1

1

Лекция 4. РЕШЕНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ФУРЬЕ

В математической физике разработаны различные способы решения дифференциального уравнения в частных производных параболического типа. 1. Метод Фурье

Одним из распространенных методов решения уравнения диффузии является метод разделения переменных - метод Фурье. В данной лекции мы изложим основные положения этого метода и применим его для решения дифференциального уравнения параболического типа с постоянным коэффициентом диффузии.

Рассмотрим уравнение нестационарной диффузии в плоской неограниченной пластине:

2

2

xCD

tC

∂

∂=

∂∂ . (1)

Нужно найти решение (для конечного твердого тела), в котором переменные x и t разделены, т.е. функцию вида:

( ) ( )tgxfC mmmm α= . (2) Легко показать, что всегда можно найти общее решение Ур.1 в виде суммы бесконечного

ряда членов вида (2), . ∑=

=n

mmCC

1Для этого достаточно ввести в Ур.2 две произвольные независимые постоянные,

поскольку Ур.1 – второго порядка. Это общее решение используют для проверки принятых граничных условий, что позволяет определить частные решения и число независимых переменных. 1.1 Частные решения

Подставляя (2) в (1) получим: gfDgf ′′=′ . (3)

Так как переменные x и t являются независимыми, то:

aff

gg

D=

′′=

′1 , (4)

где a – произвольная постоянная. Решение Ур.4 является классическим:

( .cos

;

ϕ+=

=

xaicf

beg aDt

) (5)

Примечание: Первое уравнение системы (5) аналогично закону радиоактивного распада: DatbegDatgDat

ggDa

tg

g===

∂=

∂∂ ;lg;;1

.

Второе уравнение образовано только тригонометрическими функциями sin или cos, т.к. только у этих функций вторая производная равна самой функции, умноженной на константу. Действительно:

xaaxaaaxax

axax

−=−−−−=−∂∂

−−=−∂

∂ sinsincossin2

2.

Коэффициенты a не могут быть положительными, т.к. при положительных значениях этих коэффициентов решение является расходящимся во времени. Чтобы удовлетворить условию сходимости, примем:

2ω−=a . (6)

2

2

Подставляя (5) в (2) видим, что на самом деле b и c не являются независимыми постоянными: их произведение образует произвольную постоянную α. В результате частное решение Ур.1 имеет вид:

( ) tDmmmm

mexC2

cos ωϕωα −+= . (7) Если сумма членов Cm – действительное число (это так, поскольку она – скаляр), и если x

и t – независимые переменные, то ω также должно быть действительным числом. Окончательно C выражается как сумма частных решений, каждое из которых содержит две произвольные постоянные и которые связаны между собой любым законом суммирования. Общее решение:

∑∞

==

0mmCC . (8)

Обычно Ур.7 приводится в виде суммы двух простых тригонометрических рядов:

( ) ( ) tDmm

tDmmm

mm exBexAC22

cossin ωω ωω −− += . (9) В дальнейшем по необходимости будем использовать то или иное выражение.

BABA arctg;22 =+= ϕα . (10)

Частоты (для конечного тела они дискретны) находим из граничных условий. Константы mm BA и,α – из начальных условий.

1.2 Определение частот, ωm Будем рассматривать ограниченное в направлении х тело, т.е. будем полагать, что

пластина имеет конечную толщину, Н. В этом случае частоты принимают только дискретные значения.

Условие I – I. Концентрации на граничных поверхностях тождественно равны нулю: 0;00 == == Hxx CC (пластинка толщиной H).

Следовательно, 0=B (только в этом случае при ( )10cos,0,0 ≡== Cx ) и α=A , при : Hx =

0sin == xC mm ωα , т.к. 0sinто,0 =≠ xmωα . Последнее условие может выполняться только если

,H

mm

πω = (11)

0sinт.к. =H

mπ . Для Ур.7 имеем: 2πϕ −= – сдвиг фазы (т.к. 0приtg =∞→= B

BAϕ ).

Действительно:

( )

.2

и0cosьноследовател,cossintg

;tg,где,cos

;cossin

22

πααααα

ϕαϕωα

ωω

==∞==

∞→=+=−=

+=

BABAty

tBtAy

Условие II – II. Так как диффузионный поток на двух граничных поверхностях равен нулю, градиент на этих поверхностях также равен нулю. Производная от C на этих поверхностях также равна нулю независимо от величины t. Это означает, что ряд C содержит только косинусы (поскольку иначе градиент в точке 0=x не будет равен нулю) и что все коэффициенты A в Ур.8 равны нулю.

