Embed Size (px)
Citation preview
І МОДУЛЬ. СЫЗЫҚТЫ АЛГЕБРА ЖƏНЕ АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
БІРІНШІ ЛЕКЦИЯ
МАТРИЦА. НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАР
Анықтама. m жатық n тік жолдан құрылған кестені
mxn өлшемді матрица деп атайды. Матрицаны құрайтын сандар матрица элементтері деп
аталады. Əдетте матрица латын алфавитінің бас əріптерімен, ал элементтері сəйкес кіші əріптермен белгіленеді:
=×
mnmjmm
inii
nj
nj
aaaa
aijaaa
aaaa
aaaa
nmA
......
..................
......
..................
......
......
21
21
222221
111211
Қысқаша жазылуы: ( ) njmiijaA ,...,2,1;,...,2,1, ===
Матрица элементінің бірінші индексі жатық жол нөмірі, ал
екінші индексі тік жол (бағана) нөмірін көрсетеді. Мысалы, 23a
элементі екінші жатық жол мен үшінші тік жол қиылысында орналасқан. Бір ғана жатық жолдан құралған матрицаны жол-матрица, ал бір ғана тік жолдан құралған матрицаны бағана-матрица деп атайды:
( )naaaA 11211 ...= - жол-матрица;
5
=
1
21
11
...
mb
b
b
B - бағана матрица.
Жол матрица мен бағана матрицаны кейде вектор деп те айтады.. Жатық жолдар саны мен тік жолдар саны тең болатын матрица квадрат матрица деп аталады,
=
nnnn
n
n
nxn
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Квадрат матрицаның nnaaa ...2211 элементтері
диагоналдық элементтер деп аталады да, матрицаның негізгі диагоналін құрайды. Ал 1121 ... nnn aaa − элементтері
қосымша диагоналдық элементтер деп аталады да, матрицаның қосымша диагоналін құрайды.
Квадрат матрицаның негізгі диагоналінің астындағы немесе үстіндегі элементтері нолге тең болса, матрица үшбұрышты матрица деп аталады,
=
nn
n
n
a
aa
aaa
A
...00
............
...0
...
222
11211
,
=
nnnn aaa
aa
a
A
...
............
0...
0...0
21
2221
11
Диагоналды емес элементтерінің бəрі нолге тең болатын
квадрат матрица диагоналды матрица деп аталады,
6
=
nna
a
a
A
...00
............
0...0
0...0
22
11
.
Барлық диагоналды элементтері бірге тең болатын диагоналды
матрица бірлік матрица деп аталады жəне оны Е əрпімен белгілейді,
=
1...00
............
0...10
0...01
E .
Барлық элементтері нолге тең матрица нолдік матрица деп аталады.
МАТРИЦАЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР
1. Матрицаны санға көбейту. Матрицаны санға көбейту үшін оның барлық элементтерін сол санға көбейту керек:
⋅
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
λ
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
λλλ
λλλλλλ
...
............
...
...
21
22221
11211
Мысалы,
−=
173
012A матрицасын 5=λ санына
көбейтейік:
−=
⋅⋅⋅⋅⋅−⋅
=−
=53515
0510
515753
505152
173
01255A .
7
Осыдан матрицаның барлық элементтерінің ортақ
көбейткішін матрица алдына шығаруға болатынын аңғару қиын емес.
2. Матрицаларды қосу жəне алу. Өлшемдері бірдей
матрицаларды ғана қосуға болады.
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
жəне
=
mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
B
...
............
...
...
21
22221
11211
матрицаларының қосындысы деп
элементтері осы матрицалардың сəйкес элементтерінің қосындысы болатын, А + В матрицаны айтамыз:
+++
++++++
=+
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
...
............
...
...
2211
2222222121
1112121111
.
Мысалы,
−=
20
75
31
A мен
−=15
10
43
B матрицаларын
қосайық:
=
++−++−+
=−+−
=+35
65
14
1250
1705
4331
15
10
43
20
75
31
BA .
А матрицасынан В матрицасын алу үшін А
матрицасына В матрицасын -1-ге көбейтіп қосу жеткілікті:
8
A – B = A+(-1)B
немесе А матрицасының əр элементінен В матрицасының сəйкес элементтері алынады. Мысалы А матрицасынан В матрицасын алайық:
−
−−=
−−+−−−−
=−−−
=−15
85
72
1250
1705
4331
15
10
43
20
75
31
BA .
3. Матрицаларды көбейту. Бірінші матрицаның тік жолдар саны мен екінші матрицаның жатық жолдар саны тең болған жағдайда ғана екі матрицаны көбейтуге болады. Өлшемі mxk болатын А матрицасы мен өлшемі kxn болатын В матриасы берілсін:
Осы екі матрицаны көбейткенде өлшемі mxn болатын көбейтінді С матрица аламыз:
mxnCkxnBmxkA =⋅
С матрицасының ijc элементі А матрицаның i –жатық жол
элементтерін В матрицаның j –тік жолының сəйкес элементтеріне көбейтіп қосқанға тең болады:
kjbikababac jijiij +++= ...2211 , njmi ,...,2,1,,...,2,1 == . (1)
=
= ×
knkk
n
n
nk
mkmm
kmxk
bbb
bbb
bbb
B
aaa
aaakaaa
A
...
............
...
...
...
............
...1...
21
22221
11211
21
22221
1211
9
Мысалы,
−
=173
012A матрицасы мен
−=
502
314
021
B
матрицасын көбейтейік. Бірінші матрица үш тік жолдан, ал екінші матрица үш жатық жолдан тұрғандықтан бұл матрицаларды көбейтуге болады. Көбейтінді матрицаның өлшемін анықтайық:
323332 xCxBxA =⋅ ,
яғни,
=
232221
13121132 ccc
cccC x . k=3 болғандықтан (1) формуланы
қолданғанда үш қосылғыш болады:
jijiji bababaijc 332211 ++= , 3,2,1,3,2,1 == ji .
11с элементін табу үшін формуладағы i=1, j=1 деп аламыз, сонда
620411231132112111111 =⋅+⋅+⋅=++= bababac , яғни А матрицаның 1-жатық жол элементтерін В матрицаның 1-тік жолының сəйкес элементтеріне көбейтіп қостық. Осылай С матрицаның барлық элементтері табылады:
C= ⋅−
173
012
−
502
314
021
=
⋅−⋅+⋅⋅−−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅+⋅51310301)1(723214713
50310200)1(122204112=
=
−− 2127
336.
10
Қосу жəне көбейту амалдарының мынадай қасиеттері бар: 1) A+B=B+A 5) (A+B)C=AC+BC 2) (A+B)+C=A+(B+C) 6) λ (AB)=(λ A)B=A( λ B) 3) λ (A+B)= λ A+λ B 7) A(BC)=(AB)C 4) A(B+C)=AB+AC
Бұл қасиеттер сандарға жасалатын амалдар қасиеттеріне ұқсас. Енді матрицаның өзіндік ерекшелігіне байланысты қасиеттерін қарастырайық. 8) Біріншіден, екі матрицаның АВ көбейтіндісі болғанмен ВА көбейтіндісі болмауы мүмкін. Мысалы, 3332 xx BA ⋅ көбейтіндісі бар,
бірақ 3233 xx AB ⋅ көбейтіндісі жоқ, себебі бірінші матрицаның тік
жолдар саны екінші матрицаның жатық жолдар санына тең емес; екіншіден, АВ жəне ВА көбейтінділері бар болғанмен, олардың өлшемдері əртүрлі болуы мүмкін. Мысалы, 2332 xx BA ⋅ жəне
3223 xx AB ⋅ көбейтінділер бар, бірақ өлшемдері əртүрлі:
222332 xxx CBA =⋅ , 333223 xxx CAB =⋅ ; үшіншіден, АВ жəне ВА көбетінділер бар жəне олардың өлшемдері бірдей болғанмен, жалпы жағыдайда, көбейтудің коммутативті заңы орындалмайды, яғни АВ≠ BA.
Мысал.
−
=43
21A мен
−=
15
02B матрицалары
берілген. АВ жəне ВА көбейтінділерін табау керек. Шешуі. Берілген матрицалар өлшемдері 2х2 квадрат
матрицалар, оларды көбейтуге болады:
=
++++−
=
−⋅
−=⋅
426
28
40206
20102
15
02
43
21BA .
−−=
+−+−+−
=
−⋅
−=⋅
142
42
41035
0402
43
21
15
02AB .
11
Көріп отырғанымыздай АВ≠ BA. 9) А-квадрат матрица болса, онда мына теңдік орындалады:
АЕ = ЕА = А. 4. Матрицаны транспонерлеу. Қандай да бір А матрицасының жатық жолын сəйкес тік жол етіп жазғаннан пайда болған матрицаны берілген матрицаның транспонерленген матрицасы деп атайды да, A′ деп белгілейді. Берілген матрицаның өлшемі mxn болса, оның транспонерленген
матрицасының өлшемі nxm болады. Мысалы,
−=
173
01232xA
матрицасының бірінші жатық жолын бірінші тік жол етіп, ал екінші жатық жолын екінші тік жол етіп жазып оның
транспонерленген матрицасын
−=′
10
71
32
23xA аламыз.
АНЫҚТАУЫШ. МИНОР ЖƏНЕ АЛГЕБРАЛЫҚ
ТОЛЫҚТАУЫШ
Квадрат матрицаны сипаттауға қажетті анықтауыш ұғымын енгізейік.
Екінші ретті матрицаның
=
2221
1211
aa
aaA анықтауышы
немесе екінші ретті анықтауыш деп мынадай санды айтады:
211222112221
1211 aaaaaa
aaA −===∆
Мысалы,
12
35 матрицаның анықтауышын есептейік:
12
1231512
35−=⋅−⋅= .
Ал үшінші ретті матрицаға
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A үшінші ретті
анықтауыш сəйкес келеді:
113223332112312213
133221312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
−−−
−++===∆.
