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第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计. 课程名称：数字信号处理. 任课教师：张培珍. 授课班级：信计 1081-1082. 6.1 根据模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器. 1. 6.2 IIR 数字滤波器的最优化设计法. 2. 6.3 设计 IIR 数字滤波器的频率变换法. 3. 6.4 综合实例. 4. 知识架构. 导入实例. 6. 导入实例. 6. 带阻滤波器消除 2 MHz 方波中的 5 MHz 的正弦信号. 导入实例. 6. 峰值检波和滤波对 AM 信号进行解调. 引言. 6. 一阶模拟低通和数字低通滤波器结构 - PowerPoint PPT Presentation
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第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计 课程名称：数字信号处理
任课教师：张培珍
授课班级：信计 1081-1082
6.1 根据模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器1
2
4
3
6.4 综合实例
6.3 设计 IIR 数字滤波器的频率变换法
6.2 IIR 数字滤波器的最优化设计法
知识架构
导入实例 6
导入实例 6
带阻滤波器消除 2 MHz 方波中的 5 MHz 的正弦信号
峰值检波和滤波对 AM 信号进行解调
导入实例 6
引言 6
(a)
y(t)x(t)
CR
a1
a0
b1
(b)
x(n) y(n)
z-1 z-1
一阶模拟低通和数字低通滤波器结构
(a) 一阶模拟低通滤波器 (b) 一阶 IIR 数字低通滤波器
经典模拟滤波器的理想幅频特性
c c
)( jH
LPAF
)( jH
c c
HPAF
)( jH
c c
BPAF
)( jH
1c2c1c2c
BSAF
经典数字滤波器的理想幅频特性
数字滤波器的理想幅频特性
)(e jH
o－ 2 － 2
)(e jH
o－ 2 － 2
)(e jH
o－ 2 － 2
)(e jH
o－ 2 － 2
(a )
(b )
(c )
(d )
低通
高通
带通
带阻
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应 h(n) 的时宽分类，可以分成：（ 1 ）无限脉冲响应滤波器(IIR, Infinite impulse response )
（ 2 ）有限脉冲响应滤波器(FIR, Finite impulse response)
引言 6
IIR 即无限长度单位脉冲响应滤波器，其系统函数为
IIR 数字滤波器的差分方程可描述为
IIR 滤波器采用递归型结构，保证稳定性是 IIR 滤波器设计的关键 .
N
i
ii
M
i
ii
zb
zazH
1
0
1)(
M
i
N
iii inybinxany
0 1
)()()(
引言 6
数字滤波器的设计是确定其系统函数的过程，步骤如下：(1) 根据任务，确定性能指标。
-- 通带截止频率
( p ) -- 过渡带
-- 阻带截止频率
0
)( jeH
11 1
2
π ω
p
s
s
sp
1. IIR 数字滤波器设计基本思路 6
低通数字滤波器特性指标
在通带内，幅度响应以最大误差 δ1 逼近于 1 ，即
在阻带内，幅度响应以误差小于 δ2 而逼近于零，即
通常，通带波动 和最小阻带衰减 表示为
1|)(e|1 j1 H
2j |)(e| H
pA sA
1min
j
max
j
1
1lg20
)(e
)(elg20
a
a
pH
HA ＝
2min
j
1lg20
)(e
1lg20
a
sH
A
1. IIR 数字滤波器设计基本思路 6
(2) 用因果稳定的线性时不变 IIR 系统函数去逼近这一性能要求。 IIR 滤波器系统函数的设计就是确定各系数 ai 、 bi 或零极点 ci 、 di 及 A ，使滤波器满足给定的性能要求。
(3) 选择适当的运算结构实现这个系统函数；如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积 (FFT) 型等。(4) 利用适当的软、硬件技术实现。
1. IIR 数字滤波器设计基本思路 6
N
i
ii
M
i
ii
zb
zazH
1
0
1)(
)1(
)1()(
1
1
1
1
zd
zcAzH
k
N
k
m
M
m
(1)借助模拟滤波器的设计方法。
(2) 采用最优化设计法设计滤波器。需要进行大量的迭代运算，又称为计算机辅助设计法。
2. IIR 数字滤波器设计方法 6
模拟滤波器系统函数为 Ha(s)
数字滤波器 H(z)
保证稳定性
设计参数已表格化