С другой стороны, значения Hmωsin тождественно равны нулю, что приводит к:

3

3

Hmmπω = .

Условие II – I. Диффузионный поток на первой граничной поверхности равен нулю. Функция C содержит только косинусы. На второй граничной поверхности концентрация равна нулю, следовательно:

Hm

m 2)12( πω +

= . (12)

То же условие будет справедливо и для случая I – II. Таким же образом можно получить значения φ в Ур.7. Все результаты согласованных условий I – II рода приведены в Табл.1.

Условие II-II II-I I-II I-I A 0 0 α α B Α α 0 0 ω

Hmπ

Hm2

)12( π+H

m2

)12( π+H

mπ

φ 0 0 2π− 2π− Замечание. В качестве иллюстрации, приведем пример выбора частот, сдвигов фаз и амплитуд для метода проницаемости. В этом методе в ходе диффузионного эксперимента на входе мембраны (пластина толщиной Н), т.е. точке х=0, поддерживается концентрация газа С10, а на выходе мембраны, т.е. в точке с координатой х=Н, - концентрация газа С20. Естественно, что значение С10 или С20 может равняться нулю (одновременно С10 и С20 быть равными нулю не могут). В этом случае граничные условия С(0,t)=C10; 0, C(H,t)=C20; 0, φ=-π/4+π/4, ω=mπ/4+π/(4H)+π/(4H), где m=0, 1, 2…., А=0;α, В=α;0. 1.3 Определение амплитуды (коэффициентов α)

С этой целью воспользуемся начальными условиями. Для расчета коэффициентов α или эквивалентных коэффициентов Am и Bm используется метод Фурье. Начальное распределение концентрации в пластинке задается в виде С(0)=f(x).

Через пластинку устанавливается диффузионный поток. Результирующая концентрация задается в виде:

( ) ,cos0

2

∑∞

=

−+=

m

Dtmmm

mexCω

ϕωα (13)

с дополнительным условием, что в момент времени 0=t , )()0( xfC =что дает

)cos()0()( mmm xtCxf ϕωα +=== . (14) (Подставляли в Ур.13 условие 0=t ). Индексы m, n или p указывают на запись ряда, что позволяет опустить знак суммы. Теперь найдем величину определенного интеграла:

∫ +H

mm drxxf0

)cos()( ϕω ,

вычисляемого от начала до конца линии диффузионного тока с такой точностью, с какой желательно получить коэффициент αm. Будем рассматривать элементарные задачи, следовательно:

Hm

HHm

Hm

HHHm

2)12(

2;2

,0

44

44ππππω

πϕ

πππω

ππϕ

+=+=

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

±+=

±−= (15)

(см. Табл.1)

4

4

Умножим правую и левую части выражения (14) на )cos( nn x ϕω + и возьмем интеграл (тем самым мы незаметно применяем теорему Фурье):

( ) ( ) (∫ ∫ +⋅+=+H H

nnmmmnn dxxxdxxxf0 0

coscoscos)( ϕωϕωαϕω ) ,

где изменяется только n от нуля до бесконечности. Условия (11) делают систему функций ( )ϕω +xcos системой ортогональных функций на

отрезке , т.е. при : ),0( H mn ≠

∫ =H

00 .

Действительно: для , mn ≠ [ ])cos()cos(21coscos βαβαβα ++−=⋅ ;

[ ]

ч.т.д.,0)(sin)(2

1

)(cos21)(cos)(cos

21

; то

II,-II или I-I задачи решаем мы т.к.)cos()cos(

21

0

0 0

≡±

⋅±

⋅=

=±

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

===++−

∫ ∫

∫

H

H H

mnmnmn

Hmn

mnH

dxxHmndxxnm

Hxnm

H

Hm

Hndxxx

ππ

πππ

πωπωωωωω

При , напротив: nm =

∫ =+H

mmmmHdxx

0

22

)(cos αϕωα ;

∫ =+H

mmmHdxxxf

0 2)cos()( αϕω . (16)

Эти выражения позволяют рассчитать mα , если известен . ∫ +H

mm dxxxf0

)cos()( ϕω

Действительно:

24

2sin24

2sin2

)(cos

0

0000

2 HxxxxdxxH

Hn

HnHHH

n

nmm =+=+=

=

∫4434421

π

π

ωω

ωα , ч.т.д.

