ВВ ЕЕ СС ТТ НН ИИ КК ПП ЕЕ РР ММ СС КК ОО ГГ ОО УУ НН ИИ ВВ ЕЕ РР СС ИИ ТТ ЕЕ ТТ АА 2014 Математика. Механика. Информатика Вып. 3(26)

16

УДК 537.2

Задача электростатики о взаимодействии заряженных шаров на близких расстояниях

Е. Л. Тарунин Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 (342) 239-64-09

Известно, что сила взаимодействия заряженных проводников на близких расстояниях су-щественно отличается от закона Кулона для точечных зарядов, размещенных в центре ша-ров. Это отличие для проводящих сфер было подробно исследовано в работах [1–3], для тел цилиндрической формы – в [5]. В работах [1–3] расчеты были выполнены с использованием емкостных коэффициентов, вычисляемых с помощью бесконечных рядов [4]. В [5] вычис-ления были проведены на основе решения методом сеток задачи Дирихле для потенциала электростатического поля. В работе [6] для вычисления сил взаимодействия использовано решение уравнения Лапласа в бисферических координатах. В данном исследовании расче-ты выполнены для проводящих сфер, как и в [1–3], но с использованием вычисляемого по-тенциала электростатического поля. Они показали как соответствие с результатами работ [1–3], так и отличия.

Ключевые слова: электростатика; уравнение Лапласа; потенциал электростатического поля; взаимодействие заряженных тел на близких расстояниях.

1. Постановка задачи Варианту алгоритма, результаты кото-

рого будут обсуждаться в этой статье, пред-шествовали два варианта. В итоге от них пришлось отказаться. Все же кратко упомя-нем их.

В первом варианте счет выполнялся с использованием уравнения Лапласа, записан-ного в цилиндрических и сферических коор-динатах. Сферические координаты использо-вались для счета вблизи обеих сфер. Соответ-ствующие области перекрывались, и для ор-ганизации счета требовалось согласование значений на их границах. От этого варианта пришлось отказаться, так как было обнаруже-ны затруднения в выборе областей при малых расстояниях между шарами, особенно для сфер с различными радиусами.

Во втором варианте основной счет вы-полнялся с использованием уравнения Лапла-са, записанного в цилиндрической системе координат. Для облегчения обработки резуль- © Тарунин Е. Л., 2014

татов решения вблизи сфер использовались сферические координаты. Для получения гра-ничных значений для внешних радиусов сфер была применена процедура интерполяции, не-избежно вносящая погрешность. Поэтому бы-ло решено вести счет во всей области, приме-няя уравнение Лапласа в цилиндрической сис-теме координат. При этом возникают сложно-сти счета в нестандартных узлах вблизи сфер. И все же этот вариант расчета, обсуждаемый ниже, признан наиболее оправданным.

Геометрия расчетной области изобра-жена на рис. 1. Расчеты выполнялись с учетом осевой симметрии. Поэтому на рисунке изо-бражена лишь половина области.

Рис. 1. Геометрия расчетной области

Задача электростатики о взаимодействие заряженных шаров …

17

Параметрами задачи являются расстоя-ние между центрами сфер L=x2 - x1, радиусы сфер R1, R2 и заряды на сферах Q1, Q2. Расчеты выполнялись в безразмерных переменных, в качестве единицы расстояния был выбран ра-диус первого шара R1 =1 (полагалось, что

2 1R R ). Постановка задачи предполагает, что взаимодействующие заряды изолированы. Положение внешней границы, на которой за-давалось нулевое значение потенциала, опре-делялось параметром метода ׃10<

x1= AO1= +R2, O2C= +R2, АB=CD= +R2. (1.1)

Уравнение Лапласа для потенциала в цилиндрических координатах ,x r с учетом симметрии имело вид

2

21 ( ) 0rr r r x

. (1.2)

В стандартных узлах уравнение аппрок-симировалось на квадратной сетке

hxr . Соответствующая система урав-нений решалась итерационным методом. Осо-бая аппроксимация уравнения (1.2) использо-валась на оси и в узлах с нестандартными шаб-лонами вблизи шаров. Описание этих аппрок-симаций дано при описании метода.

При заданных значениях потенциалов на сферах Vs1 и Vs2 из решения задачи Ди-рихле находилось распределение потенциала. При равных значениях потенциалов на сферах Vs2=Vs1 решалась задача о взаимодействии одноименных зарядов. Задание Vs2=-Vs1 приводило к задаче о взаимодействии разно-именных зарядов.

По вычисленным значениям потенциа-лов находились различные характеристики решения: сила электростатического взаимо-действия F, зависимость радиальной компо-ненты поля на сферах Er от полярного угла , отношение максимальной радиальной компоненты поля на сфере к минимальной компоненте kE1 и другие.

Основной характеристикой решения яв-лялось отношение вычисленной силы к силе взаимодействия по закону Кулона

0 /kf F F . Величина kf показывает от-клонение силы взаимодействия от закона Ку-лона для точечных зарядов (при 1kf сила взаимодействия меньше F0, а при 1kf больше).

