АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014. том 60. № 2. с. 1.17-144

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМ Ы ЛИ Н ЕЙ Н О Й АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН

У ЛК 5.14.21

ЭФФЕКТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ЭНЕРГИЯ АКУСТИЧЕСКИХ МЕТАМАТЕРИАЛОВ И СРЕД

© 2014 г. Ю . И. БобровницкийИнститут машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

101990 Москва, Малый Харитоньевский пер. 4 E-mail: yuri@imash.ac.ru

П о с т у п и л а и р е д а к ц и ю 1 5 .0 7 .2 0 1 3 г.

Предложен новый подход к описанию акустических сред общего вида, в частности, акустических метаматериалов, основанный на их моделировании простейшими дискретными периодическими структурами. Параметры дискретных моделей, определенные из равенства дисперсий, приняты в качестве эффективных параметров моделируемых сред. Равномерным распределением этих параметров подлине ячейки периодичности осуществляется переход к эффективной непрерывной среде. Показано, что все характеристики волнового движения среды, включая энергетические, выражаются через введенные таким образом эффективные параметры. Выведены необходимые формулы. Приведены примеры. Предложенный подход полезен при проектировании акустических материалов с заданными волновыми свойствами.

Ключевые слова: акустические метаматериалы, эффективные параметры, дисперсия волн, энергия нормальных волн, дважды отрицательные среды, звуковой кристалл, метаматериал Лэмба.D O I : 1 0 . 7 8 6 8 / S 0 3 2 0 7 9 1 9 1 4 0 2 0 0 1 4

Непрерывные среды являются одной из повсеместно применяемых моделей реальных материальных сред, которые по своей природе неоднородны и состоят из атомов, молекул или более крупных элементов. Непрерывная среда описывает физические процессы, в частности, волновые процессы, масштаб изменения которых намного превышает размеры реальных неоднородностей. Для вычисления эффективных параметров непрерывных сред разработаны, в зависимости от типа решаемой задачи, многочисленные методы усреднения или сглаживания (английский термин homogenization), см., например, 11 —31.

Последние несколько лет в акустической литературе большое внимание уделяется акустическим метаматериалам (АММ) |4 |. Так называются материалы и среды нового типа, искусственно создаваемые в виде периодических структур, ячейки периодичности которых выполнены в виде колебательных систем со многими степенями свободы, часть которых является внутренними или скрытыми. На частотах, где длины нормальных волн превышают размеры ячейки, такие структуры ведут себя как непрерывные среды и, в зависимости от внутреннего устройства ячеек, могут демонстрировать необычные волновые свойства. Например, волны в такой среде могут иметь отрицательную фазовую скорость, что приводит к обратному эффекту Доплера и отрицательному закону Снеллиуса. В таких средах возможна "сверх

фокусировка”, акустическая невидимость и другие эффекты |4— 111. К сожалению, периодические структуры такого типа пока недостаточно полно изучены, имеется ряд нерешенных проблем, затрудняющих целенаправленное конструирование АММ с заданными волновыми свойствами. К ним относится отсутствие простых и удобных методов анализа их волновых свойств, адекватных способов определения их эффективных параметров и др. Известные методы усреднения здесь малопригодны из-за специфики волновых критериев эквивалентности, а традиционные методы анализа, основанные на детальном описании систем, приводят к слишком громоздким вычислениям.

В данной статье предлагается новый подход к описанию акустических метаматериалов и сред, который упрощает решение упомянутых проблем. Идея подхода состоит в моделировании (замене) сложной периодической структуры, какой является АММ или произвольная акустическая среда, другой, значительно более простой периодической структурой, имеющей ячейки периодичности простейшего вида из дискретных элементов. В одномерном случае такой простейшей моделью является, в частности, цепочка из чередующихся масс и пружинок, которую И. Ныотон в 1686 г. предложил в качестве дискретной модели воздуха (рис. I ). Два параметра ячейки периодичности цепочки Ньютона — масса и жесткость пружинок — принимаются в качестве эффективных

137

mailto:yuri@imash.ac.ru

13S БОБРОВНИЦКИИ

Р и с . 1 . О б щ а я с х е м а о д н о м е р н ы х а к у с т и ч е с к и х с р е д и м с т а м а т е р и а л о в в в и д е п е р и о д и ч е с к о й с т р у к т у р ы , я ч е й к а п е р и о д и ч н о с т и Л к о т о р о й я в л я е т с я л и н е й н о й к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м о й с N с т е п е н я м и с в о б о д ы и д в у м я в х о д а м и ( а ) , и е е м о д е л ь Н ь ю т о н а (б ) .

