______________________________________________________________________________________________________________

УДК 535.42

Э.С. Попов

ЛУЧЕВАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ СВЕТА

Показана недостаточность локальной трактовки явления дифракции волн в теории краевой дифрагированной волны Юнга — Рубиновича — Вольфа и ошибочность общепринятого утвер-ждения о том, что эта теория есть строгое математическое следствие теории дифракции Френе-ля — Кирхгофа. Предложена более реалистичная картина дифракции, в рамках которой получе-ны выражения углов дифракции и интенсивности в области геометрической тени. Обсуждаются особенности и возможные применения предлагаемой теории дифракции, уточняется принцип Ферма геометрической оптики при прохождении луча света вблизи границы препятствия.

The authors reveal the insufficiency of the local treatment of the wave diffraction phenomenon in the theory of the boundary diffracted wave of Yung-Rubinovich-Wolf as well as the falsity of the wide-spread assertion that this theory is a rigorous mathematical consequence of the theory of Frenel-Kirchhoff diffraction. The authors suggest a more realistic pattern of diffraction in the context of which the expressions of the diffraction angles and of the intensity in the area of the geometrical shadow are received. The peculiarities and the possible applications of the suggested theory of dif-fraction are discussed. The Fermat principle for geometrical optics given the ray of light travels close to an obstacle boundary is made more precise.

Известно [1], что принцип Гюйгенса приводит к двум способам описания процесса распространения света: а) с помощью лучей и б) с помощью волно-вых фронтов. Лучевое описание является основой геометрической оптики, в которой ведущим является принцип Ферма. Волновая оптика базируется на принципе Гюйгенса, расширенном Френелем для описания явления дифрак-ции. И в принципе Гюйгенса, и в теории Френеля вторичные (элементарные) источники и вторичные волны являются фиктивными [5, c. 665]. Поэтому, несмотря на успех теории Френеля, неоднократно предпринимались попытки построения лучевой (геометрической) теории дифракции (Келлер, Уфимцев и др.), но ни одна из них не была основана на реальных лучах. То же относится к «полулучевой» теории краевой дифрагированной волны Юнга — Рубино-вича — Вольфа (теория ЮРВ), которая была признана равноценной теории Френеля [2—5]. Однако в [2] отмечено, что «до сего времени юнговский под-ход редко рассматривается в курсах физики». Кроме того, как будет показано в настоящей работе, теория ЮРВ противоречит некоторым эксперименталь-ным данным и теоретическим предпосылкам. В работе поставлена задача сформулировать основы непротиворечивой лучевой теории дифракции.

Истоки и сущность теории ЮРВ. Гримальди и позже Юнг наблюдали и описали яркую очень тонкую светящуюся линию по границе препятствия, если на эту границу смотреть из области геометрической тени (ОГТ) навстре-чу идущему свету. Юнг выдвинул гипотезу о специфическом «отражении-преломлении» падающего света на границе препятствия, после чего свет рас-пространяется в виде цилиндрической (в случае прямой границы) волны. Эта «краевая» волна, заходя в ОГТ, дает интенсивность, монотонно спадающую по мере удаления от границы геометрической тени (ГГТ), а часть краевой волны, идущая в область прямого света (ОПС), интерферирует с прямым све-том и дает известную картину интерференционных полос, параллельных гра-нице препятствия. В современном виде теория краевой дифрагированной

98

Э.С. Попов ______________________________________________________________________________________________________________ волны [4] была сформулирована после того, как Зоммерфельд [3—6] получил строгое решение задачи дифракции электромагнитной волны на ребре иде-ально проводящего клина, поскольку из решения Зоммерфельда «следовало» существование краевой цилиндрической волны.

Однако почти столетие существования теории ЮРВ не привело к ее ши-рокому признанию и распространению. Почему идейно более простая и более «физичная» локальная теория дифракции ЮРВ не вытеснила «фиктивную» теорию Френеля? Если в «математике» действительно все в порядке, то сле-дует искать физическую причину столь парадоксальной ситуации. Не делая детального анализа, укажем лишь, что теория ЮРВ находится в противоре-чии с теоремой Бабине, по которой при дифракции на отверстии за препятст-вием вообще нет недифрагированного света [6]. В задаче Зоммерфельда «от-верстием» является открытая полуплоскость, поэтому за полуплоскостью нет недифрагированного, то есть прямого света. Однако в теории ЮРВ прямой свет — главный компонент этой теории. Ниже будет показано, что в ОПС вблизи ГГТ вообще не может быть прямого света, т.е. мы имеем здесь дело с фиктивным понятием. Другие детали теории ЮРВ также заставляют заду-маться [2, 4]. В частности, краевая волна в этой теории на ГГТ имеет разрыв фазы (в реальной волне это невозможно), а амплитуда краевой волны выбра-на так, чтобы «строго скомпенсировать разрыв амплитуды поля геометриче-ской оптики на ГГТ». Заметим, что в плоской волне скачок амплитуды поля геометрической оптики на ГГТ не зависит от удаленности от границы пре-пятствия, в то время как цилиндрическая краевая волна имеет убывающую с расстоянием амплитуду. При этих условиях устранение разрыва волнового поля на ГГТ путем подбора числового множителя возможно лишь в какой-либо единственной точке ГГТ, а на всей ГГТ невозможно. Такая теория фи-зически неудовлетворительна, а проще говоря, ошибочна. Ниже будет пока-зано, что ошибочность теории ЮРВ не означает ошибочности решения Зом-мерфельда.

