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§5 三 重 积 分 三重积分的典型物理背景是求密度非均匀分布的空间物体的质量 . 研究三重积分的方法和步骤与二重积分相似 .

一、 三重积分的概念 二、 化三重积分为累次积分 三、 三重积分换元法

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一、 三重积分的概念 与二重积分相类似 , 通过求一个空间立体 V 的质量

M 就可导出三重积分 . 设 V 的密度函数为( , , ),f x y z

iV ( , , ),i i i 在每一小块 上任取一点 则

01

lim ( , , ) ,n

i i i iTi

M f V

为了求 V 的质量 , 把 V 分割成 n 小块 : 1 2, , , ,nV V V

1max .i

i nT V

的直径其中 为小块 Vi 的体积 ,

iV

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定义在 V 上的有界函数 . 现用若干个光滑曲面所组

成的曲面网 T 来分割 V ，它把 V 分成 n 个小区域 :

1max .i

i nT V

的直径

( , , ) ( 1,2, , ),i i i iV i n 作积分和

1

( , , ) .n

i i i ii

f V

1 2, , , , ( 1, 2, , ) ,n i iV V V V V i n 用 记 的体积 并记

设 ( , , )f x y z为一可求体积的有界区域 , 3RV 是

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,对任给的正数 , 总存在某正数 使得对于 V 的任

何分割 T, 只要 ,T 属于 T 的所有积分和都满足

1

( , , ) ,n

i i i ii

f V J

( , , )f x y z( , , )f x y z则称 在 V 上可积 , 并称数 J 为 在

V 上的三重积分 , 记作

定义 1 对上述 ( , , ),V f x y z和 若有一确定的实数 J,

( , , ) d ( , , ) d d ,dV V

J f x y z V f x y z x y z 或

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其中 ( , , )f x y z称为被积函数 , x, y, z 称为积分变量 ,

V 称为积分区域 .

当 ( , , ) 1 dV

f x y z V 时， 在几何上表示 V 的体积 .

三重积分具有与二重积分相应的可积条件和有关性

质 , 这里不再一一细述 . 例如 :

(1) 有界闭域 V 上的连续函数必三重可积 ;

(2) 有界闭域 V 上的有界函数 ( , , ),f x y z 若其间断点

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集中在有限个零体积的曲面 ( 可类似于零面积那样

定义 ) 上 , 则 ( , , )f x y z在 V 上必三重可积 .

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二、化三重积分为累次积分 1. 积分区域为长方体

定理 21.15 若函数 ( , , )f x y z 在长方体

[ , ] [ , ] [ , ]V a b c d e f

上的三重积分存在 , 且对任何 [ , ],x a b 二重积分

( ) ( , , ) d dD

I x f x y z y z存在 , 其中 [ , ] [ , ],D c d e f 则积分

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d ( , , ) d db

aD

x f x y z y z 也存在 , 且

( , , ) d d d ( , , ) d d . (1)b

aV D

f x y z y z x f x y z y z

证 用平行于坐标面的平面网 T 作分割 , 它把V分成

有限个小长方体

1 1 1[ , ] [ , ] [ , ].i j k i i j j k kv x x y y z z

, ( , , )i jk i jkM m f x y z设 分别为 在 上的上、下确界 . i jkv

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1[ , ]i i ix x 1 1[ , ] [ , ]jk j j k kD y y z z在 上有 ，

( , , )d d .j k

i jk j k i i jk j k

D

m y z f y z y z M y z 现按下标 ,j k 相加 , 则有

,

( , , )d d ( , , )d d ( )jk

i i ij k D D

f y z y z f y z y z I 及

, , , ,

( ) .i jk i j k i i i jk i j ki j k i i j k

m x y z I x M x y z (2)

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上述不等式两边是分割 T 的上和与下和 , 由于 f 在

0T V 上可积 , 当 时 , 下和与上和具有相同的极

( )I x [ , ]a b限 , 所以由 (2) 式得 在 上可积 , 且

( )d ( , , )d d d .b

aV

I x x f x y z x y z 有时为了计算上的方便 , 也可采用其他计算顺序 .

