Геометрия и алгебра (Г.П. Размыслович, А.В. Филипцов)

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материал

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Часть I

Теоретический материал

Глава 1. Геометрия и алгебра

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Глава 1

Геометрия и алгебра

1.1. Метод координат1.2. Векторы1.3. Прямые и плоскости1.4. Линии и поверхности второго порядка1.5. Группа. Кольцо. Поле1.6. Многочлены1.7. Матрицы1.8. Перестановки1.9. Определитель1.10.Системы линейных уравнений1.11.Линейные пространства1.12.Изоморфизм линейных пространств1.13.Ранг матрицы1.14.Линейное отображение1.15.Линейные операторы1.16.Евклидово пространство1.17.Унитарное пространство1.18.Квадратичные формы

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1. Метод координат

1.1.1. Аналитическая геометрия и метод координат1.1.2. Декартовы координаты на прямой1.1.3. Декартовы координаты на плоскости1.1.4. Декартовы координаты в пространстве1.1.5. Полярные координаты на плоскости1.1.6. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве1.1.7. Уравнение линии на плоскости1.1.8. Уравнение линии и поверхности в пространстве

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.1. Аналитическая геометрия и метод координат

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1.1. Аналитическая геометрия и метод координат

Аналитическая геометрия - раздел математики, в рамках которого геометрические образы исследу-ются алгебраическими методами. В основе этих методов лежит метод координат , с помощью которого ис-следование свойств геометрических объектов сводится к исследованию свойств уравнений этих объектов.Первое полное изложение основ аналитической геометрии и метода координат было сделано французскимматематиком и философом Р.Декартом (1596–1650). В связи с этим одна из наиболее употребимых системкоординат носит название декартовой.

Основными понятиями аналитической геометрии являются простейшие геометрические образы: точ-ки, прямые и плоскости, линии и поверхности второго порядка.

Методы аналитической геометрии находят широкое применение в различных разделах математики,физики, механики, других наук, а также во многих сферах деятельности человека, где используется мате-матическое моделирование.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.2. Декартовы координаты на прямой

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1.2. Декартовы координаты на прямой

Величина направленного отрезка

Рассмотрим некоторую прямую ∆.

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Длиной отрезка называют число, полученное измерением этого отрезка с помощью некоторого отрезка,принятого за единицу длины.

Длину отрезка, ограниченного точками A и B, будем обозначать d(A,B).

Отрезок называется направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какаяконцом.

Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB.

Направленный отрезок называется нулевым, если его начальная и конечная точка совпадают. Нулевойотрезок не имеет определенного направления.

Прямая ∆ имеет два взаимно противоположных направления. Назовем одно из них положительным,второе отрицательным.

Прямая с указанным направлением называется осью.

На рисунках положительное направление обозначается стрелкой.

Величиной направленного отрезка AB на оси ∆ (обозначается AB) называется число, равное длине от-резка, взятой знаком плюс, если его направление совпадает с направлением оси, и со знаком минус, еслинаправления оси и отрезка противоположны, то есть

AB =

{d(A,B), если AB ↑↑ ∆

−d(A,B), если AB ↑↓ ∆

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пример 1.1. Величина направленного отрезок AB положительная, а отрезка BA — отрицательная.

b bA B

∆

Свойства величины направленного отрезка.Свойство 1. Модуль величины направленного отрезка равен длине этого отрезка: |AB| = d(A,B).Свойство 2. AB = −BA.Д о к а з а т е л ь с т в о. Направленные отрезки AB и BA имеют одинаковую длину и противоположные

направления. Следовательно, их величины имеют равные модули и противоположные знаки. �

Теорема 1.1. При любом расположении точек A,B, C на оси сумма величин направленных отрезковAB и BC равна величине направленного отрезка AC, то есть

AB + BC = AC.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть точка B лежит между точками A и C. Тогда направленные отрезкиAB, BC и AC имеют одно направление и при этом

d(A,B) + d(B,C) = d(A,C).

b b

A Bb

C

Если направление отрезков совпадает с направлением оси, то

d(A,B) = AB, d(B,C) = BC, d(A,C) = AC ⇒ AB + BC = AC.

Если направление отрезков противоположно направлению оси, то

d(A,B) = −AB, d(B,C) = −BC, d(A,C) = −AC ⇒

⇒ −AB − BC = −AC ⇒ AB + BC = AC.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

2. Если точка A лежит между точками B и C, то по доказанному выше

BA+ AC = BC ⇒ AC = −BA+ BC = AB + BC.

3. Если точка C лежит между точками A и B, то по доказанному выше

AC + CB = AB ⇒ AC = AB − CB = AB + BC.

Заметим, что теорема остается справедливой, даже если некоторые точки совпадают. �

Декартовы координаты точки на прямой

Рассмотрим некоторую прямую. Выберем на этой прямой положительное направление, некоторуюточку O и укажем единицу масштаба.

Прямая на которой фиксировано положительное направление, начало отсчета и масштаб для измерениядлин называется координатной осью. При этом точка, которая является началом отсчета, называетсяначалом координат .

Декартовой координатой xM произвольной точки M на координатной оси называется величина направлен-ного отрезка OM, то есть xM = OM.

Замечание 1.1. Из определений величины направленного отрезка и декартовой координаты точки следует, чтокоордината точки M равна расстоянию от этой точки до начала координат, взятому со знаком плюс, если точка Mлежит на положительной полуоси, и со знаком минус, если точка M лежит на отрицательной полуоси.

Вычисление величины и длины направленного отрезка на оси

Теорема 1.2. Пусть M1(x1) и M2(x2), две точки расположенные на координатной оси. Тогда величинанаправленного отрезка M1M2 равна разности декартовых координат конечной и начальной точек, то есть

M1M2 = x2 − x1.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теоремы 1.1 для трех точек O, M1 и M2, расположенных на оси,выполняется равенство OM1 + M1M2 = OM2. Следовательно, M1M2 = OM2 − OM1. Но по определениюдекартовой координаты точки OM1 = x1, OM2 = x2. Следовательно, M1M2 = x2 − x1. �

Следствие 1.2.1. Расстояние d(M1,M2) между точками M1(x1) и M2(x2) на координатной оси вычис-ляется по формуле

d(M1,M2) = |x2 − x1|.

Пример 1.2. Найти величину и длину направленного отрезка AB, ограниченного точками A(1) и B(−3).Решение.

AB = xB − xA = −3− 1 = −4,

d(A,B) = | − 4| = 4.

Вычисление координат точки, делящей направленный отрезок в данном отношении

Пусть M1 и M2, две различные точки расположенные на оси. Говорят, что точка M делит направленныйотрезок M1M2 в отношении λ, если

λ =M1M

MM2,

где M1M и MM2 — величины направленных отрезков M1M и MM2. Если точка M лежит между точкамиM1 и M2, то говорят, что она делит отрезок M1M2 внутренним образом, если же точка M расположена внеотрезка M1M2, то говорят, что она делит отрезок внешним образом. Число λ при этом называют простымотношением трех точек M1, M и M2.

Пример 1.3. Определить, в каком отношении делит направленный отрезок точка, являющаяся его серединой.

Решение. Простое отношение трех точек A, C, B имеет значение λ =AC

CB. Если точка C — середина отрезка AB, то

отрезки AC и CB сонаправленны. Следовательно, их величины имеют один знак. Тогда число λ — положительно. А так как

длины отрезков AC и CB равны, то λ = 1.

Свойства простого отношения трех точек.1. Простое отношение трех точек не может принимать значение −1.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если λ = −1, то

M1M

MM2= −1 ⇒ M1M = −MM2 ⇒ M1M = M2M,

что возможно лишь в случае совпадения точекM1 иM2, а это противоречит исходному требованию различияэтих точек. �

2. Если точка M делит направленный отрезок M1M2 в отношении λ, то отрезок M2M1 точка M делит

в отношении1

λ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. ЕслиM1M

MM2= λ, то

M2M

MM1=−MM2

−M1M=MM2

M1M=

1

λ

�3. Простое отношение трех точек M1, M и M2 принимает положительное значение, если точка M

делит направленный отрезок M1M2 внутренним образом, и отрицательное значение, если точка M делитнаправленный отрезок M1M2 внешним образом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если точка M делит отрезок M1M2 внутренним образом, то отрезки M1M иMM2 одинаково направлены. Следовательно величины этих отрезков имеют одинаковый знак вне зависи-мости от направления оси: положительный, если направления отрезков совпадают с направлением оси, иотрицательный, если направления отрезков противоположны направлению оси. Это означает, что отноше-

ние величин направленных отрезков λ =M1M

MM2всегда имеет положительное значение. Если же точка M

делит отрезок M1M2 внешним образом, то отрезки M1M и MM2 направлены противоположно, и отношениеλ, в котором точка M делит отрезок M1M2 отрицательно. �

Замечание 1.2. Из свойства 3 и равенства

|λ| =

∣∣∣∣M1M

MM2

∣∣∣∣ =|M1M||MM2|

=d(M1,M)

d(M2,M).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

следует, что отношение, в котором точка делит направленный отрезок не зависит от направления оси, на которойлежат точки, а зависит лишь от взаимного расположения точек.

Если рассматриваемые точки расположены на координатной оси, то координаты точки, делящей от-резок в данном отношении, можно найти с помощью следующей теоремы.

Теорема 1.3. Если точка M(x) делит в отношении λ направленный отрезок M1M2, ограниченный точ-ками M1(x1) и M2(x2), то координата точки M имеет значение

x =x1 + λx2

1 + λ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения простого отношения трех точек следует, что λ =M1M

MM2. Сле-

довательно по теореме 1.2

λ =x − x1

x2 − x⇒ x − x1 = λ(x2 − x)⇒

⇒ x(1 + λ) = x1 + λx2 ⇒ x =x1 + λx2

1 + λ.

�

Пример 1.4. Найти координату точки C, делящей в отношении λ = −2 направленный отрезок AB, ограниченный точкамиA(1) и B(3).

Решение.

xC =1 + (−2) · 3

1 + (−2)=−5

−1= 5.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.3. Декартовы координаты на плоскости

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1.3. Декартовы координаты на плоскости

Декартову прямоугольную систему координат на плоскости образуют две перпендикулярные координатныеоси с общим началом координат и одинаковой единицей масштаба. Одну из осей называют осью абсциссили осью Ox , другую осью ординат или осью Oy .

Возможны два случая взаимного расположения координатных осей декартовой прямоугольной систе-мы координат.

0

y

xb 0

x

yb

Если кратчайший поворот от первой оси ко второй осуществляется против часовой стрелки, то системакоординат называется правой, если по часовой стрелке, то левой.

В дальнейшем будем использовать только правую систему координат.

