78

บทที่ 5

การสมดุลย์ของแรงขนานกัน

5.1 ความน า โดยทั่วไป โครงสร้างของอาคารจะมีแรงขนานมากกระท้าซึ่งเกิดจากน้้าหนักของชิ้นส่วนของโครงสร้างเช่นน้้าหนักพื้น น้้าหนักเสา หรือส่วนอ่ืนๆ ถ้าโครงสร้างนั้นไม่พังทลายหรือแตกหัก ก็จะหมายถึง แรงภายในต่อต้านเอาไว้มีขนาดเท่ากันในทิศทางตรงกันข้าม 5.2 การสมดุลย์ของแรงขนานกัน (Parallel Force System) เมื่อมีแรงหลายแรงมากระท้าต่อวัตถุ ในลักษณะที่แนวของแรงเหล่านั้นขนานกันมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้ามกันแล้วจะท้าให้วัตถุนั้นอยู่ในสภาพสมดุลย์ เช่น คานที่รับน้้าหนักของพื้นอาคาร โครงของรถยนต์ โดยมีล้อรถยนต์รองรับเป็นต้น แรงขนาน มีแรงหลายแรงที่มีแนวแรงเหล่านั้นขนานกัน แบ่งได้ดังนี้

- แรงขนานพวกเดียวกัน (Line Parallel Force) คือ แรงขนานที่มีทิศทางทางเดียวกัน - แรงขนานต่างพวก (Unline Parallel Force) เมื่อเกิดสภาวะสมดุลย์ ในระบบของแรงขนาน

กระท้าต่อวัตถุแล้วสามารถหาขนาดของแรงเหล่านั้นได้ โดยอาศัยหลักที่ว่า “ผลรวมของแรงตามแนวด่ิงและแนวนอนย่อมเท่ากับศูนย์”

เพื่อความสะดวกในการค้านวณ เราแบ่งแรงขนานเหล่านั้นออกเป็นสองพวกตามแนวนอน

(horizontal) และแนวดิ่ง (Vertical) ซึ่งนิยมเขียนเป็นสัญลักษณ์ไว้ดังนี้

H = 0 (ผลบวกของแรงทางพีชคณิตตามแนวนอน = 0) V = 0 (ผลบวกของแรงทางพีชคณิตตามแนวดิ่ง = 0)

และเมื่อเกิดภาวะสมดุลแล้วผลหมุนของแรง (โมเมนต์) มีค่าเท่ากับศูนย์

M = 0 (ผลรวมของโมเมนต์ทางพีชคณิตมีค่าเท่ากับศูนย์)

79

ตัวอย่างที่ 5.1 คานยาว 6.00 ม. วางไว้บนหัวเสาสองต้น ให้ปลายของด้านทั้งสองอยู่บนหัวเสาพอดี คานอยู่ตามแนวระดับ ที่จุดห่างจากปลายคานข้างหนึ่งเป็นระยะ 2.00 ม. แขวนด้วยน้้าหนัก 200 N เสาข้าง A รับน้้าหนัก 150 N เสาข้าง B รับน้้าหนักเท่าไร ? (ดูรูป 5.1)

รูปท่ี 5.1 เน่ืองจากคาน AB อยู่ในสภาวะสมดุลย์ เราสามารถใช้สมการสมดุลของแรงขนานได้ V = 0 RA + RB = 200 130 + RB = 200 RB = 50 N (RA = ปฏิกิริยาที่เสา A; RB = ปฏิกิริยาที่เสา B) ตอบ โมเมนต์ หรือทอร์ค (Moment or Torque) โมเมนต์ ก็คือ ผลหมุนของแรงรอบจุดใดจุดหนึ่ง หรือพูดให้ได้ชัดทางปฏิบัติโมเมนต์ก็คือ เกิดจากแรงที่มากระท้าต่อวัตถุ แล้วพยายามท้าให้วัตถุนั้นเกิดการหมุนขึ้นรอบจุดใดจุดหนึ่ง ขนาดของโมเมนต์เราจะหาได้โดยเอาแรงที่มากระท้าต่อวัตถุนั้น คูณกับระยะทางตั้งฉากจากจุดหมุนไปยังแนวของแรง เช่น โมเมนต์แรง P รอบจุดหมุน Q ระยะทางตั้งฉากจากจุดหมุนไปยังแนวแรง a ดูตามรูปที่ 5.2 โมเมนต์ของแรง P รอบจุด 0 = P x a M = P x a

