5.1.1 选频滤波器的分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通

0

低通

0

高通

5.1 基本概念

0

带通

0

带阻

0

全通

5.1.2 滤波器的技术指标

0

通带

阻带

过渡带

swpw

通带截止频率:pw

阻带截止频率:sw

:1 通带容限

:2 阻带容限

11 1)(1, jp eH

2)(, j

seH

通带允许的最大衰减（波纹） ：

pA

阻带应达到的最小衰减 ： sA

2

0

lg20)(lg20)(

)(lg20 s

s

jw

jw

j

s eHeH

eHA

)1lg(20)(lg20)(

)(lg20 1

0

p

p

jw

jw

j

p eHeH

eHA

5.1.4 滤波器的设计步骤

按任务要求确定 Filter 的性能指标； 用 IIR 或 FIR 系统函数去逼近这一性能要求； 选择适当的运算结构实现这个系统函数； 用软件还是用硬件实现。

N

ii

M

ii

N

i

ii

M

i

ii

zd

zcA

za

zbzH

1

1

1

1

1

0

)1(

)1(

1)(

5.2 IIR 滤波器的设计特点

滤波器

设计方法

)()( zHsH a 模拟低通 filter 设计数字滤波器

最优化设计法

c0

)( jeH

c0

)( jH a

?

模拟滤波器设计数字滤波器方法步骤： （ 1 ）将数字滤波器的技术要求

对模拟滤波器的技术要求； 某种变换

（ 2 ）设计模拟滤波器 — 求模拟滤波器的传递函数 Ha(s) ；

（ 3 ） Ha(s) 某种变换 H(z) 。

一致

zs 变换 的映射关系应满足 : （ 1 ）数字滤波器的频率响应应能模仿模拟滤

波器的频率响应，即

jsa sH )( 互为映射关系 jezzH )(

S 平面的虚轴 Z 平面的单位圆 （ 2 ）因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍

为因果稳定的。

0]Re[)(

sa sH 互为映射关系1

)( zzH

S 平面的左半平面 Z 平面的单位圆内

5.3.1 由幅度平方函数确定系统函数 1 、幅度平方函数

5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法

)().()(2 jHjHjH aaa

)()( jHjH aa

jssHsH

jHjHjH

aa

aaa

)()(

)()()(2

)()()()(2

sHsHsHjH aaaa

极点特点)()(.2 sHsH aa

（ 3）按频率特性确定增益常数。

方法确定由 )()j(.32

sHH aa

)()()()1( 22

2sHsHjH aasa

求

（ 2 ）分解 得到各零极点，将左半面的极点 归于 ，对称的零点任一半归 。若要求最小相位延时，左半面的零点归

)()( sHsH aa )(sHa )(sHa

)(sHa

例

解：

选极点 -6 ， -7 ，一对虚轴零点 为 的零极点

确定)36)(49(

)25(16)j(H 22

222

a

)36)(49(

)25(16)()( 22

22

ss

ssHsH aa

极点为 零点为：

4K |)(76

25|)( 00

00 ＝

jH

KsH asa

（ 1 ）通带内有最大平 坦的幅度 特性；

（ 2 ）单调减小 ；

Nc

a jH 2

2

/1

1)(

5.3.2 巴特沃思低通逼进1 、幅度平方函数

)3(2/1 dB

1.0

0

N=2

N=4N=8

方法 1: )s(H)s(H)s(H)j(H aaa2

a

2 、巴特沃思 filter 的系统函数确定

A ,A2 ssPp 确定、、：由模拟方法

方法 3: )()( sHsH aaN

方法 1: )()()()(2

sHsHsHjH aaaa

也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有 2N 点。c

4

偶数 奇数

N

1kk

N

a

)ss()s(H c

方法 2: , ssp AAP 、、由模拟 c, N H(s)