0

y

xb

bM

b

b

Mx

My

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пусть M — произвольная точка плоскости, на которой задана декартова прямоугольная система коорди-нат, Mx и My — проекции точки M на координатные оси Ox и Oy соответственно. Декартовыми прямо-угольными координатами x и y точки M (обозначается M(x, y)) называются числа, равные величинамнаправленных отрезков OMx и OMy на осях Ox и Oy соответственно, то есть

x = OMx , y = OMy .

При этом первая координата x называется абсциссой, а вторая координата y — ординатой точки M.

Замечание 1.3. Декартовы координаты точки на плоскости являются декартовыми координатами проекцийэтой точки на соответствующие координатные оси.

Теорема 1.4. Расстояние d(M1,M2) между двумя произвольными точками плоскости M1(x1, y1) иM2(x2, y2) вычисляется по формуле

d(M1,M2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем через точки M1 и M2 прямые параллельные координатным осям.

0

y

xb

b

b

b

NM1

M2

b

b

b b

По теореме Пифагора

d(M1,M2) =√d(M1, N)2 + d(M2, N)2.

Длина отрезка M1N равна длине отрезка соединяющего проекцииточек M1 и M2 на ось Ox . По определению декартовых координатточки эти проекции имеют на оси Ox координаты x1 и x2 соответ-ственно. Следовательно, d(M1, N) = |x2 − x1|. Аналогично можнопоказать, что d(M2, N) = |y2 − y1|. Следовательно,

d(M1,M2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.�

Если через две различные точки плоскости провести ось, то на построенной оси имеет смысл понятиеделения направленного отрезка в данном отношении. Причем по замечанию 1.2 отношение, в котором точка

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

делит отрезок, не зависит от направления данной оси. Координаты точки, делящей отрезок в некоторомотношении, можно найти с помощью следующей теоремы.

Теорема 1.5. Если точкаM(x, y) делит направленный отрезокM1M2, ограниченный точкамиM1(x1, y1)

и M2(x2, y2), в отношении λ то ее координаты равны

x =x1 + λx2

1 + λ, y =

y1 + λy2

1 + λ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отрезок M1M2 не параллелен оси Oy . Построим проекции точек M1, M2

и M на ось Ox .

0

y

x

b

bb

b b b

M1

MM2

N1 N2N

Так как при любом расположении точки M относительно направленного отрезка M1M2 точка N будет

иметь тот же характер расположения относительно отрезка N1N2, то отношенияM1M

MM2иN1N

NN2имеют один

знак. Кроме того эти отношения имеют равные по модулю значения, так как по теореме Фалеса (пропор-циональность отрезков, заключенных между параллельными прямыми)∣∣∣∣M1M

MM2

∣∣∣∣ =d(M1,M)

d(M,M2)=d(N1, N)

d(N,N2)=

∣∣∣∣N1N

NN2

∣∣∣∣ .

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Это означает, что точка N делит отрезок N1N2 в том же отношении, в каком точка M делит отрезок M1M2.Следовательно, абсцисса точки M равна координате точки N на оси Ox и по теореме 1.3 может быть

вычислена по формуле x =x1 + λx2

1 + λ.

Полученная формула остается справедливой и для случая параллельности отрезка M1M2 оси Oy . Вэтом случае x1 = x2 и

x =x1 + λx2

1 + λ=x1 + λx1

1 + λ=x1(1 + λ)

1 + λ= x1.

Аналогично доказывается, что ордината точки M вычисляется по формуле y =y1 + λy2

1 + λ. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.4. Декартовы координаты в пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1.4. Декартовы координаты в пространстве

Декартовы координаты точек в пространстве вводятся аналогично декартовым координатам на плос-кости.

Декартову прямоугольную систему координат в пространстве образуют три взаимно перпендикулярныекоординатные оси с общим началом координат и одинаковой единицей масштаба. Одну из осей называютосью абсцисс или осью Ox , другую осью ординат или осью Oy , третью осью аппликат или осью Oz .

Возможны два случая взаимного расположения координатных осей декартовой прямоугольной систе-мы координат.

0

x

y

z

0

y

x

z

Система координат называется правой, если глядя со стороны положительной полуоси Oz кратчайшийповорот от оси Ox к оси Oy осуществляется против часовой стрелки, и левой, если по часовой стрелке.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

В дальнейшем будем использовать только правую систему координат.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат, M — произвольная точка про-странства, Mx , My и Mz — ее проекции на координатные оси Ox , Oy и Oz соответственно. Декартовымипрямоугольными координатами x , y , z точки M (обозначается M(x, y , z)) называются числа, равные ве-личинам направленных отрезков OMx , OMy и OMz на на осях Ox , Oy и Oz соответственно, то есть

x = OMx , y = OMy , y = OMz .

При этом первая координата x называется абсциссой точки M, вторая координата y — ординатой, третьякоордината z — аппликатой.

0

x

y

z

b

b

b

b

b

M

My

Mx

Mz

Замечание 1.4. Декартовы координаты точки на плоскости являются декартовыми координатами проекцийэтой точки на соответствующие координатные оси.

Теорема 1.6. Расстояние d(M1,M2) между двумя произвольными точками плоскости M1(x1, y1, z1) иM2(x2, y2, z2) вычисляется по формуле

d(M1,M2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Если через две различные точки плоскости провести ось, то на построенной оси имеет смысл понятиеделения направленного отрезка в данном отношении. Причем по замечанию 1.2 отношение, в котором точкаделит отрезок не зависит от направления данной оси. Координаты точки, делящей отрезок в некоторомотношении, можно найти с помощью следующей теоремы.

Теорема 1.7. Если точкаM(x, y , z) делит направленный отрезокM1M2, ограниченный точкамиM1(x1, y1, z1)

и M2(x2, y2, z2), в отношении λ, то ее координаты равны

x =x1 + λx2

1 + λ, y =

y1 + λy2

1 + λ, y =

z1 + λz2

1 + λ.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.5. Полярные координаты на плоскости

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1.5. Полярные координаты на плоскости

Кроме декартовой прямоугольной системы координат на плоскости часто при решении задач удобноиспользовать полярную систему координат.

Определение полярных координат точки

Полярную систему координат на плоскости образуют точка O, выходящий из нее луч Ox и единица мас-штаба для измерения длин. При этом точка O называется полюсом, луч Ox — полярной осью.

Пусть на плоскости задана полярная система координат и пусть M — произвольная точка плоскости.Полярными координатами точки M называются два числа r и ϕ, первое из которых равно расстоянию отточки M до полюса, второе — угол, на который необходимо полярную ось против часовой стрелки вокругполюса O до совмещения ее с лучом OM. При этом первая координата r называется полярным радиусомточки M, вторая координата ϕ — полярным углом.

0

M

xϕ

b

b

Замечание 1.5. Из определения полярных координат следует, что полярный радиус точки всегда имеет неот-рицательное значение, а полярный угол определяется с точностью до слагаемого 2kπ, k ∈ Z.

Замечание 1.6. Если точка M совпадает с полюсом, то ее полярный радиус имеет значение r = 0, а полярныйугол не имеет определенного значения.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Связь между полярными и декартовыми координатами точки

Расположим декартову прямоугольную систему координат и полярную систему координат таким об-разом, чтобы полюс совпадал с началом декартовой системы координат, а полярная ось с положительнойполуосью Ox . ПустьM произвольная точка плоскости, (x, y) — ее декартовы координаты, (r, ϕ) — полярныекоординаты .

0

y

xb

b

bϕ

M

Mx

Тогдаx = r cosϕ, y = r sinϕ.

Полярные координаты точки выражаются через декартовы формулами

r =√x2 + y2, cosϕ =

x√x2 + y2

, sinϕ =y√

x2 + y2.

В случае иного взаимного расположения декартовой системы координат и полярной системы координатформулы связи между полярными и декартовыми координатами точки будут другими.

Пример 1.5. Точка M имеет полярные координаты(

2,5π

4

). Найти ее декартовы координаты (при указанном выше

взаимном расположение полярной и декартовой систем координат).Решение.

xM = 2 cos(5π

4) = −2 ·

√2

2= −√

2,

yM = 2 sin(5π

4) = 2 ·

√2

2=√

2.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пример 1.6. Точка M имеет декартовы координаты(−1,√

3). Найти ее полярные координаты (при указанном выше

взаимном расположение полярной и декартовой систем координат).Решение.

r =

√12 + (

√3)2 =

√4 = 2.

Так как точка M лежит во второй четверти и

cosϕ =x

r= −

1

2, sinϕ =

y

r=

√3

2,

то ϕ =2π

3.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.6. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1.6. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве

Кроме декартовой прямоугольной системы координат в пространстве часто при решении задач удобноиспользовать цилиндрическую или сферическую системы координат.

Цилиндрическую и сферическую системы координат в пространстве образуют плоскость Π, точка O илуч Ox , лежащие в этой плоскости, координатная ось Oz , проходящая через точку O перпендикулярноплоскости Π и единица масштаба для измерения длин.

Пусть в пространстве задана цилиндрическая система координат, и пусть M — произвольная точка про-странства,M1 — ее проекция на плоскость Π,M2 — ее проекция на ось Oz . Цилиндрическими координатамиточки М называются три числа (r, ϕ, z), где r и ϕ — полярные координаты точки M1 относительно по-люса O и полярной оси Ox (при этом на плоскость Π необходимо смотреть со стороны положительногонаправления оси Oz), z — декартова координата точки M2 на координатной оси Oz .

b

b

b

x ϕ M1

0

z

MM2

Θ

Пусть в пространстве задана цилиндрическая система координат, и пусть M — произвольная точка про-странства, M1 — ее проекция на плоскость Π, M2 — ее проекция на ось Oz . Сферическими координатамиточки М называются три числа (r, ϕ, θ), где r — расстояние между точками O и M, ϕ — полярный уголточки M1 относительно полюса O и полярной оси Ox (при этом на плоскость Π необходимо смотреть состороны положительного направления оси Oz), θ — угол между лучом OM и положительным направлениемоси Oz .

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.6. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Если построить декартову систему координат таким образом, чтобы начало координат находилось вточке O, положительная полуось Ox совпала с лучом Ox , а ось Oz совпала с осью Oz цилиндрической илисферической системы координат, то декартовы (x, y , z) координаты точки будут связаны с цилиндрическими(r, ϕ, z) координатами соотношениями

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = z,

а с сферическими координатами (r, ϕ, θ) соотношениями

x = r cosϕ sin θ, y = r sinϕ sin θ, z = r cos θ.

Пример 1.7. Точка M имеет декартовы координаты (−1, 1, 1). Найти ее цилиндрические координаты (при указанномвыше взаимном расположение цилиндрической и декартовой систем координат).

Решение. Построим точку M1 — проекцию точки M на плоскость Oxy . Она имеет декартовы координаты (1, 1, 0). Тогда

r = d(O,M1) =√

12 + 12 + 02 =√

2.