Почему «фиктивная» теория Френеля дает правильные предсказания? К сожалению, вразумительного ответа на такой «простой» вопрос в современной литературе нет. Правда, в [4] замечено, что «конечно, реально свет в точку на-блюдения приходит по небольшому числу путей, которые проходят через так называемые стационарные точки». Авторы [4] считают стационарными траек-тории, оптическая длина которых экстремальна (удовлетворяет принципу Ферма в геометро-оптическом смысле [5]). При отсутствии вблизи луча границ препятствий это действительно так, но в присутствии границ препятствий это не очевидно. Тут желательны либо теоретическое обоснование, либо экспери-ментальная проверка. Примечательно, что Зоммерфельд [3] ссылается на экс-перимент, который «подтвердил» существование краевой волны, но, как станет ясно из дальнейшего, этот эксперимент был слишком грубым. Дело в том, что «краевая» волна является краевой лишь приближенно, поскольку всегда суще-ствует некоторое расстояние от границы препятствия до стационарной точки, через которую проходит дифрагированный луч. Это расстояние — прицельный параметр — зависит от угла дифракции и длины волны света. Таким образом, при дифракции свет действительно проходит в точку наблюдения вблизи гра-ниц препятствий, но теория Френеля сформулирована так, что в расчете интен-сивности не выявляются реальные пути света.

99

______________________________________________________________________________________________________________

Обычно считают, что нет необходимости находить реальные пути света, но это не так. Необходимость есть: не определив ход дифрагированных лучей, нельзя корректно ввести углы дифракции, что хорошо известно для френеле-вой дифракции, например, на отверстии. Именно поэтому все рассуждения об «объяснении» теорией Френеля прямолинейности распространения света в свободном пространстве, дифракции на круглом отверстии, на щели, на зонной пластинке, которыми изобилуют учебники физики, лишены физического со-держания. Поясним это на примере объяснения теорией Френеля прямолиней-ности распространения света [7]: «Длина световой волны весьма мала. Поэто-му даже для расстояний порядка 1 м площадь действующей части волны мень-ше 1 мм2. Следовательно, распространение света от А к В действительно происходит так, как если бы световой поток шел внутри очень узкого канала вдоль прямой АВ, т.е. прямолинейно». Однако, сравнение интенсивностей све-та в точке В при отсутствии препятствий и при прохождении через малое от-верстие, даже при равенстве интенсивностей, не правомерно, потому что кроме интенсивности есть и другие важные характеристики: фаза волны, направления распространения, которые не одинаковы в сравниваемых случаях.

Заканчивая обсуждение, особо подчеркнем, что зонная пластинка не до-казывает реальность вторичных волн в принципе Гюйгенса — Френеля. Если такую пластинку поставить на пути света, то в точку наблюдения станет при-ходить реальный свет, дифрагирующий вблизи границ непрозрачных участ-ков зонной пластинки, причем по рецепту Френеля при расчете интенсивно-сти эти реальные пути находить не надо. Именно в этом ценность метода Френеля, а не в чем-либо ином. Если же зонную пластику убрать, то, по Фре-нелю, свет от четного числа зон компенсируется вследствие интерференции, в то время как на самом деле от элементарных источников в точку наблюде-ния просто ничего не идет, и это можно подтвердить экспериментом.

Внутренняя симметрия дифракции. Традиционно дифракцию Фраунго-фера рассматривают отдельно от дифракции Френеля и считают ее частным случаем. Традиция эта имеет историческое происхождение. Было время, ко-гда исследовалось дифракционное волновое поле лишь по отдельным его ха-рактеристикам, прежде всего по интенсивности, т.е. некомплексно. Приняв концепцию локальности явления дифракции, надо также принять, что про-дифрагировав, световые лучи распространяются в дальнейшем прямолиней-но, а видоизменение дифракционных картин, в том числе и переход от фре-нелевых картин к фраунгоферовой, обусловлено лишь пространственным пе-рераспределением уже продифрагировавших лучей и не сопровождается ка-кими-либо реальными физическими процессами. С этой точки зрения надо классифицировать не виды дифракции света, а виды дифракционных картин, в то время как собственно дифракция света во всех случаях одна и та же и не зависит, например, от расстояния, на котором наблюдается дифракционная картина (ДК). Поэтому за основу дальнейшего рассмотрения примем, как наиболее простую, дифракцию Фраунгофера, для которой теорема Бабине, которой мы будем пользоваться, формулируется наиболее просто.

