингера. Волновые поля. Температурные волны. Изохронные и синфазные коле-бания. Синфазные колебания кулоновского поля. Почему протон та-кой массивный?

Глава 6. Определённые интегралы векторного поля…………………294 § 27. Поток векторного поля и методы его вычисления……………….294

Ориентированные поверхности. Лист Мёбиуса. Бутылки Клейна. Поток сквозь сферу. Поток плоского поля.

§ 28. Поверхностные интегралы второго рода………………………….299 Поток поля сквозь конус. Поверхностный интеграл по треугольной площадке. Поверхностный интеграл по граням пирамиды.

§ 29. Формула Гаусса – Остроградского………………………………...304 Доказательство эффективности формулы. Поток поля через парабо-лоид с крышкой. Поток через часть параболоида. Что втекает, то и вытекает. Формула Гаусса – Остроградского для плоского поля.

§ 30. Вихревые трубки. Третья теорема Гельмгольца………………….309 Деформации плазмы. Вихревые нити атмосферного вихря. Укорачи-вание вихревой трубки в зазоре электромагнита. Механизм тормо-жения корабля. Катастрофы дирижаблей. Магниты Кеплера, вихри Декарта и «гравитоны» Лесажа. Силовые линии полей Фарадея. Не-разрывная связь. Изоморфизм материального и информационного по-лей.

7

§ 31. Инвариантное определение дивергенции. Закон Гаусса…………320 Пузырьковая среда. Сохранение потока и закон Гаусса для плоского поля. Напряжённость центрального гравитационного поля.

§ 32. Линейный интеграл и циркуляция: свойства и методы вычисления…………………………………………………...326

Движущие силы электромагнетизма. Линейные интегралы цен-трального поля. Циркуляция скорости вращения.

§ 33. Криволинейные интегралы второго рода…………………………329 Интеграл по цилиндрической спирали. Интеграл по дуге эллипса. За-висимость интеграла от пути интегрирования.

§ 34. Формулы Грина и Стокса…………………………………………..332 Независимое доказательство. Циркуляция по сторонам треугольни-ка. Геометрическое применение формулы Грина. Циркуляция напря-жённости магнитного поля. Циркуляция по сечению конуса. Теорема Кельвина. «Четвёртая теорема Гельмгольца».

§ 35. Инвариантное определение ротора. Закон полного тока………...341 Уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Условие Лоренца. Уравнения Максвелла для механических колебаний упругой среды. Вибромеханика сплошной упругой среды. Изоморфизм Пуанкаре. «Ле-стница Максвелла», или почему его уравнения признали великими. Магнитные монополи. Вектор энергии и теорема Умова – Пойтинга.

Глава 7. Потенциалы поля и общие теоремы векторного анализа….358 § 36. Условия независимости линейного интеграла от пути интегрирования…………………………………………….…358

«Своё», «чужое» или «иное» векторное поле. Групповые свойства специальных полей. Первичность определения для математики и фи-зики.

§ 37. Методы вычисления потенциалов для полей специального вида……………………………………………362

Потенциал «чужого» поля. Криволинейный интеграл с переменным пределом интегрирования. Интегрирование системы для векторного потенциала.

§ 38. Комплексный потенциал плоского лапласового поля……………366 Восстановление аналитической функции. Обтекание цилиндра. Пара-докс Даламбера. Обтекание вращающегося цилиндра. Роторы Флет-нера. Функция Жуковского и подъёмная сила крыла. Журавлиный клин.

§ 39. Свойства гармонических функций………………………………...379 Принцип электростатической защиты. Интеграл Коши. Интегралы Пуассона. Бигармонические уравнения и функции.

8

§ 40. Обратная задача векторного анализа……………………………...383 Отказ от реликтового поля. «Неконструктивность» потенциалов Пуассона в нестационарной задаче. Потенциалы Ньютона. Электро-динамические потенциалы. Термодинамический потенциал и темпе-ратурная волна движущегося источника. Преобразование Галилея. Преобразование Лоренца. Электромагнитное поле заряда. Релятиви-стская инвариантность уравнений в частных производных. Парадокс Майкельсона – Морли. Фитцджеральдово сокращение тел. Теории «увлечения эфира». «Эфирный ветер» в опытах Миллера. Теории га-зо-подобного эфира и опыты Галаева. Теория «вытеснения про-странства». И всё-таки она … пульсирует.

§ 41. Общие теоремы и аналогии векторного и скалярного анализа….406 Работа потенциального поля. Поток магнитной индукции. Интегри-рование по частям в линейном интеграле. Интегрирование по частям при помощи формулы Грина. Формулы Грина для гармонических функ-ций. Потенциалы простого и двойного слоя. Скалярный и вектор-ный анализ колебаний цилиндрического стержня. Потенциалы Герца и волны переноса для стержня. Кручение стержня. Энергия и масса фонона. Преобразование Лоренца для волн переноса в стержне. «Па-раллельные миры» цилиндрического стержня и сферы. Механика поля синфазных колебаний упругой среды. Источник энергии для однород-ного поля колебаний давления в среде Максвелла. Синфазное поле спи-нов и среда Коссера. Принцип Маха. Волны инерционного давления. Реальное поле ускорений и виртуальное поле сил инерции. Гравитация вещества и кристаллизация эфира. Будущее высоких технологий. Гравитационный диполь. Общий пульс и некоторые парадоксы време-ни. Тайна Нострадамуса. Эйнштейн как образец для подражания.

Заключение………………………………………………………………….450

Список дополнительной литературы……………………………………453

Краткий именной указатель……………………………………………...455

Алфавитный указатель терминов………………………………………..457

9

Предисловие «Есть многое в природе, друг Горацио, Что и не снилось нашим мудрецам »

Вильям Шекспир, «Гамлет»

Уважаемый читатель! На страницах нашей новой книги вы найдёте много-численные подтверждения правоты Шекспира, но прежде мы должны привязать её к известной системе координат. Публикуемая книга является частью инициативного проекта подготовки новой Программы курса высшей математики для ведущих тех-нических университетов Украины. Её концепция согласована с текстом учебника Ю.Л. Геворкяна и А.Л. Григорьева «Основы линейной алгебры и её приложений в технике», а материал дополняет общий курс высшей математики (в 2-ух томах, тех же авторов), печатаемый на русском языке под оригинальным названием «Скаляр-ный и векторный анализ для классического инженерного образования»; его первый том в 2010 году открыл книжную серию «Фундаментальна освіта для високих техно-логій».

Первое издание новой книги вышло на украинском языке под названием «Елементи векторного аналізу» и утверждено Министерством в качестве учебного пособия для выс-ших технических учебных заведений Украины (письмо № 1/11–6562 от 22.07.11).

* * *

Возможно, для многих читателей этот тезис покажется спорным, но мы считаем, что переход предприятий машиностроения, энергетики, строительст-ва, транспорта и связи Украины к высоким технологиям сдерживает не отсут-ствие инвестиций, а необходимость коренной перестройки высшего техниче-ского образования, и в первую очередь – её фундаментального крыла. Как и во времена индустриализации, становится актуальным лозунг «Кадры решают всё!». В защиту своей позиции мы не ограничимся лозунгами, а приведём два примера из недавней отечественной и зарубежной истории.

Когда в 1983 году в Минвузе СССР принимали новую Программу курса высшей математики для втузов страны, то в соответствующем отделе ЦК на Старой площади Москвы составителям Программы задали только один во-прос: «Вы гарантируете, что после её реализации винты советских подводных лодок будут шуметь меньше, чем у американцев?». Гарантии были даны, и Программа, о которой теперь в Украине приходится, к сожалению, говорить в прошедшем времени, начала претворяться в жизнь. Россияне сохранили её для ведущих технических университетов и, тем самым, сберегли свой ВПК от окончательного разорения. А что касается Украины, то на том суррогате зна-ний, которым приходится сейчас пичкать студентов, ничего дельного не по-строишь. И Бог с ними, с подводными лодками, возможно, нашей стране они и не нужны. Но термины «ВПК» и «наукоёмкое производство», хорошо знако-

10

мые по 80-м годам, являются синонимами термина «высокие технологии», к которым мы все так стремимся.

Аналогичная история двумя десятилетиями раньше происходила и в США, где американцы, напуганные успехами советской космонавтики, срочно переработали программы изучения математики для средней и высшей школы в сторону их углубления. Результат не заставил себя долго ждать, и уже через 10 лет Нейл Армстронг ступил на поверхность Луны.

Можно констатировать, что ответственная власть всегда видела тес-ную взаимосвязь между уровнем математической подготовки студентов технических вузов и реальными потребностями научно – технического прогресса.

Известно, что самый тяжёлый труд – сизифов; блажен тот, кто не ведает, что творит, а для тех, кто это поймёт, катить камень становится стократ тяже-лее. Анализируя теперешнюю ситуацию, приходится с горечью признать, что даже наши ведущие технические вузы, в основном, продолжают выпуск спе-циалистов, которые, в лучшем случае, могут рассчитывать на место «разнора-бочего инженерного труда» в том производстве, которое уже отжило своё время и уходит.

Успешные страны сейчас, как правило, «выталкивают» экологически вредные производства за свои границы, но высоких технологий это правило не касается. Известно, что «пряников сладких всегда не хватает для всех», но за такими «пряниками» мы, слава Богу, не гоняемся, своего добра хватает. Кто был на работающих предприятиях, тот ощутил разницу между приборострои-тельным заводом и другим типом производств. Когда к созданию прибавочной стоимости на таких заводах активно привлекаются мозги работников, произ-водство становится сверхприбыльным. К сожалению, нас это не касается: Ук-раина встала в очередь тех, кто «подбирает» вылетающие с Запада «отвёрточ-ные технологии». Если эту негативную тенденцию не переломить, то из тех-нологически развитой страны, выпускающей, ракеты, самолёты и корабли (а во всём мире это умеют делать только 7 государств!) мы окончательно превра-тимся в страну третьего мира, выращивающую дешёвую рабочую силу для экономик ЕС и РФ.

Мы исходим из того, что ответственная власть этого не допустит. Кроме того, ведущие университеты Украины, по нашему мнению, ещё обла-дают определённым потенциалом и способны воспитать техническую элиту, которая станет «золотым фондом» передовых отечественных и мировых кор-пораций.

Поэтому мы и взялись за составление новых учебников, что находится в нашей компетенции и является важным с многих точек зрения.

Реализация глобальной цели – это не наш уровень компетенции, но, ана-лизируя опыт реформирования высшей школы, можем посоветовать следую-

11

щее: эту цель нужно возвести в ранг государственной задачи, и назначить от-ветственных, которые добьются, преодолевая серьёзное сопротивление, значи-тельного изменения учебных программ. Если это не будет сделано сегодня, то завтра будет поздно.

* * * Перейдём к краткой авторской оценке содержания книги. Известно, что

в силу многих объективных и субъективных причин даже для физико-математических специальностей классического университета векторный ана-лиз преподаётся «по остаточному принципу». Исключение из правила состав-ляют механики, но из них мало кто остаётся преподавать, и поэтому указан-ный пробел передаётся «по наследству» от одного преподавательского поко-ления к другому уже ни одно десятилетие.

Мы не вправе осуждать своих коллег и не собираемся этого делать. Со-гласитесь, в математике есть много важных разделов, и трудно найти человека, который бы, без весомых побудительных причин, полюбил именно этот слож-ный материал, требующий развитой геометрической интуиции и широкого физического кругозора. Но как следствие ситуации, в которой никто не вино-ват, студенты наших технических университетов знают этот материал ещё ху-же своих преподавателей, и об этом как раз стоит сожалеть, потому что век-торный анализ – это математический фундамент, на котором зиждутся теоре-тические основы инженерных расчётов в электротехнике, радиотехнике, гид-ромеханике и многих других прикладных науках. Если вернуться к теме высо-ких технологий, то именно векторный анализ является той составной частью общего курса высшей математики, который имеет к этой теме самое прямое и непосредственное отношение.

В новой книге теоретический материал излагается по той же схеме, как обычно преподаётся скалярный анализ, и иллюстрируется большим числом примеров из технических и физических приложений, что, по за-мыслу авторов, позволит быстро ликвидировать отмеченный пробел. Учиться никогда не поздно, подтверждаем на своём опыте; в авторском коллективе учебника специальность «механика» только у одного, осталь-ные «догоняли» материал методом самообразования.

* * * Но основным читателем нашей книги станет не преподаватель, а сту-

дент, аспирант или научный сотрудник технического университета, и здесь необходимо подчеркнуть не только прикладной, но и гносеологический харак-тер публикации. Векторный анализ – это математический аппарат исследова-ния сплошной среды, что имеет непосредственное отношение к различным моделям мироустройства. К сожалению, время учёных – энциклопедистов уже прошло (последним, по всеобщему признанию, был Анри Пуанкаре), но про-блемы, которые они призваны были решить, остались.

12

Появились сообщения, что на Западе отчаявшиеся проникнуть в суть вещей учёные некоторые из синергетических проблем поручили решать ком-пьютерам; мы советуем оставлять такие сообщения без внимания. Известно, что ещё совсем недавно так поступали с великой теоремой Ферма, но в конце 20-го столетия на родине Шекспира нашёлся Человек (его зовут Эндрю Уайлс), который её доказал.

По некоторым из этих проблем в книге помещены пространные ком-ментарии. Их цель одна – разбудить интерес к предмету и сообщить молодому читателю тот минимум знаний, который даст толчок к началу творческого по-иска. Пусть поиск и не приведёт к успеху, но он окажет плодотворное влияние на формирование личности будущего учёного и станет полезным для любого раздела науки, который тот выберет.

Но, как знать, может быть, кто-то из читателей книги сможет пройти эту дорогу до конца, и, вспоминая с благодарностью своих учителей, воскликнет:

«Я это сделал ! Пасьянс сложился, господа…» Ньютону, в этом отношении, было куда проще – он описывал процессы,

знакомые каждому из нас из опыта простого созерцания, и достаточно было преодолеть сложившиеся догмы. И при всём этом человечество шло к класси-ческой механике долгие тысячелетия, приобретая по крупицам бесценный опыт научного познания мира.

Здание классической механики, созданное Ньютоном и его последовате-лями, разрушено, но тому честолюбцу, кто стремится занять освободившийся пьедестал, не позавидуешь. Новая синергетическая теория не сможет стать та-кой же простой и, главное, наглядной, как ньютоновская механика, и поэтому рассчитывать на её безоговорочное признание не приходится. Да и сам Нью-тон, как известно, научного признания так и не дождался; комета Галлея вер-нулась только через 30 лет после его смерти.

Современное поколение учёных не согласно ждать так долго, но мы мо-жем подсказать выход. Новая теория будет признана, если она сможет нагляд-но продемонстрировать свою пользу. Например, объяснить физические прин-ципы, благодаря которым летают НЛО, и поднять летающую тарелку «на кры-ло» (или на то, что у неё заменяет крылья).

В общем, дерзайте, господа, а мы все будем радоваться вашим успехам. * * *

Выражаем благодарность рецензентам и сотрудникам издательского центра. Свои отзывы об учебнике просим направлять по адресу: 61002, Украина,

Харьков, ул. Фрунзе, д. 21, НТУ «Харьковский политехнический институт», редак-ционно-издательский отдел.

Авторы

Город Харьков 27 ноября 2011 года

13

Часть 1

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы по мере

Двойной интеграл ( ),

D

f x y dxdy∫∫ ,

вычисляется для функции двух переменных ( , )z f x y= по двухмерной области D и обобщает понятие определённого интеграла

( )b

af x dx∫ ,

подробно изученного в курсе высшей математики ранее. Соответствующим обобщени-ем на трёхмерный случай служит тройной интеграл

( ), ,T

f x y z dxdydz∫∫∫ .

Однако следует сразу подчеркнуть, что эти обобщения не являются единствен-ными. Известно, что определённый интеграл Римана решал двуединую задачу.

• С его помощью, например, можно вычислить площадь под графиком кривой ( )y f x= , и тем самым решить задачу измерения площади (или массы, момента, заря-

да и тому подобного). • С другой стороны, интеграл

( )x

af t dt∫

с переменным верхним пределом определяет первообразную функции ( )y f x= и по-средством известной формулы Ньютона – Лейбница связал дифференциальное и инте-гральное исчисление, то есть решил задачу объединения скалярного анализа.

Для функций двух или нескольких переменных эти задачи решаются разными ин-тегралами. Задача измерения – кратными, криволинейными и поверхностными интегра-лами по мере (двойными, тройными, и так далее). Задача объединения векторного анали-за – криволинейными и поверхностными интегралами по координатам (скалярными и векторными потенциалами), которые будут рассматриваться в части 2 «Теория поля».

Необходимость специализации интегралов связана с очевидными особенностями области интегрирования. В скалярном анализе это отрезок (или объединение отрезков), и здесь существует только два направления перемещения из внутренней точки: влево или вправо по числовой оси. В векторном анализе таких направлений бесконечное множест-во (континуум), и это существенно осложняет дело. Следует отметить, что новый фактор начинает действовать при переходе от одномерных объектов к двухмерным, и именно здесь происходит качественный скачок и насыщение математики новыми понятиями; дальнейшее увеличение размерности сводится к эволюции этих понятий.

Глава 1. Кратные интегралы

14


§ 1. Замкнутые области

Первым из числа новых является понятие замкнутой области. Этот термин обобщает понятие замкнутого промежутка [ , ]a b числовой оси на случаи одномерных, двухмерных и трёхмерных геометрических объектов – криволинейных отрезков, частей плоскости или поверхности, частей пространства. Чтобы раскрыть его смысл дадим не-обходимые определения и пояснения. В этом параграфе одномерный, двухмерный и трёхмерный случаи рассматриваются параллельно. Линия и поверхность, открытое множество, плоскость, пространство и ряд других используемых здесь математических терминов в курсе высшей математики встречались ранее.