Так как

cosϕ =xM1

r=

1√

2, sinϕ =

yM1

r=

1√

2,

то ϕ =π

4. А третья цилиндрическая координата z совпадает с третьей декартовой координатой zM , то есть

z = zM = 1.

Пример 1.8. Точка M имеет декартовы координаты(

1, 1,√

2). Найти ее сферические координаты (при указанном выше

взаимном расположение сферической и декартовой систем координат).Решение. Первая сферическая координата r имеет значение

r = d(O,M) =

√12 + 12 + (

√3)2 =

√4 = 2.

Вторую координату ϕ можно найти также, как и в примере 1.7: ϕ =π

4. Для третьей координаты θ справедливо равенство:

cos θ =zM

r=

√2

2.

Так как угол θ по определению сферических координат точки может принимать значения 0 6 θ 6 π, то θ =π

4.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.7. Уравнение линии на плоскости

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1.7. Уравнение линии на плоскости

Пусть на плоскости задана некоторая линия L и система координат, и пусть F (x, y) — некотораяфункция двух переменных.

Уравнением линии L в заданной системе координат называют уравнение вида

F (x, y) = 0, (1.1)

которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на линии, и только они. При этом говорят, чтоуравнение (1.1) определяет линию L.

Пример 1.9. Уравнению x2 + y2 = 1 удовлетворяют декартовы координаты точек, лежащих на окружности радиуса 1 с

центром в начале координат, и только они. Следовательно, это уравнение является уравнением данной окружности.

Заметим, что не любое уравнение вида (1.1) определяет линию на плоскости. Например, уравнениюx2 + y2 = 0 удовлетворяют декартовы координаты лишь начала координат, а точек, декартовы координатыкоторых удовлетворяют уравнению x2 + y2 = −1, нет.

Часто, для того чтобы выразить функциональную зависимость между координатами точек линии,бывает удобно ввести третью, вспомогательную переменную величину, через которую можно выразить ко-ординаты любой точки линии. Совокупность полученных таким образом уравнений{

x = ϕ(t),

y = ψ(t)

называют параметрическими уравнениями линии, а переменная t — параметром.Пример 1.10. Уравнения {

x = cos t,

y = sin t

определяют на плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат, так как x2 + y2 = 1.

Параметрические представления линий естественным образом возникают, например, в механике, когдалиния рассматривается как путь, проделанный материальной точкой. При этом параметр t представляетсобой время.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.8. Уравнение линии и поверхности в пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.1.8. Уравнение линии и поверхности в пространстве

Уравнение поверхности в пространстве

Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S и система координат, и пусть F (x, y , z) — неко-торая функция трех переменных.

Уравнением поверхности S в заданной системе координат называют уравнение вида

F (x, y , z) = 0, (1.2)

которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на поверхности, и только они. При этом говорят,что уравнение (1.2) определяет поверхность S.

Пример 1.11. Уравнению x2 + y2 + z2 = 1 удовлетворяют декартовы координаты точек, лежащих на сфере радиуса 1 с

центром в начале координат, и только они. Следовательно, это уравнение является уравнением данной сферы.

Заметим, что не любое уравнение вида (1.2) определяет поверхность в пространстве. Например, урав-нению x2 + y2 = 0 удовлетворяют лишь декартовы координаты точек, лежащих на оси Oz , уравнениюx2 + y2 + z2 = 0 декартовы координаты начала координат, а точек, декартовы координаты которых удовле-творяют уравнению x2 + y2 + z2 = −1, нет.

Уравнение линии в пространстве

Любую линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения поверхностей. Если F1(x, y , z) =

0 и F2(x, y , z) = 0 — уравнения этих поверхностей, то координаты точек линии пересечения должны удо-влетворять каждому из этих уравнений. Следовательно, уравнения{

F1(x, y , z) = 0,

F2(x, y , z) = 0

совместно определяют линию, то есть являются уравнениями этой линии.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.1. Метод координат1.1.8. Уравнение линии и поверхности в пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Если функциональную зависимость между координатами точек линии выразить через вспомогатель-ную переменную величину, то совокупность полученных таким образом уравнений

x = ϕ(t),

y = ψ(t),

z = χ(t)

называют параметрическими уравнениями линии, а переменную t — параметром.Параметрические представления линий естественным образом возникают, например, в механике, когда

линия рассматривается как путь, проделанный материальной точкой. При этом параметр t представляетсобой время.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2. Векторы

1.2.1. Понятие вектора1.2.2. Линейные операции над векторами1.2.3. Коллинеарные и компланарные векторы1.2.4. Проекция вектора на ось1.2.5. Линейная зависимость и независимость векторов1.2.6. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве1.2.7. Координаты вектора1.2.8. Декартовы координаты вектора1.2.9. Направляющие косинусы вектора1.2.10.Скалярное произведение векторов1.2.11.Ориентация тройки векторов1.2.12.Векторное произведение векторов1.2.13.Смешанное произведение векторов1.2.14.Преобразование декартовых координат точки

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.1. Понятие вектора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.1. Понятие вектора

При изучении различных явлений и процессов, происходящих в окружающем нас мире, приходитсяиметь дело с величинами двух существенно различных типов: скалярными и векторными. Скалярной на-зывается величина, которая характеризуется одним числом. Например, скалярными являются температура,масса, плотность, расстояние, объем, площадь и т.п. В отличие от скалярной, векторная величина (или про-сто вектор) помимо числового значения характеризуется также и определенным направлением. Примерамивекторных величин являются сила, действующая на тело, скорость, ускорение, параллельный перенос.

Геометрически векторную величину можно изобразить в виде направленного отрезка. При этом длинуотрезка принимают равной числовому значению векторной величины, а направление отрезка совпадающимс направлением векторной величины.

Геометрическим вектором называют направленный отрезок.

В дальнейшем геометрический вектор будем называть просто вектором.Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают

−→AB. Длину вектора

−→AB обозначают |

−→AB|.

Заметим, что |−→AB| = d(A,B)

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым.

Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю.

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным.

Вектор b, называется противоположным вектору a (обозначается −a), если его длина равна длине вектораa, а направление противоположно направлению вектора a.

Два вектора называются равными, если их длины равны, а направления совпадают.

Таким образом, мы в дальнейшем не будем различать одинаково направленные векторы равной длины.Векторы, обладающие таким свойством, называются свободными векторами. Свободный вектор допускаетперенос в любую точку при условии сохранения длины и направления.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.1. Понятие вектора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь свободные векторы.Замечание 2.1. Помимо свободных векторов в механике и физике иногда применяются связанные и скользя-

щие векторы. Связанными называют векторы, для которых равенство определяется не только равенством длины инаправления, но и совпадением начальных или конечных точек. Скользящими называются векторы, для равенствакоторых необходимо, чтобы кроме совпадения длины и направления, они были расположены на одной прямой.

Откладыванием вектора a от точки O называется построение вектора, имеющего начало в точке O иравного вектору a.

Пусть a и b — два произвольных ненулевых вектора. Отложим их от некоторой точки O, и пусть a =−→OA,

b =−→OB. Угол при вершине O в треугольнике OAB называется углом между векторами a и b и обозначается

(a, b).

0A

B

b

Из определения угла между векторами следует, что 0 6 (a, b) 6 π.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.2. Линейные операции над векторами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.2. Линейные операции над векторами

Произведением вектора a на действительное число α называется вектор (обозначается αa) длина которогоравна длине вектора a, умноженной на |α|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α > 0,и противоположно направлению вектора a, если α < 0.

Суммой двух векторов a и b называется вектор (обозначается a + b), который строится по правилу тре-угольника. Для этого необходимо отложить вектор b от конца вектора a. Тогда вектор, начало которогосовпадает с началом вектора a, а конец с концом вектора b (и любой равный ему) и является суммойa + b.

b

b

b

ab

c

Операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число называются линейными опе-рациями над векторами.

Свойства линейных операций.1. a + b = b + a (коммутативность сложения).2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).3. a + 0 = a.4. a + (−a) = 0.5. (αβ)a = α(βa).6. (α+ β)a = αa + βa.7. α(a + b) = αa + αb.8. 1 · a = a, (−1) · a = −a, 0 · a = 0.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.2. Линейные операции над векторами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Операция сложения векторов порождает обратную операцию — вычитание.

Разностью векторов a и b называется вектор (обозначаем a − b), который при сложении с вектором bдает вектор a, то есть такой, что b + (a − b) = a.

Разность векторов a и b может быть построена по следующему правилу: a−b = a + (−b). То есть, длятого чтобы вычесть вектор b из вектора a, необходимо к вектору a прибавить вектор, противоположныйвектору b.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.3. Коллинеарные и компланарные векторы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.3. Коллинеарные и компланарные векторы

Векторы называются коллинеарными, если они расположены либо на одной прямой, либо на параллельных.

Из определения коллинеарности следует, что коллинеарные векторы, отложенные от одной точки лежатна одной прямой. Следовательно, коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо направленыпротивоположно. В частности, единичные коллинеарные векторы или равны, или противоположны.

Лемма 2.1. Два ненулевых вектора a1 и a2 коллинеарны тогда и только тогда, когда существует числоλ, такое что a1 = λa2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если векторы a1 и a2 коллинеарны, то они либо одинаково

направлены, либо направлены противоположно. В первом случае a1 =|a1||a2|

a2, во втором a1 = −|a1||a2|

a2.

Достаточность следует непосредственно из определений коллинеарности векторов и произведения век-тора на число. �

Векторы называются компланарными, если они расположены либо на одной плоскости, либо на парал-лельных.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.4. Проекция вектора на ось

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.4. Проекция вектора на ось

Пусть a — произвольный вектор, ∆ — некоторая ось. Отложим вектор a от некоторой точки A, и пустьa =−→AB. Построим проекции A1 и B1 точек A и B на ось ∆. Вектор

−−−→A1B1 называется проекцией вектора

a на ось ∆.

b

b

b b

∆A1 B1

A

B

Пусть a — произвольный вектор, ∆ — некоторая ось,−−−→A1B1 — проекция вектора a на ось ∆. Величиной

проекции вектора a на ось ∆ (обозначается пр∆a) будем называть величину направленного отрезка A1B1

на оси ∆.

Величиной проекции вектора a на вектор b (обозначается прba) будем называть величину проекции век-тора a, на любую ось, сонаправленную с вектором b.