Обратим внимание на известный из эксперимента [3], но почему-то ни-кем не отмеченный факт. Обычно симметрию ДК связывают с симметрией границы препятствия: круглое отверстие порождает ДК с осевой симметрией и т.д. Однако дифракция света обладает особой внутренней симметрией.

100

Э.С. Попов ______________________________________________________________________________________________________________ Примером может служить ДК фраунгоферового типа от отверстия в форме правильного треугольника, которая имеет вид шестилучевой звезды [3]. Та-кие ДК носят название «световые веера». В данном случае отверстие с осью симметрии третьего порядка порождает ДК с осью симметрии шестого по-рядка. Легко догадаться, что каждая сторона треугольника порождает ДК в виде двух лучей, расположенных симметрично относительно общего центра вдоль одной прямой, перпендикулярной границе препятствия. Таковы из-вестные опытные факты.

Существование внутренней симметрии дифракции света на прямой гра-нице полуплоскости легко вывести как следствие из теоремы Бабине. Дейст-вительно, фраунгоферовы ДК от полуплоскости и от дополнительной полу-плоскости по теореме Бабине должны совпадать, но это возможно лишь в случае симметрии фраунгоферовой ДК от полуплоскости. Указанная симмет-рия однозначно определяет поведение света при дифракции вблизи прямого края полуплоскости: луч света (точнее, световая трубка) вблизи границы пре-пятствия разделяется на два луча, один из которых идет в ОГТ, а другой — в ОПС. При этом углы дифракции этих лучей равны по модулю, а энергия луча делится на две равные части. При нормальном падении световой волны оба дифрагированных луча и луч падающий лежат в одной плоскости, перпенди-кулярной границе полуплоскости.

Внутренняя симметрия дифракции наиболее просто демонстрируется в опыте с лазерным лучом: достаточно ввести в луч лазера лезвие бритвы и можно наблюдать на экране ДК в виде симметричной дорожки с монотонным убыванием интенсивности по мере удаления от центральной точки без каких-либо признаков интерференции (рис. 1).

Рис. 1. Фотография опыта получения дифракции от прямого края полуплоско-сти. Лазерный свет λ = 630 нм, лезвие бритвы на расстоянии до экрана 1 м, углы дифракции 30°

Фазовые соотношения при раздвоении луча. Связь интенсив-ности света I с амплитудой свето-вой волны А имеет вид I ~ А2, что накладывает дополнительные ог-раничения на фазы световых коле-баний в падающем луче I0 и в лу-чах I+ = I– = I0/2 (I0 — интенсив-ность падающего света; далее для краткости буквой будут обозна-чаться и луч, и соответствующая физическая величина), идущих после дифракции в ОПС и ОГТ соответственно. По модулю А+ = =А– = (1/ 2 )А0, но в сумме они дадут А0, только если учесть до-

полнительные фазовые сдвиги. Амплитуды 0AAArrr

=+ −+ на векторной диа-грамме образуют прямоугольный равнобедренный треугольник, как это пока-зано на рис. 2. Как видим, фаза световых колебаний в дифрагированных лу-чах отличается от фазы луча падающего на ± π/4.

101

______________________________________________________________________________________________________________

Рис. 2. Векторная диаграмма, поясняющая возникновение до-полнительных фазовых сдвигов световых колебаний при раздвое-нии луча света

Существование дополнительного фа-зового сдвига –π/4 при дифракции волн в ОГТ было известно ранее [5]. Появляется оно и в решении Зоммерфельда [3], однако сам Зоммерфельд считал его фиктивным. Сдвиг фазы в сторону опережения для лу-ча, идущего в ОПС, по-видимому, впервые обоснован в настоящей работе. Возможно, он также содержится в решении Зоммер-фельда, но из-за математических сложно-стей этот факт достоверно не установлен.

Отставание фазы при дифракции волны в ОГТ на π /4 в [8] объясняется тем, что граница оказывает на дифрагирующую волну задерживающее действие. Тем не менее, создается впечатление, что возникновение дополнительных фазовых сдвигов ±π/4 при разделении света на равные части (в том числе и на полупрозрачном зеркале) имеет общий характер и не связано с конкретным физическим механизмом такого деления.