2. 积分区域为xy型区域

xy V型区域 是指可以用以下方式表示的区域 :

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1 2 ( )( , , ) ( , ) ( , ), ( , ) ,x yV x y z z x y z z x y x y D

( )x yD V x y ( , ), 1,2iz x y i 其中 是 在 平面上的投影 ,

同样地 , 当区域 V 为 zx 型区域时 , 即当

1 2 ( )( , , ) ( , ) ( , ), ( , ) zxV x y z y z x y y z x z x D

时 , 有

2

1( )

( , )

( , )( , , )d d d d d ( , , )d .

x y

z x y

z x yV D

f x y z x y z x y f x y z z (3)

是 上的连续函数 . 此时有 ( )x yD

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又当区域 V 为yz型区域 , 即

1 2 ( )( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) ,yzV x y z x y z x x y z y z D 时

[ , ]e f V z ( )[ , ], zz e f D 是 在 轴上的投影 , 是过点

类似地 , 若 ( )( , , ) , ( , ) ,zV x y z e z f x y D 其中

2

1( )

( , )

( , )( , , )d d d d d ( , , )d .

z x

y x y

y x yV D

f x y z x y z z x f x y z y (3)

2

1( )

( , )

( , )( , , )d d d d d ( , , )d .

yz

x x y

x x yV D

f x y z x y z y z f x y z x (3)

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(0,0, )z z V 作垂直于 轴的平面在 上的截面 . 此时

( )

( , , )d d d d ( , , )d d . (4)z

f

eV D

f x y z x y z z f x y z x y

注 俗称 为“先一后二”形式；(3), (3) , (3) (4), (4)

类似地又有

( )

( , , )d d d d ( , , )d d . (4)x

b

aV D

f x y z x y z x f x y z y z

( )

( , , )d d d d ( , , )d d . (4)y

d

cV D

f x y z x y z y f x y z z x

为 形式 . 使用时应根据实际情形来 (4) “ 先二后一”

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公式 (3),

解 如图 21-33 所示 , V 在 xy 平面上的投影区域为 ( ) ( , ) | 0 , 1 2 ,x yD x y y x x

, .y x z y 所围的区域

它是 x 型区域 ; 这里 1 2( , ) 0, ( , ) .z x y z x y y 所以由

2 2

d d d,

V

x y zV

x y 其中例 1 计算

选择累次积分的合适顺序 .

1, 2, 0x x z 为由平面 及21 33图

y

x

zz y

2

1 y x

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2 2 2

2 2 2d d d ,

V

x y zI x y z

a b c

V例 2 求 其中 是椭球

体 : 2 2 2

2 2 21.

x y z

a b c

2 22 2

01 1

1 1 1ln( ) d ln2 d ln2.

2 2 2xy

yx y x x

( )

2 2 2 20

d d d dd d

x y

y

V D

x y z zx y

x y x y

2 2

2 2 2 21 0 0 1 0

1 dd d d d

x y x y yx y z x

x y x y

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椭圆截面 (垂直于 x 轴 ): 2 2 2

2 2 21y z x

b c a

或2 2

2 22 2

2 2

1.

1 1

y z

x xb c

a a

解 2 2 2

2 2 2d d d d d d d d d .

V V V

x y zI x y z x y z x y z

a b c

其中 ( )

2 2

2 2d d d d d d ,

x

a

aV D

x xx y z x y z

a a 这里 ( )xD 表示

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因此 2

2 2 22 4

π 4d d d ( )d π .

15

a

aV

x bcx y z x a x x abc

a a

同理可得

2 2

2 22 2 2

ππ 1 1 ,

x x bcb c a x

a a a

由于 的面积等于 ( )xD

2

2

4d d d π ,

15V

yx y z abc

b

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2

2

4d d d π .

15V

zx y z abc

c

所以求得

4 43 π π .

15 5I abc abc

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三、三重积分换元法 与二重积分一样 , 某些类型的三重积分经过适当的

变量变换后能简化计算 .

设变换 : ( , , ), ( , , ), ( , , ),T x x u v w y y u v w z z u v w

把 uvw 空间中的区域V 一对一地映成 xyz 空间中

的区域 V, 并设函数 ( , , ), ( , , ), ( , , )x u v w y u v w z u v w 及

它 们的一阶偏导数在 V 内连续且函数行列式

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( , , ) 0, ( , , ) .

x xxu v wy y y

J u v w u v w Vu v wz z zu v w

积时 , 可以证明如下三重积分换元公式 : 于是与二重积分换元法一样 , 当 ( , , )f x y z V在 上可

( ( , , ), ( , , ), ( , , )) | ( , , ) | d d d .V

f x u v w y u v w z u v w J u v w u v w

( , , )d d dV

f x y z x y z(5)

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下面介绍几个常用的换元公式 :

1. 柱面坐标变换cos , 0

: sin , 0 2π,

, .

x r r

T y r

z z z

由于变换 T 的函数行列式

cos sin 0

( , , ) sin cos 0 ,

0 0 1

r

J r z r r

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按 (5) 式 , 三重积分的柱面坐标换元公式为

V V 这里 为 在柱面坐标变换下的原象 .

