1

ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ

Установка опыта Френкена по получению второй гармоники. Пучок рубинового лазера фокусируется на кварцевом кристалле. На выходе пучки первой и второй гармоники разделяются призмой и

регистрируются фотодетектором

ГВГ применяется для создания когерентных источников на новых частотах. Нелинейный кристалл помещают либо вне, либо внутри резонатора лазера, генерирующего излучение на основной гармонике. Преимущество последнего случая в том, что внутри резонатора мы имеем более интенсивное поле основной частоты. В обоих случаях эффективность преобразования очень высокая, приближающаяся к 100%. Наиболее часто применяют ГВГ для удвоения частоты выходного излучения неодимого лазера ND:YAG- лазера (твердотельный лазер с активной средой в виде кристалла иттрий-алюминиевого граната Y3Al5O12 (yttrium aluminum garnet), в котором часть ионов Y3+ замещена ионами Nd3+ ). Таким способом из ИК-излучения лазера (λ=1,05мк) получают зеленый свет (λ=532нм). Кроме того, ГВГ используют для получения генерации перестраиваемого УФ-излучения (вплоть до λ=205нм) путем удвоения частоты перестраиваемого лазера на красителях. В обоих случаях используют как непрерывный, так и импульсный режим работы лазера.Нелинейные кристаллы, применяемые для ГВГ, как правило, принадлежат к классу в тетрагональной системе. Тензор квадратичной восприимчивости кристаллов этой группы имеет всего три отличных от нуля элемента, которые в области прозрачности практически равны друг другу (соотношения Клеймана):

.

К кристаллам этой группы относятся KDP (дигидрофосфат калия), KD*P (DKDP – дидейтерофосфат калия), CDA (дигидроарсенат цезия) и некоторые другие. Для преобразования ИК-излучения СО2 или СО лазеров используют халькопиритовые полупроводники, например, CdGeAs2 (арсенид кадмия-германия), принадлежащие к той же группе симметрии.

2

Отметим также класс 3m в тригональной системе, которому принадлежат ниобат лития (LiNiO3) и прустит (Ag3AsS3). При выполнении соотношений Клеймана эти кристаллы имеют всего три независимых элемента:

Или, переходя к системе двух индексов

Получение укороченных уравнений для ГВГ. В квадратично-нелинейной анизотропной среде в отсутствие токов проводимости (и, следовательно, свободного заряда) получаем для каждой Фурье-гармоники электрического поля световой волны уравнение

При распространении волны в направлении, отличном от главных направлений (X,Y,Z) анизотропного кристалла, все векторы в уравнении имеют различные направления (эффект двойного лучепреломления). Мы можем спроецировать все векторы на направление поля , а перпендикулярные ему компоненты приравнять к вектору . Такая модель вполне допустима, поскольку наличие неоднородного быстропеременного объемного связанного заряда, в отсутствие свободного заряда, связано именно эффектом двойного лучепреломления. Тогда, проецируя обе части уравнения на направление поля , получаем

(4.1)

Основное упрощение при решении этого уравнения состоит во введении двух качественно разных масштабов пространственно-временных изменений поля Е: быстропеременных изменений фазы поля (характерные параметры

) и сравнительно медленно меняющейся амплитуды поля. (Для световых волн это условие, как уже говорилось,

3

выполняется вплоть до фемтосекундных импульсов). На этом предположении базируется метод медленно меняющихся амплитуд.

Дополнительные упрощения для построения модели процесса получения второй гармоники.

1) Ограничимся рассмотрением только двух частотных компонент поля ω и 2ω, пренебрегая всеми остальными гармониками. Допустимость этого пренебрежения может быть обоснована двумя обстоятельствами: во-первых, при выполнении условия фазового синхронизма для генерации второй гармоники не удается обеспечить его для других частот; во-вторых, отличные от 2ω комбинационные тона, как правило, попадают в полосы поглощения кристалла.

2) Ограничимся только двумя световыми волнами (на частотах ω и 2ω),что означает использование скалярного оое-синхронизма.

3) Ограничимся рассмотрением только стационарной задачи, в рамках которой амплитуды волн не зависят от времени.

В указанных предположениях световое поле представляет собой суперпозицию двух распространяющихся в одном направлении (направлении z под углом к оптической оси кристалла Z) плоских однородных ортогонально поляризованных монохроматических волн на частотах ω и 2ω и с амплитудами, зависящими только координаты z:

(4.2)

Квадратичная поляризация на частотах ω и 2ω запишем в виде

(4.3)

4

Из уравнения (4.1) получаем укороченные уравнения для каждой гармоники в пренебрежении вторыми производными амплитуд по переменной z:

(4.4)

Пусть - угол между оптической осью кристалла (Z) и направлением распространения волн (z) , и - коэффициент преломления необыкновенной волны второй гармоники, распространяющейся под этим углом к оси кристалла. Тогда, введя дисперсионные соотношения