Вывод зависимости угла дифракции от прицельного параметра θ(ρ). Решение Зоммерфельда настолько является сложным, что аналитически оно так и не исследовано в полном объеме. Оно содержит больше информации, чем из него получено. Так теория ЮРВ, которая как бы следует из решения Зоммерфельда, на самом деле использует одно из асимптотических выраже-ний, не являющееся строгим на самой границе полуплоскости и на ГГТ. Од-нако Браунбек и Лаукиен ([4], с. 547, ссылка 23) исследовали решение Зом-мерфельда в окрестности границы численным методом и построили картины линий: а) равных амплитуд; б) равных фаз и в) среднего потока энергии вол-нового поля. Третья картина воспроизведена на рис. 3.

Рис. 3. Картина линий среднего потока энер-гии при дифракции плоской электромагнитной волны на прямом крае полуплоскости. Нормальное падение плоской монохроматической волны с дли-ной волны λ [4]

Хотя на рис. 3 не видно раздвоения лучей, но харак-тер дифракции хорошо выяв-лен: свет входит в ОГТ и да-лее распространяется вдоль прямых линий, которые мож-но считать лучами. Если эти лучи продолжить в обратном направлении, то окажется, что их продолжения не схо-дятся ни на границе полу-плоскости, ни в какой-либо другой точке. Дифрагируемая в ОГТ волна, будучи по ха-рактеру цилиндрической, не имеет определенной оси. Се-мейство таких лучей (пря-мых) имеет общую огибаю-щую — мнимую дифракци-онную каустику. Ниже будет

102

Э.С. Попов ______________________________________________________________________________________________________________ показано, что уравнение этой каустики — парабола. Продолжение каждого луча пересекает плоскость препятствия в некоторой точке, удаленной от границы на расстояние ρ (прицельный параметр). Введем обычным образом угол дифрак-ции θ, и обработаем лучи рис. 3, идущие в ОГТ, с целью выявления зависи-мости θ(ρ). Таким способом из решения Зоммерфельда получается зависи-мость:

ρθ ≈ λ/8 (1)

при погрешности не более 10 %. Конечно, точный ход лучей вблизи грани-цы неизвестен (не известно, существуют ли сами лучи). Однако для даль-нейшего используем малоугловое приближение и примем для не очень больших углов дифракции sinθ ≈ tgθ ≈ θ (θ < 0,1 рад.), что каждый луч па-дающего света, дойдя до плоскости препятствия, разделяется на два луча, как это показано на рис. 4.

Соотношение вида (1) полу-чается как следствие теоремы Ба-бине, согласно которой при ра-венстве интенсивностей для дан-ного угла дифракции на дополни-тельных экранах амплитуды све-товых колебаний равны, но сами колебания имеют разность фаз π радиан. На рис. 5 показаны ди-фрагированные на угол θ лучи для дополнительных экранов (к полу-плоскости дополнительным экра-ном служит полуплоскость).

Учет всех фазовых сдвигов дает уравнение ϕ1 – ϕ2 – 2π∆/λ = π, или после подстановок ωt + π/4 – (ωt – π/4 – 2ρθ2π/λ) = π, и оконча-тельно

ρθ = λ/8. (2)

Рис. 4. Схема разделения падающего луча I0 на два луча I+ и I– при ДС на прямом крае полуплоскости. Обозначения: Пр — препятствие (полуплоскость); ОПС — область прямого света; ОГТ — область геометрической тени; ГГТ — граница геометрической тени; ρ — прицельный параметр; θ=θ=θ −+ — угол ди-фракции. Около лучей указаны фазы в точке раз-деления D

а б

Рис. 5. Дифракция света на угол θ на дополнительных экранах: а — луч дифраги-рует в ОПС; б — луч дифрагирует в ОГТ; ∆ = 2ρsinθ ≈ 2ρθ — геометрическая разность хода сравниваемых лучей

103

______________________________________________________________________________________________________________

Формула (2) описывает поведение света при прохождении его вблизи края препятствия. Этот результат получен впервые и согласуется со следст-вием (1) из решения Зоммерфельда. Формула (2) выводилась с учетом суще-ствования двух дифрагированных лучей I– и I+ при условии −+ θ=θ , поэто-му схема дифракции света по рис. 4 представляется если и не строгой, то, по крайней мере, правильно отражающей суть происходящего. Обобщение (2) на углы дифракции 0 < θ < π будет дано ниже.

