第六章 IIR 数字滤波器的设计方法

数字滤波器的基本概念 1

最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

全通系统

用模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器

2

3

4

冲激响应不变法5

阶跃响应不变法 6

双线性变换法7

常用模拟低通滤波器特性 8

设计 IIR 滤波器的频率变换法9

模拟域频带变换法10

数字域频带变换法 11

6161 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念

1 数字滤波器的分类（ 1 ）经典滤波器选频滤波器（本教材主讲选频滤波器）（2）现代滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等

（（ 33 ） 按实现的网络结构或单位抽样响应分） 按实现的网络结构或单位抽样响应分

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

1

0

( ) ( )N

n

n

H z h n z

FIRFIR 滤波器（滤波器（ NN-1-1 阶）阶）

IIRIIR 滤波器（滤波器（ NN 阶）阶）

下页

（先说明本章在该课程的作用先说明本章在该课程的作用）（先说明本章在该课程的作用先说明本章在该课程的作用）

（ 4 ）按功能分低通高通带通带阻全通滤波器

下页上页

讲解数字角频率ω

与模拟角频率的两种映

射关系带限非带限滤波器中兀的由来

(代表连续系统向离散系统转换的两种方

法 )

讲解数字角频率ω

与模拟角频率的两种映

射关系带限非带限滤波器中兀的由来

(代表连续系统向离散系统转换的两种方

法 )

2 数字滤波器的设计过程 ( 结合 IIR 滤波器设计为例详细讲解 )

用一个因果稳定的离散 LSI 系统的系统函数 H(z) 逼近此性能指标

按设计任务确定滤波器性能要求制定技术指标

利用有限精度算法实现此系统函数如运算结构字长的选择等

实际技术实现软件法硬件法或 DSP 芯片法

33 （实际的）数字滤波器的技术要求（实际的）数字滤波器的技术要求

选频滤波器的频率响应选频滤波器的频率响应 ( )( ) ( )j j j jH e H e e

为幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况（why 联系 210 节系统的频率响应）

( )jH e

为相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的 延时情况（ why 教材 P77DTFT 的性质 4 联系无失真传输条件）

( )j

下页上页)()( jmj eXemnx

具体为hellip具体为hellip

通带截止（ cutoff ）频率c

阻带（ stop ）截止频率st

通带容限1

阻带容限2

st 2( )jH e 阻带

c st 过渡带

c 11 ( ) 1jH e 通带理想滤波器不可实现只能以实际滤波器逼近（以低通为例）

下页上页

通带最大衰减 10

1 1

( )20lg 20lg ( ) 20lg(1 )

( )c

c

j

j

j

H eH e

H e

阻带最小衰减 20

2 2

( )20lg 20lg ( ) 20lg

( )st

st

j

j

j

H eH e

H e

其中 0( ) 1jH e

当 时( ) 2 2 0707cjH e

称 为 3dB 通带截止频率1 3dB

c

下页上页

4 表征滤波器频率响应的特征参量（ 3 个参量）（ 1 ）幅度平方响应幅度的平方与频率的关系

2 ( ) ( ) ( )j j jH e H e H e 1( ) ( ) ( ) ( ) j

j j

z eH e H e H z H z

幅度平方函数 的极点既是共轭的又是以单位圆成镜像对称的（举例说明镜像关系如图）

1( ) ( )H z H z

Re[ ]z

Im[ ]j z

01a

a

a

1 a

H(z) 的极点为单位圆内的极点

下页上页

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

提问如图所示两极点为什么共轭对称

提问如图所示两极点为什么共轭对称

（（ 22 ）相位响应）相位响应( )( ) ( ) Re ( ) Im ( )

jj j j e j jH e H e e H e j H e

( )( ) ( )jj j j eH e H e e

1 ( )( ) ln

2 ( )

jj

j

H ee

j H e

1

1 ( )ln

2 ( ) jz e

H z

j H z

( )jH e

2 ( )

( )

( )

jj

j ej

H ee

H e

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

jj

j

H ee

H e

相位响应

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( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

下页上页

见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

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62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

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逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

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63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

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实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

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实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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6161 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念

1 数字滤波器的分类（ 1 ）经典滤波器选频滤波器（本教材主讲选频滤波器）（2）现代滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等

（（ 33 ） 按实现的网络结构或单位抽样响应分） 按实现的网络结构或单位抽样响应分

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

1

0

( ) ( )N

n

n

H z h n z

FIRFIR 滤波器（滤波器（ NN-1-1 阶）阶）

IIRIIR 滤波器（滤波器（ NN 阶）阶）

下页

（先说明本章在该课程的作用先说明本章在该课程的作用）（先说明本章在该课程的作用先说明本章在该课程的作用）

（ 4 ）按功能分低通高通带通带阻全通滤波器

下页上页

讲解数字角频率ω

与模拟角频率的两种映

射关系带限非带限滤波器中兀的由来

(代表连续系统向离散系统转换的两种方

法 )

讲解数字角频率ω

与模拟角频率的两种映

射关系带限非带限滤波器中兀的由来

(代表连续系统向离散系统转换的两种方

法 )

2 数字滤波器的设计过程 ( 结合 IIR 滤波器设计为例详细讲解 )

用一个因果稳定的离散 LSI 系统的系统函数 H(z) 逼近此性能指标

按设计任务确定滤波器性能要求制定技术指标

利用有限精度算法实现此系统函数如运算结构字长的选择等

实际技术实现软件法硬件法或 DSP 芯片法

33 （实际的）数字滤波器的技术要求（实际的）数字滤波器的技术要求

选频滤波器的频率响应选频滤波器的频率响应 ( )( ) ( )j j j jH e H e e

为幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况（why 联系 210 节系统的频率响应）

( )jH e

为相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的 延时情况（ why 教材 P77DTFT 的性质 4 联系无失真传输条件）

( )j

下页上页)()( jmj eXemnx

具体为hellip具体为hellip

通带截止（ cutoff ）频率c

阻带（ stop ）截止频率st

通带容限1

阻带容限2

st 2( )jH e 阻带

c st 过渡带

c 11 ( ) 1jH e 通带理想滤波器不可实现只能以实际滤波器逼近（以低通为例）

下页上页

通带最大衰减 10

1 1

( )20lg 20lg ( ) 20lg(1 )

( )c

c

j

j

j

H eH e

H e

阻带最小衰减 20

2 2

( )20lg 20lg ( ) 20lg

( )st

st

j

j

j

H eH e

H e

其中 0( ) 1jH e

当 时( ) 2 2 0707cjH e

称 为 3dB 通带截止频率1 3dB

c

下页上页

4 表征滤波器频率响应的特征参量（ 3 个参量）（ 1 ）幅度平方响应幅度的平方与频率的关系

2 ( ) ( ) ( )j j jH e H e H e 1( ) ( ) ( ) ( ) j

j j

z eH e H e H z H z

幅度平方函数 的极点既是共轭的又是以单位圆成镜像对称的（举例说明镜像关系如图）

1( ) ( )H z H z

Re[ ]z

Im[ ]j z

01a

a

a

1 a

H(z) 的极点为单位圆内的极点

下页上页

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

提问如图所示两极点为什么共轭对称

提问如图所示两极点为什么共轭对称

（（ 22 ）相位响应）相位响应( )( ) ( ) Re ( ) Im ( )

jj j j e j jH e H e e H e j H e

( )( ) ( )jj j j eH e H e e

1 ( )( ) ln

2 ( )

jj

j

H ee

j H e

1

1 ( )ln

2 ( ) jz e

H z

j H z

( )jH e

2 ( )

( )

( )

jj

j ej

H ee

H e

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

jj

j

H ee

H e

相位响应

下页上页

( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

下页上页

见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

下页上页

62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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（ 4 ）按功能分低通高通带通带阻全通滤波器

下页上页

讲解数字角频率ω

与模拟角频率的两种映

射关系带限非带限滤波器中兀的由来

(代表连续系统向离散系统转换的两种方

法 )

讲解数字角频率ω

与模拟角频率的两种映

射关系带限非带限滤波器中兀的由来

(代表连续系统向离散系统转换的两种方

法 )

2 数字滤波器的设计过程 ( 结合 IIR 滤波器设计为例详细讲解 )

用一个因果稳定的离散 LSI 系统的系统函数 H(z) 逼近此性能指标

按设计任务确定滤波器性能要求制定技术指标

利用有限精度算法实现此系统函数如运算结构字长的选择等

实际技术实现软件法硬件法或 DSP 芯片法

33 （实际的）数字滤波器的技术要求（实际的）数字滤波器的技术要求

选频滤波器的频率响应选频滤波器的频率响应 ( )( ) ( )j j j jH e H e e

为幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况（why 联系 210 节系统的频率响应）

( )jH e

为相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的 延时情况（ why 教材 P77DTFT 的性质 4 联系无失真传输条件）