Бұл анықтауыштың есептелуін үшбұрыш ережесі немесе Саррус ережесімен оңай есте сақтауға болады. Бұл ереже бойынша алғашқы оң таңбалы үш қосылғыш 1-схема, ал кейінгі теріс таңбалы үш қосылғыш 2-схемамен есептелінеді.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1-схема 2-схема Мысалы, мынадай үшінші ретті анықтауышты есептейік:
5501586002
1)3(0)1(531244)3(5103)1(21
131
025
431
−=++−−+−=
=⋅−⋅−−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅+−⋅⋅=−−
13
Реті үштен көп болатын анықтауыштарды есептеу үшін жаңа ұғымдар қажет болады.
Анықтама. n-ретті квадрат матрицаның i –жатық
жолы мен j –тік жолын сызып тастағаннан кейін пайда
болған (n–1)-ретті анықтауықты ija элементінің миноры деп
атайды жəне ijM деп белгілейді.
Үшінші ретті марицаның 21a элементінің миноры мынадай екінші ретті анықтауыш болады:
321333123332
131221 aaaa
aa
aaM −== .
ija элементінің алгебралық толықтауышы деп
мынадай санды айтады:
ijji
ij MA +−= )1(
Үшінші ретті марицаның 21a элементінің алгебралық толықтауышы мынадай сан:
212112
21 )1( MMA −=−= +
Мысалы,
−−=
131
025
431
A матрицасының бірінші жатық
жолдағы элементтерінің миноры мен алгебралық толықтауыштарын есептейік:
111 =a , 2)3(0)1(213
0211 −=−⋅−−⋅=
−−=M , 2)1( 11
1111 −=−= + MA ,
14
312 =a , 510)1(511
0512 −=⋅−−⋅=
−=M 5)5(1)1( 12
2112 =−⋅−=−= + MA ,
413 =a , 1712)3(531
2513 −=⋅−−⋅=
−=M , 17)1( 13
3113 −=−= + MA .
Лаплас теоремасы. )( ijaA = ( )nji ,...,2,1, = квадрат
матрицаның ∆ анықтауышы оның кез келген жол элементтерін сəйкес алгебралық толықтауыштарға көбейтіп қосқанға тең:
ininiiii AaAaAa +++=∆ ...2211
- бұл анықтауыштың i–жатық жолы бойынша жіктелініп есептелуі.
njnjjjjj AaAaAa +++=∆ ...2211
- бұл анықтауыштың j–тік жолы бойынша жіктелініп есептелуі.
Алдыңғы мысалдағы
−−=
131
025
431
A матрицасының
анықтауышын бірінші жатық жолы бойынша жіктеп есептейік:
55)17(453)2(1431
131
025
431
131211 −=−⋅+⋅+−⋅=⋅+⋅+⋅=−−
AAA ,
мұндағы алгебралық толықтауыштардың дайын мəндерін алдыңғы мысалдан алдық.
Лаплас теоремасы n-ретті анықтауыш есептеуді (n-1)-ретті анықтауыш есептеуге келтіріледі. Сонымен, кез келген n-ретті (n>3) анықтауышты дəрежесін төмендету арқылы екінші ретті анықтауышты есептеуге келтіруге болады екен.
Енді анықтауыш қасиеттерін қарастырайық.
15
1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сəкес тік жолдарымен алмастырғаннан, яғни транспонерлегеннен, анықтауыш мəні өзгермейді:
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
...
............
...
...
21
22212
12111
21
22221
11211
= .
Теңдіктің дұрыстығын анықтауыштарды есептеу арқылы тексеруге болады.
2-қасиет. Анықтауыштың қандай да бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады. Үшінші ретті анықтауыштың екінші жолындағы ортақ көбейткішті анықтауыш алдына шығарамыз:
λλλλ =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
Теңдіктің дұрыстығына берілген матрицаны екінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады. 3-қасиет. Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғаннан анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші жəне екінші жолдарын алмастырайық:
333231
131211
232221
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
−=
Теңдіктің дұрыстығын екінші анықтауышты бірінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.
16
4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда анықтауыш мəні нолге тең. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші жəне екінші жолдары бірдей болсын:
333231
131211
131211
aaa
aaa
aaa
=0.
Теңдіктің дұрыстығын осы екі жолдың орндарын алмастырып 3-қасиетті қолданып тексеруге болады. 5-қасиет. Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға қосқаннан анықтауыш мəні өзгермейді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші жолын λ -ға көбейтіп екінші жолға қосайық:
333231
132312221121
131211
333231
232221
131211
aaa
aaaaaa
aaa
aaa
aaa
aaa
λλλ +++= .
Теңдіктің дүрыстығын екінші анықтауышты мынадай
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
+000
000
131211 aaa λλλ
анықтауыштардың қосындысы түрінде жазайық. Сонда бірінші қосылғыш берілген анықтауыш болады да, екінші анықтауыш нолге тең. 6-қасиет. Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ бойындағы элементтердің көбейтіндісіне тең:
332211
33
2322
131211
00
0 aaa
a
aa
aaa
= .
17
Теңдіктің дұрыстығын анықтауышты бірінші тік немесе үшінші жатық жол бойынша жіктеп тексеруге болады.
Осы қасиеттер көмегімен жоғары ретті анықтауыштар есептеуді көп жеңілдетуге болады. Анықтауышты қандай да бір жолында неғұрлым көп ноль болатындай етіп түрлендіріп, сол жол бойынша жіктеп анықтауыш реті төмендетіледі. Мысалы мынадай
төртінші ретті
11341
1221
3520
1121
−−−−
анықтауышты есептейік.
Анықтауышты үшбұрышты түрге келтіреміз. Алдымен 5-қасиет бойынша анықтауыштың бірінші жолын 1-ге көбейтіп үшінші жолға, (-1)-ге көбейтіп төртінші жолға қосайық (есепте көрсетілген). Сонда анықтауыштың бірінші тік жолында 111 =а элементтен басқасы нолге айналады.
Енді осы қасиетті пайдаланып 222 −=а элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз. Соңында 933 −=а элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз. Анықтауыш үшбұрышты түрге келді. 6-қасиет бойынша анықтауыш мəнін диагональдік элементтерді көбейтіп табамыз.
11341
1221
3520
1121
−−−−
↵↵
−
|
||
)1()1(
=
01420
2140
3520
1121
−−−
↵↵ |
)1()2(=
3900
8900
3520
1121
−−
−
↵)1(=
11000
8900
3520
1121
−−
−
= 19811)9()2(1 =⋅−⋅−⋅ .
КЕРІ МАТРИЦА
)( ijaA = ( )nji ,...,2,1, = квадрат матрица қарастырайық.
18
Анықтама. Анықтауышы нолге тең матрица ерекше, ал нолге тең емес матрица ерекше емес матрица деп аталады.
Кез келген 0≠a сан үшін мына 11 =⋅ −aa теңдігін қанағаттандыратындай кері сан табылады. Квадрат матрица үшін де осындай ұғым енгіземіз.
Анықтама. А квадрат матрица үшін мына
EAAAA =⋅=⋅ −− 11 теңдікті қанағаттандыратын 1−A матрица А матрицаның кері матрицасы деп аталады. Кері матрицаны мына формуламен табады:
=−
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AA
...
............
...
...
1
21
22212
12111
1 ,
мұндағы A -матрица анықтауышы, ал ijA -берілген матрицаның
ija элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,…,n;
j=1,2,…,n.
Кез келген квадрат матрицаның кері матрицасы бола бермейді.
Теорема(кері матрица болуының қажетті жəне жеткілікті шарты). Матрицаның кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес ( 0≠A ) матрица болуы қажетті жəне жеткілікті.
Мысал.
−=421
132
321
A матрицасының кері матрицасын
табу керек. Шешуі. Алдымен анықтауышын есептейік.
19
421
132
321
−=A
( )
↵↵
−−|
)1(2
=100
710
321
−− = 1− .
01≠−=A , яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық
толықтауыштарын есептейік.
1421242
13)1( 11
11 =+=−
−= +A , 9)18(41
12)1( 21
12 −=+−=−
−= +A ,
13421
32)1( 31
13 =−=−= +A , 2)68(42
32)1( 12
21 −=−−=−= +A ,
13441
31)1( 22
22 =−=−= +A , 021
21)1( 32
23 =−= +A ,
119213
32)1( 13
31 −=−−=−
−= +A , 7)61(12
31)1( 23
32 =−−−=−
−= +A ,
14332
21)1( 33
33 −=−=−= +A .
Табылған мəндерді формулаға қойып кері матрицаны табамыз.
−−
−−
−=−
101
719
11214
1
11A
−−−
−=
101
719
11214
.
Кері матрицаның дұрыс табылғандығын EAA =⋅ −1 теңдігін тексеру арқылы көз жеткізуге болады:
20
−421
132
321
−−−
−⋅
101
719
11214
=
+−+−−+−−−+−++−+−+−−+−
=4141102241814
1212203412728
3141102231814
=100
010
001
.
Берілген матрицаға кері матрицаны элементар түрлендірулер əдісімен де табуға болады. Бұл əдіс матрицаға элементар түрлендірулер қолдануға сүйенеді. Матрицаның элементар түрлендірулері деп мынадай түрлендірулерді айтамыз:
1) Матрицаны транспонерлеу; 2) Жолдардың орнын алмастыру; 3) Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге
санға көбейту; 4) Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге
санға көбейтіп басқа жолдың сəйкес элементтеріне қосу; 5) Барлық элементі ноль болатын жолды алып тастау. Енді кері матрица табу ережесіне көшейік: Берілген nxnA
матрицаның оң жағына бірлік матрица жалғап жазу керек. Сонда
nnxВ 2 өлшемді кеңейтілген матрица пайда болады. В матрицаға А
матрицасының орнында бірлік матрица пайда болғанға дейін жатық жолдарына элементар түрлендірулер жасалады. Нəтижесінде бірлік матрицаның орнында 1−A кері матрица пайда болады.