Согласно (16) имеем:

∫ +=H

mmm dxxxfH 0

)cos()(2 ϕωα . (17)

Расчет коэффициентов α требует предосторожности в случае стенки с граничными условиями II-II (отражающие поверхности), когда функция C содержит только косинусы )0( =ϕ . Действительно, это разложение может включать как решение 0=ω . В этом случае концентрация представляется в виде:

K++= − DtexC21)cos( 110

ωωαα Можно рассчитать 0α тем же методом:

5

5

K++=

= ∫∫)cos()(

;)()cos()(

110

000

xxf

dxxfdxxxfHH

ωαα

ω

Легко видеть, что все интегралы, за исключением первого, равны нулю, что дает:

HdxxxfH

00

0 )cos()( αω =∫

и, следовательно,

∫=H

dxxfH 0

0 )(1α . (18)

Итак, полное решение для функции распределения концентрации по толщине мембраны:

∑ ∫∞

=

− ++⋅=0 0

)cos()0,()cos(2),(2

m

H

mmmmtD dxxxCxe

HtxC m ϕωϕωω (19)

или

[ ] [∑ ∫∞

=

− ++=0 0

cossin)0,(cossin2),(2

m

H

mmmnmmtD dxxBxAxCxBxAe

HtxC m ωωωωω ] . (20)

Мы рассмотрели здесь решения диффузионных уравнений, записанных в декартовых координатах. В Табл.2 представлены функции, входящие в решения диффузионных задач для различных систем координат. Табл.2 Система координат Вид функций, входящих в решение Декартова Круговая цилиндрическая Парабола-цилиндрическая Эллиптико-цилиндрическая Сферическая Вытянутого сфероида Сплющенного сфероида Параболическая Коническая Эллипсоидальная Параболоидальная

Экспоненциальные, тригонометрические, гиперболические Экспоненциальные, Бесселя, тригонометрические Тригонометрические, Вебера Тригонометрические, Матье Лежандра, тригонометрическая, степенная Тригонометрическая, Лежандра То же Тригонометрическая, Бесселя Ляме, степенная Ляме Бэра

2. Примеры решения диффузионных задач методом Фурье Пример. Задача на дегазацию пластины с произвольным начальным распределением

концентрации. Концентрация на поверхностях пластины поддерживается равной нулю в течение всего

эксперимента, т.е. имеем условие I-I. Как мы уже показали, в этом случае ,0; == BA mm α поэтому:

∫∑ ⋅=∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− H

m

tDHm

dxxH

mxCxH

meH

txC00

π

sin)0,(sin2),(

2

ππ . (21)

В частном случае, при равномерном начальном распределении примеси по толщине образца, т.е. при , constCxC == )0()0,(

6

6

xH

mem

CtxCm

tDHmm π

πsin)1(12),(

0

π

)0(

2

⋅−−

= ∑∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

. (22)

Действительно:

( ) ( )mHH

mHm

mHx

Hm

mHdxx

Hm )1(1cos1cossin

00

−−=−=−=∫ ππ

ππ

ππ ;

если m – четное, то . 0),( =txC

xH

kk

CtxCk

HtDk π

ππ )12(sinexp

1214),(

0

)12()0( 2

22 +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

+= ∑

∞

=

+ . (23)

При больших временах ряд быстро сходится и можно ограничиться одним первым членом:

xH

eCtxC HtD

ππ

sin4),( 2

2π

0 ⋅=−

. (23а)

Если необходима точность 1%, ограничиться первым членом ряда можно при временах DHt 22105,4 −⋅> .

Рис.1 Аппроксимация концентрационного профиля суммой синусоид с кратными частотами Количество примеси, оставшееся в образце ко времени t:

( ) ∫ ∑∞

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

+==

H

k HDtk

kHCdxtxCtq

0 02

22

2)0(2)12(exp

)12(18),( π

π. (24)

Поток диффузанта из пластины описывается первым законом Фика:

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=== Hxx x

CDSxCDSJ

0потоки в разные стороны из образца одинаковы.