• Континуальное множество A точек M называется связным, если любые две точки 1 2,M M A∈ можно соединить непрерывной линией, цели-ком лежащей в A ; в противном случае множество A называется несвяз-ным или многосвязным.

• Открытое связное множество точек называется областью; все точки области являются внутренними, то есть принадлежат ей вместе с некото-рой окрестностью.

• Предельные точки области, не принадлежащие ей, называются гра-ничными, они образуют границу области.

• Область называется ограниченной, если все её точки размещены внутри некоторого шара с конечным радиусом R .

• Объединение ограниченной области и её границы называется замк-нутой областью (иногда – односвязной замкнутой областью).

• Объединение n замкнутых попарно непересекающихся областей на-зывается многосвязной ( n –связной) замкнутой областью; объединяемые области называются связными компонентами многосвязной области.

Так, одномерная замкнутая область – это ограниченный

отрезок (дуга) 1 2M M связной линии L (прямолинейной или криволинейной), размещённый между крайними точками 1M и

2M , образующими его границу (рис. 1.1).

Некоторая ε – окрестность 0( )C Mε внутренней точки

0 0 0 0( , , )M x y z определяется как пересечение шара с центром в этой точке и «несущей линии» L :

L1M 2M

Рисунок 1.1

§ 1. Замкнутые области

15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2 20 0 0 0, ,C M M x y z x x y y z z Lε ε= − + − + − < ∩ .

Ясно, что замкнутый промежуток [ ],a b удовлетворяет этому определению; для него несущей линией является числовая ось O x , а окрестность внутренних точек 0 0( )M x определяется так:

( ) ( ) ( ){ }2 20 0C M M x x xε ε= − < .

Одномерная криволинейная замкнутая область может не иметь границы; в этом случае она совпадает с кривой L и называется замкнутым контуром. Замкнутый контур (рис. 1.2) удобно трактовать как криволинейный отрезок 1 1M M с совпадающими концами.

Двухмерная замкнутая область D – это геометриче-ская фигура. Она может быть плоской (размещённой в плоскости 2 ) или неплоской (размещённой в пространст-ве 3 , в том числе – на некоторой связной криволинейной поверхности Ω , рис. 1.3). Границей такой области является связная или многосвязная линия (плоская или пространст-венная). Каждая связная компонента границы является

замкнутым контуром. В случае плоской области ε – окрестностью точки 0 0 0( , )M x y являет-

ся круг ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2

0 0 0,C M M x y x x y yε ε= − + − < ,

координатной плоскости O xy . Для неплоской области эта окрестность оп-ределяется как пересечение шара с несущей поверхностью Ω :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2 20 0 0 0, ,C M M x y z x x y y z zε ε= − + − + − < Ω∩ .

Двухмерная неплоская замкнутая область может не иметь границы; в этом случае она совпа-дает с поверхностью Ω и называется замкнутой поверхностью.

Двухмерная плоская замкнутая область всегда имеет границу; каждая связная компонен-та границы D∂ является плоским замкнутым контуром (рис. 1.4).

Трёхмерная замкнутая область T – это геометрическое тело (рис. 1.5). Границей такой области является связная или многосвязная поверхность, а ε – окрестностью внутренней точки 0 0 0 0( , , )M x y z – шар

1M

L

Рисунок 1.2

DΩ

Рисунок 1.3

D

D∂x

y

Рисунок 1.4 x y

z

T

T∂

Рисунок 1.5


16

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2 2 20 0 0 0, ,C M M x y z x x y y z zε ε= − + − + − < .

Трёхмерная замкнутая область всегда имеет границу. Каждая связная компонента границы является замкнутой по-верхностью.

Прим е р 1 . 1 . Перфорированная пластина. Боковая поверхность

пластины, изображённой на рис. 1.6, яв-ляется примером двухмерной замкнутой области с многосвязной границей. Грани-

ца состоит из прямоугольника и 6 окружностей, образующих ци-линдрические отверстия.

Эта же пластина, рассматриваемая в трёхмерном пространст-ве, даёт пример замкнутой области с односвязной границей. В этом смысле пластина ничем не отличается от шара, который также яв-ляется замкнутой областью с односвязной границей – сферой (рис. 1.7). Однако грани-ца пластины устроена сложнее сферы. На сфере любая замкнутая линия (например, по-казанная на рис. 1.7 пунктиром) может быть стянута в точку; на поверхности пластины

существуют такие линии (одна из них показана на рис. 1.6 пунктиром), для которых такое преобразова-ние выполнить невозможно.

Прим е р 1 . 2 . Опорная поверхность. Сила тяжести (вес) моста, изображённого на рис. 1.8, распределяется на его опоры; в результате на опорной поверхности D воз-никает сила давления ( , )p x y . Поверхность D – многосвязная замкнутая область.

§ 2. Двойной интеграл: определение и свойства

Рассмотрим в 2R замкнутую область D и за-данную на ней непрерывную функцию ( , )z f x y= .

Произвольное разбиение τ представляет об-ласть D в виде объединения ( )N τ частей – замкнутых областей iD , не имеющих общих внут-ренних точек:

( )

1:

N

ii

D Dτ

τ=

= ∪ , i j i jD D D D= ∂ ∂∩ ∩ , при i j≠ ,

где D∂ здесь и далее обозначает множество гранич-ных точек области D .

Рисунок 1.6

x

z

y

Рисунок 1.7

DРисунок 1.8

Риман Бернхард (1826 – 1866)


17

Прямолинейный отрезок, соединяющий две точки границы iD∂ , бу-дем именовать хордой; наибольшую по всем участкам iD хорду – диаметром разбиения diamτ . Предполагается, что для каждой области

iD может быть определена её площадь, которую будем обозначать iSΔ ; все площади удовлетворяют очевидному неравенству

( )2diamiS τΔ ≤ ,

и уменьшаются вместе с уменьшением диаметра разбиения. Внутри каж-дой части выберем произвольную точку iP .

Составим интегральную сумму

( )( )

1

N

i ii

f P Sτ

=

Δ∑ , (1.1)

и устремим диаметр разбиения к нулю; при этом ( )N τ →∞ . Соответст-вующий предельный переход для интегральной суммы регулируется тео-ремой существования двойного интеграла, которая принимается без до-казательства.

Теорема 1 . 1 . Пусть функция ( , )z f x y= непрерывна в области D , тогда указан-

ный предел её интегральных сумм (1.1) су-ществует и не зависит от способа раз-биения и выбора точек iP внутри площа-док iD .

Этот предел называется двойным интегралом от функции ( ),f x y по облас-ти D и обозначается

( )D

f P d S∫∫ или ( ),D

f x y dxdy∫∫ .

Область D называется областью интегрирования; dS или dxdy – дифференциалом площади.

Геометрический смысл интегральной суммы проясняет рис. 1.9 – это суммарный объем изображённых на нём цилиндров. Измельчение разбие-ния позволяет получить геометрический смысл двойного интеграла. Ес-ли

Рисунок 1.9


18

( , ) 0f x y ≥ , то интеграл ( )D

f P d S∫∫ ,

равен объему тела T , ограниченного поверхно-стью ( , )z f x y= , плоскостью 0z = и цилиндри-ческой поверхностью, параллельной оси OZ , с направляющей линией D∂ (рис. 1.10).

Такое тело в математике называют криволиней-ным цилиндрическим стержнем.

Следовательно, интеграл равен объёму криволи-нейного цилиндрического стержня.

Прим е р 1 . 3 . Жорданова сеть. В современной формулировке теоремы

существования выбор формы разбиения ничем не регламенти-рован, что предоставляет дополнительные возможности для эф-фективного вычисления конкретного интеграла. Но так было не всегда. Для разбиения области на элементарные участки доста-точно долго использовалась так называемая жорданова сеть, образованная прямыми линиями, параллельными координатным осям (рис. 1.11). Позже разрешили использовать любую сеть взаимно ортогональных (рис. 1.12), или не ортогональных (рис. 1.13) линий.

Если используемая сеть не включает границу области интегрирования (как на рис. 1.11–1.13), то происходит естест-венное деление элементарных участков на внутренние (с «пра-вильными» границами) и внешние, примыкающие к границе области. Анализ интегральной суммы, составленной по внут-ренним участкам, приводил к соответствующему методу ин-тегрирования (в декартовых, полярных, эллиптических или других координатах). Что касается суммы, составленной по внешним участкам, то при измельчении разбиения она стреми-лась к 0, и при создании метода интегрирования ею пренебре-гали.

Прим е р 1 . 4 . Приграничная полоса. Действительно, если считать, что граница области D∂

имеет конечную длину Dl∂ (а в технических приложениях это условие выполняется всегда), то суммарная площадь всех внешних участков удовлетворяет очевидному не-равенству

вн diamDS l τ∂Δ ≤ ⋅ ,

а модуль интегральной суммы, составленной по этим участкам, не превосходит вели-чины diamDM l τ∂⋅ ⋅ , где M – наибольшее значение модуля подынтегральной функции в области D . Следовательно, при условии diam 0τ → влияние «приграничной полосы» на величину интеграла также стремится к нулю, что и требовалось показать.

x y

z

D

D∂

( , )z f x y=

Рисунок 1.10

x

yD

Рисунок 1.11

x

yD

Рисунок 1.12

x

yD

Рисунок 1.13


19

Перечислим основные свойства двойного интеграла, которые во мно-гом повторяют свойства определённого интеграла.

1. Линейность двойного интеграла Пусть имеем две непрерывные функции 1( , )z f x y= , 2 ( , )z f x y= и

произвольные константы , Rα β ∈ . Тогда имеет место равенство

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , ,D D D

f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdyα β α β+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫ .

Для доказательства этого свойства заметим, что аналогичное равенство имеет место для интегральных сумм, и оно сохранится при предельном переходе.

2. Аддитивность двойного интеграла Пусть область D разбита на области ID и IID , пересекающиеся

только по границе: ,I II I II I IID D D D D D D= = ∂ ∂∪ ∩ ∩ . Тогда имеет место равенство

( ) ( ) ( )I IID D D

f P d S f P d S f P d S= +∫∫ ∫∫ ∫∫ .

Для доказательства выполним разбиение области D таким образом, чтобы площадки iD попадали либо только в область ID , либо только в область IID . Тогда для интегральных сумм выполняется очевидное равенство

( ) ( ) ( )i j I k II

i i j j k kD D D D D D

f P S f P S f P S∈ ∈ ∈

Δ = Δ + Δ∑ ∑ ∑ .

После выполнения предельного перехода получаем исходное равенство.

Замечание . Очевидно, что свойства линейности и аддитивности могут быть обобщены на любое конечное число суммируемых функций или объединяемых областей.

3. Оценка двойного интеграла Пусть числа m и M обозначают наименьшее и наибольшее значе-

ния функции ( ),f x y в области D , а DS – площадь области D . Тогда имеет место соотношение

( )D DD

m S f P d S M S⋅ ≤ ≤ ⋅∫∫ .

Прежде чем приводить формальное доказательство этого свойства, заметим, что оно прямо следует из геометрического смысла двойного интеграла.

Действительно, объём Q криволинейного стержня заключён между объёмами двух стержней с плоскими основаниями, показанных на рис.1.14:


20

m D M DV m S Q V M S= ⋅ ≤ ≤ = ⋅ ,

что эквивалентно доказываемому свойству.

Формальное доказательство использует двухсто-роннюю оценку значений функции: ( )im f P M≤ ≤ и вы-текающее из неё неравенство для интегральных сумм

( )i i i im S f P S M SΔ ≤ Δ ≤ Δ∑ ∑ ∑ , причём i DS SΔ =∑ .

Предельный переход сохраняет это соотношение в силе и доказывает свойство.

След ствие . Двойной интеграл по линии ра-вен нулю.

Действительно, линия не имеет площади, величина 0DS = и мы получаем:

0 0 0Q Q≤ ≤ ⇒ = .

4. Теорема о среднем интегральном значении функции

Пусть функция ( )z f P= непрерывна в одно-связной замкнутой области D . Тогда найдётся точка 0P D∈ , в которой выполнится равенство

( ) ( )0 DD

f P d S f P S= ⋅∫∫ .

Док а з а т е л ь с т в о . Предыдущее свойство двойного интеграла перепишем

в следующем эквивалентном виде:

( )1

D D

m f P dS MS

≤ ≤∫∫ .

Функция, непрерывная в односвязной замкнутой об-ласти, в силу теоремы Больцано – Коши принимает в этой области все значения из промежутка [ ],m M . Следователь-но, в этой области существует такая точка 0P , что

( )01( )D D

f P f P dSS

= ∫∫ ,

откуда мы сразу же получаем искомое доказательство. Замечание . Величина

( )cp1( )D D

f D f P d SS

= ∫∫

D

z M=

z m=

( , )z f x y=

z

xy

Рисунок 1.14

Больцано Бернард (1781 – 1848)

Коши Огюстен Луи (1789 – 1857)


21

называется средним интегральным значением функции ( )f P по области D . Поэтому, свойство 4 можно сформулировать следующим образом: среднее интегральное значение непрерывной функции в односвязной замк-нутой области совпадает со значением этой функции в некоторой точке этой области, то есть

( ) ( )cp 0 0,f D f P P D= ∈ .

Следует особо подчеркнуть, что для выполнения этого свойства не-обходима непрерывность функции и односвязность области. Во многих за-дачах из технических приложений вместо непрерывных имеют дело с ку-сочно-непрерывными функциями, а вместо односвяз-ных – с многосвязными областями. Прим е р 1 . 5 .

Интеграл, равный объёму пирамиды. Функция

1z x y= − − интегрируется по области {: , 0; 1D x y x y≥ + ≤ ,

представляющей собой прямоугольный треугольник с площадью 0.5DS = (рис. 1.15). Наибольшее и наименьшее значения функции

в области составляют 1; 0M m= = . Значение двойного интеграла определяем в соответствие с его геометрическим смыслом как объём треугольной пирамиды (рис. 1.16):

( )1D

I x y dxdy= − − =∫∫1 113 6DS⋅ ⋅ = .

Среднее интегральное значение функции

( )cp / 1/ 3Df D I S= =

достигается в точках 0P , где ( )0 1/ 3f P = ; такие точки размещаются на отрезке 2 / 3x y+ = внутри области D .

Прим е р 1 . 6 . Оценка для интегрирования по кругу. Оценим значение интеграла

( )2 24 9D

x y dxdy+ +∫∫ ,

где область 2 2: 4D x y+ ≤ – это круг радиуса 2 с центром в на-чале координат (рис. 1.17).

Графиком подынтегральной функции является парабо-лоид, поэтому вычислить этот интеграл, используя его геомет-рический смысл, мы не сможем. Ограничимся теми возможно-стями, которые предоставляет теорема об оценке.

Область интегрирования имеет площадь 22 4DS π π= = . Найдём наибольшее M и наименьшее m значения функции

1

10 x

y

D

Рисунок 1.15

xy

z

1

1

1

Рисунок 1.16

x

y

2

2

1(0,0)P

D D∂

Рисунок 1.17


22

2 24 9z x y= + + в круге D , для чего, прежде всего, определим её стационарные точки:

2 0z xx

∂= =

∂, 8 0z y

y∂

= =∂

;

в результате получили точку 1(0,0)P , которой соответствует значение функции 1 9z = . Теперь нужно проанализировать значения функции на границе области –

окружности 2 2 4x y+ = . Используем параметрические уравнения окружности

2cos , 2sin , 0 2x yϕ ϕ ϕ π= = ≤ < ,

и получим, что на D∂

( ) ( )2 24cos 16sin 9 2 1 cos 2 8 1 cos 2 9 19 6cos 2z ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + = + + − + = − .

Эта тригонометрическая функция принимает все значения из промежутка [ ]13, 25 , то есть на границе наибольшее значение составляет 25, наименьшее – 13. Уч-тём полученное ранее значение 1 9z = и получим: 25; 9M m= = . Далее используется теорема об оценке двойного интеграла

( )2 236 4 9 100D

x y dxdyπ π≤ + + ≤∫∫

§ 3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть область D такова, что всякая пря-мая, параллельная оси O y и проходящая через внутреннюю точку, пересекает границу D∂ только в двух точках 1M и 2M (рис. 1.18). При этом верхняя и нижняя граница области описы-вается однозначными зависимостями вида

( )вy y x= и ( )нy y x= . Такую область назовём правильной в направлении оси O y .

Аналогично вводится понятие области, правильной в направлении оси O x ; для неё од-нозначными зависимостями вида ( )лx x y= и

( )пx x y= описываются левая и правая граница (рис. 1.19).

Если выполнены оба эти свойства (как на рис. 1.18), то такую область назовём правиль-ной в двух направлениях или правильной, без

Рисунок 1.18

x

yв ( )y y x=

н ( )y y x=

a b

D1M

2M

Рисунок 1.19

x

y

c

d

D1N 2N

л ( )x x y=

п ( )x x y=


23

дополнительных уточнений. В то же время, область, показанная на рис. 1.19, является правильной только в одном направлении.

Далее будем считать область интегрирования D правильной в направлении оси O y , а подынтегральную функцию – неотрицатель-ной. Для вычисления двойного интеграла воспользуемся его геометриче-ским смыслом и теоремой о вычислении объема тела путем интегрирова-ния площадей параллельных сечений (то есть принципом Кавальери, смотри учебник [4] и рис. 1.20):

( ) ( )b

D a

f P ds V S x dx= =∫∫ ∫ .

Площадь сечения ( )S x вычисляется при помощи одномерного интеграла:

( ) ( )( )

( )в

н

,y x

y x

S x f x y dy= ∫ ,

здесь x является константой, а y – переменной интегрирования.

В результате имеем:

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )в в

н н

, , ,y x y xb b

D a y x a y x

f x y dxdy V f x y dy dx dx f x y dy⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . (1.2)

Такую конструкцию называют двукратным повторным интегра-лом.