параметров моделируемой акустической среды или ДММ. Эти параметры определяются из условия равенства дисперсии волн в ДММ и в модели. Выбор дисперсии в качестве критерия эквивалентности оправдан тем, что именно дисперсией определяются все основные волновые свойства. По этой причине предлагаемый способ определения эффективных параметров можно для краткости назвать “ волновым усреднением". Ниже в статье показано, как находить эффективные параметры, исследуя аналитически или экспериментально одну отдельную ячейку периодичности. Простым “ размазыванием” эт их параметров подлине ячейки осуществляется и переход к эф фективной непрерывной среде. Описанный подход не только существенно упрощает анализ волновых свойств метаматериалов и произвольных акустических сред, но и делает его исчерпывающим и, что немаловажно, физически прозрачным. В частности, все энергетические характеристики ДММ точно вычисляются через эффективные параметры по приведенным ниже простым формулам. Но основным достоинством предложенного подхода является, по мнению автора, унифицированное описание и возможность сравнивать конструктивно различные структуры и среды, что полезно при создании новых акустических материалов с заданными волновыми свойствами.

План статьи следующий. Вначале уточняется, что именно подразумевается под акустической средой и ДММ. Затем рассмотрена наиболее общая структура одномерной акустической среды и се дискретная модель Ньютона, определены эф фективные парамерты. Выведены формулы для вычисления энергетических характеристик AM М и сред через их эффективные параметры. На основе анализа этих формул сформулированы некоторые принципиальные ограничения, накладываемые на параметры метаматериалов. Приведено несколько простых примеров. Один из примеров описывает исторически, по-видимому, первый ДММ с отрицательными эффективными параметрами, построенный X. Лэмбом в 1904 г. В данной

статье рассматриваются одномерные акустические среды и материалы без потерь. Распространение результатов на два и три измерения будет сделано в последующих публикациях.

Под акустической средой будем понимать непрерывную среду таи регулярную структуру, в которой существует только один тип плоских нормальных волн,т.е. свободных волновых движений, которые среда поддерживает без каких-либо внешних воздействий. Хорошо известными примерами акустических сред являются идеальные жидкости и газы, в которых могут распространяться только волны продольного типа. В упругих средах число ти пов волн равно трем — одна продольная и две поперечные нормальные волны. В многофазных средах, например, в пористых материалах, число волн увеличивается. Существует простое правило, позволяющее определять число независимых типов нормальных волн в той или иной непрерывной среде или периодической структуре |12|: это число в точности равно числу независимых физических механизмов обмена энергией между соседними участками непрерывной среды или между соседними ячейками периодической структуры. Так, продольная волна в жидкости соответствует передаче энергии парой сопряженных величин “давление/продольная скорость”. Сопряженные пары типа “сдвиговое напряжение/поперечная скорость” ответственны за появление поперечных нормальных волн и т.д.

Рассмотрим теперь линейную одномерную акустическую среду или АММ самого общего вида, представив ее периодической цепочкой, ячейка периодичности которой является линейной колебательной системой с N степенями свободы, например, /V-массовой конечно-элементной моделью произвольной непрерывной или дискретной структуры (рис. 1а). Условие “акустичности” в этом случае означает, что у ячейки периодичности имеется только два входа, посредством которых она соединяется с двумя смежными ячейками. Так как один вход, по определению, характеризуется одной парой сопряженных полевых величин и соответствует, следовательно, одному физическому механизму передачи энергии (он эквивалентен паре клемм в электрических цепях), то в такой цепочке может существовать лиш ь одна нормальная волна, какой бы сложной ни была сама ячейка периодичности. Рассмотрим подробнее распространение волн в такой периодической структуре.

