3.8 复合函数的导数[ 法则 4] 如果函数 y ＝ f(u) 对 u 可导，函数 u ＝ g(x) 对 x 可导，则复合函数 y ＝ f[g(x)] 对 x 也可导，且 yx' ＝ yu'·ux' 。 即复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。证明：设 Δy 、 Δu 、 Δx 分别为 y 、 u 、 x 的增量 因为 u ＝ g(x) 在 x 处可导，所以 u ＝ g(x) 在 x 处连续当 Δx→0 时 Δu→0 。 由 和 可得

即 yx’ ＝ yu’·ux’

x

u

u

y

x

y

u

y

u

yux

00limlim

x

u

u

y

x

u

u

y

x

yxuxxx

00000limlimlimlimlim

例 3.17 求下列函数的导数 ⑴ 　　　 ⑵　

⑶ 解：⑴ 设 y ＝ ， u ＝ 2x ＋ 1 ，

yx’ ＝ yu’·ux’ ＝

⑵ yx' ＝ -4(1 － 3x)-5(1 － 3x)' ＝ 12(1 － 3x)-5

⑶ yx' ＝

12 xy 4)31(

1

xy

)3

2(cos2 xy

u

12

112

2

1

xuu

2)]3

2sin()[3

2cos(2

xx

)3

24sin(2)

32cos()

32sin(4

xxx

例 3.20 求下列函数的导数 ⑴ y ＝ ln cosx ＋ cos(lnx) ⑵ y ＝ (2x2 － 3)

解：⑴

⑵

21 x

xxx

xy

1)]sin(ln[)sin(

cos

1'

x

xtgx

)sin(ln

xxxxxy 2)1(2

1)32()1(4' 2

1222

12

2

3

2

22

1

6

1

)32(14

x

xx

x

xxxx

3.9 反函数的导数[ 法则 5] 已知严格单调函数 y ＝ f(x) 是严格单调函数 x ＝ g(y)的反函数，且 x ＝ g(y) 在点 y 处的导数不为零，那么

y ＝ f(x) 在 x 处可导，且1. 反三角函数的导数 ⑴ (arcsinx)' ＝ (-1 ＜ x ＜ 1)

⑵ (arccosx)' ＝ (-1 ＜ x ＜ 1)

⑶ (arctgx)' ＝ (-∞ ＜ x ＜ +∞)

⑷ (arcctgx)' ＝ (-∞ ＜ x ＜ +∞)

)('

1)('

1'

'

ygxf

xy

yx 或

21

1

x

21

1

x

21

1

x

21

1

x

例 3.20 求下列函数的导数 ⑴ y ＝ x arcsinx ⑵ y ＝ arccos (a ＞ 0) ⑶ y ＝ arctg2x解： ⑴

⑵

⑶

22 1arcsin

1

1arcsin'

x

xx

xxxy

222

11

)(1

1'

xaa

ax

y

22 41

22

)2(1

1'

xxy

a

x

2. 指数函数的导数 ⑴ (ex)' ＝ ex

证明： ∵ 指数函数 y ＝ ex 与对数函数 x ＝ lny 互为反函数， 而 xy' ＝ (lny)' ＝

∴yx' ＝ ＝ y ＝ ex

⑵ (ax)' ＝ axlna证明： ∵ 指数函数 y ＝ ax 与对数函数 x ＝ logay 互为反函数， 而 xy' ＝ (logay)' ＝ ∴yx' ＝ ＝ ylna ＝ axlna

xey

11

'

1

yx

'

1

yx

aaay x ln

1

ln

1

例 3.24 求下列函数的导数 ⑴ y ＝ x3ex

⑵ y ＝ e3x ＋ a5x

⑶ y ＝ eaxcosbx解： ⑴ y' ＝ 3x2ex ＋ x3ex

⑵ y' ＝ e3x·3 ＋ a5xlna·5 ＝ 3e3x ＋ 5a5xlna ⑶ y' ＝ eax·a·cosbx ＋ eax( － sinbx·b) ＝ eax(acosbx － bsinbx)

