§7.6 §7.6 二重积分二重积分

二重积分的概念二重积分的概念

二重积分的性质二重积分的性质 二重积分的计算二重积分的计算 小结小结 思考与练思考与练习习

在这一节，我们将把一元函数定积分的概念及基本性质推广到二元函数的定积分，即二重积分，为引出二重积

分的概念，我们先来讨论两个实际问题。

1. 曲顶柱体的体积 ，平面的闭区域设有一立体，它的底是 DxOy

轴的柱面，线平行于的边界曲线为准线而母它的侧面是以 zD

上连续。这且在这里它的顶是曲面 Dyxfyxfz 0),(),,(

。体的体积现在要计算上述曲顶柱种立体叫做曲顶柱体。 V

直接用是变量，它的体积不能由于曲顶柱体的高 ),( yxf

体积公式来计算，但可采用这样的思想方法

二重积分的概念二重积分的概念

（ 1 ）分割 ,,, 21 nnD 个小闭区域分成用一组曲线网把

，该曲顶柱体就被相应个小区域的面积。这样表示第且以 ii

个小曲顶表示第并以个小曲顶柱体地分成 iVVVVn in ,,, 21

柱体的体积，则

n

iiVV

1

（ 2 ）近似 细的情况下，是连续的，在分割相当由于 ),( yxf

上任取每个看作平顶柱体，因此在可以把小曲顶柱体近似 i

就可近似看作以个小曲顶柱体的体积，第）一点（ iii ,,

的平顶柱体的体积）为高而底为（ iiif ,

x

z

yo

D

),( yxfz

i

),( ii

iiif ),(

),...2,1( ni

即

iiii yxfV ),(

.),(lim1

0ii

n

iifV

(3) 求和 加起来，积的近似值把这些小曲顶柱体的体 iiif ),(

就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，

即i

n

iii

n

ii yxfVV

11

),(

（ 4 ）取极限 小区域最大无限细分时，即当所有当把区域D

的体积，限就是所求的曲顶柱体趋于零时，则和式的极直径

即

2. 平面薄板的质量 ，面上的闭区域设有一平面薄片占有 DxOy

上且在这里）处的面密度为它在点（ Dyxyxyx 0),(),,(,

。片的质量连续，现在要计算该薄 M

能直接用密度是变量，薄片的质量不由于面密度 ),( yx

思想，把是连续的，利用积分的）来计算。但公式（ ),( yxSM

的直径域只要小快所占的小闭区薄片分成许多小快后， i在小闭在近似地看作均匀薄片。很小，这些小快就可以 (i

则上任取一点区域的面积也记作 ),,() iii

iii ),( ),...2,1( ni

i

),( ii

.),(lim1

0ii

n

iiM

x

y

o

个小。通过求和，再令个小块的质量的近似值可看作第 ni

地，取和的极限，便自然记作区域的直径中的最大值 )(

，即得出薄片的质量M

上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。

定义 域上的有界函数，将闭区是有界闭区域设 Dyxf ),(

个小闭区域任意分成nD ni ，，， ,21

上任的面积。在每个个小闭区域，也表示它表示第其中 ii i

iiiii f ),(),,( 作乘积取一点 ),...2,1( ni

.),(1

ii

n

iif

并作和

如果当个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时，上的二重积分，记作在闭区域则称此极限为函数 Dyxf ),(