Положим, что ячейка периодичности является системой с /V степенями свободы и описывается системой /Улинейных уравнений

Мй(1) + Rii(t) + Ки(1) = J \t) , (I)где м и / — /V-векторы смещений и внешних сил, М — положительно определенная инерционная матрица, К — неотрицательная матрица жестко-

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л т о м б О № 2 2014

ЭФФЕКТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ЭНЕРГИЯ АКУСТИЧЕСКИХ МЕТЛМЛТЕРИЛЛОВ 139

стой. R — неотрицательная матрица вязких дем пферов; все матрицы квадратные, порядка /^ д е й ствительные и симметричные. Точка означает дифференцирование по времени /. Далее будем рассматривать гармоническое во времени дви жение: f i t ) = /е х р (—/со/), u(t) = мехр(—/со/). В этом случае система дифференциальных уравнений (I) оказывается эквивалентной матричному уравнению

f = Z v , где Z = R + i X , X = - К - соМ . (2)со

Здесь Z — полная импедансная матрица системы, v = й = [ у , , ..., v N] ' — вектор скоростей, X — полная матрица реактансов, верхний индекс Т означает транспонирование. Так как система имеет два входа, то внешние силы в (1) и (2) отличны от нуля только на этих двух входах (рис. 2а). Пусть входами являются степени свободы (массы) с номерами 1 и 2. Тогда, исключив из системы (2) скорости внутренних степеней свободы с номерами от 3 до /V, получим

8 = Z inpw, где g / ,h J

Z. Z\\ Z\2

Z\2 Z22

w =

(3)

Симметричная комплексная матрица второго порядка Zinp — эго матрица входных импедансов. Она выражается через блоки полной импеданс- ной /V х /V-матрицы в (2) как

Znp — Zuu z

140 БОБРОВНИЦКИЙ

ями частоты. В зависимос ти от устройства ячейки периодичности они могут принимать различные значения, включая отрицательные и даже бесконечные значения.

Дисперсионное уравнение (8) для модели Ньютона можно переписать в виде

cos( m) = 1 + ^ = 1- — , , П 2 = ^ , (Ю)2 гк 2 0 " ,п

позволяющем производить экспресс-анализ волновых свойств, даже если известны одни только знаки эффективных параметров (9). Так, если эф фективные жесткость и масса имеют разные знаки, то из (10) сразу следует, что постоянная распространения должна быть комплексной, а нормальная волна неоднородной, т.е. имеет место полоса непропускания. В полосе пропускания, где волна распространяется без затухания, эф фективные жесткость и масса должны быть одного знака, причем, если они положительны, то это обычная “ положительная” среда с обычной волной, а если они отрицательны, то среда является дважды отрицательной и ее нормальная волна имеет отрицательную фазовую скорость. По эф фективным параметрам легко также найти границы полос пропускания и непропускания: они соответствуют частотам, являющимся корнями уравнения (8) или (10), в котором cos(p) = ±1.

Зная дискретные эффективные параметры (9), нетрудно перейти и к эффективной непрерывной среде, распределив их равномерно подлине ячейки, как это сделал Ныотон для дискретной модели воздуха. В уравнении Гельмгольца для непрерывной среды

2* c / ^ + P ,o « W ) = 0 (11)

d x

объемный модуль упругости и плотность, таким образом, равны Кс1Г = ксП/, рсП = /иеП//, где / — длина ячейки. Переход от уравнения Гельмгольца к обычному волновому уравнению возможен, только если параметры (9) не зависят от частоты.

Совпадение дисперсий нормальных волн ЛММ и его модели Ныогона означает, что все свойства их нормальных волн идентичны. В частности, они имеют одинаковые фазовые и групповые скорости. Например, групповая скорость по определению равна

= ,djo я _ /д £ IDF d\i d p / доз

Нетрудно убедиться, что скорости, вычисленные по дисперсионным уравнениям (6) и (8), одинаковы, если эффективными параметрами являются величины (9).