Заметим, что если подынтегральная функция явля-ется знакопеременной, то её всегда можно представить как разность двух неотрицательных непрерывных функций, например

( ) ( ) ( )1 2f P = f P - f P , где

( ) ( ) ( )( )

припри1

f P , f P 0 ,f P =

0 , f P < 0 ,≥⎡

⎢⎣

( ) ( ) ( )( )

припри2

-f P , f P < 0 ,f P =

0 , f P 0 .⎡⎢ ≥⎣

Далее, применяя для интегрирования функций 1( )f P и 2 ( )f P равенство (1.2) и используя свойство линей-

x

y

z

ab

( )S x

DРисунок 1.20

Кавальери Бонавентура (1598 – 1647)


24

ности двойного интеграла, мы убеждаемся в том, что указанный метод сохраняет свою силу и для знакопеременных функций.

Таким образом, нами фактически доказано следующее утверждение.

Теорема 1 . 2 . Двойной интеграл по правильной области D от непрерывной функ-

ции ( ),z f x y= равен двукратному повторному интегралу от этой функ-ции, то есть

( ) ( )( )

( )в

н

, ,y xb

D a y x

f x y dxdy dx f x y dy=∫∫ ∫ ∫ .

Если область D правильная в направлении оси O x , то имеет место аналогичное равенство (рис. 1.19):

( ) ( )( )

( )п

л

, ,x yd

D c x y

f x y dxdy dy f x y dx=∫∫ ∫ ∫ . (1.3)

Если область D правильная в двух направлениях, то можно пользо-ваться обоими двукратными интегралами, которые при этом приведут к одинаковому результату:

( )( )

( )( )

( )

( )в п

н л

, ,y x x yb d

a y x c x y

dx f x y dy dy f x y dx=∫ ∫ ∫ ∫ .

Обычно пользуются тем интегралом, который требует меньших затрат времени при интегрировании. Прим е р 1 . 7 .

Интеграл по прямоугольной области. Пусть 2 24z x y= − − , а область {: 0; 0; 1; 3 / 2D x y x y= = = = – прямоугольник, показанный на рис. 1.21. Требуется вы-

числить

( )2 24D

x y dxdy− −∫∫ .

Р ешени е . Выберем порядок повторного интегрирования в соответствии с формулой (1.2) и

получим:

( ) ( ) ( )3/ 21 3/ 2 1

2 2 2 2 2 3

0 0 0 0

14 4 43D

x y dxdy dx x y dy dx x y y⎡ ⎤− − = − − = − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫

( )11

2 3

00

3 9 1 9 354 62 8 2 8 8

x dx x x x⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − − = − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ .

x

y

0 1

3/ 2

D

Рисунок 1.21


25

Прим е р 1 . 8 . Форма границы влияет на порядок интегрирования. Вычислить

( )1D

x y dxdy+ +∫∫ ,

где область интегрирования :{ ; ; 4D y x x y y= − = = имеет форму, показанную на рис. 1.22.

Р ешени е . Область интегрирования правильная, но нижняя

граница определяется двумя аналитическими зависимо-стями – при условии 0x y x< ⇒ = − , а при условии

20x y x> ⇒ = . В то же время левая и правая границы на всём протяжении описывается единой формулой. Поэтому в данном примере целе-сообразно изменить порядок интегрирования:

( ) ( )2 4

2

0 0

11 12

yy

yD y

x y dxdy dy x y dx x x xy dy−−

⎛ ⎞+ + = + + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ ∫

443/ 2 2 3/ 2 2 5/ 2 3

00

3 1 2 3 2 1 16 64 32 412 402 2 3 4 5 6 3 5 3 5

y y y y dy y y y y⎛ ⎞= + + + = + + + = + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

Прим е р 1 . 9 . Выбор порядка для правильной области. Покажем,

как производится выбор порядка интегрирования. В двойном интеграле

( ),D

f x y dxdy∫∫ область 0 1,

:,

xD

x y x

≤ ≤⎧⎪⎨

≤ ≤⎪⎩

ограничена параболой и прямой (рис. 1.23) и является пра-вильной в обоих направлениях. Следовательно, могут быть

составлены оба повторных интеграла:

( ) ( )2

1 1

0 0

, ,yx

x y

I dx f x y dy dy f x y dx= =∫ ∫ ∫ ∫ .

При составлении второго интеграла мы воспользовались эквивалентным описанием области

2:{ 0 1 ;D y y x y≤ ≤ ≤ ≤ . Возможно, второй интеграл будет вычислить проще, так

как он не содержит корней. Окончательный выбор метода произ-водится с учётом вида подынтегральной функции.

Прим е р 1 . 1 0 . Экспоненты интегрируются просто. При вычислении интеграла

/y x

D

e dxdy∫∫ по треугольнику :{ , 0, 1D y x y y= = = (рис. 1.24)

4

y x= − x y=

x

yD

Рисунок 1.22

y x=

y x=D

1

1y

x0Рисунок 1.23

Рисунок 1.24 1

1

0

D

x

y y x=


26

преимущества формулы (1.2) перед формулой (1.3) очевидны:

( )1 1

/ /

0 00

112

xy x y x

D

ee dxdy xe dx x e dx −= = ⋅ − =∫∫ ∫ ∫ .

Прим е р 1 . 1 1 . Квадрат в квадрате. При вычислении интеграла

x y

D

e dxdy+∫∫ , где область D показана на рис. 1.25,

можно разбить эту область на 4 правильные части iD и воспользоваться свойством аддитивности:

4 2 3 4

x y x y

D D D D D

e dxdy e dxdy+ +⎛ ⎞⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ,

но лучше использовать индивидуальный план решения:

M m

x y x y

D D D

e dxdy e dxdy+ +⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫ ∫∫ ∫∫ ,

где MD – внешний, а mD – внутренний квадраты. Области MD и mD – правильные, кроме того, здесь происходит преобразование

повторного интеграла в произведение определённых интегралов:

( )4 4 4 4 24 4

4 4 4 4M

x y x y x y

D

e dxdy dx e dy e dx e dy e e+ + −

− − − −

= = ⋅ = −∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

( )2 2 2 2 22 2

2 2 2 2m

x y x y x y

D

e dxdy dx e dy e dx e dy e e+ + −

− − − −

= = ⋅ = −∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Следовательно,

( ) ( )2 24 4 2 2x y

D

e dxdy e e e e+ − −= − − −∫∫ .

Решённый пример показывает, что аналитическое вычисление двойных интегра-лов, в ещё большей степени, чем вычисление определённых интегралов, является не только наукой, но и искусством.

§ 4. Двойной интеграл в полярных координатах

Полярная система координат ,r ϕ применяется тогда, если вся грани-ца области D или ее часть представляет собой дугу окружности, и/или по-дынтегральная функция зависит только от одной из этих координат.

D

4

4

22

4−

4−

2−

2−x

y

Рисунок 1.25


27

Пусть замкнутая область D такова, что каждый луч, проходящий через точку M , пересекает ее границу не более чем в двух точках (рис. 1.26). Такую область назо-вем правильной относительно полярной системы координат с центром в точке M .

Используем формулы перехода к по-лярным координатам

{ cos , sinM Mx x r y y rϕ ϕ= + = + .

В результате произойдёт изменение записи подынтегральной функции

( ) ( ), ,z f x y z f r ϕ= ⇒ = ,

и области интегрирования

( ) ( )н в:{ , .D D r r rϕ ϕ α ϕ β′⇒ ≤ ≤ ≤ ≤

Разобьем область D′ на площадки и составим интегральную сумму

( )1

N

i ii

F P S=

Δ∑ .

Предел этой интегральной суммы по определению равен

( )'

,D

F r dr dϕ ϕ∫∫ .

Будет ли это число равно исходному интегралу? Нет, по-скольку при указанном преобразовании координат происходит иска-жение площади.

Вернемся к исходной системе координат. Выберем элемен-тарные площадки так, чтобы их границами были лучи constϕ = и дуги окружностей constr = (смотри рис. 1.27). Обозначим шаги из-менения этих координат constrΔ = и constϕΔ = . Тогда площадь SΔ

элементарной внутренней площадки будет определяться формулой

( ) ( )2 2/ 2 / 2 / 2S r r r r r rϕ ϕ ϕΔ = Δ ⋅ + Δ −Δ ⋅ = Δ ⋅Δ ⋅ + Δ .

В координатах ϕ и r эти участки имеют форму прямоугольников. При образо-вании интегральной суммы вкладом внешних участков, имеющих другую форму (если таковые имеются), допустимо пренебречь (см. пример 1.4). В результате интегральная сумма интеграла ( ),

D

f x y dxdy∫∫ приобретает следующий вид:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

, , / 2

, ( / 2) , .

i i i i i i i i

i i i i i

F P S F r S F r r r r

F r r r r F r r

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

Δ = Δ = ⋅ + Δ ⋅Δ Δ =

= ⋅ ⋅Δ Δ + Δ ⋅Δ Δ

∑ ∑ ∑

∑ ∑

M

Mx

My ϕ

x

y

r

Рисунок 1.26

ΔϕrΔ

Рисунок 1.27


28

В полученной сумме второе слагаемое приближённо равно

( )'

,2 D

r F r dr dϕ ϕΔ∫∫ ,

и при неограниченном уменьшении 0rΔ → оно стремится к нулю. Первое слагаемое при 0, 0r ϕΔ → Δ → стремится к

( )'

,D

F r rdrdϕ ϕ∫∫ .

В результате получена формула

( ) ( )'

, ,D D

F x y d S F r rdrdϕ ϕ=∫∫ ∫∫ , (1.4)

которая и передаёт существо метода интегрирования двойного интеграла в полярной системе координат.

Попутно получена формула dS rdrdϕ= , (1.5)

определяющая дифференциал площади dS в полярной системе координат. Для вычисления интеграла (1.4), как и прежде, осуществляем пере-

ход к повторному интегралу:

( ) ( )( )

( )в

н

, ,r

D r

F r rdrd d F r rdrϕβ

α ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ=∫∫ ∫ ∫ .

Прим е р 1 . 1 2 . Цилиндрическое отверстие в шаре. Вычислим

объем тела, ограниченного сферической поверхностью 2 2 2 24x y z a+ + = и цилиндром 2 2 2 0x y ay+ − = , где

0a > – некоторая положительная константа. Уравнение цилиндра преобразуем к виду

( )22 2x y a a+ − = ,

и для вычисления объёма воспользуемся двойной сим-метрией тела (рис. 1.28), а также геометрическим смыс-лом двойного интеграла

2 2 24 4D

V a x y dxdy= ⋅ − −∫∫ ,

где { ( )22 2: , 0D x y a a x+ − ≤ ≥ – половина круга, центр которого смещён в точку

1(0, )O a .

Это означает, что мы могли бы, например, перейти к полярной системе коорди-

Dx

y

z

Рисунок 1.28


29

нат со смещённым центром { cos , sinx r y a rϕ ϕ= = + ,

и за счёт этого получить простейшую (прямоугольную) область изменения координат r и ϕ :

': { 0 ; 0D D r aϕ π⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ .

Однако такая замена не использует очевидную симметрию подынтегральной функции и приводит к сложному повторному интегралу:

2 2

0 0

4 3 2 sina

V d a r ra r drπ

ϕ ϕ= ⋅ − −∫ ∫ .

Поэтому для решения задачи мы поступаем иначе и переходим к полярной сис-теме с центром в начале координат

{ cos , sinx r y rϕ ϕ= = .

Используем эти замены в уравнении границы { ( )22 2:D x y a a∂ + − = и получим

( ) ( )2 2 2cos sinr r a aϕ ϕ+ − = , то есть 2 2 sin 0r ra ϕ− = и 2 sinr a ϕ= .

Отсюда ': { 0 / 2, 0 2 sinD D r aϕ π ϕ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ⋅ .

Максимальное упрощение претерпевает подынтегральная функция:

2 2 2 2 24 4z a x y z a r= − − ⇒ = − .

Теперь можно интегрировать:

( )2 sin2 sin/ 2 / 2 3

2 2 2 2

00 0 0

4 4 2 4aa

V d a r rdr a r dϕϕπ π

ϕ ϕ= − = − − =∫ ∫ ∫

( )/ 2 / 2

3 3 3 3 3

0 0

2 8 8 cos 16 cos2

a a d a dπ ππϕ ϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ .

Учтём, что

( )/ 2/ 2 / 2

3 2 3

00 0

1 2cos 1 sin sin sin sin3 3

d dππ π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − = − =∫ ∫ .

Отв е т : 3 2162 3

V a π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Прим е р 1 . 1 3 . Псевдополярные координаты. В случаях, если границей области является дуга

эллипса, вместо полярной системы часто используется так называемая обобщённая по-


30

лярная (другие названия – псевдополярная или плоская эллиптическая) система ко-ординат

{ cos , sinx ar y brϕ ϕ= = .

Такую замену удобно трактовать как два последовательных преобразования ко-ординат

1

1

,,

x axy by=⎧

⎨ =⎩ и 1

1

cos ,sin .

x ry r

ϕϕ

=⎧⎨ =⎩

Первое преобразование изме-няет масштабы по осям координат, и для него

1 1dxdy ab dx dy= .

Второе преобразование мы уже изучили, для него 1 1dx dy r drdϕ= . Следовательно, для результирующего преобразования dS dxdy ab r drdϕ= = . После перехода к псевдополярным координатам эллипс разворачивается в поло-

су (рис. 1.29) 2 2

2 20 2 ,

: 1 ':0 1.

x yD Dra b

ϕ π⎧ ≤ <⎧⎪ + = ⇒⎨ ⎨ ≤ ≤⎪ ⎩⎩

Прим е р 1 . 1 4 . Момент инерции эллипса. Вычислить интеграл

( )2 2

D

x y dxdy+∫∫ , где {2 2

2 2: 1x yDa b

+ ≤ .

Значение данного интеграла пропорционально моменту инерции плоской пла-стины эллиптической формы, выполненной из однородного материала.

Для вычисления интеграла используем псевдополярную замену

{ cos , sin ,x a r y b r dxdy ab r dr dϕ ϕ ϕ= = = и получим:

( ) ( )2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

cos sinD

x y dxdy d a r b r ab r drπ

ϕ ϕ ϕ+ = + =∫∫ ∫ ∫

( )( )12 2

2 2 4 2 2 4 2 2

00 0

1 1cos sin (1 cos 2 ) 1 cos 24 4 8

abab a r b r d a b dπ π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞= + = + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( )2

2 2 2 2

08 4ab aba b d a b

π

ϕ π= + = +∫ .

При вычислении мы воспользовались тем, что интеграл от косинуса по периоду его изменения равен 0, что существенно упростило расчёт.

Рисунок 1.29

x

y

a

bD

⇒ϕ

r1

0 2⋅π

'D

§ 5. Общая замена переменных в двойном интеграле

31


Рассмотрим общий случай, ко-гда в интеграле

( ),D

f x y d S∫∫ ,

выполняется переход от декартовых координат ,x y к криволинейным ко-ординатам ,u v , причём известны формулы перехода

( ) ( ), , ,x X u v y Y u v= = . (1.6)

В системе координат Ou v построим прямоугольник OMPN с малыми сторона-ми uΔ и vΔ и площадью ,u vS u vΔ = Δ ⋅Δ (рис. 1.30). В соответствие с формулами (1.6) этому прямоугольнику в системе координат O xy будет отвечать фигура 1 1 1 1O M P N , близкая по форме к параллелограмму. Причём, если рассматривается случай, когда

0, 0u vΔ → Δ → ,

то все приближённые соотношения допустимо заменять точ-ными равенствами.

Найдём площадь ,x ySΔ этой фигуры. Для этого ис-

пользуем формулы для векторов 1 1O M и 1 1O N , заменив со-ответствующие приращения функций ( , )X u v и ( , )Y u v их дифференциалами

{ }1 1 , ,0u uO M X Y u′ ′= ⋅Δ ; { }1 1 , ,0v vO N X Y v′ ′= ⋅Δ ,

и вычислим векторное произведение

1 1 1 1 00

u uu u

v vv v

i j kX Y

O M O N X u Y u k u vX Y

X v Y v

′ ′′ ′× = ⋅Δ ⋅Δ = ⋅ ⋅Δ ⋅Δ

′ ′′ ′⋅Δ ⋅Δ

.

Известно, что модуль этого произведения равен площади параллелограмма 1 1 1 1O M P N , то есть

, det u ux y

v v

X YS u v

X Y′ ′⎡ ⎤

Δ = ⋅Δ ⋅Δ⎢ ⎥′ ′⎣ ⎦. (1.7)

Функциональный определитель, используемый в формуле (1.7), в честь знаменитого швейцарского математика Якоби называется якобианом и обозначается ( , )J u v .

Рисунок 1.30

u

v

O M

PN

uΔ

vΔ ⇒1O

1M

1P

1N

x

y

0u0v

Якоби Карл Густав Якоб

(1804 – 1851)


32

Проясним геометрический смысл якобиана. Для этого, преж-де всего, найдём отношение площадей ,x ySΔ и ,u vSΔ :

( ),

,,x y

u v

SJ u v

SΔ

=Δ

.

Таким образом, модуль якобиана численно равен локальному коэф-фициенту изменения площади при переходе от одной системы коорди-нат к другой.

Кроме изменения площади, при преобразовании координат происходит поворот

векторов 1 1O M и 1 1O N , соответствующих координатным осям. Эти векторы поворачи-ваются, вообще говоря, на разные углы, следовательно, угол между ними также может изменяться. Условимся считать, что 1 1 1M O N∠ является положительным.

• Если этот угол остаётся меньшим 180 0, как показано на рис. 1.30, то говорят, что преобразование координат сохраняет ориентацию осей. При этом якобиан остаётся положительным.