( , , )d d d ( cos , sin , ) d d d ,V V

f x y z x y z f r r z r r z

(6)

与极坐标变换一样 , 柱面坐标变换并非是一对一的 , 0r ( , , ) 0,J u v w 并且当 时 , 但我们仍可证明 (6)

式成立 .

在柱面坐标系中 , 用r z , ,常数 常数 常数的

V xyz的平面 分割 时 , 变换后在 坐标系中 , r 常数

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是以 z 轴为中心轴的圆柱面 , 常数是过 z 轴的半

用柱面坐标计算三重积分 , 通常是找出 V 在 xy 平面

平面 , 是垂直于 z 轴的平面 ( 图 21-34). z 常数

21 34图

y

x

z

O

z z

z

r r r

V

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上的投影区域 D, 即当

1 2( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) ,V x y z z x y z z x y x y D 时

2

1

( , )

( , )( , , ) d d ( , , )d ,

z x y

z x yV D

f x y z x y f x y z z 其中二重积分部分应用极坐标变换计算 .

示 , 是由曲面 与 所围的区域 .2 22( )x y z 4z

例 3 计算 2 2( )d d d ,V

x y x y z 其中 V 如图 21-35 所

解 V 在 xy 平面上的投影区域 D 为 2 2 2,x y 按柱

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坐标变换 , 区域V 可表为

21 35图

y

x2

2

z

O

2{( , , ) | 2 4,0 2,0 2π}.V r z r z r

所以由公式 (6),

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2 2 3( )d d d d d dV V

x y x y z r r z

2

2π 2 4 3

0 0 2

8πd d d .

3rr r z

2. 球面坐标变换

sin cos , 0 ,

: sin sin , 0 π,

cos , 0 2π.

x r r

T y r

z r

如图 21-36, 由于

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21 36图

z

x

y

r

r r

O

sin cos cos cos sin sin

( , , ) sin sin cos sin sin cos

cos sin 0

r r

J r r r

r

2 sin ,r

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[0, π] sin 0, 当 在 上取值时, 所以在球坐标变

换下 , 按公式 (5), 三重积分的球坐标变换公式为

( , , )d d dV

f x y z x y z2( sin cos , sin sin , cos ) sin d d d ,

V

f r r r r r

(7)

这里的 为 V V 在球坐标变换下的原象 .

0, π ( , , ) 0.J r 或 时， 但仍然可以证明 (6) 式类似地 , 球坐标变换并不是一对一的 , 并且当 0,r

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成立 .

rV x yz面网分割 时，变换后在 直角坐标系中，=

常数是以原点为心的球面 , =常数是以原点为顶

z z点 , 轴为中心轴的圆锥面 , =常数是过 轴的半平

面 .在球坐标系下 , 当区域V 为集合

1 2( , , ) | ( , ) ( , ),V r r r r

1 2 1 2( ) ( ),

在球坐标系中 , 用r , ,常数 常数 常数的平

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时 , (7) 式可化为累次积分

( , , )d d dV

f x y z x y z2 2 2

1 1 1

( ) ( , )

( ) ( , )d d ( sin cos ,

r

rf r

2sin sin , cos ) sin d . (8)r r r r

例 4 求由圆锥体 2 2 cotz x y 和球体2 2 2 2( )x y z a a

所确定的立体体积 ( 图 21-37), 其中

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为常数 .

π0, 0

2a

和

21 37图x

y

a

O

z

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解 在球坐标变换下 , 球面方程 2 2 2 2( )x y z a a

2 cos ,r a 2 2 cotz x y 可表示成 锥面方程

. 可表示成 因此

{( , , ) | 0 2 cos ,0 ,0 2π}.V r r a

由公式 (8) 求得 V 的体积为 2π 2 cos 2

0 0 0d d d sin d

a

V

V r r

3 44

π (1 cos ).3

a

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除上面介绍的两种变换外 , 下面再举一个例子 , 进一

步说明如何根据被积函数或积分区域的特点来选择 其他不同的变换 .

例 5 求 d d d ,V

I z x y z V 其中 为由

2 2 2

2 2 2 1 0x y z

za b c

与

所确定的区域 .

解 作广义球坐标变换

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sin cos ,

: sin sin ,

cos ,

x ar

T y br

z cr

于是 2 sin .J abcr 在上述坐标变换下 , V 的原象为

π( , , ) 0 1, 0 , 0 2π .

2V r r

由公式 (8), 有 2 3d d d sin cos d d d

V V

z x y z abc r r

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π2π 1 2 32

0 0 0d d sin cos dabc r r

2 22

0

π πsin cos d .

2 4

abc abc