Покажем также, что и энергетические характеристики АММ могут быть точно вычислены по эффективным параметрам (9). Воспользуемся ме

тодом, предложенным в |15, 161 и примененным там к колебательным системам с одним входом.

Заметим предварительно, что если известна полная матрица реактансов в (2) и скорости всех степеней свободы, включая внутренние, то кинетическая и потенциальная энергии системы вычисляются как

Г =

U =

~ v * ( — + - J r ) v ,8 'do) оз '

- v * ( — - -Л ”) v, 8 'rfw о) '

( 12)

где звездочка означает эрмитово сопряжение, т.е. транспонирование плюс комплексное сопряжение. Эти формулы непосредственно следуют из соотношений (2). Чтобы выразить эти величины через входные импедансы (3), (7) и через эфф ективные параметры (9), воспользуемся следующими свойствами матричного дополнения Шура (4):

v * Z v = w*Zinpw, (13)

*dZv *— v = w*d. * m w. (14)d(o do3

Свойство (13) верно для любых комплексныхсимметричных матриц 1171, т.е. для любых линейных колебательных систем. Свойство (14), как показано в 116|, верно только для определенных классов матриц, в частности, для чисто действительных симметричных матриц, т.е. для систем, состоящих только из вязких демпферов, а также для чисто мнимых симметричных матриц, т.е. для линейных колебательных систем без потерь. Этот последний класс наиболее важен для практики и предмета данной статьи, поэтому именно он будет подразумеваться ниже.

Пусть в рассматриваемой периодической цепочке распространяется нормальная волна (5) с действительной постоянной распространения ц. Тогда из (12), используя свойства (13), (14) и определение эффективных параметров (9), получим следующие формулы для кинетической и потенциальной энергий одной ячейки периодичности:

т= и : /иепМ2Г[ , (Of 1 dme„ 1

ЭФФЕКТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ЭНЕРГИЯ АКУСТИЧЕСКИХ МЕТЛМЛТЕРИАЛОВ 141

обязательной положительности механической энергии (15).

Первое ограничение относится к дважды отрицательным средам и материалам, у которых оба эффективных параметра принимают отрицательные значения. Из (15) следует: не существует дважды отрицательных сред и материалов, у которых оба эти параметра не зависят от частоты. В противном случае энергия (15) отрицательна. Один из параметров может не зависеть от частоты, но их отношение ксП//н0|Г должно быть функцией частоты, возрастающей быстрее, чем со2.

Второе ограничение касается так называемых дополнительных сред. Две акустические среды называются дополнительными (complementary), если их эффективные параметры имеют одинаковые модули и противоположные знаки. Из (15) следует, прежде всего, что в любой непрерывной полосе частот, даже сколь угодно узкой, существование дополнительных сред невозможно. Действительно, для обеих таких сред отношения эф фективных параметров Q 2одинаковы, а в полосе частот одинаковы и производные функции ln(to/Q) по частоте. Но тогда одна из дополнительных сред (у которой эффективная масса или плотность отрицательна) должна иметь отрицательную энергию (15), что невозможно. В то же время, на отдельных дискретных частотах существование дополнительных сред вполне возможно. Например, для обычной “ положительной” среды с постоянными (независящими от частоты) положительными параметрами р0 и /(„дополнительной на дискретной частоте ш0является отрицательная среда с эффективными параметрами — Рои —/(„(со/шо)4. Нормальные волны одной и той же амплитуды вэтихдвух средах имеют на частоте со„ идентичные групповые скорости и плотности энергии, а также одинаковые по величине и противоположные по направлению фазовые скорости.

Рассмотрим несколько простых примеров моделирования цепочкой Ньютона составных одномерных акустических сред, основным элементом которых является струна. Цель рассмотрения - убедиться в идентичности волновых свойств среды и модели, а также показать, как те или иные модификации среды влияют на эффективные параметры, и какие модификации требуются для получения среды с теми или иными волновыми свойствами, в частности, дважды отрицательной среды, описанной в последнем примере.