Мысалы, жоғарыдағы қарастырылған
−=421
132
321
A
матрицаның кері матрицасын осы əдіспен тауып көрейік. Берілген матрицаның оң жағына бірлік матрица жазып, элементар түрлендірулер жүргіземіз.
21
−100
010
001
421
132
321
↵
↵−−|
)1()2(
−−
−−101
012
001
100
710
321
~ ~
)3()7(
|
−
−−
−
−101
719
304
100
010
021
~ )2( ~)1(
101
719
11214
100
010
001
~ −⋅
−−−
−
−−−
−
101
719
11214
100
010
001
~ .
Соңында бірлік матрицаның орнында пайда болған матрица
кері матрица болады:
−−−
−=−
101
719
112141A .
Ерекше емес матрицалар үшін мынадай қасиеттер дұрыс болады:
1) A
A11 =− , 2) ( ) AA =
−− 11 ,
3) ( ) 111 −−− = ABAB , 4)( ) ( ) 11 −− ′=′
AA .
МАТРИЦА РАНГІСІ
mxn өлшемді А матрицаның бірнеше жатық жəне тік жолдарын сызып тастап k өлшеміді, k≤ min(m,n), квадрат матрица алуға болады. Осы квадрат матрица анықтауышы берілген матрицаның k өлшемді миноры деп аталады. mxnA матрицаның
k-өлшемді минорлар саны kn
kmCC болады.
Анықтама. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең үлкен реті матрица рангісі деп аталады:
22
r=r(A)= rangA .
Анықтамадан бірден мынадай тұжырымдар жасауға болады: 1. mxnA матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен
артпайды:
r(A) ≤ min(m,n). 2. Барлық элементтері ноль болғанда ғана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады. 3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица рангісі n–ге тең болады.
Мысал.
=1703
6402
3201
A матрицаның рангісін есептейік.
Шешуі. Матрица өлшемі 3х4 болғандықтан, оның рангісі 3-тен артпайды, r(A) ≤ min(3,4). Егер үшінші ретті минорлардың ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болса, онда матрица рангісі 3-ке тең болады. Үшінші ретті минорлар матрицаның бір тік жолын сызып тастағанда пайда болады:
0
170
640
320
= , 0
173
642
321
= , 0
703
602
301
= , 0
703
402
201
= .
Үшінші ретті минорлардың бəрі нолге тең болғандықтан, ранг 3-ке тең бола алмайды. Енді екінші ретті минорлардың ішінен (олардың
саны 1863!2!2
!4
!1!2
!324
23 =⋅=
⋅⋅
⋅=CC ) ең болмағанда бір нолге тең емес
минор тапсақ, матрица рангісі 2-ге тең болады. Екінші ретті минорлар матрицаның бір жатық, екі тік жолын сызып тастағанда пайда болады. Айталық бірінші жатық жол мен бірінші жəне
23
екінші тік жолдарды сызып тастағанда пайда болатын мына минор:
03817
64≠−= , сондықтан r(A)=2.
Матрица өлшемі артқан сайын оның рангісін барлық нолден өзге минорларды есептеу жолымен анықтау қиындайды. Матрица рангісін элементар түрлендірулер əдісімен табу ондай қиындықтардан құтқарады.
Теорема. Элементар түрлендірулер матрица рангісін өзгертпейді.
Дəлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде оның анықтауышы не өзгермей сақталады, не нолге тең емес санға көбейтіледі. Яғни, оның реті өзгермейді деген сөз. Олай болса, нолден өзгеше минорлардың немесе матрица рангісінің реті де өзгермейді.
Осы теореманы ескеріп, элементар түрлендірулер жасап, берілген матрицаны барлық диагоналдік элементтері нолден өзгеше болатындай етіп сатылы түрге келтіреміз:
rnrr
nr
nr
aa
aaa
aaaa
......00
..................
......0
......
2222
111211
,
мұндағы r ≤ п. Осы шарттың орындалуын матрицаны транстонерлеу арқылы қамтамасыз етуге болады.
Сонда матрицаның r–ретті нолден өзге миноры
rr
r
r
a
aa
aaa
...00
............
...0
...
222
11211
бар болады да, матрица рангісі r-ге тең болады, яғни
r(A)=r.
24
Мысал.
−−−−
−−
=
3859123
14311
42211
01310
А матрицасының
рангісін есептейік. Шешуі. Элементар түрлендірулер көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз.
~
3859123
14311
42211
01310
−−−−
−−
~|
||
)3()1(
3859123
14311
01310
42211
↵↵
−
−−−−
−−
~|
)5(
5065550
56100
01310
42211
↵
−−−−
−−
~)10(
50601000
56100
01310
42211
↵
−−−
−−
~
00000
56100
01310
42211
−−−
−−−
56100
01310
42211
.
Соңғы матрица сатылы түрге келді жəне онда нолге тең емес үшінші ретті минор бар екенін бірден көруге болады:
01
100
310
211
≠=−
−−
. Сонымен матрица рангісі 3-ке тең, r(A)=3.
25
ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР • Матрица дегеніміз не жəне оның қандай түрлерін білесің? • Анықтауыш дегеніміз не жəне оны есептеудің Саррюс
ережесін түсіндір. • Минор жəне алгебралық толықтауыш деген не? • Лаплас теоремасын не үшін жəне қалай қолданылатынын
түсіндір. • Матрица рангсін қалай есептейді?
26
ЕКІНШІ ЛЕКЦИЯ
СЫЗЫҚТЫ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ
Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады:
=+++++−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
=+++++−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
=+++++
=+++++
mnmnjmjmm
ininjijii
nnjj
nnjj
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
......
......
......
......
2211
2211
222222121
111212111
(1)
мұндағы ija (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп,
ал ib (i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады. (1) теңдеудің
қысқаша жазылуы мынадай:
i
n
ijij bxa =∑
=1
(i=1,2,…,m) (1’)
(1) жүйенің бос мүшелерінің бəрі нолге тең болса,
01
=∑=
n
ijij xa (i=1,2,…,m) (2)
жүйе біртекті жүйе деп аталады.
Жүйенің əрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын
,11 сx = ...,,22 сx = nn сx =
27
сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады. Осы шартты қанағаттандыратын барлық ( )nccc ...,,, 21 шешімдер
шешімдер жиынын құрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу процесін жүйені шешу дейді.
(1) жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз деп аталады.
Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмаған деп аталады. Енді (1) жүйеге мынадай белгілеулер енгізейік:
=
mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
......
..................
......
..................
......
......
21
21
222221
111211
,
=
nb
x
x
Х...
2
1
,
=
mb
b
b
В...2
1
А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица, В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы белгілеулерді қолданып (1) жүйені былайша жазуға болады:
АХ=В (3)
(3) теңдеу (1) жүйенің матрицалық жазылуы болып табылады. Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап жазсақ,
|
|
|
|
...
............
...
...
21
22221
11211
1
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
mb
b
b
...2
1
,
жүйенің кеңейтілген матрицасын аламыз.
28
Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.
Теорема бойынша жүйе үйлесімді болуы үшін rARAr == )()( 1 болуы керек. Бұл кезде r жүйе рангісі деп
аталады. Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең
болса (r=n) , онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n) , онда жүйе анықталмаған болады.
Мысалы, мынадай жүйе қарастырайық:
=+++=−+−=+++
1835
022
1345
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:
|
|
|
1835
1212
3451
1
−−=A
1
0
1
↵
−|
)1(
|
|
|
2424
1212
3451
~
−−−−
0
0
1
|
|
|
2424
1212
3451
~
−−−−
0
0
1
↵− )2(
−−0000
1212
3451
~
|
|
|
0
0
1
−− 1212
3451~
|
|
0
1
Жүйе матрицасы мен кеңейтілген матрицаның екінші ретті
нолге тең емес минорлары бар екенін көру қиын емес жəне 2)1()( == ARAr . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйе
үйлесімді.
29
Жүйе рангісі r=2 , ал белгісіздер саны n=4, r<n болғандықтан жүйе анықталмаған, яғни шексіз көп шешімі бар.
Енді жүйені шешу мəселесіне көшейік.
ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ КРАМЕР ƏДІСІ
Бұл əдіс жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Демек, жүйе түрі мынадай болады:
=+++−−−−−−−−−−−−−−−
=+++=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
(4)
Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда
жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның анықтауышын ∆ деп белгілейік:
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
=∆
Крамер ережесі. ∆ -жүйе анықтауышы, ал j∆ - ∆
анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер 0≠∆ болса жүйенің жалғыз шешімі бар болады жəне мынадай формуламен табылады:
∆∆
= jjx (i=1,2,…,n) (5)
(5) формуланы Крамер формуласы деп атайды. Осы ережені қолданып мынадай жүйені шешейік
30
=++−=+−
=++
7223
22
932
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Шешуі. Алдымен ∆ анықтауышты есептейміз,
13
223
121
312
=−=∆ .
j∆ (j=1,2,3) анықтауыштарды есептейік
13
227
122
319
1 −=−−=∆ , 26
273
121
392
2 =−=∆ ,
39
723
221
912
3 =−−=∆
Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:
113
1311 −=−=
∆∆
=x , 213
2622 ==
∆∆
=x , 313
3933 ==
∆∆
=x .
Сонымен, берілген жүйенің жалғыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жүйе анықталған екен.
ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ КЕРІ МАТРИЦАЛЫҚ ƏДІСІ
Бұл əдіс те жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны
тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Жүйенің матрицалық жазылуын қарастырайық:
31
АХ=В,
мұндағы
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
,
=
nb
x
x
Х...
2
1
,
=
nb
b
b
В...2
1
.