(4.5)

и пренебрегая нелинейным поглощением, получаем из (4.4) уравнения для комплексных амплитуд

(4.6)

Здесь , - коэффициенты линейного поглощения, σ1, σ2 – коэффициенты нелинейной связи

(4.7)

Направим ось OY вдоль линии колебаний электрического поля обыкновенной волны второй гармоники. Тогда в условиях скалярного ooe-синхронизма имеем

5

В кристаллах класса (KDP) эти компоненты тензора квадратичной восприимчивости равны нулю. Поэтому для кристаллов этой группы симметрии нужно использовать волновой синхронизм другого типа (векторный оое –синхронизм или скалярный оее-синхронизм). Скалярный оое –синхронизм можно использовать, например, для кристалла ниобата лития. Для этого кристалла . Пренебрегая дисперсией для нелинейной восприимчивости, получаем в (4.7)

Отметим, что при использовании в процессе ГВГ в качестве нелинейного кристалла ниобата лития, а в качесте источника основного поля неодимового лазера (1,06 мк → 0, 53 мк) осуществляется режим 90 –градусного синхронизма ( ). Перейдем в уравнениях (4.6)от комплексных амплитуд к действительным:

(4.8)

Разделив первое и второе уравнение (4.6) на , а второе уравнение – на , получаем

(4.9)

(4.10)

Величину (4.10) называют обобщенной фазой. Разделив действительные и мнимые части в уравнениях (4.9), приходим к системе укороченных амплитудно-фазовых уравнений

(4.11)

(4.12)

Будем решать систему при условии фазового синхронизма

Δk=0 (4.13)

6

( = , где - угол синхронизма оое-типа ) и в пренебрежении линейным поглощением ( ). Заметим, что в области прозрачности потери на поглощение не превышают нескольких процентов, так что пренебрежение ими в укороченных амплитудно-фазовых уравнениях (4.11), (4.12) вполне допустимо. Однако влияние потерь на процесс генерации второй гармоники не ограничивается простым поглощением излучения обеих гармоник. Даже незначительный, обусловленный поглощением, нагрев кристалла приводит к неоднородному по поперечному профилю кристалла температурному полю, и, как следствие, к неоднородному поперечному распределению волновой расстройки, влияние которой на эффективность ГВГ чрезвычайно сильное. Учет указанного эффекта требует введение в теоретическую модель процесса ГВГ уравнений теплопроводности, которые надо решать совместно с амплитудно-фазовыми уравнениями. При этом пренебрежение энергетическими потерями допустимо в укороченных уравнениях, но оно не допустимо в уравнениях теплопроводности.

Умножим первое уравнение (4.11) на величину , а второе - на и сложим полученные уравнения. В результате находим энергетический инвариант задачи

(4.14)

Используя равенство (4.14), исключим величину из амплитудно-фазовых уравнений (4.11), (4.12):

Разделив второе из полученных уравнений на первое, находим второй инвариант задачи

Выражения для первого и второго интегралов системы

7

(4.15)

(4.16)

Фазовый портрет ГВГ при выполнении УВС. Рассмотрим фазовую плоскость, полярными координатами которой служат амплитуда второй гармоники и обобщенная фаза , а декартовыми координатами,

соответственно и .

Каждая точка на этой фазовой плоскости соответствует значениям этих параметров в определенной точке нелинейной среды (точке z). По мере распространения взаимодействующих волн в нелинейной среде изображающая точка перемещается на фазовой плоскости, описывая фазовую траекторию. В зависимости от начальных условий (т.е. значений фазовых переменных на входе в среду ) мы получаем ту или иную фазовую траекторию. Все множество этих траекторий образует фазовый портрет рассматриваемого процесса.

8

На всех рисунках

При отсутствии второй гармоники на входе в нелинейную среду:

(4.17)

Этому режиму отвечает вертикальный диаметр окружности .Точкам пересечения диаметра с окружностью соответствуют амплитуды

. Пусть начальному условию отвечает точка B правого конца горизонтального диаметра

Тогда из интегралов(4.15), (4.16) следует : фазовая траектория является окружностью радиуса .

Стационарные решения, отвечающие условиям

(4.18)

Это пространственные стационарные нелинейные волны (волны с постоянной амплитудой). Они характерны для космической газодинамики и гемодинамики – динамики крови в сосудах. При неизменном поперечном профиле им отвечают солитоны. Стационарные точки являются точками типа центров. Фазовые траектории, отвечающие другим начальным условиям – замкнутые кривые вокруг стационарные точек. Этим траектория отвечают

9

пространственные пульсации обеих амплитуд. С удалением от неподвижной точки эти пульсации становятся все более глубокими. Движение по сепаратрисе (вертикальному диаметру ) от центра окружности отвечает рост амплитуды второй гармони от нулевого значения (на входе в среду) до максимально возможного, определяемого входной амплитудой первой гармоники. Это режим наиболее быстрого накопление эффекта ГВГ. Поскольку вся сепаратриса отвечает , то режим максимально накопления можно реализовать, обеспечивая это фазовое условие при любом значении амплитуды второй гармоники на входе. Практически это удобнее.На практике движение по сепаратрисе не реализуемо в силу его неустойчивости. Реализуются близкие режимы с глубокой пульсацией (см. рисунок):

Расчет случая отсутствия второй гармоники на входе в среду.