Пример I. Начнем с простейшего случая — однородной натянутой струны. Ее колебания удовлетворяют волновому уравнению

Ри"(х, / ) - р й (х , /) = 0, (16)где и(х, /) — поперечное смещение, Р — сила натяжения струны, р — линейная плотность, штрих и точка означают производные по координате и по

времени соответственно. Разыскивая решение в виде нормальной волны

u (x ,t) = u c \p (ikx - i(ot), (17)получим дисперсию (зависимость волнового числа от частоты) в виде

А = ±AS, А, = с] = - . (IX)Cs Р

Фазовая скорость волны с,,,, = со/А в данном случае совпадаете се групповой скоростью как по величине, так и по направлению, причем

cPhCSr = c]. (19)Плотность кинетической и потенциальной энергии в струне при распространении волны (17) равна

7 = U = ^ И - , v = й. (20)4

Представим теперь струну периодической структурой из ячеек в виде отрезков струны длиной /. Одна такая ячейка описывается матрицей входных импедансов

142 БОБРОВЫ И ЦКИИ

к.ч/а

к/а

Рис. 3. Действительные ветви дисперсии нормальной полны в натянутой струне на упругом основании, ks/a и к/а — безразмерные частота и волновое число, «дана в (26).

бой самостоятельную и непростую задачу, требующую для своею решения привлечения дополнительной информации, см. подробнее [ 14, 181.

В рассматриваемом примере, а также в последующих примерах, где имеется в виду предельный переход от периодических структур к непрерывным средам, мы будем интересоваться длинными волнами, для которых постоянная распространения р не выходит за пределы первой зоны Брил- люэна | — л, я |. Кроме того, мы ограничимся диапазоном невысоких частот, в котором амплитуды колебаний ячейки периодичности моделируемой системы не имеют перемен знака подлине ячейки и в котором цепочка Ньютона является, следовательно, адекватной моделью не только по дисперсии, но и по другим критериям. В предельном случае самых низких частот ( k j < 1) эффективные параметры (22) оказываются независящими от частоты, ке(Г= Р/1, тсП = I. Распределив их равномерно по длине ячейки, можно получить уравнение Гельмгольца (11), которое в данном случае эквивалентно волновому уравнению (16) непрерывной струны. Нетрудно также убедиться, что энергия ячейки, вычисленная по формуле (15), совпадает в широком диапазоне частот с плотностью энергии (20), умноженной на /.

Таким образом, заменив однородную натянутую струну дискретной моделью Ныогона, можно получить все основные характеристики волнового движения, используя только дискретные э ф фективные параметры.

Пример 2. Струпа на упругом основании. Усложним структуру, добавив к струне упругое (винкле- ровское) основание, и проследим, как оно отразится на эффективных параметрах и волновых свойствах. Гармоническое движение этой структуры описывается уравнением

Ри"(х) + ( р м - х М х ) = 0, (25)

где х ~ жесткость единицы длины упругого основания. Нормальная волна вида (17) имеет здесь дисперсию

к 2 = к ] - а 2, а2 = х /Р , (26)действительные ветви которой изображены на рис. 3. На низких частотах (к

ЭФФЕКТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ЭНЕРГИЯ АКУСТИЧЕСКИХ МЕТАМЛТЕРИАЛОВ 143

фективных параметров (9) следует, что периодически расположенные рассеиватели не оказывают влияния на эффективную жесткость, изменяя только эффективную массу. Следовательно, в рассматриваемом диапазоне частот

О < k j < п (28)эффективная жесткость положительна, а эфф ективная масса может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от значений импеданса рассеивателя Z„( 0, и полос непропус- кания, где тсП-< 0, причем в полосах пропускания нормальная волна имеет фазовую и групповую скорости одного направления, являясь обычной “ положительной” волной. Отметим, что этот вывод верен и на более высоких частотах. Однако для его строгого доказательства двухпараметриче- скую модель Ньютона следует заменить моделью Борна 1181, имеющей четыре параметра.

