第三节 定积分的还原积分法和分部积分法 •一、积分的换元积分法 •二、定积分的分部积分法 •三、定积分的几个常用公式 •四、小结

一、积分的换元积分法

定理 设函数 ： ( ) ( )f x b x t 在区间 ， 上连续，变换 满足

（ 1） ( ) , ( ) ;b

（ 2） t 在区间 ， （或 ， ）上，（）单调且又连续的导数.

则有 ( ) ( ) '( )bf x dx f t t dt

上式称为定积分的换元公式

证 由于 设为 F( ) ，有

( ) ( )f x b f x b 在区间 ， 上连续，故 在 ， 上的原函数存在，

x ( ) ( ) ( )bf x dx F b F a

( ) ( ) ( ) ,x t b f x a t b 由于 在区间 ， (或区间 ， )上单调，故 从而

复合函数 ( )f t b 在区间 ， (或 ， )上由定义，并有 ' ( ) '( ) ( ) '( )d F t t f t t

dt

( ) '( )f t t b 且 在 ， (或区间 ， )上连续，于是按牛顿莱布尼茨公式，有

( ) '( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ),

f t t dt F t

F F F b F a

因此 ( ) ( ) '( ) .

b

af x dx f t t dt

本例中， 215 4 (5 )4

t x x t 是变换

在反函数的连续函数一定单调，因此，只要能写出变换的反函数，就不必要在检验变换的单调性。今后定积分换元时，通常都写出它的反函数，不必再检验其单调性。

在积分区间上的反函数。由于存

1

,t

x x tx a x b t a t

t t

由例可见，在于：不定积分的换元法在求得关于新的变量的积分后，必须带回原变量 而定积分的换元法在积分变量由 换成

的同时，其积分限也由 和 相应的换成 =和 ， 在完成关于变量的积分后，直接用的

不

上下限 和 代入

定积分的换元法与定积

计算定积分的值，而

分的换元法的区别

不必带回原量。

1

1 2x dxx 例 1 求

解 22 , 2 , 2 .

1 3, 1 1;

x t x t dx tdt

x t x t

设 则

当 时， 当 时，

2

1 1 2

1 3

11 2 3

33

13 1 (5 ) -1 1.4

1[ 2 ( 2 )]2

1 102( 2) 2( 2 ) 2 3.3 3

t x t

x dx t t dttx

t dt t t

当从 变到时， 单调地从 变到 于是有

定积分换元公式，得

22

1 2 22 1

dx

x x例 2 求 解 设 sin arcsin cos

1 22 6 2 4

x t t x dx tdt

x t x t

，取 ，则 ，

当 时， ，当 时,

于是

22 4

21 2 22 6

4 2 4

66

cossin cos1

csc cot 3 1

dx t dtt tx x

tdt t

2 2

22.

4

dx

x x 例 3 求

解 22sec (0 ) arccos ( 2)2

2sec tan

x t t t xx

dx t tdt

设 ， ，

则 ，

2 24 4

22 0 0

1 12sec tan4sec tan 2 84

dx t tdt dtt tx x

故

2

1

1 , 0,( ) ( 2) .

,. 0,x

x xf x f x dx

e x

3

设 求例 42 ( 2) ( ) 1 1 3x t f x f t dx dt x t x ，则 ， ，当 时， ，当 时，解 设

1 1 1 0

0 12

1 0

013

01

1.

( 2) ( ) ( ) ( )

(1 )

1 1 .3 3

x

x

t

f x dx f t dt f t dt f t dt

x dx e dx

x x e e

3 1 0 1于是

换元公式也可以反过来使用，即

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )b

af x x dx f t dt t x a b

，其中 ， ， ，

这是，通常不写出中间变量 ，而写作 t

( ) '( ) ( ) ( ).b b

a af x x dx f x d x

注意这里积分上下限不作变更，如上节例 9、例 10的表述，下面再举一例 .

21

0.xxe dx例 5 求

2 2 2

2

1 1 12 2

0 0 0

11

0

1 1( ) ( )2 2

1 1 (1 )2 2

x x x

x

xe dx e d x e d x

e e

解

可见，这种计算法对应于不定积分的第一类换元法，即凑微分法 .