系统函数为 Ha(s) 的模拟滤波器，只有它的所有极点都位于 s 平面的左半平面，系统才是稳定的。那么由模拟滤波器得到特性相近的数字滤波器，也即 s 平面转化成 z 平面时模拟系统频响与数字系统频响之间的转换应满足下列要求(1) s 平面的虚轴 jΩ ，映射到 z 平面的单位圆上。(2) s 平面的左半平面，映射到 z 平面的单位圆内 |z|
<1 。
6.1.1 脉冲响应不变法 6
利用脉冲响应不变法设计 IIR 滤波器的基本步骤如下。
1 ．变换原理 6
拉氏逆变换 采样
采样点上的值
z变换
)(sH a )(tha )(nTha
)(nh)(zH
逼近
变换
(1) 当 Ha(s) 只有单阶极点时，模拟滤波器的系统函数可以表示为部分分式的形式
(2) 将模拟滤波器系统函数 Ha(s) 求拉普拉斯逆变换
N
i i
ia ss
AsH
1
)(
)(e)(1
tuAth tsN
iia
i
1 ．具体步骤 6
(3) 对采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应序列为
)()(e)(e)(11
nTuAnTuAnTh nTsN
ii
nTsN
iia
ii
1 ．具体步骤 6
(4) 令 h(n) 等于 ha(t) 的采样值，
即 h(n) = ha(nT)
T 是采样周期。
(5) 对 h(n)取 z 变换，得到数字滤波器的系统函数为
N
iTsi
n
nTsN
ii
n
nTsN
ii
n
nnTsN
ii
n
n
z
A
zA
zAnTu
znTuA
znhzH
i
i
i
i
11
0
1
1
1
1
1
e1
)(e
)(e)(
)()(e
)()(
1 ．具体步骤 6
N
i i
ia ss
AsH
1
)(
即若已知
N
iTsi
z
AzH
i1
1e1)(
则可得到
例 6.1 已知模拟滤波器系统函数为
试用脉冲响应不变法将其转化成数字滤波器，并画模拟和数字滤波器的幅频响应，其中 T=0.5s
34
3)(
2
sssH a
例 6
思考
解 :首先将 Ha(s)展成部分分式的并联形式
根据变换关系可得
32
3
12
3
34
3
)-()(
2
N
1
ssssss
AsH
i i
ia
2215.15.0
15.15.0
15.115.0
13111
1
e)e(e1
)e(e2
3
e12
3
e12
3
e12
3
e12
3
e1)(
zz
z
zz
zzz
AzH
TT
N
iTsi
i
例 6
利用脉冲响应不变法设计数字滤波器，并画出对应的幅频响应可由下列程序实现。a=[0 0 3];b=[1 4 3];
[h1,w1]=freqs(a,b);
[az,bz]=impinvar(a,b,2)
[h2,w2]=freqz(az,bz)
subplot(121)
plot(w1,20*log(abs(h1)));
subplot(122)
plot(w2,20*log(abs(h2)));
运行结果az = 0 0.2876 0
bz = 1.0000 -0.8297 0.1353
程序 6
综上所述。转化为数字滤波器后，其系统函数为
(a) 模拟滤波器幅频响应 (b) 数字滤波器幅频响应
21
1
1353.08297.01
2876.0)(
zz
zzH
例 6
这里从理想采样信号 的拉普拉斯变换入手，找到 s 平面与 z 平面之间的映射关系。理想采样信号为
)(tha
n
aa nTtthth )()()( ＝
n
nsTa
st
na
st
naa
nTh
dtnTtth
dtnTtthsH
e)(
e)()(
e)()()(
n
nznhzH )()(由于 )()(e)(e
sHHzH asT
z sT
得到
2 ．映射关系 6
sTz ejerz
Ωs j
ΩT
r T
e
2 ．映射关系 6
(1) 当 σ=0 时， r=1 ， s 平面的虚轴映射为 z 平面的单位圆上。
(2) 当 σ<0 时， r<1 ， s 平面左半平面映射为 z 平面单位圆内部。
(3) 当 σ>0 时， r>1 ， s 平面右半平面映射为 z 平面单位圆外部。
(4) ω=ΩT ， Ω 在区间 (-π/T,π/T) 时， ω 将在 (-π,π) 之间变化。s 平面上每一条宽为 2π/T 的横带，都重叠地映射到 z 平面的整个平面上，横带的左半部映射到单位圆内，右半部分映射到单位圆外， jΩ 轴映射到单位圆上。
根据上式的变换关系，得出平面间的映射关系如下图所示
(a) (b)
Re[z]
jIm[z]jΩ
σ 0-1 1
T/3
T/
T/
T/3
0 0
(a) s 平面 (b) z 平面
2 ．映射关系 6
如果原模拟信号 的频带不是限于 之间，则映射到 z 平面上 附近将产生频率混叠，所以采样间隔在脉冲响应不变法中起着比较重要的作用。
m
aaz
mT
sHT
sHzH sT )π2
j(1
)((e
＝＝）＝
)(tha
πT
π
3 ．混叠失真 6
例 6.2 求系统函
在采样间隔分别为 0.5 ， 0.25 ， 0.02 时数字滤波器的幅频响应。
3
1
1
1
)3)(1(
2)(
sssssH
例 6
思考