Отсюда получаем выражение для потока диффузанта, выходящего из одной из плоскостей пластины:

( ) ∑∞

=

+−

±=0

)12()0( 2

22

4

k

HDtk

eH

SDCtJ

π

. (25)

Если концентрация диффузанта на ограничивающих поверхностях , то: )0(0 )0,(а,),(),0( CxCCtHCtC ===

7

7

( ),expcos)1(1

expcos)1(2),(~

10

21

12

221

0)0(

0

∑

∑∞

=

+

∞

=

+

−−=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧−−=

−−

=

nnn

n

n

n

n

FHx

HDtn

Hxn

nCCCtxC

C

µµµ

πππ

(26)

где tHDFnn 20; == πµ – безразмерное время.

Пример 2. Дегазация пластинки, одна из поверхностей которой – отражающая поверхность, т.е. граничные условия II-I (такое же решение будет и в случае дегазации пластинки, но тогда вместо H следует ввести параметр 2/HR = ).

В этом случае 0=ϕ и распределение концентрации диффузанта:

xdxH

kxCHH

DtkH

ktxCH

n 2)12(cos)0,(2

4)12(exp

2)12(cos),(

002

22 πππ +⋅

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−

+= ∫∑

∞

=. (27)

Пример 3. Диффузия в сфере радиуса R с равномерным начальным распределением концентрации C и концентрацией на поверхности )0(),0( Ct = 0),( CtRC = .

Распределение концентрации диффузанта:

( )( )

∑∞

=

−

−−

=1

02

0)0(

0exp)sin(),(,~

n n

n

n r

FRrR

ACCCtrCtrC

µ

µ, (28)

где r – текущая координата, r0 – радиус шарика, , 1)1(2 +−⋅= nnA πµ nn = , критерий Фурье

– 20 RtDF = .

3. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в ограниченное твердое тело

Рассмотрим пластинку, в центре которой расположен бесконечно тонкий источник диффундирующего вещества. Таким образом, источник расположен в плоскости 2/Hx = .

Воспользуемся общей формулой для расчета распределения концентрации:

∑ ∫∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=0 0

sin)0,(sin2),(

2

m

HtDH

m

dH

mCxH

meH

txC ααπαππ

. (29)

8

8

Рассмотрим окрестность плоскости 2H с границами hH −2 и hH +2 . Пусть в этом

интервале при при )0(,0 CCt == consthCqh ==→ 02,02 ; т.к. для всех hHx +>2

и

0)0,(,2

=+< αChHx , то:

2sinsin

2limsin)0,(

2

2

00

πααπααπα mqdH

mh

qdH

mC

hH

hHh

H== ∫∫

+

−→

.

Напомним, что для четных значений 02

sin, =πmm , а для нечетных m

kxH

k )1()12(sin −=+ π . Имеем:

₣F ∑∞

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−−

+==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

02

22)12(exp)1()12(sin2),(,2

,k

kR

HtDk

Hxk

HqtxCHxG ππτ . (30)

Полученное выражение играет основополагающую роль в импульсной теории диффузии – где решение получается как сумма подобных импульсных функций. Приведенное выражение часто называется функцией «тэта». Разложение в ряд Фурье обозначается как ₣),( txC F. Позднее мы покажем, как путем простого суммирования можно получить общее уравнение диффузии на основе импульсного уравнения, записанного в виде функций «тэта» (См. Приложение).

При больших временах, при DHt 22106 −⋅≥ можно ограничиться одним членом ряда

(точность 1%). Если импульс действует бесконечно малое время в произвольной точке ξ (т.е. бесконечно

тонкий слой примеси расположен в точке ξ), то распределение концентрации:

Рис.2 Диффузия из бесконечно тонкого слоя в тело конечных размеров

4. Диффузия из постоянного источника (сорбция) Рассмотрим поглощение примеси из газовой фазы пластинкой толщиной H.