• В случае, когда этот угол лежит между 0180 и 0360 , ориентация осей изменя-ется на противоположную, и якобиан отрицателен.

• В пограничных случаях, когда 1 1 1M O N∠ равен 0180 или 0360 , преобразование координат оказывается вырожденным (фигуры преобразуются в отрезки), а якобиан равен 0.

Таким образом, знак якобиана определяется ориентацией осей после преобразования координат.

Теорема 1 . 3 . ( о перемножении якобианов ) При последовательных преобразованиях координат якобианы преоб-

разований перемножаются. Утверждение теоремы непосредственно следует из геометрического смысла

якобиана. Тем не менее, приведём математическую формулировку и доказательство теоремы.

Пусть последовательно выполняются два преобразования:

• преобразование вида (1.6) ( ) ( ), , ,x X u v y Y u v= = с якобианом 1( , )J u v ;

• и преобразование вида ( ) ( ), , ,x X x y y Y x y= = с якобианом 2 ( , )J x y .

Результирующему преобразованию отвечают формулы

( ) ( )( , ), ( , ) , ( , ), ( , )x X X u v Y u v y Y X u v Y u v= = , и якобиан ( , )J u v .

Покажем, что


33

( ) ( ) ( )1 2, , ( , ), ( , )J u v J u v J X u v Y u v= ⋅ . Действительно:

( ) , , , , ,

, 0 , 0 , 0 , 0, , , , ,, lim lim lim limx y x y x y x y x y

u v u v x y u vu v x y u v x y u v

S S S S SJ u v

S S S S SΔ Δ → Δ Δ → Δ Δ → Δ Δ →

Δ Δ Δ Δ Δ= = ⋅ = ⋅ =

Δ Δ Δ Δ Δ

( ) ( )1 2, ( , ), ( , )J u v J X u v Y u v= ⋅ .

что и требовалось проверить. Аналогично проверяется соответствие знаков. После определения якобиана формула для вычисления интеграла

принимает вид ( ) ( ) ( )

'

, , ,D D

f x y dxdy F u v J u v dudv=∫∫ ∫∫ , (1.8)

где ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( , ), , , , , 'x y u vF u v f X u v Y u v D D= ⇒ .

Прим е р 1 . 1 5 . Эллиптический якобиан. Используем полученные формулы при нахождении

якобиана для псевдополярной (эллиптической) замены координат. Замена определяется формулами

{ cos , sinx a r y b rϕ ϕ= = .

Вычислим частные производные

/ cos , / sin , / sin , / cosx r a x a y r br y brϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = ∂ ∂ = ,

и составим функциональный определитель Якоби

( ) ( )2 2cos sin cos sin, cos sin

sin cos sin cosa b

J r a b r ab r ab ra r br

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅

− ⋅ ⋅ −.

Заметим, что такой же результат был получен в примере 1.13, где фактически использовалась тео-рема о перемножении якобианов.

Прим е р 1 . 1 6 . Якобиан для косоугольной системы. Ис-

пользуем формулу (1.8) для вычисления интеграла

( )D

y x dxdy−∫∫ , где 1; 3

: 1 7 1; 53 3 3

y x y xD

y x y x

= + = −⎧⎪⎨

= − + = − +⎪⎩

.

Областью интегрирования является параллелограмм, показанный на рис. 1.31; данная область является правильной. Однако при аналитическом интегрировании в де-картовой системе координат возникает необходимость разбивать эту область на три

Рисунок 1.31

u

v

x

y5

31

7

D


34

части (смотри рис. 1.31), каждая из которых будет иметь границы, описываемые одной формулой.

Чтобы избежать этого очевидного усложнения расчёта, перейдём к новым пере-менным ,u v , связанным с координатами ,x y следующими формулами

,

(1/ 3) ,

u y x

v y x

= −⎧⎪⎨

= +⎪⎩ или, что эквивалентно,

(3 / 4) (3 / 4) ,

(1/ 4) (3 / 4) .

x u v

y u v

= − +⎧⎪⎨

= +⎪⎩

Переменные ,u v образуют косоугольную систему координат, также показанную на рис. 1.31. При переходе от декартовой системы к косоугольной системе координат якобиан является константой. Вычислим его:

3 / 4 3/ 4 9 3 3 3,1/ 4 3/ 4 16 16 4 4

J J−

= = − − = − ⇒ = .

В новых координатах область интегрирования – это прямоугольник

1, 3 , 1, 3,: ':

(1/ 3) (7 / 3), (1/ 3) 5 , 7 / 3, 5.

y x y x u uD D

y x y x v v

= + = − = = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪= − + = − + = =⎩ ⎩

Упрощается и подынтегральная функция:

( , ) ( , )f x y y x F u v u= − ⇒ = .

Теперь воспользуемся формулой (1.8) и получим:

( )1 5

' 3 7 / 3

3 84D D

y x dxdy u du dv u du dv−

− = = ⋅ = −∫∫ ∫∫ ∫ ∫ .

§ 6. Тройной интеграл: определение и свойства

Пусть в пространстве задана некоторая замкнутая трёхмерная об-ласть T , ограниченная поверхностью Ω , и для всех точек области опреде-лена числовая функция трёх переменных ( ), ,w f x y z= . Устроим разбие-ние τ области T на ( )N τ малых частей – замкнутых областей iT , пересе-кающихся только по границам:

1:

N

ii

T Tτ=

=∪ , i j i jT T T T= ∂ ∂∩ ∩ при i j≠ .

Отрезок, соединяющий две точки границы iT∂ , будем именовать хордой; длину наибольшей по всем участкам iT хорды – диаметром раз-

§ 6. Тройной интеграл: определение и свойства

35

биения (обозначается diamτ ). Предполагается, что для каждой области iT может быть определен её объём, который будем обозначать iVΔ ; все объё-мы удовлетворяют очевидному неравенству

( )3diamiV τΔ ≤

и уменьшаются вместе с уменьшением диаметра разбиения. Выберем внутри каждой части iT точку ( , , )i i i iP x y z и составим инте-

гральную сумму

( )( )

1

N

i ii

f P Vτ

=

Δ∑ , (1.9)

после чего устремим diam 0τ → .

Теорема 1 . 4 . ( с уществования тройного интеграла )

Пусть функция ( ), ,w f x y z= непрерывна в области T , тогда суще-ствует указанный предел интегральной суммы (1.9), независящий от спо-соба разбиения на части и выбора точек iP внутри частей.

Этот предел обозначается символом

( )T

f P dV∫∫∫ или ( ), ,T

f x y z dxdydz∫∫∫ ,

и называется тройным интегралом функции ( ), ,f x y z по области T . Теорема существования предела интегральных сумм (1.9) доказывается анало-

гично случаю двойного интеграла и в нашем курсе используется без доказательства. Для придания данному определению геометрического смысла необходимо ис-

пользовать объекты четырёхмерного пространства, что далеко от общепринятого по-нимания наглядности. Поэтому мы ограничимся физическим смыслом этого интеграла, актуальным для решения задач механики и электротехники.

Физический смысл тройного интеграла. • Если ( ), , 0x y zρ ≥ – плотность вещества, то ( ), ,

T

x y z dxdydzρ∫∫∫ –

общая масса m вещества в области T .

• Если ( ), ,x y zλ – объёмная плотность распределения заряда в ди-

электрике, то ( ), ,T

x y z dxdydzλ∫∫∫ – суммарный заряд Q , содержащийся в

области T диэлектрика. В этом случае плотность может быть знакопеременной.


36

Перечислим основные свойства тройного интеграла, которые факти-чески повторяют свойства двойного интеграла. По этой причине мы не приводим доказательств этих свойств, а отсылаем читателя к тексту § 2 .

1. Линейность тройного интеграла .

Пусть точка 3( , , )P x y z ∈ , а функции ( ) ( )1 2,w f P w f P= = непре-рывны в замкнутой области T , , Rα β ∈ – некоторые константы. Тогда

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2T T T

f P f P dV f P dV f P dVα β α β+ = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ .

2. Аддитивность тройного интеграла . Пусть 1 2 1 2 1 2,T T T T T T T= = ∂ ∂∪ ∩ ∩ , то есть области 1 2,T T могут

пересекаться только лишь по своим границам. Тогда

( ) ( ) ( )1 2T T T

f P dV f P dV f P dV= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ .

И в случае тройного интеграла свойства линейности и аддитивности могут быть обобщены на любое конечное число суммируемых функций и объединяемых областей.

3. Оценка тройного интеграла .

Пусть для :P T∀ ∈ ( )m f P M≤ ≤ . Тогда ( )T TT

m V f P dV M V⋅ ≤ ≤ ⋅∫∫∫ ,

где TV – объём замкнутой области T . Заметим, что геометрического обоснования этого свойства, аналогичного обос-

нованию для двойного интеграла, нет. Но формальное доказательство остаётся в силе. След ствие . Тройной интеграл, вычисленный по поверхности, ли-

нии или точке, равен нулю.

4. Теорема о среднем интегральном значении функции . Пусть функция ( )w f P= непрерывна в односвязной замкнутой об-

ласти T . Тогда найдётся точка 0P T∈ , для которой выполнится равенст-во

( ) ( )01

T T

f P f P dVV

= ⋅ ∫∫∫ ,

где TV – объём замкнутой области T .

§ 7.Сведение тройного интеграла к повторному

37

Прим е р 1 . 1 7 . Трёхмерные сети. Интегральная сумма даёт при-

ближённое значение тройного интеграла, и этим результа-том приходится довольствоваться в тех случаях, когда ин-теграл не удаётся вычислить аналитически.

Для конкретного разбиения тела на элементарные участки используется жорданова сеть, образованная плоскостями, параллельными координатным плоскостям (рис. 1.32), а также сети других взаимно ортогональных поверхностей – цилиндров и плоскостей (цилиндрическая система координат, рис. 1.33), сфер, конусов и плоскостей (сферическая система координат, рис. 1.34) и ряд других, менее распространённых случаев. Выбор в пользу того или иного разбиения производится с учётом формы области ин-тегрирования, а также свойств подынтегральной функции.

Прим е р 1 . 1 8 . Лемма о «приграничном слое». Если граница об-

ласти интегрирования имеет сложную форму, то она плохо стыкуется с любой используемой сетью и при разбиении тела возникает «приграничный слой», образованный уча-стками «неправильной», то есть отличающейся от основно-го массива, формы. Для оценки объёма VΔ этого слоя мо-жет использоваться соотношение

diamTV S τ∂Δ < ⋅ , (1.10)

где TS∂ – площадь границы тела; diamτ – диаметр разбиения. В неравенстве (1.10) вместо точного значения площади TS∂ может использо-

ваться её оценка сверху, для технических приложений такая задача обычно не пред-ставляет труда.

Оценка (1.10) используется не только при приближённых вычислениях, но и для доказательства теорем, касающихся методов аналитического интегрирования; там она известна как лемма о приграничном слое.

Прим е р 1 . 1 9 . Нулевое продолжение функции. Трёхмерная замкнутая область T может быть

описана системой неравенств вида { ( , , ) 0, 1,ig x y z i n≤ ∈ , (1.11)

где ( , , )iw g x y z= – некоторая, в общем случае нели-нейная, непрерывная числовая функция.

При больших значениях n фактическое по-строение этой области (например, на дисплее ком-пьютера) может оказаться задачей более сложной, чем само вычисление тройного интеграла

( )T

f P dV∫∫∫ ,

x

y

z

xΔyΔ

zΔ

Рисунок 1.32

x

y

z

rΔ

zΔ

rΔϕ

Рисунок 1.33

Рисунок 1.34 x

y

z

sinρ θΔϕ

ρΔθ

Δρ

x

y

z

T0T

Рисунок 1.35


38

если для вычисления используется следующий приближённый метод. Поместим область T внутрь прямоугольного параллелепипеда 0T (рис. 1.35) и

рассмотрим новую подынтегральную функцию

0

( ), ,( )

0, и .f P P T

f PP T P T

∈⎡= ⎢ ∈ ∉⎣

В области 0T функция ( )w f P= не будет непрерыв-ной в точках граничной поверхности T∂ . Тем не менее, и для таких функций тройной интеграл по области 0T будет существовать, причём, что очевидно

( ) ( )0T T

f P dV f P dV=∫∫∫ ∫∫∫ .

Для вычисления левого интеграла используется пря-моугольная сеть с ячейками, пропорциональными параллелепипеду 0T . Точки iP выби-раются в центре ячеек и для их координат осуществляется проверка выполнения всех уравнений системы (1.11); в зависимости от этого определяется значение подынте-гральной функции.

Прим е р 1 . 2 0 . Методы Монте–Карло. Метод, описанный выше, для получения высокой точ-

ности требует очень большого числа N точек iP . Например, если каждое измерение параллелепипеда делится на 100 отрезков, то 1.000.000N = точек. В практических за-дачах деления на 100 отрезков может оказаться недостаточно.

Для получения эффективного расчётного метода необходимо учитывать фактор ранжирования независимых координат. Функции трёх переменных, встречающиеся в технических приложениях математики, как правило, слабо зависят от одной, а часто – и от двух своих переменных. Поэтому рядное распределение расчётных точек является наихудшим распределением среди всех возможных.

Число расчётных точек (и, соответственно, слагаемых интегральной суммы) удаётся существенно сократить, если для их выбора использовать генератор случай-ных чисел или специальные последовательности псевдослучайных чисел; в технике чаще других используется ЛП τ− последовательность, разработанная московским ма-тематиком Соболем. В честь европейского города, прославленного своими игорными домами, семейство таких методов получило название методы Монте–Карло. С под-робностями можно ознакомиться в рекомендованной литературе.

§ 7. Сведение тройного интеграла к повторному

Предположим, что замкнутая трёхмерная область T , ограниченная поверхностью T∂ , обладает следующими свойствами:

• всякая прямая, параллельная оси O z и проходящая через внутренние

Соболь Илья Меерович (родился в 1924)

§ 7.Сведение тройного интеграла к повторному

39

точки области T , пересекает её границу только в двух точках; • вся область проектируется на плоскость O xy в правильную относи-

тельно оси O y двухмерную замкнутую область D .

Такую область будем называть пра-вильной в направлении осей O y и O z . Аналогично определяется понятие облас-ти, правильной в направлении осей O x и O y , а также в направлении осей O x и O z .

Область, правильная по всем трём сочетаниям осей, называется правильной. Прим е р 1 . 2 1 .

Правильные и неправильные тела. Эллипсоид, прямоугольный параллелепипед и тетраэдр, показанные на рис. 1.36, дают примеры правильных замкнутых областей.

Очевидно, что таким же качеством будет обладать любое вы-пуклое тело.

Дадим определение выпуклого множества. Множество A точек M называется выпуклым, если вме-

сте с любыми двумя точками 1 2,M M A∈ к этому множеству будет принадлежать прямолинейный отрезок 1 2M M , соединяю-щий эти точки.

Выпуклость является частным случаем связности. Ясно, что все тела на рис. 1.36 являются выпуклыми.

Тор, показанный на рис. 1.37, даёт пример связного,

но не выпуклого множества. Тем не менее, это тело всё же является правильным.

Неправильную (в смысле данного определения!) фор-му имеет толстостенная сферическая оболочка, показанная на рис. 1.38, а также (относительно двух сочетаний осей) перфорированная пластина из примера 1.1.

Любую неправильную область, используемую в тех-нических приложениях математики, можно представить в виде объединения конечного числа правильных областей.

Пусть тело T является правильным в направлении осей O y и O z . Если зафиксировать координаты x и y , то одномерным сечением тела (рис. 1.39) будет замкнутый отрезок 1 2M M . Это означает, что поверхность

T∂ тела T будет иметь верхнюю часть с уравнением ( ),z x yψ= и ниж-нюю часть с уравнением ( ),z x yχ= .

Рисунок 1.36

x

z

y

xy

z

Рисунок 1.37

xy

z

Рисунок 1.38


40

Введем понятие трехкратного повторного интеграла вида

( )( )

( )

( )

( )в

н

,

,

, ,y x x yb

a y x x y

dx dy f x y z dzψ

χ∫ ∫ ∫ ,

где a и b – абсциссы крайних точек проекции D тела T на плоскость O xy ; н ( )y x и в ( )y x – левая и правая границы

этой проекции (рис. 1.39). Для рассматриваемого тела он

может быть составлен и вычислен в со-ответствии с правилом

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )в в

н н

, ,

, ,

, , , ,y x x y y x x yb b

a y x x y a y x x y

dx dy f x y z dz f x y z dz dy dxψ ψ

χ χ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Теорема 1 . 5 .

Тройной интеграл от функции ( ), ,f x y z по правильной области T равен трехкратному по-вторному интегралу по той же области

( ) ( )( )

( )

( )

( )в

н

,

,

, , , ,y x x yb

T a y x x y

f x y z dxdydz dx dy f x y z dzψ

χ

=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ .

Док а з а т е л ь с т в о . Разобьем T на части iT с объемами , 1,...,iV i NΔ =

путем проведения сечений, параллельных координатным плоскостям (рис. 1.40). Для тех частей, которые контак-тируют с граничной поверхностью T∂ , точки iP выберем на этой поверхности, для других частей – внутри iT .

Составим интегральную сумму ( )1

N

i ii

f P V=

Δ∑ , предел этой суммы при условии

diam 0τ → равен тройному интегралу ( )T

f P dV∫∫∫ .

Упорядочим эту сумму следующим образом

( ) ( ) ( )1 i i

N

i i i i i ii P T P T

f P V f P V f P V= ∉∂ ∈∂

Δ = Δ + Δ∑ ∑ ∑ ,

где сначала суммируются внутренние, а затем – внешние части.

