7
สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1 สถาบันป้นน้อง 1 390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจ้าพ่อเสือ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected] = {| } = {| } = {| } = {| } เซต 1. เป็นสับเซตของทุกเซต ( A) 2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง (A A) 3. จานวนสับเซตของเซตที่มีสมาชิก n ตัวจะมีค่าเท่ากับ 4. มีอีกคาหนึ่งที่ต้องระวังคือ คาว่า “สับเซตแท้” ซึ่งก็คือสับเซตของเซตนั้น ๆ โดยที่ไม่รวมตัวมันเอง เช่น A={1,2,3} จะมีสับเซตได้แก่ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} แต่ถ้าจะเอาเฉพาะสับเซตแท้เราจะต้องตัด {1,2,3} หรือ A ออกนั่นเอง ดังนั้นจะทาใหจานวนสับเซตแท้เหลือเพียง 5. พาวเวอร์เซตคือเซตที่ประกอบไปด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราแทนเพาเวอร์เซตของเซต A ได้ด้วย P(A) นั่นก็คือการเอาการ แจกแจงสมาชิกของสับเซตของ A มาใส่วงเล็บปีกกาทั้งหน้าและหลังนั่นเอง 6. สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A จะมีจานวนสมาชิกเท่ากับ n(P(A)) = 7. แผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) 8. การดาเนินการทางเซต 9. สูตรจานวนของเซต สาหรับแก้โจทย์ปัญหาทางเซต 1. = = −≠− 2. ∪ ∩ = ∪ ∩ () ∩ ∪ = ∩ ∪ () 3. ∪ ∪ =() ∩ ∩ =() 4. ()= ′ ∩ ′ ∩ ′ = ′ ∪ ′ ∪ − ∩ ∪ ∪ − ∩ − ∩ − ∩ ∩ ∩

สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

สรปเนอหา ม.4 เทอม 1

สถาบนปนนอง 1

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

𝐀 ∪ 𝐁 = {𝐱|𝐱 ∈ 𝐀 𝐱 ∈ 𝐁}

𝐀 ∩ 𝐁 = {𝐱|𝐱 ∈ 𝐀 𝐱 ∈ 𝐁}

𝐀 − 𝐁 = {𝐱|𝐱 ∈ 𝐀 𝐱 ∉ 𝐁}

𝐀′ = {𝐱|𝐱 ∈ 𝓤 𝐱 ∉ 𝐀}

เซต 1. เปนสบเซตของทกเซต ( A)

2. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง (A A)

3. จ านวนสบเซตของเซตทมสมาชก n ตวจะมคาเทากบ

4. มอกค าหนงทตองระวงคอ ค าวา “สบเซตแท” ซงกคอสบเซตของเซตนน ๆ โดยทไมรวมตวมนเอง เชน A={1,2,3} จะมสบเซตไดแก

, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} แตถาจะเอาเฉพาะสบเซตแทเราจะตองตด {1,2,3} หรอ A ออกนนเอง ดงนนจะท าให

จ านวนสบเซตแทเหลอเพยง −

5. พาวเวอรเซตคอเซตทประกอบไปดวยสบเซตทงหมดทเปนไปไดทงหมด เราแทนเพาเวอรเซตของเซต A ไดดวย P(A) นนกคอการเอาการ

แจกแจงสมาชกของสบเซตของ A มาใสวงเลบปกกาทงหนาและหลงนนเอง

6. สมาชกของเพาเวอรเซตของ A จะมจ านวนสมาชกเทากบ n(P(A)) =

7. แผนภาพเวนน-ออยเลอร (Venn-Euler Diagram)

8. การด าเนนการทางเซต

9. สตรจ านวนของเซต ส าหรบแกโจทยปญหาทางเซต

1. 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁 ∪ 𝐀 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝐁 ∩ 𝐀 𝐀 − 𝐁 ≠ 𝐁 − 𝐀

2.

𝑨 ∪ 𝐁 ∩ 𝐂 = 𝐀 ∪ 𝐁 ∩ (𝐀 ∪ 𝐂) 𝑨 ∩ 𝐁 ∪ 𝐂 = 𝐀 ∩ 𝐁 ∪ (𝐀 ∩ 𝐂)

3.

𝐀 ∪ 𝐁 ∪ 𝐂 = (𝐀 ∪ 𝐁) ∪ 𝐂 𝐀 ∩ 𝐁 ∩ 𝐂 = (𝐀 ∩ 𝐁) ∩ 𝐂

4.

(𝑨 ∪ 𝑩)′ = 𝐀′ ∩ 𝐁′ 𝐀 ∩ 𝐁 ′ = 𝐀′ ∪ 𝐁′

∪ − ∩

∪ ∪ − ∩ − ∩ − ∩ ∩ ∩

Page 2: สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

ม.4 เทอม 1 สรปเนอหา

2 สถาบนปนนอง

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

p และ q p and q

p หรอ q p or q

ถา..p..แลว..q.. If… p..Then… q.

p กตอเมอ q p If and only if q

ไม p Not p

ตรรกศาสตร 1. ประพจน คอ ประโยคบอกเลาทมคาความจรงเปนจรงหรอเปนเทจอยางใดอยางหนงเทานน 2. ประโยคค าถาม ประโยคอทาน ประโยคค าสง ประโยคขอรอง นนไมใชประพจน

3.