9

9

Рис.3 Диффузия из постоянного источника в тело конечных размеров Будем искать решение в виде ),(),(~

0 txCCtxC −= :

ααπαππ

dH

mCxH

meH

txCm

HtDH

m

∑ ∫∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=0 0

sin)0,(~sin2),(~2

. (31)

Т.к. 0)0,(~ CC =α , то:

( )ππ

ααπααπα mm

HCd

HmCd

HmC

HHcos1sinsin)0,(~ 0

00

0

−== ∫∫ ;

.)12(sin12

12

sincos12),(~

0

)12(0

0

0

2

22

2

∑

∑

∞

=

+−

∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

++

=

=−

=

k

HtDk

m

tDH

m

xH

kek

C

xH

mem

mCtxC

ππ

πππ

π

π

(32)

Действительно 0cos1 =− πm для четных m. Окончательное решение для распределения концентрации имеет вид:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−

++= ∑

∞

=02

22

0)12(sin)12(exp

12141),(

kx

Hk

HtDk

kCtxC ππ

π. (33)

В пределе при −→∞→ 0, CCt равновесная растворимость газа в твердом теле. Количество вещества поглощенное пластиной ко времени t:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−

+−== ∑∫

∞

=2

22

0220

0

)12(exp)12(

181),(H

tDkk

HCdxtxCqk

H ππ

. (34)

При больших временах DHt 22105,4 −⋅> можно ограничиться одним членом ряда.

Для случая десорбции соответствующие выражения, как уже было показано, имеют вид:

xH

kk

CtxCk

HtDk π

ππ )12(sinexp

1214),(

0

)12()0( 2

22 +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

+= ∑

∞

=

+ ; (35)

∑∞

=

+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

+=

0

)12(202 2

22exp

)12(18)(

kH

tDk

kHCtq π

π. (36)

10

10

]

]

5. Диффузия в тело неограниченных размеров Существенная разница между ограниченным и бесконечным телом заключается в том, что

если решение для конечного тела содержит набор дискретных частот, то в бесконечном теле – участвуют все частоты (непрерывный спектр частот).

Напомним, что для ограниченного тела ряд Фурье:

[ ]∑∞

=

− +=0

cos)(sin)(),(2

mmmmmmm

tD xBxAetxC m ωωωωω . (37)

Для бесконечного тела:

[∫+∞

∞−

− += ωωωωωω dxBxAetxC tDm cos)(sin)(),(2

. (38)

С начальным условием:

[∫+∞

∞−

+== ωωωωω dxBxAxfxC cos)(sin)()()0,( . (39)

Воспользуемся интегральной теоремой Фурье, т.е. тем фактом, что практически любую функцию можно разложить на систему ортогональных функций синусов и косинусов:

ωωξωξξπ

ωξωξξπ

ωξξωξπ

dxdf

xdfddxfxf

⎭⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

∫

∫ ∫∫ ∫

∞+

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

sinsin)(21

coscos)(21)(cos)(

21)(

(40)

Сравнивая (39) и (40) имеем:

∫+∞

∞−

= ξωξξπ

ω dfA sin)(21)( ; (41а)

∫+∞

∞−

= ξωξξπ

ω dfB cos)(21)( . (41б)

Подставив в общее решение (39) получим:

[ ]

.)(cos)(21

sinsincoscos)(21),(

2

2

∫ ∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

−

+∞

∞−

+∞

∞−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

ξωξωξπ

ωξωωξωωξξπ

ω

ω

ddxef

ddxxfetxC

tD

tD

(42)

Т.к. интеграл в квадратных скобках tDx

tD etD

dxe 4)( 2

2)(cos

−−∞+

∞−

− ⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−∫

ξω πωξω , то общее

решение для бесконечного твердого тела:

∫∞+

∞−

−−

= ξξπ

ξ

deCtD

txC tDx

4)( 2

)0,(2

1),( (43)

или в трехмерном случае:

.4

)()()(exp),,()2(

1),,,(222

3 ςηξτ

ςηξςηξπ

τ dddD

zyxftD

zyxC ∫ ∫ ∫+∞

∞− ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+−+−−⋅= (44)

11

11

6. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в бесконечное пространство

Выделим точку a и окрестности haha +− , . Пусть в этом интервале концентрацию можно считать равномерно распределенной constCxfxC === )0()()0,( . Тогда hCq 2)0(= за пределами интервала 0)( =ξf .