NaP jHA 2

cp

2p )(1

1lg10)(lg10 －＝在

)(lg2

])110()110(lg[N

sp

10A10A sp

N As2 10

sc

110

N AP2 10

Pc

110

Nas jHA 2cs

2s )(1

1lg10)(lg10 －＝在

方法 3: )()( sHsH aaN

caNa

sssHsH )()(

NNN

aN ssasasasH

1

12

211

1)(

例 5-1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数， 设Ωc ＝ 2 rad/s 。

62

)2/(1

1|)(|

jH

令 Ω2=-s2 即 s=jΩ ，则有

)2/(1

1)()(

66ssHsH aa

6

12

2

1

2

kj

k es k=1, 2, …, 6

解 : 幅度平方函数是 :

312

22

312

312

22

312

3

1

6

05

3

5

4

3

4

3

2

3

2

1

jes

es

jes

jes

es

jes

j

j

j

j

j

j

Ha(s) 的由 s1, s2, s3 三

个极点构成极点

884

8

))()(()(

23

321

3

sss

sssssssH c

a

系统函数为 :

例 5-2 设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器： (1) 通带截止频率： Ωp=0.2π ；通带最大衰减： Ap=7 dB 。 (2) 阻带截止频率： Ωs=0.3π ；阻带最小衰减： As=16dB 。

379.2)3.0/2.0lg(2

)]110/()110lg[( 6.17.0

N

为了准确在Ωp满足指标要求，得

4985.0110

2.06 7.0

cQ

解 :

为了准确在Ωp满足指标要求，得

5122.0110

3.06 6.1

cQ

现在在上面两个数之间可任选Ωc值。现选Ωc=0.5 ，这样就必须设计一个 N=3 和 Ωc=0.5 的巴特沃思滤波器，模拟滤波器 Ha(s) 的设计类似于例 5-1 。最后可得

)25.05.0)(5.0(

125.0)(

2

ssssHa

5.4 用脉冲响应不变法设计数字滤波器

)(sH a )(tha

)()( nThnh a

5.4.1 变换原理

)(zH

采样模仿

一、原理

二、 s 平面与 z 平面间的映射

T

er

eere

rez

js

T

TjTj

j

sTez

s 平面的虚轴映射 z平面的单位圆（ r=1)

s 平面的左半平面映射 z平面单位圆内（ r<1 ）

s平面右半平面映射 z平面单位圆外（ r>1 ）

T/

T/3

T/

T/3

j

平面s 平面z

)Im(zj

)Re(z

-1 10

数字滤波器的频响并不是简单的重复模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器的频响的周期延拓，即

5.4.2 混迭失真

2T,0)j(H S

a

w )T

j(HT

1)e(H a

j

ka

j )T

k2j(H

T

1)e(H

0

)( jHa

T

T

2 2

)( jeH

减小混迭

失真方法

信号频响在折叠频率处快速衰减

加大采样 fs

)(sH a )(tha )()( nThnh a

)(zH

一般方法：

简单方法：

)(sH a )(zH

5.4.3 模拟滤波器数字化方法

)S(Ha

)S(Ha

N

1k k

ka SS

A)S(H

N

1k

tSka

1a )t(ueA)]S(H[L)t(h k

1 、方法的简化 设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次， 可展成如下的部分公式

N

1k

N

1k

nTSk

nTSka )n(u)e(A)n(ueA)nT(h)n(h kk

n

nZ)n(h)]n(h[Z)Z(H

0n

N

1kk

n1TS A)ze( k

N

1k 0n

n1TSk )ze(A k

N

1k1TS

k

Ze1

Ak

N

1k k

ka SS

A)S(H

N

1k1Ts

k

Ze1

A)z(H

k

2 、几点结论

kSS sTez 1 ）

2 ）系数相同

3）模拟滤波器是稳定的，数字滤波器也 是稳定的。4） S平面的极点与 Z平面的极点一一对应，但两平面零点并不一一对应。

)nT(Th)n(h a修正后：

)nT(h)n(h a

3. 存在的问题

w )T

j(HT

1)e(H a

j

N

1k1Ts

k

Ze1

TA)z(H

k

w )T

j(H)e(H aj

[ 例 6-3] 模拟滤波器的系统函数为 ，

试用冲激响应不变法，设计 IIR 数字滤波器， T=1解：

3S

1

1S

1)S(Ha

T31T1 eZ1

T

eZ1

T)Z(H

42311

311

T3111 eZ)ee(Z1

)ee(Z

eZ1

1

eZ1

1)Z(H

08315679.0e,049789068.0e,367879441.0e 431

21

1

Z01831.0Z4177.01

Z3181.0)Z(H

5.5.4 脉冲响应不变法优缺点

缺点会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。

T优点：频率坐标变换是线性的，即数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟 滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。

5.5 用双线性变换法 设计 IIR 数字滤波器

5.5.1. 变换原理

Ts1ez

)2

Ttan(

T

2 1

)2

T(tg

T

2 1

通过欧拉公式，可得：

2

Tj

2

Tj

2

Tj

2

Tj

11

11

ee

ee.