80

รูปท่ี 5.2 ระยะทาง a ต้องตั้งฉากกับแนวแรง P หน่วยของโมเมนต์ ระบบ SI = N – m ระบบเมตริก = กิโลกรัมแรง – เมตร (กกร – ม) kgf – m ระบบอังกฤษ = ปอนด์แรง – ฟุต หรือ = lbf – ft ค้าว่า “ทอร์ค” (Torque) เป็นค้าที่วิศวกรรมเคร่ืองกลนิยมใช้แทนส้าหรับโมเมนต์หรือน้าไปใช้งานจริง ๆ เช่น เคร่ืองยนต์ 25 HP ณ ความเร็ว 3000 รอบต่อนาทีจะใช้ทอร์ค 6 กิโลกรัมแรง – เมตร เมื่อวัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลย์ ไม่ว่าสภาวะนั้นจะเกิดจากแรงที่ขนานหรือไม่ก็ตามแรงลัพธ์ของแรงเหล่านั้นย่อมเท่ากับ ศูนย์ หรือเมื่อเกิดผลหมุนของแรงรอบจุดน้ันก็ต้องมีผลหมุนของแรงที่เหลือด้านเอาไว้เช่นกันถ้าวัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลจะเกิดผลดังนี้

ก. ผลรวมของแรงทั้งหมดรอบจุดน้ัน = 0 F = 0 ข. ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทางพีชคณิตรอบจุดน้ัน = 0 M = 0

ผลรวมของโมเมนต์ที่เท่ากับศูนย์ได้นั้น ผลรวมของโมเมนต์ของแรงที่หมุนตามเข็มนาฬิกา

จะต้องมีค่าเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของแรงที่หมุนทวนเข็มนาฬิกา อาจจะเขียนสั้น ๆ ได้ว่า โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา = โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา นอกจากนั้นสภาวะสมดุลของวัตถุอันเนื่องจากแรงหลายแรงที่ขนานกัน เรายังสามารถหาแรง

ย่อยเหล่านั้นได้โดยอาศัยทฤษฎีโมเมนต์ กล่าวคือ “ผลบวกทางพีชคณิตของโมเมนต์ของแรงย่อยรอบจุดใด ๆ ในระบบเดียวกัน ย่อมเท่ากับ

โมเมนต์ของแรงลัพธ์ของแรงย่อยเหล่านั้นรอบจุดหมุนเดียวกัน” สรุปเมื่อเกิดสภาวะสมดุลย์ เน่ืองจากแรงขนานกันสมการต่อไปนี้เป็นความจริงเสมอ คือ 1. FH = 0 (ผลรวมของแรงตามแนวนอน = 0) 2. FV = 0 (ผลรวมของแรงตามแนวด่ิง = 0) 3. M = 0 (ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทางพีชคณิตรอบจุดใดจุดหนึ่ง = 0)

81

ตัวอย่างที่ 5.2 จงค้านวณหาแรง P จากรูปต่อไปนี้ (รูปที่ 5.3)

รูปท่ี 5.3

0 คือ จุดหมุน โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา = โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา 250 x 0.50 = 0.25 x P

P = 25.0

50.0250 = 500 KN

ตอบ แรงเท่ากับ P = 500 KN

82

ตัวอย่างที่ 5.3 Safety Valve ตัวหนึ่งต้ังไว้คอยด้านความดันไอน้้าในท่อ ถ้าหากแรงดันในท่อสูงกว่า 1000 N ขึ้นไปก็ให้ลิ้นนั้นเปิดระบายความดันไอเสียออก จงค้านวณหาน้้าหนักที่มากดปลายลิ้น