Из уравнения (18) имеем:

∫∫+

−

−−+

−

−−

==ha

ha

tDxha

ha

tDx

dehtD

qdeCtD

txC ξπ

ξπ

ξξ4

)(4

)(

0

22

21

221),( . (45)

По теореме о среднем:

tDxh

tDxh

etD

qhehtD

qtxC 4)(

4)( 22

22

21

2),(

−−

−−

=⋅=θθ

ππ. (46)

axxCaxxCtxCh =∞=≠=→→<<− при)(;при0)(;),(,0при11 δθ ;

таким образом, для мгновенного источника вещества, действующего в точке a:

₣F )(4)(

04

)(2

22

)(21),,,(;

2),,( τ

ξ

τπτξ

πτ −

−−−

−

−=== ta

xtD

xa

etD

txGetD

qaxG . (47)

Это и есть фундаментальное решение уравнения диффузии для бесконечного тела (функция источника на бесконечной прямой, бесконечно короткий импульс в бесконечной среде).

Значение максимума концентрации изменяется во времени согласно выражению:

( )tD

qtCπ2max = . (48)

7. Диффузия из слоя конечной толщины в бесконечную среду Пусть в начальный момент времени концентрация примеси распределена равномерно в слое толщиной h.

Начальное условие: hxhconstCxC +≤≤−== при)0,( )0( ;

+∞<<+−<<∞−= xhhxxC приипри0)0,( . Рассмотрим решение для распределения концентрации:

12

12

.222

2;

2

:анияинтегрировпределыИзменим

221),(

2

0

2

0

)0(2

2

)0(

4)(

)0(4)(

)0(

222

22

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+==

=

+<<−

−=

−====

∫∫∫

∫∫

−

−

+

−

−

+−

−

+

−

−−∞+

∞−

−−

tDxh

ztD

xh

ztD

xh

tDxh

z

h

h

tDx

tDx

dzedzeC

dzeC

hhtDxdz

tDxzde

tD

CdeC

tDtxC

πππ

ξ

ξξξπ

ξπ

ξξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=

tDxherf

tDxherf

CtxC

222),( )0( , (49)

где ∫ −=y

z dzeyerf0

22π

– функция ошибок, широко используемая в математической статистике.

Напомним ее основные свойства: 1;00;)( =∞=−=− erferfyerfyerf .

Таким образом, уравнение теплопроводности генерирует целый класс функций, причем известная функция ошибок – частный случай, генерируемый уравнением теплопроводности (т.е. дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа).

Рис. 4 Графики дифференциальной и интегральной форм функции ошибок Рис.5 Диффузия из слоя конечной толщины в неограниченное тело

8. Диффузия из полубесконечного пространства Решим диффузионное уравнение при граничном условии IV-рода

Пусть диффузионный образец составлен из двух толстых пластин соединенных вместе. В начальный момент времени в одном образце было равномерно распределена примесь, во втором – примеси не было.

Начальное условие:

.0для0)0,(;0для)0,( )0(

>=<=

xxCxCxC

Общее решение:

.0)(,0при)()(2

1),(0

4)(0

4)( 22

=>⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+= ∫∫

∞+ −−

∞−

−−

ξξξξπ

ξξ

fefeftD

txC tDx

tDx

(50)

13

13

Проведем соответствующие выкладки:

( )

.2

12

222

),(

)0(2

00

)0(

2)0(

04

)()0(

22

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

=−==

∫∫

∫∫

−∞+

−

∞−

−

∞−

−−

tDxerf

Cdzedze

C

tDdzetD

Cde

tD

CtxC

tDx

zz

tDx

ztDx

π

πξ

π

ξ

Напомним, что π=∫∞

−

0

2dze z .

Рис.6 Диффузия из полубесконечного пространства

9. Диффузия в полуограниченное тело Воспользуемся решением для бесконечного тела:

∫∞+

∞−

−−

= ξξπ

ξ

deftD

txC tDx

4)( 2

)(2

1),( . (51)

Разобьем бесконечное тело на два полубесконечных, так что:

⎩⎨⎧

<>

=.0для)0,(;0для)0,(

)(1 ξξ

ξξξ

CC

f

Тогда, распределение концентрации диффузанта:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+= ∫∫

∞+ −−

∞−

−−

0

4)(0

4)(

1

22

)0,()0,(2

1),( ξξξξπ

ξξ

deCdeCtD

txC tDx

tDx

. (52)

Замещая ξ−=y , имеем:

;)0,()0,()0,(0

4)(

1

04

)(

1

04

)(

1

222

∫∫∫∞ +

−

∞−

−−−

∞−

−−

−=−−= dyeyCdyeyCdeC tDyx

tDxy

tDx

ξξξ

14

14

.)0,()0,(2

1

)0,()0,(2

1),(

0

4)(

14

)(

0

4)(

0

4)(

1

22

22

ξξξπ

ξξξξπ

ξξ

ξξ

deCeCtD

deCdeCtD

txC

tDx

tDx

tDx

tDx

∫

∫∫

∞ +−

−−

∞ −−∞ +

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+−=

(53)

Полученное выражение представляет собой общее решение диффузионного уравнения для полуограниченного тела. Функция )0,(1 ξ−C – неизвестна, ее можно определить из граничных условий.