Айталық А ерекше емес матрица болсын, яғни матрица
анықтауышы нолге тең емес, олай болса əр уақытта 1−A кері матрицасы бар болады. Теңдеуді сол жағынан кері матрицаға көбейтейік,
1−A АХ= 1−A В 1−A А=E болатындықтан,
ЕХ= 1−A В, кез келген матрицаның бірлік матрицаға көбейтіндісі сол матрицаның өзіне тең болатындықтан, ЕХ=Х:
Х= 1−A В. Сонымен, кері матрицалық əдіс бойынша жүйенің шешімін табу үшін бос мүшелерден құралған матрицаны жүйе матрицасының кері матрицасына көбейту керек екен.
Жоғарыда карастырылған
=++−=+−
=++
7223
22
932
321
321
321
xxx
xxx
xxx
жүйені осы əдіс бойынша шешіп көрейік.
Шешуі. 013
223
121
312
≠=−=∆ болғандықтан, жүйе матрицасы
ерекше емес. Осы матрицаның кері матрицасын табамыз:
32
−−−
−=−
518
151
746
13
11A .
Енді Х= 1−A В теңдікті қолданып белгісіздерді табамыз:
=⋅=
= −ВA
x
x
x
Х1
3
2
1
=
−⋅
−−−
−
7
2
9
518
151
746
13
1
=
−++++−−
=35272
7109
49854
13
1=
−
39
26
13
13
1
−
3
2
1.
Сонымен, 11 −=x , 22 =x , 33 =x шешімдері табылды.
ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ ГАУСС ƏДІСІ
n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе қарастырайық,
=+++−−−−−−−−−−−−−−−
=+++=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
.
Гаусс əдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер
көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын əдіс. Гаусс түрлендірулері мынадай: 1. Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу; 2. Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту; 3. Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа
теңдеуге сəйкесінше қосу;
33
4. 0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау. Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның
кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық,
|
|
|
|
...
............
...
...
21
22221
11211
1
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
mb
b
b
...2
1
.
Осы матрицаны түрлендірулер нəтижесінде мынадай түрге келтіреміз:
+
+
+
+
0
...
0
...0000
........................
...0...00
...0...00
...0...00
1
31333
21222
11111
rnrrrr
nr
nr
nr
aaa
aaa
aaa
aaa
|
|
|
|
|
|
|
|
+
m
r
r
b
b
b
b
b
b
...
...
1
2
2
1
Матрицаның элементтері ija арқылы белгіленіп тұрғанымен, шын
мəнінде олар түрлендірулер нəтижесінде өзгерген. Бұл белгілеулер жазуды ықшамдау үшін ғана пайдаланылып отыр. Соңғы матрицаға сəйкес келетін теңдеулер жүйесі мынадай:
=−−−
==+++−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=++++=++++
=++++
+
++
++
++
++
m
r
rnrnrrrrrr
nnrr
nnrr
nnrr
b
b
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
0
0
...
......
......
......
1
11
33113333
22112222
11111111
(6)
34
Соңғы 10 += rb , ..., mb=0 теңдеулеріндегі 1+rb , ..., mb сандарының
ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз, ал бəрі нолге тең болса жүйе үйлесімді болады.
Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Айталық (6) жүйе үйлесімді жəне r<n болсын.
Егер rxxx ,...,, 21 коэффициенттерінен құрылған
анықтауыш нолден өзгеше болса, онда rxxx ,...,, 21 айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды.
Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім
базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны rnС -ден
артпайды. Бірнеше мысал қарастырайық.
1-мысал.
=−+=++=++
=++=+
532
1023
1432
6
3
321
321
321
321
21
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:
|
|
|
|
|
132
123
321
111
011
1
−
=A
5
10
14
6
3
↵↵
↵↵
−−−
|
||
||
)2()3()1(
|
|
|
|
|
110
110
310
100
011
~
−−
−1
1
11
3
3
~
)1(
↵
35
|
|
|
|
|
000
110
100
310
011
~
−
0
1
3
11
3
↵
−|
)1()1(
|
|
|
|
400
100
310
301
~
−
−
12
3
11
8
~)3()3()4(
|
↵−−
|
|
|
|
000
100
010
001
~
0
3
2
1
|
|
|
100
010
001
~
3
2
1
.
Соңғы матрицаға сəйкес келетін жүйе жазайық:
===
3
2
1
3
2
1
x
x
x
Сонымен жүйенің шешімі табылды: 3,2,1 321 === xxx
2-мысал.
=+++=−+−=+++
1835
022
1345
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:
|
|
|
1835
1212
3451
1
−−=A
1
0
1
↵− )2(
↵
−|
)5(
|
|
|
1412220
76110
3451
~
−−−−−−
−−
4
2
1
↵− )2(
|
|
|
0000
76110
3451
~
−−−
−0
2
1
115
−−−
−
7611011
211
1401~
|
|
− 211
1
36
Соңғы матрицаға сəйкес келетін жүйе жазайық:
−=−−−
=−+
2761111
1
11
2
11
14
432
431
xxx
xxx
Осы жүйеден 1x жəне 2x айнымалыларды табамыз:
11
2
11
7
11
6,
11
1
11
2
11
14432431 +−−=++−= xxxxxx
ux =3 жəне vx =4 деп алсақ жүйе шешімі мынадай болады:
11
2
11
7
11
6,
11
1
11
2
11
1421 +−−=++−= vuxvux , ux =3 ,
vx =4 . u ,v айнымалылардың орнына еркімізше сан беріп жүйенің сəйкес шешімін табамыз. Сонымен, берілген жүйенің шексіз көп шешімі бар екен. 3-мысал. 2-мысалдағы жүйенің барлық базистік шешімдерін табу керек. Шешуі. Матрица рангісі 2-ге тең екенін кеңейтілген матрицаға жүргізілген түрлендірулерден кейін көру қиын емес, сондықтан жүйедегі екі теңдеуді (мысалы, бастапқы екеуін) қарастырамыз:
=−+−=+++022
1345
4321
4321
xxxx
xxxx
Олай болса базистік шешімдері 62
4 =C дан артпайды. Базистік айнымалылар ретінде мына айнымалылар жұбын алуға болады:
1x , 2x ; 1x , 3x ; 1x , 4x ; 2x , 3x ; 2x 4x ; 3x , 4x .
37
Енді əрқайсысының базистік айнымалылар бола алатынын немесе бола алмайтынын білу үшін коэффициенттерінен құрылған анықтауыштарды есептейміз. Айталық 1x , 2x айнымалылар коэффициенттеріне құрылған анықтауыш
012
51≠
−,
олай болса бұлар базистік айнымалылар бола алады. Базистік шешімді табу үшін жүйедегі 3x , 4x айнымалыларды нолге
теңестіреміз де жүйені мына түрде жазамыз:
=−=+
02
15
21
21
xx
xx
Бұл жүйенің шешімі: 11
2,
11
121 == xx .
Сонда бастапқы жүйенің бір базистік шешімі:
0;0;
11
2;
11
1 болады.
Осы жолмен барлық
− 0;3
1;0;
3
1,
4
1;0;0;
8
1,
0;
14
1;
7
1;0 ,
−2
5;0;
2
1;0 ,
5
1;
10
1;0;0 базистік шешімдерді табамыз.
4-мысал. Біртекті теңдеулер жүйесін шешейік,
=−+=+−=−+
043
032
023
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Шешуі. Біртекті жүйе əруақытта үйлесімді, себебі жүйенің
0321 === xxx нолдік шешуі бар. Ендік нолдік емес шешулері
бар жоқтығын анықтайық. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:
38
|
|
|
431
312
123
1
−−
−=A
0
0
0
|
|
|
123
312
431
~
−−
−
0
0
0
↵− )2(
↵
−|
)3(
−−
−
1170
1170
431
~
|
|
|
0
0
0
↵− )1(
|
|
|
000
1170
431
~
−−
0
0
0
)( 73
|
|
11707
501~
−
0
0
Соңғы матрицаға сəйкес келетін жүйе жазайық:
=+−
=+
0117
07
5
32
31
xx
xx
Осы жүйеден 1x жəне 2x айнымалыларды табамыз:
3231 7
11,
7
5xxxx =−=
Сx 73 = деп алсақ жүйе шешімі мынадай болады:
СxСx 11,5 21 =−= , Сx 73 = .
39
ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР • Үйлесімді жəне үйлесімсіз жүйе деп қандай жүйені
айтамыз? • Қай кезде жүйе анықталған деп аталады? • Жүйе шешудің Крaмер əдісін түсіндір. • Жүйе шешудің матрицалық əдісін түсіндір. • Жүйе шешудің Гаусс əдісін түсіндір. • Жүйенің базистік шешімдері дегеніміз не?
40
ba −
b a
ҮШІНШІ ЛЕКЦИЯ
ВЕКТОРЛЫҚ КЕҢІСТІК
Негізгі ұғымдар. Мектеп курсынан белгілі векторлар жөніндегі білімімізді жалпылайық.
Басы А, соңы В нүктесі болатын бағытталған кесінді
вектор деп аталады. Оқулықтарда векторларды →АВ немесе
_
АВ , кейде тек қалың əріптермен АВ белгілеу түрлері кездеседі. Сол
сияқты векторларды бір əріппен де белгілей береді (→а =
→АВ ,
_
а , а). →АВ векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын
айтады жəне →АВ деп белгілейді.
Басы мен соңы беттесетін вектор нолдік вектор деп
аталады, →0 =
→АА жəне ұзындығы нолге тең.
Бір түзудің не өзара параллель түзулер бойында орналасқан векторлар коллениар векторлар деп аталады.
_
а жəне _
b векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:
_
а жəне _
b векторларының _
а - _
b айырымы деп _
b -ға қосқанда _
а
векторы алынатын _
с= _
а - _
b векторын айтады.
ba +
b
a ba +
b
a b
a
41
A
y2 y1
0 x1 x2 x
B
_
а векторының λ санға көбейтіндісі деп ұзындығы _
а⋅λ
болатын, бағыты λ >0 болғанда _
а векторымен бағыттас, λ <0
болғанда _
а векторымен қарама-қарсы бағытта болатын _
b
векторын айтады. Суретте, λ = 2, _
b =2_
а ; λ = -1, _
b =-_
а .
Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың
ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең шаманы айтады:
ϕcosbaba ⋅=⋅ .
Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінде _
АВ векторының басы мен соңының координаталары белгілі болсын
),( 11 yxA жəне ),( 22 yxВ . Сонда _
АВ векторын координаталары арқылы былай жазуға болады:
_
АВ = ),( 1212 yyxx −−
_
АВ векторының басы координаталар басымен
беттесетіндей етіп өз-өзіне параллель көшірсек, онда _
АВ векторының координатасы вектордың соңының координаталарымен бірдей болатынын аңғару қиын емес.
a− a2 a
42
Жазықтықта вектордың координатасын екі сан анықтаса,
айталық ),( 21
_
aaа = , кеңістікте үш сан анытайды, ),,( 321
_
aaaа = .
Вектордың ұзындығы оның координаталарының
квадраттарының қосындысынан алынған квадрат түбірге тең:
23
22
21 aaaa ++= .
),,( 321
_
aaaа = жəне ),,( 321
_
bbbb = векторлары координаталарымен берілген болса олардың қосындысы мынадай түрде анықталады:
),,( 332211
_
babababа +++=+
Ал ),,( 321
_
aaaа = векторын λ санға көбейту мынадай түрде анықталады:
),,( 321
_
aaaа λλλλ =
Ал ),,( 321
_
aaaа = жəне ),,( 321
_
bbbb = векторларының скаляр көбейтіндісі мынадай:
a
a2 y
a1 x
z a3
a1 x
a a2
y
43
332211
_
babababа ⋅+⋅+⋅=⋅ Енді векторлық кеңістік ұғымына көшейік. Элементтері x,
y, z, … болатын қандай да бір R жиын қарастырайық. Осы жиынның кез келген x жəне y элементтері үшін қосу x + y амалы мен қандай да бір х элементі жəне λ нақты сан үшін көбейту λ х амалы орындалсын.
Анықтама. R жиынның элементтерін қосу жəне элементін нақты санға көбейту амалдары төмендегідей шарттарды қанағаттандырса, R жиын векторлық (сызықтық) кеңістік деп, ал элементтерін векторлар деп атайды:
1. x+y=y+x; 2. (x+y)+z=x+(y+z); 3. Кез келген x∈R үшін 0∈R (нол-элемент) табылады да,
мынадай қатынас орындалады: x+0=x; 4. Кез келген x∈R үшін -х∈R (қарама-қарсы элемент)
табылады да, мынадай қатынас орындалады: x+(-x)=0; 5. ⋅1 x=x; 6. λ ( µ x)=(λ µ )x;
7. λ (x+y)= λ x+λ y 8. ( λ + µ )x=λ x+ µ x. x жəне y векторларының айырмасы деп х векторы мен –1у
векторларының қосындысын айтамыз:
x-y=x+(-1)y
Векторлық кеңістіктің анықтамасынан кез келген х векторды 0 нақты санына көбейткенде пайда болатын жалғыз 0 - ноль вектордың бар болатындығы; əрбір х вектор үшін осы векторды (-1) санына көбейткенде пайда болатын жалғыз қарама-қарсы ( –х) вектордың бар болатындығы шығады.
ВЕКТОРЛЫҚ КЕҢІСТІКТІҢ ӨЛШЕМІ ЖƏНЕ БАЗИСІ R сызықты кеңістіктің векторлары x, y, z, …, u болсын.
Мынадай v=α x+ β y+γ z+…+λ u
44
теңдікпен анықталған v векторы осы кеңістікте жатады, мұндағы λγβα ,...,,, -нақты сандар. Осы v векторды x, y, z, …, u
векторларының сызықты комбинациясы деп атайды. Айталық x, y, z, …, u векторларының сызықты
комбинациясы 0 ноль вектор болсын, яғни
α x+ β y+γ z+…+λ u= 0. (1)
Анықтама. (1) теңдік барлық α = β =γ =…=λ =0 болған кезде ғана орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тəуелсіз деп аталады. Ал егер (1) теңдік α , β ,γ ,…,λ сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тəуелді деп аталады. Мынадай тұжырымның дұрыстығына көз жеткізу қиын емес: Егер x, y, z, …, u векторлар сызықты тəуелді болса, онда бұл векторлардың біреуі басқаларының сызықты комбинациясы арқылы жіктеледі. Жəне керісінше, егер x, y, z, …, u векторлардың біреуі басқаларының сызықты комбинациясы арқылы жіктелсе, онда бұл векторлар сызықты тəуелді болады. Жазықтықтағы коллинеар емес екі вектор сызықты тəуелсіз
векторға мысал болады. Шынында да, жазықтықтағы →xжəне
→y
векторлары үшін (1) теңдік
α→x + β
→y =0
тек α = β =0 болғанда ғана орындалады. Ал, олай демесек,
мысалы 0≠β болса, онда →y =-
βα →
x болып, →x пен
→y
векторларының коллинеарлығын білдірген болар еді. Ал бірақ жазықтықтағы кез келген үш вектор сызықты тəуелді болады. Векторлық кеңістіктің қасиеттері: 1. Егер x, y, z, …, u векторларының ішінде ноль-вектор бар болса, онда бұл векторлар сызықты тəуелді болады. Шынында да, егер, мысалы, x=0 болса, онда (1) теңдік α =1,β =γ =…=λ =0 болғанда орындалады.
45
2. Егер x, y, z, …, u векторларының қандай да бір бөлігі сызықты тəуелді болса, онда бұл векторлардың бəрі сызықты тəуелді болады. Шынында да, мысалы, y, z, …, u векторлары сызықты тəуелді болсын десек β y+γ z+…+λ u=0 теңдік
β ,γ ,…,λ сандарының бəрі бір мезгілде нолге тең болмағанда
орындалып тұр деген сөз. Олай болса бұл теңдік сол β ,γ ,…,λ сандары жəне α =0 санымен де орындалады. Мысал қарастырайық. x=(3,2,-1), y=(2,-1,3), z=(1,3,-4) векторлары сызықты тəуелді ме ? Шешуі. x, y, z векторлары сызықты тəуелді болады, егер
α x+ β y+γ z= 0
теңдігі α , β ,γ сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда орындалса. x, y, z векторларын бағана түрінде жазып, теңдікті ашып жазайық:
α
−1
2
3
+ β
−3
1
2
+γ
− 4
3
1
= 0
Есеп мынадай жүйені шешуге келтірілді:
Жүйе біртекті, яғни оның нолдік шешімі əруақытта бар. Жүйені Гаусс əдісімен шешіп жүйенің нолдік емес шексіз көп шешімін табуға болады:
СС =−= βα , , С=γ ,
мұндағы С-ерікті нақты сан.
=−+−=+−=++
043
032
023
γβαγβαγβα
46
Сонымен, берілген векторлар үшін (1) теңдік α , β ,γ сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда (айталық, 1,1 =−= βα , 1=γ (С=1)) орындалып тұр, олай болса берілген векторлар сызықты тəуелді. Анықтама. Егер R сызықты кеңістікте n сызықты тəуелсіз вектор бар болып, ал осы кеңістіктің кез келген n+1 векторы сызықты тəуелді болса, онда R кеңістікті n өлшемді деп атайды. Кейде кеңістік өлшемі n-ге тең дейді де, dim(R)=n деп немесе Rn деп жазады. Анықтама. п өлшемді векторлық кеңістіктің п сызықты тəуелсіз векторларының жиыны базис деп аталады. Мынадай тұжырымдар дұрыс болады: 1. Егер қандай да бір векторлар базис құрса, онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш нолден өзгеше болады. 2. п өлшемді векторлық кеңістіктің əр бір векторы базистік векторлардың сызықты комбинациясы арқылы жазылады жəне бұл жазу жалғыз болады. Сонда, егер neee ...,,, 21 - кеңістіктің
базисі болса, онда кез келген x∈R векторы жалғыз түрде былай жазылады:
nnexexexx +++= ...2211 .
Демек neee ...,,, 21 базисінде х векторы nxxx ...,,, 21 сандарымен
жалғыз түрде анықталады. nxxx ...,,, 21 сандар х векторының осы
базистегі координаталары деп аталады. Мысал. x=(1;3;0), y=(-1;2;1), z=(1;-1;2) векторлары базис
құра ма? Егер құрса u=(2;0;1) векторын (x,y,z) базисі бойынша жікте (яғни, u векторын x, y, z векторларының сызықты комбинациясы арқылы жазу керек). Шешуі. Бірінші тұжырым бойынша x, y, z векторлары базис құрса, онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш нолден өзгеше болуы керек:
47
014
211
121
031
≠=−
−
Демек, x, y, z векторлары базис құрады екен. Екінші тұжырым бойынша u векторы (x,y,z) базисте жіктеледі жəне ол жіктелу жалғыз болады:
zuyuxuu 321 ++= . x, y, z, u векторларын бағана түрінде жазып, теңдікті ашып жазайық:
1u
0
3
1
+ 2u
−
1
2
1
+ 3u
−2
1
1
=
1
0
2
Есеп мынадай жүйені шешуге келтірілді:
=+−=++−
=+
12
02
23
321
321
21
uuu
uuu
uu
Осы жүйені шешіп u векторының (x, y, z) базисіндегі ( 1u , 2u , 3u )
координаталарын табамыз. Үш белгісізді үш теңдеуден тұрған жүйені жүйе шешудің кез келген əдісімен шешуге болады. Сонда мынадай жалғыз шешім аламыз:
14
91 =u ,
14
82 −=u ,
14
113 =u .
Сонымен, zyxu14
11
14
8
14
9 +−= .
ЕВКЛИД КЕҢІСТІГІ
R векторлық кеңістігігінде векторды санға көбейту жəне екі векторды қосу амалымен, тағы да өлшем жəне базис ұғымымен
48
таныстық. Енді вектор ұзындығын жəне екі вектор арасындағы бұрышты өлшеуге мүмкіндік беретін жаңа ұғым енгіземіз.
