สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

สรปเนอหา ม.4 เทอม 1

สถาบนปนนอง 1

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

𝐀 ∪ 𝐁 = {𝐱|𝐱 ∈ 𝐀 𝐱 ∈ 𝐁}

𝐀 ∩ 𝐁 = {𝐱|𝐱 ∈ 𝐀 𝐱 ∈ 𝐁}

𝐀 − 𝐁 = {𝐱|𝐱 ∈ 𝐀 𝐱 ∉ 𝐁}

𝐀′ = {𝐱|𝐱 ∈ 𝓤 𝐱 ∉ 𝐀}

เซต 1. เปนสบเซตของทกเซต ( A)

2. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง (A A)

3. จ านวนสบเซตของเซตทมสมาชก n ตวจะมคาเทากบ

4. มอกค าหนงทตองระวงคอ ค าวา “สบเซตแท” ซงกคอสบเซตของเซตนน ๆ โดยทไมรวมตวมนเอง เชน A={1,2,3} จะมสบเซตไดแก

, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} แตถาจะเอาเฉพาะสบเซตแทเราจะตองตด {1,2,3} หรอ A ออกนนเอง ดงนนจะท าให

จ านวนสบเซตแทเหลอเพยง −

5. พาวเวอรเซตคอเซตทประกอบไปดวยสบเซตทงหมดทเปนไปไดทงหมด เราแทนเพาเวอรเซตของเซต A ไดดวย P(A) นนกคอการเอาการ

แจกแจงสมาชกของสบเซตของ A มาใสวงเลบปกกาทงหนาและหลงนนเอง

6. สมาชกของเพาเวอรเซตของ A จะมจ านวนสมาชกเทากบ n(P(A)) =

7. แผนภาพเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler Diagram)

8. การด าเนนการทางเซต

9. สตรจ านวนของเซต ส าหรบแกโจทยปญหาทางเซต

1. 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁 ∪ 𝐀 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐁 ∩ 𝐀 𝐀 − 𝐁 ≠ 𝐁 − 𝐀

2.

𝑨 ∪ 𝐁 ∩ 𝐂 = 𝐀 ∪ 𝐁 ∩ (𝐀 ∪ 𝐂) 𝑨 ∩ 𝐁 ∪ 𝐂 = 𝐀 ∩ 𝐁 ∪ (𝐀 ∩ 𝐂)

3.

𝐀 ∪ 𝐁 ∪ 𝐂 = (𝐀 ∪ 𝐁) ∪ 𝐂 𝐀 ∩ 𝐁 ∩ 𝐂 = (𝐀 ∩ 𝐁) ∩ 𝐂

4.

(𝑨 ∪ 𝑩)′ = 𝐀′ ∩ 𝐁′ 𝐀 ∩ 𝐁 ′ = 𝐀′ ∪ 𝐁′

∪ − ∩

∪ ∪ − ∩ − ∩ − ∩ ∩ ∩

ม.4 เทอม 1 สรปเนอหา

2 สถาบนปนนอง


p และ q p and q

p หรอ q p or q

ถา..p..แลว..q.. If… p..Then… q.

p กตอเมอ q p If and only if q

ไม p Not p

ตรรกศาสตร 1. ประพจน คอ ประโยคบอกเลาทมคาความจรงเปนจรงหรอเปนเทจอยางใดอยางหนงเทานน 2. ประโยคค าถาม ประโยคอทาน ประโยคค าสง ประโยคขอรอง นนไมใชประพจน

3.

4. รปแบบประพจนทสมมลกนทส าคญไดแก o

o และ การสลบท

o และ การเปลยนกลมได

o การแจกแจง

o การแจกแจง

o

o

o กฎเดอมวร (De Morgan’s rule)

o กฎเดอมวร (De Morgan’s rule)

o

o

5. การอางเหตผลทสมเหตสมผลคอ จากประพจน p1, p2, p3, ..., pn ซงเปนเหต สงผลใหประพจน q เปนจรง

6. ประโยคเปดและตวบงปรมาณ แทนประโยค “x และ y ทกตว ท าให Q(x,y) เปน ...

แทนประโยค “ส าหรบ x ทกตว จะม y บางตวทท าให Q(x,y) เปน ....”