Теорема 2.1. Величина проекции вектора a на ось ∆ равна

пр∆a = |a| cos(a,∆),

где (a,∆) — угол между направлением вектора a и положительным направлением оси ∆.Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через O — произвольную точку на оси ∆ и отложим от нее вектор

a.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1. Если угол ϕ между направлением вектора a и положительным направлением оси ∆ острый, (рис.GA41), то направление отрезка OA1 совпадает с направлением оси. Следовательно,

пр∆a = |−−→OA1| = |

−→OA| cosϕ = |a| cosϕ.

b

b

b

A

A10

a

∆

ϕ

2. Если угол ϕ между направлением вектора a и положительным направлением оси ∆ тупой (рис.GA42), то направление отрезка OA1 противоположно направлению оси. Следовательно,

пр∆a = −|−−→OA1| = −|

−→OA| cos(π − ϕ) = |a| cosϕ.

bb

bA

A1 0

a

∆

ϕ

�

Следствие 2.1.1. Величина проекции вектора a на вектор b равна

прba = |a| cos(a, b).

Теорема 2.2. пр∆(αa) = αпр∆a.Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 2.1

пр∆αa = |αa| cos(αa,∆) = |α||a| cos(αa,∆).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Если α > 0, то |α| = α и (αa,∆) = (a,∆). Следовательно,

пр∆αa = α|a| cos(a,∆) = αпр∆a.

Если α < 0, то |α| = −α и (αa,∆) = π − (a,∆). Следовательно,

пр∆αa = −α|a| cos(π − (a,∆)) = α|a| cos(a,∆) = αпр∆a.

�

Теорема 2.3. пр∆(a + b) = пр∆a + пр∆b.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a =−→AB, b =

−→BC. Тогда a + b =

−→AC. Построим точки A1, B1, C1 —

проекции точек A, B, C на ось ∆ (рис). Тогда

пр∆a = A1B1, пр∆b = B1C1, пр∆(a + b) = A1C1.

По теореме 1.1A1B1 + B1C1 = A1C1. Следовательно,

пр∆a + пр∆b = пр∆(a + b).

�

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.5. Линейная зависимость и независимость векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.5. Линейная зависимость и независимость векторов

Линейной комбинацией векторов a1, a2, . . . , an называется вектор вида

α1a1 + α2a2 + · · ·+ αnan,

где α1, α2, . . . , αn — произвольные действительные числа.

Если некоторый вектор b представлен в виде линейной комбинации векторов a1, a2, . . . , an, то говорят, чтоон разложен по этим векторам.

Система векторов a1, a2, . . . , an называется линейно зависимой, если существую не обращающиеся одно-временно в ноль действительные числа α1, α2, . . . , αn, такие что линейная комбинация α1a1 +α2a2 + · · ·+αnan равна нулевому вектору, и независимой, если нулевому вектору равна лишь линейная комбинация снулевыми коэффициентами.

Теорема 2.4. Если система векторов a1, a2, . . . , an содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть один из векторов системы a1, a2, . . . , an, например вектор a1, является

нулевым. Тогда линейная комбинация

1 · a1 + 0 · a2 + · · ·+ 0 · an

имеет среди коэффициентов ненулевые и равна нулевому вектору. �

Теорема 2.5. Два ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если ненулевые векторы a1 и a2 линейно зависимы, то суще-

ствует равная нулевому вектору линейная комбинация α1a1 + α2a2 c не обращающимися одновременно в

ноль коэффициентами. Без ограничения общности будем считать, что α1 6= 0. Тогда a1 = −α2

α1a2. Следо-

вательно, по лемме 2.1 векторы a1 и a2 коллинеарны.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.5. Линейная зависимость и независимость векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Достаточность. Пусть ненулевые векторы a1 и a2 коллинеарны. Тогда по лемме 2.1 существует числоλ, такое что a1 = λa2. Следовательно, a1 − λa2 = 0, то есть a1 − λa2 — линейная комбинация c необращающимися одновременно в ноль коэффициентами и равная нулевому вектору. �

Теорема 2.6. Три ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если ненулевые векторы a1, a2 и a3 линейно зависимы, то

существует равная нулевому вектору линейная комбинация α1a1 + α2a2 + α3a3 c не обращающимися од-новременно в ноль коэффициентами. Без ограничения общности будем считать, что α1 6= 0. Тогда a1 =

−α2

α1a2 −

α3

α1a3. Следовательно, вектор a1 будет параллелен той же плоскости, что и векторы a2 и a3.

Достаточность. Пусть ненулевые векторы a1, a2 и a3 компланарны. Отложим их от некоторой точкиO и пусть a1 =

−−→OA1, a2 =

−−→OA2, a3 =

−−→OA3. Через точку A3 проведем прямые, параллельные векторам

−−→OA1

и−−→OA2. Обозначим через M1 и M2 точки пересечения этих прямых с прямыми OA1 и AO2. По определению

суммы векторов a3 =−−−→OM1 +

−−−→OM2.

Векторы−−→OA1 и

−−−→OM1 коллинеарны. Следовательно, по лемме 2.1 существует число λ1, такое что

−−−→OM1 = λ1

−−→OA1. Векторы

−−→OA2 и

−−−→OM2 также коллинеарны и следовательно, существует число λ2, такое что

−−−→OM2 = λ1

−−→OA2. Тогда

a3 = λ1−−→OA1 + λ2

−−→OA2 = λ1a1 + λ2a2,

Следовательно, a3−λ1a1−λ2a2 = 0, то есть a3−λ1a1−λ2a2 — линейная комбинация c не обращающимисяодновременно в ноль коэффициентами и равная нулевому вектору. �

Теорема 2.7. Система векторов, состоящая из четырех или более ненулевых векторов, линейно зави-сима.

Доказательство теоремы 2.7 аналогично доказательству достаточности теоремы 2.6.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.6. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.6. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве

Базисом на прямой называется линейно независимая система векторов, состоящая из одного вектора,параллельного этой прямой.

Из теоремы 2.4 следует, что базис не может содержать нулевой вектор. Следовательно, любой нену-левой вектор параллельный прямой является базисом на этой прямой.

Базисом на плоскости называется линейно независимая система векторов, состоящая из двух векторов,параллельных этой плоскости.

Из определения базиса на плоскости и теоремы 2.5 следует, что любые два неколлинеарных векторапараллельных плоскости являются базисом на этой плоскости.

Базисом в пространстве называется система трех линейно независимых векторов.

Из определения базиса в пространстве и теоремы 2.6 следует, что любые три некомпланарных вектораявляются базисом в пространстве.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.7. Координаты вектора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.7. Координаты вектора

Теорема 2.8. Любой вектор на прямой, на плоскости, в пространстве можно единственным образомразложить по векторам базиса на прямой, на плоскости, в пространстве.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что любой вектор пространства можно единственным образом раз-ложить по базису в пространстве (доказательство теоремы для случая плоскости и прямой аналогично).

Пусть a — произвольный вектор, (e1, e2, e3) — базис в пространстве. По теореме 2.7 система векторовa, e1, e2, e3 линейно зависима, то есть существует равная нулевому вектору линейная комбинация αa+λ1e1+

λ2e2 + λ3e3 = 0, коэффициенты которой не равны нулю одновременно.Предположим, что α = 0. Следовательно, λ1e1 +λ2e2 +λ3e3 = 0, причем коэффициенты λ1, λ2, λ3 не

обращаются в ноль одновременно. Тогда система векторов (e1, e2, e3) линейно зависима. Получили проти-воречие с тем, что (e1, e2, e3) — базис.

Таким образом, α 6= 0 и, следовательно, справедливо разложение

a = −λ1

αe1 −

λ2

αve2 −

λ3

αe3.

Покажем, что разложение вектора по базису единственно. Пусть вектор a допускает два разложенияпо базису (e1, e2, e3):

a = α1e1 + α2e2 + α3e3,

a = β1e1 + β2e2 + β3e3.

Вычитая второе равенство из первого, получаем

(α1 − β1)e1 + (α2 − β2)e2 + (α3 − β3)e3 = 0.

Так как система векторов, образующая базис, линейно независима, то последнее равенство возможно лишьв случае равенства нулю коэффициентов α1−β1, α2−β2, α3−β3. Следовательно, α1 = β1, α2 = β2, α3 = β3

и рассматриваемые разложения совпадают. �

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.7. Координаты вектора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Понятие координат вектора позволяет свести линейные операции над векторами к линейным операци-ям над числами.

Теорема 2.9. Координаты суммы векторов a + b равны суммам соответствующих координат векторовa и b.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы a и b в базисе (e1, e2, e3) имеют координаты (α1, α2, α3) и(β1, β2, β3) соответственно. Тогда

a = α1e1 + α2e2 + α3e3, b = β1e1 + β2e2 + β3e3.

Следовательно, a + b = (α1 + β1)e1 + (α2 + β2)e2 + (α3 + β3)e3 и по определению координат вектора(α1 + β1, α2 + β2 α3 + β3) — координаты вектора a + b в базисе (e1, e2, e3). �

Теорема 2.10. Координаты произведения вектора a на число λ равны произведениям соответствующихкоординат вектора a на число λ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть вектор a в базисе (e1, e2, e3) имеет координаты (α1, α2, α3). Тогда

a = α1e1 + α2e2 + α3e3.

Следовательно,λa = λα1e1 + λα2e2 + λα3e3

и по определению координат вектора (λα1, λα2, λα3) — координаты вектора λa в базисе (e1, e2, e3). �

Следствие 2.10.1. Два ненулевых вектора a1(α1, α2, α3) и b(β1, β2, β3) коллинеарны тогда и толькотогда, когда их координаты пропорциональны:

α1

β1=α2

β2=α3

β3.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По лемме 2.1 два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когдасуществует число λ, такое что a1 = λa2. Тогда по теореме 2.10

α1 = λβ1, α2 = λβ2, α3 = λβ3.

Выразив из последних равенств число λ, получим необходимые соотношения. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.8. Декартовы координаты вектора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.8. Декартовы координаты вектора

Пусть в пространстве задана некоторая декартова прямоугольная система координат Oxyz . Обозначимчерез i , j , k — единичные векторы сонаправленные с осями Ox , Oy и Oz соответственно. Векторы i , j , k некомпланарны, и, следовательно, являются базисом в пространстве.

Декартовыми координатами вектора называются координаты вектора в базисе (i , j , k), состоящем из еди-ничных векторов, сонаправленных с координатными осями Ox , Oy и Oz .

Следующая теорема устанавливает геометрический смысл понятия декартовых координат вектора.

Теорема 2.11. Декартовы координаты вектора X, Y, Z равны величинам проекций этого вектора накоординатные оси Ox , Oy и Oz соответственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X, Y, Z — декартовы координаты некоторого вектора a. Отложим его отначала координат, и пусть a =

−→OA. Построим точки A1, A2, A3 — проекции точки A на координатные оси.

Рис. Тогда−→OA =

−−→OA1 +

−−→OA2 +

−−→OA3.