该数字滤波器的幅频响应可通过下列程序求得。Matlab 程序a=[0 0 2];b=[1 4 3];
[h,w]=freqs(a,b);
subplot(211)
plot(w/(2*pi),20*log(abs(h)));
grid on
[az1,bz1]=impinvar(a,b,2);
[h1,w]=freqz(az1,bz1);
subplot(212)
2431
31
311 e)e(e1
)e(e
e1
1
e1
1)(
zz
z
zzzH
TTT
TT
TT
例 6
L1=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h1)),'r-');
hold on
[az2,bz2]=impinvar(a,b,4);
[h2,w]=freqz(az2,bz2);
L2=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h2)),'b-');
hold on
[az3,bz3]=impinvar(a,b,50);
[h3,w]=freqz(az3,bz3);
L3=plot(w/(2*pi),20*log(abs(h3)),'g-');
grid on;
legend([L1 L2 L3], ' 采样间隔 T=0.5', ' 采样间隔 T=0.25',' 采样间隔 T=0.02');
例 6
运行结果如下模拟滤波器系统函数 T=0.5 时， az1 = 0 0.1917 0
bz1 =1.0000 -0.8297 0.1353
所以数字滤波器系统函数为
T=0.25 时， az2 = 0 0.0766 0
bz2 =1.0000 -1.2512 0.3679
所以数字滤波器系统函数为
34
2)(
2
sssH
21
1
13530829701
19170
z.z.
z.zH )(
例 6
T=0.25 时， az2 = 0 0.0766 0
bz2 =1.0000 -1.2512 0.3679
所以数字滤波器系统函数为
T=0.02 时， az3 = 0 0.0008 0
bz3= 1.0000 -1.9220 0.9231
所以数字滤波器系统函数为
21
1
36790251211
07660
z.z.
z.zH )(
21
1
92310922011
08000
z.z.
z.zH )(
例 6
不同频率下数字滤波器的幅频响应如下图所示。
(a) 模拟滤波器幅频响应 (b) 数字滤波器幅频响应
例 6
可见，数字滤波器的幅频响应与采样间隔 T 有关，T越小，衰减越大，混叠越小。如果采样频率很高，即 T很小时，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。用脉冲响应不变法进行设计，无混叠的条件为 |
ω|<π
TH
TH a
j1
)(e j
说明 6
实际系统不可能严格限带，都会存在混叠失真，在 处衰减越快，失真越小，如图所示。
TΩ
说明 6
说明 6
例如：低通和带通。波器只适用于带限的模拟滤，所以脉冲响应不变法）由于频率的混叠效应
同基本与模拟滤波器的相器的频率响应特性形状
范围内，数字滤波的范围内是好的，在此
在的单位圆上，逼近程度的虚轴映射到）稳定。平面的单位圆内，的极点也全在对应的
左半平面内，在是稳定的，它的极点都如果
3
)()(2
)(H(z)
)()1
TT
zHsH
zHz
ssH a
当用脉冲响应不变法设计数字滤波器时，不可避免的会产生混叠失真，这是因为从 s 平面到 z 平面不是一一映射关系。为了克服混叠失真，可采用双线性变换法。
6.1.2 双线性变换法 6
建立 S 平面与 Z 平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象
思路
利用脉冲响应不变法设计 IIR 滤波器的基本步骤如下。
(a) (b) (c)
Re[z]
jIm[z]
jΩ
0 σ σ10
jΩ1
0
T
π
T
π
1 ．变换原理 6
,0-
0-
),2
(
1
1
11
变换到经过将由
时，变换到经过由由上式可知，当
为任意常数
切变换实现的范围内，这可通过正
到轴上的平面的轴压缩到就是将
平面进行压缩，实际上由上图可知，将
TT
cT
tgc
TTjsj
s
1 ．变换原理 6
j
1
ee
ee)
2tan(
2j
2j
2j
2j
1
11
11
TΩTΩ
TΩTΩ
cTΩ
cΩ
2j
2j
2j
2j
1
11
11
ee
ee)
2tan(jj
TΩTΩ
TΩTΩ
cTΩ
cΩ
11 j,j ΩsΩs 令
1 ．变换原理 6
22
22
11
11
ee
eeTsTs
TsTs
c
1e
1e1
1
Ts
Ts
c
借助于 s1 平面和 z 平面的关系 Tsz 1e1
1
1 1
1 1
z zs c c
z z
sc
scz
选择不同的 c 可以调节模拟滤波器特性和数字滤波器特性在不同频率处的对应关系，一般：
2c
T
s
1 ．变换原理 6
设有一模拟滤波器抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数