[ 导数公式表 ] y ＝ C (C 为常数 ) y’ ＝ 0y ＝ xα(α 为实数 ) y’ ＝ αxα-1

y ＝ logax y’ ＝ y ＝ lnx y’ ＝

y ＝ ax y’ ＝ axlna y ＝ ex y’ ＝ ex

y ＝ sinx y’ ＝ cosx y ＝ cosx y’ ＝ -sinxy ＝ tgx y’ ＝ sec2x y ＝ ctgx y’ ＝ -csc2x

y ＝ arcsinx y’ ＝ y ＝ arccosx y’ ＝

y ＝ arctgx y’ ＝ y ＝ arcctgx y’ ＝a xln

1

x

1

21

1

x 21

1

x

21

1

x 21

1

x

3.10 隐函数的导数 所谓隐函数是指 y 是 x 的函数，但 y 与 x 之间的

关系只能由 F(x,y) ＝ 0 给出，而不易化成 y ＝ f(x) 的形

式的函数。

例 3.27 已知 x3 ＋ y3 ＝ 3axy ，求 yx'解：把 y 看成是 x 的函数，则 y3 、 3axy 是复合函数， 等式两边同时对 x 求导，得 3x2 ＋ 3y2·y' ＝ 3ay ＋ 3ax·y' 整理得 axy

xayy

2

2

'

[ 对数求导法 ]例 3.29 求 y ＝ 的导数解：两边取对数，得 lny ＝ [ln|x-1| ＋ ln|x-2| － ln|x-3| － ln|x-4|] 两边对 x 求导，得

所以

例 3.30 求 y ＝ xsinx 的导数解：两边取对数，得 lny ＝ sinx·lnx 两边对 x 求导，得

所以

)4

1

3

1

2

1

1

1(

2

1'

1

xxxxy

y

)4

1

3

1

2

1

1

1(

)4)(3(

)2)(1(

2

1'

xxxxxx

xxy

xxxxy

y

1sinlncos'

1

)sin1

ln(cos' sin xx

xxxy x

)4)(3(

)2)(1(

xx

xx

2

1

3.12 高阶导数[ 定义 ]

函数 y ＝ f(x) 的导数 f'(x) 的导数 [f'(x)]' 叫做 f(x)的二阶导数，记作 f”(x) 或 y” ，

y ＝ f(x) 的二阶导数 f”(x) 的导数 [f”(x)]' 叫做 f(x)的三阶导数，记作 f'''(x) 或 y''' ，

依此类推， y ＝ f(x) 的 n － 1 阶导数的导数叫做 f(x) 的 n 阶导数，记作 f(n)(x) 或 y(n) ，

二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数。

例 3.33 设 y ＝ excosx ，求 y' 和 y”解： y’ ＝ excosx ＋ ex( － sinx) ＝ ex(cosx － sinx)

　 y” ＝ ex(cosx － sinx) ＋ ex( － sinx － cosx) ＝－ 2exsinx

例 3.36 求函数 y ＝ ax 的 n 阶导数解： y’ ＝ (lna)ax

y” ＝ (lna)2ax

　　………………　　 y(n) ＝ (lna)nax

3.13 微分的概念及其几何意义1. 微分是函数增量的近似值 ∵ ∴ Δy≈f'(x)Δx 我们把等式右边的部分称为函数 y 的微分，记作 dy 即 Δy≈dy2. 微分的定义 设函数 y ＝ f(x) 在 x 处可导，则称 f'(x)Δx 为函数 y在点 x 处的微分，记作 dy ，即 dy ＝ f'(x)Δx 考察函数 y ＝ x ，则 dx ＝ dy ＝ (x)'Δx ＝ Δx 故微分又可表示为 dy ＝ f'(x)dx

)('lim0

xfx

yx

)(')()(' xfxOxf

x

y

3. 微商的概念 ∵dy ＝ f'(x)dx ∴ f'(x) ＝ 即导数等于函数的微分与自变量的微分的商，叫做微商 同样，我们也可以用 表示 f”(x) ， ………………

