2.2 导数的基本公式与运算法则

2.2.1 基本初等函数的导数公式

(x ) = x -1 .

(ax) = ax lna . (ex) = ex.

' 0 (c c 为任意常数)

.ln

1)(log

axxa .

1)(ln

xx

(sin x) = cos x. (cos x) = sin x.

(tan x) = sec2x .

(cot x) = - csc2x .(sec x) = sec x tan

x .(csc x) = - csc x cot x .

,1

1)(arcsin

2xx

另外还有反三角函数的导数公式：

,1

1)(arccos

2xx

,1

1)(arctan

2xx

.1

1)cotarc(

2xx

例 1 求下列函数的导数：

(1) y x x

(2) 2xy

(3) lgy x

定理 2. 1 　设函数 u(x) 、 vx 在 x 处可导， )0)((

)(

)(xu

xu

xv

在 x 处也可导，(u(x) v(x)) = u(x) v (x);(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);

.)]([

)()()()(

)(

)(2xu

xvxuxvxu

xu

xv

2.2.2 导数的四则运算2.2.2 导数的四则运算

且则它们的和、差、积与商

推论 1 　 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数 ).

推论 2 .)(

)(

)(

12 xu

xu

xu

( ) ' ' ' 'uvw u vw uv w uvw

乘法法则的推广：

补充例题： 求下列函数的导数：

解　根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4) ，(5cos x) = 5(cos x) ， (cos x) = - sin x ，(ex) = ex ， (1) = 0 ，故 f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1)

= (3x4) (ex ) + (5cos x) (1)

= 12x3 ex 5sin x .

f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1

又 (x4) = 4x3 ，

　　例 1 　设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1 ，求 f (x) 及 f (0). 　

例 2 　设 y = xlnx ， 求 y .

解　根据乘法公式，有

y = (xlnx)= x (lnx) (x)lnx

xx

x ln11

.ln1 x

解　根据除法公式，有

22

22

2 )1(

)1()1()1)(1(

1

1

x

xxxx

x

xy

例 3 　设 ,1

12

x

xy 求 y .

22

22

)1(

)1]()1()[(])1())[(1(

x

xxxx

.)1(

12

)1(

)1(2)1(22

2

22

2

x

xx

x

xxx

教材 P32 例 2 求下列函数的导数：3(1) cosy x x 2(2) xy x e

2(3)

1

xy

x

3 2(4) 2 3 siny x x x e

解：3 3 2(1) ' ( cos ) ' ( ) ' (cos ) ' 3 siny x x x x x x

2 2 2 2(2) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' 2 ( 2)x x x x x xy x e x e x e xe x e x xe 2 2

2 2 2

'(1 ) (1 ) '(3) ' ( ) '

1 (1 )

x x x x xy

x x

2

2 2

1 ( 2 )

(1 )

x x x

x

22

2

)1(

1

x

x

3 2(4) ' (2 ) ' (3 sin ) ' ( ) 'y x x x e 0)'sin(3)'(2 3 xxx)cos(sin36 2 xxxx

2.2.3 高阶导数2.2.3 高阶导数如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，

所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，

.d

d2

2

x

y记作 f (x) 或 y 或　　　　　　　　　　　如对二阶导数再求导，则

称三阶导数， .d

d3

3

x

y记作 f (x) 或 　四阶或四阶以上导数

记为 y(4) ， y(5) ， · · · ， y(n) ,d

d4

4

x

y,

d

dn

n

x

y或 · · · ，　　　 　　而把 f

(x) 称为 f (x) 的一阶导数 .

例 3 求下列函数的二阶导数

(1) cosy x x (2) arctany x

(1) ' cos ( sin ) cos siny x x x x x x

xxxxxxxy cossin2)cos(sinsin"

2

1(2) '

1y

x

22

2

)1(

)'1("

x

xy

22 )1(

2

x

x

解：

二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算

2.2.4 复合函数的求导法则2.2 ( ) ( )

( ( ))

'( )

'( )

dy dy du

dx du dxdy

f u u xd

u u x x y f u

u y f u x

x

x

定理 若函数 在点 可导，函数 ＝在点 处可导，则复合函数

在点 可导，且

或记作：

　　推论　设 y = f (u) ， u = (v) ， v = (x)

均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，.xvux vuyy

以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 .

2 3

tan

4.

1 (3 1) ; 2) sin( 2);

3) ln cos ; 4) ;

5) 2

x

x

y x y x

y x y e

y

例 求下列函数的导数：

）

3 2

3 2 2 2 2

2 2 2 2

(1) ( ), ( ) 3 1,

' [ ( )]' 3 ( ) ( ) ' 3(3 1) (3 1) '

3(3 1) 6 18 (3 1)

y u x u x x

y u x u x u x x x

x x x x

解：函数可以分解为

(2) 2

' cos( 2) ( 2) '

1cos( 2)

2

cos( 2)

2

x

y x x

xx

x

x

把 当作中间变量，

(3) cos

1 sin' (cos ) ' tan

cos cos

x

xy x x

x x

把 当作中间变量，

tan tan 2 tan

(4) tan

' ( ) ' (tan ) ' secx x x

x

y e e x xe

把 当作中间变量，

(5)

' (2 ) ' 2 ln 2 ( ) ' 2 ln 2x x x

x

y x

把 当作中间变量，

先将要求导的函数分解成基本初等函数 ,或常数与基本初等函数的和、差、积、商 .

