Объем конуса.

11 класс

Цели урока:

Рассмотреть теорему об объеме конуса; Выработать навыки решения типовых

задач на применение формул объемов конуса.

Рассмотреть решение задачи на повторение (из ЕГЭ-2007)

1. Постановка целей урока:

Конус в переводе с греческого означает «сосновая шишка».

С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 г. Была обнаружена книга Архимеда «о методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров.

С помощью этой задачи Демокрит (древнегреческий ученый 470-380 до н.э.) получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса. Сегодня мы докажем одну из них.

2. Актуализация опорных знаний:

Определение прямого кругового конуса. Сечение конуса. Площадь поверхности конуса.

3.Доказательство 1

О vкон =0 ∫h S(х)dх

S(х) / Sосн= k² = (х/h)²=х²/h²

S(х)=Sосн (х²/h²)

Vкон = 0∫h (Sосн (х²/h²))dх=

=(Sосн ( х²/h²)(х³/3)) |0h=

М1 R1 =1/3 Sосн h

Vкон = 1/3 πR²h R

Доказательство 2

За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.

Vкон = lim Vпир = lim (Sоснh)=1/3 h lim Sосн =

n→∞ n →∞ n→∞

=1/3 h Sосн= 1/3 π R² h

Доказательство 3.

.3

1)

3( 2

322222 hR

x

h

RdxxkdxkxdxxfвращтелаV

.3

1 2hRконусаVвращтелаV

Решение задач:

1). Авиационная бомба среднего калибра при взрыве образует воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба , если

1 м³ земли имеет массу 1650 кг?

2) Куча щебня по краям шоссейной дороги также представляет собой конус. Какой объем имеет куча щебня?

На практике можно найти длину окружности и длину образующей, поэтому решим следующую задачу:

Окружность основания кучи щебня 12,1 м. Длина двух образующих 4,6 м. Каков объем кучи?

3)В поэме Пушкина «Скупой рыцарь» рассказана так же легенда восточных народов:

…Читал я где-то, Что царь однажды воинам

своим Велел снести земли по горсти в

кучу,- И гордым холм возвысился, И царь мог с высоты с весельем

озирать И дол, покрытый белыми

шатрами, И море, где бежали корабли.

Это одна из немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Если какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Рассмотрим это:

1 горсть ≈ 1/5 л = 0,2 дм³.Пусть войско из 100 000 человек.

Угол может быть только 45º(или меньше), иначе земля будет осыпаться.

V = 0,2 ∙ 100 000 = 20000 дм³ = 20 м³.

Итак:

Дано:

V = 20 м³.

α = 45º

Найти:

h = ?

Решение :

V = 1/3 R² h R = h V = 1/3 h³ h = ³√ (3 V / π) ≈ 2,7 м.

Нужно обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в полтора человеческих роста назвать гордым холмом.

У Атиллы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир, около

700 000 человек. (Атилла – представитель гуннов, кочевого народа в Приуралье). Если бы все войны Атиллы участвовали в

насыпании холма, какой высоты был бы холм?

Вычислите дома!

Итог урока:

Итак, мы с вами расширили понятие и представление о конусе, вывели формулу Vкон .

Вопрос о конусе важен, т.к. конические детали имеются во многих машинах и механизмах.

Да и в жизни мы убедились, что знания о конусе отнюдь не лишние.

Домашнее задание:

П. 70, № 701, 704, 703, 705.

Использованная литература:

Учебник ГЕОМЕТРИЯ 7-9 Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. для общеобразовательных учреждений, Москва, «Просвещение», 2006 г.

Автор: Тарасова Е.Е., учитель математики МОУ СОШ №2 г.Питкяранта, 2007 г.