(4.19)

Решение (4.19) представлено на рисунке.

10

Эффективная перекачка мощности основной гармоники в мощность второй гармоники осуществляется при достижении коэффициентом преобразования по амплитуде значения, отвечающего th1 =0.762, что происходит на длине

среды порядка . На практике эта длина составляет несколько

сантиметров. Ее называют эффективной нелинейной длиной.Эффективность процесса ГВГ оценивается величиной отношения выходной мощности второй гармоники к входной мощности первой

гармоники :

(4.20)

Здесь , - площади поперечных сечений соответствующих пучков.Величина носит название эффективности преобразования основного излучения во вторую гармонику. Полагая угол анизотропии равным нулю (

) имеем для интенсивностей излучения первой и второй гармоник

(4.21)

В условиях точной синхронизации (Δk=0) при отсутствие второй гармоники на входе в нелинейный кристалл получаем

(4.22)

11

(4.23)

Таким образом, эффективность преобразования пропорциональна интенсивности основного поля.Полученное выражение для эффективности преобразования во вторую гармонику является максимально возможным.

Анализ решений амплитудно-фазовых уравнений при наличии волновой расстройки.Интегралы системы амплитудно-фазовых уравнений (4.11)-(4.12) при наличии волновой расстройки Δk≠0:

Используем следующие обозначения:

ВеличинуΔ1 называют приведенной расстройкой. В новых обозначениях интегралы системы принимают вид:

Фазовый портрет процесса генерации второй гармоники при наличии фазовой расстройки. На рисунке приведен фазовый портрет ГВГ при фиксированном значении приведенной расстройки: 0 < Δ1 < 1 (рис. «а») и Δ1 =1 (рис. «б»). В качестве полярных координат фазовой плоскости используются координаты Толстыми линиями отмечены сепаратрисы: отрезок прямой и окружность.

12

«а» «б»

Стационарные точки имеют координаты

Сравним фазовые портреты процесса ГВГ для случаев отсутствия и наличия волновой расстройки. Наличие волновой расстройки приводит к асимметрии портрета относительно оси . Прямолинейный участок сепаратрисы сдвинут относительно этой оси на расстояние вправо или влево. При этом ограничивающая окружность остается неизменной.

рисунке «б» приведен случай Δ1 =1.

В отсутствие фазового синхронизма (Δk≠0) эффективность преобразования оценивается формулой

(4.24)

График этой зависимости приведен на рисунке:

13

Генерация второй гармоники в сфокусированном гауссовом пучке. Проведенный анализ процесса ГВГ основан на приближении плоских волн. На практике имеют дело с гауссовыми пучками, которые фокусируют так, чтобы перетяжка пучка находилась в нелинейном кристалле:

Амплитуда пучка на расстоянии r от его оси

Здесь - радиус профиля пучка.

Гауссовый пучок характеризуется конфокальным параметром z0, который равен расстоянию от перетяжки пучка до плоскости, в которой радиус пучка увеличивается в два раза

где - минимальный радиус пучка.

Если длина кристалла много меньше конфокального параметра ( << ),то площадь пучка, а следовательно и интенсивность падающей волны практически не зависят от z внутри кристалла и можно положить

14

Тогда мощности пучков равны

Максимальная эффективность преобразования равна

Таким образом, эффективность преобразования во вторую гармонику обратно пропорциональна площади пятна Гауссовы пучка в перетяжке (

) и может быть увеличена за счет его уменьшения. Однако сужение

пятна возможно только до тех пределов, пока выполняется условие < . В противном случае возникает сильная расходимость пучка в кристалле, что приводит к уменьшению его интенсивности и, как следствие, к снижению эффективности преобразования во вторую гармонику. Оптимальным условием является <<2 .

Генерация второй гармоники внутри лазерного резонатора.

Типичная схема ГВГ с кристаллом внутри лазерного гезонатора.1 – YAG –ниодимовый лазер (λ=1,06 мкм); 2- кристалл барий-натрий ниобата («банан»)

Другой способ повышения эффективности преобразования во вторую гармонику – увеличение интенсивности основного поля за счет помещения нелинейного кристалла внутри лазерного резонатора. Если R – коэффициент пропускания выходного зеркала резонатора, то внутри лазера интенсивность выше, чем снаружи в (1-R)-1 раз. При различие интенсивностей весьма существенно.