第第 55 章 数字滤波器的基本结构章 数字滤波器的基本结构 IIRIIR 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构 FIRFIR 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构 格型结构格型结构

IIRIIR 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构

直接型结构直接型结构 级联型结构级联型结构 并联型结构并联型结构

一、一、 IIRIIR 数字滤波器的直接型结构数字滤波器的直接型结构

N

j

jj

M

i

ii

za

zb

zH

1

0

1

)(

N

j

jj

M

i

ii

za

zb

1

0 1

1

][]1[][][ 10 Mkxbkxbkxbkw N

)(

)()(1 zX

zWzH

)(

)()(2 zW

zYzH

][]2[]1[][][ 21 Nkxakxakxakwky N

直接 I 型结构

2a

1a

1 Na

NaNb

2b

1b1z

][ky

1z

1z

1z

0b

1z

1z

1z

1z

x[k] w[k]

][]1[][][ 10 Nkxbkxbkxbkw N

][]2[]1[][][ 21 Nkxakxakxakwky N

设 M=N

直接 直接 II II 型结构型结构

2a

1a

1 Na

Na Nb

2b

1b1z

][ky

1z1z

1z

0bx[k]

2a

1a

1 Na

Na Nb

2b

1b1z

][ky

1z1z

1z

0b

1z

1z

1z

1z

x[k]

转置直接 转置直接 II II 型结构型结构

2a

1a

1 Na

NaNb

2b

1b1z

][ky

1z1z

1z

0bx[k]

IIRIIR 数字滤波器的直接型结构优缺点数字滤波器的直接型结构优缺点

优点：简单直观优点：简单直观 缺点：缺点：

1. 1. 改变某一个改变某一个 {{aak k }} 将影响所有的极点将影响所有的极点

2. 2. 改变某一个改变某一个 {{bbk k }} 将影响所有的零点将影响所有的零点

3. 3. 对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象

对于三阶以上的 IIR 滤波器，几乎都不采用直接型结构，而是采用级联型、并联型等其它形式的结构。

二、二、 IIRIIR 数字滤波器的级联型结构数字滤波器的级联型结构

将滤波器系统函数 H(z) 的分子和分母分解为一阶和二阶实系数因子之积的形式

21

21

1

2,2

1,1

1

1

1

2,2

1,1

1

1

)1()1(

)1()1(

)(N

kkk

N

kk

M

kkk

M

kk

zzzp

zzzz

KzH

)(1

1)(

12,2

1,1

2,2

1,1

1zHA

zz

zzAzH i

L

iii

iiL

i

画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们级联。

二阶基本节

级联型结构信号流图级联型结构信号流图

11 111z

][kx ][ky

21 211z

L1L1

1z

L2L2

1z

A

基于转置直接 II 型的级联型结构

11111z

][ky

2121 1z

L1L11z

L2L2 1z

Ax[k]

基于直接 II 型的级联型结构

IIRIIR 数字滤波器的级联型结构优点数字滤波器的级联型结构优点

优点：优点：1. 1. 硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用2. 2. 每一个基本节系数变化只影响该子系统的零极每一个基本节系数变化只影响该子系统的零极

点点3. 3. 对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比

直接型低直接型低

三、三、 IIRIIR 数字滤波器的并联型结构数字滤波器的并联型结构

将滤波器系统函数 H(z) 展开成部分分式之和，并将一阶系统仍采用二阶基本节表示

2,2

1,1

1,1,0

10

1)(

zz

zzH

kk

kkL

k

画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联。

并联型结构信号流图

基于直接 II 型的并联型结构

11

01

1z

][kx

211z

][ky

L11z

L21z

0

11

L1

L0

11

01

1z

211z

][ky

L11z

L21z

0

11

L1

L0

][kx

基于转置直接 II 型的并联型结构

IIRIIR 数字滤波器的并联型结构优缺点数字滤波器的并联型结构优缺点

优点：优点： 1.1. 运算速度快运算速度快 2. 2. 各基本节的误差互不影响各基本节的误差互不影响 3. 3. 可以单独调整极点的位置可以单独调整极点的位置 缺点缺点 ::