例 6 证明：在关于原点对称的区间 [-a,a] 上， y=f(x)

为奇函数时，( ) 0

a

af x dx

0

0( ) ( ) ( )

a a

a af x dx f x dx f x dx

，

0

( ) ( ) ( )a a

af x dx f x f x dx

证 由定积分的性质 3 ，有

0( ) 0

af x dx

对积分 ；令x=- t,则dx=-dt,于是

0 0

0 0( ) ( )( ) ( ) ( )

a a

a af x dx f t dt f t dt f x dx

从而由于 y=f(x) 为奇函数，故 f(-x)=f(x)=0 ，

因此，当 y=f(x) 为奇函数时， ( ) 0a

af x dx

2

22 1 sinx dxx

21 sinxx

故同理，当 y=f(x) 为偶函数时，

例 7 求解 被积函数 是奇函数，且积分区间[-2,2] 关于原点对称，故 2

220

1 sinx dxx

0( ) 2 ( ) .

a a

af x dx f x dx

二、定积分的分部积分法 ( ) ( ) ,

( ) ,

u x v x a b

d u v udv vdu

设 和 在区间 上有连续的导数，

有微分运算法则，有

( ) ,

( )

( )

b b b

a a a

b b

a

aa

b bb

a a

udv d uv vdua b

udv d uv vdu

d u

udv uv

u

vdu

v v

移项得 两边在区间 ， 上积分，得

因 ，故

上式称为定积 分部积分的 分公式.

例 8 求 1 2

0ln( 1)x x dx

解1 12

2 200

1

20

1 2

20

12

0

1 2ln( 1) (1 )1 2 1

ln(1 2)1

1 1ln(1 2) ( 1)2 1

ln(1 2) 1 ln(1 2) 2 1.

xx x x x dxx x x

x dxx

d xx

x

1 2

0ln( 1)x x dx

1

0

1 1

0 0

11

0 0

.

( 1) 1

x

x x

x x

xe dx

xe dx xd e

xe xe dx

e e

求

（ ）

=

例9

解

0cosx xdx

例 10 求 0 00 0 0

cos (sin ) sin sin 0 cos 2x xdx xd x x x xdx x 解

可见，定积分的分部积分法，本质上是利用不定积分的分部积分法求原函数，再利用牛顿 -莱布尼茨公式求得结果，这两者的差别在于定积分经分部积分后，积出分部就代入上下限，即积出一步代一步，不必等到最后一步代。

几个特殊积分、定积分的几个等式

定积分的换元法dxxf

b

a )( dtttf

)()]([

四、小结

定积分的分部积分公式 .

b

a

b

a

b

avduuvudv

（注意与不定积分分部积分法的区别）

指出求

2

2 2 1xxdx的解法中的错误，并写出正确

的解法.

解 令 ,sec tx ,4

33

2: t ,sectan tdttdx

2

2 2 1xxdx

tdtttt

tansectansec

143

32

dt

4

3

32

.12

计算中第二步是错误的 . tx sec

,4

3,3

2

t ,0tan t .tantan12 ttx

正确解法是

2

2 2 1xxdx tx sec tdtt

tttansec

tansec14

3

32

dt

4

3

32

.12

1

0)2( dxxfx

1

0)2(

21 xfxd

1

0

10 )2(

21)2(

21 dxxfxfx

10)2(41)2(

21 xff

)0()2(41

25 ff .2

设 )(xf 在 1,0 上连续，且 1)0( f ，3)2( f ， 5)2( f ，求 1

0)2( dxxfx .

解

一 、 填 空 题 ：

1 、

3

)3

sin( dxx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；

2 、

0

3 )sin1( d _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；

3 、 2

0

22 dxx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；

4 、

21

21 2

2

1)(arcsin

dxxx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；

5 、

5

5 24

23

12sin

dxxx

xx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .

练 习 题 6.3

二 、 计 算 下 列 定 积 分 ：

1 、 20

3cossin

d ； 2 、

3

1 22 1 xxdx

；

3 、 1

43 11 x

dx； 4 、

2

2

3coscos dxxx ；

5 、

0

2cos1 dxx ； 6 、

2

2

4cos4

dx ；

7 、

1

1

2322 )11( dxxxxx ；

8 、 2

0

3 },max{ dxxx ；

9 、 2

0dxxx （ 为参数 ） .

三、 设

时，当

时，当

0,1

1

0,1

1

)(x

e

xxxf

x

求 2

0)1( dxxf .

四、设 baxf ,)( 在 上连续， 证明

b

a

b

adxxbafdxxf )()( .

五、 证明：

1

0

1

`0)1()1( dxxxdxxx mnnm .

六、证明：

a

a

adxxfxfdxxf

0)]()([)( ,

并求

4

4 sin1 xdx .

七、设 1,0)( 在xf 上连续，

证明

20

2

0)cos(

41)cos( dxxfdxxf .

练习题 6.3 答案一 、 1 、 0 ； 2 、

34 ； 3 、

2

； 4 、32

3； 5 、 0 .

二 、 1 、41； 2 、

3322 ； 3 、 2ln21 ； 4 、

34；

5 、 22 ； 6 、 23

； 7 、4

； 8 、8

；

9 、4

17； 1 0 、 时当 0 , 2

38

； 当 20

时 , 3

238 3

； 当 2 时 , 238

.三 、 )1ln(1 1 e .六 、 2 .