Следствия из формулы ρθ = λ/8. В [3] при обсуждении дифракции в ОГТ отмечается, что дифрагированная волна имеет вид цилиндрической волны, и что это подтверждено непосредственно экспериментом. Однако по формуле (2) при θ = 0,1 рад. ≈ 6о ρ ≈ 1,2λ, а при больших углах ρ еще меньше. Эта оценка ясно показывает, что в грубых опытах, подобных упомянутым в [3], отличие положения истинного центра волны от положения границы полу-плоскости не могло быть замечено. Далее будет показано, что это, казалось бы, несущественное отличие играет решающую роль при малых углах ДС, точнее, вблизи ГГТ. Оно позволяет легко вывести формулу интенсивности в ОГТ, включая ГГТ. Строго говоря, формула (2) (или ее обобщение на все уг-лы дифракции) уже содержит всю необходимую информацию для количест-венного описания явления ДС. Например, для задачи Зоммерфельда (плоская монохроматическая волна нормально падает на полуплоскость) из (2) нахо-дим угловое распределение дифрагированного света для фраунгоферова слу-чая. Находим полный дифференциал (2) θdρ + ρdθ = 0, откуда dρ/dθ = – ρ/θ, или, с учетом (2),

dρ/dθ = – 8ρ2/λ = – λ/8θ2. (3)

Формула (3), называемая обычно дифференциальным сечением рассея-ния, дает известный результат: количество света, дифрагированного в еди-ничный телесный угол, обратно пропорционально квадрату угла дифракции.

Для френелевой дифракции также просто получить выражение интен-сивности света, дифрагирующего в ОГТ, потому что в ОГТ в каждую точку наблюдения приходит только один луч, и, следовательно, интерференция света отсутствует. Взяв за основу рис. 4, введем систему координат, как это показано на рис. 6.

Рис. 6. К выводу уравнения каустики и

формулы I(x; y) в ОГТ (задача Зоммерфельда для полуплоскости). Дано сечение простран-ственной картины плоскостью чертежа

Запишем уравнение луча I–, идущего через точку (0; ρ) в ОГТ: y = ρ – θx (малоугловое прибли-жение). Подставив из (2) значе-ние θ, получим

y = ρ – λx/(8ρ). (4)

Каждому значению ρ соответ-ствует своя прямая (4) так, что мы имеем семейство прямых, про-должения которых против на-правления распространения света касаются некоторой кривой — огибающей семейства. В оптике

104

Э.С. Попов ______________________________________________________________________________________________________________ такие кривые известны как каустики, так что в данном случае мы имеем де-ло с мнимой дифракционной каустикой, которая «излучает» свет в ОГТ и видна в виде тонкой яркой линии, если смотреть на ГГТ из ОГТ. Это та са-мая светящаяся линия, которую впервые видел и описал Гримальди, а впо-следствии Юнг.

Пусть точка (хк; ук) прямой (4) принадлежит каустике, так что yк=ρ–λxк/(8ρ). Полагая хк и ук постоянными, а ρ переменной, продифференцируем по ρ: 0 = 1 + λxк/(8ρ2). Далее имеем xк = – 8ρ2/λ и yк = 2ρ. Исключая ρ, получа-ем уравнение каустики

yк= 2/кxλ− . (5а)

Мнимая дифракционная каустика (5) представляет собой параболу с вершиной в начале координат, уходящую влево, как показано на рис. 6 (жир-ный пунктир). Лучи I+, идущие в ОПС, также касаются некоторой каустики, теперь действительной, с уравнением

yк = 2/кxλ . (5б)

Отметим, что положения точек этой каустики приблизительно соответ-ствуют положению первого интерференционного максимума в ОПС. Итак, дифрагированная волна действительно имеет характер цилиндрической вол-ны, но «излучаемой» не самой границей полуплоскости, а каустикой, т.е. она не имеет постоянного центра. Для дальнейшего получим выражение ρ для луча, идущего в точку наблюдения (х; у) в ОГТ. Из (4) находим ρ1,2 = (y ±

± 2/2 xy λ+ )/2, а поскольку ρ > 0, выбираем первый корень

ρ(x; y) = (y + 2/2 xy λ+ ) / 2. (6)

Формула (6) показывает, что в ОГТ в точку наблюдения (х; у) приходит единственный луч от вполне определенной точки (0; ρ) «опорной» поверхно-сти х = 0. Это и есть стационарная точка для рассматриваемого луча, в то время как по традиционной формулировке принципа Ферма этот луч должен приходить в точку наблюдения от границы препятствия. Примечательно, что по (2) определен и угол дифракции θ=θ− луча, идущего в точку наблюде-ния (x; y)

θ(x; y) = (λ/4)/(y + 2/2 xy λ+ ). (7)

Напомним что формулы (6) и (7) получены для ОГТ, x > 0, y ≤ 0. Знание хода луча I– имеет принципиальное значение: здесь впервые мы имеем ситуа-цию, когда принцип Ферма оказывается неверным. Этим объясняется неспо-собность традиционной геометрической оптики описывать явление дифрак-ции света. Ввиду замечания [1] о двух способах описания процесса распро-странения света, такое положение вещей представлялось, по меньшей мере, странным. Теперь все ясно: с уточнением формулировки принципа Ферма введением в него прицельного расстояния становится возможным описание явления дифракции света средствами геометрической оптики (но не интерфе-ренции света, это особый вопрос).