แทนประโยค “ม x บางตวทเมอจบคกบ y ทกตว จะท าให Q(x,y) เปน ....”

…

x y

x y

x y




แทนประโยค “ม y บางตวทเมอจบคกบ x ทกตว จะท าให Q(x,y) เปน ....”

แทนประโยค “ม x บางตวทม y บางตว ทท าให Q(x,y) เปน ....”

ระบบจ านวนจรง

1.

2. สมบตปด คอ การทตวสองตวในเซตๆหนงท าอะไรกนแลวผลลพธกยงคงอยในเซตๆนน

3. ตวด าเนนการของระบบจ านวนจรง (Operation) นอกเหนอไปจาก − แลวเราสามารถสรางตวด าเนนการตวอนได

โดยอาจจะแทนไดดวยสญลกษณ หรออนๆ ส าหรบแนวขอสอบส าหรบเรองน เชน

a) โจทยใหนยามของตวด าเนนการมาแลวใหหาโนนหาน

b) หาเอกลกษณ อนเวอรส หรอทดสอบวามคณสมบตปดหรอไม

4. เอกลกษณ จะตองมแคตวเดยว ซงไป a แลวคาทไดกยงเปน a สวนอนเวอรสคอ อนเวอรสจะไป a แลวออกมาเปนเอกลกษณ (ดงนนเอกลกษณมไดแคตวเดยว แตอนเวอรสจะมหลายตวขนอยกบวาเปนอนเวอรสของตวไหน) 5. การหาเอกลกษณจะท าไดโดย

1) ก าหนดให e เปนเอกลกษณ และสมมตให โดย a เปนจ านวนจรง 2) ด าเนนการตามนยามของ แลวแกสมการหาคา e ออกมา

x y

y x




3) ถาคา e ทไดมคาคงท ไมขนอยกบ a แสดงวา e เปนเอกลกษณของ

6. การหาอนเวอรสจะท าไดโดย

1) ดกอนวา มเอกลกษณหรอไม (e) ถาม กคอยมาหาอนเวอรส สมมตใหอนเวอรสของ คอ

2) จากนยามอนเวอรสเราไดวา

3) จากนนกแกสมการหาคา ออกมา ในรปของ 7. พหนาม ก าหนดไดโดย

โดย คอ ดกรของพหนาม และ เปนสมประสทธหนา

8. ทฤษฎบทเศษเหลอ เอาไวเพอหาเศษจากการหารพหนาม กลาวคอ

“ถาหาร ดวย − แลวจะเหลอเศษเทากบ ” นนคอถาแทนคา x ดวย c ลงใน ผลลพธทไดกคอ เศษของการหารนนเอง

9. ทฤษฎบทตวประกอบ จะคลายๆกบทฤษฎบทเศษเหลอแตเราจะดเฉพาะเวลาเศษเปน 0 เทานน กลาวคอ “ถาเศษของการหารมคาเทากบ 0 หรอ แปลวา − เปนตวประกอบของ “

10. การหารสงเคราะหกบทฤษฎบทเศษเหลอ อะไรจะดกวากน ตอบ ถาโจทยตองการใหหาแคเศษ ใชทฤษฎบทเศษเหลอเรวกวา แตถาโจทยตองการผลหารดวย ควรจะใชการหารสงเคราะหนะ ตวอยาง จงหาผลหารและเศษจากการหาร − − ดวย −

2 3 0 -2 1 -1 6 12 -20 -38 3 6 -10 -19 -39

11. ผลบวกและผลคณของรากสมการ

ผลบวก = −

ผลคณ = −

12. อสมการของพหนาม

− −

1) ตรวจสอบดวา ｘควรจะมคาเทากบเทาใด หรอไมสามารถเปนคาใดได แลวจดไวกอน เชน

− และ ≠ −

−

2) ตรวจดวามพจนไหน หรอวงเลบไหนทมคามากกวาหรอเทากบ 0 แนๆ ใหตดออกไปเลย เชน พจนทมเลขชก าลงเปนจ านวนค หรอ ตดคาสมบรณ หรอ มองแลวรแนๆวามากกวาศนย

x + + + +

x

เศษ =-39 ผลหาร = − −




ดงนน อสมการจะลดเหลอเพยง

3) จากนนมาพจารณาวาสมประสทธหนา x ของแตละวงเลบเปนบวกหรอไม ถาเปนบวกกไมตองท าอะไร แตถาเปนลบตองเปลยนเปนบวกกอน เชน (-x+2) หนา x เปนลบ ดงนนตองเปลยนสมการเปน