Так как векторы−−→OA1 и i коллинеарны, то по лемме 2.1 существует число t такое, что

−−→OA1 = t i . Так

как длина вектора i равна 1, то по определению произведения вектора на число

t =

{|−−→OA1| если

−−→OA1 ↑↑ i ,

−|−−→OA1| если

−−→OA1 ↑↓ i ,

то есть t = прi a = прOxa и, следовательно,−−→OA1 = (прOxa) · i . Аналогично можно показать, что

−−→OA2 =

(прOya) · j ,−−→OA3 = (прOza) · k . Тогда

−→OA = (прOxa) · i + (прOya) · j + (прOza) · k .

Так как разложение вектора a по базису i , j , k единственно, то

X = прOxa, Y = прOya, Z = прOza.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.8. Декартовы координаты вектора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

�

Пусть M — некоторая точка, O — начало системы координат. Радиус-вектором точки M (обозначаетсяrM) называется вектор

−−→OM.

Следствие 2.11.1. Декартовы координаты радиус-вектора точки совпадают с декартовыми координа-тами точки.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть некоторая точка M имеет декартовы координаты x, y , z , а ее радиусвектор

−−→OM координаты X, Y, Z. По определению декартовых координат точки числа x, y , z равны величи-

нам направленных отрезков OMx , OMy , OMz , где Mx ,My ,Mz — проекции точки M на соответствующиекоординатные оси. Но по теореме 2.11 декартовы координаты точки равны тем же величинам. �

Следствие 2.11.2. Если (X, Y, Z) — декартовы координаты вектора a, то |a| =√X2 + Y 2 + Z2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отложим вектор a от начала координат и пусть a =−→OA. Тогда |a| = d(O,A).

По следствию 2.11.1 точка A будет иметь координаты (X, Y, Z). Тогда по теореме 1.6

d(O,A) =√

(X − 0)2 + (Y − 0)2 + (Z − 0)2 =√X2 + Y 2 + Z2.

�

Теорема 2.12. ПустьM1(x1, y1, z1) иM2(x2, y2, z2) — две произвольные точки. Тогда вектор−−−→M1M2 имеет

декартовы координаты (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению суммы векторов−−−→OM2 =

−−−→OM1 +

−−−→M1M2. Следовательно,

−−−→M1M2 =

−−−→OM2 −

−−−→OM1. Векторы

−−−→OM2 и

−−−→OM1 являются радиус-векторами точек M2 и M1 и по следствию

2.11.1 имеют координаты (x2, y2, z2) и (x1, y1, z1). Следовательно, по теореме 2.9 и теореме 2.10 вектор−−−→OM2

имеет координаты (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1). �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.9. Направляющие косинусы вектора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.9. Направляющие косинусы вектора

Из теоремы 2.11 и теоремы 2.1 следует, что произвольный вектор a имеет декартовы координаты|a| cosα, |a| cosβ, |a| cos γ, где α, β, γ — углы между направлением вектора a и положительными направле-ниями координатных осей Ox , Oy и Oz соответственно.

Направляющими косинусами вектора a называются числа cosα, cosβ, cos γ, где α, β, γ — углы между на-правлением вектора a и положительными направлениями координатных осей Ox , Oy и Oz соответственно.

Название этих величин объясняется тем, что они однозначно указывают направление вектора a, таккак единичный вектор, сонаправленный с вектором a имеет декартовы координаты cosα, cosβ, cos γ.

Теорема 2.13. Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна 1:

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.10. Скалярное произведение векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.10. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a и b называется число (обозначается ab), равное произведению длинвекторов на косинус угла между ними, то есть

ab = |a||b| cos(a, b).

Свойства скалярного произведения1. ab = ba.2. (αa)b = α(ab).Д о к а з а т е л ь с т в о. По следствию 2.1.1 прba = |a| cos(a, b). Следовательно, ab = |b|прba. Анало-

гично, (αa)b = |b|прb(αa). По теореме 2.2 прb(αa) = αпрb(a). Следовательно,

(αa)b = |b|прb(αa) = |b|αпрb(a) = α(ab).

�3. (a + b)c = ac + bc .Д о к а з а т е л ь с т в о. По следствию 2.1.1 прca = |a| cos(a, c). Следовательно, ac = |c |прca. Анало-

гично, bc = |c |прcb и (a +b)c = |c |прc (a +b). По теореме 2.3 прc (a +b) = прc (a) +прc (b). Следовательно,

(a + b)c = |c |прc (a + b) = |c |прc (a) + |c |прc (b) = ac + bc .

�4. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение

равно нулю.Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если два ненулевых вектора перпендикулярны, то угол между

ними равен π/2. Косинус этого угла равен 0 и, следовательно, скалярное произведение векторов такжеравно 0.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.10. Скалярное произведение векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Достаточность. Пусть скалярное произведение некоторых векторов равно нулю. Если эти векторыненулевые, то их длины также отличны от нуля. Следовательно, равен нулю косинус угла между векторами,из чего следует, что угол между векторами равен π/2. �

Следующая теорема устанавливает правило вычисления скалярного произведения векторов с помощьюих декартовых координат.

Теорема 2.14. Пусть векторы a и b имеют декартовы координаты (X1, Y1, Z1) и (X2, Y2, Z2) соответ-ственно. Тогда скалярное произведение ab вычисляется по формуле:

ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определению декартовых координат вектора следует, что a = X1i+Y1j+Z1k ,b = X2i + Y2j +Z2k , где i , j , k — единичные векторы, сонаправленные с осями Ox , Oy и Oz соответственно.Тогда по свойствам скалярного произведения

ab = (X1i + Y1j + Z1k)(X2i + Y2j + Z2k) =

(X1X2)i i + (X1Y2)i j + (X1Z2)i k+

(Y1X2)j i + (Y1Y2)j j + (Y1Z2)j k+

(Z1X2)ki + (Z1Y2)kj + (Z1Z2)kk .

Так как векторы i , j , k попарно перпендикулярны, то их смешанные скалярные произведения равны нулю.Скалярные произведения этих же векторов на самих себя будут равны 1, так как их длины равны 1, а углы(i , i), (j , j), (k , k) равны нулю. Следовательно,

ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.

�

Пример 2.1. Скалярное произведение векторов a(1, 2, 3) и b(−3, 2, 1) имеет значение

ab = 1 · (−3) + 2 · 2 + 3 · 1 = −3 + 4 + 3 = −4.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.11. Ориентация тройки векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.11. Ориентация тройки векторов

Пусть (a, b, c) — упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Отложим их от некоторой точки. Если,глядя с конца третьего вектора c , кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b осу-ществляется против часовой стрелки, то тройка векторов (a, b, c) называется правой, а если кратчайшийповорот осуществляется по часовой стрелке, то левой.

Из определения следует, что тройки векторов (a, b, c), (b, c , a), (c , a, b) являются тройками однойориентации, а тройки (b, a, c), (a, c , b), (c , b, a) — тройки противоположной им ориентации.

Заметим, что если декартова система координат в пространстве является правой, то упорядоченнаятройка (i , j , k) направляющих векторов осей координат также является правой. Если же система координатлевая, то тройка векторов (i , j , k) — левая. Так как мы используем только правую систему координат, то вдальнейшем тройку векторов (i , j , k) будем считать правой.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.12. Векторное произведение векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.12. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор (обозначается [a, b]), удовлетворяю-щий следующим условиям:1) |[a, b]| = |a||b| sin(a, b);2) вектор [a, b] перпендикулярен каждому из векторов a и b.3) упорядоченная тройка векторов (a, b, [a, b]) является правой.

Свойства векторного произведения.1. [a, b] = −[b, a].2. [αa, b] = α[a, b], [a, αb] = α[a, b].3. [a + b, c ] = [a, c ] + [b, c ], [a, b + c ] = [a, b] + [b, c ].4. Ненулевые векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно

нулевому вектору.

Теорема 2.15. Пусть векторы a и b имеют декартовы координаты (X1, Y1, Z1) и (X2, Y2, Z2) соответ-ственно. Тогда координаты их векторного произведение [a, b] можно вычислить по формуле

[a, b] =

(∣∣∣∣Y1 Z1

Y2 Z2

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣X1 Z1

X2 Z2

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣X1 Y1

X2 Y 2

∣∣∣∣) ,где

∣∣∣∣Y1 Z1

Y2 Z2

∣∣∣∣, ∣∣∣∣X1 Z1

X2 Z2

∣∣∣∣, ∣∣∣∣X1 Y1

X2 Y 2

∣∣∣∣ — определители второго порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определению декартовых координат вектора следует, что a = X1i+Y1j+Z1k ,b = X2i + Y2j +Z2k , где i , j , k — единичные векторы, сонаправленные с осями Ox , Oy и Oz соответственно.Тогда по свойствам векторного произведения

[a, b] = [X1i + Y1j + Z1k , X2i + Y2j + Z2k ] =

(X1X2)[i , i ] + (X1Y2)[i , j ] + (X1Z2)[i , k ]+

(Y1X2)[j , i ] + (Y1Y2)[j , j ] + (Y1Z2)[j , k ]+

(Z1X2)[k , i ] + (Z1Y2)[k , j ] + (Z1Z2)[k , k ].

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.12. Векторное произведение векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

По свойству 4 векторные произведения [i , i ], [j , j ], [k , k ] равны нулевому вектору.Рассмотрим векторное произведение [i , j ]. Длина этого вектора равна |i | |j | sin(i , j) = 1 ·1 · sin(π/2) = 1.

А так как вектор [i , j ] должен быть перпендикулярен и вектору i и вектору j , то он равен либо вектору k ,либо вектору −k . Так как тройка векторов (i , j , k) правая, то [i , j ] = k . Аналогично можно установить, что[i , k ] = −j , [j , k ] = i , а из свойства 1 получить, что [j , i ] = −k , [k , i ] = j , [k , j ] = −i Следовательно,

[a, b] = (X1Y2)(k) + (X1Z2)(−j) + (Y1X2)(−k) + (Y1Z2)i + (Z1X2)j + (Z1Y2)(−i) =

= (Y1Z2 − Z1Y2)i − (X1Z2 − Z1X2)j + (X1Y2 − Y1X2)k =

= i ·∣∣∣∣Y1 Z1

Y2 Z2

∣∣∣∣− j ·∣∣∣∣X1 Z1

X2 Z2

∣∣∣∣+ k ·∣∣∣∣X1 Y1

X2 Y 2

∣∣∣∣ .�

Пример 2.2. Векторное произведение векторов a(1, 2, 3) и b(−3, 2, 1) имеет координаты

[a, b] =

(∣∣∣∣2 3

2 1

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ 1 3

−3 1

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ 1 2

−3 2

∣∣∣∣) = (2− 6,−(1 + 9), 2 + 6) = (−4,−10, 8).