1M

2M

( , )z x y= ψz

y

x

a

b

( , )z x y= χ

в ( )y y x=

н ( )y y x=D

Рисунок 1.39

z

y

x D

Рисунок 1.40

§ 7. Сведение тройного интеграла к повторному

41

Преобразуем первое слагаемое:

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )н в

,

,

, ,

, , .

i

i i ii

i i i i i i i

i i i i i i i i i i i iP T i i

z x yx b

i i i i i ia x b y x y y x z x y

f P V f P x y z f x y z x y z

x y f x y z zψ

χ

∉∂

<<

< < ≤ ≤ >

Δ = Δ Δ Δ = Δ Δ Δ =

= Δ Δ Δ

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

Эта сумма стремится к повторному интегралу.

Что касается второго слагаемого ( )i

i iP T

f P V∈∂

Δ∑ , то в соответствие с леммой о

приграничном слое (пример 1.18)

diam 0i GV S τ∂Δ ≤ ⋅ →∑ , и ( ) diam 0i

i i TP T

f P V M S τ∂∈∂

Δ ≤ ⋅ ⋅ →∑ ,

где M – наибольшее значение функции ( , , )w f x y z= в замкнутой области T .

Те о р ем а д о к а з а н а .

Замечание . Если это позволяет форма области T , можно соста-вить другой повторный интеграл с иным следованием переменных. Прим е р 1 . 2 2 .

Интеграл по пирамиде. Вычислим тройной интеграл

T

xyz dx dy dz∫∫∫ , где , , 0;

:1

x y zT

x y z=⎧

⎨ + + =⎩

– треугольная пирамида, показанная на рис. 1.41.

Р ешени е . Область интегрирования правильная. Переходим к

трехкратному повторному интегралу и вычисляем его: 1 11 1 1 1

0 0 0 0 0 0

x y x yx x

T

xyz dx dy dz dx dy xyzdz xdx ydy zdz− − − −− −

= = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )1 21 1 1 1 1 12

2 2 3

0 0 0 0 0 00

1 1 1 2 12 2 2

x yx x xy x yzxdx y dy xdx dy xdx y x y x y dy− −− − −− − ⎡ ⎤= = = − − − + =⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 41 12 3 4

2 4

0 00

1 11 2 1 21 1 12 2 3 4 2 2 3 4

xx xy y yx x x dx x x dx

− ⎡ ⎤⎡ ⎤ − −⎢ ⎥= − − − + = − − + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )1 1

4 4

0 0

1 1 1 1 1 1 1 11 124 24 24 5 6 24 30 720

x x dx t t dt ⎛ ⎞= − = − = − = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ .

x

y

z

11

1T

D

Рисунок 1.41


42

Прим е р 1 . 2 3 . Учёт и контроль. Процесс составления и вычисле-

ния трёхкратного интеграла напоминает ревизию на заво-дском складе.

В стеллаже из одинаковых по размеру ящиков (рис. 1.42) хранятся гвозди различной длины. Гвозди со склада выдаются на вес; следовательно, кладовщик отчиты-

вается за их общую массу. Во время ревизии производится взвешивание ящиков из од-ного вертикального ряда, затем эта процедура выполняется для всех таких рядов, обра-зующих горизонтальный слой, и, наконец, для всех горизонтальных слоёв. Если общий вес существенно отличается от ожидаемого, порядок «интегрирования гвоздей» изме-няется и происходит повторное контрольное взвешивание.

Прим е р 1 . 2 4 . Интеграл «два в одном». Пусть xD обозначает сечение тела T плоскостью

constx = (рис. 1.43). Трёхкратный интеграл можно записать в следующем эквивалент-ном виде:

( )( )

( )

( )

( )( )

в

н

,

,

, , , ,x

y x x yb b

a y x x y b D

dx dy f x y z dz dx f x y z dydzψ

χ

=∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ .

Польза от такой записи становится особенно наглядной, если подынтегральная функция не зависит от переменных y и z . В этом случае

( ) ( ) ( )1 ( )x x

b b b

b D b D b

dx f x dydz f x dx dydz f x S x dx= = ⋅∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ,

где ( )S x – площадь сечения xD . При преобразовании интеграла мы воспользо-

вались равенством 1 D

D

ds S=∫∫ ,

которое вытекает из геометрического смысла двойно-го интеграла.

Повторные интегралы вида «два в одном» мо-гут составляться и при другом порядке следования переменных.

§ 8. Замена переменных в тройном интеграле

Переход от декартовых прямоугольных координат к другим (как правило, кри-волинейным координатам) целесообразен в тех случаях, если в трёхкратном повторном интеграле упрощаются пределы интегрирования и/или подынтегральная функция. Оп-тимальной считается ситуация, когда после соответствующей замены повторный инте-грал преобразуется в произведение трёх определённых интегралов.

Рисунок 1.42

Рисунок 1.43

constx =

T

xDx

y

z


43

Рассмотрим общую замену переменных, определяемую формулами

( ) ( ) ( ){ , , , , , , , ,x X u v w y Y u v w z Z u v w= = = .

Здесь ,u v и w − координаты точки в новой (криволинейной) систе-ме, ,x y и z − в старой (декартовой) системе координат.

В результате указанной замены подынтегральная функция ( , , )f x y z преобразуется в функцию

( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , ,F u v w f X u v w Y u v w Z u v w= ,

и, возможно, упростится при этом. Область интегрирования T , ограниченная системой неравенств

(1.11), трансформируется в область 'T с новыми границами – поверхностями

( ), , 0iG u v w = , (1.12)

где ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , ,i iG u v w g X u v w Y u v w Z u v w= .

Замена переменных обязана упрощать описания границы тела; опти-мальным является случай, когда поверхности (1.12) совпадают с коорди-натными поверхностями

const, constu v= = или constw = , но во многих задачах добиться этого так и не удаётся.

Как и для двойного интеграла, ключевым является вопрос о преобра-зовании объёма VΔ (или его дифференциала dV ). В декартовых коорди-натах мы имели следующие равенства:

V x y zΔ = Δ ⋅Δ ⋅Δ и dV dxdy dz= ,

в криволинейных координатах будем иметь аналогичные: 'V u v wΔ = Δ ⋅Δ ⋅Δ и 'dV du dvdw= .

В результате преобразования координат происходит искажение объ-ёмов, 'dV dV≠ , и при преобразовании интеграла необходимо использо-вать соответствующий якобиан ( , , )J u v w :

( ) ( ) ( )'

, , , , , ,T T

f x y z dxdydz F u v w J u v w dudvdw= ⋅∫∫∫ ∫∫∫ .

Модуль якобиана ( , , )J u v w – это коэффициент изменения объёма:

' 0lim

'V

VJVΔ →

Δ=

Δ.


44

Для вычисления якобиана рассмотрим в системе координат

, ,u v w прямоугольный паралле-лепипед с малыми сторона-ми uΔ , ,v wΔ Δ (рис. 1.44); его объём равен 'V u v wΔ = Δ ⋅Δ ⋅Δ .

В декартовой системе ко-ординат ему отвечает тело, близ-кое по форме к призме; при уменьшении размеров параллелепипеда будут иметь место приближённые соответствия между координатами вершин, которые в пределе заменя-ются точными

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0, , , ,M u v w P x y z→ ,

( ) ( )1 0 0 0 1 0 0 0, , , ,u u uM u u v w P x X u y Y u z Z u′ ′ ′+ Δ → + Δ + Δ + Δ ,

( ) ( )2 0 0 0 2 0 0 0, , , ,v v vM u v v w P x X v y Y v z Z v′ ′ ′+ Δ → + Δ + Δ + Δ ,

( ) ( )3 0 0 0 3 0 0 0, , , ,w w wM u v w w P x X w y Y w z Z w′ ′ ′+ Δ → + Δ + Δ + Δ .

Для вычисления объёма призмы образуем векторы

{ }0 1 , ,u u uP P X u Y u Z u′ ′ ′= Δ Δ Δ , { }0 2 , ,v v vP P X v Y v Z v′ ′ ′= Δ Δ Δ , { }0 3 , ,w w wP P X w Y w Z w′ ′ ′= Δ Δ Δ ,

и составим их смешанное произведение

( )0 1 0 2 0 3, ,u u u u u u

v v v v v v

w w w w w w

X u Y u Z u X Y ZP P P P P P X v Y v Z v u v w X Y Z

X w Y w Z w X Y Z

′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ Δ′ ′ ′ ′ ′ ′= Δ Δ Δ = Δ Δ Δ′ ′ ′ ′ ′ ′Δ Δ Δ

.

Известно, что модуль этого произведения равен объёму VΔ призмы. Обозначим

( ), , detu u u

v v v

w w w

X Y ZJ u v w X Y Z

X Y Z

′ ′ ′⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′ ′= ⎢ ⎥⎢ ⎥′ ′ ′⎣ ⎦

. (1.13)

Тогда

( , , )V J u v w u v wΔ = ⋅Δ ⋅Δ ⋅Δ и ' 0

lim'V

V JVΔ →

Δ=

Δ,

что и требовалось показать. Следовательно, функциональный определитель (1.13) является яко-

бианом для замены переменных в трёхмерном пространстве.

Знак якобиана зависит от того, какую тройку образуют векторы 0 1P P ,

0 2P P и 0 3P P – правую или левую.

0M

1M2M

3M

uΔvΔ

wΔ

vu

w

⇒0P

1P

2P

3Px y

z

Рисунок 1.44


45

При двух (и более) последовательных преобразованиях координат справедлива теорема о перемножении якобианов; формулировка и дока-зательство аналогичны приведенным в §4 для двойных интегралов.

Найдём якобианы для важных частных случаев.

• Цилиндрическая система координат , ,r zϕ определяется форму-лами (рис. 1.45)

{ cos , sin ,x r y r z zϕ ϕ= = = .

Вычислим частные производные:

cos , sin , 0, sin , cos ,X Y Z X Yr rr r r

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0, 0, 0, 1Z X Y Zz z zϕ

∂ ∂ ∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂,

после чего составим и вычислим якобиан:

( )cos sin 0

, , sin cos 00 0 1

J r z r r rϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ= − = .

Якобиан совпал с якобианом полярной системы координат J r= ; дифференциал объёма преобразуется по формуле

dx dy dz r dr d dzϕ= .

Формулу для якобиана можно получить и другим способом, используя указан-ные на рис. 1.33 размеры элементарной ячейки.

Цилиндрическая система является тривиальным продолжением полярной систе-мы с плоскости в трёхмерное пространство. Систему целесообразно использовать в случаях, когда граница тела содержит цилиндрические поверхности и / или преобразо-ванная подынтегральная функция распадается в произведение функций от отдельных координат, то есть

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, ,F r z F r F F zϕ ϕ= ⋅ ⋅ .

Кроме системы , ,r zϕ для вычисления тройных интегралов могут использоваться системы цилиндрических координат , ,r yϕ или , ,r xϕ .

Прим е р 1 . 2 5 . Тройной интеграл по симметричной области. Симмет-

рия области интегрирования относительно координатных плоско-стей и соответствующая ей чётность (или нечётность) подынте-гральной функции позволяют существенно упростить вычисление

ϕ rz

M

'Mxy

z

Рисунок 1.45

xy

z

D

T

Рисунок 1.46


46

интегралов. В качестве примера, подтверждающего этот тезис, вычислим

( )2

T

x y z dx dy dz+ +∫∫∫ , где 2 21 4,:

0 2x yT

z⎧ ≤ + ≤⎪⎨

≤ ≤⎪⎩

– часть цилиндрической трубы, показанная на рис. 1.46. Раскроем скобки в подынтегральной функции и представим исходный интеграл

в виде суммы трёх интегралов

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2T T T T

x y z dxdydz x y dxdydz z dxdydz xy yz xz dxdydz+ + = + + + ⋅ + +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ .

Функция, стоящая под знаком третьего интеграла, состоит из трёх нечетных сла-гаемых

( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )x y x y y z y z x z x z− ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ,

поэтому соответствующий интеграл равен 0. Второй интеграл легко вычисляется в декартовой системе координат

( )22 2 3

2 2 2 2 2

0 0 0

81 2 1 83 3D

T D D

zz dxdydz dz z dxdy z dz dxdy S π π= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ − =∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ .

В первом интеграле целесообразно выполнить переход к цилиндрическим коор-динатам, после чего он распадётся в произведение определённых интегралов

( )2 2 2

2 2 2

0 0 12 2 2

cos , 0 2 ,sin , ' : 1 2,

, 0 2,

;T

x ry r T T r

x y dxdydz d dz r r drz z z

dxdydz rdrd dz x y r

π

ϕ ϕ πϕ

ϕ

ϕ

⎧ = ⋅ ≤ <⎧⎪ ⎪= ⋅ ⇒ ≤ ≤⎨ ⎨

+ = = ⋅ =⎪ ⎪= ≤ ≤⎩⎩

= + =

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

22 2 2 42 230 0

0 0 1 1

152 2 154 4rd dz r dr z

ππϕ ϕ π π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ .

Следовательно ( )2 15 8 0 23

T

x y z dxdydz π π π+ + = + + =∫∫∫ .

• Псевдоцилиндрическая система координат

{ cos , sin ,x ar y br z zϕ ϕ= = = ,

является трёхмерным аналогом плоской псевдополярной системы и име-ет тот же якобиан

J a b r= ⋅ ⋅ . Такая система применяется для интегрирования по телу эллиптического ци-

линдра (или его части).


47

• Сферической системе координат отвечают формулы (рис. 1.47)

{ cos sin , sin sin , cosx y zρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ θ= = = ,

где ρ – длина радиус-вектора OM ; ϕ – азимутальный угол, [0; 2 )ϕ π∈ ; θ – угол склонения, [ ]0,θ π∈ .

Найдём частные производные, составим и вычислим функциональный опреде-литель Якоби

2cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos

sin sin cos sin 0 sin sin cos 0cos cos sin cos sin cos cos sin cos sin

Jϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ θ

ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ θ ϕ ϕρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ θ ϕ θ ϕ θ θ

= − = − =− −

( ) [ ]2 2 2 2 2 2sin cos sin cos cos cos sin sin 1 sinρ θ θ ϕ θ ϕ θ θ ρ θ ρ θ⎡ ⎤= − − − = ⋅ − = −⎣ ⎦ .

Следовательно, 2( , , ) sinJ ρ ϕ θ ρ θ= ⋅ , и дифференциал объёма опре-деляется формулой

2 sindxdydz d d dρ θ ρ ϕ θ= ⋅ .

Заметим, что для вычисления якобиана сферической сис-темы координат можно воспользоваться рис. 1.34, где указаны размеры элементарной ячейки.

При стремлении 0θ→ и θ→ π азимутальный размер и объём ячейки уменьшаются до нуля; объяснение этому можно найти в курсе географии: с приближением к полюсам Земли длина всей параллели и её дугового градуса стремятся к нулю.

Сферическую замену целесообразно использовать в слу-чаях, когда граница тела содержит сферические поверхности и / или преобразованная подынтегральная функция распадается в произведение функций от отдельных координат, то есть

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, ,F F F Fρ ϕ θ ρ ϕ θ= ⋅ ⋅ .

• Эллиптическая система координат определяется формулами

{ cos sin , sin sin , cosx a y b z cρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ θ= = = ,

и применяется в тех случаях, когда граница тела содержит эллипсоид с центром в начале координат и полуосями , ,a b c .

Якобиан для такой замены находим как произведение якобиана сферической системы координат и якобиана для растяжения (сжатия) пространства в соответствии с формулами

{ 1 1 1, ,x a x y b y z c z= ⋅ = ⋅ = ⋅ .

Получаем формулы для модуля якобиана и дифференциала объёма:

Рисунок 1.47

ϕ

M

'Mxy

z

θρ

O


48

2 sinJ a b c ρ θ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , 2 sindxdydz a b c d d dρ θ ρ ϕ θ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Прим е р 1 . 2 6 Объём эллипсоида. Найдём объем эллипсоида (рис. 1.48)

{ 2 2 2: / 4 / 9 /16 1T x y z+ + ≤ .

Такую задачу обычно решают при использовании опреде-лённого интеграла и метода параллельных сечений, но указанный метод решения не является простым.

Составим тройной интеграл от функции ( ), , 1f x y z =

T

dxdydz∫∫∫ ,

величина такого интеграла равняется объёму тела T . Перейдём к эллиптической системе координат

{ 2 22 cos sin , 3 sin sin , 4 cos , 2 3 4 sin 24 sinx y z dxdydzρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ θ ρ θ ρ θ= = = = ⋅ ⋅ ⋅ = .

В результате происходит трансформация эллиптической области интегрирова-ния в прямоугольный параллелепипед

{' : 0 2 , 0 , 0 1T T ϕ π θ π ρ⇒ ≤ < ≤ ≤ ≤ ≤ ,

что существенно упрощает процесс составления и вычисления повторного интеграла:

( )

2 1 2 12 2

0 0 0 0 0 013

00

24 sin 24 sin

24 2 cos 2 2 8 32 .3

T

dxdydz d d d d d dπ π π π

π

ϕ θ ρ θ ρ ϕ θ θ ρ ρ

ρπ θ π π

= = ⋅ ⋅ =

= ⋅ − = ⋅ ⋅ =

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ключевым моментом решения стало представление трёхкратного интеграла в виде произведения трёх определённых интегралов.

Решение при помощи тройного интеграла оказалось достаточно простым, что объясняется использованием предварительной «теоретической заготовки» – якобиана.

Прим е р 1 . 2 7 . «Гуттаперчевый якобиан». Если область интегрирования не обладает соответ-

ствующей симметрией, то переход к цилиндрическим, сферическим или эллиптическим координатам нецелесообразен, и нужно искать другую замену переменных. Для боль-шинства задач из технических приложений удаётся подобрать такую систему коорди-нат, в которых область интегрирования и подынтегральная функция описываются наи-более просто. Часто существование этой системы вытекает из физической сущности анализируемого объекта; такие системы криволинейных координат называются есте-ственными.