( )j

下页上页)()( jmj eXemnx

具体为hellip具体为hellip

通带截止（ cutoff ）频率c

阻带（ stop ）截止频率st

通带容限1

阻带容限2

st 2( )jH e 阻带

c st 过渡带

c 11 ( ) 1jH e 通带理想滤波器不可实现只能以实际滤波器逼近（以低通为例）

下页上页

通带最大衰减 10

1 1

( )20lg 20lg ( ) 20lg(1 )

( )c

c

j

j

j

H eH e

H e

阻带最小衰减 20

2 2

( )20lg 20lg ( ) 20lg

( )st

st

j

j

j

H eH e

H e

其中 0( ) 1jH e

当 时( ) 2 2 0707cjH e

称 为 3dB 通带截止频率1 3dB

c

下页上页

4 表征滤波器频率响应的特征参量（ 3 个参量）（ 1 ）幅度平方响应幅度的平方与频率的关系

2 ( ) ( ) ( )j j jH e H e H e 1( ) ( ) ( ) ( ) j

j j

z eH e H e H z H z

幅度平方函数 的极点既是共轭的又是以单位圆成镜像对称的（举例说明镜像关系如图）

1( ) ( )H z H z

Re[ ]z

Im[ ]j z

01a

a

a

1 a

H(z) 的极点为单位圆内的极点

下页上页

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

提问如图所示两极点为什么共轭对称

提问如图所示两极点为什么共轭对称

（（ 22 ）相位响应）相位响应( )( ) ( ) Re ( ) Im ( )

jj j j e j jH e H e e H e j H e

( )( ) ( )jj j j eH e H e e

1 ( )( ) ln

2 ( )

jj

j

H ee

j H e

1

1 ( )ln

2 ( ) jz e

H z

j H z

( )jH e

2 ( )

( )

( )

jj

j ej

H ee

H e

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

jj

j

H ee

H e

相位响应

下页上页

( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

下页上页

见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

下页上页

62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 数字滤波器的设计过程 ( 结合 IIR 滤波器设计为例详细讲解 )

用一个因果稳定的离散 LSI 系统的系统函数 H(z) 逼近此性能指标

按设计任务确定滤波器性能要求制定技术指标

利用有限精度算法实现此系统函数如运算结构字长的选择等

实际技术实现软件法硬件法或 DSP 芯片法

33 （实际的）数字滤波器的技术要求（实际的）数字滤波器的技术要求

选频滤波器的频率响应选频滤波器的频率响应 ( )( ) ( )j j j jH e H e e

为幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况（why 联系 210 节系统的频率响应）

( )jH e

为相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的 延时情况（ why 教材 P77DTFT 的性质 4 联系无失真传输条件）

( )j

下页上页)()( jmj eXemnx

具体为hellip具体为hellip

通带截止（ cutoff ）频率c

阻带（ stop ）截止频率st

通带容限1

阻带容限2

st 2( )jH e 阻带

c st 过渡带

c 11 ( ) 1jH e 通带理想滤波器不可实现只能以实际滤波器逼近（以低通为例）

下页上页

通带最大衰减 10

1 1

( )20lg 20lg ( ) 20lg(1 )

( )c

c

j

j

j

H eH e

H e

阻带最小衰减 20

2 2

( )20lg 20lg ( ) 20lg

( )st

st

j

j

j

H eH e

H e

其中 0( ) 1jH e

当 时( ) 2 2 0707cjH e

称 为 3dB 通带截止频率1 3dB

c

下页上页

4 表征滤波器频率响应的特征参量（ 3 个参量）（ 1 ）幅度平方响应幅度的平方与频率的关系

2 ( ) ( ) ( )j j jH e H e H e 1( ) ( ) ( ) ( ) j

j j

z eH e H e H z H z

幅度平方函数 的极点既是共轭的又是以单位圆成镜像对称的（举例说明镜像关系如图）

1( ) ( )H z H z

Re[ ]z

Im[ ]j z

01a

a

a

1 a

H(z) 的极点为单位圆内的极点

下页上页

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

提问如图所示两极点为什么共轭对称

提问如图所示两极点为什么共轭对称

（（ 22 ）相位响应）相位响应( )( ) ( ) Re ( ) Im ( )

jj j j e j jH e H e e H e j H e

( )( ) ( )jj j j eH e H e e

1 ( )( ) ln

2 ( )

jj

j

H ee

j H e

1

1 ( )ln

2 ( ) jz e

H z

j H z

( )jH e

2 ( )

( )

( )

jj

j ej

H ee

H e

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

jj

j

H ee

H e

相位响应

下页上页

( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

下页上页

见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

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62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

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例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

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可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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通带截止（ cutoff ）频率c

阻带（ stop ）截止频率st

通带容限1

阻带容限2

st 2( )jH e 阻带

c st 过渡带

c 11 ( ) 1jH e 通带理想滤波器不可实现只能以实际滤波器逼近（以低通为例）

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通带最大衰减 10

1 1

( )20lg 20lg ( ) 20lg(1 )

( )c

c

j

j

j

H eH e

H e

阻带最小衰减 20

2 2

( )20lg 20lg ( ) 20lg

( )st

st

j

j

j

H eH e

H e

其中 0( ) 1jH e

当 时( ) 2 2 0707cjH e

称 为 3dB 通带截止频率1 3dB

c

下页上页

4 表征滤波器频率响应的特征参量（ 3 个参量）（ 1 ）幅度平方响应幅度的平方与频率的关系

2 ( ) ( ) ( )j j jH e H e H e 1( ) ( ) ( ) ( ) j

j j

z eH e H e H z H z

幅度平方函数 的极点既是共轭的又是以单位圆成镜像对称的（举例说明镜像关系如图）

1( ) ( )H z H z

Re[ ]z

Im[ ]j z

01a

a

a

1 a

H(z) 的极点为单位圆内的极点

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以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

提问如图所示两极点为什么共轭对称

提问如图所示两极点为什么共轭对称

（（ 22 ）相位响应）相位响应( )( ) ( ) Re ( ) Im ( )

jj j j e j jH e H e e H e j H e

( )( ) ( )jj j j eH e H e e

1 ( )( ) ln

2 ( )

jj

j

H ee

j H e

1

1 ( )ln

2 ( ) jz e

H z

j H z

( )jH e

2 ( )

( )

( )

jj

j ej

H ee

H e

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

jj

j

H ee

H e

相位响应

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( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

下页上页

见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

下页上页

62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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通带最大衰减 10

1 1

( )20lg 20lg ( ) 20lg(1 )

( )c

c

j

j

j

H eH e

H e

阻带最小衰减 20

2 2

( )20lg 20lg ( ) 20lg

( )st

st

j

j

j

H eH e

H e

其中 0( ) 1jH e

当 时( ) 2 2 0707cjH e

称 为 3dB 通带截止频率1 3dB

c

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4 表征滤波器频率响应的特征参量（ 3 个参量）（ 1 ）幅度平方响应幅度的平方与频率的关系

2 ( ) ( ) ( )j j jH e H e H e 1( ) ( ) ( ) ( ) j

j j

z eH e H e H z H z

幅度平方函数 的极点既是共轭的又是以单位圆成镜像对称的（举例说明镜像关系如图）

1( ) ( )H z H z

Re[ ]z

Im[ ]j z

01a

a

a

1 a

H(z) 的极点为单位圆内的极点

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以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

提问如图所示两极点为什么共轭对称

提问如图所示两极点为什么共轭对称

（（ 22 ）相位响应）相位响应( )( ) ( ) Re ( ) Im ( )

jj j j e j jH e H e e H e j H e

( )( ) ( )jj j j eH e H e e

1 ( )( ) ln

2 ( )

jj

j

H ee

j H e

1

1 ( )ln

2 ( ) jz e

H z

j H z

( )jH e

2 ( )

( )

( )

jj

j ej

H ee

H e

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

jj

j

H ee

H e

相位响应

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( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

下页上页

见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

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62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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4 表征滤波器频率响应的特征参量（ 3 个参量）（ 1 ）幅度平方响应幅度的平方与频率的关系