4. รปแบบประพจนทสมมลกนทส าคญไดแก o

o และ การสลบท

o และ การเปลยนกลมได

o การแจกแจง

o การแจกแจง

o

o

o กฎเดอมวร (De Morgan’s rule)

o กฎเดอมวร (De Morgan’s rule)

o

o

5. การอางเหตผลทสมเหตสมผลคอ จากประพจน p1, p2, p3, ..., pn ซงเปนเหต สงผลใหประพจน q เปนจรง

6. ประโยคเปดและตวบงปรมาณ แทนประโยค “x และ y ทกตว ท าให Q(x,y) เปน ...

แทนประโยค “ส าหรบ x ทกตว จะม y บางตวทท าให Q(x,y) เปน ....”

แทนประโยค “ม x บางตวทเมอจบคกบ y ทกตว จะท าให Q(x,y) เปน ....”

x y

x y

x y

Page 3: สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

สรปเนอหา ม.4 เทอม 1

สถาบนปนนอง 3

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

แทนประโยค “ม y บางตวทเมอจบคกบ x ทกตว จะท าให Q(x,y) เปน ....”

แทนประโยค “ม x บางตวทม y บางตว ทท าให Q(x,y) เปน ....”

ระบบจ านวนจรง

1.

2. สมบตปด คอ การทตวสองตวในเซตๆหนงท าอะไรกนแลวผลลพธกยงคงอยในเซตๆนน

3. ตวด าเนนการของระบบจ านวนจรง (Operation) นอกเหนอไปจาก − แลวเราสามารถสรางตวด าเนนการตวอนได

โดยอาจจะแทนไดดวยสญลกษณ หรออนๆ ส าหรบแนวขอสอบส าหรบเรองน เชน

a) โจทยใหนยามของตวด าเนนการมาแลวใหหาโนนหาน

b) หาเอกลกษณ อนเวอรส หรอทดสอบวามคณสมบตปดหรอไม

4. เอกลกษณ จะตองมแคตวเดยว ซงไป a แลวคาทไดกยงเปน a สวนอนเวอรสคอ อนเวอรสจะไป a แลวออกมาเปนเอกลกษณ (ดงนนเอกลกษณมไดแคตวเดยว แตอนเวอรสจะมหลายตวขนอยกบวาเปนอนเวอรสของตวไหน) 5. การหาเอกลกษณจะท าไดโดย

1) ก าหนดให e เปนเอกลกษณ และสมมตให โดย a เปนจ านวนจรง 2) ด าเนนการตามนยามของ แลวแกสมการหาคา e ออกมา

x y

y x

Page 4: สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

ม.4 เทอม 1 สรปเนอหา

4 สถาบนปนนอง

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

3) ถาคา e ทไดมคาคงท ไมขนอยกบ a แสดงวา e เปนเอกลกษณของ

6. การหาอนเวอรสจะท าไดโดย

1) ดกอนวา มเอกลกษณหรอไม (e) ถาม กคอยมาหาอนเวอรส สมมตใหอนเวอรสของ คอ

2) จากนยามอนเวอรสเราไดวา

3) จากนนกแกสมการหาคา ออกมา ในรปของ 7. พหนาม ก าหนดไดโดย

โดย คอ ดกรของพหนาม และ เปนสมประสทธหนา

8. ทฤษฎบทเศษเหลอ เอาไวเพอหาเศษจากการหารพหนาม กลาวคอ

“ถาหาร ดวย − แลวจะเหลอเศษเทากบ ” นนคอถาแทนคา x ดวย c ลงใน ผลลพธทไดกคอ เศษของการหารนนเอง

9. ทฤษฎบทตวประกอบ จะคลายๆกบทฤษฎบทเศษเหลอแตเราจะดเฉพาะเวลาเศษเปน 0 เทานน กลาวคอ “ถาเศษของการหารมคาเทากบ 0 หรอ แปลวา − เปนตวประกอบของ “

10. การหารสงเคราะหกบทฤษฎบทเศษเหลอ อะไรจะดกวากน ตอบ ถาโจทยตองการใหหาแคเศษ ใชทฤษฎบทเศษเหลอเรวกวา แตถาโจทยตองการผลหารดวย ควรจะใชการหารสงเคราะหนะ ตวอยาง จงหาผลหารและเศษจากการหาร − − ดวย −