Пример 4. Метаматериал Лэмба. В заключение рассмотрим пример низкочастотного дважды отрицательного АММ, основным элементом которою является струна. На предыдущих примерах мы видели, что основная трудность создания такого материала связана с изменением знака эф фективной жесткости на низких частотах. Эта трудность была преодолена в структуре, изобретенной X. Лэмбом в 1904 году 119|, которая может считаться исторически первым АММ, созданным человеком.

Структура Лэмба представляет собой сжатую струну на упругом основании. Именно использование сжатой струны, вместо обычной натянутой, приводит к отрицательной эффективной жесткости на низких частотах. Упругое основание необходимо при этом для обеспечения устойчивости структуры и отрицательности эффективной массы (плотности) — см. также (27). Рассмотрим подробнее волны этой структуры.

Гармоническое во времени движение подчиняется уравнению

O m "(x ) + (x -P(o2)m (x ) = 0, которое получается из уравнения (25) заменой силы натяжения Рсилой сжатия Q (Р = -Q ). Нормальная волна (17) имеет дисперсию

k 2 = b '~ - k l Ь2 = x/Q - (29)где к ,= м / с , - волновое число струны, натянутой силой —Q. Действительные ветви (29) в диапазоне частот к, е |0, Ь\ изображены на рис. 4. Выше граничной частоты к,= Ь волновое число (29) является чисто мнимым, а нормальная волна — неоднородной. Из рис. 4 видно, ч то фазовая и групповая скорости нормальной волны имеют разные зна

н и е . 4 . Д е й с т в и т е л ь н ы е в е т в и д и с п е р с и и н о р м а л ь н о й в о л н ы в с т р у к т у р е Л э м б а , ks/b и к/b — б е з р а з м е р н ы е ч а с т о т а и в о л н о в о е ч и с л о . Л д а н а в (2 9 ) .

ки. Действительно, для ветви / значение cph= со/к отрицательно, а наклон производной cgr = clw/dk положителен. Для ветви 2, наоборот, фазовая скорость положительна, а групповая — отрицательна. Так как групповая скорость совпадает со скоростью переноса энергии, то ветвь / дисперсии соответствует прямой волне, которая переносит энергию и, следовательно, распространяется от источника (в сторону положительных х). Для пес из (29) имеем

к

К Г

так что имеет место соотношение

CpkCST = ~ с1>отличающееся знаком от аналогичного соотношения (19) для обычных “ положительных” сред. Обратной нормальной волне соответствует ветвь 2 дисперсии на рис. 4.

Эффективные параметры структуры Дэмба равн ы

к = Q °/ s in (a ) ’

тей' = - Р //£_ Л 2[ 1 - cos(g)l

, к 2 J ersin (ст)

a = i j b 2- к 2.Оба параметра одновременно отрицательны в диапазоне низких частот к, е |(), Ь\. Эго означает, что структура Дэмба в этом диапазоне частот представляет собой дважды отрицательный метаматериал. На более высоких частотах (кх> Ь) знаки эффективных параметров противоположны и нормальная волна неоднородна. Структура Дэм-

2 АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ томбО № 2 2014

144 БОБРОВНИЦКИЙ

ба является также фильтром низких частот, граничная частота которой пропорциональна квадратному корню от удельной жесткости упругою основания.

Практическая реализация предложенной Л эм бом структуры i$ чистом виде затруднена необходимостью построения сжатой струны. Вместо струны допустимо использовать тонкий упругий стержень. Можно показать, что в структуре со стержнем тоже есть распространяющаяся волна с отрицательной фазовой скоростью. Однако в из- гибно колеблющемся стержне существуют две нормальные волны. Он, следовательно, не является чисто акустической средой, как она определена в начале этой статьи, и потому здесь не рассматривается.