2 ( ) ( ) ( )j j jH e H e H e 1( ) ( ) ( ) ( ) j

j j

z eH e H e H z H z

幅度平方函数 的极点既是共轭的又是以单位圆成镜像对称的（举例说明镜像关系如图）

1( ) ( )H z H z

Re[ ]z

Im[ ]j z

01a

a

a

1 a

H(z) 的极点为单位圆内的极点

下页上页

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

以幅度平方函数代替幅频响应函数是由于后者有绝对值符号不方便计算但两者含义一直

提问如图所示两极点为什么共轭对称

提问如图所示两极点为什么共轭对称

（（ 22 ）相位响应）相位响应( )( ) ( ) Re ( ) Im ( )

jj j j e j jH e H e e H e j H e

( )( ) ( )jj j j eH e H e e

1 ( )( ) ln

2 ( )

jj

j

H ee

j H e

1

1 ( )ln

2 ( ) jz e

H z

j H z

( )jH e

2 ( )

( )

( )

jj

j ej

H ee

H e

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

jj

j

H ee

H e

相位响应

下页上页

( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

下页上页

见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

下页上页

62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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（（ 22 ）相位响应）相位响应( )( ) ( ) Re ( ) Im ( )

jj j j e j jH e H e e H e j H e

( )( ) ( )jj j j eH e H e e

1 ( )( ) ln

2 ( )

jj

j

H ee

j H e

1

1 ( )ln

2 ( ) jz e

H z

j H z

( )jH e

2 ( )

( )

( )

jj

j ej

H ee

H e

Im[ ( )]( ) arctan

Re[ ( )]

jj

j

H ee

H e

相位响应

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( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

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见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

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62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

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例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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( )( )

jj d e

ed

( ) 1Re

( ) jz e

dH zz

dz H z

（（ 33 ）群延迟响应（物理意义））群延迟响应（物理意义）相位对角频率的导数的负值

( )je 若滤波器通带内 = 常数则为线性相位滤波器联系无失真传输问题

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见 P231 推导过程

见 P231 推导过程

5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

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62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

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相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

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逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

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63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

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例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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5 IIR 数字滤波器的设计方法

先设计模拟滤波器再转换为数字滤波器

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

用一因果稳定的离散 LSI 系统逼近给定的性能要求

k ka b即为求滤波器的各系数

计算机辅助设计法

s 平面逼近模拟滤波器z 平面逼近数字滤波器

下页上页

62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统62 最小与最大相位延时系统最小与最大相位超前系统

LSI 系统的系统函数 1

( )1 1

1

1 1

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )

M M

m mN Mm m

N N

k kk k

c z z cH z K Kz

d z z d

( ) arg[ ( )]1

1

( )( ) ( )

( )

j

Mj

mj j N M j j H em

Nj

kk

e cH e Ke H e e

e d

频率响应

模模 1

1

( )

Mj

j mmN

jk

k

e cH e

K e d

各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

相角相角

下页

0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

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逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

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可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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0 2 2 当

2位于单位圆内的零 极矢量角度变化为位于单位圆外的零 极矢量角度变化为 0

Re[ ]z

Im[ ]j z

0

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

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相角相角 分别为零点和极点km dc 和

i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

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全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

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逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

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63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

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2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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i om m M

i op p N

令 单位圆内零点数为 mi

单位圆外的零点数为 mo

单位圆内的极点数为 pi

单位圆外的极点数为 po

2

( )arg 2 ( ) 2 2

j

i i

H eN M m p

K

则

1 1

( )arg arg[ ] arg[ ] ( )

j M Nj j

m km k

H ee c e d N M

K

下页上页

全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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全部极点在单位圆内 po = 0 pi = N

因果稳定系统因果稳定系统

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2im M

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m

arg[] 0

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 M

2 0om

为最小相位延时系统

为最大相位延时系统

1 z r r n lt 0 时 h(n) = 0

相位延时系统

下页上页

逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

下页上页

最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

下页上页

63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

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2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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逆因果稳定系统逆因果稳定系统

1 ）全部零点在单位圆内 0i om M m arg[] 2 N

2

( )arg 2 2 2 ( )

j

i i

H em p N M

K

2 2 ( ) 0im N M

2 ）全部零点在单位圆外 0i om m M

arg[] 2 ( )N M

全部极点在单位圆外 po = N pi = 0

为最大相位超前系统

为最小相位超前系统

一般 NgeM mi ge0 因而为相位超前系统

1 z r r n gt 0 时 h(n) = 0

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最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

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63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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最小相位延时系统的性质1 ）在 相同的系统中具有最小的相位滞后具有最小的群延时又称最小时延系统

( )jH e

2 ）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近而总能量相同

5 ）级联一个全通系统可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统

4 ）在 相同的系统中 唯一( )jH e min ( )h n

3 ）最小相位序列的 最大min (0)h min (0) (0)h h

2 2

min0 0

( ) ( )m m

n n

h n h n

1m N 1 1

2 2

min0 0

( ) ( )N N

n n

h n h n

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63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

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实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

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例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

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下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

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可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

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20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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63全通系统对所有 满足 ( ) 1j

apH e 称该系统为全通系统

一阶全通系统

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为实数

0 1a

z a极点 1z a零点

一阶全通系统的特点零 极点以单位圆为镜像对称

z a极点

1

1( )

1ap

z aH z a

az

为复数

0 1a

1z a零点

下页

实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

下页上页

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统

1 1

1 1( )

1 1 ap

z a z aH z

az a z

1a

1 两个零点（极点）共轭对称

z a a 极点

1z a a 1零点

2 零点与极点以单位圆为镜像对称

下页上页

实系数二阶实系数二阶全通系统的特点实系数二阶实系数二阶全通系统的特点

N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

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例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

下页上页

2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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N N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

1

11

( )1

Nk

k k

z aH z

a z

1 ( 1)

1 11 ( 1)

1 1

1

N NN N

N NN N

d d z d z z

d z d z d z

1( )

( )

Nz D z

D z

极点 的根( )D z 1jpz re r

零点 的根1( )D z 1

1joz e r

r

下页上页

是由多个体节系统级联组成是由多个体节系统级联组成

N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点N N 阶实系数阶实系数全通系统的特点

1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点1N 为奇数则有一个实数零 极点 N-1 个共轭复数零 极点

2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称2N 为偶数则有 N 个共轭复数零 极点他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称他们关于单位圆镜像对称

全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

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例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

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2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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全通系统的应用全通系统的应用

min( ) ( ) ( )apH z H z H z

1 ）任一因果稳定系统 H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统 Hmin(z) 的级联

1 1 1 0 0( ) ( )( )( )H z H z z z z z 令

其中 H1(z) 为最小相位延时系统

为单位圆外的一对共轭零点0 0 01 1z z z 1

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例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

例证设某系统有一对共轭零点在单位圆外其余零点在单位圆内（为什么能这样假设）

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

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2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

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可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

1 1( ) ( )

1 1

z z z zH z H z z z z z

z z z z

1 1

1 1 0 01 0 0 1 1

0 0

( ) 1 11 1

z z z zH z z z z z

z z z z

min ( ) ( )apH z H z

把 H(z) 单位圆外的零点

映射 到单位圆内的镜像位置

构成 Hmin(z) 的零点

0 0 01 1 1z z z z

0 0 z z z

而幅度响应不变

min min( ) ( ) ( ) ( )j j j japH e H e H e H e

下页上页

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2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

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64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

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20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 ）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器举例单位圆外极点

1 1jz e r

r

1 1

1 1( )

1 1

j j

ap j j

z re z reH z

re z re z

下页上页

可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应可将单位圆外的极点加以抵消使原系统稳定而又不改变原滤波器的幅频响应

( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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( ) ( ) ( )d apH z H z H z

0

( )( ) ( ) ( )d ap

d

d

3 ）作为相位均衡器校正系统的非线性相位而不改变系统的幅度特性

( ) ( ) ( )j j jd apH e H e H e

( ) ( )( ) ( ) d apjj j

d apH e H e e

2220 0( ) ( ) ( )ap de

利用均方误差最小准则求均衡器 Hap(z) 的有关参数

下页上页

64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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64用模拟滤波器设计 IIR数字滤波器 设计思想

s 平面 z 平面

模拟系统 数字系统( ) ( )aH s H z

两者的功能相同 H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) 即 s 平面的左半平面 Re[s] lt 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| lt 1

设计方法- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法

两点要求两点要求

65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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65 冲激响应不变法

( ) ( )a t nTh n h t

数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应

( )h n

( )ah t

1 变换原理

1 2a

k

H s j kT T

ˆ( ) ( )sT az eH z H s

Tmdash 抽样周期

( )H z

( )aH s

下页

即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解即离散时间 序列的 Laplase 变换是原连续信号 Laplase 变换的周期延拓 Chapter 25 P71 联系 PPT 讲解Why Why

冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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冲激响应不变法 下页上页