不能向级联型那样直接调整零点不能向级联型那样直接调整零点

[[ 例例 ]] 已知某三阶数字滤波器的系统函数为已知某三阶数字滤波器的系统函数为

)2

1

2

11)(

3

11(

3

2

3

53

)(211

21

zzz

zzzH

试画出其直接型、级联型和并联型结构。

直接型直接型

321

21

61

31

61

1

32

35

3)(

zzz

zzzH

将系统函数 H(z) 表达为

3/1

6/1

6/1

3/2

3/5

1z

][kx ][ky

1z

1z

3

级联型级联型

21

21

1

21

21

1

32

35

3

31

1

1)(

zz

zz

zzH

3/11z

][kx ][ky

2/11z

1z

3

3/5

3/22/1

将系统函数 H(z) 表达为一阶、二阶实系数分式之积

并联型并联型

将系统函数 H(z) 表达为部分分式之和的形式

21

1

1

2

1

2

11

1

3

11

2)(

zz

z

zzH

3/11z

2/11z

1z

1

2/1

1

][kx][ky

2

FIRFIR 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构

直接型结构直接型结构 线性相位直接型结构线性相位直接型结构 级联型结构级联型结构 频率取样型结构频率取样型结构

一、 FIR 数字滤波器的直接型结构

ii

M

i

kM

k

zbzkhzH

00

][)(

M+1 个乘法器，M个延迟器，M个加法器

1z1z 1z

0b Mb1Mb2b1bx[k]

y[k]h[0] h[1] h[2] h[M]h[M 1]

M 阶 FIR 数字滤波器

二、线性相位二、线性相位 FIR DFFIR DF 结构结构

M 为偶数 2

12

0

)( ]2

[)]([)(M

M

k

kMk zM

hzzkhzH

利用 h[k] 的对称特性： h[k]= ±h[Mk]

]12

[ M

h ]2

[M

h

x[k]

y[k]

h[0] h[1] h[2]

1 1 11

1z 1z1z

1z1z1z

相同系数的共用乘法器，只需 M/2+1 个乘法器

MM 为奇数为奇数 )]([)(2

1

0

)(

M

k

kMk zzkhzH

1z

]2

3[

Mh ]

2

1[

Mh

1

x[k]

y[k]

h[0] h[1] h[2]

1 1 1 1

1z

1z 1z 1z

1z

1z

相同系数的共用乘法器，只需 (M+1) /2 个乘法器

三、 三、 FIR FIR 数字滤波器的级联型结构数字滤波器的级联型结构

将 H(z) 分解为若干个实系数一阶二阶因子相乘

L

kkk zzhzH

1

2,2

1,1 )1(]0[)(

11

21

L1

L2

12

22

x[k] y[k]

1z

1z

h[0]

1z 1z

1z 1z

2L=M 个延迟器， 2L+1=M+1 个乘法器， 2L=M 个加法器

特点：可以分别控制每个子系统的零点

四、 四、 FIR FIR 数字滤波器的频率取样型结构数字滤波器的频率取样型结构

1

011

][1)(

N

mm

N

N

zW

mH

N

zzH

0NW

1NW

)1( NNW

x[k] y[k]

1z

1z

1z

H[0]

H[1]

H[N 1]