В технической гидромеханике применяется система, координатные линии кото-рой совпадают с траекториями движения жидкости по трубе переменного сечения (рис. 1.49).

xy

zT

Рисунок 1.48


49

При расчёте электромагнита «руслом» для «течения» вектора магнитной индукции считается магнитопровод, а в качестве координатных линий используются силовые линии магнитного поля.

При решении задач упругости удобно рас-сматривать систему координат, деформируемую вместе с твёрдым телом. Предположим, что для не-деформированного прямого стержня мы использо-

вали цилиндрическую систему координат, которая наилучшим образом согласуется с формой этого тела. В результате изгиба стержень становится криволинейным, а коор-динатные линии («вмороженные в стержень») приобретают дополнительную кривизну и кручение (рис. 1.50).

Если ограничиться продольным сжатием стержня, то и при таком деформирова-нии изменяется объём элементарных ячеек и якобиан.

Пусть при сжатии длина стержня уменьшается в k раз ( 1k > ), тогда диаметр увеличится в

1 ( 1)kμ+ ⋅ − ,

раз, а объём изменится в

( ) 31 1 2 ( 1)kδ μ≈ − − ⋅ −

раз, где μ − так называемый коэффициент Пуассона для материала стержня.

Сталь имеет коэффициент 0.27μ ≈ ; поэтому якоби-ан деформированной цилиндрической системы составляет

( )31 0.46 ( 1)k r− ⋅ − ⋅ .

Якобиан не изменится, если коэффициент μ будет равен 0.5. Однако твёрдых материалов с коэффициентом

0.5μ ≥ в природе не встречается: такой материал неогра-ниченно растекался бы под действием собственного веса.

Резина, получаемая из лучших сортов натурального каучука, имеет коэффициент Пуассона 0.47μ > , и для неё изменение формы практически не влияет на объёмную плотность (то есть, изменением объёма элементарных ячеек

и якобиана деформированной цилиндрической системы координат при решении инже-нерных задач допустимо пренебрегать).

Рисунок 1.50

Рисунок 1.49

Пуассон Симеон Денни (1781 – 1840)

Глава 2. Криволинейные и поверхностные интегралы

50


При определении двойного или тройного интеграла мы не вносили дополни-тельных ограничений на форму области интегрирования. Правда при доказательстве теоремы о переходе от тройного к повторному интегралу использовалось существова-ние площади у границы тела и ограниченность этой площади. В аналогичной теореме для двойного интеграла использовался метод интегрирования площадей параллельных сечений, обоснование которого немедленно потребует существования длины у границы области и ограниченность этой длины. Тем не менее, мы намеренно не акцентировали внимания на этих вопросах, поскольку для задач из технических приложений они не актуальны; кроме того, мы не были готовы давать ответы, понятные читателю.

При определении криволинейных и поверхностных интегралов ситуация изме-няется, и этому есть простое объяснение. Предположим, мы выполнили разбиение замкнутой криволинейной области на малые части, но чему равна длина lΔ (или пло-щадь Δσ ) каждой такой части? И всегда ли (то есть для любой криволинейной области) понятия длины или площади могут быть определены? Согласитесь, что не получив от-ветов на эти вопросы составлять интегральную сумму, пределом которой должен стать соответствующий интеграл, нельзя.

У затронутой проблемы есть ещё один аспект. Предположим, мы знаем, чему равна длина lΔ (площадь Δσ или объём VΔ ) каждой малой части замкнутой области, и эта область, согласно её определению, ограниченна в пространстве (то есть, располо-жена внутри шара, имеющего конечный радиус). Означает ли это, что общая длина (площадь, объём) данной области является конечной, а не бесконечной, величиной? Нет, не означает, поскольку криволинейный континуум бесконечной длины (или пло-щади) может быть «упакован» внутрь конечного шара, и утверждение об ограниченно-сти безоговорочно выполняется только для объёмов тел, площадей плоских фигур и длин прямолинейных отрезков.

Поэтому мы начинаем изложение теории криволинейных интегралов с понятия спрямляемой кривой, а также метода нахождения длины дуги и её дифференциала.

§ 9. Спрямляемые кривые

Пусть замкнутая одномерная область (дуга

1 2M M ), лежащая на кривой L (рис. 2.1), описывает-ся параметрическими уравнениями

( ) ( ){ ( ) [ ], , , ,x X t y Y t z Z t t α β= = = ∈ .

Выполним разбиение τ этой области на кри-волинейные отрезки 1i iK K− точками iK

1 0,M K

2 , NM K

L

1K

1NK −

x y

z

Рисунок 2.1


51

{ }0 1 1 2: , ,..., NK M K K Mτ = = .

Диаметром разбиения назовём максимальную длину прямолиней-ного отрезка, соединяющего соседние точки; 1diam max i ii

K Kτ −= .

Совокупность прямолинейных отрезков образует ломаную линию, также показанную на рис. 2.1. Вычислим длину Nl этой ломанной:

11 1

N N

N i i ii i

l K K l−= =

= = Δ∑ ∑ .

Если при условии diam 0τ → существует lim Nl l= , то кривая L на-

зывается спрямляемой на своей дуге 1 2M M , а число l называется длиной этой дуги, что обозначается так:

1 2M M

l dl= ∫ ,

где dl – дифференциал длины дуги.

Кривая L называется спрямляемой, если она оказывается спрямляе-мой на любой своей дуге.

Теорема 2 . 1 . Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

( ) ( ){ ( ) [ ], , , ,x X t y Y t z Z t t α β= = = ∈ ,

и производные ( ) ( ) ( ), ,X t Y t Z t′ ′ ′ – кусочно-непрерывны на промежутке [ ],α β . Тогда:

• кривая L является спрямляемой; • дифференциал dl длины дуги определяется равенством

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2'( ) '( ) '( )dl dl t X t Y t Z t dt= = + + ,

• длина l кривой L вычисляется по формуле ( )l dl tβ

α

= ∫ .

Аналогичный результат для плоской кривой был получен как приложение опре-делённого интеграла, поэтому в особом доказательстве эта теорема не нуждается.

Напомним, что для плоской кривой было получено три формулы для дифферен-циала длины дуги:

• при параметрическом задании


52

( ) ( ) ( )2 2( )'( ) '( )

( )x X t

dl dl t X t Y t dty Y t=⎧

⇒ = = +⎨ =⎩;

• при явном задании ( ) ( ) ( )21y f x dl dl x f dx′= ⇒ = = + ;

• при задании в полярной системе координат

( ) ( ) ( )22r r dl dl r r dϕ ϕ ϕ′= ⇒ = = + .

В случае неплоской кривой аналогов явному или полярному описанию нет.

Прим е р 2 . 1 . Длина конической спирали. Один виток такой спирали

(рис. 2.2) описывается параметрическими уравнениями

{ cos , sin ,x at t y at t z bt= = = , [ ]0, 2t π∈ .

Суммируя квадраты координат 2

2 2 2 2 22

ax y a t zb

+ = = ,

убеждаемся, что точки этой спирали лежат на поверхности конуса.

Вычислим производные и составим дифференциал длины дуги:

cos sin ; sin cos ;x a t at t y a t at t z b′ ′ ′= − = + = ,

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2x y z a a t b′ ′ ′+ + = + + , ( ) 2 2 2 2dl t a b a t dt= + + .

Теперь можно найти длину спирали

2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 20 0 0

1 / k tl a b a t dt b a k a k t dt a dtk t

π π π += + + = + = = + = =

+∫ ∫ ∫

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 00 0

lndta k a t d k t a k t k tk t

π π π⎡ ⎤= ⋅ + + = ⋅ ⋅ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦+

∫ ∫

( ) ( )2222 22 2 2 2 2 2

0 0

2 2ln 2 2

ka t k t k t dt a k a k l

k

ππ π ππ π

⎡ ⎤⎡ ⎤ + +⎢ ⎥+ + − + = ⋅ ⋅ + ⋅ + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( )22

22 22 2ln 2

2ka k a k

kπ π

π π⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

При вычислении интеграла было получено и решено линейное уравнение для искомой величины l .

x y

z

Рисунок 2.2


53

Прим е р 2 . 2 . Трёхгранник Френе. Если кривая удовлетворяет условиям теоремы, то она явля-

ется кусочно-гладкой и почти во всех её точках 0M (рис. 2.3) можно провести каса-тельную прямую; направляющий вектор τ этой прямой имеет вид

{ }'( ) , '( ) , '( ) '( )X t Y t Z t tτ ρ= = ,

где { }( ) ( ) , ( ) , ( )t X t Y t Z tρ = – радиус-вектор этой точки, или векторная функция скалярного аргумента t .

В точках 0M непрерывности второй производной

( ) ( ) ( ){ }''( ) '' , '' , ''t X t Y t Z tρ = ,

кроме касательной прямой удаётся провести касательную ок-ружность (рис. 2.3); радиус этой окружности называется радиу-

сом кривизны, а его обратная величина – кривизной кривой в данной точке. Вдоль ра-диуса кривизны направлена главная нормаль a , а перпендикулярно этой нормали и касательному вектору τ – бинормаль b . Вектора τ , a и b образуют правую тройку и направлены вдоль рёбер трёхгранника Френе.

Если кривая лежит на плоскости (не обязательно координатной!), то во всех её точках бинормаль парал-лельна нормали плоскости; такая кривая называется плоской.

Если кривая лежит на криволинейной поверхно-сти Ω , то её бинормаль параллельна нормали к поверх-ности, и при движении точки по кривой может проис-ходить вращение бинормали (и трёхгранника Френе) вокруг касательного вектора (рис. 2.4). Такое вращение называется кручением; кривая, имеющая кручение, является неплоской.

Числовая характеристика кручения может быть вычислена в тех точках 0M , где существуют третья производная '''( )tρ ; формулы для кривизны и кручения приведены в справочниках по высшей математике, а также в учебнике [4].

Прим е р 2 . 3 . Что означает термин «спрямляемая»?

Ломанную, состоящую из прямолинейных отрез-ков, несложно выпрямить; для этого мысленно установим в точках стыка отрезков сферические шарниры и развернём все звенья параллельно не-которому вектору (например, параллельно орту i оси O x ). При этом общая длина ломанной бу-

дет равна длине отрезка AB , показанного на рис. 2.5. Если кривая L спрямляемая, то при неограниченном измельчении звеньев ломаной линии (и неограниченном увеличе-нии числа шарниров) существует предел длин отрезков AB , равный некоторому конеч-ному числу. Более того, это утверждение справедливо для любой части кривой L .

В древности существовал только один метод измерения длины кривой линии –

τa

b

x y

z

0M

Рисунок 2.3

,n b

0Mττ

Ω

,n b

1M

x y

z

Рисунок 2.4

A B

1K 2K 3K

1 'K 2 'K 3 'Kxy

z

Рисунок 2.5


54

вдоль кривой протягивалась (в плоском случае – прокладывалась) бечевка, на бечёвке отмечались крайние точки, затем она вытягивалась в прямую линию, и измерялось рас-стояние между отмеченными точками. Любая кривая, подвергнутая такой грубой (вар-варской) процедуре измерения, автоматически становилась спрямляемой.

Прим е р 2 . 4 . Длины плоских спиралей. Логарифмическая и гиперболическая спирали имеют

полярные уравнения

, 0ar e aϕ− ⋅= > и 1rϕ

= ,

при стремлении угла ϕ → +∞ обе спирали «наматываются» на точку O начала координат. Определим, чему равна длина этих линий для значений угла ϕ π≥ .

Для логарифмической спирали (рис. 2.6)

( )22 2 2 2( ) ( ) '( ) ( ) 1a a adl r r d e a e d a e dϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− ⋅ − ⋅ − ⋅= + = + − ⋅ = + ⋅ ,

и длина l указанной дуги представляется несобственным интегралом

21 al a e dϕ

π

ϕ+∞

− ⋅= + ⋅∫ .

Данный интеграл является сходящимся и легко вычисляется

( )2 2

2 1 11 lim lim

Ra a a R a

R R

a al a e d e e e

a aϕ π π

π

ϕ− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

→+∞ →+∞

+ += + ⋅ = ⋅ − = ⋅∫ .

Несмотря на неограниченное число оборотов, вокруг начала координат длина логарифмической спирали оказалась конечной; если дополнить эту дугу предельной точкой O мы получим замкнутую одномерную спрямляемую область конечной длины.

Для гиперболической спирали (рис. 2.7)

( )2 2

222 2 2

11 1( ) ( ) '( )dl r r d d dϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

⎛ ⎞ += + = + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠,

и длина l указанной дуги представляется несобственным ин-тегралом

2

21

l dπ

ϕϕ

ϕ

+∞ += ∫ .

При стремлении угла ϕ → +∞ подынтегральная функция 2 21 /y ϕ ϕ= + экви-валентна бесконечно малой величине 1/y ϕ= , а интеграл

1 dπ

ϕϕ

+∞

∫ ,

x

yO

Рисунок 2.6

x

y

Рисунок 2.7


55

расходится. Следовательно, по признаку сравнения в предельной форме, анализируемый не-

собственный интеграл также расходится, а длина l равняется бесконечности. Различие между полученными результатами объясняется просто:

• длина радиуса - вектора гиперболической спирали убывает медленно (со скоро-стью 1/ϕ ), расстояние между соседними витками убывает недостаточно быстро (как

21/ϕ ), спираль имеет плотную навивку, что приводит к бесконечной длине дуги;

• длина радиуса - вектора и расстояние между витками логарифмической спирали убывают по экспоненциальному закону, навивка не плотная, что обеспечивает конеч-ность длины дуги.

Прим е р 2 . 5 . Натуральный параметр кривой. На примере логарифмической спирали можно

объяснить преимущества и недостатки выбора конкретной параметризации кривой. Полярное уравнение спирали имеет достаточно простой вид, позволяющий, в частно-сти, легко находить дифференциал длины дуги. Однако дуге конечной длины соответ-ствует неограниченный интервал изменения параметра ϕ , что не всегда удобно.

Данный недостаток преодолевается путём перехода к натуральной параметри-зации кривой. В качестве параметра выбирается длина дуги, отсчитываемая от некото-рой фиксированной точки кривой.

Например, для логарифмической спирали в качестве фиксированной точки удобно выбрать точку O начала координат, ей соответствует значение ϕ = +∞ ; произ-

вольной точке 0M этой спирали отвечает угол 0ϕ < ∞ . Тогда длина l дуги 0OM вы-числяется посредством несобственного интеграла

0

0

22 1

1 aa al a e d e

aϕϕ

ϕ

ϕ+∞

− ⋅− ⋅ += + ⋅ = ⋅∫ .

Следовательно, 00 21

a ar e la

ϕ− ⋅= = ⋅+

и 2

011 ln

aa a l

ϕ⎛ ⎞+⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

.

В этих уравнениях длина дуги l играет роль параметра. От полярных координат 0 0,r ϕ точки 0M при необходимости можно перейти к

декартовым координатам. Заметим, что попутно был получен любопытный результат: длина радиус-вектора пропорциональна длине дуги логарифмической спирали.

§ 10. Интеграл по длине дуги

Переходим к определению криволинейного интеграла. Пусть 1 2M M – замкнутый отрезок (дуга) спрямляемой кривой L , а ( ) ( ), ,w f x y z f P= = числовая функция, заданная в области T , содержа-


56

щей кривую L внутри себя. Выполним разбиение τ дуги 1 2M M на кри-

волинейные отрезки 1i iK K + (рис. 2.8), длину соот-ветствующего отрезка обозначим ilΔ ; максималь-ную длину отрёзка назовём диаметром разбиения diamτ .

Внутри каждого отрезка выберем по одной точке 1i i iP K K−∈ и составим интегральную сумму

( )( )

1

N

i ii

f P lτ

=Δ∑ . (2.1)

Далее устремляем diam 0τ → , а число ( )N τ →∞ ; соответствующий предельный переход в интегральной сумме регулируется теоремой суще-ствования криволинейного интеграла по длине дуги, которая принимает-ся без доказательства.

Теорема 2 . 2 .

Если функция ( ), ,f x y z – непрерывна в области T , а кривая L T⊆ – спрямляемая, то существует предел интегральной суммы (2.1) при стремлении diam 0τ → , причём этот предел не зависит от характера разбиения и выбора точек iP .

Данный предел называется криволинейным интегралом первого ро-да (по длине дуги) и обозначается следующим образом

( )1 2M M

f P dl∫ или ( )1 2

, ,M M

f x y z dl∫ .

Если дуга 1 2M M совпадает со всей кривой L , используются обозна-чения

( )L

f P dl∫ или ( ), ,L

f x y z dl∫ .

Замечание . Область T определения подынтегральной функции ( )w f P= в одних задачах может быть трёхмерной (и эта функция называ-

ется координатной), но в других она совпадает с кривой L (и функция на-зывается параметрической). Для существования криволинейного инте-грала достаточно, чтобы зависимость ( )w f P= была непрерывной или ку-сочно-непрерывной функцией от натурального параметра кривой.

1M

2M

L

1K

x y

z

1P

2P3P

2K

3K

Рисунок 2.8


57

Геометрический смысл такому интегралу удаётся дать в случае плоской кривой (см. пример 2.6). Определим его физический смысл для случаев координатной и параметрической функции.

• Пусть ( )f P – координатная функция, определяющая так называемый момент точки ( , , )P x y z , имеющей единичную массу.

Например, функция ( , , )f x y z x= определяет статический момент точки P отно-сительно координатной плоскости O yz ; функция 2 2( , , )f x y z x y= + определяет мо-мент инерции относительно оси O z , и тому подобное.

Кроме того, примем, что линия L является осью тонкого криволинейного стерж-ня, имеющего постоянную погонную плотность, равную 1.

Тогда интеграл ( )L

f P dl∫ численно равен моменту этого стержня.

• Пусть ( )f P – параметрическая функция, определяющая изменение погонной плотности массы (или заряда) вдоль тонкого криволинейного стержня с осью L .