Постановка задачи позволяла также оп-ределить электроемкость шаров. Согласно электростатике [9] в системе проводников за-ряды на проводниках связаны с потенциалами на них соотношением

,i i j jj

q c . (1.3)

Здесь ,i ic – коэффициенты емкости i-го тела,

а ,i jc – коэффициент электростатической ин-дукции между телами с индексами i,j (этот коэффициент определяет величину заряда qi, когда потенциал j-го тела равен j , а все ос-тальные проводники заземлены). Для коэф-фициентов в формуле (1.3) выполняются со-отношения

, 0, i ic , , 0i j j ic c при i j (1.4)

В случае двух проводников уравнения (1.3) имеют вид

1 1,1 1 1,2 2 ,q c c

2 2,1 1 2,2 2.q c c (1.5)

Коэффициенты в этих формулах зависят от радиусов сфер и от расстояния между сфе-рами. При равенстве радиусов (именно этот случай рассматривается в статье) 1,1 2,2c c .

При задании равных потенциалов 2 1 реализуется вариант отталкивания одноимен-ных зарядов, а при 2 1 – вариант притя-жения зарядов разного знака. В общем случае произвольных значений потенциалов реализу-ется вариант с любым отношением зарядов

1.1 1,2 2 11 2

1,2 2,2 2 1

( / )/ .

( / )c c

q qc c

(1.6)

Решение сформулированной задачи с потенциалами 1 21, 0 и вычисление зарядов позволяют из формул (1.5) опреде-лить коэффициенты

1,1 1 1,2 2, c .c q q (1.7)

Вычислительные эксперименты позво-лили выяснить, что при стремлении расстоя-ния между сферами к бесконечности значения

2 1,2, q c стремятся (как и положено) к нулю, а

Е. Л. Тарунин

18

значения 1 1,1, q c в выбранных единицах из-мерения – к 4 (при L=6, например, отличие

1 1,1, q c от 4 составляет 8%). Вычисленные коэффициенты позволяют найти отношение зарядов

1,1 1.2

1,1 1,2

/ 1.c c

q qc c

(1.8)

Здесь q соответствует случаю одно-

именных зарядов ( 1 2 1 ), а q – разно-именных ( 1 2 1 ). При удалении заря-дов 1 , а 1,2 0c .

Основными параметрами сетки служи-ли число интервалов на первом радиусе RN и параметр , определяющий внешний размер области (см. (1.1)). Максимальное значение индекса k равнялось NMR, а максимальное значение индекса m равнялось NM. Для хра-нения всех элементов массива для потенциала V[k,m] требовалось

n=RN2(L+2(R2+ ))(R2+ )

ячеек оперативной памяти. При типичных значениях параметров задачи и метода (L=3, RN=30, =24, R2=1) число элементов масси-ва для потенциала электростатического поля n более миллиона.

2. Метод решения

Аппроксимация уравнения Лапласа (1.2) на квадратной сетке

, k mr k h x m h в обозначениях школы А.А. Самарского [7] имела вид

,

1(( /2) ( /2) ) 0k r k r x xk

r h V r h V Vr

. (2.1)

Замена V сделана из методиче-ских соображений для отличия разностного решения от точного решения уравнения (1.2). После введения обозначений

1[ ] 0.25(1 0.5/ ), 2[ ] 0.25(1 0.5/ )B k k B k k (2.2)

уравнение (2.1) записывалось в виде, удобном для применения итерационного метода

[ , ] ( 1[ ] [ 1, ] 2[ ] [ 1, ][ , 1] [ , 1])/4.

V k m B k V k m B k V k mV k m V k m

(2.3)

Для сокращения объема вычислений значения компонент массивов В1 и В2 вычис-лялись один раз перед началом итераций.

Система уравнений для потенциала электростатического поля решалась методом последовательной верхней релаксации [7, 8]. Для узлов со стандартным шаблоном параметр верхней релаксации вычислялся по формуле, подобранной экспериментальным путем,

2 /(1 sin(0.9 / ))NMR . (2.4)

В этой формуле NMR – максимальное значение индекса k по радиусу.

Для узлов с нестандартным шаблоном вблизи сфер параметр релаксации равнялся 1 (или был чуть больше 1).

Первое слагаемое в уравнении Лапласа (1.2) на оси имеет устранимую неопределен-ность типа ноль деленный на ноль. Примене-ние к этому слагаемому правила Лопиталя позволяет выяснить, что

2

0 2

1lim ( ( )) 2( )r rr r r r

(2.5)

и использовать с учетом симметрии аппрок-симацию

21, 0,

2 2

4( )2( ) m mV V

r h

. (2.6)

Полная аппроксимация уравнения Лап-ласа на оси с учетом (2.6) приобретает вид

0, 1, 0, 1 0, 1)(4 ) / 6m m m mV V V V . (2.7)

Для сокращения общего числа итераций значения потенциала на оси 0,mV находились методом скалярной прогонки в предположе-нии, что значения 1,mV известны. Коэффици-

енты скалярной прогонки ,m mP Q вычисля-лись по рекуррентным формулам

m 1, 11

1 , Q (4 )6m m m m

m

P P V QP

(2.8)

Прогонки осуществлялись для трех уча-стков на оси (перед первой сферой, между сферами и после второй сферы) в предполо-жении, что значения потенциала на концах участков заданы.

Задача электростатики о взаимодействие заряженных шаров …

19

Рис. 2. Обозначения для узла с нестан-дартным шаблоном Выпишем конечно-разностную аппрок-

симацию уравнения Лапласа для нестандарт-ного шаблона, изображенного на рис. 2.