รูปท่ี 5.4

จุด A เป็นจุดหมุน โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา = โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา W x 1.20 = 1000 x 0.20

W = 20.1

20.01000 = 167 N

น้้าหนักที่จะน้ามาถ่วง = 167 N ตอบ

83

ตัวอย่างที่ 5.4 จงค้านวณหา แรงปฏิกิริยา ที่เกิดขึ้นตามรูปต่อไปนี้ (รูปที่ 5.5)

200 N

30

4.00

200 N

30

VA VB

HB

A B

2.00

รูปท่ี 5.5

วิธีท า แตกแรง 200 N ให้เป็นแรงย่อย 2 แรง ตามแนวนอนและแนวตั้ง (ดูรูป 5.6) ปฏิกิริยาทั้งสามคือ VA , VB , HB เมื่อแยกแรงตามแนวนอนแล้วเมื่อคานอยู่ในสภาวะสมดุลย์ จะต้องมีปฏิกิริยาตามแนวนอนด้วย H = 0 + HB – 200 Cos 30๐ = 0 HB = 200 x 0.866 = 173.2 N ให้จุด A เป็นจุดหมุน MA = 0 (โมเมนต์หมุนรอบจุด A) 200 sin 30๐ x 2.00 – VB x 4 = 0

VB = 4

25.0200

= 50 N ให้ B เป็นจุดหมุน MB = 0 -200 sin 30๐ x 2.00 – VA x 4 = 0 VA = 50 N

200 N

200 N

84

รูปท่ี 5.6

ค าตอบที่ได้ HB = 173.2 N VB = 50 N VA = 50 N ตอบ ตัวอย่างที่ 5.5 จงหาปฏิกิริยาของคาน ตามรูป 5.7 (ดูรูปที่ 5.7)

200 N

2.00

A

2.00

B

200 N

RA RB

A B

รูปท่ี 5.7

ให้จุด A เป็นจุดหมุน

MA = 0 +200 x 2 – RB x 4 = 0

VA VB

HB 200cos30º

200 N

30º A B

200sin 30º

200 N

200 N

85

RB = 4

2200 = 100 N

FV = 0 -200 + RA + RB = 0 (ผลรวมของแรงตามแนวด่ิง = 0) RB = 100 N

RA = 4

2200 = 100 N

ตัวอย่างที่ 5.6 จงหา Reaction จากรูปต่อไปนี้ (รูปที่ 5.7)

200 N

A B

RA RB

A B

2.00 2.002.00

50 N

200 N50 N

2.00 2.002.00

รูปท่ี 5.7

ให้จุด A เป็นจุดหมุน

MA = 0 +50 x 1 + 200 x 3 – VB x 4 = 0

VB = 4

650

VB = 162.50 N FV = 0

-50 - 200 +162.5 + VA = 0

200 N

200 N 50 N

50 N

86

VA = 250 – 162.5 VB = 87.5 N

ให้จุด B เป็นจุดหมุน

MB = 0 -200 x 1 – 50 x 3 + VA x 4 = 0 VA = 3 VB = 162.50 N = 87.5 N

ตัวอย่างที่ 5.7 จงหาแรงต้านทานที่จุด A และ B ตามรูป

รูปท่ี 5.7

ให้จุด A เป็นจุดหมุน

MA = 0 2(200 x 4) – Vn4 = 0

VB = 4

1600

= 400 N FV = 0

-200 x 4 + VA + 400 = 0

VA = 800 - 400 = 400 N ตอบ

200 N/m

HA

VA VB

200 N/m

A B

4.00 m

87

5.3 ภาวะสมดุลของแรงต่างระนาบกัน (Equilibrium of Three Dimension Force System) เมื่อมีแรงหลายแรงมากระท้ากันที่จุดใดจุดหนึ่ง ในลักษณะที่แรงเหล่านั้นอยู่ต่างระนาบกันตามรูป 5.8 เป็นรูปของปั้นจั่นสามขา ส้าหรับยกของเมื่อท้าหน้าที่ยกน้้าหนัก สามขาจะช่วยกันรับน้้าหนักที่ยกนั้น จุดที่แรงกระท้าจะอยู่ในสภาวะสมดุลย์ ในการหาแรงลัพธ์ของแรงย่อยเหล่านั้นมากระท้าร่วมกัน เราสามารถท้าได้โดยอาศัยวิธีแตกแรง แต่ละแรงออกไปตามแกนทั้งสามดังต่อไปนี้