1/N

Nz

频率取样型结构分析频率取样型结构分析

1

011

][1)(

N

mm

N

N

zW

mH

N

zzH

FIR 子系统—梳状滤波器 一阶 IIR 子系统1,,1,0,/j2π Nkez Nk

k 1,,1,0,/j2π Nkep Nkk

零点与 IIR 子系统极点相消，使系统具有 FIR 特性

频率取样型结构分析频率取样型结构分析

1

011

][1)(

N

mm

N

NN

zrW

mH

N

zrzH

在有限字长情况下，系数量化后极点不能和零点抵消，使 FIR 系统不稳定。

存在问题：

解决方法：

在 r 圆上进行 (r<1 但近似等于 1) 取样，即用 rz1 代替 z1 ，使极点和相应的零点移到单位圆内。

实系数实系数频率取样型结构频率取样型结构

12

111

)(][21

]2/[

1

]0[1)(

N

mm

N

zHmHz

NH

z

H

N

zzH

N为偶数

N为奇数

2)1(

11

)(][21

]0[1)(

N

mm

N

zHmHz

H

N

zzH

221

1

)2

cos(21

)2

][cos(])[cos()(

zrN

mz

N

mmzm

zH m

其中

利用 H[m] 和旋转因子的对称性，将二个复系数 IIR 一阶子系统合并成一个实系数二阶子系统。

例：设计一例：设计一 MM 阶实系数阶实系数 FIRFIR ，已知，已知 HH[0]=1[0]=1 ，， HH[1][1]=1=1 ，画出其，画出其频率取样型结构。频率取样型结构。

1)1(1

111

1

)1(

1

1

1

1

1

1

1

1)(

zWzWzN

zzH

NNN

N

21

1

1

)1(

)1

2cos(21

)1

2cos(22

1

1

1

1)(

zzN

zN

zN

zzH

N

解：频率抽样点数 N=M+1

由 H[N1]= H[1]=1 ，和

1)1(N

NN WW

实系数频率取样型结构流图实系数频率取样型结构流图

)2

cos(2N

)2

cos(2N

x[k] y[k]1/N

Nz z 1

z 1

z 1

1

1

1

优点： 1. H[m] 零点较多时，实现较为简单。

2. 可以构成滤波器组，实现信号的频谱分析。

格型结构格型结构

全零点全零点 (AZ)(AZ) 滤波器的格型结构滤波器的格型结构 全极点（全极点（ APAP ）滤波器的格型结构）滤波器的格型结构 有有极点和零点滤波器的格型结构极点和零点滤波器的格型结构

三种滤波器的系统函数 三种滤波器的系统函数

np

p

n

znazA

)(1)(

1

全零点 (AZ) 滤波器

全极点 (AP) 滤波器

np

p

n

znazA

zH

)(1

1

)(

1)(

1AZAP 滤波器

)(

)(

)()( 0

zA

zB

zA

zb

zH

mm

p

m

一、全零点一、全零点 (AZ)(AZ) 滤波器的格型结构滤波器的格型结构

1z 1z

2K

1z

1K][ky

][0 ke f ][1 ke f ][2 ke f ][ke fp

][kebp][2 keb][1 keb][0 keb

1K 2K pK

pK

][kyb

][kx

][1 ke fp

pK

][ke fp

][1 kebp ][keb

p

pK1z

AZ 系统的基本格形单元

反射系数

反射系数反射系数 KKpp 的确定的确定

)( paK pp

)1,,2,1(1

)()()(

21

pi

K

ipaKiaia

p

pppp

2111

)1()1()1(

p

ppppp

K

aKpapaK

根据系统函数，由高阶系数递推各低阶反射系数 Kp

二、全极点（二、全极点（ APAP ）滤波器的格型结构）滤波器的格型结构

1z1z1z

][][ kekx fp ][ky

1K

1pK

1 pK

1K

][0 ke f][1 ke f][2 ke fp][1 ke f

p

][kebp ][1 keb

p ][1 keb ][0 keb

pK

pK

1z

pK

pK

][1 ke fp][ke f

p

][1 kebp][keb

p

AP 系统的基本格型单元

三、有三、有极点和零点滤波器的格型结构极点和零点滤波器的格型结构

第p阶 第p-1阶 1第 阶

][kypc 1pc 2pc1c 0c

][][ kekx fp ][0 ke f][1 ke f][2 ke f

p][1 ke fp

][kebp ][1 keb

p ][1 keb ][0 keb][2 kebp

1z

pK

pK

][1 ke fp][ke f

p

][1 kebp][keb

p

图中的方框是如下基本格型单元

格型结构中格型结构中 K K ,, C C 参数的确定参数的确定

1. K 参数利用 AZ 系统反射系数 Kp 的递推公式递推出

pp bc

3. 递推求出 c 参数

1,,2,1,0)(1

pmmiaccb i

p

miimm

2. 确定 cp