תרגול קריסטופולוגיה חשוב

1תשובות לתרגילים בחומרים

מרים המחלקה להנדסת חו

אוניברסיטת בן גוריון בנגב

1

מלא- 3תשובות לתרגיל

צפנת גניגר: מתרגלת

11:00-13:00' יום ד: שעות קבלה

39תא דואר , 14חדר

il.ac.bgu.ganigar@bgumail: ל"דוא

מבנה של מתכות .1.4

יסודות של קריסטלוגרפיה .2

וצפיפות תיאורטיתתאי חדירה, תא יחידה, אטומים .2.1

, FCCתא יחידה בR – לרדיוס האטומי a –י ביטוי ליחס בין פרמטר השריג /פתח .2.1.1

.R –י את נפח תא היחידה באמצעות הרדיוס האטומי /ולפיו בטא

:פתרון

:FCC אחת בתא היחידה במבנה פאהנביט על

ניתן לראות שבכיוון הצפוף נכנסים ארבעה רדיוסים

השוקייםכך שבמשולש ישר הזווית ושווה , אטומיים

222: נקבל )4( Raa =+

22Ra =

216)22( 333 RRaVC ===

.0.74 הוא FCCי כי פקטור האריזה האטומי עבור מבנה /הראה .2.1.2

:נתון

volumecellunittotal

cellunitainatomsofvolumeAPF =

3

3

4RVSphere ππππ=

:פתרון

וכך עבור מוטיב ) 1/2*1/8+6*8(נקודות שריג לתא יחידה 4 יש FCCבתא יחידה

: על כן סך כל הנפח שתופסים האטומים הוא. לתא יחידה אטומים4 ישאחד

33

3

16)

3

4(4 RRVSphere ππππππππ ==

216: ידוע כי2.1.1מפתרון תרגיל 3RVC =

: ועל כן74.0

232163

16

3

3

=== ππππππππ

R

RAPF




2

VC –ה י את נפח תא היחיד/חשב, 0.175nmהוא ) Pb(אם הרדיוס האטומי של עופרת .2.1.3

)FCCידוע כי לעופרת מבנה . (3(Å)ביחידות של

:פתרון

216 –ידוע כי 2.1.1מפתרון שאלה 3RVC :ולכן, =

( ) 33)Å(3.1212Å75.116 ==CV

: באופן הבאR קשור לרדיוס האטומי aפרמטר השריג , BCCי כי עבור מבנה /הראה .2.1.4

3

4Ra =

:פתרון

הכיוון הצפוף הוא BCCאלא שבמבנה , 2.1.1פותרים בדומה לשאלה את שאלה זו

.אלכסון הקובייה

-שווה ל, על פי גיאומטריה פשוטה

( ) 22232 aaa =+

–ולכן , 4Rובאלכסון זה נכנסים

3

443 2 R

aRa =⇒=

בערכו שווה c/a –י כי היחס האידיאלי בין פרמטרי השריג /הראה, HCPעבור מבנה .2.1.5

.1.633 –ל

:פתרון

, c/2 - נמצא בדיוק בחצי הגובה Jהאטום המונח בנקודה , עבור מבנה צפוף אריזה

הוא שווה ABCמשולש . A, B, C -ומונח על שלושת האטומים שבשכבה מתחתיו

ת מפגש פוגש את נקוד, Jהיורד מנקודה , ולכן הגובה, )aצלעו (צלעות

באופן זה ניתן לסגור משולש ישר . ABCחוצי הזוויות של המשולש /גבהים/התיכונים

A

C B

3aa




3

- וAהאטומים בנקודות ( המכיל שני רדיוסים אטומיים AJזווית שהיתר שלו הוא קטע

Jצמודים .(

B - וAהאטומים בנקודות ( מכיל גם הוא שני רדיוסים אטומיים ABבנוסף לכך קטע

).צמודים

: משוואותנקבל שתי

Rac

AJ 232

22

=

+

=

RaAB 2==

⇒=⇒+=⇒=

+

43

2

3432

22222

22caac

aaac

633.1=a

c

י שימוש /עשה. 0.68 הוא BCCי כי פקטור האריזה האטומי עבור מבנה /הראה .2.1.6

.2.1.2בנתונים משאלה

:פתרון

:VC - ניתן לתת ביטוי ל 2.1.4על פי תוצאת תרגיל

( )33

64

3

4 333 RR

aVC =

==

שני יש 1ולכן עבור מוטיב , )1/8+1*8( נקודות שריג לתא יחידה 2 יש BCCבמבנה

33> = -אטומים לתא יחידה

3

8)