Подведем итог изложенному. В статье предложен новый подход к описанию акустических сред произвольного вида, в частности, акустических мс- таматериалов. Подход основан на представлении сред периодическими структурами с ячейками периодичности, имеющими внутренние (скрытые) степени свободы. Эти периодические структуры, в свою очередь, моделируются более простыми дискретными периодическими структурами. Параметры этих простейших дискретных моделей приняты в качестве эффективных параметров моделируемых сред. Они определяются по критерию равенства дисперсий волн вереде и модели. Показано, что все основные характеристики волнового движения, включая энергетические характеристики, могут быть точно вычислены по эффективным параметрам, для чего в статье выведены соответствующие формулы. Унифицированное описание сред и возможность сравнивать волновые свойства конструктивно различных сред и материалов делает предложенный подход полезным при проектировании новых акустических мс- таматериалов с нужными волновыми свойствами.В данной статье рассмотрены только одномерные среды и материалы, случай двух и грех измерений предполагается рассмотреть в последующих публикациях.

Работа выполнена при частичной поддержке РФ Ф И , проект № 12-02-00222-а.

С П И С О К ЛИТЕРАТУРЫ

I. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических структурах. М: Наука, 1984. | 9 .352 с.

2. CherkaevA. V.. Kohn R. (eds). Topics in the Mathematical Modeling of Composite Materials. Basel, Switzerland: Birkhauser-Vferlag, 1997. 317 p.

3. Nemat-Nasser S., Ilori M. Micromechanics: Overall Properties of Heterogeneous Materials. Amsterdam: Elsevier, 1999. 786 p.

4. Special issue on Acoustic Metamaterials / / J. Acoust. Soc. Am. 2012. V. 132. № 4. Part 2. P. 2783-2945.

5. Буров В.А., Волошипов В.Б., Дмитриев К.В., Поликарпова II. В. Акустические волны в метаматериалах, кристаллах и структурах с аномальным преломлением//УФН. 2011.T. 181.№ II.С . 1205-1211.

6. Fang N.. Zhang S., Yin /.. Focusing ultrasound with acoustic metamaterial network// Phys. Rev. Lett. 2009. V. 102. № 194301 (19 p).

7. Lee S.H.. Park C.M.. Seo Y.M., Wang Z.G., Kim C.K. Reverse Doppler effect of sound / / arXiv: 2009. 22 Jan. V. 2.0901.2772.

8. Li J.. Fok L., Yin X., Banal G., Zhang X. Experimental demonstration of an acoustic magnifying hypcrlens / / Nat. Mater. 2009. V. 8. № 12. P. 931-934.

9. Pendri J.B., Li J. An acoustic metafluid: realizing a broadband acoustic cloak / / New J. of Phys. 2008. V. 10. № 115032 (9 p).

10. Torrent D., Sanchez-Dehesa J. Acoustic metamaterials for new two-dimentional sonic devices / / New .1. of Phys. 2007. V. 9. № 323 ( 13 p).

11. Бобровницкии Ю.И., Морозов К.Д., Томилина Т.М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами / / Акуст. журн. 20I0.T. 56. № 2. С. 147-151.

12. Бобровницкии 10.И., Генкин М.Д., Маслов В. II., Римский-Корсаков А.В. Распространение волн в конструкциях из тонких стержней и пластин. М.: Наука. 1974. 102с.

13. Гонтмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

14. Бриллюэп Л., Llapodu М. Распространение волн в периодических структурах. М.: ИЛ, 1959.458 с.

15. Бобровиипкий Ю.И. Отрицательные масса и упругость/ / Акуст. журн. 2012. Т. 58. № I. С. 36-40.

16. Бобровиипкий Ю.И. Энергетические характеристики колебательных систем с внутренними (скрытыми) степенями свободы / / Акуст. журн. 2013. Т. 59. № I.C . 3-7.

Cottle R. W. Manifestations of the Schur complement / / Linear Algebra and its Applications. 1974. V. 8. № 3. P. 189-211.

Бобровиипкий Ю.И. Особенности дисперсии нормальных волн в периодических структурах / / Акуст. журн. 2011. Т. 57. № 4. С. 438-449.

Lamb И. On group velocity / / Proc. London Math. Soc., Ser. 2. 1904. V. I. № 849. P. 473-479.

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л т о м 6 0 № 2 2014