105

______________________________________________________________________________________________________________

Вывод формулы интесивности дифрагирующего в ОГТ света. Посколь-ку в ОГТ при дифракции на полуплоскости явление интерференции света от-сутствует, то для расчета интенсивности достаточно применить законы фо-тометрии. Рис. 7 поясняет этот расчет.

Рис. 7. К выводу формулы интен-

сивности дифракции в ОГТ света I(х; у). Обозначения прежние

Если рассмотреть два близких луча, идущие в ОГТ через точки (0; ρ) и (0; ρ+dρ), то по принятой модели дифракции (отсутствие поперечной диффузии световой амплитуды) све-товой поток в лучевой трубке, образо-ванной выделенными лучами, сохра-няется. Так как при ДС падающий луч разделяется, то I–(0; ρ) = 0,5I0. В ци-линдрической волне с осью на каусти-

ке в точке К(хк; ук) интенсивность света убывает обратно пропорционально расстоянию от оси волны, поэтому I(x; y) = I–(0; ρ)(dρ/dy), что при малых уг-лах дифракции равносильно I(x; y) = I–(0; ρ)(ρ/(2ρ – y). Делая подстановки и преобразования, получаем: I(x; y) = 0,5I0(1/(2 – y/ρ)) = 0,25I0(1/(1 – y/(y +

+ 2/2 xy λ+ )) = 0,25I0(1 + y / 2/2 xy λ+ ). Формула

I(x; y) = 0,25I0(1 + y / 2/2 xy λ+ ) (8) дает практически правильные значения интенсивности в ОГТ, в том числе и на ГГТ I(x; 0) = 0,25I0, предсказываемые теорией Френеля — Кирхгофа и под-тверждаемые экспериментом. Сравнение (8) с расчетом I(х; у) по теории Фре-неля — Кирхгофа (с помощью спирали Корню) показало, что (8) дает совпаде-ние в точке (х; 0) и при достаточном удалении от ГГТ (длина дуги спирали Корню от ГГТ ω > 2), в то время как непосредственно вблизи ГГТ имеются не-значительные (но не случайные!) расхождения. Причина этих расхождений коренится в самой принятой модели ДС (раздвоение луча вблизи границы пре-пятствия), которая представляется упрощенной. С учетом сделанного замеча-ния предложенная теория ДС заведомо лучше теории ЮРВ «краевой дифраги-рованной волны» и в сравнении с ней, несомненно, является шагом вперед. Эта теория впервые позволяет рассчитать углы дифракции и координаты стацио-нарных точек. Формула (8) в ОГТ в том числе и при достаточно больших углах дифракции дает предсказания, не отличающиеся от эксперимента более чем на 1 %, поэтому она вполне пригодна для практических целей.

Обобщение формулы (2) для прямой щели и дополнительного к щели экрана-полоски. Как отмечается в [6], для ДС на отверстии (щель — это тоже отверстие) за препятствием весь свет является дифрагированным. Вследствие теоремы Ба-бине на дополнительном экране-полоске не весь свет является дифрагирован-ным. Справедлива так называемая оптическая теорема, согласно которой на по-лоске дифрагирующего света столько же, сколько и на щели, т.е. полное сечение рассеяния света равно удвоенной геометрической площади препятствия. Други-ми словами, на дополнительных экранах свет дифрагирует в пределах одинако-вых площадей. Естественно предположить, что в случае препятствия площадь, где свет дифрагирует, примыкает к границе препятствия. Свет, идущий за преде-лами этой площади, не «замечает» препятствия и распространяется без отклоне-ния (без дифракции). Налицо отличие: за полуплоскостью недифрагированного

106

Э.С. Попов ______________________________________________________________________________________________________________ света нет (0 < ρ < ∞), а за полоской — есть. При ширине полоски d = 2r при ρ > r дифракции нет. Если же ρ → 0, то влиянием противоположной границы полоски можно пренебречь, и искомая формула переходит в (2). Не делая строгого выво-да, правдоподобную формулу для полоски (а значит и для щели) можно полу-чить посредством некоторого отображения (2) на промежуток 0 < ρ < r так, что-бы при ρ → r θ → 0, а при ρ→0 искомая формула бы переходила в (2). Такое отображение может быть осуществлено несколькими способами, простейший из которых (он подходит для полоски) мы рассмотрим. Рис. 8. поясняет схему, пе-реводящую (2) в формулу для полоски. Здесь учтено, что формула для полоски, кроме θ, содержит также полуширину полоски r.