Для обозначения узлов использована географическая символика с заглавными бук-вами N,E,S,W (N – северный узел, W – запад-ный, E – восточный, S – южный; соответст-вующие маленькие буквы обозначают длину плеч в единицах стандартного шага h).

Для узлов, расположенных слева от сфер, w=1, а для узлов расположенных спра-ва, e=1. В использованных обозначениях ап-проксимация уравнения Лапласа имела вид

1(( /2) ( /2) )/(0.5( ))

1 ( ) 0.0.5( )

N P P Sk k

k

E P P W

V V V Vr h r s h h s hr h s h

V V V Ve h wh e h wh

(2.9)

Для использования итерационного мето-да это уравнение преобразовывалось так, что-бы можно было вычислять значение PV через четырех соседей. Длины плеч для нестандарт-ного узла с индексами ,k dm вычислялись по формулам (dm – номер индекса по горизонта-ли, отсчитываемый от центра сферы)

2 2 ,s k RN dm 2 2w dm RN k . (2.10)

Формулы приведены для узлов, распо-ложенных справа от первой сферы. Подобный вид имеют формулы для второй сферы и для узлов, расположенных слева от сфер.

Наличие нестандартных узлов отража-ется и на организации циклов по узлам со стандартным шаблоном. В программе вычис-лялись компоненты четырех векторов mk1[k], mk2[k], mk3[k], mk4[k], которые определяли значение индекса по горизонтали m с нестан-

дартным шаблоном, наиболее удаленным от поверхности соответствующей сферы. Первые два вектора относятся к первой сфере, а сле-дующие два – ко второй.

Итерации в стандартных узлах выпол-нялись с использованием подпрограммы с именем "CalcV" в общем случае для 5 облас-тей. Опишем границы этих областей, напом-нив, что RN – число интервалов на первом радиусе R1, RN2 – число интервалов на радиу-се R2, NMR – номер граничного узла по верти-кали, а NM – максимальный номер узла по горизонтали.

Первая область содержит узлы перед первой сферой, индекс k меняется в ней от 1 до RN, а индекс m – от 1 до mk1[k]-1.

Вторая область содержит узлы между сферами, индекс k меняется в ней от 1 до RN, а индекс m – от mk2[k]+1 до mk3[k]-1.

Третья область содержит узлы правее второй сферы, индекс k меняется в ней от 1 до RN2, а индекс m – от mk4[k]+1 до NM-1.

Четвертая область существует лишь при выполнении неравенства R2>R1, индекс k ме-няется в ней от RN+1 до RN2, а индекс m – от 1 до mk3[k]-1.

Пятая область является наибольшей по размеру, индекс k меняется в ней от RN2+1 до NMR-1, а индекс m – от 1 до NM-1.

Компоненты векторов mk1[k], mk2[k], mk3[k], mk4[k] вычислялись перед началом основного счета с помощью алгоритма, на-званного условно – "лесенка". В качестве примера опишем алгоритм вычисления ком-понент вектора mk2[k], предполагая, что нам известно значение mk2[k-1] (при k=1, напри-мер, mk2[1]=M1+RN, где M1 – индекс m для центра первой сферы). Алгоритм проще объ-яснять, используя вместо m значение dm[k], равное отклонению индекса от оси сферы. В цикле по k, начиная с k=1, проверяются усло-вия нестандартности узла. Величины плеч узлов пространственной сетки определятся в масштабе длины стандартного узла h. Полага-ется, что найдено значение dm[k], если одно из плеч узла менее 1, а для узла правее этого узла все плечи равны 1.

Для реализации алгоритма требуется вычислять расстояния от узла до поверхности сферы по горизонтали w и вертикали s. Фор-мулы для вычисления этих значений указаны выше (2.10). При обработке результатов тре-буется вычислять радиальную компоненту поля Er. Для нестандартного узла вблизи пер-

Е. Л. Тарунин

20

вого шара радиальная компонента поля вы-числяется по формулам

2 21 r, E ( [ , ] 1)/ .dr h k dm R V k m Vs dr (2.11)

Опишем используемую классификацию нестандартных узлов. Назовем узлы с индек-сами mk1[k], mk2[k], mk3[k], mk4[k] для за-данных значений k "граничными" нестандарт-ными узлами (присвоение этим узлам назва-ния граничных связано с тем, что рядом с ни-ми слева или справа находится узел со стан-дартным шаблоном).

Анализ показывает, что для некоторых значений k близких к k=RN есть нестандарт-ные узлы, которые расположены ближе к сфере. Такие узлы будем называть "близнеца-ми". Число близнецов при фиксированном k<RN может быть оценено по формуле, в ко-торой использована процедура вычисления целой части от вещественного числа:

max (2 1 2 1)dm trunc RN RN .(2.12)

При RN=20 max dm =2, а при RN=100 max dm =5. Напомним, что число близнецов указывается для узлов, расположенных с од-ной стороны сферы (общее число близнецов вдвое больше).

Наибольшее число близнецов при k=RN. Близнецы при k=RN выделены в от-дельную группу. Максимальное число близ-нецов при k=RN равно

1 ( 2 1 0.000001).p trunc RN (2.13)

Отсюда следует, что при RN=10 p1=4, а при RN=20 p1=6.