10. Диффузия в полуограниченном теле с отражающей границей (x = 0)

Начальное условие: )0()0,0( CC = Граничное условие:

.0),(0

0 =∂∂

−==

=x

x xCDtxj

Записав общее решение для концентрации, вычислив с его помощью поток, найдем из граничного условия 0 . Тогда окончательно имеем: ),( =txj

∫∞+ +

−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+=

0

4)(

4)( 22

)0,(2

1),( ξξπ

ξξ

deeCtD

txC tDx

tDx

(54)

11. Диффузия из слоя конечной толщины в полуограниченное тело с отражающей границей.

Начальное условие:

⎩⎨⎧

∞≤≤≤≤

=.для0;0для

)0,( )0(

xhhxC

xC

Граничное условие: .0),0( =tj Рис.7 Изменение со временем концентрационного профиля при диффузии из слоя конечной толщины в полуограниченное тело с отражающей границей Общее решение диффузионного уравнения:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

−=

tDxherf

tDxherf

CtxC

222),( )0( . (55)

12. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в полуограниченное тело с отражающей границей.

Пусть в бесконечно тонком слое толщиной в начальный момент времени сосредоточено количество вещества q

0→h

)0( hC= .

15

15

Рис.8 Диффузия из бесконечно тонкого слоя в полуограниченное тело Окончательное решение для изменения распределения концентрации имеет вид:

tDx

etD

qC 4

2−

=π

. (56)

13. Диффузия в полуограниченном теле со связывающей границей (граничное условие I-IV).

Начальное условие: . )0,(xCC =Граничное условие: 0при0),0( >= ttC . Общее решение имеет вид:

∫∞+ +

−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

0

4)(

4)( 22

)0,(2

1),( ξξπ

ξξ

deeCtD

txC tDx

tDx

. (57)

А) Частный случай начального равномерного распределения )0()0,( CxC = .

Рис.9 Диффузия из полуораниченного тела со

связывающей границей Распределение концентрации:

.2

2),(

)0(

0

4)(

4)(

)0(

22

tDxerfC

deetD

CtxC tD

xtD

x

=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−= ∫

∞ +−

−−

ξπ

ξξ

(58)

Полученное решение описывает распределение концентрации в процессе односторонней дегазации полуограниченного твердого тела.

Б) Частный случай диффузии из постоянного источника (сорбция). 0)0,(;),0( 0 == xCCtC .

Распределение концентрации:

( )Dt

xerfcCDt

xerfCtxC22

1, 00 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (59)

Поток диффузанта:

( )t

DCx

tD

π00

2

==

etD

DSCtxJx

x π40

0, =−

=

( ) ( )

. (60)

Общее количество диффузанта, поступившее в образец ко времени t:

∫ ==t C

dttxJtq0

0,π

tD2 . (61)

Рис.10 Диффузия из постоянного источника в полуограниченное тело

16

16

* * * Мы продемонстрировали преимущества метода Фурье при решении диффузионных задач. Метод довольно просто справляется с ограниченными областями, в которых задано произвольное начальное распределение концентрации диффузанта. Следует однако предупредить о значительных трудностях, которые могут возникнуть при применении метода разделения переменных при неоднородных граничных условиях и при граничный условиях сопряжения (4-го рода). Метод Фурье может быть использован для решения задач диффузии в неограниченной области, если вместо суммирования частных решений по индексу, пробегающему целые значения, провести интегрирование по непрерывно изменяющемуся параметру. Непосредственное решение краевых задач методом Фурье в полуограниченных областях невозможно, за исключением тех случаев, когда спектр собственных значений µn является дискретным. Отметим, что при решении задач стационарной диффузии основная идея метода Фурье состоит в том, что исходная краевая задача для уравнения в частных производных сводится к двум или трем (в зависимости от числа пространственных независимых переменных) обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых не вызывает особых затруднений.