21 1aH s s s
2T H z
解：由变换公式1
1
1
1
zs c
z
及 2c
T 2T ， ，可得
1
1
1
1
zs
z
1
1
1
1
za sz
H z H s
21 1
1 1
1
1 11
1 1z zz z
21
2
1
3
z
z
例 6
所以 s 平面与 z 平面的映射关系如下(1) 当 σ=0 时，则有 |z|=1 ，这表明 s 平面 jΩ轴映射到 z 平面的单位圆上；(2) 当时 σ<0 ，则有 |z|<1 ，这表明 s 的左半平面映射到 z 平面的单位圆内；(3) 当时 σ>0 ，则有 |z|>1 ，这表明 s 的右半平面映射到 z 平面的单位圆外。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。
Ωc
Ωc
sc
scz
j
j
22
22
)(
)(
ΩC
ΩCz
2 ． s 平面与 z 平面的映射关系 6
将 代入双线性变换公式
可得
je,j zΩs1
1
1
12
z
z
Ts
j
j
e1
e12j
T
Ωs
)2
tan(j2
)e(e
)e(e2
2j
2j
2j
2j
2j
2j
Te
e
T
＝
1
2tan( )
2
2 tan ( )2
ΩT
TΩ
3 ．数字角频率和模拟角频率之间关系 6
数字角频率与模拟角频率关系
ωπ-π 0
)2
tan(2 T
Ω Ω (1) 当
(2) 当
(3) 当
π00 从时，从 Ω
π-0-0 从时，从 Ω
π＝时，Ω
3 ．数字角频率和模拟角频率之间关系 6
从而消除了频率混叠现象。
3 ．数字角频率和模拟角频率之间关系 6
双线性变换法避免了混叠失真，却带来了非线性的频率失真。在零频附近， Ω 与 ω 之间的变换关系近似于线性，随着 Ω 的增加，表现出严重的非线性。
4 ．频率的非线性失真 6
ωπ-π 0
)2
tan(2 T
Ω Ω
因此双线性变换法适合分段常数特性滤波器的设计。如低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
双线性变换法非线性映射
(a) 幅度特性非线性映射 (b) 相位特性非线性映射
ω
ω
ΩΩ
|)(j| ΩH|)(e| jH
0 0 ω
ω
ΩΩ
|)(j|arg ΩH
|)(e|arg jH
(a) (b)
4 ．频率的非线性失真 6
以上非线性可以通过频率的预畸变来加以校正
即已知数字角频率 ω，按 上式计算模拟角频率 Ω 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 ω 为截止频率的数字滤波器
2tan( )
2Ω
T
2)
2tan(
2tan2)
2(tan2' 11 T
T
ΩT
5 ．频率的预畸变 6
利用双线性变换法设计一个低通 IIR 数字滤波器 H
(z) ，性能指标如下：
T=2 。
1)(e 0j H 55.0s 25.0p
dBH p 5.0)(elog20 j10 dBH s 15)(elog20 j
10
例 6
思考
解 : 利用双线性变换法设计数字滤波器，首先进行频率预畸变
4142136.0)2
π25.0tan()
2tan( p
pΩ
1708496.1)2
π55.0tan()
2tan( s
sΩ
例 6
参照课本 P135 例 5.3 可求出 N=3 ，查表可得三阶归一化低通巴特沃斯滤波器的系统函数为
进一步得到模拟滤波器系统函数为
利用双线性变换法将模拟滤波器数字化
3550.Ωc
122
1)(
23
1
ssssH a
)()( 1
caa
sHsH
1
1
1
12)()(
z
z
Ts
a sHzH
例 6
NN
NN
N
k
kk
N
k
kk
a sBsBsBB
sAsAsAA
sB
sAsH
2210
2110
0
0)(
TCsHzH
z
zcs
a
2,|)()(
1
1
1
1
NN
NN
N
k
kk
N
k
kk
zbzbzb
zazazaa
zb
zazH
22
11
22
110
0
0
1)(
利用
则
6 ．查表法双线性变换 6
系数关系表
例 6.5 设模拟滤波器 ，采样周期 T=2 ，试用查表法将它转变为数字系统函数。
解： 由已知模拟滤波器系统函数，可以得出
通过查表 6-1 可得到
1
1)(
2
sssH a
22, 1N C
T
1,1,1,0,0,1 210210 BBBAAA
例 6
例 6
;3
1/)(;3 2
21002
210 ACACAAaCBCBBA
;3
2/)22( 2
201 ACAAa
3
1/)2( 2
2102 ACACAAa
3
2
3
112/)2(;0
3
22/)22( 2
21022
201
ACBCBBbACBBb
所以利用查表法求得的数字滤波器系统函数为
NN
NN
zbzbzb
zazazaazH
22
11
22
110
1)(
2
21
2
21
2
21
3
)1(
3
21
3
21
3
1
3
2
3
1
z
z
z
zz
z
zz
例 6