S 平面到 Z 平面的映射S 平面到 Z 平面的映射 STeZ 关系 式导出链接关系 式导出链接

2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

下页上页

20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 混迭失真1 2

( )ja

k

kH e H j

T T

仅当

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真

数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓周期为 2 T

sf TT T T

c

cTT

2s

sf TT

混迭

实际系统不可能严格限带在 外并不衰减为零因而会混迭失真在带限频带外衰减越快失真越小 2s

当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时不能通过提高抽样频率来改善混迭现象

c

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20)( sa TjH

能通过提高抽样频率来改善混迭现象能通过提高抽样频率来改善混迭现象

3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

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6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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3 模拟滤波器的数字化方法

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11 1 k

Nk

s Tk

A

e z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

1

( ) [ ( )] ( )k

Ns t

a a kk

h t L H s A e u t

1

( ) ( ) ( )k

Ns nT

a kk

h n h nT A e u nT

1

( )k

N ns Tk

k

A e u n

( ) ( ) n

n

H z h n z

0 1

k

N ns T nk

n k

A e z

1

1 0

k

N ns Tk

k n

A e z

下页上页

系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

• Slide 2
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系数相同系数相同kA

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

极点极点 s s 平面 平面 z z 平面平面ks s ks Tz e

稳定性不变稳定性不变 s s 平面 平面 z z 平面平面Re[ ] 0ks 1ks Te

下页上页

1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1( )j

aH e H jT T

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当由此式可见数字滤波器增益随采样频率变化当 T T 很小时数字滤波器增益很大很小时数字滤波器增益很大易溢出需修正易溢出需修正

( ) ( )ah n Th nT令令

2( )j

ak

kH e H j

T

则则

aH jT

下页上页

2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2

2 1 1( )

4 3 1 3aH ss s s s

试用冲激响应不变法设计 IIR 数字滤波器

例设模拟滤波器的系统函数为

解据题意得数字滤波器的系统函数

1 3 1( )

1 1T T

T TH z

e z e z

3 1

3 1 4 21

T T

T T T

T e e z

e e z e z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

设 T = 1s 则

下页上页

1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1

1 2

0318( )

1 04177 001831

zH z

z z

模拟滤波器的频率响应

数字滤波器的频率响应

2

0318( )

1 04177 001831

jj

j j

eH e

e e

2

2( )

(3 ) 4aH jj

下页上页

两频 谱图在截止频带内是相似的两频 谱图在截止频带内是相似的

4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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4 优缺点

优点

缺点

T ndash 保持线性关系保持线性关系线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器

ndash 频率响应混迭只适用于限带的低通带通滤波器

ndash h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好

( )ah t

下页上页

6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

• Slide 2
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6666 阶跃响应不变法阶跃响应不变法

变换原理变换原理

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

( )g n

( )ag t数字滤波器的阶跃响应 数字滤波器的阶跃响应

模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应

T mdash 抽样周期

下页

( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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( )

( )

h n

H z

( )

1

u n

z

z

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

g n u n h n

zG z H z

z

( )

( )a

a

h t

H s

( )

1

u t

s

( ) ( ) ( )

1( ) ( )

a a

a a

g t u t h t

G s H ss

1( ) ( )a ag t L G s

( ) ( )G z ZT g n

1( ) ( ) ( )a a aH s G s H s

s

( ) ( )ag n g nT 1( ) ( )

zH z G z

z

下页上页

阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为阶跃响应不变法将 AF 转换为 DF 的步骤为

1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1( ) ( )a aG s H s

s

( ) ( )1

zG z H z

z

( ) ( ) ( )a t nT ag n g t g nT

ˆ( ) ( )sT az eG z G s

1 2

ak

G s jkT T

( )2

1

1sT

kz ae

G s jz

H zz

kT T

2

12

a

k

s jkT

T s jk

H

T

2 由于 1S 因子的存在随着频率的增高 G(jΩ) 频率响应衰减比H(jΩ) 快因此该方法频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小

下页上页

原因原因

又由于又由于

1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计1 该方法仍有频谱周期延拓的现象同理由于实际滤波器不是严格带限的所以 仍有混叠现象只适于带限滤波器的设计

67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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67 双线性变换法

1 变换原理mdash S 域向 Z 域映射函数关系的推导

使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

冲激响应不变法阶跃响应不变法为时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真

点击演示双线性变换法的映射关系

下页

另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook另一种思路另一种思路 better than textbookbetter than textbook

[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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[ ] 1 T T

1

2

Ttg

1s Tz e返回

Z 域Z 域

S 平面S 平面 条形区域条形区域

1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

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4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1

1

sin2

cos2

T

T

1

1

1

1

s T

s T

e

e

1

1

1

1

zs

z

1

1

sz

s

1

2

Ttg

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e es j

e e

1 1

1 1

2 2

2 2

s T s T

s T s T

e e

e e

1

1

1

1

z

z

1s Tz e

s j 1 1s j

1

2

s T

e

为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系 Eg 则

1

2

Tc tg

1

1

1

1

zs c

z

c s

zc s

下页上页

21 T 14 tg

须引入系数 c 则上述表达式变为须引入系数 c 则上述表达式变为

分子分母均分子分母均

其中其中

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由频率变换 公式可知

在虚轴上满足

由虚轴到 S 平面由虚轴到 S 平面

1

2

Ttg

所以所以

2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 变换常数 c 的选择（ c 为正数）

1

2

Tc tg

2c

T

2 ）某些特定频率严格相对应如 c c

1

2 2c c

c

Tc tg c tg

2c

cc ctg

11 ）低频处有较确切的对应线性关系希望

特定频率处（如通带截止频率止带起始频率频率点上）频率响应严格相等这样可以较准确地控制截止频率位置

1 1

2

Tc

下页上页

实际上在这些频率点上常数的选择仍为实际上在这些频率点上常数的选择仍为 2c

T

T 为采样频率T 为采样频率

3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

• Slide 2
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3 逼近情况

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

0 1z

1

1

1 1

1 1 2

j

j

z es c c jc tg j

z e

11 ））

ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 zz 平面单位圆平面单位圆

c s c jz

c s c j

22 ））

0 1z

0 1z

左半平面左半平面 单位圆内单位圆内

ss 平面平面 zz 平面平面

右半平面右半平面 单位圆外单位圆外

虚轴虚轴 单位圆上单位圆上

下页上页

44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

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15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

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4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

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4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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44 优缺点优缺点 优点优点

2c tg

0 0

避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象

s s 平面与 平面与 z z 平面为单值变换平面为单值变换

0 0

下页上页

缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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缺点 除了零频率附近 与 之间严重非线性

1 1 T

1 112 tg

c

2 ）幅频响应要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型不然会产生畸变如下图

1 ）相位方面线性相位模拟滤波器 非线性相位 数字滤波器

结论分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器幅频响应不畸变

下页上页

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

但分段边缘的临界频率点从 AF转换到 DF 时对应关系产生畸变（即非线性对应）

)0()()()()( fssFtfsFtf微分器微分器

模拟滤波器线性相位有模拟滤波器线性相位有而双线形变换下的而双线形变换下的

可以用下面的预畸变校正可以用下面的预畸变校正

预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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预畸变

给定数字滤波器的截止频率 则 1

11 2

c tg

按 设计模拟滤波器经双线性变换后即可得到 为截止频率的数字滤波器

1

1

下页上页

6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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6 模拟滤波器的数字化方法

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

下页上页

可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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可分解成级联的低阶子系统

可分解成并联的低阶子系统

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1 2( ) ( ) ( ) ( )

ma a a aH s H s H s H s

1 2( ) ( ) ( ) ( )mH z H z H z H z

1

1

1

1

( ) ( ) 12ii a z

s cz

H z H s i m

其中

上页

这里这里Tc 2

68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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68常用模拟低通滤波器特性

DF 设计思路将数字滤波器技术指标（通带止带处的频率衰减值大小）转变成模拟滤波器技术指标设计模拟滤波器再按脉冲响应不变法双线性变焕法等转换成数字滤波器

LP 模拟滤波器模型ndash 巴特沃斯 Butterworth 滤波器ndash 切比雪夫 Chebyshev 滤波器ndash 椭圆 Ellipse 滤波器

ndash 贝塞尔 Bessel 滤波器

下页

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Elliptic filters offer steeper rolloff characteristics than Butterworth and Chebyshev filters but they are equiripple in both the passband and the stopband

Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband Analog Bessel filters are characterized by a group delay that is maximally flat

at zero frequency and almost constant throughout the passband

1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1 由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数 方法2 ( ) ( ) ( )a a aH j H j H j

( ) ( )a a s jH s H s

h(t) 是实函数则

的零 极点共轭出现

2( )aH j ( )aH s

( ) ( )a aH j H j

将左半平面的的极点归 ( )aH s

将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点（能否有其他分法）虚轴上的零点一定是二阶的是 H(s)和 H(-s) 的一阶零点构成的应分割为两个一阶零点分别给 H(s)和 H(-s) 零点的分割影响最大最小相位系统的形成