3


68.0 -מכאן ש64

38

64

333

8

3

3

=== ππππππππ

R

RAPF

י שימוש /עשה. 0.74 הוא HCPי כי פקטור האריזה האטומי עבור מבנה /הראה .2.1.7

.2.1.2בנתונים משאלה

:פתרון

. c=1.633a=3.266R - וa=2R ידוע כי 2.1.5מתרגיל

( ) ( ) ( ) 322

3532.6266.34

232

4

322 RR

Rc

ahSVC =

×=

×== ∆

:ולכן, )1+(4*1/12)+(4*1/6) ( יש שני אטומים לתא יחידהHCPבמבנה

33

3

8)

3





4

74.0 -מכאן ש33532.6

8

3532.63

8

3

3

=⋅

== ππππππππ

R

RAPF.

טומי של ומשקל א0.128nm יש רדיוס אטומי של FCCלנחושת בעלת מבנה .2.1.8

63.5g/mole .י תוצאה זו עם /י את הצפיפות התיאורטית של נחושת והשווה/חשב

.הערך הספרותי

:נתון

AC NVnA=ρρρρ

n -מספר אטומים לתא יחידה A -משקל אטומי

VC -נפח תא יחידה NA - 1023*6.023= מספר אבוגדרוatoms/mole :פתרון

216 ידוע 2.1.1ומתרגיל ; FCC - n=4 -ב 3RVC נציב את הנתונים , =

:במשוואה

( )3

3889.8

1028.1216

5.634cmg

molatoms106.023cellunitcm

molgcellunitatoms

NVnA

23AC=

×⋅

×

⋅==

−ρρρρ

.8.94g/cm3= תוצאה זו קרובה לרשום בספרות

ומשקל אטומי של , 0.1363nmרדיוס אטומי של , BCCלמוליבדן מבנה .2.1.9

95.94g/mol .י תוצאה זו עם /חשב את הצפיפות התיאורטית של מוליבדן והשווה

.2.1.8י שימוש בנתונים משאלה /עשה. הערך הספרותי

:פתרון

ידוע 2.1.4ומתרגיל ; BCC - n=2 -ב33

64 3RVC :נציב את הנתונים המשוואה, =

( )3

3821.10

10363.133

64

94.952cmg


molgcellunitatoms

NVnA

23AC=

×⋅

×

⋅==

−ρρρρ

.10.2g/cm3= תוצאה זו קרובה לרשום בספרות




5

ורדיוס אטומי g/mole 74.5משקל אטומי של , למתכת כלשהי בעלת מבנה קובי פשוט .2.1.10

. חשב את הצפיפות התיאורטית.0.145nm של

:פתרון

: ולכןn=1 ,VC=(2R)3: עבור מבנה קובי פשוט

( )3

3807.5

1045.18

5.741cmg


molgcellunitatoms

NVnA

23AC=

×⋅

×

⋅==

−ρρρρ

.g/cm3 4.51 וצפיפות של HCPמבנה , g/mol 47.9לטיטניום משקל אטומי של .2.1.11

?) nm3 (מהו נפח תא היחידה ביחידות של .א

.a - וcי את ערכי /חשב, c/a=1.58אם נתון .ב

:פתרון

). א ) molatoms106.02351.4

9.472233 ×⋅

⋅==

cmg

molgcellunitatom

N

nAV

AC ρ

( ) ( ) ( )33

37233

23 03526.01010526.310526.3 nmcellunit

nm

cellunit

cmVC =××=×= −−

=⇒ . ב

×=

×= nma

ac

aVC 03526.058.1

4

32

4

32

22

nma 295.0=

0.466nm 1.58a c ==

כלומר שני אטומים זהים , 2 בעל מוטיב FCCהמבנה הקריסטלוגרפי של יהלום הוא .2.1.12

.1/4,1/4,1/4 - והשני ב 000 האחד בקואורדינטות -קשורים לכל נקודת שריג

? כמה אטומים לתא יחידה ביהלום .א

אטומים לתא 4יש , 1כאשר המוטיב הוא , אשר בוFCC מדובר במבנה :תשובה