Перейдем к описанию основных блоков программы.

1. В первом блоке описываются исполь-зуемые переменные, подпрограммы и задают-ся значения параметров задачи и метода.

2. Во втором блоке вычисляются пара-метры нестандартных узлов: индексы гранич-ных нестандартных узлов dmk1[k], dmk2[k], показывающих удаление узла от оси сфер; длины плеч нестандартных узлов hwk1[k], hsk1[k] для первого шара и hwk2[k], hsk2[k] для второго; p1, p2 – число нестандартных узлов при k=RN и k=RN2 соответственно; kd1[k[, kd2[k] – число близнецов. Заметим, что часть массивов, упомянутых в этом блоке, относятся лишь к правой стороне сфер. Для левых половин соответствующие значения вычисляются из соображений симметрии.

3. В этом блоке задаются нулевые значения потенциала для узлов вне сфер и заданные зна-чения потенциала Vs1, Vs2 внутри сфер и на их поверхностях. Кроме того, задаются нулевые значения для счетчика полных итераций mfull=0. Полное число внешних итераций (цик-лов) обычно всегда было менее 200.

4. После сброса в ноль счетчика внутрен-них итераций m0 и значения невязки nev вы-полнялись итерации по внутренним узлам расчетной области. Вначале по одному разу вычислялись значения потенциала для узлов с нестандартными шаблонами в следующем порядке: 1) близнецы; 2) узлы при k=RN для первого шара и k=RN2 для второго шара; 3) счет в граничных нестандартных узлах для обоих шаров с использованием обращения к подпрограммам CaseLeft, CaseRight; 4) ска-лярные прогонки для трех участков на оси

0r . Далее осуществлялись итерации по всем узлам со стандартным шаблоном. Эта часть программы была наиболее трудоемкой. В ней использовалось обращение к подпро-грамме без параметров CalcV. Приведем текст этой подпрограммы на Паскале АВС.

Procedure CalcV; Begin 1: ( 1[ ] [ 1, ] 2[ ] [ 1, ][ , 1] [ , 1]) / 4 [ , ];[ , ] : [ , ] 1; abs(s1) >nev then nev:=abs(s1); end.

s B k V k m B k V k mV k m V k m V k mV k m V k m OM sif

Заметим, что величина невязки nev вы-числялась также в узлах с нестандартными шаблонами. При завершении 4-го блока счет-чик внешних итераций mfull увеличивался на 1 и выполнялось сравнение невязки с eps0=10-13. Возврат в начало 4-го блока происходил при одном из двух условий –

0 ,m NM nev>eps0. Первое условие эко-номило время счета, сокращая число итера-ций на первых внешних циклах. Без первого условия общее число внутренних итераций Smo возрастало примерно на 40%. Обычно до mfull40 число итераций m0=NM, а затем убывало до 1. Так, например, при

133, 10, 45, 10 L RN eps

зависимость числа внутренних итераций mo от числа внешних итераций mfull указана в таблице:

mfull 30 40 50 60 70 80 90 mo 1175 930 279 57 3 2 1

Задача электростатики о взаимодействие заряженных шаров …

21

Обычно значения mo выводились с ин-тервалом для внешних итераций, равном 10. Для интегрального анализа сходимости на печать выводились номера полных итераций m1, m2 (m1 соответствует номеру, при кото-ром впервые mo NM , m2 соответствует номеру, после которого все последующие mo=1). Так, например, при значениях L=3, =30, RN=24 полное число итераций Smo=73 424, а номера m1, m2 равны соответ-ственно 40 и 102. Полное число внутренних итераций Smo возрастало при увеличении числа интервалов на первом радиусе RN сильнее линейной зависимости (Smo 2.1RN ).

Для дополнительного контроля сходи-мости итерационного процесса через заданное значение числа полных итераций на экран компьютера выводилось значение суммы SSE:

2 1

0( ) 1[ ].

JN

jSSE mfull MEn j

(2.14)

Эта величина быстро стабилизирова-лась. Приведем в качестве примера изменения этой величины при L=3.5, =30, RN=24 через 2 шага. Относительная разница (SSE(4)-SSE(2))/SSE(2) была равна 8.98%, а после-дующие разницы составляли 1.31 и 0.74%. После 50 внешних итераций не изменялись первые 8 значащих цифр SSE.

5. В этом блоке выполняется обработка результатов решения. Для вычисления ради-альных компонент поля En1[j], En2[j] вначале вычисляются углы для узлов, ближайших к поверхности сфер Mb1[j], Mb2[j], и соответ-ствующие площади Mds1[j], Mds2[j] . По зна-чениям радиальных компонент поля находят-ся отношения максимальной компоненты по-ля к минимальной kE1, kE2. Затем вычисля-ются заряды на половинках сфер QR1, QR2, QL1, QL2 и силы взаимодействия f11, f12, f21, f22. В конце обработки результатов расчета на экране строится зависимость радиальной компоненты поля от полярного угла. Завер-шается программа построением изолиний.

3. Обработка результатов и вычис-ление интегральных характеристик

Опишем вначале используемые подпро-граммы. Итерации в стандартных узлах мето-дом ПВР осуществлялись с использованием п/п CalcV. При итерациях в нестандартных узлах около сфер использовались п/п

CaseLeft, CaseRight; параметр верхней релак-сации для узлов около сфер был близок к 1.

