课 题 第 4 章　导数与微分 4.2 　求导法则②

目的要求 1 ．掌握隐函数求导法、对数求导法、参数方程求导法 2 ．掌握高阶导数的计算 重点、难点和突破的方法 难点：隐函数的求导法复习提问 教具

作业（附后）课后记教学内容的步骤（附后）

江西工业工程职业技术学院课时计划课程名称 高等数学 2008~ 09 年第 一 学期 第 09 周 第 1 次课 总第 10 次课

班 级 机电 083班 机电 084 班 授课日期 10月 28日

5510月 28日

例 2 = ln( 1 ) ,x x 设 求 y y

解 2[ln( 1 )]x x y

)1(1

1 2

2xx

xx

])1(1[1

1 2

2

x

xx

xx x x

2

2 2

1 11 (1 )

1 2 1

.1

12x

22 11

1

1

x

x

xx

4.2 　求导法则②4.2 　求导法则②

三、基本初等函数的导数公式三、基本初等函数的导数公式

第 4章　导数与微分第 4章　导数与微分

四、三个求导方法四、三个求导方法五、高阶导数五、高阶导数

,1

1)(arcsin

2xx

,

1

1)(arccos

2xx

,1

1)(arctan

2xx

.

1

1)cotarc(

2xx

(tan x) = sec2x .

(cot x) = - csc2x .(sec x) = sec x tan

x .(csc x) = - csc x cot x .

(x ) = x -1 .

(sin x) = cos x. (cos x) = sin x.

.1

)(lnx

x .ln

1)(log

axxa

(ex) = ex.(ax) = ax lna .

( )0C( )1 ( )2( )3 ( )4( )5 ( )6( )7 ( )8

( )9 ( )10

( )11 ( )12

( )13 ( )14

( )15 ( )16

三 . 基本初等函数的导数公式

( )x

1

x，

x2

1

2

1.

x

课堂练习

57 1(2.4.6.8)

四、三个求导方法四、三个求导方法

例 1 求由方程 xy = ln(x+ y) 所确定的隐函数 的导数　

.dy

dx

解 在方程两边对 x 求导 , 得( xy )′= [ ln(x+ y) ]′

即 1

( ) ( ) ( )x y x y x yx y

则

.2

21

y + xyy

xy x

1

(1 )y xy yx y

从而

1. 隐函数求导法

(2) 从方程中解出 y′.

隐函数求导法的一般步骤 :

(1) 在方程两边对 x 求导 , 注意把 y 看成是 x 的函数 ;

例 2 　设 y = (sin x) x ，求 y .

解　 lny = x ln(sin x)

1 coslnsin

sin

xy x x

y x

所以 lnsin + coty y x x x

(sin ) lnsin + cot xx x x x

参数方程，它的一般形式为

( )

( )，x t

y t

3. 参数方程求导法

( )

( )

dy t

dx t

一般地 , 这个方程确定了 y 与 x 之间的函数

关系 , 且求导公式为

解

　　例 3 　求由摆线的参数方程式

(a 为常数 ) 所确定的函数的导数 .

)cos1(

)sin(

tay

ttax ，

dy

dx

dy

dx

[ (1 cos )]

[ ( sin )]

a t

a t t

--

sin

(1 cos )

a t

a t-

sin

1 cos

t

t-cot

2

t

如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，

所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，

.d

d2

2

x

y记作 f (x) 或 y 或　　　　　　　　　　　如对二阶导数再求导，则

称三阶导数， .d

d3

3

x

y记作 f (x) 或 　四阶或四阶以上导数

记为 y(4) ， y(5) ， · · · ， y(n) ,d

d4

4

x

y,

d

dn

n

x

y或 · · · ， 二阶及

二阶以上的导数统称为高阶导数 ,

五、高阶导数五、高阶导数

而把 f (x) 称为

f (x) 的一阶导数 .

例 4 　设 y = ex ，求 y(n).

y = ex ， y = ex ， · · · ， y(n) = ex .解

例 6 　设 y = a0xn+ a1xn-1 + a2xn-2 + … + an ，求 y(n).

y = a0nxn-1+ a1(n-1)xn-2 + a2(n-2)xn-3 + … + an-1 解

y = a0n(n-1)xn-2+ a1(n-1) (n-2)xn-3 + a2(n-2) (n-3)xn-4 + … + 2an-2

﹗ 0

ny a n

当 k ＞ n 时 , 0ky

作业

57 3.4.6(1).