Тогда интеграл ( )L

f P dl∫ численно равен массе (заряду) стержня.

Заметим, что в теории поля и комплексном анализе используются также и криволинейные интегралы второго рода (по координатам); в дан-ной главе такие интегралы не рассматриваются. Прим е р 2 . 6 .

Неплоская криволинейная трапеция. Для придания геометрического смысла определённому интегралу

( )b

af x dx∫ ,

используется плоская фигура, именуемая криволинейной трапецией; величина интегра-ла равняется площади трапеции. Обобщением этого результата на случай интеграла

( )1 2M M

f P dl∫ ,

является криволинейная область, показанная на рис. 2.9. От-резки бинормалей имеют длину, равную значению подынте-гральной функции в данной точке кривой, а площадь этой неплоской (цилиндрической) криволинейной трапеции рав-няется величине интеграла.

К сожалению, если дуга 1 2M M не плоская, то из–за вра-щения бинормали вокруг касательной равенство между площа-дью трапеции и интегралом не соблюдается.

Перечислим основные свойства криволинейного интеграла первого

рода (по длине дуги). Обоснование свойств проводится на основе предель-

Рисунок 2.9

L

x y

z

1M

2M


58

ного перехода в интегральных суммах и аналогично приведенному доказа-тельству для двойного и тройного интеграла.

1. Линейность криволинейного интеграла. Пусть точка 3( , , )P x y z ∈ , а функции ( ) ( )1 2,w f P w f P= = непре-

рывны в области T ; L – спрямляемая кривая, L T⊆ ; , Rα β ∈ – некото-рые константы. Тогда

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2L L L

f P f P dl f P dl f P dlα β α β+ = +∫ ∫ ∫ .

2. Аддитивность криволинейного интеграла. Пусть L – спрямляемая кривая и 1 2L L L= ∪ , где 1 2 1 2L L L L= ∂ ∂∩ ∩ .

Тогда ( ) ( ) ( )

1 2L L L

f P dl f P dl f P dl= +∫ ∫ ∫ .

Свойства линейности и аддитивности могут быть обобщены на любое число суммируемых функций и объединяемых областей.

3. Оценка криволинейного интеграла. Пусть для :P L∀ ∈ ( )m f P M≤ ≤ . Тогда

( )L

m l f P dl M l⋅ ≤ ≤ ⋅∫ ,

где l – длина кривой L .

След ствие . Если кривая L сжимается в точку, то криволиней-ный интеграл стремится к нулю.

4. Теорема о среднем интегральном значении функции. Пусть функция ( )w f P= непрерывна в области T , а спрямляемая

кривая L T⊆ имеет конечную длину l и является односвязной. Тогда най-дётся точка 0P L∈ , для которой выполнится равенство

( ) ( )01

L

f P f P d ll

= ⋅ ∫ .

Правая часть этого равенства называется средним интегральным значением функции ( )f P для кривой L .

Криволинейный интеграл первого рода обладает дополнительным свойством, отличающимся от соответствующего свойства определённого интеграла Римана. Дуга

1 2M M , как и отрезок [ ],a b , имеет направление; определённый интеграл зависел от вы-бора направления интегрирования, а криволинейный – не зависит.


59

5. Инвариантность относительно направления интегрирования:

( ) ( )1 2 2 1M M M M

f P dl f P dl=∫ ∫ .

Обоснованием этого свойства служит неравенство 0L

dl ≥∫ .

При вычислении криволинейный интеграл сводится к определённому; это свой-ство необходимо учитывать при расстановке пределов в определённом интеграле.

Метод вычисления криволинейного интеграла

После параметризации кривой L и подынтегральной функции ( )f P

( )( )( )

[ ],

: , ,,

x X tL y Y t t

z Z tα β

=⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

, ( ) ( ), , ( ( ), ( ), ( ))f x y z f X t Y t Z t F t= =

криволинейный интеграл по длине дуги преобразуется в определённый ин-теграл по параметру t

( ) ( ) ( )L

f P dl F t dl tβ

α

=∫ ∫ ,

который вычисляется известными аналитическими (или приближёнными) методами. Прим е р 2 . 7 .

Интегрирование по периметру прямоугольника. Вычислить L

xy dl∫ по кривой

L , являющейся границей прямоугольника (рис. 2.10)

{ ( ) ( ) ( ) ( ): 0,0 4,0 4, 2 0, 2L A B C D A→ → → → .

Р ешени е . Замкнутый контур L представим в виде объедине-

ния четырёх отрезков iL (рис. 2.10). Воспользуемся свойством аддитивности интеграла:

1 2 3 4L L L L L

xydl xydl⎛ ⎞⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

и вычислим каждый из четырёх интегралов:

на 1

1 : 0 0 0L

L y xy xydx= ⇒ = ⇒ =∫ ; на 4

4 : 0 0 0L

L x xy xydx= ⇒ = ⇒ =∫ ,

A B

CD

1L2L

3L

4L

x

y

4

2

0Рисунок 2.10


60

на 2

222

20 0

: : 0 2; 4 4 2 8L

L y x dl dy xydx ydy y→ = ⇒ = ⇒ = = =∫ ∫ ,

на 3

442

30 0

: : 0 4; 2 2 16L

L x y dl dx xydx xdx x→ = ⇒ = ⇒ = = =∫ ∫ .

Отв е т : 0 8 16 0 24L

xydl = + + + =∫ .

Прим е р 2 . 8 . Момент инерции цилиндрической спирали. Один виток

винтовой линии, показанный на рис. 2.11, описывается парамет-рическими уравнениями

{ [ ]: cos , sin , , 0, 2L x a t y a t z b t t π= = = ∈ ,

и по условию задачи имеет единичную погонную плотность. То-гда момент инерции этой кривой относительно оси Oz равен интегралу

( )2 2

L

x y dl+∫ .

Для вычисления интеграла найдём производные и дифференциал длины дуги:

' sin , ' cos , 'X a t Y a t Z b= − = = , 2 2dl a b dt= + ,

а также параметрическое представление подынтегральной функции: 2 2 2x y a+ = .

После такой подготовки интегрирование не требует большого труда:

( )2

2 2 2 2 2 2 2 2

0

2L

x y dl a a b dt a a bπ

π+ = + = +∫ ∫ .

Прим е р 2 . 9 . Якобиан криволинейного интеграла. Параметризация криволинейного интегра-

ла по существу является заменой переменной, при которой выполняется переход от на-туральной координаты l к более удобной для интегрирования координате t . При этом криволинейная область интегрирования L заменяется прямолинейным отрезком [ , ]α β .

Отношение дифференциалов dl и dt является модулем соответствующего яко-биана ( )J t , а знак якобиана при выполнении условия β α> всегда положительный. Для неплоской кривой, заданной параметрически,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2'( ) '( ) '( )J t X t Y t Z t= + + .

Прим е р 2 . 1 0 . Несобственный криволинейный интеграл. Найдём момент инерции однород-

ной гиперболической спирали (рис. 2.12)

Рисунок 2.11 x

y

z

a

2 bπL


61

{ 1: ,L r ϕ πϕ

= ≥ ,

относительно оси O z . Эта величина вычисляется посредством криволинейного

интеграла

( )2 2

L

x y dl+∫ ,

но спираль имеет неограниченную длину (см. пример 2.4), поэтому непосредственное обращение к данному интегралу не является корректным.

Неограниченность длины дуги 1 2M M возникает при стремлении точки 2M к точке O начала координат, чему отвечает 2ϕ → +∞ . Поэтому для вычисления момента мы поступим таким же образом, как поступали при вычислении несобственных инте-гралов первого рода. Составим и вычислим криволинейный интеграл по дуге конечной длины:

( ) ( ) 2

1 2

2 2 222 2

42 2 2 2

( ) 1 / ; : 1

1/M M

dl dl dx y dl d

x y r

ϕ

π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕϕ

ϕϕ

= = + → ++ = = =

+ = =∫ ∫

2arctg 42

3 42 arctg

2

tg ; coscoscos sin

1 1/ cos ; : arctg arctg

dtt dt d

t t

ϕ

π

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ π ϕ

= == = =

⋅+ = →

∫

( )( ) ( )

22 arctgarctg

4 3 3 32arctg arctg

sin 1 1 1/ 3 1/ 33sin sin sin arctg sin arctg

dd

ϕϕ

π π

ϕϕ

ϕ ϕ π ϕ= = − ⋅ = −∫ .

Составим и вычислим предел полученного выражения при 2ϕ → +∞

( ) ( )( )

( ) ( )23 3 3 3

2

1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3lim arctg2sin arctg sin arctg sin arctg sin / 2ϕ

ππ ϕ π π→+∞

⎛ ⎞− = +∞ = = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( )

( )3/ 22 3

3 32

11 1 1 sin arctg3 sin arctg 31

π ππππ ππ

+ −⎛ ⎞= ⋅ − = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅+⎝ ⎠

.

Существование конечного предела означает, что рассмотренный в данном при-мере криволинейный несобственный интеграл оказался сходящимся. Причина сходи-мости – достаточно быстрое стремление к нулю подынтегральной функции.

xy

zL

1M 2M

Рисунок 2.12


62

§ 11. Квадрируемые поверхности

Исторически первым методом определения площади криволинейной поверхности являлся ме-тод триангуляции. Суть метода была проста и по-нятна, кроме того, она прошла многовековую про-верку в практике землемерия: на измеряемой по-верхности строится треугольная сеть (рис. 2.13), в результате чего данная поверхность приближается непрерывной поверхностью, образованной тре-угольными гранями. Далее вычисляется площадь каждой такой грани, и результаты вычислений сум-мируются.

Долгое время (буквально до конца XIX–го века) утверждалось, что если измерять гладкую (или кусочно-гладкую) поверхность и в процессе многих измерений обеспечить для всех рёбер триангуляционной сети стрем-ление их длин к нулю (это возможно только теоретически), то у таких измерений будет существовать единственный предел, который и назывался площадью криволинейной поверхности.

Немецкий математик Шварц (см. пример 2.13) показал, что это утверждение было ошибочным. В оправдание многих поколений математиков, не замечавших ошиб-ки, следует сказать, что триангуляция является непосредственным обобщением метода

определения длины дуги кривой, корректность которого была доказана теоретически; поэтому на двухмерный случай соот-ветствующие результаты переносились без должной проверки, «по инерции». Кроме того, геометрическая интуиция, прису-щая человеку от его рождения, помогает эффективно и без-ошибочно решать многие двухмерные задачи, но «взгляд» на пространственные объекты в основном остаётся «плоским», и здесь никто не застрахован от ошибок. Трёхмерную геометри-ческую интуицию и его первую ступень– так называемое «пространственное воображение» можно и нужно развивать; для будущих инженеров эта рекомендация особенно важна. Девушкам, как утверждают специалисты, в этом деле хорошо помогает вязание на спицах или крючком, а юношам – компьютерные игры с хорошей трёхмерной графикой.

На смену методу триангуляции пришёл метод касательных плос-

костей. Суть нового метода заключается в следующем.

Пусть в двухмерной замкнутой области D задана числовая функция ( , )z f x y= , причём сама функция ( , )f x y и её частные производные

/ ,f x∂ ∂ /f y∂ ∂ являются непрерывными в этой области.

Графиком этой функции является непрерывная и гладкая поверх-

xy

z

Рисунок 2.13

Шварц Герман Амандус

(1843 – 1921)


63

ность Ω (рис. 2.14); гладкость означает, что в каждой точке поверхности существует касательная плоскость и нормаль.

Выполним разбиение τ области D в виде объединения непересе-кающихся областей iD

: ,i i j i ji

D D D D D Dτ = = ∂ ∂∩ ∩∪ , при i j≠ .

Определим, как это делалось для двой-ного интеграла, диаметр разбиения diamτ .

Внутри каждой элементарной области iD выберем точку ( , )i i iP x y , вычислим значе-

ние ( , )i i iz f x y= и построим касательную плоскость к графику функции ( , )z f x y= в точке ( , , )i i i iM x y z (рис. 2.14). Оставим от этой плоскости только ту часть, которая соответст-вует точкам ( , ) iP x y D∈ . В результате получе-на «чешуйчатая поверхность», которая состо-ит из плоских наклонных граней – площадок и является разрывной.

Каждую площадку обозначим iσ , её площадь – iσΔ , площадь проек-ции на плоскость O xy (то есть, площадь элементарной области iD ) – iSΔ .

Пусть вектор in – это нормаль к площадке, тогда, согласно теореме из школьного курса геометрии

1cosi i

iSσ

γΔ = Δ , (2.2)

где угол ,i in kγ = ; k – орт оси O z .

Составим формулу для суммарной площади всех площадок

( ) ( )

1 1

1cos

N N

i iii i

Sτ τ

σγ= =

Δ = Δ∑ ∑ ,

и рассмотрим предел этой суммы при d iam 0τ → .

Пределом интегральной суммы будет следующий двойной инте-грал:

1cosD

d Sγ∫∫ .

iP

in k

Ω

iD

x y

z

iσ

Рисунок 2.14


64

Эта величина и называется площадью криволинейной поверхности Ω , что обозначается так:

1cosD

S d Sσ γ= ∫∫ .

Если этот интеграл существует и конечен, причём данное утвержде-ние справедливо и для любой замкнутой области 0Ω , являющейся частью поверхности Ω , то данная поверхность называется квадрируемой.

Теорема 2 . 3 . Гладкая или кусочно-гладкая поверхности квадрируемы. Справедливость этой теоремы является следствием теоремы существования

двойного интеграла.

При переходе к пределу в равенстве (2.2) малые площади σΔ и SΔ можно заменить их дифференциалами

1cos

d d Sσγ

= .

Величина dσ называется дифференциалом площади криволиней-ной поверхности.

Заметим, что величина dS dxdy= является дифференциалом площа-ди проекции поверхности σ на координатную плоскость O xy . При проек-тировании на другие координатные плоскости получаем равенства

1cos

d dydzσα

= и 1cos

d dxdzσβ

= ,

где углы ,n iα = ; ,n jβ = ; n – вектор нормали; ,i j – орты координатных осей.

При известном дифференциале dσ площадь криволинейной поверх-ности Ω вычисляется посредством двойного интеграла

D

S dσΩ

Ω = ∫∫ ,

где DΩ – проекция σ на соответствующую координатную плоскость.

Рассмотрим конкретные формулы для дифференциала dσ .

• Поверхность Ω задана явным уравнением ( ),z f x y= . Тогда уравнение касательной плоскости и формула для нормали


65

имеют следующий вид:

( ) ( )0 0 0f fz z x x y yx y∂ ∂

− = − + −∂ ∂

и , , 1f fnx y

⎧ ⎫∂ ∂= − − +⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭

.

Следовательно,

( ) ( )2 2

1 1cos1 / /n f x f y

γ = =+ ∂ ∂ + ∂ ∂

,

и мы получаем такую формулу для дифференциала площади:

( ) ( )2 21 / /d f x f y dxdyσ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ .

• Поверхность задана неявным уравнением ( ), , 0F x y z = . Используем известные равенства для нахождения частных производ-

ных

,f F x f F yx F z y F z∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

и получим:

( ) ( ) ( )2 2 2/ / //

F x F y F zd dxdy

F zσ

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂=

∂ ∂,

а также аналогичные формулы при проектировании на другие координат-ные плоскости:

( ) ( ) ( )2 2 2/ / //

F x F y F zd dydz

F xσ

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂=

∂ ∂,

( ) ( ) ( )2 2 2/ / //

F x F y F zd dxdz

F yσ

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂=

∂ ∂.

• Рассмотрим важный для технических приложений случай, когда форма поверхности определяется параметрическими уравнениями.

Пусть u и v – параметры точки ( , , )P x y z , лежащей на поверхности Ω . Тогда параметрические уравнения поверхности имеют вид

{ ( ) ( ) ( ): , , , , , , , 'x X u v y Y u v z Z u v u v DΩ = = = ∈ ,

где 'D – замкнутая область в плоскости Ouv изменения параметров u и v


66

(рис. 2.15). Прямым линиям constu = и constv = , показанным на рис. 2.15, на поверхности Ω отве-чают кривые линии, образующие координатную сеть (рис. 2.16).

Представим параметрические уравнения поверх-ности Ω в векторной форме

( ) ( ) ( ){ }, , , , ,X u v Y u v Z u vρ = ,

и вычислим частные производные вектор – функции ( , )u vρ по параметрам u и v :

, ,uX Y Zu u u

ρ ∂ ∂ ∂⎧ ⎫′ = ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭, , ,v

X Y Zv v v

ρ ∂ ∂ ∂⎧ ⎫′ = ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭.

Векторы uρ′ и vρ′ являются касательными векто-рами к координатным линиям, пересекающимся в точке P , а их векторное произведение совпадает с нормалью к поверхности (рис. 2.16).

Для нахождения дифференциа-ла площади dσ поступим таким же образом, как и при замене переменных в двойном интеграле.

Малый прямоугольник OMKN , построенный в плоскости Ouv (рис. 2.17), имеет площадь

S u vΔ = Δ Δ ,

и преобразуется в криволинейную фи-гуру 1 1 1 1O M K N на поверхности Ω ; форма этой фигуры близка к форме параллелограм-

ма. При этом векторы 1 1O M и 1 1O N являются частными приращениями вектор – функции ( , )u vρ :

( ) ( ) ( )1 1 , , ,uO M u v u u v u vρ ρ ρ= Δ = + Δ − , ( ) ( ) ( )1 1 , , ,vO N u v u v v u vρ ρ ρ= Δ = + Δ − .

Величины uΔ и vΔ малы и стремятся к нулю, поэтому частные приращения можно заменить частными дифференциалами. В результате такой замены получаем:

( ) ( )'1 1 , ,u uO M d u v u v uρ ρ= = ⋅Δ , ( ) ( )'

1 1 , ,v vO N d u v u v vρ ρ= = ⋅Δ .