Итак, из ∆DD1Е следует r2 = ∆r2 + ρ12, из подобия ∆DD1E и ∆DOF ∆r/r =

=ρ1/ρ, откуда ∆r = rρ1/ρ. Далее r2 = (rρ1/ρ)2+ρ12, откуда (ρr)2 = (ρ1r)2 + (ρρ1)2.

Выразив ρ = ρ1/ r/(1 1ρ− )2, подставим в (2), опустим индекс, и получим:

θ(ρ, r) = (λ/8ρ) 2)/(1 rρ− . (9)

Рис. 8. Пояснение к отображению ρ(θ) ↔ ρ(θ; r) формулы (2) в формулу для по-

лоски. Полоска ВD лежит в горизонтальной плоскости, средняя линия полоски С ⊥ плоскости чертежа. АВ = ВС = СD = DЕ = r — полуширина полоски. Начало коорди-нат в точке (r; 0) ставит в соответствие точки оси у(–∞; ∞) в полосу (С; Е), причем открытая полуплоскость отображается в отрезок DЕ, закрытая (экран) — в (СD). D1E ⎜⎜OF, ∆DD1E ∼ ∆DOF, D1D = ∆r. F(0; ρ) → G1(x1; ρ1) → G(0; ρ1) — путь отобра-жения ρ(θ) → ρ1(θ; r)

По теореме Бабине формула (9) справедлива и для щели полуширины r, если ρ отсчитывать от края внутрь щели. Формула (9) подтверждается экспе-риментом: две волны (два луча) дифрагируют от границ полоски и в ОГТ да-ют систему интерференционных максимумов и минимумов в виде прямых, идущих вдоль полоски, причем ширина интерференционной полосы (рас-стояние между соседними максимумами или соседними минимумами)

В ≈ λx/d ≈ λx /2r (10) и почти такая же, как в интерференционном опыте Юнга с двумя щелями. Различие в том, что дифрагированные в ОГТ волны «испущены» не краями полоски (или щели), а участками дифракционных каустик, так что дейст-вующее расстояние между «источниками» не 2r, а 2(r+ρ). Экспериментальное наблюдение интерференционной картины от полоски показывает, что при достаточно больших расстояниях позади полоски, когда θ → 0, ρ → r, шири-на между двумя оставшимися в ОГТ минимумами стремится к В = λх/4r, в

107

______________________________________________________________________________________________________________

отличие от (10), по которой В → λх/2r. Этот опыт убедительно свидетельст-вует в пользу реалистичности предлагаемой модели дифракции света. При-мечательно, что в случае плоской волны дифрагированный свет быстро (θ≠0!) выходит за пределы «цилиндра», отграничивающего части пространст-ва, не затрагиваемые дифракцией (на рис.8 это слой, ограниченный плоско-стями, перпендикулярными оси у и проходящими через точки А и Е), интер-ферирует с прямым светом, теперь уже без кавычек, и искажает простую ИК, возникающую при дифракции света. В экспериментах это неоднократно на-блюдалось многими авторами. Например, в [4] есть такие свидетельства, но эффекты не обсуждаются, хотя они воспроизводятся при расчетах по теории Френеля — Кирхгофа. В эксперименте с лазерным светом [9] эти эффекты оказались настолько яркими, что они привели автора в восторг. Еще один пример из [5, с. 674], где приведены фотографии ДС на круглом отверстии, на которых видна некоторая «нерегулярность» картины дифракционных колец. Одна из причин — это неточная установка на целое число зон Френеля, от-крытых на отверстии. Вторая — наложение ДК, образованной «краевыми» волнами. Чем лучше ставится опыт, тем отчетливее заметны подобные нере-гулярности.

Модернизация формулы (2). Формула (2) хорошо описывает явление ДС в задаче Зоммерфельда при углах дифракции, меньших 0,1 рад, но погреш-ность описания быстро возрастает при больших углах дифракции, когда ρ → 0. Дело в том, что схема дифракции лучей по рис. 4 упрощена, так как луч I– после прохождения точки D приближается к границе препятствия на расстояние, меньшее ρ. Ниже показано, как улучшить (2), чтобы обеспечива-лось «правильное» поведение этой формулы при всех возможных углах ди-фракции π > θ > 0, которым должны соответствовать граничные значения прицельного параметра 0 < ρ < ∞. На рис. 9 показан более реалистичный ход лучей, «симметризующий» ситуацию и приводящий к более правильному выражению θ(ρ).