(1) 脉冲响应不变法随频率增加，与原模拟滤波器的幅度特征差别大，这是由于频率的混叠现象引起的。适合设计低通和带通滤波器，但是频率是线性变换的，所以曲线形状与原模拟滤波器很相近；
结论 6
ω
Ω
0
(2) 双线性变换法设计的数字滤波器幅频响应曲线形状与原模拟滤波器的幅频特性曲线的形状偏离较大，这是由于变换算法的非线性造成的，ω小时，非线性的影响少一些，所以适合于片断常数滤波器的设计。故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
结论 6
ωπ-π 0
)2
tan(2 T
Ω Ω
例 6.6 试分别用脉冲响应不变法和双线性变化法将下图所示的 RC 低通滤波器转换成数字滤波器，其中 1/RC=1 ， T=0.5
解： 模拟 RC 滤波器的频率响应函数为
可以得出对应的系统函数为
R
C
ΩCR
ΩCΩH a
j
1j
1
)(j
j
1 1
( ) (j )1 1a a Ω s
sC RCH s H ΩR s
sC RC
例 6
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z) 为
利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数 H2
(z) 为
1
1
1
2 2 11
1
1( ) ( )
2 2(1 ) (1 )
a zs
T z
zH z H s
RC RCz
T T
例 6
111
1
/1)(
ze
RCzH
TRC
clear
a=[0 1];
b=[1 1];
freqs(a,b);
figure
[az,bz]=bilinear(a,b,2);
freqz(az,bz);
figure
[az1,bz1]=impinvar(a,b,2)
freqz(az1,bz1);
模拟滤波器幅度和相位特性
例 6
脉冲响应不变法设计数字滤波器
幅频和相频特性
双线性变换法设计数字滤波器
幅频和相频特性
例 6
数字滤波器最优化设计法的特点是适合设计任意幅度特性的滤波器，几种常用的方法：
IIR 数字滤波器最优化设计法 6
1 ．零极点累积法2 ．频域最小均方误差法3 ．时域逼近法
设计数字滤波器的频率变换
(a) 方法一 (b) 方法二
数字低通数字滤波器
（低通、高通、带通、带阻）
模拟-数字频带变换
频带变换ω域
归一化模拟低通Ωc=1
数字滤波器（低通、高通、带通、带阻）
模拟-模拟频带变换Ω域 模拟滤波器
（低通、高通、带通、带阻）
双线性变换或脉冲响应不变法
(a)
(b) 归一化模拟低通Ωc=1
设计数字滤波器的频率变换 6
1 ．模拟低通
cΩssaa sHsH /1 )()(
6.3.1 低通变换 6
数字低通
（ 1 ）将归一化的 Ha1(s) 变换成截止频
率为 Ωc 的低通滤波器，低通变换模拟角频率
ω
Ω
0（ 2 ）模拟角频率与数字角频率转化
（ 3 ）脉冲响应不变法或双线性变换法，
将模拟低通滤波器化为所需的数字低通滤波器
利用脉冲响应不变法设计一个低通 IIR 数字滤波器 H(z) ， T
=2 性能指标如下：
解 :
1)(e 0j H 55.0s 25.0p
dBH p 5.0)(elog20 j10 dBH s 15)(elog20 j
10
0.25 /pΩ T
0.55 /sΩ T
N=4
Ωc
P135
例 6
Matlab 程序wp=0.25*pi; ws=0.55*pi;
rp=0.5; rs=15;
T=2;
Omegap=wp/T;
Omegas=ws/T;
[N, Omegac]=buttord(Omegap,Omegas,rp ,rs,'s');
[z,p,k]=buttap(N);
[num,den]=zp2tf(z,p,k);
[numt,dent] = lp2lp(num,den, Omegac);
w=linspace(0,4*Omegac,512);
h1=freqs(num,den,w);
h2=freqs(numt,dent,w);
例 6
L1=plot(w,20*log(abs(h1)),'-');
hold on
L2=plot(w,20*log(abs(h2)),'-.');
[azt,bzt]=impinvar(numt,dent,1/T);
[h3,w]=freqz(azt,bzt);
L3=plot(w,20*log(abs(h3)),':');
legend([L1 L2 L3],' 模拟低通原型 ', '截止频率 Wc 模拟低通 ','截止频率 Wc 数字低通 ');
程序运行结果
N=N1=4 ； Omegac=0.5633
所以滤波器的阶数为 4 ， Ωc=0.5633
例 6
例 6
（ 1 ） 确定数字低通滤波器的技术指标： ωp 、 Ap 、 ωs 、 As 。
（ 2 ） 将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。边界频率 ωp 和 ωs 的转换， Ap 和 As 指标不变。p
p
ss
T
T
pp
ss
2tan