( )aH s

( )aH s

下页上页

)()( jHjH

由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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由幅度平方函数 得象限对称的 s 平面函数 将 因式分解 得到各零极点将 因式分解 得到各零极点( ) ( )a aH s H s 对比 和 确定增益常数( )aH j ( )aH s

由零 极点及增益常数（即系数）得 ( )aH s

2( ) ( )a aH j H s由 确定 的方法

下页上页

2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 22

2 2

16(25 ) ( ) ( )

(49 )(36 )a aH j H s

已知幅度平方函数

求系统函数

例

解2 2

2 22

2 2

16(25 )( ) ( ) ( )

(49 )(36 )a a a s

sH s H s H j

s s

7 6s s 极点 零点 （二阶）5s j

零点 5s j7 6s s 的极点( )aH s

设增益常数为 K0

20 ( 25)

( )( 7)( 6)a

K sH s

s s

0 0 0( ) ( ) 4a s aH s H j K 由 得2 2

2

4( 25) 4 100( )

( 7)( 6) 13 42a

s sH s

s s s s

下页上页

2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 Butterworth 低通逼近

幅度平方函数幅度平方函数 2

2

1( )

1

a N

c

H j

当当 2( ) 1 2a cH j 时

称 为称 为 ButterworthButterworth 低通滤波器的低通滤波器的 33 分贝带宽分贝带宽c

1

( 0)20lg 3

( )a

a c

H jdB

H j

NN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数

c 为通带截止频率（可能给定也可能给出通带内的其它频率点及该点的衰减引出并解释LPAF 的四个指标及与 N 的关系）

下页上页为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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11 ）幅度函数特点）幅度函数特点

2

2

1( )

1

a N

c

H j

20 ( ) 1aH j

2

1( ) 1 2 3c aH j dB 33dBdB 不变性不变性

c N 通带内有最大平坦的幅度特性单调减小

c N 过渡带及阻带内快速单调减小 st当 （阻带截止频率）时衰减 为阻带

最小衰减2

下页上页

为什么以 为截止频率为什么以 为截止频率c

ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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ButterworthButterworth 滤波器是一个滤波器是一个全极点全极点滤波器其极点滤波器其极点

2

2

1( ) ( ) ( )

1

a a a Ns j

c

H j H s H ss

j

1 2 112 22( 1) 122

kj

NNk c cs j e k N

2 ）幅度平方特性的极点分布

下页上页1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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bull 极点在 s 平面呈象限对称分 布在 Buttterworth 圆上共 2N点bull 极点间的角度间 隔为 N radbull 极点不落在虚轴上 why S 平面 --虚轴上极点 --临界稳定bull N 为奇数实轴上有极点 N 为偶数实轴上无极点

下页上页

33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

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因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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33 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数

1

( )( )

Nc

a N

kk

H ss s

1 2 1

2 2 12k

jN

k cs e k N

下页上页

其中其中

另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令另一种方便求解极点的方法 mdash归一化后查表法 令 ss

c

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

则各极点的模值为 1 当阶数 N 求出后这 N 各极点可通过查表P263表 6-6得到当然此时求出为归一化的传递函数 应还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

( )anH s

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

K取 1 2hellip N 的原因提问K取 1 2hellip N 的原因提问

实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法实际上有一种最 简单的方法即 N 求出后查表 P261表 6-4 可直接得到归一化后的传递函数 再求 H(s)----查表法( )anH s

44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

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因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

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4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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44）） AFAF 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

2

2

1( )

1

a p N

p

c

H j

1

2

01

01

10 1

10 1spk

根据技术指标求出滤波器阶数 N

1 2p s 确定技术指标

1 20lg ( )a pH j 由

1

2

011 10N

p

c

得

2

2

011 10N

s

c

同理

ssp

p

令 lg

lgsp

sp

kN

则

1

2

01

01

10 1

10 1

N

p

s

下页上页

求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

下页上页

因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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求出归一化系统函数（习惯上常采用该方法采用）

1

1( )

( )an N

kk

H ss s

其中归一化后的极点 Sk 直接查表 P268得可求出 ( )anH s

( )a anc

sH s H

其中技术指标 一 般给出或由下 式求出c 1

101 210 1 N

c p

去归一化

注阻带指标有富裕通带指标有富裕

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因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法因此阶数 N降低的可能以简化系统 ---引出Chebeyshev 逼近方法

例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

下页上页

4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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例设计 Butterworth 数字低通滤波器要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 1dB 在频率 到 之间的阻带内衰减大于 15dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法

0203

02 p p T rad s 03 s s T rad s

02 p rad

03 s rad 1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

11 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计mdashmdash ωω==ΩΩTT

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ）得模拟滤波器的技术指标选）得模拟滤波器的技术指标选 T T = 1s= 1s 提问提问采样频率采样频率 TT 的选择对滤波器频谱的影响的选择对滤波器频谱的影响

下页上页

15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

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b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

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4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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15sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5884 6sp spN k N 取

1

101 210 1 07032 N

c p rad s

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ButterworthButterworth 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

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4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

6 5 4 3 2

01209( )

2716 3691 3179 1825 0121 01209a anc

sH s H

s s s s s s

c) 构造系统函数

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

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4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

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2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

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1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

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b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

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3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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4 ）将 展成部分分式形式 ( )aH s

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

11

( )1 k

Nk

s Tk

TAH z

e z

1 1

1 2 1 2

02871 04466 21428 11454

1 01297 06949 1 10691 03699

z z

z z z z

1

1 2

18558 06304

1 09972 02570

z

z z

变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

下页上页

2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

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3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

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1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

• Slide 2
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2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

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1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

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b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

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3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

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1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

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N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 用双线性变换法设计

2065

2p

p tg rad sT

21019

2s

s tg rad sT

02 p rad 03 s rad

1 1dB

2 15dB

1 1dB

2 15dB

1T s选

1 ）由数字滤波器的技术指标

2 ）考虑预畸变得模拟滤波器的技术指标

下页上页

1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

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1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1568sp s p 1

2

01

01

10 10092

10 1spk

lg lg 5306 6sp spN k N 取

2

101 210 1 07662 N

c s rad s

a ）确定参数

3 ）设计 Butterworth 模拟低通滤波器

下页上页

b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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b) 求出极点（左半平面）1 2 1

2 2 126k

jN

k cs e k

6

6

1

( )( )

ca

kk

H ss s

c) 构造系统函数

下页上页

2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

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3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

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1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 3 4 5 6

1( )

1 38637 74641 91416 74641 38637anH ss s s s s s

2 2 2

02024

0396 05871 1083 05871 1480 05871s s s s s s

或者brsquo) 由 N = 6 直接查表得

crsquo) 去归一化

( )a anc

sH s H

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

下页上页

3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

下页上页

1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 2 1 2

1 1

(1 1268 07051 ) (1 1010 0358 )z z z z

1 2

1

(1 09044 02155 )z z

( )aH s4 ）将 变换成 Butterworth 数字滤波器

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3 Chebyshev 低通逼近

下页上页

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

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1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

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N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

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P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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3 Chebyshev 低通逼近

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Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

Butterworth 的裕度特

性 chebyshe

v 的优点

N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

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1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

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N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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N 滤波器的阶数

幅度平方函数 2

2 2

1( )

1 ( )a

Nc

H jC

通带截止频率不一定为 3dB 带宽不 同于 Butterworthc

表示通带波 纹大小 越大波纹越大0 1

N阶Chebyshev多项式 见P252表 6-3 多项式最高次幂项的系数为 2N-1

说明表中 多项式为通带范围内的表达式在 通带范围内是等波纹振荡的在通带外为双曲余弦函数

( )NC x

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1x

1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

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N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

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以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

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P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

下页上页

N 为过零点的个数

N 为过零点的个数

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2( ) 1 1c aH j

1 ）幅度函数特点

通带外迅速单调下降趋向 0c

2 2

1( )

1

a

Nc

H j

C

ndash N 为偶数 2( 0) 1 1aH j

ndash N 为奇数 ( 0) 1aH j

通带内在 1 和 间等波纹起伏c 21 1

0

下页上页

以N=2和 3

为例讲解

以N=2和 3

为例讲解

不管 N 为奇数还是偶

数

不管 N 为奇数还是偶

数

2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

下页上页

P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2） Chebyshev 滤波器的三个参量 其中 和 NN 待定待定

通带截止频率设计时给定c

表征通带内波 纹大小

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

1012 10 1

2max1

min

( )20lg 20lg 1

( )a

a

H j

H j

NN 滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数滤波器阶数等于通带内最大最小值的总数由通带衰减 δ1决定