Рис. 9. Пояснение к модернизации фор-мулы (2). В отличие от схемы рис. 3, разделе-ние на лучи I+ и I– происходит не в одной точке, а «поэтапно» в точке А и точке В, рас-положенных симметрично относительно плоскости препятствия Пр. Теперь луч I– по-сле дифракции проходит не ближе расстоя-ния ρ от границы (точка О)

Из ∆ОАВ находим, что рас-стояние АВ = 2ρtg(θ/2), но в приближении, принятом при выводе (2), оно было равно АВ ≈ ρθ, что и позволяет сразу записать

2ρtg(θ/2) = λ/8. (11) Это и принято в качестве

более правильного выражения для ДС вместо (2), так как (11) условию 0 < ρ < ∞ ставит в со-ответствие π > θ > 0. При малых θ (11) переходит в (2). Все ранее полученные из (2) формулы легко уточнить с учетом (11), но это уже не принципиально.

Заключение и выводы. Предпринятая попытка лучевого описания ДС (но не интерференции) привела к необходимости нахождения стационарных то-

108

Э.С. Попов ______________________________________________________________________________________________________________ чек и стационарных траекторий и уточнению принципа Ферма при прохож-дении света вблизи границ препятствий. Исключение из теории фиктивных понятий и величин позволило существенно упростить описание явления ди-фракции: основные формулы (2), (6), (7), (8) и (11) получены из модельных представлений элементарными средствами, просты по математической структуре и легко ассоциируются с элементами физической реальности. Рас-смотрение дифракции с помощью реальных лучей позволило не только рас-считать интенсивности, но так же корректно ввести углы дифракции для лю-бых ДК, в том числе и для френелевых. Предлагаемая теория, дополненная элементарной теорией интерференции реальных волн (лучей), позволяет лег-ко объяснить многие ранее наблюдавшиеся в опытах эффекты, обсуждение которых в теории Френеля — Кирхгофа затруднительно, хотя при численном определении из этой теории все эффекты подтверждаются. Из предложенной теории получены некоторые новые предсказания, не согласующиеся с приня-тыми представлениями [3]. В частности, предсказывается, что в плоской вол-не за препятствием конечных размеров образуется область своеобразной по-лутени с пониженной интенсивностью, своего рода «дырка», которая не за-полняется светом до значения интенсивности падающего света при сколь угодно больших расстояниях. Экспериментальное обнаружение такого явле-ния явилось бы подтверждением данной теории.

Таким образом, в настоящей работе получены следующие результаты: 1) выявлена особая внутренняя симметрия явления дифракции света; 2) пока-зано, что описанная Гаримальди и Юнгом яркая тонкая линия вдоль границы препятствия, видимая из области геометрической тени, не совпадает с грани-цей препятствия, а удалена от нее на некоторое расстояние (прицельное рас-стояние), зависящее от угла дифракции. Введение прицельного расстояния уточнило принцип Ферма геометрической оптики; 3) предложена лучевая локальная теория дифракции света, альтернативная теории краевой дифраги-рованной волны; 4) из предложенной модели получено: а) зависимость угла дифракции света от прицельного расстояния для полуплоскости; б) формула дифференциального сечения дифракционного рассеяния; в) формула коорди-нат стационарной точки для луча, идущего в точку наблюдения; г) формула угла дифракции; д) формула интенсивности дифрагированного в область геометрической тени света; 5) дано обобщение формулы для полуплоскости на случай прямой щели и экрана-полоски; 6) предложена формула для всех возможных углов дифракции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Арнольд В.И. Математические основы классической механики. М. : Наука, 1974. 432 с. 2. Перкальскис Б.Ш. Две демонстрации по курсу физики / Б.Ш. Перкальскис, Г.Н. Соти-

риади // УФН. 1977. Т. 121. Вып. 1. С. 169—170. 3. Зоммерфельд А. Оптика. М. : ИЛ, 1953. 486 с. 4. Борн М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. М. : Наука, 1973. 720 с. 5. Физическая энциклопедия. М. : Советская Энциклопедия, 1988. Т. 1. С. 676. 6. Ландау Л.Д. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М. : Гос. изд. физ.-мат. лит.,

1960. 400 с. 7. Ландсберг Г.С. Оптика. М. : Наука, 1976. 8. Физический энциклопедический словарь. М. : Советская Энциклопедия, 1960. Т. 1. С. 608. 9. Митин В.И. Принцип Бабине в теории дифракции : экспериментальные исследования

// Физическое образование в вузах. 2004. Т. 10. № 1. С. 29—38. © Попов Э.С., 2006

109