T

2j

平面映射：平面 1SS

11 js js ＝令

TS

TS

1

1

e1

e1.

T

2S

TS1

1eZZS 平面的映射：平面

1

1

Z1

Z1

T

2S

ST2

ST2

ST2

1

ST2

1Z

双线性变换

5.5.2. 逼近情况

1

1jw

z1

z1.

T

2seZ )1

时，代入

j)2

wtan(

T

2j

e1

e1.

T

2s jw

jw

则：

平面单位圆平面虚轴映射到说明： zs

22

22

)T2(

)T2(

Z

s

T2

sT2

Zjs )2

代入＋＝将

j

T2

jT2

Z

＋则

0 1z 说明：稳定的模拟滤波器双线性变换后仍是的数字滤波器

0 1z

0 1z ＝

优点：避免了频响的混叠失真

5.5.3 优缺点

缺点：频率非线性 幅频响应分段常数型

5.5.4 模拟滤波器数字化方法

1.直接代入法

1

1

1

12)()(

z

z

TssHzH

直接代入法间接代入法

表格法

数字化方法

2. 间接代入法

将模拟滤波器的系统函数 H(s) 分解成级联或并联形式，然后在对每一个子系统函数进行双线性变换。

3.表格法

能预先求出模拟滤波器与数字滤波器的系统函数之间的关系，设计问题则变成查表，简单易行。

NN

2210

NN

2210

a sBsBsBB

sAsAsAA)s(H

模拟滤波器：

NN

22

11

NN

22

110

zbzbzb1

zazazaa)z(H

数字滤波器：

1

1

1

1

2)()(

z

zTssHzH

五 模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器的步骤确定数字低通滤波器的技术指标利用转化为模拟滤波器技术指标

)2

Wtan(

T

2

)s(Ha按照 Ω 的技术指标要求设计模拟滤波器

将模拟滤波器从 S 平面转换到 Z 平面，得到数字低通滤波器系统函数 H(Z) 。

1

1

1

12)()(

z

z

TssHzH

★若给定待设计的模拟滤波器技术指标 f ，需要预畸变求得响应的数字滤波器技术指标再求 )

2

Wtan(

T

2

fT2w

例 5-4 设计一个一阶数字低通滤波器， 3 dB截止频率为 ωc =0.25π ，将双线性变换应用

于模拟巴特沃思滤波器。 )/()(

ca s

sH

1

1

解 : 数字低通滤波器的截止频率为 ωc=0.25π ，则巴特沃思模拟滤波器Ωc为：

TTTc

c

8280

2

2502

2

2 ..tantan

模拟滤波器的系统函数为：

)./()/()(

82801

1

1

1

sTssH

ca

将双线性变换应用于模拟滤波器，有：

1

1

111

12

415901

129200

11828021

11

1

z

z

zzsHzH

z

z

Tsa

..

)]/())[(./()()(

例 5-5 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为 fs=4 kHz （即采样周期为 T=250 μs ），其 3dB 截止频率为 fc=1 kHz 。 三阶模拟巴特沃思滤波器为

32221

1

)/()/()/()(

ccca sss

sH

解 ： 1) 数字域截止频率ωc=2πfcT=0.5π 。

TTTc

c

2

2

502

2

2

.tantan

2) 确定预畸变的模拟滤波器的截止频率

3) 将 Ωc代入三阶模拟巴特沃思滤波器 Ha(s) ，得

32 222221

1

)/()/()/()(

sTsTsTsHa

4) 将双线性变换关系代入得数字滤波器的系统函数

2

321

3

1

12

1

1

1

11

12

3

331

2

1

11

11

211

21

1

1

1

z

zzz

zz

zz

zz

sHzHz

z

Ts

a )()(

IIR 数字滤波器设计函数

[bz1,az1]=impinvar(b,a,FS)