由阻带衰减 δ2决定 δ2越大所需阶数越高

s 为阻带截止频率

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P253 推导求N

P253 推导求N

c

3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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3 ）幅度平方特性的极点分布

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1a a as j

Nc

H j H s H ss

Cj

122k k ks j k N

2 2

2 21

( ) ( )k k

c ca b

下页上页

令分母为零可求出（过程略）令分母为零可求出（过程略）

极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称极点分布在椭圆圆周上 2N 个极点关于 虚轴对称

极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上极点 Sk 分布在长轴是 Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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sin (2 1)2k ca k

N

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

cos (2 1)2k cb k

N

122k k ks j k N

下页上页

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

极点 Sk 分布在长轴是Ωcb 短轴是 Ωc a 的椭圆上

44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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44 ）滤波器的系统函数）滤波器的系统函数1

( )( )

a N

kk

KH s

s s

12

Nc

NK

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

12k N

其中

下页上页

当 时保证极点在 S 平面的左半平面当 时保证极点在 S 平面的左半平面

注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令注 另一种方便求解 H(s) 的方法mdash归一化法令 ss

c

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

当求出阶数 N和 后通过 P264查表 6-7 得到这 N 各极点进而求得归一化的传递函数 Han(s) 当然还可以 P261查表 6-5 直接求出归一化的传递函数 Han(s) 最后还原成非归一化的函数（ an 代表 analog normalization ）

)()()(c

anss

ana

sHsHsH

c

55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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55 ）总结）总结 chebyshevchebyshev 滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤

1012 10 1

给定给定 AFAF 的技术指标的技术指标

根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数 NN及及

下页上页

2011

1

110 1

s

c

chN

ch

21 sc

1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1

1

1( )

2 ( )an N

Nk

k

H ss s

( )a anp

sH s H

2

1 11

1 11

2N Na

1 11

2N Nb

另一种方法由另一种方法由 NN和 查表和 查表 P261P261表表6-56-5得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方得 表达式中的系数 进而直接得到该归一化函数该方法称为查表法法称为查表法 ( )anH s

1

其中极点由下 式求出其中极点由下 式求出

求出归一化系统函数求出归一化系统函数

去归一化去归一化下页上页

Nk

kN

jbkN

ask

21

)]12(2

cos[)]12(2

sin[

此时归一化函数的各极点计算如下式可得此时归一化函数的各极点计算如下式可得

1也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到也可由由 N 和 查表 P264表 6-7 直接得到

例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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例用双线性变换法设计例用双线性变换法设计 ChebyshevChebyshev 数字低通数字低通滤波器要求在频率低于 滤波器要求在频率低于 radrad 的通带内幅度的通带内幅度特性下降小于特性下降小于 11dBdB 在频率 到 之间的阻带在频率 到 之间的阻带内衰减大于内衰减大于 1515dBdB

0203

21019

2s

s tg rad sT

1 1dB

2 15dB

1T s选

11 ）由数字滤波器的技术指标）由数字滤波器的技术指标

22 ））由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标由双线性频率间映射 公式得模拟滤波器的技术指标

下页上页

dbrads

c

1530

1dbrad02

2

1

sradtgT cc 650)2(2

2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2011

1

110 1

30141 4s

c

chN N

ch

取

10110 1 05088

aa ））确定参数确定参数

33 ）设计）设计 ChebyshevChebyshev 模拟低通滤波器模拟低通滤波器

下页上页

sradc 650

b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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b) b) 求左半平面极点求左半平面极点

sin (2 1) cos (2 1)2 2k c cs a k j b k

N N

2

1 11 41702

1 1103646

2N Na

1 11

106442

N Nb

00907 06390 14

02189 02647 23

j k

j k

下页上页

c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

下页上页

1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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c) c) 构造系统函数构造系统函数

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

4

43

1

1( )

2 ( )

ca

kk

H ss s

2 3 4

02756( )

02756 07426 14539 09528anH ss s s s

brsquo) brsquo) 由由 N=4N=4 直接查表得直接查表得1 1dB

或者或者

crsquo) crsquo) 去归一化去归一化( )a an

c

sH s H

2 2

004381

( 04378 01180)( 01814 04166)s s s s

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1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1

1

2 1

1

( ) ( )a zs

T z

H z H s

1 4

1 2 1 2

0001836 (1 )

(1 14996 08482 ) (1 15548 06493 )

z

z z z z

( )aH s44 ）将 变换成）将 变换成 ChebyshevChebyshev 数字滤波器数字滤波器

下页上页

将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标

小结利用模拟滤波器设计小结利用模拟滤波器设计 IIRIIR 数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤

通带截止频率 通带衰减通带截止频率 通带衰减1

阻带截止频率 阻带衰减阻带截止频率 阻带衰减s 2

通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率 s s T

通带截止频率通带截止频率

阻带截止频率阻带截止频率

1 2 不变

确定数字滤波器的技术指标

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法

ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

)2(2

ss tgT

p

)2(2

pp tgT

Tp

p

按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器

ndash ButterworthButterworth 低通滤波器低通滤波器 ndash ChebyshevChebyshev 低通滤波器低通滤波器 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

ndash 冲激响应不变法冲激响应不变法ndash 双线性变换法双线性变换法

下页上页

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

Butterworth ChebyshevButterworth Chebyshev 低通滤波器低通滤波器 H(s)H(s) 的三种求解 思路的三种求解 思路1 整个过程全部用公式直接计算求解 H(s) 工作量最大

2 归一化 查表可 得到归一化函数 Han(s) 的各极

点然后反归一化求解法 H(s) 工作量减轻

3 归一化 直接查表得到 Han(s) 的表达式再求

H(s) 工作量最少 ( 推荐用该方法 )

查表时要 知道相应参数 N δ1(cheby) N for butterworth

ss

c

ss

c

69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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69 设计 IIR 滤波器的频率变换法以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解以后各节省略只以 HPDF 设计为例说明其它非低通数字滤波器的设计过程以讲义板书为主讲解

610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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610模拟域频带变换法

归一化模拟低通

模拟低通高通带通带阻

数字低通高通带通带阻

模拟域频带变换

双线性变换

( )aH s

s j

归一化

( )H z

( )( ) ( )a a s f sH s H s

( )( ) ( )a a fH j H j

( )aH s

s j

归一化

下页

)(sfs 称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

称为频域转换函数不同的转换函数可以由模拟低

通转换为 其它滤波器

1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1 模拟低通mdash模拟带通

变换关系变换关系2 2

0ss

s

2 20

s j 由 s j

下页上页

模拟域频带变换关系

0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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0 s c c s

0 s c c s

1 1 0 2 2 0 s s

1 1 0 2 2 0 s s

2 20

下页上页

2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 22 0

2

2 21 0

1

c

c

20 1 2

2 1 cB

2c 1c

B 为通带带宽0为通带几何对称中心角频率

2 20

下页上页

2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

下页上页

结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 20s

ssB

2 20

c B 20 1 2

归一化变换低通归一化函数 Han(s) 转换为带通非 归一化函数

其中

2 20s

ss

20 1 2

2 1 cB

c

ss

2 20

c

s

s

2 2

0

c c

2 20

B

2 2 20

2

B

B B

2 20

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结论 -I 结论 -I

例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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例设计一个数字带通滤波器通带范围为 03π rad到 04π rad 通带内最大衰减为3dB 02π rad 以下和 05π rad 以上为阻带阻带内最小衰减为 18dB 采用 Butterworth模拟低通滤波器双线性变换法

1 1 102 03 3s rad rad dB

2 2 205 04 18s rad rad dB

11

2065

2s

s tg rad sT

11

21019

2tg rad s

T

解解 11 ）确定数字带通滤波器的技术指标）确定数字带通滤波器的技术指标

22 ）转换为模拟带通滤波器的技术指标）转换为模拟带通滤波器的技术指标 （选（选 TT=1=1ss））

下页上页

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

• Slide 2
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• Slide 134

归一化归一化

22

21453

2tg rad s

T

22

22

2s

s tg rad sT

0 1 2 1217 rad s

2 1 0434 B rad s

1 1 1498s s B 1 1 2348B

2 2 4608s s B 2 2 3348B

20 1 2 0 2804B

下页上页

3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

• Slide 2
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3 ）转换为 归一化模拟低通滤波器技术指标2 22 0

2

2902ss

s

2 21 0

1

37506ss

s

2902sp s p 1

2

01

01

10 10127

10 1spk

lg lg 1940 2sp spN k N 取

2902s 取小者1p

1 21 18dB dB 又有

4 ）设计归一化模拟低通滤波器

2

1( )

2 1aH s

s s

查表得查表得

2 20

2 1 s s s s

下页上页

5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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5 ）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器