用 表示 f(n)(x) 。

dxdy

2

2

dx

yd

n

n

dx

yd

4. 微分的几何意义如图， PN ＝ Δx ， P'N ＝ Δy ， P’ f'(x) ＝ tg∠TPN ＝ T TN ＝ f'(x)Δx ＝ dy P N

所以， Δy 表示曲线的纵坐标的改变量 dy 表示切线的纵坐标的改变量。 这就是微分的几何意义。

PN

TN

3.14 微分的运算 由微分表达式 dy ＝ f’(x)dx 可以看出，求函数的微分只要用函数的导数乘以自变量的微分即可。例 3.40 求函数 y ＝ 的微分解： dy ＝ [ ]’dx

[ 注意 ] 在求微分的结果中，千万不要漏写最后面的 dx

)1ln( 2 xx

)1ln( 2 xx

dxxxxx

)'1(1

1 2

2

111

1

1222

x

dxdx

x

x

xx

[ 微分公式表 ] y ＝ C (C 为常数 ) dy ＝ 0y ＝ xα(α 为实数 ) dy ＝ αxα-1dxy ＝ logax dy ＝ dx y ＝ lnx dy ＝ dx

y ＝ ax dy ＝ axlnadx y ＝ ex dy ＝ exdxy ＝ sinx dy ＝ cosxdx y ＝ cosx dy ＝ -sinxd

xy ＝ tgx dy ＝ sec2xdx y ＝ ctgx dy ＝ -csc2xdx

y ＝ arcsinx dy ＝ dx y ＝ arccosx dy ＝ dx

y ＝ arctgx dy ＝ dx y ＝ arcctgx dy ＝ dx

a xln

1

x

1

21

1

x 21

1

x

21

1

x 21

1

x

[ 微分的四则运算法则 ] ⑴ d(u±v) ＝ du±dv ⑵ d(uv) ＝ udv ＋ vdu

⑶ 例 3.41 设 y ＝ 2x4 － 3ex ＋ cosx ，求 dy解： dy ＝ d(2x4 － 3ex ＋ cosx) ＝ d(2x4) － d(3ex) ＋

d(cosx) ＝ 8x3dx － 3exdx － sinxdx ＝ (8x3 － 3ex

－ sinx)dx例 3.42 设 y ＝ e-axsinbx ，求 dy解： dy ＝ d(e-axsinbx) ＝ e-axd(sinbx) ＋ sinbxd(e-ax) ＝ e-axcosbx·bdx － ae-axsinbxdx ＝ e-ax(bcosbx － asinbx)dx

2v

udvvdu

v

ud

[ 用换元法求微分 ]例 3.43 求函数 y ＝ esinx 的微分 解：令 u ＝ sinx ，则 du ＝ cosxdx 原函数换元后变为 y ＝ eu

则 dy ＝ eudu ＝ esinxcosxdx[ 注意 ] 用换元法解题时，在最后结果里不应有中间变量 u ，

只能包含 x 。

[ 习题选讲 ]P.171 复习题三 4⑴ 证明可导偶函数的导函数为奇函数证明： 设 f(x) 是偶函数， 则 f( － x) ＝ f(x) ， f( － x ＋ Δx) ＝ f(x － Δx) 设 g(x) ＝ f'(x) ，则 g(x) ＝

g(-x) ＝

＝－ g(x)

∴g(x) 是奇函数。

x

xfxxfx

)()(lim

0

x

xfxxf

x

xfxxfxx

)()(lim

)()(lim

00

x

xfxxfx

)()]([lim

0

作业： P.161 3 ⑴⑵⑷⑸⑹⑺⑼⑾⑿⒀⒁ ，　　　　 4 ⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑿, 6 ⑶⑷,8 ⑵⑶⑷, 10 ,11 P.170 2 ⑴⑵⑶⑷⑹ ， 3 P.171 2 ⑴⑵⑶⑷⑹,