หรอ

4) จากนนกมาพจารณาบนเสนจ านวน

− เอา มา − เอา มา เอา −

มา

และไลใสเครอง + ทชวงขวาสด สลบกบ – ไลไปเรอยจนซายสด

ชวงทมเครองหมาย + คอชวงทท าใหอสมการมคา

ชวงทมเครองหมาย - คอชวงทท าใหอสมการมคา

ดงนนชวงทท าใหอสมการนอยกวา 0 คอ − −

∪ แตจาก 1) เราจะไดวา x=2, -4 และ -5 เราจะได

ค าตอบสดทายคอ − −

∪

13. ลองท าขอนดสครบ

− −

1) − และ ≠ −

−

สวน ไมมทางเทากบ แนๆ เพราะวา

2) ตดพจนทมากกวาศนยแนๆ ออกไป คอตด − และ

ดงนนเหลอ

3) สมประสทธหนา x เปนบวกทงหมด ดงนนไมตองท าอะไร 4) พจารณาเสนจ านวน

ดงนนชวงทท าใหอสมการมากกวา ศนยคอ − − ∪ −

แต − ดงนนตองเตม x=-4 เขาไปดวย

จะไดค าตอบสดทายเปน − − ∪ − ∪ −

-3/2 2 5

+ + - -

-5 -3/2

+ - +




14. คาสมบรณ

15. อสมการของคาสมบรณ มหลกการหลกๆคอ ท ายงไงทจะเอา | | ออกไปใหได วธทท าไดมไดสองแนวทางคอ a) แยกกรณหรอก าหนดชวงบนเสนจ านวน ท าไดทกขอแตอาจจะใชความรอบคอบในการคด b) ยกก าลงสอง ท าไดไมทกขอ แตบางขออาจจะท าไดเรว

การยกก าลงสองจ าท าไดกตอเมอ

- เมอยกก าลงสองแลวดกรของพหนามจะไมเยอะมากเกนไป จนเราคดยาก เชน ดกร 3 ขนไป เราจะไมอยากจะท าแลว

- มนใจวาทงสองฝงของเครองหมายอสมการ มคาเปนบวกทงค 1) − ยกก าลงสองไดเลย 2) − − ยกก าลงสองไดแตผลทออกมาอาจจะยงเหยงได แยกกรณดกวา 3) − − ยกก าลงสองไมไดนะ เพราะเราไมรวา มากกวาศนยแนหรอเปลา

16. การแยกกรณหรอก าหนดชวง

− −

1) ใชเสนจ านวน โดยเอา 2, -1/2 และ -3 มาเปนตวก าหนดชวง (เลอกเฉพาะตวทอยในเครองหมายคาสมบรณ)

ภายในชวงเดยวกน ไดผลมายงไงใหเอามา อนเตอรเซคกน แตเอาผลทไดจากแตละชวงมายเนยนกนเปนค าตอบสดทาย




d

ผภาย

ดงนนค าตอบสดทายคอ − − ∪ − −

∪ −

−

∪ − −

17. ถาเจออสมการรปแบบ

จะแปลวา − แลวกแกอสมการตามปกตตอไป

จะแปลวา − แลวกแกอสมการตามปกตตอไป

จะแปลวา หรอ − แลวกแกอสมการตามปกตตอไป

จะแปลวา หรอ − แลวกแกอสมการตามปกตตอไป

-3 -1/2 2

− − −

−

− − −

−

−

− − −

−

− − ∩ − − −

ดงนนจะได อสมการใหมเปน

− − − +x

− − − +x

ดงนน

ภายในกรณเดยวกน เอามา ∩ กน

− − −

−

− −

−

− − −

− −

∩ − − −


ดงนน


− − −

− − −

− − −

−

−

−

∩ − −

−

−


ดงนน


− −

− −

− − −

− −

−

−

∩ − −


ดงนน


∪ ∪ ∪

Documents

สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1