[bz2,az2]=bilinear(b,a, FS)

b,a ： Ha(s) 分子和分母多项式系数

FS ：采样频率

bz1,az1 ； bz2,az2 ： h（ z)分子和分母多项式系数

S1.0T),Z(H1s3s2

2s3)s(H 2a

变为数字滤波器不变法和双线性不变法

，用冲激响应例：将模拟滤波器

b=[0,1.5,1];a=[1,1.5,0.5];[bz1,az1]=impinvar(b,a,10)[bz2,az2]=bilinear(b,a,10)

运行结果：

bz1 =

0.1500 -0.1404 0

az1 =

1.0000 -1.8561 0.8607

bz2 =

0.0720 0.0046 -0.0674

az2 =

1.0000 -1.8560 0.8606

5.6 设计 IIR 滤波器 的频

率变换法

数字滤波器的设计方法

模拟域频率变换法

数字域频率变换法

一、 IIR 滤波器的频率变换法

模拟

原型模拟低通、高通

带通、带阻

数字低通、高通带通、带阻

模拟域频率变换

数字化

模拟

原型数字低通、高通

带通、带阻模拟与频率变换

ssc

c

低通→低通

ss cc低通→高通

二、低通滤波器到其它频率转换关系

低通→带通)(s

ss

1h

h12

c

h12

1hc s

)(ss

低通→带阻

5.6.2 模拟低通滤波器变为数字高通滤波器

ss cc

1

1

Z1

Z1

T

2S

低通→高通

1

1

1

1c

1

1cc

Z1

Z1C

Z1

Z1

2

T

Z1

Z1T2

S

)2

wtan(

2

TC c

cCc

二、模拟低通滤波器到数字高通滤波器

频率之间的关系

1

1

Z1

Z1CS

jweZ ,js 令：上式

)2

wcot(C )

2cot(

wC

0

0

模拟低通变换到数字高通

o o

o

)j(a ΩH

)(e jH

2

1

1 2

例 5-7 设计一个巴特沃思高通数字滤波器，其通带截止频率（ -3dB 点处）为 fc=3kHz ，阻带

上限截止频率 fst=2kHz ，通带衰减不大于 3 dB ，

阻带衰减不小于 14dB ，采样频率 fs=10kHz 。

401010

103222

601010

103222

3

3

3

3

.

.

s

ststst

s

ccc

f

fTf

f

fTf

解 1 ） 求对应的各数字域频率 :

2 ）求常数 C。采用归一化（Ωc=1 ）

9238137612

601

2.

.tantan

ccC

3 ）求低通原型 Ωst 。设 Ωst 为满足数字高通滤波器的归一化原型模拟低通滤波器的阻带上限截止频率，可按 Ω=C·cot(ω/2) 的预畸变换关系来求，得

24278941938137619238137612

...cot stst C

4 ）求阶次 N。

1411020

2

N

c

ststa jH lg)(lg

4931490289555540

93563821

242789412

110 41

..

.

).lg(

)lg( .

N

取 N=3。

5）求 N=3 归一化巴特沃思低通原型的 Ha(s) 。

122

123

sss

sHa )(

1

1

1

1

z

zCsa sHzH )()(

6 ） 求数字高通滤波器的系统函数 H(z) ， 有

321

321

25693055071164200878457101

331840790990

zzz

zzzzH

...

)(.)(

5.6.2 模拟低通滤波器变为数字带通滤波器

1

1

Z1

Z1

T

2S

低通→带通)(s

ss

1h

h12

c

2

21

Z1

ZEZ1DS

1h

h1

c

)2T

T2

(D

h1

2

h1

2

T2

T2

2E

)2

wwcot(D 12

c

0

12

12

12

12 wcos2wsinwsin

)wwsin(

2/)ww(cos

2/)ww(cos2E

)2

wtan

2

w(tan

T

2 12c

2

21

a Z1

ZEZ1Ds|)s(H)z(H

2

21

Z1

ZEZ1DS

二、模拟低通滤波器到数字带通滤波器 频率之间的关系

jweZ ,js 令：上式

wsin

wcoswcosD 0

0ww0

w

0w

模拟低通变换到数字带通

)j(a ΩH

)(e jH

1

2

o o

o 1

0

2

0

解 1) 数字滤波器在数字域的各个临界频率。通带的上、下边界截止频率为 :