Анықтама. )...,,,( 21 nxxxx = жəне )...,,,( 21 nyyyy =
векторларының скаляр көбейтіндісі деп мынадай санды айтамыз:
i
n
iinn yxyxyxyxyx ∑
=
=+++=1
2211 ...),(
Скаляр көбейтудің қасиеттері:
1. (x,y)=(y,x); 2. (x,y+z)=(x,y)+(x,z); 3. (α x,y)= α (x,y); 4. егер х нолдік емес вектор болса, онда (x,y)>0, ал х нолдік
вектор болса, онда (x,y)=0; Анықтама. Осы төрт қасиетті қанағаттандыратын
векторларды скаляр көбейту амалы енгізілген векторлық кеңістік евклид кеңістігі деп аталады.
Евклид кеңістігіндегі х векторының ұзындығы(нормасы) деп мынадай шаманы айтамыз:
22
221 ... nxxxx +++=
х жəне у векторларының арасындағы бұрыш мынадай
теңдікпен анықталады:
yx
yx ),(cos =ϕ ,
мұндағы πϕ <<0 . Екі вектордың скаляр көбейтіндісі нолге тең болса ол
векторлар ортогональ болады. п өлшемді евклид кеңістігінің neee ...,,, 21 векторлары қос-
қостан ортогональ жəне əр вектордың ұзындығы бірге тең болса, ол векторлар ортонормаль базис құрады.
49
СЫЗЫҚТЫ ТҮРЛЕНДІРУ. СЫЗЫҚТЫ ТҮРЛЕНДІРУДІҢ СИПАТТАМАЛЫҚ САНЫ МЕН ӨЗІНДІК ВЕКТОРЫ
п өлшемді R сызықты кеңістік қарастырайық. Анықтама. R сызықты кеңістігінің əрбір x∈R векторына
қандай да бір ереже (заң) бойынша Ax∈R вектор сəйкес қойылса R сызықты кеңістігінде А түрлендіруі берілген деп атайды. Кез келген x, y векторы мен λ саны үшін
A(x+y)=Ax+Ay, A(λ x)= λ Ax
теңдіктері орындалса А түрлендіруі сызықты түрлендіру болады. Сызықты түрлендіру кез келген х векторды өзіне түрлендірсе, онда ол тепе-тең түрлендіру деп аталады. Тепе-тең түрлендіруді Е əрпімен белгілейді. Сонымен,
Ех=х. Базисі neee ...,,, 21 болатын R сызықты кеңістікте А
сызықты түрлендіру берілсін. nAeAeAe ,...,, 21 векторлары осы кеңістікте болатындықтан оларды базис бойынша жіктеп жазуға болады:
nnnnnn
nn
nn
eaeaeaAe
eaeaeaAe
eaeaeaAe
+++=−−−−−−−−−−−−−−−
+++=+++=
...
...
...
2211
22221122
12211111
nAeAeAe ,...,, 21 векторларының neee ...,,, 21 базистегі
координаталарынан мынадай матрица құрайық:
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Осы А матрица сызықты түрлендіру матрицасы деп аталады.
50
R кеңістігінің қандай да бір nnexexexx ++= 2211 векторын қарастырайық. Сызықты түрлендіру нəтижесінде пайда болған Ах векторы да осы кеңістікте болғандықтан, оның neee ...,,, 21
базистегі жіктелуі мынадай болсын:
nnexexexAx ′+′+′= 2211 .
Ах векторының nxxx ′′′ ...,,, 21 координаталары х векторының
nxxx ...,,, 21 координаталары арқылы былайша өрнектеледі:
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
+++=′−−−−−−−−−−−−−−−
+++=′+++=′
...
...
...
2211
22221212
12121111
(2)
Осы n теңдеуді neee ...,,, 21 базистегі сызықты түрлендіру деуге болады. Бұл түрлендіру формуласындағы коэффициенттер А матрицасының жолдарының элементтері, олай болса (2) теңдікті матрицалық түрде де жазып көрсетуге болады:
′
′′
nx
x
x
...2
1
=А
nx
x
x
...2
1
(3)
Мысалдар қарастырайық. 1. п өлшемді кеңістіктегі Е тепе-тең түрлендіру матрицасын табу керек. Шешуі. Тепе-тең түрлендіру базистік векторларды өзгертпейді:
nn eAeeAeeAe === ,...,, 2211 , яғни оның базис бойынша жіктелуі мынадай болады:
nn
n
n
eeeAe
eeeAe
eeeAe
⋅++⋅+⋅=−−−−−−−−−−−−−−−⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=
1...00
0...10
0...01
21
212
211
51
Енді сызықты түрлендіру матрицасын жазуға болады:
=
1...00
............
0...10
0...01
E .
Демек, тепе-тең түрлендіру матрицасы бірлік матрица болады екен. 2. Үш өлшемді кеңістіктегі ( 321 ,, eee ) базисте А сызықты
түрлендіруі мынадай матрицамен берілген:
−=281
651
423
A . Осы
кеңістіктегі 321 34 eeex +−= векторына жасалған Ах сызықты түрлендіруді табу керек. Шешуі. (3) формуланы қолданайық:
Ax=
′′′
3
2
1
x
x
x
= ⋅
−281
651
423
−1
3
4
=
−−
18
13
10
.
Сонымен, 321 181310 eeeAx −−= . Сызықты түрлендіруге қолданылатын амалдарды қарастырайық.
1. А жəне В сызықты түрлендірулер қосындысы деп мынадай
(А+В)х=Ах+Вх
теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады. 2. А сызықты түрлендіруі мен λ тұрақты санының
көбейтіндісі деп мынадай
( λ А)х= λ (Ах)
52
теңдеумен анықталатын λ А сызықты түрлендіруді айтады. 3. А жəне В сызықты түрлендірулер көбейтіндісі деп
мынадай (АВ)х=А(Вх)
теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады.
Егер А түрлендіруі үшін мынадай
ВА=Е, АС=Е
теңдіктер орындалатындай В жəне С сызықты түрлендірулері табылатын болса, онда В=С болады. Бұл жағдайда В=С=А-1 деп белгілейді де А-1 сызықты түрлендіруді А түрлендіруіне кері түрлендіру деп атайды. Сонымен,
А
-1 А= АА-1=Е.
Егер сызықты түрлендіру матрицасының анықтауышы нолден өзгеше болса, онда А сызықты түрлендіруді өзгеше емес сызықты түрлендіру дейді. Əрбір өзгеше емес сызықты түрлендірудің жалғыз кері түрлендіруі бар болады. Ол түрлендіру матрицасы берілген түрлендіру матрицасыңың кері матрицасы болады.
Сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік
векторы ұғымдарымен танысайық. n өлшемді R кеңістік берілсін. Анықтама. Нолдік емес х векторы үшін мынадай
Ax=λ x (4)
теңдік орындалатындай қандай да бір λ нақты саны табылса х векторы А сызықты түрлендіруінің өзіндік векторы деп аталады. λ саны А түрлендіруінің х векторына сəйкес сипаттамалық саны деп аталады. Анықтамадан өзіндік вектор А сызықты түрлендіру нəтижесінде өзіне колинеар векторға түрленетіні көрініп тұр. Ал өзіндік емес векторлар түрлендіруі күрделі болады, сондықтан
53
алгебра мен оның қолдануларында өзіндік векторларды қолдану тиімді жəне ыңғайлы болады. (4) теңдеуді матрицалық түрде жазсақ:
AХ= λ Х, (5)
мұндағы Х - х вектордың координаталарынан тұратын бағана вектор. Теңдеуді ашып жазайық:
=+++−−−−−−−−−−−−−−−=+++
=+++
12211
12222121
11212111
...
...
...
xxaxaxa
xxaxaxa
xxaxaxa
nnnnn
nn
nn
λ
λλ
Теңдеулердің оң жағында нолдер болатындай етіп көшіріп жазайық,
=−+++−−−−−−−−−−−−−−−−−
=++−+=+++−
0)(...
0...)(
0...)(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
λ
λλ
,
матрицалық жазылуы:
(A- λ Е)Х=0.
Алынған біртекті теңдеулер жүйесінің 0=(0, 0, …, 0) нолдік шешімі əруақытта бар. Нолдік емес шешімі бар болуы үшін жүйе анықтауышы нолге тең болуы қажетті жəне жеткілікті:
0
...
............
...
...
21
22212
12111
=
−
−−
=−
λ
λλ
λ
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
EA . (6)
54
EA λ− анықтауыш λ қатысты n–дəрежелі көпмүше. Осы
көпмүшені А сызықты түрлендірудің сипаттамалық көпмүшесі деп, ал (6) теңдеуді сипаттамалық теңдеуі деп атайды. Мынадай маңызды қасиеттер бар: 1. Сипаттамалық көпмүше базисті таңдап алудан тəуелсіз. 2. Егер А сызықты түрлендіру матрицасы симмиетриялы
болса, онда сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері нақты сандар болады. Мысал. x’=5x+4y, y’=8x+9y теңдеулерімен берілген А
сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік векторын анықтау керек.
Шешуі. Түрлендіру матрицасын жазайық,
=
98
45A .
Сипаттамалық теңдеуін жазсақ:
098
45=
−−
λλ
, немесе λ 2-14λ +13=0;
теңдеу түбірлері түрлендірудің сипаттамалық сандары болады,
11 =λ , 132 =λ .
11 =λ сипаттамалық санға сəйкес өзіндік векторларды табу үшін мынадай теңдеулерді шешеміз:
(A- 1λ Е)Х = 0.
