27.2. ３相似三角形的周长与面积

A

B C A`

B` C`

在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比 , 三角形哪些元素放大为 10 倍 ?

1. 三角形中，除了角和边这两种元素外，还有哪几种特殊的线段？

高线 角平分线 中线

A

B C A`

B` C`

在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比 , 这些特殊线段有什么关系呢？

A

B CD

A /

B / C /D /

相似三角形的对应边上高线有什么关系？

相似三角形的对应高线之比等于相似比。

已知 ： ΔABC ΔA∽ /B/C/ AD BC 于 D ， A / D / B / C / 于 D / ，

求证：

' ' ' '

AD ABk

A D A B

类似得出相似三角形的对应角平分线之比，中线之比，都等于相似比

算一算：ΔABC 与 ΔA´B´C´ 的相似比是多少？ΔABC 与 ΔA´B´C´ 的周长比是多少 ?面积比是多少？

在 4×4 正方形网格中

看一看：ΔABC 与 ΔA´B´C´ 有什么关系？ 为什么？

想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？

（相似）

2

√10

2

√2

1

√5√2

A B

C

A’

C’B’

2

2

A

B C

A’

B’ C’

已知 :ΔABC∽ΔA´B´C´, 相似比为 k.

=k2求证 : ΔABC 的周长

ΔA’B’C’ 的周长=k

sABC

sA´B´C´

周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以证明吗？

证明：∵△ ABC∽△A′B′C′,且相似比为 k

∴ AB BC ACk

A B B C AC

（相似三角形的对应边成比例）

∴AB=kA´B´,BC=kB´C´,AC=kA´C´

∴ ABC AB BC AC kA B kB C kACk

A B C A B B C AC A B B C AC

的周长的周长

A

B C

A’

B’ C’

已知 :ΔABC∽ΔA´B´C´, 相似比为 k.

=k2求证 : ΔABC 的周长ΔA’B’C’ 的周长

=ksABC

sA´B´C´

如图 AD和 A´D´分别是 BC， B´C´边上的高。∵△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为 k

2

12

12

BC ADABC BC ADk k k

A B C B C A DB C A D

的面积的面积

证明：

A

B C

A’

B’ C’

已知 :ΔABC∽ΔA´B´C´, 相似比为 k.

=k2求证 : ΔABC 的周长ΔA’B’C’ 的周长

=k sABC

sA´B´C´

D D´

∴ kD

AD BC

C

∴

A

B C

A’

B’ C’

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 .

相似三角形的对应高线之比等于相似比。相似三角形的对应角平分线之比，中线之比，都等于相似比

在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比 , 三角形的边长 , 周长 , 面积 , 角有什么关系 ?

三角形的边长 , 周长放大为 10 倍 .

三角形的面积放大为 100 倍 .

三角形的角大小不变 .

1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格

相似比

周长比

面积比

2

4

100

100

1000019

13

13

2 ．．．

．．．

．．．

2 、两个相似三角形的面积比是 9 ： 25 ，那么它们的相似比是 _______对应边上的高是的比是 _________周长之比是 ___________

3 ： 53 ： 5

3 ： 5

例 1 、如图在 ΔABC 和 ΔDEF 中， AB=2DE ， AC=2DF ，

A = D ， ΔABC 的周长是 24 ，面积是 48 。

求 ΔDEF 的周长和面积。

A

B C

D

E F

3. 如图，是一块三角形钢板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割 出的三角形与梯形的面积之比为 4 ： 5 ，那么该怎么切割呢？

A

B C

4 、如图，△ ABC,DE//BC, 且△ ADE 的面积等于梯形 BCED 的面积 , 则△ ADE 与△ ABC 的相似比是 _______

B

A

D E

C

1 ：√ 2

55 、如图，、如图， SS□□ABCDABCD=2008cm=2008cm22 ，点，点 EE 是平行四边是平行四边形形 ABCDABCD

的边的边 ABAB 的延长线上一点，且 ，那么 的延长线上一点，且 ，那么

SS△△BEF BEF == ？ ？

ABBE4

1

F

D C

A B E

6 、如图，矩形 FGHN 内接于△ ABC ， FG在BC 上， NH 分别在 ABAC 上，且 AD⊥BC于 D ，交 NH 于 E ， AD=8cm,BC=24cm,(1) △ABC∽ △ANH 成立吗？试说明理由；(2) 求矩形 FGHN 的面积的最大值A

B C

N HE

F D G

1. 1. 相似三角形对应高的比，对应角平分线相似三角形对应高的比，对应角平分线的比的比 ,, 对应中线的比，对应周长的比都等于对应中线的比，对应周长的比都等于相似比相似比 ..(( 相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形对应线段的比等于相似比 ))

2.2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方 ..