2
2tan
2
T
T
（ 3 ） 求得滤波器的阶数，查表归一化模拟滤波器系统函数。（ 4 ）设计过渡模拟低通滤波器（ 5 ） 将模拟滤波器 Ha(s) 转换成数字低通滤波器系统函数 H(z)
[ 脉冲相应不变法或双线性变换法）。
设计 IIR 数字低通滤波器的步骤 6
设变换前 z 平面定义为 u 平面，变换后 z 平面仍为 z 平面。
(1)平面间变换关系为
低通变换映射函数 (全通函数 N=1)
)( 11)()(
zGup uHzH
11 1
1( )
1
zu G z
z
2 ．数字低通 --- 数字低通 6
数字滤波器低通原型的系统函数 Hp
(z)H(z)
式中选用 u-1 和 z-1 是因为系统函数中 z 和 u 是以负幂形式出现的
|α|<1 实数
数字低通到数字低通滤波器幅频特性变化
θθc-θc π-π
|)(e| jpH
0 ωωc π-π
|)(e| jH
0-ωc
2 ．数字低通 --- 数字低通 6
要使稳定的系统函数 Hp(u) 变换成稳定的 H(z) ，u 的单位圆内部必须对应于 z 的单位圆内部， u 的单位圆必须对应于 z 的单位圆。
)()()( jjjj eeGeGe
补充证明 6
1)( jeG
这是一个全通函数 ω
|G(e-jω)|1
任何一个全通函数可以表示成为：
1*
*1
1
1
1)(
z
zzG
i
i
i
N
补充证明 6
•极点位于左半平面，•零点位于右半平面，•零点与极点互为共•轭倒数对
ω(0~π), φ(ω)(0~Nπ)2θ 2ψ
1θ1ψ
3θ 3ψ1M 1N
2N
3N
2M
3M
3p
2p
1p 1z
3z
2z
ωj
σ
将 u=ejθ ， z=ejω 代入式得
j
jj
e1
ee
j)j(j eee
)j(
jj
e1
ee
2
)(j
2
)(j
2
)(j
2
)(j
2
)(j
2
)(j
e)ee(
e)ee(
(2) 频率变换关系 6
进一步解得
其中 α 值可以由变换前后通带的截止频率求得，即
sin( )2
sin( )2
cos)1(2
sin)1(tan
2
21
θπ
π
π/2
ω
π/2 α=0
α=-1/2
α=1/2
0
(2) 频率变换关系 6
图 6.20 数字低通到数字低通的频率变化关系
ω
α=0α=1/2频带压缩
|)(e| jpH |)(e| jH
θc
ωc1 ωc2 ωc30 0
α=-1/2频带扩展
(2) 频率变换关系 6
图 6.21 α取不同值时频带变化关系
例 6.8 利用脉冲响应不变法设计一个低通 IIR 数字滤波器，其系统函数为
并且 将其转化成为截止频率 数字低通滤波器。
4321
321
0527.03529.09685.02987.11
0281.02211.01212.0)(
zzzz
zzzzH
25.0p 4.0p
例 6
思考
解 首先可以求出
所以变化后低通滤波器频率扩张，带宽变宽。
0, 2738.0]2/)4.025.0sin[(
]2/)4.025.0sin[(
4321
321
0107.00306.03938.00035.01
1367.04875.03821.00709.0)(
zzzz
zzzzH
例 6
得到变换后的数字滤波器的系统函数
)( 11)()(
zGup uHzH1
1 11
( )1
zu G z
z
1 ．模拟域变换 ( 模拟低通 --- 数字高通）
1) 高通滤波器的性能指标
ωp 为通带截止频率； Ap 为通带衰减； ωs 为阻带截止频率； As 为阻带衰减。
As
Ap
ωs ωp ω
|)(e| jH
6.3.2 高通变换 6
模拟低通滤波器变换至数字高通滤波器的方法是将双线性变换中的 s 用其倒数代替，即
令 ，
则
所以可推出模拟角频率和数字角频率关系
1
1
1
2 1
T zs
z
je,j zΩs
)2
cot(j2
e)e(e
e)e(e
2e1
e1
2j
2j
2j
2j
2j
2j
2j
j
j
TTTΩ
cot( )2 2
TΩ
2) 变换方法 6
通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通，如图 6.24 所示。
低通到高通映射模拟角频率与数字角频率关系
ω
|)(e| j H| (j ) |H Ω
ω
Ω
Ωp
Ωs
ωpωs
0
0 π
模拟角频率与数字角频率关系 6
例 6.9 应用双线性变换变法设计一个高通 IIR 数字滤波器 H(z) ，性能指标为
T=2 ，
55.0s 25.0p
dBH s 15)(elog20 j10
例 6
dBeH pj 1)(log20 10
思考
解 首先利用式 (6.40) 将数字滤波器的指标转化成模拟指标
根据给定指标可以求解模拟滤波器的系统函数后(前一章已介绍其求解方法 ) ，利用双线性变换法
将其数字化，具体过程可以通过程序求得。
例 6
3742.02
cot2
p
p
TΩ
7125.0
2cot
2
s
s
TΩ
1
1
1
2 1
T zs
z
例 6
通过将单位圆旋转 180o ，能使低通数字滤波器变到高通数字滤波器 .