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.13. Смешанное произведение векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.13. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов (a, b, c) называется число (обозначается abc),равное скалярному произведению вектора c и векторного произведения [a, b], то есть

abc = [a, b]c .

Свойства смешанного произведения.1. Пусть V — объем параллелепипеда, построенного на отложенных от одной точки некомпланарных

векторах a, b, c . Тогда

abc =

{V, если (a, b, c) — правая тройка векторов,−V, если (a, b, c) — левая тройка векторов.

2. Векторы a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.3. abc = bca = cab = −acb = −cba = −bac .4. (αa)bc = a(αb)c = ab(αc) = α(abc).5. (a + d)bc = abc + dbc , a(b + d)c = abc + adc , ab(c + d) = abc + abd .

Теорема 2.16. Пусть векторы a, b, c имеют декартовы координаты (X1, Y1, Z1), (X2, Y2, Z2) и (X3, Y3, Z3)

соответственно. Тогда их смешанное произведение abc можно вычислить по формуле

abc =

∣∣∣∣∣∣X1 Y1 Z1

X2 Y2 Z2

X3 Y3 Z3

∣∣∣∣∣∣ ,

где

∣∣∣∣∣∣X1 Y1 Z1

X2 Y2 Z2

X3 Y3 Z3

∣∣∣∣∣∣ — определитель третьего порядка.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.13. Смешанное произведение векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме вектор [b, c ] имеет координаты(∣∣∣∣Y2 Z2

Y3 Z3

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣X2 Z2

X3 Z3

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣X2 Y2

X3 Y3

∣∣∣∣).Следовательно,

abc = a[b, c ] = X1

∣∣∣∣Y2 Z2

Y3 Z3

∣∣∣∣− Y1

∣∣∣∣X2 Z2

X3 Z3

∣∣∣∣+ Z1

∣∣∣∣X2 Y2

X3 Y3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣X1 Y1 Z1

X2 Y2 Z2

X3 Y3 Z3

∣∣∣∣∣∣�

Пример 2.3. Смешанное произведение векторов a(1, 2, 3), b(−3, 2, 1) и c(1, 0, 2) имеет значение

abc =

∣∣∣∣∣∣1 2 3

−3 2 1

1 0 2

∣∣∣∣∣∣ = 12.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.2. Векторы1.2.14. Преобразование декартовых координат точки

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.2.14. Преобразование декартовых координат точки

Преобразование декартовых координат точки на плоскости

Следующая теорема устанавливает взаимосвязь координат произвольной точки плоскости в двух раз-личных (не обязательно одной ориентации) декартовых прямоугольных системах координат.

Теорема 2.17. Пусть точка M в декартовой системе координат Oxy имеет координаты (x, y), а всистеме координат O′x ′y ′ — координаты (x ′, y ′). Тогда{

x = a + x ′ cos(i , i ′) + y ′ cos(i , j ′),

y = b + x ′ cos(j, i ′) + y ′ cos(j, j ′),

где (a, b) — координаты точки O′ в первой системе координат Oxy ,i , j, i ′, j ′ — единичные векторы, сонаправленные с координатными осямиOx, Oy, O′x ′, O′y ′ соответственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как (a, b) — координаты точки O′ в системе координат Oxy , то по след-

ствию 2.11.1 радиус-вектор−−→OO′ в системе Oxy также имеет координаты (a, b). Тогда по определению

декартовых координат вектора−−→OO′ = ai + bj . Аналогично рассуждая, можно показать, что

−−→OM = x i + y j ,

−−→O′M = x ′i ′ + y ′j ′.

Так как−−→OM =

−−→OO′ +

−−→O′M, то

x i + y j = ai + bj + x ′i ′ + y ′j ′.

Так как векторы i и j не коллинеарны, то они образуют на плоскости базис. Следовательно, по теореме2.8 векторы i ′ и j ′ можно представить в виде линейной комбинации

i ′ = α1i + α2j ,j ′ = β1i + β2j .

(2.1)

Тогдаx i + y j = ai + bj + x ′(α1i + α2j) + y ′(β1i + β2j)

= (a + x ′α1 + y ′β1)i + (b + x ′α2 + y ′β2)j .

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Так как разложение вектора по базису единственно, то{x = a + x ′α1 + y ′β1,

y = b + x ′α2 + y ′β2.(2.2)

Определим значения коэффициентов α1, α2, β1, β2. Для этого умножим скалярно обе части равенств(2.1) на векторы i и j .

i ′i = α1i2 + α2j i = α1 ⇒ α1 = |i ′||i | cos(i ′, i) = cos(i ′, i)i ′j = α1i j + α2j2 = α2 ⇒ α2 = |i ′||j | cos(i ′, j) = cos(i ′, j)

j ′i = β1i2 + β2j i = β1 ⇒ β1 = |j ′||i | cos(j ′, i) = cos(j ′, i)j ′j = β1i2 + β2j2 = β2 ⇒ β2 = |j ′||j | cos(j ′, j) = cos(j ′, j).

Подставив полученные значения в (2.2), получим необходимые равенства. �

Рассмотрим три частных случая преобразования декартовых прямоугольных координат: поворот си-стемы координат, параллельный перенос и преобразование симметрии относительно прямой. Любое преоб-разование декартовой системы координат можно свести к последовательному выполнению преобразованийэтих типов.

Пример 2.4. Рассмотрим поворот правой системы координат вокруг точки O против часовой стрелки на угол ϕ.

b

ϕ

x′y′

O

y

x

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Точка O′ в исходной системе Oxy имеет координаты (0, 0).

cos(i , i ′) = cosϕ,

cos(j , j ′) = cosϕ,

cos(i , j ′) = cos(ϕ+ π2

) = − sinϕ,

cos(j , i ′) = cos(ϕ− π2

) = sinϕ.

Таким образом, {x = x ′ cosϕ− y ′ sinϕ,

y = x ′ sinϕ+ y ′ cosϕ.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пример 2.5. Рассмотрим параллельный перенос начала системы координат в точку O′(a, b).

b

b

O′x′

y′

x

y

O

При этом преобразовании координатные оси не меняют свое направление, и, следовательно,

cos(i , i ′) = cos(j , j ′) = 1,

cos(i , j ′) = cos(j , i ′) = 0.

Таким образом, {x = a + x ′,y = b + y ′

Пример 2.6. Рассмотрим преобразование симметрии координатных осей относительно прямой y = x .

y′

x′

x

y

y = x

O

Точка O′ в исходной системе Oxy имеет координаты (0, 0).

cos(i , i ′) = cos(j , j ′) = cos(π/2) = 0,

cos(i , j ′) = cos(j , i ′) = cos 0 = 1.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Таким образом, {x = y ′,y = x ′

Заметим, что при преобразовании симметрии относительно прямой происходит переориентация декартовой системы коорди-

нат.

Преобразование декартовых координат точки в пространстве

Следующая теорема устанавливает взаимосвязь координат произвольной точки пространства в двухразличных (не обязательно одной ориентации) декартовых прямоугольных системах координат.

Теорема 2.18. Пусть точка M в декартовой системе координат Oxyz имеет координаты (x, y , z), а всистеме координат O′x ′y ′z ′ — координаты (x ′, y ′, z ′). Тогда

x = a + x ′ cos(i, i′) + y ′ cos(i, j′) + z ′ cos(i, k′),y = a + x ′ cos(j, i′) + y ′ cos(j, j′) + z ′ cos(j, k′),z = a + x ′ cos(k, i′) + y ′ cos(k, j′) + z ′ cos(k, k′),

где (a, b, c) — координаты точки O′ в первой системе координат O′x ′y ′z ′,i, j, k, i′, j′, k′ — единичные векторы, сонаправленные с координатными осями Ox,Oy,Oz,O′x ′, O′y ′, O′z ′ со-ответственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.17.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.3. Прямые и плоскости x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.3. Прямые и плоскости

1.3.1. Уравнения прямой на плоскости1.3.2. Уравнения плоскости в пространстве1.3.3. Уравнения прямой в пространстве

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.3. Прямые и плоскости1.3.1. Уравнения прямой на плоскости

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.3.1. Уравнения прямой на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Oxy .

Теорема 3.1. Если прямая проходит через точкуM0(x0, y0) перпендикулярно ненулевому вектору n(A,B),то ее уравнение имеет вид

A(x − x0) + B(y − y0) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произвольная точка M(x, y) будет лежать на прямой тогда и только тогда,

когда векторы−−−→M0M и n будут перпендикулярны.

b

b

M0

M

∆

n

Но векторы−−−→M0M и n будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение

−−−→M0M · n будет равно нулю. Вектор

−−−→M0M имеет координаты (x − x0, y − y0). Следовательно,

−−−→M0M · n =

A(x − x0) + B(y − y0). Таким образом, точка M(x, y) будет лежать на прямой тогда и только тогда, когдавыполняется равенство

A(x − x0) + B(y − y0) = 0.

�

Пример 3.1. Уравнение прямой, проходящей через точку M0(1,−1) перпендикулярно вектору n(2, 3), имеет вид2(x − 1) + 3(y + 1) = 0.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Общее уравнение прямой


Теорема 3.2. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида

Ax + By + C = 0. (3.1)

Если числа A и B не обращаются в ноль одновременно, то уравнение (3.1) является уравнением прямой.Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть ∆ — некоторая прямая на плоскости, M0(x0, y0) — точка на пря-

мой, n(A,B) — ненулевой вектор, перпендикулярный ∆. Тогда по теореме 3.1 прямая может быть заданауравнением

A(x − x0) + B(y − y0) = 0.

Раскрыв скобки и обозначив через C число −Ax0 − By0 получим уравнение Ax + By + C = 0.2. Рассмотрим уравнение Ax + By + C = 0. Так как коэффициенты A и B не обращаются в ноль

одновременно, то это уравнение всегда имеет решение (x0, y0) (например, в случае B 6= 0, выбрав произ-

вольно значение для x0, значение для y0 следует выбрать равным −1

B(Ax0 + C)). Тогда Ax0 +By0 + C = 0.

Вычитая это равенство из исходного уравнения, получаем уравнение A(x − x0) + B(y − y0) = 0, котороеравносильно исходному уравнению и согласно теоремы 3.1 является уравнением прямой. Следовательно, иисходное уравнение Ax + By + C = 0 является уравнением прямой, причем по теореме 3.1 коэффициентыA и B являются координатами нормального вектора этой прямой. �

Из теоремы 3.2 следует, что уравнение вида Ax + By + C = 0 с не обращающимися одновременно вноль коэффициентами A и B является уравнением прямой на плоскости.

Уравнение прямой вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой.

Замечание 3.1. Из доказательства теоремы 3.2 следует, что коэффициенты A и B общего уравнения прямойявляются координатами ненулевого вектора, перпендикулярного прямой.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Прямая на плоскости имеет бесконечно много общих уравнений, но все эти уравнения имеют пропор-циональные коэффициенты. Этот факт устанавливает следующая теорема.