2 3 0 -2 1 -1 6 12 -20 -38 3 6 -10 -19 -39

11. ผลบวกและผลคณของรากสมการ

ผลบวก = −

ผลคณ = −

12. อสมการของพหนาม

− −

1) ตรวจสอบดวา xควรจะมคาเทากบเทาใด หรอไมสามารถเปนคาใดได แลวจดไวกอน เชน

− และ ≠ −

2) ตรวจดวามพจนไหน หรอวงเลบไหนทมคามากกวาหรอเทากบ 0 แนๆ ใหตดออกไปเลย เชน พจนทมเลขชก าลงเปนจ านวนค หรอ ตดคาสมบรณ หรอ มองแลวรแนๆวามากกวาศนย

x + + + +

x

เศษ =-39 ผลหาร = − −

Page 5: สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

สรปเนอหา ม.4 เทอม 1

สถาบนปนนอง 5

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

ดงนน อสมการจะลดเหลอเพยง

3) จากนนมาพจารณาวาสมประสทธหนา x ของแตละวงเลบเปนบวกหรอไม ถาเปนบวกกไมตองท าอะไร แตถาเปนลบตองเปลยนเปนบวกกอน เชน (-x+2) หนา x เปนลบ ดงนนตองเปลยนสมการเปน

หรอ

4) จากนนกมาพจารณาบนเสนจ านวน

− เอา มา − เอา มา เอา −

มา

และไลใสเครอง + ทชวงขวาสด สลบกบ – ไลไปเรอยจนซายสด

ชวงทมเครองหมาย + คอชวงทท าใหอสมการมคา

ชวงทมเครองหมาย - คอชวงทท าใหอสมการมคา

ดงนนชวงทท าใหอสมการนอยกวา 0 คอ − −

∪ แตจาก 1) เราจะไดวา x=2, -4 และ -5 เราจะได

ค าตอบสดทายคอ − −

13. ลองท าขอนดสครบ

− −

1) − และ ≠ −

สวน ไมมทางเทากบ แนๆ เพราะวา

2) ตดพจนทมากกวาศนยแนๆ ออกไป คอตด − และ

ดงนนเหลอ

3) สมประสทธหนา x เปนบวกทงหมด ดงนนไมตองท าอะไร 4) พจารณาเสนจ านวน

ดงนนชวงทท าใหอสมการมากกวา ศนยคอ − − ∪ −

แต − ดงนนตองเตม x=-4 เขาไปดวย

จะไดค าตอบสดทายเปน − − ∪ − ∪ −

-3/2 2 5

+ + - -

-5 -3/2

+ - +

Page 6: สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

ม.4 เทอม 1 สรปเนอหา

6 สถาบนปนนอง

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

14. คาสมบรณ

15. อสมการของคาสมบรณ มหลกการหลกๆคอ ท ายงไงทจะเอา | | ออกไปใหได วธทท าไดมไดสองแนวทางคอ a) แยกกรณหรอก าหนดชวงบนเสนจ านวน ท าไดทกขอแตอาจจะใชความรอบคอบในการคด b) ยกก าลงสอง ท าไดไมทกขอ แตบางขออาจจะท าไดเรว

การยกก าลงสองจ าท าไดกตอเมอ

- เมอยกก าลงสองแลวดกรของพหนามจะไมเยอะมากเกนไป จนเราคดยาก เชน ดกร 3 ขนไป เราจะไมอยากจะท าแลว

- มนใจวาทงสองฝงของเครองหมายอสมการ มคาเปนบวกทงค 1) − ยกก าลงสองไดเลย 2) − − ยกก าลงสองไดแตผลทออกมาอาจจะยงเหยงได แยกกรณดกวา 3) − − ยกก าลงสองไมไดนะ เพราะเราไมรวา มากกวาศนยแนหรอเปลา

16. การแยกกรณหรอก าหนดชวง

− −

1) ใชเสนจ านวน โดยเอา 2, -1/2 และ -3 มาเปนตวก าหนดชวง (เลอกเฉพาะตวทอยในเครองหมายคาสมบรณ)

ภายในชวงเดยวกน ไดผลมายงไงใหเอามา อนเตอรเซคกน แตเอาผลทไดจากแตละชวงมายเนยนกนเปนค าตอบสดทาย

Page 7: สรุปเนื้อหา ม.4 เทอม 1

สรปเนอหา ม.4 เทอม 1

สถาบนปนนอง 7

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

d

ผภาย

ดงนนค าตอบสดทายคอ − − ∪ − −

∪ −

∪ − −

17. ถาเจออสมการรปแบบ

จะแปลวา − แลวกแกอสมการตามปกตตอไป

จะแปลวา − แลวกแกอสมการตามปกตตอไป

จะแปลวา หรอ − แลวกแกอสมการตามปกตตอไป

จะแปลวา หรอ − แลวกแกอสมการตามปกตตอไป

-3 -1/2 2

− − −

− − −

− − −

− − ∩ − − −

ดงนนจะได อสมการใหมเปน

− − − +x

− − − +x

ดงนน

ภายในกรณเดยวกน เอามา ∩ กน

− − −

− −

− − −

− −

∩ − − −

ดงนนจะได อสมการใหมเปน

ดงนน

ภายในกรณเดยวกน เอามา ∩ กน

− − −

− − −

− − −

∩ − −

ดงนนจะได อสมการใหมเปน

ดงนน

ภายในกรณเดยวกน เอามา ∩ กน

− −

− −

− − −

− −

∩ − −

ดงนนจะได อสมการใหมเปน

ดงนน

ภายในกรณเดยวกน เอามา ∩ กน

∪ ∪ ∪