2 ．数字域变换 6
θθc-θc π-π
|)(e| jpH
0 ωωc π-π
|)(e| jH
0-ωc
1 11
1 11 1
z zu
z z
2cos
2cos
2 ．数字域变换 6
所以在上述低通到低通变换中，将 z 用 -z 代替，得低通到高通变换关系
例 6.10 例 6.4 已经利用双线性变换法设计一个低通IIR 数字滤波器，系统函数为
实现的性能指标为
T=2 ，将其转化成为截止频率 数字高通滤波器。
321
321
0752.04784.07384.01
0831.02493.02493.00831.0)(
zzz
zzzzH
dB5.0)(elog20 j10 pH
dB15)(elog20 j10 sH
π55.0sπ25.0p
π4.0p
例 6
例 6
解 根据式 (6.24) 可得
将 α 代入式 (6.41)
可以得到变换后的数字滤波器的系统函数
11
11
zu
z
2738.0]2/)4.025.0cos[(
]2/)4.025.0cos[(
例 6
1 ．模拟域变换1) 带高通滤波器性能指标ωp2: 为通带段上限截止频率，ωp1: 下限截止频率；Ap: 通带波纹；ωs2: 阻带段上限截止频率，ωs1: 下限截止频率。As: 阻带衰减，ω0 : 带通滤波器中心频率。
As
Ap
ωs1 ωω0
|)(e| jH
ωs2ωp2ωp1
图 6.28 带通滤波器性能指标
6.3.3 带通变换 6
满足变换的双线性变换为
令
20
2
2 cos 1
1
z zs
z
je,j zΩs
sin
coscos 0 Ω
2) 变换关系 6
ωp1 ω
|)(e| jH
ωs2 π
|)(j
|
H
π
ω
Ω
Ω0
0
0
ω0
ω0
π
Ωp1
Ωp2
0＝Ω 0＝
＝Ω π0 ＝，＝
2) 变换关系 6
2
202
1
101 sin
coscos,
sin
coscos
＝＝ ΩΩ1 1 2 2p p 、
ωp1 ω
|)(e| jH
ωs2 π
|)(j
|
H
π
ω
Ω
Ω0
0
0
ω0
ω0
π
Ωp1
Ωp2
21
210 sinsin
)sin(cos
21 - ΩΩ＝
2
20
1
10
sin
coscos
sin
coscos
＝
例 6.11 采用巴特沃斯模拟低通滤波器、利用双线性变换法，设计一个数字带通滤波器，通带范围为 0.3π 到 0.4π ，通带内最大衰减为 0.2dB ， 0.2π 以下和 0.5π 以上为阻带，阻带内最小衰减为 17dB 。
解 根据式 (6.46) 可求解带通滤波器的中心频率
根据式 (6.45) 将数字角频率转化成模拟角频率
0932.1π4.0sinπ3.0sin
π)4.0π3.0sin(arccos
sinsin
)sin(arccos
21
210
4596.0sin
coscos
1584.0sin
coscos
2
202
1
101
＝
＝
Ω
Ω
例 6
所以模拟低通滤波器的系统函数为
432 6131.24142.36131.21
1)(
sssssH a
可以求得：滤波器阶数 N=4
例 6
20
2
2 cos 1
1
z zs
z
将下式代入模拟滤波器的系统函数
得到数字带通滤波器的系统函数：
例 6
由数字低通到数字带通变换关系如图所示。
2 ．数字域变换 6
θθc-θc π-π
|)(e| jpH
0 ωπ-π
|)(e| jH
0-ω0 ω1-ω1 ω2-ω2 ω0
图 6.31 数字低通到数字带通的变化关系
2 ．数字域变换 6
1 ．模拟域变换1) 带阻滤波器的性能指标ωp2 为通带截止频率的上限截止频率， ωp1 为下限截止频率； Ap 为通带波纹； ωs2 为阻带截止频率的上限截止频率， ωs1 为下限截止频率； As 为阻带衰减。
图 6.32 带阻滤波器性能指标
ω s1ωp1
Ap
As
ω ω p2 ω s2
|)(e| jH
6.3.4 带阻变换 6
2
20