D

dyxf 即,),( .),(lim),(1

0ii

n

ii

D

fdyxf

叫做叫做被积函数，为积分区域，其中 dyxfyxfD ),(),(

叫做叫做积分变量，与叫做面积元素，被积表达式， Dyxd积分区域。

最后附带指出，在二重积分的定义

.),(lim),(1

0ii

n

ii

D

fdyxf

，那么除了包含的直线网来划分中，若用平行于坐标轴 D

边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。任取一小区域 的矩形，和，则它的边长为 yx

也常记作元素因此，二重积分的面积面积为 dyx ,

作相应的二重积分也可记,dxdyd

D

dxdyyxf ),(

也就是说，在直角坐标系下，有

DD

dxdyyxfdyxf ),(),(

二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及上可积。假定在区域到的所有二元函数均被 D

性质 1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，

即 )(),(),( 为常数kdyxfkdyxkfDD

性质2

函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重

积分的和（或差）

D DD

dyxgdyxfdyxgyxf ),(),(),(),(

二重积分的性质二重积分的性质

性质 3 个闭区域，则被有限条曲线分为有限如果闭区域D

DD 和。例如闭区域上的二重积分的上的二重积分等于在各在，则与分为两个闭区域 21 DD

1 2

),(),(),(D DD

dyxfdyxfdyxf

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

性质 4 的面积，则为上，如果在 DyxfD ,1),(

D D

dd 1

此性质的几何意义很明显，因为高为 1 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

性质 5 则有不等式上，如果在 ),,(),( yxyxfD

D D

dyxdyxf ),(),(

特殊地，由于 ),(),(),( yxfyxfyxf

又有不等式 DD

dyxfdyxf ),(),(

性质 6 上的最大值和最小值，在闭区域分别是设 DyxfmM ),(,

的面积，则有是D

MdyxfmD

),(

性质 7（二重积分的中值定理） 在闭设函数 ),( yxf

），，上至少存在一点（的面积，则在是上连续，区域 DDD

使得下式成立 ),(),( fdyxf

D

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的

被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。

1. 在直角坐标系下二重积分的计算并设积分我们先假定 ,0),( yxf

)(2 xy

a b

D

)(1 xy

可表示为区域D

，)()( 21 xyx bxa

上连续在区间其中函数 baxx ,)(),( 21 57 图

二重积分的计算二重积分的计算

来截此曲顶柱体，面的平面现在用平行于 ),( 00 baxxxyOz

a 0x b

z

y

x

其截面是一个曲边梯形，这个曲边梯形的“曲边”是曲线

0

),(

xx

yxfz 故其面积为而底边是区间 ,)(),( 0201 xx

)(

)( 00

02

01

),()(x

xdyyxfxA

),( yxfz

)(2 xy )(1 xy

)( 0xA

67 图

所对应的截面积内任一点表示区间换成将上式中的 xbaxx ,,0

)(

)(

2

1

),()(x

xdyyxfxA

bxa

由于整个曲顶柱体的体积为 b

adxxAV )(

由此，可得 b

a

x

xdxdyyxfV

)(

)(

2

1

]),([

或者写成 b

a

x

xdyyxfdxV ]),([

)(

)(

2

1

的二次积分。后对对上式右端的积分叫做先 xy

定，但事实上，去掉这个假定在上述讨论中，我们假 .0),( yxf

题成立。总之，有下列命是连续函数，上式仍然只要 ),( yxf

定理 7.9 为设区域D ，)()( 21 xyx bxa 上连续，则在函数 Dyxf ),(

b

a

x

xD

dxdyyxfdyxf)(

)(

2

1

]),([),(

也常的二次积分，这个积分后对对上式右端的积分叫做先 xy

记作 b

a

x

xdyyxfdx

)(

)(

2

1

),(

因此，等式 7.6 也写成

b

a

x

xD

dyyxfdxdyxf)(

)(

2

1

),(),(

)6.7(

)6.7(

的二次积分的公式。后对先对这就是把二重积分化为 xy

可表示为如果积分区域D

dyc )()( 21 yxy

可化成上连续，完全类似地，在区间其中函数 ],[)(),( 21 dcyy

命题的二次积分，即有下列后对先对 yx

)(2 yx )(1 yx D

c

d

c

d

)(2 yx

)(1 yx D

)(a )(b77 图

定理 7.10 设区域 D 为 )()( 21 yxy dyc

上连续，则在函数 Dyxf ),(

d

c

y

yD

dydxyxfdyxf)(

)(

2

1

]),([),(

也常的二次积分，这个积分后对对上式右端的积分叫做先 yx

记作 d

c

y

yD

dxyxfdydyxf)(

)(

2

1

),(),(

的二次积分的公式。后对先对这就是把二重积分化为 yx

所示型区域，图所示的积分区域为我们称图 7757 X

。，可以应用不同的公式型区域。对不同的区域的积分区域为 Y

)7.7(

)7.7(

型的，我们可以型的，也不是既不是如果积分区域 YXD

型区域。如果型区域或是部分是分成几个部分，使每个把 YXD

及型的，则由公式型的，又是既是积分区域 )6.7( YXD

）就有（ 7.7

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

),(),(y

y

d

c

b

a

x

xdxyxfdydyyxfdx

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们

D

dyxf ),(都等于同一个二重积分

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而

积分限是根据积分区域 D 的类型来确定的。

对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，

为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。这时，既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数