По вычисленным значениям потенциала V[k,m] находились следующие характеристи-ки решения: радиальные компоненты поля на сферах En1[j], En2[j], заряды на полусферах QL1, QR1, QL2, QR2, полные заряды на сфе-рах Q1=QL1+QR1, Q2=QL2+QR2, силы f11, f12,f21,f22, F1=f11+f12, F2=f21+f22. Значения En1[j], En2[j] позволяли вычислить как заря-ды на сферах, так и компоненты сил. Инте-гральными характеристиками зависимости En1[j] служили три величины – kE1 (перепад напряженности на сфере), SEn: (среднее зна-чение) и GladEn (характеристика гладкости):

1( ) max( 1[ ]) / min( 1[ ]),jj

kE j En j En j

1 1[ ].2 1 j

SEn En jJN

(3.1)

Характеристика гладкости была введена для того, чтобы сравнивать алгоритмы сгла-живания. В первых расчетах эффекты неглад-кой зависимости напряженности от полярного угла определялись по виду графического изо-бражения функции 1( ).En Позднее была вве-дена числовая характеристика GladEn. Для ее вычисления в цикле по индексу j от 2 до (2JN1-1) суммировались абсолютные значе-ния выхода En1[j] за пределы интервала от En1[j-1] до En1[j+1]. Затем в процентах вы-числялось окончательное значение

: 100 / /(2 1 1).GladEn GladEn SEn JN (3.2) Отметим, что эта величина не является

полноценной характеристикой гладкости, она дает сигнал лишь о явном (существенном) отклонении от гладкости. Эта величина равна нулю, например, при изменении функции в виде лесенки.

Для контроля по вычисленным значени-ям потенциала проверялась погрешность вы-полнимости теоремы Гаусса, согласно кото-рой должно быть выполнено равенство

1 2.S

En ds Q Q (3.3)

Относительное отклонение от выпол-нимости этого равенства оценивалось по формуле

100( 1 2 1 2) / 2/ 1,dG G G Q Q Q (3.4)

в которой G1, G2 – вычисленные значения потоков напряженности поля: G1 – поток че-

Е. Л. Тарунин

22

рез торцевые поверхности, G2 – поток через боковую поверхность рассматриваемого объ-ема. Эти потоки (интегралы) вычислялись по формуле трапеций с аппроксимацией нор-мальных компонент напряженности цен-тральными разностями на фиктивных грани-цах, удаленных от внешних границ на 20 уз-лов пространственной сетки. В типичных рас-четах выполнялось неравенство

2 3.5 1G G ; с ростом L и коэффициента это отношение увеличивалось. Величина dG зависит от погрешностей вычисления по-тенциала, потоков G1, G2 и зарядов Q1,Q2.

Вычислительные эксперименты позволи-ли выяснить, что основная погрешность dG обусловлена погрешностью вычисления ради-альных компонент напряженности поля на сфе-рах En1[j], En2[j]. Частично этот вывод под-тверждался негладкой зависимостью этих функций от полярного угла. Для уменьшения этого источника погрешности было испытано несколько вариантов аппроксимации En1[j], En2[j]. В итоге было выяснено, что наименьшая погрешность вычисления En1[j], En2[j] соот-ветствует варианту, в котором значения En1[j], En2[j] вычислялись на поверхности сфер, уда-ленных от поверхности шаров на расстояние ds=kh, которое немного больше шага простран-ственной сетки h (k>1). Значения потенциала на этих сферах вычислялись по аппроксимации значений потенциалов в ближайших точках стандартной ячейки. В плоскости r, x в слой с радиусами от R1 до (R1+kh) попадает около 2 k RN стандартных ячеек с шагом h.

Первые подробные вычисления с раз-личными значениями ds=k h были выпол-нены при 3, 10, 10.L RN Мини-мальное значение характеристики отклонения от гладкости GladEn =0.0678% было достиг-нуто при k=1.15 (при k=0 величина GladEn =0.979%, а при k=1 GladEn=0.117%).

Был испытан также вариант вычисления величин En1[j], En2[j] на трех радиусах

1 ( 0.025( 2)) (i=1,2,3)ir k i h

с последующим усреднением с равными ве-сами = 1/3. Характеристика гладкости при этом практически не изменилась. Была наде-жда, что этот способ уменьшит амплитуду колебаний kf при RN>24 (см. рис. 5). Эта на-дежда не оправдалась, так как полученные значения kf изменились менее чем на 0.0017%.

При вычислении потенциала на радиусе (R1 +kh) была использована коррекция по-грешности вычисления односторонней разно-стью величин En2[j], En2[j]. Эта коррекция осуществлялась умножением полученных значений En1[j], En2[j] на множитель

1 /ds R . Множитель вычислялся в предположении, что потенциал вблизи сфер близок к потенциалу для уединенной заряжен-ной сферы. Описываемая коррекция снизила ( 3, 10, 10L RN ) отклонение от вы-полнимости теоремы Гаусса до dG=0.21%, что примерно в 55 раз меньше dG без коррекции.