1
2 cos 1
zs
z z
0coscos
sin
Ω
1 20
1 2
sin( )cos
sin sin
＝
2) 低通到带阻变换关系 6
Ω2
|)(j
|
H
Ω1
πΩ
0
Ω
π
π
ω
ω
ω0
ω00
0
ω1ω2
|)(e| jHΩ=0 映射到 ω=0 ， ω=π ，
Ω→±∞ 映射到 ω=ω0
由低通数字到带阻数字变换关系如图 6.35 所示。
图 6.35 数字低通到数字带阻的变化关系
θθc-θc π-π
|)(e| jpH
0 ωω0 π-π
|)(e| jH
0-ω0 ω1-ω1 ω2-ω2
2 ．数字域变换 6
表６－２ 模拟低通原型到各种数字滤波器的变换
总结 6
表 6-3 数字低通到各种数字滤波器的变换 6
表 6-3 数字低通到各种数字滤波器的变换 6
利用 IIR 数字滤波器对加噪语音信号进行滤波，要求录制一段个人自己的加噪语音信号，并对录制的信号进行采样；画出采样后语音信号的时域波形和频谱图；给定滤波器的性能指标，设计滤波器一个 IIR 滤波器，然后用自己设计的滤波器对采集的信号进行滤波，画出滤波后信号的时域波形和频谱，并对滤波前后的信号进行对比，分析信号的变化，回放语音信号。
综合实例 6
%%%%%% 语音信号的去噪 %%%%%%%
clear
fs=44100;% 采样频率x0=wavread('C:\Documents and Settings\Administrator\桌面 \yu
yin.wav')*1.1;
x1=x0(:,1);
sound(x1,fs); % 播放原声t=0:1/fs:(size(x1)-1)/fs;
Au=1;
d=[Au*cos(2*pi*25000*t)]';%噪声为 25000Hz 的余弦信号x2=x1+d; % %%%% 加噪声y1=fft(x1,1024);
y2=fft(x2,1024);
综合实例 6
figure(1)
subplot(2,2,1);plot(t,x1);title(' 原语音信号 ');
subplot(2,2,2);plot(t,x2);title('加噪声后的语音信号 ');
f=fs*(0:511)/1024;
subplot(2,2,3);plot(f,abs(y1(1:512)));title(' 原始语音信号频谱 ');
subplot(2,2,4);plot(f,abs(y2(1:512)));title('加噪后的信号频谱 ');
sound(x2,fs); %播放加噪声后的音乐
综合实例 6
%%%%%%%%% filter %滤波器设计wp=0.1*pi; %通带截止频率ws=0.15*pi; %阻带截止频率Rp=1; %通带衰减Rs=15; %阻带最小衰减Ts=1/fs;
wp1=2/Ts*tan(wp/2); %将模拟指标转换成数字指标ws1=2/Ts*tan(ws/2);
[N,Wc]=buttord(wp1,ws1,Rp,Rs,'s'); % 选择滤波器的最小阶数 N
[Z,P,K]=buttap(N); %创建 butterworth模拟滤波器[Aap,Bap]=zp2tf(Z,P,K);
[a,b]=lp2lp(Aap,Bap,Wc);
[az,bz]=bilinear(a,b,fs); %用双线性变换法实现模拟滤波器到数字滤波器的转换
综合实例 6
[H,W]=freqz(az,bz); %绘制幅频响应曲线
figure(2)
plot(W*fs/(2*pi),abs(H));grid;xlabel(' 频率／ Hz');ylabel(' 幅频响应幅度 ')
f1=filter(az,bz,x2);
figure(3)
F0=fft(f1,1024);
plot(f,abs(F0(1:512))); %画出滤波后的频谱图
title(' 滤波后的频谱 ')
sound(f1,fs); %播放滤波后的信号
综合实例 6
综合实例 6
综合实例 6