2 20

( ) ( )a a ss

sB

H s H s

1 1 2 2 1 20

1 2

2 1 4(1 ) (1 )

1 2(1 )

( ) ( ) ( )a az z zs s

T z z B

H z H s H s

2 4

1 2 3 4

0021(1 2 )

1 1491 2848 168 1273

z z

z z z z

6 ）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器

下页上页

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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• Slide 134

模拟低通到数字带通的直接变换

1 2

2

1

1

( ) ( )a Ez zs D

z

H z H s

0cos cos

sinD

2 1

02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 1

2cD ctg

其中

下页上页

3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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3 模拟低通mdash模拟带阻 变换关系

20

2 20

ss

s

20

2 20

下页上页

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

• Slide 2
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• Slide 134

0 0 s c c s 0 0 s c c s

0 2 2 1 1 0 0 s s

0 2 2 1 1 0 0 s s

20

2 20

下页上页

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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• Slide 134

20 2

2 20 2

20 1

2 20 1

c

c

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

2c 1c

B 为阻带带宽0为阻带几何对称中心角频率

下页上页

20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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20

2 20

ss

s

2 20

sBs

s

2 20

c B 20 1 2

归一化变换

其中

20 1 2

22 1 0 cB

20

2 20

c

ss

20

2 20 c

s

s

20

2 20c c

2 20

B

2

2 2 20

B B

B

下页上页

模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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模拟低通到数字带阻的直接变换

21

1 21

1

1

( ) ( )a D zs

E z z

H z H s

10

sin

cos cosD

2 1

1 02 1

cos2

2 2coscos

2

E

2 11 2cD tg

其中

下页上页

4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

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)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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4 模拟低通mdash模拟高通

变换关系

c css

c c

下页上页

0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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0 0 s c c s

0 0 s c c s

0 0s c c s 0 0s c c s

c c

下页上页

css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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css

1

c c

归一化变换

其中

c c

c css

下页上页

模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

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其中

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611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

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a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

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( ) 1

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j

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G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

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kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

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1( )

1

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1 1 1 1

0 0

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c c

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Z e e

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下页上页

11 1

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1

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sin2

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c c

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1

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由由

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频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

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Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

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c c

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Z e e

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下页上页

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3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

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( )1

Z d Z dz G Z

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0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

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0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

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2 11 1 1 2

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( )1

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1 1

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22 1

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e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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模拟低通到数字高通的直接变换

1

1 1

1

1

( ) ( )a zs C

z

H z H s

1 2C ctg

1 2c

cC tg

其中

下页上页

611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

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k

2

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kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

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（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

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sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

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即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

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k

ak

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T

2js(X

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1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

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2

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(T

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T

1

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naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

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k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

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)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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611数字域频带变换法

L

z

H z

平面

1 1

( )d

L z G Z

Z

H Z

H z

平面

＝

归一化模拟低通

数字低通

数字低通高通带通

带阻

数字域频带变换

或双线性变换

冲激响应不变法

要求

1 z Z） 平面单位圆 平面单位圆

2 z Z）保持因果稳定 平面单位圆内 平面单位圆内1 13 ( )G Z Z ）系统函数 是 的有理函数

下页

阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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阶数阶数 NN

j jz e Z e 令

1 1 1

11

( )1

Nk

k k

Z az G Z

a Z

极点极点 1k ka a

零点零点 1 ka

0 arg[ ( )]jG e N

1 1 arg[ ( )]( ) ( ) ( )jj j j j G ez e G Z G e G e e 则则

( ) 1

arg[ ( )]

j

j

G e

G e

即即为全通函数为全通函数

1 1( )d L z G ZH Z H z

＝

kN a选择合适的 即得各类变换下页上页

1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1 数字低通 mdash 数字低通 0 0 1N

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

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Z e e

z e e

下页上页

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

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由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

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c c

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Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

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由由

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得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

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下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

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2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

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得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

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2 11 1 1 2

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( )1

Z d Z dz G Z

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1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

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下页上页

2 1

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其中其中

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2 2

2 2

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1 1

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21 2

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d e d e

e d e de

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1

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得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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continue

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

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sT

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即

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又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

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k

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k

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T

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则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

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因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

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Y Z AH Z

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Z

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与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

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A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

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T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

sin2

sin2

c c

c c

得得

c c

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

0

0

频率压缩 频率扩张

下页上页

2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 数字低通 mdash 数字高通

1 11 1

1 1( )

1 1

Z Zz G Z

Z Z

低通频率响应在单位圆上旋转 180o 即得高通频率响应Z Z

下页上页

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

c c

j j

c c

c cj j

Z e e

z e e

下页上页

1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

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0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

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2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

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2 2

2 2

1 1

1 1

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21 2

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c

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j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

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nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

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tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

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T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

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2

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jT

jT

jT

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Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

c c

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j j

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Z e e

z e e

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1

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11 1

1( )

1

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Z

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3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

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0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

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0 0

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j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

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下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

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2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

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2 11 1 2

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Z d Z dz

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1 1

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2

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4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

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0 2N

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Z e e e e e e

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

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又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

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其拉氏变换为

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

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连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

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（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

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两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

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等波纹幅度特性单调增加

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

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(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

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10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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1

c

c

c

jj

j

ee

e

由由

cos2

cos2

c c

c c

得得

11 1

1( )

1

Zz G Z

Z

c c

下页上页

3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

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2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

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enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

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nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

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2

2

xx

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时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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3 数字低通 mdash 数字带通

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

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2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

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1

c

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j j

j jj

j j

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d e d e

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d e d e

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1

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4 数字低通 mdash 数字带阻

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下页上页

0 02 1 1 2

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1 1 1 1 1 1c c c c

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Z e e e e e e

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下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

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2 11 1 1 2

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下页上页

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其中其中

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2 2

2 2

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21 2

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下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

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又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

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则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

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s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

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2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg ctg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

k

得

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4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

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0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

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2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

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2 2

2 2

1 1

1 1

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22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

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enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

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)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

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)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

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)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

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)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

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j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

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jT

jT

jT

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Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取负号即得上式应取负号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

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其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

2 1 c c

1 1

1 1

2 2

2 2

21 2

22 1

21 2

22 1

1

1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1

kd

k

2

1

1

kd

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得

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4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

0 2N

下页上页

0 02 1 1 2

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1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

下页上页

下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

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得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

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( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

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z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

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2 1

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其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

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2 2

2 2

1 1

1 1

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21 2

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c

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d e d e

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得

下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

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即

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又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

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取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

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T

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

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连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

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则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

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2

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

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1222

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1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

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jT

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Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

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T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

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N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

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(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

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xx

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时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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2 1

02 1

cos2 cos

cos2

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其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

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1 1

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2 2

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c

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d e d e

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1

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1

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k

2

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得

下页上页

4 数字低通 mdash 数字带阻

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2 12 1

( )1

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0 2N

下页上页

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Z e e e e e e

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下页上页

下页上页

2 11 1 2

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Z d Z dz

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2 11 1 1 2

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下页上页

5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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n n

nsTa

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（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

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sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

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即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

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)n(x

)n(x )t(xa

k

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k

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T

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T

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T

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则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

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m

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2

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T

1

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因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

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A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

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连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

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121

1

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2

2

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与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

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两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

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Z

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222222

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

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（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

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2cos2

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Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

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T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

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( ) 1N

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等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

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(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

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2

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2

2

xx

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时当时当

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0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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4 数字低通 mdash 数字带阻

2 11 1 1 2

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

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（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

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但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

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两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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0 02 1 1 2

2 0 1 1 0 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1c c c c

j jj j j j

c c c cj j j j

Z e e e e e e

z e e e e

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下页上页

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

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2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

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21 2

22 1

1

1

c

c

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j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

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enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

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jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

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1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

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jrrjrr

T

jrr

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Tre

re

Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

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1222

2

rr

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Tjj

rr

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1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

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tgT

jT

jT

jT

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Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

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hxyxx

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

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(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

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(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

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当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

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得上式应取正号即得上式应取正号即

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2 1

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

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数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

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又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

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返回

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1k pk

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

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连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

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S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

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周

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两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

得上式应取正号即得上式应取正号即

2 11 1 1 2

2 12 1

( )1

Z d Z dz G Z

d Z d Z

1 1

1 1

1 1

1 1

z Z

z Z

由由

下页上页

2 1

02 1

cos2 cos

cos2

2 1

2 2ck tg tg

其中其中

2 11 1 2

2 12 1 1

Z d Z dz

d Z d Z

1 2 c c

2 2

2 2

1 1

1 1

21 2

22 1

21 2

22 1

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1

c

c

j jj

j j

j jj

j j

e d e de

d e d e

e d e de

d e d e

由

1

2

1d

k

2

1

1

kd

k

得

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

dtetxsX

nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

aa

tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

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T

jrr

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Tre

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j

j

1

12

1

121

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Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