Вариант расчетов потенциала на радиу-се (R1+kh) позволил ликвидировать неглад-кость зависимостей En1[j], En2[j] и, самое главное, снизить почти на порядок показатель отклонения от выполнимости теоремы Гаусса (типичные значения dG стали менее одного процента для зарядов одного знака, симмет-рия решения задачи с зарядами разных знаков при Q1=-Q2 приводила к dG=0).

Опишем формулы вычисления углов, площадей, напряженности поля, зарядов и горизонтальной компоненты силы для правой половины первой сферы, полагая, что коор-динаты j-го узла равны k, dm. Аналогичные формулы используются для левых половин сфер первого и второго шара. Индекс j введен для нумерации нестандартных узлов, он из-меняется от нуля до 2*JN1 (JN1=RN+p1). При k<RN j=k, при k=RN учитываются нестан-дартные узлы для максимального значения k на сфере. Номер j=JN1 соответствует углу

/ 2 , а номер j=2*JN1 – углу . Значения полярного угла вычислялись по формуле

1[ ] ( / ).Mb j ArcTan k dm (3.5)

Полагая, что границы соответствующе-го элемента площади заключены между угла-ми b1,b2:

6.3,1115.02

,1115.01

jMbjMbbjMbjMbb

вычисляются соответствующие элементы площади (используется формула для шарово-го сегмента без площади основания)

21[ ] 2* * 1 (cos( 1) cos( 2)).Mds j R b b (3.7) Расстояние от j-го узла до поверхности

сферы 2 2 1drj h k dm R позволяет

Задача электростатики о взаимодействие заряженных шаров …

23

приближенно вычислить радиальную компо-ненту поля

1 [ , 2[ ]1[ ] .Vs V k mk jMEn jdrj

(3.8)

Характеристиками зависимости MEn1[j] являются среднее значение SEn и пе-репад напряженности kE1:

2* 1

0

1[ ]/(2* 1),JN

jSEn MEn j JN

1 max 1[ ]/ min 1[ ].kE MEn j MEn j (3.9)

По вычисленным значениям площадей и напряженности поля вычисляются заряды на элементах поверхности

1[ ] 1[ ]* 1[ ].Mdq j Mds j MEn j (3.10) Суммирование значений Mdq1[j] позво-

ляет вычислить заряды на обеих половинках первого шара слева Q1L и справа Q1R.

Горизонтальная компонента силы, дей-ствующая на правую половину шара, вычис-ляется по формуле

1

012 0.5 1[ ] 1[ ] cos( 1[ ]).

JN

jf Mdq j MEn j Mb j

(3.11)

Полная сила, действующая на первый шар, равна F1=f11+f12. Эта сила сравнивает-ся с силой, вычисляемой по закону Кулона

20 1 2/(4 )F Q Q L , с помощью коэффици-ента kf=F0/F. Значения kf>1 соответствуют ослаблению силы по сравнению с законом Кулона для точечных зарядов, а значения kf<1 – увеличению силы.

Часть формул, приведенных выше, от-носится к значениям номера j внутри соответ-ствующего интервала; при значениях j=0, j=JN1, j=2JN1 формулы корректируются. Также меняются формулы и в случае, когда значения напряженности поля вычисляются на фиксированном радиусе 1r R ds через равные интервалы по углу ,12/ JN

Кроме вычисления сил по формулам через значения нормальной компоненты поля в ряде случаев использовалось вычисление сил по значению производной от потенциаль-ной энергии /UF U L . Потенциальная энергия одного шара вычислялась по формуле

1 1U Q Vs . Расчеты при 3, 3 0.2 L по-зволили выяснить, что значение силы при

L=3, вычисленное обычным способом, отли-чается от

1 1(3.2) (2.8) 10.4U

Q QF Vs

на величину менее 0.01%. В попытках уточнения решения испы-

тывалось использование не нулевых значений потенциала на внешней границе, равных

1 2

1 1 2( ).4G

Vs VsVr r

(3.12)

В этой формуле 1r – расстояние от цен-

тра первого шара до границы, а 2r – расстоя-ние от центра второго шара до границы. Ис-пользование значений (3.12) на границе внешней области изменило коэффициент kf примерно на 0.03 % при RN=10 и на 0.006% при RN=16.

Малые изменения коэффициента kf бы-ли обнаружены и при использовании коррек-тировки граничных значений с помощью формулы экстраполяции

,0 ,1 ,22k k kV V V , которая следует из анализа поведения потен-циала у границы. Последняя формула написа-на для левой границы области (x=0). Анало-гичные формулы экстраполяции были ис-пользованы для других границ области.

Анализ графической зависимости ради-альной компоненты поля En от угла позво-лил обнаружить пульсации в зависимости

( )En . Была попытка сгладить эти пульса-ции, привлекая к вычислениям соседние зна-чения по формуле

( ) (1 ) ( ) ( ( 1) ( 1))En j En j En j En j

(3.13) в которой – весовой параметр, а индекс j нумерует значения элементов массива

( )En j . Наибольшее значение параметра =0.5 (при =0 нет усреднения).

Сглаживание (3.1) эффективно при еди-ничных пульсациях, а в целом нет, и поэтому от него пришлось отказаться.

4. Результаты решения Отметим, что более подробные данные

о результатах расчета содержатся в статье [10]. Здесь же в основном приведены данные, иллюстрирующие особенности решения.