Теорема 3.3. Если два общих уравнения

A1x + B1y + C1 = 0,

A2x + B2y + C2 = 0

определяют одну прямую, тоA1

A2=B1

B2=C1

C2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как рассматриваемые уравнения определяют одну прямую, то по заме-чанию 3.1 векторы n1(A1, B1) и n2(A2, B2) перпендикулярны этой прямой и, следовательно, коллинеарны.

Тогда по теореме 3.3A1

A2=B1

B2. Обозначим эти отношения через α. Тогда A1 = αA2, B1 = αB2.

Пусть M(x0, y0) — произвольная точка на рассматриваемой прямой. Тогда

A1x0 + B1y0 + C1 = 0,

A2x0 + B2y0 + C2 = 0.

Вычитая из первого равенства второе, умноженное на α, получаем равенство

(A1 − αA2)x0 + (B1 − αB2)y0 + (C1 − αC2) = 0,

из которого следует C1 = αC2 и

α =C1

C2=A1

A2=B1

B2.

�

Уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 называется полным, если все его коэффициенты не равнынулю, и неполным в противном случае.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Неполные уравнения задают прямые, проходящие через начало координат и параллельные координат-ным осям:

1. A = 0 — прямая параллельна оси Ox ;2. B = 0 — прямая параллельна оси Oy ;3. C = 0 — прямая проходит через начало координат;4. A = 0, C = 0 — уравнение оси Ox ;5. A = 0, C = 0 — уравнение оси Oy .Если общее уравнение Ax + By + C = 0 является полным, то его можно представить в виде

x

−C/A +y

−C/B = 1.

Обозначим a = −C

A, b = −

C

B. Тогда уравнение прямой примет вид

x

a+y

b= 1.

Из уравнения следует, что прямая пересекает координатные оси в точках с координатами (a, 0) и (0, b).Следовательно, числа a и b равны длинам отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятых сознаком плюс, если отрезок отсекается на положительной полуоси, и со знаком минус, если на отрицательной.

Уравнение прямой на плоскости видаx

a+y

b= 1 называется уравнением прямой в отрезках .

Пример 3.2. Уравнениеx

−2+y

3является уравнением в отрезках прямой, изображенной на рисунке.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

b

b

b

x

y

O−2

3

∆

Нормальное уравнение прямой

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть ∆ — некотораяпроизвольная прямая на плоскости.

Построим ось Γ , проходящую через начало координат перпендикулярно прямой ∆, и выберем на нейположительное направление от начала координат в сторону прямой ∆ (если прямая ∆ проходит через началокоординат, то положительное направление оси Γ выберем произвольно).

Обозначим через p — расстояние от начала координат до прямой, α — угол, на который необходимоповернуть ось 0x против часовой стрелки, чтобы ее положительное направление совпало с положительнымнаправлением оси Γ.

b

b

x

y

O

P

α

n

Γ

∆

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Числа α и p однозначно определяют положение прямой ∆ на плоскости позволяют построить уравнениепрямой.

Теорема 3.4. Уравнениеx cosα+ y sinα− p = 0,

является уравнением прямой ∆.Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через P точку пересечения прямых ∆ и Γ, n — вектор, имеющий

длину 1 и направление, совпадающее с направлением оси Γ. Заметим, что вектор n перпендикулярен прямой∆.

Произвольная точка M(x, y) будет принадлежать прямой ∆ тогда и только тогда, когда векторы n и−−→PM будут перпендикулярны. Но тогда скалярное произведение n ·

−−→PM должно быть равно нулю.

По определению суммы векторов−→OP +

−−→PM =

−−→OM. Следовательно,

−−→PM =

−−→OM −

−→OP , и по свойствам

скалярного произведенияn ·−−→PM = n ·

−−→OM − n ·

−→OP .

Так как вектор n имеет длину 1, то его декартовы координаты совпадают с направляющими косинуса-

ми: xn = cosα и yn = cos(α −π

2) = sinα. Вектор

−−→OM является радиус-вектором точки M. Следовательно,

по следствию 2.11.1 его декартовы координаты совпадают с координатами точки M: xM = x , yM = y . Тогдапо теореме 2.14 скалярное произведение n ·

−−→OM имеет значение

n ·−−→OM = x cosα+ y sinα.

Вычислим скалярное произведение n ·−→OP . Векторы n и

−→OP сонаправлены. Следовательно, угол между

ними равен 0. Тогдаn ·−→OP = |n| · |

−→OP | cos 0 = |n| · |

−→OP |.

По построению |n| = 1, |−→OP | = p. Следовательно, n ·

−→OP = p.

Таким образом, точкаM(x, y) будет принадлежать прямой ∆ тогда и только тогда, когда ее координатыудовлетворяют уравнению

x cosα+ y sinα− p = 0,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

то есть это уравнение является уравнением прямой. �

Уравнение прямой вида x cosα+y sinα−p = 0 называется нормальным уравнением прямой на плоскости.

Замечание 3.2. Нормальное уравнение прямой характеризуется двумя особенностями:1) свободный член −p уравнения всегда отрицателен,2) сумма квадратов коэффициентов при переменных x и y равна 1.Поэтому часто общее уравнение Ax + By + C = 0 также называют нормальным, если его коэффициенты

удовлетворяют условиям: A2 + B2 = 1, C < 0.Пример 3.3. Уравнение 4

5x + 3

5y − 2 = 0 является нормальным уравнением прямой, так как свободный член уравнения

равен отрицателен, а сумма квадратов коэффициентов при x и y равна(4

5

)2

+

(3

5

)2

= 1.

Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 можно привести к нормальному виду, домножив его на

нормирующий множитель, модуль которого равен1√

A2 + B2, а знак противоположен знаку коэффициента

C (если C = 0, знак нормирующего множителя можно выбрать произвольно).Пример 3.4. Нормирующий множитель общего уравнения прямой 4x + 3y − 10 = 0 равен 1√

42+32= 1

5. Домножив общее

уравнение на его нормирующий множитель получим нормальное (см. пример 3.3) уравнение прямой 45x + 3

5y − 2 = 0.

С помощью нормального уравнения прямой можно вычислять расстояние от любой точки плоскостидо этой прямой

Теорема 3.5. Если уравнениеx cosα+ y sinα− p = 0

является нормальным уравнением некоторой прямой ∆, то расстояние от произвольной точки M0(x0, y0) допрямой ∆ вычисляется по формуле

d(M0,∆) = |x0 cosα+ y0 sinα− p|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как уравнение x cosα+ y sinα− p = 0 является нормальным уравнениемпрямой, то вектор n(cosα, sinα) перпендикулярен этой прямой.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

b

b

b

b

x

y

O

P

α

n

Γ

∆

M1

M0

Пусть M1(x1, y1) — проекция точки M0 на прямую ∆. Тогда

d(M0,∆) = |−−−→M1M0|, а вектор

−−−→M1M0 перпендикулярен прямой. Следова-

тельно, векторы n и−−−→M1M0 коллинеарны, то есть угол между ними равен

или 0 или π. В первом случае косинус этого угла равен 1, во втором −1.

Рассмотрим модуль скалярного произведения n ·−−−→M1M0:

|n ·−−−→M1M0| = |n| · |

−−−→M1M0| · | cos(

n,−−−→M1M0)| = 1 · r(M0,∆) · 1 = r(M0,∆).

С другой стороны,−−−→M1M0 =

−−−→OM0 −

−−−→OM1, следовательно,

|n ·−−−→M1M0| = |n ·

−−−→OM0− n ·

−−−→OM1| = |x0 cosα+ y0 sinα− (x1 cosα+ y1 sinα)|.

Так как точка M1 лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют нормальному уравнению прямой.Следовательно, x1 cosα+ y1 sinα = p и

|n ·−−−→M1M| = |x0 cosα+ y0 sinα− p|.

�

Таким образом, чтобы вычислить расстояние от точки до прямой необходимо координаты точки под-ставить в левую часть нормального уравнения этой прямой и взять модуль полученного значения.

Пример 3.5. Найти расстояние от точки M(6, 2) до прямой 4x + 3y − 10 = 0.Решение. Нормальное уравнение прямой 4x + 3y − 10 = 0 имеет вид 4

5x + 3

5y − 2 = 0 (см. пример 3.4). Следовательно,

d(M,∆) =

∣∣∣∣45 · 6 +3

5· 2− 2

∣∣∣∣ = 4.

Параметрические уравнения прямой


Ненулевой вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Теорема 3.6. Если прямая проходит через точку M0(x0, y0) и имеет направляющий вектор a(a1, a2), тоуравнения {

x = x0 + a1t,

y = y0 + a2t,

являются параметрическими уравнениями этой прямой.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произвольная точка M(x, y) будет лежать на прямой ∆ тогда и только тогда,

когда векторы−−−→M0M и a будут коллинеарны.

b

b

M0

M

∆a

В соответствии с леммой 2.1 коллинеарность векторов−−−→M0M и a равносильна рвенству

−−−→M0M = ta, где

t — некоторое число, которое может принимать любое значение от −∞ до +∞ в зависимости от длинывектора

−−−→M0M. Так как вектор

−−−→M0M имеет координаты (x − x0, y − y0), а вектор ta координаты (ta1, ta2), то

равенство−−−→M0M = ta равносильно системе {

x − x0 = a1t,

y − y0 = a2t,

из которой следует необходимое уравнение. �

Замечание 3.3. В параметрических уравнениях прямой областью значения параметра t является вся числоваяпрямая (−∞,+∞).

Пример 3.6. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0(1,−1) параллельно вектору n(2, 3), имеютвид {

x = 1 + 2t,

y = −1 + 3t,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Каноническое уравнение прямой


Теорема 3.7. Если прямая проходит через точку M0(x0, y0) и имеет направляющий вектор a(a1, a2), тоее уравнение имеет вид

x − x0

a1=y − y0

a2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прямая ∆ удовлетворяет параметрическим уравнениям{x = x0 + a1t,

y = y0 + a2t,

Исключим из них параметр t. Для этого выразим t из каждого из параметрических уравнений

t =x − x0

a1, t =

y − y0

a2

и приравняем их значенияx − x0

a1=y − y0

a2.

�

Уравнение прямой видаx − x0

a1=y − y0

a2называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

Замечание 3.4. В каноническом уравнении прямой возможно равенство нулю знаменателя. Это означает неделение на ноль, которое невозможно, а равенство нулю числителя для всех точек прямой.