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rr

r

Tjj

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1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

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cos1

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2

tgT

jT

jT

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jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

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等波纹幅度特性单调增加

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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continue

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

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即

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又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

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则 与 的关系为)z(X )s(Xa

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返回

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其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

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T 2 2pk k

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连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

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两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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5 数字低通 mdash 多通带 全通函数的阶数 N 为 [ndashπ π] 内通带的数目 时是通带全通函数取ldquo +rdquo号

时是阻带全通函数取ldquondashrdquo号0 0

上页

数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

)(txa )(ˆ txa

n n

nsTa

nTsa

n

sta

st

na

staaa

enTxenTx

dtnTtenTx

dtenTtnTx

dtetxtxLsX

))(()(

)()(

)]()[

)(ˆ)](ˆ[)(ˆ

（

回顾回顾 ZZ 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系

continue

n

nsTaaa enTxtxLsX ))(()](ˆ[)(ˆ因此

序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

n

znxzX

)()(

sTez )(ˆ)()( sXeXzX a

sT

ez sT

即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

)n(x

)n(x )t(xa

k

saa )jks(XT

1)s(X

k

ak

saez)k

T

2js(X

T

1)jks(X

T

1)Z(X sT

则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

)2

(

m

m

2

)2

(T

1)(

T

1

)(T

1)(ˆ

eT

1)(Fourier)(

])()[()(ˆ

)()()()(ˆ

TjmsXjmsX

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nTtnTt

dtenTttxsX

nTttxnxnx

aa

tT

jms

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tT

jm

nn

st

naa

naa

因此

级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

( ) ( ) ( )pk ky t s y t A x t

T

nyny )1()(

其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

)1()( nxnx

1[ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)] [ ( ) ( 1)]

T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

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T

jrr

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Tre

re

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j

j

1

12

1

121

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Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

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2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

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N x xC x

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等波纹幅度特性单调增加

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

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当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

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当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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数字滤波器（数字滤波器（ DFDF ）设计步骤）设计步骤 先设计出相应的（先设计出相应的（ LPLP HPHP BPBP 等）模拟滤等）模拟滤

波器的传递函数波器的传递函数 H(s)H(s) ------ 原因模拟滤波器原因模拟滤波器(AF)(AF) 设计方法已很成熟且设计方法已很成熟且 AFAF和和 DFDF 可以相互可以相互转换转换

利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连利用双线性变换法冲击响应不变法等方法将连续的续的 H(s)H(s) 转换为离散系统转换为离散系统 H(Z)H(Z)

数字系统的实现方法软件编程硬件电路专数字系统的实现方法软件编程硬件电路专用用 DSPDSP 系统系统 returnreturn

11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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continue

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

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即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

)n(x

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k

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T

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则 与 的关系为)z(X )s(Xa

取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

mms

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因此

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其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

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T

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

用用2

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T 2 2pk k

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连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

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Y Z AH Z

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两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

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1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

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结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

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等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

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(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

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xx

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时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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11理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号 为其理想抽样信号设 为连续信号 为其理想抽样信号则则

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序列 的 z 变换为 考虑到

显然当 时序列 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换

)()( nTxnx an

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即

return

又因 与原连续信号 的拉氏有如下关系

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取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

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级数表示为的又周期序列

其拉氏变换为

因为采样信号表示为

双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

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k

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

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可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

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这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

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两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

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S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

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T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

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周

00

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对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

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等波纹幅度特性单调增加

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

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当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

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当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

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(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

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取样序列的拉氏变换和连续信号取样序列的拉氏变换和连续信号的拉氏变换的关系的拉氏变换的关系

返回

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连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

ZX Zs

T Z

)A(1

121

1

Z

Z

Ts )B(

2

2

sT

sTZ

与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

kk ss

A)s(G

两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

cos21

sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

sin1cos

sin1cos2

1

12

rr

jrr

T

rr

rjrjrjrrjrrr

T

jrrjrr

jrrjrr

T

jrr

jrr

Tre

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Tj

j

j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导 --连续系统向离散系统转换连续系统向离散系统转换

N

1k pk

k

ss

A)s(G

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T

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其中某一阶子系统其对应的连续系统为其中某一阶子系统其对应的连续系统为

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T 2 2pk k

s Ay n y n y n y n x n x n

连续系统的 并联形式连续系统的 并联形式

可以用 来代替一阶导数可以用 来代替一阶导数 来代替来代替 )(tx

用用2

)1()( nyny来代替来代替 )(ty 则微分方程变为差分方程则微分方程变为差分方程

这里 T 时采样时间间隔这里 T 时采样时间间隔returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

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k

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ZX Zs

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2

2

sT

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两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

则有则有 或或

（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

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sin212

cos21

sinsincossinsin1cossincoscoscos2

)sin1cos)(sin1cos(

)sin1cos)(sin1cos(2

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1

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Tre

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j

1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

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1222

2

rr

r

Tjj

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

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rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

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cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

2 11

k

pk

Y Z AH Z

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T Z

)A(1

121

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Z

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2

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与原一阶连续 微分方程比较与原一阶连续 微分方程比较pk

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两边取两边取 ZTZT 得得两边取两边取 ZTZT 得得

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（ A ）和（ B ）称为双线性变换（ A ）和（ B ）称为双线性变换

由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系由此导 出 S与 Z 平面之间的映射关系

returnreturn

双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

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2

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)sin1cos)(sin1cos(2

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Z

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Z

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

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sin221

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1222

2

rr

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rr

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

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r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

2sin22

cos1

sin2

cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

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(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

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2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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双线性变换法的推导双线性变换法的推导mdashmdash续续

1

1

1

12

Z

Z

Ts

2

2

2

222222

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sin212

cos21

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1

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j

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1

12

1

121

1

Z

Z

TZ

Z

Ts

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系推导

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

r

T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

2cos2

2cos

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cos1

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cos22

sin22

2

tgT

jT

jT

jT

jj

Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2cos21

sin221

cos21

1222

2

rr

r

Tjj

rr

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T

1010 rr （ 1 ）分母是大于 0 的正数（ 1 ）分母是大于 0 的正数

（ 2 ）针对实部对应关系（ 2 ）针对实部对应关系即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

即 S 平面的左半平面映射 到 Z 平面的单位圆内部

S 平面的右半平面映射 到 Z 平面的单位圆外部

（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系（ 3 ）针对模拟频率和数字频率之间对应关系

2

2

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2

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jT

jT

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Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换Z 平面内 r=1 时对应系统的傅立叶变换

returnreturn

双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

returnreturn

ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

cos( cos ) 1( )

( ) 1N

N x xC x

ch Nch x x

等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

hxyxx

returnreturn

(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

)1ln(2

2 xxxarshxyee

shxyxx

双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

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2

2

xx

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时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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双线性变换法下 S 平面向 Z 平面的映射关系

2

2 tg

T 即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周即 S 域整个虚轴映射 到单位圆的一

周

00

00

对应对应

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

结论在双线变换映射下 S 平面的左半平面映射到单位圆的内部右半平面映射 到单位圆的外部

整个虚轴映射 到单位圆的一周

两者为一一对应关系 克服冲击相应不变法导致频谱的周期延拓而造成的频谱混叠

但频率之间为非线性映射 会使具有线性相位的模拟滤波器变为非线性相位的数字滤波器

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

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等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

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(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

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xx

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时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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ChebyshevChebyshev 通带和阻带函数及其曲线的特征的分析通带和阻带函数及其曲线的特征的分析1

1

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N x xC x

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等波纹幅度特性单调增加

1)1ln(2

c 2 xxxarchxyee

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(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数(1) 通带函数值为 plusmn1之间的数通带和阻带的表达式为 通带和阻带的表达式为

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双曲函数复习双曲函数复习

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续

(2) 通带外为单调递增的两函数在 x=1处的值相等

在 X=1处连续试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗试分析两者在该点 处导数情况在 x=1处可导吗

Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

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(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

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xx

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时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

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Chebyshev-I Chebyshev-I 型逼近型逼近 N=2N=2 33 时的通带特性分析时的通带特性分析 12xC 2

2 x

returnreturn

(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为(1) N=2(1) N=2 时的通带多项式为时的通带多项式为

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 2 个零点

2

2

10C0

11C1

2

2

xx

xx

时当时当

(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为(2) N=3(2) N=3 时的通带多项式为时的通带多项式为 xx 34xC 33

0xC0x 1xC1x 33 时当时当

当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 当 x在 [-1 +1] 间取值时共有 3 个零点 2

30

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