Для вычисления площади σΔ фигуры 1 1 1 1O M K N воспользуемся геометриче-ским смыслом векторного произведения:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )' ' ' '1 1 1 1 , , , ,u v u vO M O N u v u u v v u v u v u vσ ρ ρ ρ ρΔ = × = ⋅Δ × ⋅Δ = × ⋅Δ ⋅Δ .

Рисунок 2.15 u

v 'D

'uρ

'vρ

n

Ω

x y

z

Рисунок 2.16

u

v

O M

KN

uΔ

vΔ ⇒ 1O

1M

1K1NΩ

xy

z

Рисунок 2.17


67

Малые приращения заменяем дифференциалами и приходим к фор-муле

u vd dudvσ ρ ρ′ ′= × . (2.3)

Если координатные линии ортогональны, то

u v u vρ ρ ρ ρ′ ′ ′ ′× = ⋅ ,

и формула (2.3) упрощается:

u vd du dvσ ρ ρ′ ′= ⋅ .

Для цилиндрических поверхностей, по-верхностей вращения и некоторых других част-ных случаев этой формуле удаётся придать вид

d dl dПσ = ⋅ ,

где udl duρ′= и vdП dvρ′= – дифференциалы длин дуг для сетки криволинейных ортогональ-ных координат (рис. 2.18). Прим е р 2 . 1 1 .

Дифференциал площади для цилиндрических координат. Для поверхности вращения Ω , заданной в цилиндрической системе координат уравнениями

{ ( ): cos , sin , ,x r y r z z r r zϕ ϕΩ = = = = ,

получаем:

( ) ( ) ( )( )2( ) 1d dl z d dl z rd r z r z dz dσ ϕ ϕ′= ⋅ Π = ⋅ = ⋅ + ,

где dl – дифференциал длины дуги образующей; dΠ – дифференциал длины дуги направляющей (рис. 2.19).

В частности, для поверхности прямого кругового ци-линдра выполняется условие 0 constr r= = , и

0d r dzdσ ϕ= .

Прим е р 2 . 1 2 . Дифференциал площади для сферических координат. Для поверхности вра-

щения Ω , заданной в сферической системе координат уравнениями

{ ( ): cos sin , sin sin , cos ,x y zρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ θ ρ ρ θΩ = = = = ,

формула дифференциала площади принимает следующий вид:

( )( )22

22

sin( ) ( ) ( ) sin

d dd dl d d d

dl d

ρ θ ϕσ ρ θ ρ θ ρ θ θ ϕ θ

ρ ρ θ

Π =′= ⋅ Π = = ⋅ + ⋅

′= +.

constl =constП =

Ω

x y

z

Рисунок 2.18

xy

z

Ω

Рисунок 2.19


68

Если 0 constρ ρ= = (поверхность сферы), то 20 sind d dσ ρ θ ϕ θ= ⋅ .

Прим е р 2 . 1 3 . «Сапог Шварца». Неметкий математик Шварц показал, что при произвольной

триангуляции поверхности Ω многогранниками nΩ на поверхностях nΩ могут поя-виться «складки», то есть такие грани, нормали к которым не стремятся занять положе-ние нормали к поверхности Ω .

Такая ситуация проиллюстрирована на рис. 2.20, где в качестве поверхности Ω выбрана боковая поверхность кругового цилиндра 2 2 2x y R+ = . Площадь S этой по-верхности может быть легко вычислена, поскольку цилиндр разворачивается в прямо-угольную полосу

2S R Hπ= ⋅ ⋅ .

Но, если у равнобедренных треугольников ABC , показанных на рис. 2.20, высота будет уменьшаться бы-стрее, чем длина основания (что при соответствующем порядке триангуляции вполне возможно), то грань ABC будет поворачиваться и в пределе станет перпен-дикулярной к поверхности Ω .

При этом (что очевидно) предел для площадей поверхностей nΩ окажется большим, чем величина

2S RHπ= .

Ситуация напоминает складывание в гармошку китайского бумажного фонари-ка. Но у современников немецкого математика возникли другие ассоциации, и за этим примером закрепилось название «сапог Шварца».

Спасая метод, Шварц доказал, что складки будут «разглаживаться», если, на-пример, при проектировании на какую-нибудь фиксированную плоскость все треуголь-ники окажутся прямоугольными, а их катеты будут параллельны одним и тем же осям.

Однако это ограничение является слишком жестким для того, чтобы на основе метода триангуляции можно бы-ло давать определение площади криволинейной по-верхности.

Прим е р 2 . 1 4 . Касательные и секущие плоскости: интуиция

молчит. Для понимания того, что двухмерный конти-нуум (криволинейная поверхность) устроен принципи-ально сложнее, чем одномерный континуум (кривая ли-ния), целесообразно обратиться к известной теореме

Лагранжа из курса математического анализа. Суть теоремы иллюстрирует рис. 2.21:

для гладкой функции ( )y f x= на промежутке [ ],a b нашлась внутренняя точка c , в которой касательная параллельна секущей.

Это, в частности, означает, что при вычислении длины кривой вместо непрерыв-ной ломаной линии, составленной из отрезков секущих, можно было бы использовать разрывную линию, составленную из отрезков касательных. При этом касательную мож-но было строить и для другой внутренней точки; на величину предела при измельчении

HA B

C

R

Рисунок 2.20

a bc x

y

( )f x

Рисунок 2.21


69

разбиения это бы не повлияло. Следовательно, для кривой линии две про-

цедуры спрямления − основанная на секущих от-резках и основанная на касательных отрезках − дали бы одинаковый результат. Для поверхности аналогом первой процедуры является триангуля-ция, второй – квадрирование по методу касатель-ных плоскостей. Оказывается, что здесь они не эквивалентны, поскольку триангуляция может приводить к складкам.

Аналогия не сработала, несмотря на то, что для функции двух переменных ( , )z f x y= теорема, аналогичная теореме Лагранжа, верна.

Действительно, если мы будем перемещать плоскость, по-казанную на рис. 2.22, вверх параллельно самой себе, то ограничиваемая область 0Ω будет сокращаться и сожмётся в точку, для которой секущая плоскость станет касатель-ной.

Но всё дело в том, что уменьшение сторон тре-угольника, соединяющего три точки криволинейной по-верхности Ω , не гарантирует уменьшение размеров облас-ти 0Ω , следовательно, нормаль секущей плоскости не обя-зана стремиться к направлению нормали поверхности.

Согласитесь, что это не очевидно; тем не менее это факт, который и доказал немецкий математик Шварц, по-строив свой знаменитый пример.

Прим е р 2 . 1 5 . Натуральные параметры цилиндрической поверх-

ности. Переменные l и П , использованные в равенстве d dl dПσ = ⋅ , называются натуральными параметрами ци-линдрической поверхности. Кривые constl = и constП = образуют на поверхности не только ортогональную, но и ор-тонормированную сеть. Это означает, что переменная П яв-ляется натуральным параметром (длиной дуги) координат-ной линии constl = , а переменная l – координатной линии

constП = . От цилиндрических поверхностных координат натуральные параметры отличаются только масштабными множителями, поэтому в технических приложениях само-стоятельную роль эти параметры играют редко.

Для поверхности кругового цилиндра радиуса R на-туральными параметрами являются, например, величины l z= и П Rϕ= ; площадь S цилиндрического прямоугольника ABCD , показанного на рис. 2.23, в точности равна произведению конечных приращений lΔ и ПΔ :

S l П= Δ ⋅Δ .

В отличие от кривой, где выбор натурального параметра зависит только от точки отсчёта дуг, у натуральных параметров цилиндрической поверхности существует три

0Ω

Ω

xy

z

Рисунок 2.22

lΔ

ПΔ

A B

CD

x

y

z

Рисунок 2.23

Лагранж Жозеф Луи (1736 – 1813)


70

степени свободы. Например, жорданова сеть плоскости (об-разованная натуральными параметрами этой поверхности) может быть перенесена по направлению некоторого вектора и развёрнута на определённый угол (рис. 2.24).

Два семейства ортогональных винтовых линий, пока-занных на рис. 2.25, также могут служить координатными линиями для натуральных параметров цилиндра. Однако трудно найти задачу, для которой такой выбор натуральных параметров обеспечил бы простоту решения. Эффективный выбор параметризации поверхности, как правило, оказыва-ется согласованным с характеристиками ёё кривизны.

Плоскость с нормалью n содержит нормаль поверхности nΩ и вырезает из поверхности Ω кривую, имеющую в точке касания

0M определённую кривизну k (рис.2.26). Существует два направле-ния нормали n , при которых кривизна k принимает минимальное

mink и максимальное maxk значения; эти направления являются вза-имно перпендикулярными и называются главными.

Величина min maxGk k k= ⋅ ,

называется гауссовой кривизной поверхности; у цилиндра или кону-са 0Gk = , эллипсоида 0Gk > , однополостного гиперболоида 0Gk < .

Главные направления ци-линдрической поверхности совпа-дают с образующей и касательной к направляющей.

У поверхности вращения одно из главных направлений пер-пендикулярно оси вращения.

При эффективной парамет-ризации поверхности координат-ные линии совпадают с главными направлениями.

Прим е р 2 . 1 6 . Геодезические линии. В географии и геометрии используется понятие геодези-

ческой линии. Линия, лежащая на криволинейной поверхности Ω , называется геодези-ческой, если она обеспечивает кратчайшее расстояние между любыми двумя точками

1M и 2M , лежащими на этой линии. В трёхмерном пространстве кратчайшее расстояние между точками обеспечива-

ет отрезок прямой, но он не обязан лежать на криволинейной поверхности Ω . Хорошо известно, что на сфере геодезическими линиями являются экваториаль-

ные окружности. У прямого кругового цилиндра очевидными геодезическими линиями являются направляющие и образующие, неочевидными – винтовые линии, получаемые при пересечении цилиндра с поверхностью геликоида.

Всегда ли между точками замкнутой поверхности можно провести геодезиче-

x

y

'x'y

Рисунок 2.24

Рисунок 2.25

n Ω

n

xy

z

Ω

Рисунок 2.26


71

скую линию? Оказывается – можно всегда, но это утверждение требует обоснования. На интуитивном уровне ясно, что минимум расстояния между двумя точками

реализуется на некоторой кривой, и эту минимизирующую кривую (назовём её хордой) можно провести.

Пусть 1 2M M – хорда, соединяющая точки 1M и

2M , а точка 3M ∈ 1 2M M , то есть, она расположена на этой же хорде (рис. 2.27).

Рассмотрим дугу 1 3 1 2M M M M∈ и поставим ак-туальный вопрос: будет ли эта дуга хордой для точек

1M и 3M ? Интуиция молчит, но логика подсказывает правильный порядок рассуждений.

Предположим, что это не так, и хорда найдёт более короткий путь, чем дуга

1 3M M , на рис. 2.27 это трас-

са 1 4 3M M M . Но тогда общая трасса 1 4 3 2M M M M также ока-

жется короче хорды 1 2M M , что противоречит определению хорды.

Часть хорды является хордой, и в этом отношении кривые линии не отличаются от прямо-линейных отрезков. Противоречие доказывает, что хорда яв-ляется геодезической линией.

Получается, что геодезические линии для криволиней-ной поверхности Ω играют ту же роль, что прямые линии –

для плоской области D . За одним исключением: если в определении выпуклости отре-зок прямой заменить отрезком геодезической, то все неплоские (и плоские) фигуры станут выпуклыми.

На гладкой поверхности гладкие геодезические линии имеют следующее отли-чительное свойство: в каждой точке этой кривой нормаль поверхности совпадает по направлению с главной нормалью кривой.

Прим е р 2 . 1 7 . Нормальные геодезические параметры. Коор-

динатные линии constl = и constП = , соответствую-щие натуральным параметрам цилиндрической по-верхности, являются геодезическими линиями, и в этом отношении любой цилиндр подобен плоскости (на которую он разворачивается без искажения площа-ди). Для поверхностей с ненулевой гауссовой кривиз-ной такое развёртывание является невозможным; по-этому оба семейства ортогональных координатных ли-ний не могут быть геодезическими. Здесь используют-ся так называемая полугеодезическая система коор-динат, в которой кривые constП = являются геодези-

ABCD

' ' ' 'A B C D

lΔ

ПΔ

z

y

x

Рисунок 2.28

1M

2M3M

4MΩ

x y

z

Рисунок 2.27

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855)


72

ческими линиями поверхности, а ортогональные к ним кривые constl = – не являются. При этом величины П и l называются нормальными геодезическими параметрами поверхности.

Для сферической поверхности радиуса R роль нормальных геодезических пара-метров могут играть величины cosl R θ= и П Rϕ= , где ,ϕ θ – углы азимута и склоне-ния точки на сфере. Площадь S сферического прямоугольника ABCD , показанного на рис. 2.28, в точности равна произведению конечных приращений lΔ и ПΔ : S l П= Δ ⋅Δ . Любопытно, но цилиндрическая проекция ' ' ' 'A B C D также имеет площадь S , и величины l и П являются натуральными параметрами её координатных линий.

Прим е р 2 . 1 8 . Площадь крыши цирка. Для устройства кровли

над спортивными и концертными сооружениями неред-ко используют вантовые конструкции, образованные двумя семействами натянутых тросов. Тросы закреп-ляются в размещённой по периметру крыши опорной балке; конструкция напоминает плетение ракетки для тенниса. Но, чтобы повысить прочность и устойчивость кровли эту «ракетку» целесообразно сделать криволи-нейной. Простейшую форму, подходящую для решения этой задачи, имеет поверхность гиперболического па-раболоида; её обычно и реализуют на практике, поскольку простота формы повышает точность расчёта.

Найдём площадь поверхности

( )/ 2z xy p= при условии 2 2 2x y R+ ≤ .

Графиком функции /(2 )z xy p= , где параметр 0p > , является гиперболический параболоид, развёрнутый таким образом, что его прямолинейные образующие совпа-дают с координатными осями (рис. 2.29). Круговой цилиндр 2 2 2x y R+ = вырезает из этой поверхности область Ω , площадь которой необходимо определить. Такая форма границы характерна для здания цирка и продиктована формой циркового манежа и зри-тельного зала.

Для решения спроектируем поверхность Ω на координатную плоскость Oxy ; в проекции получим круг

{ 2 2 2:D x y R+ ≤ .

Найдём частные производные и дифференциал площади поверхности

' '/ , /x yz y p z x p= = ; ( ) ( )2 2' ' 2 2 2 21 1 / /x yd z z dx dy y p x p dx dyσ = + + = + + .

Составим и вычислим двойной интеграл

'2 2

2 22 2 2

cos , 0 2 ,:

sin , 0 ,1

, 1 ( / ) ( / ) 1 ( / )D

x rD Dx y y r r RS dxdy

p pdx dy r dr d x p y p r p

ϕ ϕ πϕ

ϕΩ

⎧ = ≤ <⎧⇒⎨ ⎨= ≤ ≤⎩= + + = =⎩

= + + = +∫∫

D

Ω z

x

y

Рисунок 2.29


73

( )2 2 2

22 2 2 20

0 0 0 0 0

1 ( / ) 1 ( / ) 1 ( / ) 1 ( / )2

R R Rpd r p rdr d r p rdr r p d r pπ π

πϕ ϕ ϕ= + = ⋅ + = ⋅ + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 23/ 2 3/ 22 2

0

2 21 ( / ) 1 ( / ) 13 3

Rp pr p R pππ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

При вычислении мы перешли к полярной системе координат, что привело к преобразованию повторного ин-теграла в произведение определённых интегралов.

Если отношение размеров / 1R p , крыша получа-ется пологая (с малой кривизной), и для неё

( )2 23/ 22 2 22 2 31 ( / ) 1 1 ( / ) 1

3 3 2p pS R p R p Rπ π πΩ

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − ≈ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

что и следовало ожидать. Но практике лучше соответствует значение / 1R p = , тогда

( )2

22 2 2 1 1,23RS Rπ πΩ = − ≈ ⋅ .

Прим е р 2 . 1 9 . Площадь сферического купола. Альтернативой гипер-

болическому параболоиду остаётся древняя, как этот мир, кон-струкция купола сферической формы. Найдём площадь по-верхности верхней полусферы радиуса R (рис. 2.30). Исполь-зуем сферическую систему координат:

{: cos sin , sin sin , cosx R y R z Rϕ θ ϕ θ θΩ = = = ,

углы азимута ϕ и склонения θ описывают прямоугольную область

{: 0 2 , 0 / 2D ϕ π θ π′ ≤ < ≤ ≤ ,

дифференциал площади поверхности находится по формуле 2 sind R d dσ θ ϕ θ= .

Составляем соответствующий двойной интеграл и вычисляем его

( )2 / 2 2 / 2

/ 22 2 2 20

0 0 0 0

sin sin 2 cos 2D

S d d R d R d d R Rπ π π π

πσ ϕ θ θ ϕ θ θ π θ πΩ′

= = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Несложно запомнить: площадь полусферы в два раза больше площади экваториального круга и совпадает с площа-дью боковой поверхности описанного цилиндра (рис. 2.31).

Сравнивая с результатом предыдущего примера, неслож-но понять: поверхность сферического купола почти в два раза больше поверхности параболоида, перекрывающего ту же пло-щадь. Однако купол, в отличие от параболоида, может перекры-вать часть здания; классическое решение (рис. 2.32) не только красиво, но и конкурирует по стоимости с криволинейными ван-

товыми конструкциями нашего времени.

x

y

zΩ

Рисунок 2.30

Рисунок 2.32

Рисунок 2.31

Documents

СКАЛЯРНЫЙ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Том 3web.kpi.kharkov.ua/vm/wp-content/uploads/sites/22/2013/06/1Skalyarny-j... · Поверхностный интеграл