下面举例说明如何利用公式 (7.6) 计算二重积分。

例 1

围成。2xy

D

xyDdxyI 和直线由抛物线其中计算 2,)2(

的和直线的图形，抛物线）画出积分区域（ 21 2 xyxyD解)42()1,1( ，与交点为

.2,1,2)(,)( 22

1 baxxxx 因此，

（ 2 ）定限 二次积分将题给的二重积分写成利用公式 )6.7(

22

1 2)2(2

x

xD

dyxydxdxy ）（

（ 3 ）计算 dxxyydyxydxI x

x

x

x

22

1

222

122

)()2(

20

312)2()2(

2

1

342 dxxxxxx

例 2 及由直线其中计算二重积分 xyyDdy

x

D

,2,2

2

所围成。双曲线 1xy

解 为的图形，三个顶点分别）画出积分区域（ D1

），（），，（），（ 22112

1CBA

）定限（2 二次积分将题给的二重积分写成利用公式 )7.7(

dxy

xdyd

y

x y

yD 1 2

22

12

2

（ 3 ）计算 y

yy

xdydx

y

xdyd

y

xI

y

yD1

]3

[3

32

11 2

22

12

2

64

27]

12

1

6[]

3

1

3[

2

14

22

1 5 y

ydy

y

y

2. 在极坐标系下二重积分的计算程来的边界曲线用极坐标方域有些二重积分，积分区 D

比较简单。这函数用极坐标变量表示比较方便，且被积 ,r

D

dyxf ),(分用极坐标来计算二重积时，我们就可以考虑利

按二重积分的定义有 .),(lim),(1

0ii

n

ii

D

fdyxf

下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式 .

的边界内部的射线与出发且穿过闭区域假定从极点 DDO

曲线相交不多于两点 , 我们用以极点为中心的一族同心圆 :

常数，r 分成常数，把射线：以及从极点出发的一族 D

）个小闭区域。（图 107 n

Ao

D

的面积小闭区域外，小闭区域除了包含边界点的一些

可计算如下

iiiiiiiiii rrrrrr )2(2

1

2

1)(

2

1 22

iiiii rrrr

2

)(

iii rr

域内的平均值。在这小闭区表示相邻两圆弧的半径其中

ir

则由）该点的直角坐标设为（上的一点取圆周 ,,),,( iiiii rrr

的关系有直角坐标与极坐标之间

iiiii rr sin,cos

于是

iiiiiiii

n

ii rrrrff

)sin,cos(lim),(lim0

10

即 DD

rdrdrrfdyxf )sin,cos(),(

由于在直角坐标系中

D

dxdyyxf ),(

D

dyxf ),(

也常记作

所以 , 上式又可写成

DD

rdrdrrfdxdyyxf )sin,cos(),(

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换

元素。就是极坐标系中的面积公式，其中 rdrd

公式（ 7.8 ）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变变换为极坐标，只要把被积函数中的 ,sin,cos, rryx 分别换成

素换成极坐标中的面积元积元素并把直角坐标系中的面 dydx,

。rdrd

接下来的问题，仍然是要将它化成二次积分来计算。为积分的次序，下面积分，后对先对简便起见，一般都选择 r

题。标下二次积分的定限问分三种情况来讨论极坐

一射线与区域的外部，且过极点的任在积分区域极点 DO)1(

）点（图的边界的交点不多于两 117 D

A

D

o

)(1 r )(2 r

Ao

D

)(2 r)(1 r

二重积分化为二次积分的公式为

drdrrrfrdrdrrf

D

)(

)(

2

1

)sin,cos()sin,cos(

rdrrrfdrdrdrrfD

)(

)(

2

1

)sin,cos()sin,cos(

）的边界上（图在区域极点 127)2( DO

上式也写成

（ 7.9 ）

)9.7(

来表示，可以用不等式这时，闭区域 ),(0 rD

）成为而公式（ 9.7

rdrrrfdrdrdrrfD

)(

0)sin,cos()sin,cos(

Ao

D

D

o A

)(r)(r

127 图 137 图

的一射线与区域的内部，且过极点的任在区域极点 DDO)3(

）边界只有一交点（图 137

可以用不等式这是闭区域D 20),(0 r成为来表示，而公式 )9.7(

rdrrrfdrdrdrrfD

)(

0

2

0)sin,cos()sin,cos(

例 3 222,22

ayxDdxdyeD

yx 是圆域其中计算

解 20,0 arD可表示为在极坐标中，闭区域

有及由公式 )9.7()8.7(

drdrerdrdedxdyeR r

D

r

D

yx

2

0 0

2222

de r

2

0

2

0

2

2

1

2

0)1(

2

1 2

de a

)1(2ae

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