Ашып жазсақ,
=−+=+−
0)9(8
04)5(
211
211
xx
xx
λλ
11 =λ болғандықтан теңдеулер жүйесі мынадай түрге келеді:
=+=+
088
044
21
21
xx
xx
55
Жүйеден 12 xx −= екендігі шығады. cx =1 деп алсақ, жүйе шешімі );( cсx −= болады. Кез келген 0≠с үшін 11 =λ сипаттамалық санға
сəйкес өзіндік вектор );( cсx −= табылды. Дəл осылай кез келген 01 ≠с үшін 132 =λ сипаттамалық санға сəйкес келетін өзіндік вектор )2,( 11 ccx = табылады.
КВАДРАТТЫҚ ФОРМАЛАР (қосымша оқу үшін)
Анықтама. nxxx ...,,, 21 айнымалылардың квадраттық
формасы )...,,,( 21 nxxxf деп əрбір қосылғышы белгілі бір
коэффициентке көбейтілген осы белгісіздердің не квадратынан, не екі белгісіздің көбейтіндісінен тұратын қосындыны айтады.
Егер 2ix қосылғыштардың алдындағы коэффициенттерін
iia деп, ал ji xx ⋅ ( ji ≠ ) алдындағы коэффициенттерін ija2 деп
белгілесек, мұнда jiij aa = , онда квадраттық форма мына түрде
жазылады:
j
n
i
n
jiijn xxaxxxf ∑∑
= =
=1 1
21 )...,,,(
)( ijaA = (i=1,2,…,n) матрица квадраттық форма матрицасы деп
аталады. Квадраттық форма матрицасы симметриялы болатынын байқау қиын емес.
Квадраттық форманы матрицалық түрде жазсақ, AXXxxxf n ')...,,,( 21 = ,
мұндағы Х- элементтері nxxx ...,,, 21 айнымалылардан тұратын
бағана матрица. Мысал. 2
3322221
21321 2645),,( xxxxxxxxxxf +−++=
квадраттық форманың матрицасын жазу керек. Шешуі. Квадраттық форма матрицасының диагоналдық элементтері квадрат қосылғыштар алдындағы коэффициенттер
56
болады, яғни 5, 1, 2; ал басқа элементтері ji xx ⋅ қосылғыштардың
алдындағы коэффициенттердің жартысына тең болады. Сонмен матрицаны жазсақ:
−−=230
312
025
A .
Енді квадраттық форма өзгеше емес сызықты түрлендірудің
нəтижесінде қалай өзгеретінін көрейік. Айталық )'...,,,( 21 nxxxX = жəне )'...,,,( 21 nyyyY =
айнымалылардан тұратын бағана матрицалар мынадай сызықты қатынаспен байланысқан: X=CY, мұндағы )( ijсС = (i=1,2,…,n) -
өзгеше емес сызықты түрлендіру. Сонда квадраттық форма
f=X’AX=(CY)’A(CY)=(Y’C’)A(CY)=Y’(C’AC)Y.
Мұнда (CY)’=Y’C’ транспонерлеу қасиеті қолданылды. Сонымен, X=CY өзгеше емес сызықты түрлендіру
матрицасының түрі мынадай болады:
A*=C’AC.
Мысал. 2221
2121 543),( xxxxxxf +−= квадраттық
формасынан 211 yyx −= 212 3 yyx += сызықтық түрлендіру арқылы алынған квадраттық форманы анықтау керек. Шешуі. Берілген квадраттық форма жəне сызықты түрлендіру матрицасын жазайық:
−−
=52
23A ,
−=
13
11С .
A*=C’AC формуласын қолданып жаңа квадраттық форманың матрицасын табамыз:
57
A*=
− 11
31
−−52
23
−13
11
=
1216
1636.
Сонда жаңа квадраттық форма былай жазылады:
2221
2121 123236),( xyyyyyf ++= .
j
n
i
n
jiij xxaf ∑∑
= =
=1 1
квадраттық форманың барлық 0=ija
( ji ≠ ) болса, онда квадраттық форма канондық түрде тұр делінеді:
2
1i
n
iii xaf ∑
== ,
ал оның матрицасы диагоналді болады. Теорема. Кез келген квадрат форманы өзгеше емес сызықты түрлендіру көмегімен канондық түрге келтіруге болады.
Мысал. 2332
2221
21321 362),,( xxxxxxxxxxf −−++= квадрат
форманы канондық түрге келтіру керек. Шешуі. Квадрат форманы былай көшіріп жазайық:
2332
221 36)( xxxxxf −−+= 2
22
322
21 3)(3)( xxxxx +−−+= .
Сонда 211 xxy += , 22 xy = , 323 xxy −= сызықты түрлендіруді алсақ, квадраттық форма мынадай түрге келеді:
23
22
21 33 yyyf +−=
Квадраттық форманы канондық түріге əртүрлі сызықты
түрлендіру көмегімен келтіруге болатындықтан, оның канондық түрі бірмəнді анықталмаған. Бірақ түрлі жолмен алынған бір форманың канондық түрлерінің ортақ қасиеттері болады:
58
1. Квадраттық форманың оң (теріс) коэффициентті қосылғыштар саны сызықты түрлендіруге тəуелсіз тұрақты болып қалады.
2. Квадраттық форма матрицасының рангісі оны канондық түрге келтіргеннен кейінгі нолден өзгеше коэффициенттер санына тең, жəне сызықты түрлендіру кезінде өзгермейді.
Анықтама. )...,,,( 21 nxxxf квадраттық форма оң (теріс) анықталған деп аталады, егер айнымалылардың кез келген, ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болатын, мəнінде
)...,,,( 21 nxxxf >0 ( )...,,,( 21 nxxxf <0)
болса. Мысалы, 2
322
21321 943),,( xxxxxxf ++= квадраттық форма
оң анықталған, ал 2221
21321 2),,( xxxxxxxf −+−= квадраттық форма
теріс анықталған Квадраттық форманың оң терістігін анықтайтын мынадай теоремалар бар.
Теорема. Квадраттық форма оң (теріс) анықталған болуы үшін, оның матрицасының сипаттамалық сандары оң (теріс) болуы қажетті жəне жеткілікті.
Теорема. Квадраттық форма оң (теріс) анықталған болуы үшін, оның матрицасының бас минорлары оң (теріс) болуы қажетті жəне жеткілікті.
59
ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР • Cызықты тəуелді вектолар деп қандай векторларды
айтамыз? • Векторлық кеңістіктің өлшемі мен базисі деп нені айтамыз? • Сызықты түрлендіру деп нені айтамыз? • Сызықты түрлендірудің сипаттамалық саны мен өзіндік
векторын қалай табады?
60
ТӨРТІНШІ ЛЕКЦИЯ
АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері
1. Екі нүкте ара қашықтығы. Жазықтықта ),( 11 yxA жəне ),( 22 yxB екі нүкте берілсін. Осы екі нүкте ара қашықтығын, немесе
АВ кесіндісінің ұзындығын, мына формуламен есептейді:
( ) ( )2122
12 yyxxd −+−= .
2. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Жазықтықта ),( 11 yxA
жəне ),( 22 yxB екі нүкте берілсін. АВ кесіндісін АМ:МВ= λ болатындай қатынаспен бөлетін М(х,у) нүктесінің координаталары мынадай формуламен есептелінеді:
λλ
++
=1
21 xxx ,
λλ
++
=1
21 yyy .
Дербес жағдайда, АВ кесіндісін тең екіге бөлу керек болса,
яғни λ =1:1=1, формула былай түрленеді:
221 xx
x+
= , 2
21 yyy
+= .
3. Үшбұрыш ауданы. Жазықтықта төбелері ),( 11 yxA ,
),( 22 yxB , ),( 33 yxС болатын үшбұрыш ауданы мынадай формуламен есептелінеді:
1
1
1
2
1
33
22
11
yx
yx
yx
S ±=∆ .
61
B
A
0),( =yxF
2y
1y
2x 1x x
y
ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ СЫЗЫҚ ТЕҢДЕУІ
Тік бұрышты координат жүйесінде, қандай да бір сызық берілсін.
x жəне у айнымалыларды байланыстыратын мынадай
F(x, y)=0 (1)
теңдеу қарастырайық.
Теңдеулерге мысал келтірсек:
x - 5y – 2 = 0, x2+y2 – 16 = 0.
Аналитикалық геометрияның ең басты ұғымы сызық теңдеуі болып табылады.
Анықтама. Егер сызық бойында жатқан кез келген нүкте координаталары (1) теңдеуді қанағаттандырып, одан тыс жатқан бірде-бір нүкте оны қанағаттандырмаса, онда (1) теңдеу берілген сызықтың теңдеуі деп аталады.
Суретте ),( 11 yxA нүктесі сызық бойында жатқандықтан, оның координаталары (1) теңдеуді тепе теңдікке айналдырады
0),( 11 ≡yxF ,
ал ),( 22 yxB нүктесі сызықтан тысқары жатқандықтан, оның координаталары (1) теңдеуді қанағаттандырмайды
0),( 22 ≠yxF .
Сызық теңдеуі ұғымы геометриялық есептерді алгебралық
тəсілдермен шығаруға мүмкіндік береді. Мысалы, x-y-2=0, x2+y2-16=0 теңдеулерімен анықталатын сызықтардың қилысу нүктесін табу, осы теңдеулерден тұратын жүйені шешуге, яғни алгебралық есепті шешуге келтіріледі.
62
0
B
y
x
M
K α
1-сурет
ТҮЗУДІҢ ТҮРЛІ ТЕҢДЕУЛЕРІ
Жазықтықтағы түзу (1-сурет) Оу осін В(0;b) нүктесінде
қиып, Ох осімен α (0<α < 2π
)
бұрыш жасасын. Түзу бойынан қандай да бір М(х,у) нүкте алайық. Түзудің Ох осімен жасаған α бұрышының тангенсін ВМК үшбұрышынан табамыз:
x
by
KB
MKtg
−==α (1)
ktg =α деп белгілеп, түзудің бұрыштық коэффициенті деп атау
қабылданған. Сонымен:
x
byk
−= .