Е. Л. Тарунин

24

На рис. 3 представлены изолинии по-тенциала для случая расстояния между цен-трами шаров L=3 при одинаковых радиусах шаров и одинаковых потенциалах. Шаг между изолиниями равнялся одной восьмой от мак-симального значения. Изображена не вся об-ласть решения (левый и правый край отстоят от центров шаров на расстоянии, равном трем радиусам). Поэтому в изображенную область не вошли две изотермы.

По картине изолиний отчетливо видна симметрия решения относительно середины области. Взаимодействие шаров ослабило на-пряженность поля в пространстве между ша-рами. Этот эффект более отчетливо заметен на зависимости радиальной компоненты поля от угла (см. рис. 4). На этом рисунке изобра-жена зависимость En( ) для левого шара. Видно, что при малых углах ( / 2) на-пряженность значительно меньше, чем при

/ 2 . Для сравнения на рисунке изображена

горизонтальная линия со значением напря-женности, равной напряженности для уеди-ненного шара V=Vs1/(R1+h).

Заметим, что изображенная зависимость в силу симметрии решения совпадает с зави-симостью En( ) для второго шара.

Рис. 3. Изолинии потенциала при L=3, R2=R1, Vs1=Vs2

Рис. 4. Радиальная компонента напряжен-ности поля

Массовым расчетам при произвольных значениях расстояния между шарами предше-ствовали тестовые испытания при L=3. Тесто-вые испытания позволили определить пара-метры метода , RN , с помощью которых можно получать достаточно точные результа-ты. Анализ этих данных дает возможность утверждать, что погрешность величины kf менее 1% достигается лишь при 20.

Серия расчетов при фиксированном значении =24 и различных значениях RN позволила установить, что при RN 24:

1) модуль коэффициента kf колеблется от 1.17697 до 1.17712 (иллюстрация этих ко-лебаний представлена на рис. 5);

2) перепад напряженности kE1 колеб-лется около значения 2.8622 с относительной амплитудой около 0.02%;

3) значение суммы потенциалов в гра-ничных точках монотонно растет при увели-чении RN, достигая при RN=40 значения 0.08075;

4) величина заряда монотонно растет при увеличении RN, достигая при RN=40 зна-чения 1.05327;

5) величины GladEn (характеристика гладкости) и dG (погрешность отклонения от выполнимости теоремы Гаусса) монотонно убывают при увеличении RN.

Большие значения и RN приводят к большим затратам машинного времени. Для оценки машинного времени на РС с тактовой частотой 2.1 GHz при 20 годится фор-мула

5 2 31.035 10 минут.PCt RN (4.1)

Из этой формулы следует, что при =30 и RN=30 время счета составляет 4.2 часа.

Зависимость коэффициента kf от числа интервалов на радиусе RN представлена на рис. 5. Как видно, при 20RN значения kf стабилизируются около 1.177 (это значение показано на рисунке штриховой линией) с отклонениями от него с относительной ам-плитудой менее 0.02%.

Задача электростатики о взаимодействие заряженных шаров …

25

0 10 20 30 40

1.173

1.174

1.175

1.176

1.177

1.178

kf

RN

Рис. 5. Зависимость kf от числа интервалов на радиусе RN (L=3, =24)

Анализ результатов, полученных при

различных значениях параметров метода RN и , позволил выяснить, что наибольшая по-грешность решения (в основном по величине коэффициента kf) обязана значениям парамет-ра 30 . В справедливости этого утвержде-ния можно убедиться путем анализа результа-тов для L=3, RN=20 и различных значений . Из анализа этих результатов следует зависи-мость

1.1756(1 0.0306 / ).kf (4.2)

Отсюда для получения значений kf с погреш-ностью менее 0.1% требуются значения 31.

Из итоговых результатов тестирования при L=3 следует, что достаточно точные ре-зультаты могут быть получены при значениях и RN 24. Колебания, представленные на рис. 5, позволяют сделать вывод, что не все-гда более высокие значения RN гарантируют более точные результаты.

Часть вычислений kf при L, отличных от 3, проводилась следующим образом. При фиксированном значении RN=24 выполнялся счет для трех значений ( )i =30, 25, 20 (i=1, 2, 3).

Затем по экстраполяции линейной зави-симости 0 ( 1/ )i i ikf f a z z на зна-чение z=0 ( ) вычислялись два значения

0 0(1,2), k (1,3)kf f , полученные для указанных в скобках номеров расчетов i.

Далее полагалось, что

0 0 0(2 /3) (1,2) (1/3) (1,3).kf kf kf Оценка относительной погрешности вычисля-лась по формуле

0 1 1100( ) / .kf kf kf

Найденные уточненные значения kf0 (при уточнении счет выполнялся со значе-ниями параметров метода , RN >24) пред-ставлены в таблице:

L 2.25 2.5 2.75 kf0 1.44783 1.32195 1.23578

L 3.0 3.5 4.0 kf0 1.17712 1.10687 1.06968

Перейдем к обсуждению зависимости

коэффициента отношения сил kf+ от расстоя-ния между центрами сфер для случая одно-именных зарядов (Q1*Q2>0). Для нахождения аналитической зависимости с двумя парамет-рами a0, c в виде

1 0*exp( *( 2)),kf a c L (4.3)

использовались 10 значений (отобранные зна-чения были получены для параметров метода

, 30)RN :