ω1=2πf1T=2π×12.5×103×10×10-6=0.25π

ω2=2πf2T=2π×37.5×103×10×10-6=0.75π

例 5-8 采样频率为 fs=100kHz, T=10 μs ，要

求设计一个三阶巴特沃思数字带通滤波器，其上、下边带的 3dB 截止频率分别为 f2=37.5 kHz ， f

1=12.5 kHz。

由式（ 5-68 ）求得 D为

TTTD c

4

4

4

2

2507504

212

cot..

cotcot3) 求 D、 E

04

22

2250750

22507502

2

22

12

12

)/cos(

)/cos(

]/)..cos[(

]/)..cos[(

]/)cos[(

]/)cos[(

E

4) 变换公式

2

2

2

21

1

14

1

1

z

z

Tz

zEzDs

2) 模拟低通的截止频率

22

88

32

22

2 12

TTTc

tantantantan

122

123

sss

sHNa )(

Ωc=4/T的三阶巴特沃思滤波器的系统函数为

122

123

)/()/()/(

)(cccc

aa sss

sHsH

N

4

642

2

22

2

2

2

21

14

3

331

2

1

111

211

211

1

2

2

z

zzz

zz

zz

zz

sHzHz

z

Ts

a |)()(

4) 三阶巴特沃思滤波器的系统函数

5) 数字滤波器系统函数

巴特沃思带通滤波器

o

)(e jH

4π

2π

4π3 π

1

21

5.6.2 模拟低通滤波器变为数字带阻滤波器

1

1

Z1

Z1

T

2S

h12

1hc s

)(ss

低通→带阻

211

2

1 ZZE1

Z1DS

))T2(

)()T2(D

h12

1hc1

h1

2

h1

2

1

T2

T2

2E

)2

wwtan(D 12

c

0

12

12

12

121 wcos2

wsinwsin

)wwsin(2

2/)ww(cos

2/)ww(cos2E

)2

wtan

2w

(tan

2w

tan.2

wtan

T

2

12

12

c

211

2

1a ZZE1

Z1Ds|)s(H)z(H

二、模拟低通滤波器到数字带阻滤波器 频率之间的关系

jweZ ,js 令：上式

211

2

1 ZZE1

Z1DS

01 wcoswcos

wsinD

,0w0

0ww

例 5-9 要设计一个带阻数字滤波器，其采样频率为 fs=1kHz ，要求滤除 100Hz 的干扰，其 3dB 的边界频率为 95 Hz 和 105 Hz ，原型归一化低通滤波器为：

ssH

Na

1

1)(

解 1) 求出数字滤波器的上、下边界频率为 :

2101000

105222

1901000

95222

222

111

.

.

s

s

f

fTf

f

fTf

2) 求模拟低通的截止频率

03232

09501050

105009502

22

222

12

21

.).tan().tan(

).tan().tan(

tantan

tantan

TTTc

3) 求得 D1 、 E1

ccccD

0314300102

190210

212

1 .).tan(..

tantan

61881010

202

2190210

21902102

2

22

12

121

.).cos(

).cos(

]/)..cos[(

]/)..cos[(

]/)cos[(

]/)cos[(

E

4) 求变换公式

21

2

211

2

1 618811

1430310

1

1

zz

z

zzE

zDs c .

.

ssH

Na

1

1)(

5) 截止频率为Ωc的滤波器的系统函数为 :

1

1

cc

aa s

sHsH

N /)(

21

21

21

2

618811

1031430

93900569511

61881196950

16188111

031430

1

21

2

zz

zz

zzz

sHzHzz

zs

ac

..

).(.

..

|)()(.

.

5) 数字滤波器系统函数

表 5-4 利用双线性变换法从截止频率为 Ωc 的低通 原型模拟滤波器到实际数字滤波器的变换