Осы қатынастан у-ті тапсақ:
y=kx+b (2)
Түзу бойында жатқан кез келген нүктенің координатасы (2) теңдеуді қанағаттандырады да түзуден тыс жатқан нүктелер бұл теңдеуді қанағаттандырмайды. (2) теңдеу түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі деп аталады. Дербес жағдайларын қарастырайық. 1. Түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуіндегі b=0 болсын. Онда түзу теңдеуі y=kx түрге келеді де, түзу координат басынан өтеді (2-сурет)
63
2. Егер 0=α болса, онда 0=αtg болады да, түзу теңдеуі y=b түрге келеді де, түзу Ох осіне параллель болады (3-сурет). Ал Ох осінің теңдеуі y=0 болады.
3. Егер 2
πα = болса, онда 2
πtgk = мəні болмайды, түзу Ох осіне
перпендикуляр болады. Айталық түзу Ох осінен а тең кесінді қиып өтеді, сонда түзу теңдеуі х=а түрде болады (4-сурет). Ал Оу осінің теңдеуі х=0 болады. Мынадай теорема айтуға болады. Теорема. Тік бұрышты координаталар жүйесінде кез келген түзу бірінші ретті теңдеумен беріледі
Ах+Ву+С=0 (3)
Жəне керісінше, (3) теңдеу (А, В, С коэффициенттердің бəрі бір мезгілде нолге тең болмаған кезде) тік бұрышты координаталар жүйесінде қандай да бір түзуді анықтайды. (3) теңдеуді əдетте түзудің жалпы теңдеуі деп атайды.
Берілген бағыт жəне берілген нүкте арқылы өткен түзу
теңдеуі. Көп жағдайда түзу теңдеуін оның бойында жатқан белгілі ),( 111 yxM нүкте мен k бұрыштық коэффициенті арқылы жазу
керек болады (5-сурет).
y
x=a
y
0=y
by = b
a 0 0 0
y
α
x x x
2-сурет 3-сурет 4-сурет
64
0
B
A
y
x
2y
1y
2x 1x
7-сурет
Түзу теңдеуін (2) түрінде жазайық, y=kx+b, мұндағы b
əзірше белгісіз. Түзу ),( 111 yxM нүктесі арқылы өтетіндіктен, нүкте координатасы түзу теңдеуін қанағаттандыруы керек: y1=kx1+b. Осы теңдіктен белгісіз b табылады, b = y1 - kx1. Табылған мəнді теңдеудегі орнына қойып, берілген бағыт жəне берілген нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін аламыз:
y =k(x – x1)+ y1 (4)
Егер (4) теңдеудегі k ерікті мəн қабылдаса, онда теңдеу
),( 111 yxM нүктесі арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуін анықтайды (6-сурет). Берілген екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуі. ),( 11 yxA жəне ),( 22 yxB нүктелері берілсін. АВ түзуінің теңдеуін жазу үшін
А нүктесі арқылы өткен түзулер шоғының теңдеуін жазамыз:
y =k(x – x1)+ y1.
АВ түзуі ),( 22 yxB нүктесі арқылы өтетіндіктен, нүкте координатасы түзу теңдеуін қанағаттандыруы керек: y2 =k(x2 – x1)+ y1. Осы теңдіктен белгісіз k табылады,
0 0 α
0y
0M
0x
0M 0y
0x x x
y y
5-сурет 6-сурет
65
a
b
A 0
B
y
x
8-сурет
ϕ
2α 1α
0
y
x
9-сурет
12
12
xx
yyk
−−
= . Табылған мəнді теңдеудегі орнына қойып, берілген
екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін аламыз:
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
−−
=−
− (5)
Түзудің “кесіндідегі” теңдеуі. Түзу Ох осінен а-ға тең, Оу
осінен b-ға тең кесінді қиып өтсін (8-сурет). Түзу А(а;0) жəне В(0;b) нүктелері арқылы өтеді деп, (5) теңдеуді қолданайық. Сонда түзу теңдеуі мынадай түрде жазылады:
a
ax
b
y
−−=
−−
00
0
Енді ықшамдасақ, түзудің “кесіндідегі” теңдеуін аламыз:
1=+b
y
a
x (6)
Суреттен көрініп тұрғандай 12 ααϕ −= . Осыдан
21
1212 1)(
ααααααϕ
tgtg
tgtgtgtg
+−
=−=
немесе
21
12
1 kk
kktg
+−
==ϕ (7)
Екі түзу арасындағы бұрыш. Екі түзу берілсін: y=k1x+b1, y=k2x+b2. Мұндағы 11 αtgk = , 22 αtgk = . Екі түзу арасындағы ϕ бұрышты табу керек (9-сурет).
66
x
),( 00 yxM
),( 11 yxN
0
y
10-сурет
(7) формула берілген екі түзу арасындағы бұрышты анықтайды. Ал екінші бұрыш ϕπ − тең болады. Екі түзудің параллелдік жəне перпендикулярлық шарты. Егер екі түзу параллель болса, онда ϕ =0 болады да tgϕ =0. Бұл жағдайда (7) формула мынадай түрге келеді: k2 – k1 = 0. Осыдан екі түзудің параллелдік шарты шығады:
k2 = k1 , (8)
яғни екі түзудің бұрыштық коэффициенттері тең болса, ол түзулер параллель болады жəне керісінше.
Егер екі түзу перпендикуляр болса, онда 2
πϕ = болады да,
12 2απα += ,
1112
1)
2(
αααπα
tgctgtgtg −==+= . Осыдан екі түзудің
перпендикулярлық шарты шығады:
k2 = 1
1
k− , (9)
яғни екі түзудің бұрыштық коэффициенттері мəндері бойынша кері, таңбалары бойынша қарама-қарсы болса, ол түзулер перпендикуляр болады жəне керісінше. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. Тік бұрышты координаталар жүйесінде қандай да бір түзу Ах+Ву+С=0 жəне түзуден тыс жатқан нүкте М(х0,у0) берілсін (10-сурет).
Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық деп нүктеден түзуге түсірілген перпендикуляр ұзындығын айтамыз. Суретте ол d=MN. Осы ара қашықтықты табу үшін: а) Берілген түзуге перпендикуляр жəне М(х0,у0) нүктесі арқылы өтетін түзу
67
Y
X
Е D
B
C
A
11-сурет
теңдеуін тауып аламыз; б) Берілген түзу мен MN түзулерінің теңдеуін жүйе етіп шешіп, олардың қилысу нүктесі N ),( 11 yx табамыз; в) екі нүктенің ара қашықтығын есептейтін формула көмегімен d=MN ара қашықтықты есептейміз. Нəтижесінде мынадай формула алынады:
22
00
BA
CByAxd
+
++= (10)
Мысал. Төбелері А(1;1), В(7;4), С(4;5) болатын үшбұрыштың а) АВ қабырғасының ұзындығын; б) АВ жəне АС түзулерінің теңдеуін; в) А ішкі бұрышын; г) С төбесінен жүргізілген биіктік пен медиана теңдеулерін; д) С төбесінен АВ қабырғасына дейінгі қашықтықты табу
керек. Шешуі. а) Кесінді ұзындығын есептейтін формула бойынша АВ қабырғасының ұзындығын есептейміз:
( ) ( )5345
214217
==
=−+−=AB
б) АВ түзуінің теңдеуін
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
−−
=−
− формуланы пайдаланып табамыз. Мұндағы
),( 11 yx жəне ),( 22 yx нүктелер А жəне В нүктелерінің
координаталары болады: 17
1
14
1
−−=
−− xy
, ықшамдасақ,
2
1
2
1 += xy
теңдеуін аламыз.
68
Дəл осы жолмен АС түзуінің теңдеуін аламыз: 14
1
15
1
−−=
−− xy
,
осыдан 3
1
3
4 −= xy .
в) А ішкі бұрышын есептеу үшін (7) формуланы пайдаланамыз. Ол үшін АВ жəне АС түзулерінің коэффициенттерін алдыңғы пункттегі теңдеулерінен аламыз да,
2
1=ABk , 3
4=ACk , (7) формулаға қоямыз:
5,0
3
4
2
11
2
1
3
4
=⋅+
−==tgА ,
осыдан 5,0arctgA =∠ . г) С төбесінен жүргізілген биіктікті СD дейік. СD теңдеуін
жазу үшін y =k(x – x1)+ y1 теңдеуді пайдаланамыз. ),( 11 yx нүктенің орнына С нүктесінің координатасын қойсақ осы нүкте арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуін аламыз: y =k(x -4)+ 5. Осы шоқтан АВ түзуіне перпендикуляр түзу теңдеуін таңдап алу үшін СD биіктіктің АВ түзуге перпендикуляр болатынын ескеріп
21 −=−=ABk
k табылады да, түзулер шоғы теңдеуіндегі орнына
қойылады: y =-2(x -4)+ 5 . Ықшамдап СD биіктік теңдеуін аламыз,
y =-2x+13.
СЕ медиана теңдеулерін жазу үшін АВ кесіндісінің ортасында жатқан Е нүктесінің координаталарын табамыз:
42
71
2=+=
+= BA
Exx
x , 5,22
41
2=+=
+= BA
Eyy
y , Е=(4; 2,5).
Екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін пайдаланып медиана теңдеуін аламыз:
44
4
55,2
5
−−=
−− xy
,
69
осыдан х=4 СЕ теңдеуі болады.
д) С төбесінен АВ қабырғасына дейінгі қашықтықты табу үшін, АВ теңдеуін
x - 2y + 1 = 0
түрінде жазып алып, (10) формуланы пайдаланамыз:
55
5
)2(1
1254
22==
−+
+⋅−=d .
ТЕОРИЯЛЫҚ СҰРАҚТАР • Кесіндіні берілген қатынаста бөлу формуласын есіңе түсір. • Бұрыштық коэффициентімен берілген түзу теңдеуін
қорытып шығар. • Берілген екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін жаз. • Нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтықты қалай есептеуге
болады?