בנוסף ישנם עוד ארבעה אטומים שלמים המאכלסים ארבעה . 1/2*8+6*1/8= יחידה

אטומים 8כ יש "מכאן שבסה. מתוך השמונה הקיימים בתא היחידהליםדרהאתרים טטר

! לתא יחידה




6

?מה מספר הקואורדינציה במבנה זה .ב

לידרה כל אטום הממוקם באתר טטר- 4מספר הקואורדינציה במבנה זה הוא :תשובה

).000 (FCCקשור לארבעה אטומים הממוקמים בנקודות שריג ) 1/4,1/4,1/4(

?מה המרחק בין שני המרכזים של שכנים קרובים ביותר .ג

על כן ניתן -מספר הקואורדינציה מתאר את מספר השכנים הקרובים ביותר :תשובה

:לחשב את מרחק זה לפי המרחק המסומן באיור הבא

שיכל ארבעת האטומים הקשורים לאטום החמי

,י צמודים אליולדרההממוקם באתר הטטר

.2R= כך שהמרחק ביניהם הוא הקצר ביותר

ניתן לבנות משולש ישר זווית משיקולי גיאומטריה

:וממנו לקבל את היתר שהוא המרחק המבוקש

הוא פעמיים ' בהנחה שהאטומים הנם כדורים קשיחים והמרחק שחושב בסעיף ג .ד

. פקטור האריזה של יהלוםי את/חשב, רדיוס האטום

:תשובה

333

3

3

32

3

48;

3

82

4

3RRV

RaVR

aSphereC ππππππππ =

=

==⇒=

34.0

33

5123

32

3

3

==R

RAPF

ππππ

ופרמטר השריג שלו הוא gr/cm32.7שצפיפותו היא , אלומיניום הוא בעל שריג קובי .2.1.13

0.4045nm . 26.98משקלו האטומי של אלומיניום הואgr/mole .י את /י וקבע/חשב

).FCC, BCC(סוג השריג הקובי של אלומיניום

:פתרון

( ) 323373 1062.6104045.0 cmcmaVC−− ×=×==

grcmcmgrVm CCC223233 10787.1)1062.6()7.2( −− ×=××=×= ρρρρ

2422

10623.610787.1

98.26 −−

×=⇒×== mole

moleW N

Ngr

molegr

M

FCCcellunit

atomsNNn Amoleatoms ⇒=×××=×= − 410023.610623.6 2324

1/4a

a/(2√2)

(√3)a/4




7

, ri -של אטום חדירה) שלא יגרום עיוות לגביש(י ביטוי לרדיוס המקסימאלי /תן .2.1.14

:הבאים החדירה עבור כל אחד מאתרי, rat -כפונקציה של הרדיוס האטומי

.FCC טטרהדרלי במבנה אתר חדירה .א .FCCאתר חדירה אוקטהדרלי במבנה .ב .BCCאתר חדירה טטרהדרלי במבנה .ג .BCCאתר חדירה אוקטהדרלי במבנה .ד

:פתרון

, ri -של אטום חדירה) שלא יגרום עיוות לגביש(י ביטוי לרדיוס המקסימאלי /תן .2.1.15

האוקטהדרליםעבור אתרי החדירה הטטרהדרלים ו, rat -כפונקציה של הרדיוס האטומי

.HCPבמבנה




8

:פתרון




9




10

ומהו ? כמה אטומים לתא יחידה? מהו המבנה, NaCl ,CsCl: עבור החומרים הבאים .2.1.16

?מספר הקואורדינציה שלהם

:תשובה

NaCl = <FCC 8 - נותן 2 נקודות שריג לתא יחידה כפול מוטיב 4 , 2 מוטיב

.N=6 ולכן Cl מרכזי קשור לשישה אטומי Naכל אטום . אטומים לתא יחידה

CsCl= <SC שני – נותן 2נקודת שריג אחת לתא יחידה כפול מוטיב , 2 מוטיב

.N=8 ולכן Cs מרכזי קשור לשמונה אטומי Clכל אטום . אטומים לתא יחידה

Documents

תרגול קריסטופולוגיה חשוב