รูปท่ี 5.8 ก. และ ข. แรงต่างระนาบ

ตามรูป 5.8 ข. แรง P กระท้าที่จุด 0 เราจะสามารถจะถ่ายแรง (Projection) แรง P ไปตามแกน y ได้ Py และถ่ายแรง (Projection) แรง P ลงไปอยู่ใน xz Plane ได้ Pxz ต่อไปเราสามารถจะแยกแรง Pxz ออกไปอยู่ตามแกน x และ z ได้ Px และ Pz ตามรูปที่ 5.9

รูปท่ี 5.9

W

C

x

y

o

z

P

P

(ก) (ข)

Pxz

y

x Px

PZ

Py

Pxz

P P

88

สรุป P สามารถแยกออกได้เป็น Pxy , Py , Pz ตั้งฉากซึ่งกันและกัน เราสามารถจะหาแรงลัพธ์ P ได้อีกโดยอาศัย เรขาคณิต Pytagorus

P2 = 2xy

2y PP

(Pxz)2 = 2

z2x PP

P2 = 2z

2y

2x PPP (5.1)

ถ้าเราทราบมุมที่แรง P กระท้าต่อแกน x, y, z แล้วเราก็สามารถหาแรง Pxy , Py และ Pz ได้ตามรูปที่ 5.10

รูปท่ี 5.10

ตามรูป แรง P กระท้าต่อแกน x, y และ z เป็นมุม x, y และ z ตามล้าดับ จะได้ Px = P Cos x

Py = P Cos y Pz = P Cos z

P1

= x

x

P

Cos

P1

= y

y

P

Cos

= z

z

P

Cos

= P1

= x

x

P

Cos =

y

y

P

Cos =

z

z

P

Cos (5.2)

89

เอาค่าที่ได้นั้นแทนใน (5.2)

P2 = P2 Cos2 x + P2 Cos2 y + P2 Cos2 z I = Cos2 x + Cos2 y + Cos2 z (5.3) ในท้านองเดียวกัน เราสามารถจะพิจารณาใช้ขนาดความยาวของเส้นตรงแทนแรงโดยเราหา

ความยาวด้าน ให้ขนานกับแรงโดยจุดเร่ิมต้นอยู่ที่เดียวกับแรงดูตามรูปที่ 5.11 แล้ว เราก็สามารถจะหาความยาวของด้านที่ถ่ายตามแกนได้ Lx, Ly, และ Lz

รูปท่ี 5.11 Lx = L Cos x , Ly = L Cos y, Lz = L Cos z (5.4)

L = 2z

2y

2x LLL

x

x

LP

= x

x

CosL

CosP

=

LP

y

y

L

P =

y

y

CosL

CosP

=

LP

z

z

LP

= z

z

CosL

CosP

=

LP

90

LP

= x

x

LP

= y

y

L

P =

z

z

LP

(5.5)

ถ้ามีแรงหลายแรง กระท้าร่วมกันที่จุด ๆ หนึ่ง เราก็สามารถจะหาแรงดได้ ท้านองเดียวกัน R = (x)2 + (y)2 + (z)2 แต่ถ้าจุดน้ันอยู่ในสภาวะสมดุลและ R = 0 0 = (x)2 + (y)2 + (z)2 X = 0, Mx = 0 Y = 0, My = 0 Z = 0, Mz = 0 ตัวอย่างที่ 5.8 จงหาแรง Px, Py และ Pz ของแรงตามรูปที่ 5.12

รูปท่ี 5.12

Lx = 3 Ly = 6 Lz = 2

L = 7263 222

91

LP

= x

x

LP

= y

y

L

P =

z

z

LP

LP

= x

x

LP

Px = L

PL x = 7

5.23 = 1.07 N

Py = L

PL y = 7

5.26 = 2.14 N

Pz = L

PL z = 2 = 0.71 N

92

แบบฝึกหัดท่ี 5 1. จงค้านวณหา Reaction จากรูปต่อไปนี้

160 N

A B

1.50 1.501.00

200 N

รูปท่ี 5.13 ตามโจทย์ข้อ 1

2.