L 2.0 2.1 2.2 2.25 2.5 kf 1.6273 1.5478 1.4789 1.4478 1.3219

L 2.75 3.0 3.25 3.5 4.0 kf 1.2357 117712 1.13594 1.10687 1.06913

Функция (4.3) удовлетворяет асимпто-

тическому стремлению 1kf при L . Значения параметров этой функции a0, c на-ходились методом градиентного спуска для минимизации суммы квадратов невязок. На-чальные значения параметров равнялись 1, а шаги для их изменения da. dc равнялись 0.00001. Значения параметров аппроксимации a0 0.64627, 1.3239c , найденные после 353700 шагов градиентного спуска, снизили начальную сумму квадратов невязок пример-но в 120 раз до значения S=0.00553. Зависи-мость (4.3) изображена на рис. 6 штриховой линией, крестиками отмечены табличные зна-чения. Как видно, аппроксимация хороша для значений L < 3.25, при больших значениях L функция дает заниженные значения (наи-большее отклонение равно -2.2% при L=4). По сумме квадратов невязок, и деленной на число использованных табличных значений, следует, что среднее отклонение табличных данных от зависимости (4.3) около 0.4%. Кроме функции (4.3) испытывалась аппрок-симация также с двумя параметрами в виде

2( ) 1 1/ 2 / .kf L a L a L (4.4)

Е. Л. Тарунин

26

Эта функция имеет нужную асимптоти-ку при L . Однако получаемые значе-ния коэффициентов имеют разные знаки, что приводит на некотором интервале L к недо-пустимым значениям kf+ 1 для зарядов с одинаковыми знаками. Поэтому от этой ап-проксимации пришлось отказаться.

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

1

1.2

1.4

1.6

1.8kf

(L-2)

Рис. 6. Зависимость отношения сил от рас-стояния между сферами

Важной характеристикой зависимости

(4.3) является значение коэффициента kf+ при

( 1 2) 0dL L R R ,

соответствующее случаю соприкосновения шаров. Из зависимости (4.3) следует, что это предельное значение равно 1+a0=1.6462. Счет по программе при L=2 дал чуть меньшее значение kf+(2)=1.6245 0.0005. Линейная экстраполяция на значение

( 1 2) 0dL L R R ,

построенная по двум значениям L=2.1 и L=2.2, дает значение kf+=1.6157. Три различ-ных способа вычисления предельного значе-ния kf+(2) позволяют дать оценку этой вели-чины kf+(2)1.6216 с относительной погреш-ностью менее 0.4%.

Выводы 1. Реализован метод расчета электро-

статического поля около двух заряженных шаров на основе решения уравнения Лапласа для потенциала поля. Метод дает полную ин-формацию о распределении потенциала и его интегральных характеристиках.

2. Расчет показал, что на расстояниях между центрами сфер 1 22( )L R R закон Кулона для точечных зарядов требует суще-

ственной поправки. При уменьшении L эта поправка возрастает.

3. Вычисленные поправки к закону Кулона согласуются с расчетами других авто-ров, полученными другими методами, при L=3; при L<3 поправочные коэффициенты завышены, а при L>3 занижены.

4. Найдены приближенные аналитиче-ские зависимости для коэффициента поправки к закону Кулона для зарядов одного знака (для зарядов разного знака результаты пред-ставлены в работе [10]).

Список литературы 1. Саранин В.А. О взаимодействии двух

электрически заряженных шаров // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. С. 453–458.

2. Саранин В.А., Мейер В.В. Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия двух проводящих заря-женных шаров // Успехи физических наук, 2010. Т. 180, №10. С. 1009–1117.

3. Saranin V.A. Energy, force and field strength in a system of two charged con-ducting balls // Journal of Electrostatics. 2013. Vol. 71. Р. 746–753.

4. Smythe W.R. Static and Dynamics Electrisity. New York: McCraw – Hill, 1950.

5. Тарунин Е.Л. Электростатическое взаи-модействие заряженных проводников на близких расстояниях // Вестник Пермско-го университета. Сер. Физика. 2013. Вып.2(24). С. 49–56.

6. Davis M.H. Two charged spherical conduc-tors in a uniform electric field: forces and field strength // Q.J. Mech. Appl. Math. 1964. Vol. 17. Р. 499–511.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

8. Тарунин Е.Л. Вычислительный экспери-мент в задачах свободной конвекции. Ир-кутск, 1990. 226 с.

9. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1960. Т. 5.

10. Тарунин Е.Л. Особенности электростати-ческого взаимодействия заряженных сфер на близких расстояниях // Вестник Перм-ского университета. Сер. Физика. 2014 (в печати).

Задача электростатики о взаимодействие заряженных шаров …

27

Problem of electrostatic of the interaction of two charged spheres at close distances

E. L. Tarunin Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 (342) 2 396-409

The electrostatic interaction between two conducting balls was studied by numerical method. The strength of the interaction was found from the potential distribution of the electrostatic field, which is determined by solving the finite-difference equations for the Laplace’s equation in cylindrical coordinates. Used method to obtain complete information about the potential dis-tribution described in detail. Analytical functions were built for describing the amendment to the Coulomb’s law in the case of the same charges.

Key words: electrostatic; the Laplace’s equation; potential distribution of the electrostatic field; the strength of the interaction conducting balls.