任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出 .

复合函数求导的关键 : 正确分解初等函数的复合结构 .

求导方法小结：

2 3 2 21 ( 1 ) ; (2) cos3 (3) 3 2 4 lg cos(3 2 )xy x y y x x x

练习：求下列函数的导数(课堂练习)

（） ； ； （）

2 2

2

2 22 2

2 2

(1) ' 6 ( 1 )

(2) ' 3 ln 3 sin 3

2 3(3) '

2 3 2

[cos(3 2 )]' sin(3 2 )(4) ' (3 2 ) ' 4 tan(3 2 )

cos(3 2 ) cos(3 2 )

x x

y x x

y

xy

x x

x xy x x x

x x

解:

例 5 ：求下列函数的导数

（ 1 ） （ 2 ）

（ 3 ） （ 4 ）

2cos xy 232 xxey

xy lnlnln )1ln( 2 xxy

2.2.5 隐函数的导数0

0 ( )

y x F x y

F x y y y x与 的关系由方程（ ， ）＝ 确定，未解出因变量的

方程（ ， ）=所确定的函数 称为隐函数

6 ( ) 1 .y dyy y x y xe

dx 例 设函数 由方程 所确定，求

' (1) ' ( ) ',

' ( ) '

(1 ) '

'1

y

y y y y

y y

y

y

x y xe

y e x e e x e y

xe y e

ey

xe

解：上式两边对 求导，则有 ＝ 即

1

' ;

2 '.

x y

y

y

隐函数的求导步骤：（）方程两边对 求导，求导过程中把 视为中间变量，得到一个含有 的等式

（）从所得等式中解出

2 27 ( ) cos( ) .dy

y y x y x y xdx

例 设函数 由方程 所确定，求

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

' ' sin( ) ( ) '

1 ' sin( ) (2 2 ')

1 ' 2 sin( ) 2 sin( ) '

[1 2 sin( )] ' 1 2 sin( )

1 2 sin( )'

1 2 sin( )

x

x y x y x y

y x y x yy

y x x y y x y y

y x y y x x y

x x yy

y x y

解：方程两边分别对 求导，得

2( ) 2 .dy

y y x xy y xdx

练习：设函数 由方程 所确定，求

2 ( ) ' ( ) ' 2

' 2 ' 2

( 2 ) ' 2

2'

2

x

xy y

y x y y y

x y y y

yy

x y

解：两边分别对 求导，得

*2.2.7 二元函数的偏导数的求法

求 对自变量 ( 或 ) 的偏导数时 , 只须将另一自变量 ( 或 ) 看作常数 , 直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算 .

),( yxfz xy

yx

例 1 设函数 3 2 4( , ) 2 3 ,f x y x x y y

求 ( , ),xf x y ( , ),yf x y (1,1),xf (1, 1),yf

解：

xyxyyxxyxf xx 43)32(),( 2423 32423 122)32(),( yxyyxxyxf yy

111413)1,1( 2 xf

14)1(1212)1,1( 32 yf

例 2 设函数 求),ln()( 2222 yxyxz x

z

y

z

解：xx yxyxyxyx

x

z]))[ln(()ln()( 22222222

2 2 2 2 2 22 2

12 ln( ) ( ) ( )xx x y x y x y

x y

2 22 ln( ) 2x x y x

2 22 [ln( ) 1]x x y

类似可得22

2222 2)()ln(2

yx

yyxyxy

y

z

2 22 [ln( ) 1]y x y

*2.2.8 二元函数的二阶偏导数*2.2.8 二元函数的二阶偏导数函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数

),,( yxfx

zx

),,( yxfy

zy

一般说来仍然是 x , y 的函数， 如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是 f (x , y) 的二阶偏导数 .

依照对变量的不同求导次序，　　　　　　　　　　　　　　　二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）

x

z

xx

z

x2

2

x

z

),( yxf xx ;xxz

x

z

yx

z

y yx

z

2

),( yxf xy ;xyz

y

z

xy

z

x xy

z

2

),( yxf yx ;yxz

y

z

yy

z

y2

2

y

z

),( yxf yy .yyz

其中 及 称为二阶混合偏导数 .),( yxf xy ),( yxf yx

类似的，可以定义三阶、四阶、… 、 n 阶偏导数，

二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，

),(

,),(

yxf y

yxf x而

称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数 .

注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的 即 ),( yxf xy ( , )yxf x y

例 3 arctan ,xy设 z试求函数的四个二阶偏导函数

yx

z

2

xy

z

22

2

z

y

2

2

z

x

思考题一

求曲线 上与 轴平行的切线方程 .

32 xxy x

思考题一解答232 xy 令 0y 032 2 x

32

1 x32

2 x

切点为

964

,32

964

,32

所求切线方程为9

64y

964

y和