320 N

45

4.00

A B

180 N

1.00 1.00

รูปท่ี 5.14 ตามโจทย์ข้อ 2 3. บันไดอันหนึ่งพาดอยู่บนก้าแพง บันไดยาว 4.00 ม. หนัก 25 kg มีชายคนหน่ึงยืนอยู่บนบันได ห่างจากปลายบน 1.00 ม. บันไดด้านล่างตั้งฉากกับพื้นไว้ จงหา Reaction ที่เกิดขึ้นทั้งหมด 4. จงค้านวณหา Reaction และแรงดึงในเส้นลวด ตามรูปต่อไปนี้

รูปท่ี 5.15 ตามโจทย์ข้อ 4

160 N 200 N

320 N 180 N

93

5. เสาคอนกรีตต้นหน่ึงมีแรง F มากระท้าที่ปลายเสา เสานี้หนัก 400 kg ตามรูปจงหาขนาดของ F พอที่จะท้าให้เสานี้หมุนรอบ จุด A

รูปท่ี 5.16

6. จงค้านวณหาแรงที่เกิดขึ้นในโครงสร้างแต่ละตัวประกอบเป็นโครงหลังคาโดยมีน้้าหนักของวัตถุกดลงตามรูป 5.16 ก. และ ข.

รูปท่ี 5.16 ก.

รูปท่ี 5.16 ข.

94

7. จงหา Reaction ที่เกิดขึ้นบนบานพลับฝาประตูร้ัวบ้าน ตามรูป มีน้้าหนักประตูร้ัวทั้งหมดกดลงที่จุด B จ้านวน 200 kg

ตามรูปท่ี 5.17 ตามโจทย์ข้อ 7

8. จงหา Reaction ที่เกิดขึ้นที่จุด A และ B ตามรูป 5.18

รูปท่ี 5.18 ตามโจทย์ข้อ 8

9. จงหา Reaction ที่ C และแรงที่เกิดขึ้นใน BD เมื่อมีน้้าหนัก 200 N แขวนที่ปลาย A ตามรูป

200 N

BA

D

C

4.20

0.5

2.00

90

รูปท่ี 5.19 ตามโจทย์ข้อ 9

95

10. ตามรูปบรรทุกน้้าหนัก 1200 N จงหา Reaction A, B, C

1200 kg

A

B

1.00 1.00

0.50

0.50

รูปท่ี 5.20 ตามโจทย์ข้อ 10 11. จงหาแรงที่เกิดขึ้นใน Member ที่ประกอบเป็นโครงสร้างตามรูป

รูปท่ี 5.21 ตามโจทย์ข้อ 11

60º 60º

2000 kg 2000 kg

A D

C B

E

1200 kg

0.50

1.00 1.00

0.50

96

12. จงหา Reaction และแรงที่เกิดขึ้นใน 1, 2 , 3 ตามรูปต่อไปนี้

รูปท่ี 5.22 ตามโจทย์ข้อ 12

13. คานคอนกรีตเสริมเหล็กตัวหนึ่ง มีขนาดหน้าตัด 0.20 0.40 ยาว 4.00 ม. (คอนกรีตเสริมเหล็ก 1 ม, รับน้้าหนัก 2400 kg) ถ้ามีน้้าหนัก 200 kg ลงบนคานห่างจากปลายคาน 1.00 ม. (ตามรูป) จงหา Reaction ที่เกิดขึ้น

A B

3.001.00

200 kg

รูปท่ี 5.23 ตามโจทย์ข้อ 13

200 kg