Пример 3.7. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0(1,−1) параллельно вектору n(2, 3), имеет вид

x − 1

2=y + 1

3.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Oxy . Если прямая ∆ проходитчерез две различные точки M0(x0, y0) и M1(x1, y1), то вектор

−−−→M0M1 является направляющим вектором этой

прямой. Подставив координаты (x1 − x0, y1 − y0) этого вектора в каноническое уравнение прямой, получимуравнение прямой ∆

x − x0

x1 − x0=y − y0

y1 − y0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Oxy . Рассмотрим произволь-ную прямую, не параллельную оси Oy .

Углом наклона прямой к оси Ox называется угол, на который необходимо повернуть ось Ox против часовойстрелки, чтобы она стала параллельна прямой.

b

x

y

O

∆

ϕ

Угловым коэффициентом прямой на плоскости называется тангенс угла наклона прямой к оси Ox .

Теорема 3.8. Пусть ∆ — прямая, не параллельная оси Oy , k — ее угловой коэффициент. Тогда прямаяможет быть задана уравнением вида

y = kx + b.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Следствие 3.8.1. Пусть ∆ — прямая, не параллельная оси Oy , k — ее угловой коэффициент, M0(x0, y0)

— точка на ∆. Тогда прямая может быть задана уравнением вида

y = y0 + k(x − x0).

Уравнение прямой вида y = kx + b называется уравнением с угловым коэффициентом.

Полярное уравнение прямой

Пусть на плоскости задана полярная система координат и пусть ∆ — некоторая произвольная прямаяна плоскости.

b

b

x

y

O

P

α

n

Γ

∆

Построим ось Γ , проходящую через полюс перпендикулярно пря-мой ∆, и выберем на ней положительное направление от полюса в сто-рону прямой ∆ (если прямая ∆ проходит через полюс, то положитель-ное направление оси Γ выберем произвольно).

Обозначим через p — расстояние от начала координат до пря-мой, α — угол, на который необходимо повернуть полярную ось вокругполюса против часовой стрелки, чтобы она совпала с положительнымнаправлением оси Γ.

Числа α и p однозначно определяют положение прямой ∆ на плос-кости и позволяют построить полярное уравнение прямой.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Теорема 3.9. Полярное уравнениеr cos(ϕ− α) = p

является уравнением прямой.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы прямые ∆1 и ∆2:

A1x + B1y + C1 = 0,

A2x + B2y + C2 = 0.

Тогда векторы n1(A1, B1) n2(A2, B2) являются нормальными векторами рассматриваемых прямых.Если прямые ∆1 и ∆2 параллельны, то векторы n1 и n2 коллинеарны, и, следовательно, их координаты

пропорциональны:A1

A2=B1

B2.

Это условие является и достаточным для параллельности прямых, если прямые не совпадают (условиесовпадения прямых, заданных нормальными уравнениями, установлено в теореме 3.3).

Задача об определении угла ϕ между прямыми ∆1 и ∆2 сводится к определению угла ϕ между векто-рами n1 и n2. По определению скалярного произведения

cosϕ =n1n2

|n1| |n2|=

A1A2 + B1B2√A2

1 + B21

√A2

2 + B22

, (3.2)

где ϕ — один из углов, образуемый при пересечении прямых ∆1 и ∆2. Из (3.2) следует необходимое идостаточное условие перпендикулярности прямых:

∆1 ⊥ ∆2 ⇐⇒ A1A2 + B1B2 = 0.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.3. Прямые и плоскости1.3.2. Уравнения плоскости в пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.3.2. Уравнения плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Ненулевой вектор перпендикулярный плоскости называется нормальным вектором этой плоскости.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz .

Теорема 3.10. Если плоскость проходит через точкуM0(x0, y0, z0) и имеет нормальный вектор n(A,B, C)

то ее уравнение имеет видA(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произвольная точка M(x, y , z) будет лежать на плоскости тогда и только то-

гда, когда векторы−−−→M0M и n будут перпендикулярны.

b

bM0

M

n

Но векторы−−−→M0M и n будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение

−−−→M0M · n будет равно нулю. Вектор

−−−→M0M имеет координаты (x − x0, y − y0, z − z0). Следовательно,

−−−→M0M · n =

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0). Таким образом, точка M(x, y) будет лежать на прямой тогда и толькотогда, когда выполняется равенство

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

�

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пример 3.8. Уравнение прямой, проходящей через точку M0(1,−1, 2) перпендикулярно вектору n(2, 3,−1), имеет вид

2(x − 1) + 3(y + 1)− (z − 2) = 0.

Общее уравнение плоскости

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz . Рассмотрим уравне-ние

Теорема 3.11. Любая плоскость в пространстве может быть задана уравнением вида

Ax + By + Cz +D = 0. (3.3)

Если числа A, B и C не обращаются в ноль одновременно, то уравнение (3.3) является уравнением плоско-сти.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть Π — некоторая плоскость, M0(x0, y0, z0) — точка на этой плоскости,n(A,B, C) — нормальный вектор плоскости Π. Тогда по теореме 3.10 прямая может быть задана уравнением

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Раскрыв скобки и обозначив через D число −Ax0 − By0 − Cz0 получим уравнение Ax + By + Cz +D = 0.2. Рассмотрим уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Так как коэффициенты A, B и C не обращаются в

ноль одновременно, то это уравнение всегда имеет решение (x0, y0, z0) (например, в случае C 6= 0, выбрав

произвольно значения для x0 и y0, значение z0 следует выбрать равным −1

C(Ax0 + By0 +D)). Тогда Ax0 +

By0 + Cz0 +D = 0. Вычитая это равенство из исходного уравнения, получаем уравнение A(x − x0) +B(y −y0)+C(z−z0) = 0, которое равносильно исходному уравнению и согласно теоремы 3.10 является уравнениемпрямой. Следовательно, и исходное уравнение Ax + By + C = 0 является уравнением прямой, причем потеореме 3.10 коэффициенты A, B и C являются координатами нормального вектора этой прямой. �

Из теоремы следует, что уравнение вида Ax +By + Cz +D = 0 с не обращающимися одновременно вноль коэффициентами A, B и C является уравнением плоскости в пространстве.

Уравнение плоскости вида Ax + By + Cz +D = 0 называется общим уравнением плоскости .

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Замечание 3.5. Из доказательства теоремы 3.11 следует, что коэффициенты A, B и C общего уравненияплоскости являются координатами нормального вектора плоскости.

Плоскость имеет бесконечно много общих уравнений, но все эти уравнения имеют пропорциональныекоэффициенты. Этот факт устанавливает следующая теорема.

Теорема 3.12. Если два общих уравнения

A1x + B1y + C1z +D1 = 0,

A2x + B2y + C2z +D2 = 0

определяют одну плоскость, тоA1

A2=B1

B2=C1

C2=D1

D2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как рассматриваемые уравнения определяют одну плоскость, то векторыn1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) являются нормальными векторами этой плоскости и, следовательно, колли-

неарны. Тогда по следствию 2.10.1A1

A2=B1

B2=C1

C2. Обозначим эти отношения через α. Тогда A1 = αA2,

B1 = αB2, C1 = αC2.Пусть M(x0, y0, z0) — произвольная точка на рассматриваемой плоскости. Тогда

A1x0 + B1y0 + C1z0 +D1 = 0,

A2x0 + B2y0 + C2z0 +D2 = 0.

Вычитая из первого равенства второе, умноженное на α, получаем равенство

(A1 − αA2)x0 + (B1 − αB2)y0 + (C1 − αC2)z0 + (D1 − αD2) = 0,

из которого следует D1 = αD2 и

α =D1

D2=C1

C2=A1

A2=B1

B2.

�

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Уравнение плоскости в отрезках

Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 называется полным, если все его коэффициенты неравны нулю, и неполным в противном случае.

Неполные уравнения задают плоскости, которые проходят через начало координат, параллельны коор-динатным осям и координатным плоскостям.

Если общее уравнение Ax + By + Cz +D = 0 является полным, то его можно представить в виде

x

−D/A +y

−D/B +y

−D/C = 1.

Обозначим a = −D

A, b = −

D

B, c = −

D

C. Тогда уравнение плоскости примет вид

x

a+y

b+z

c= 1.

Из уравнения следует, что плоскость пересекает координатные оси в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0)

и (0, 0, c). Следовательно, числа a, b и c равны длинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатныхосях, взятых со знаком плюс, если отрезок отсекается на положительной полуоси, и со знаком минус, еслина отрицательной.

Уравнение плоскости видаx

a+y

b+z

c= 1 называется уравнением плоскости в отрезках .

Нормальное уравнение плоскости

b

bγ

β

αO

x

y

z Γ

Π

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная системакоординат Oxyz и пусть Π — некоторая произвольная плоскость.

Построим ось Γ , проходящую через начало координат перпенди-кулярно плоскости Π, и выберем на ней положительное направлениеот начала координат в сторону плоскости (если плоскость Π проходит

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

через начало координат, то положительное направление оси Γ выберемпроизвольно).

Обозначим через p — расстояние от начала координат до плос-кости Π, α, β, γ — углы, между положительными направлениями оси

Γ с координатными осями.Числа α, β, γ и p однозначно определяют положение плоскости Π и позволяют построить ее уравнение.

Теорема 3.13. Уравнениеx cosα+ y cosβ + z cos γ − p = 0,

является уравнением плоскости Π.Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через P точку пересечения плоскости Π и прямой Γ, n — нормаль-

ный вектор плоскости Π, имеющий длину 1 и направление, совпадающее с направлением оси Γ. Тогда α, β,γ — углы между направлением вектора n и положительными направлениями координатных осей. Следова-тельно, вектор n имеет декартовы координаты (cosα, cosβ, cos γ).

Произвольная точка M(x, y , z) будет принадлежать плоскости Π тогда и только тогда, когда векторы

n и−−→PM будут перпендикулярны. Но тогда скалярное произведением n ·

−−→PM должно быть равно нулю.

По определению суммы векторов−→OP +

−−→PM =

−−→OM. Следовательно,

−−→PM =

−−→OM −

−→OP , и по свойствам

скалярного произведенияn ·−−→PM = n ·

−−→OM − n ·

−→OP .

Вектор−−→OM является радиус-вектором точки M. Следовательно, по следствию 2.11.1 его декартовы

координаты совпадают с координатами точки M: xM = x , yM = y , zM = z . Тогда по теореме 2.14 скалярноепроизведение n ·

−−→OM имеет значение

n ·−−→OM = x cosα+ y cosβ + z cos γ.

Вычислим скалярное произведение n ·−→OP . Векторы n и

−→OP сонаправлены. Следовательно, угол между

ними равен 0. Тогдаn ·−→OP = |n| · |

−→OP | cos 0 = |n| · |

−→OP |.

По построению |n| = 1, |−→OP | = p. Следовательно, n ·

−→OP = p.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Таким образом, точка M(x, y , z) будет принадлежать плоскости Π тогда и только тогда, когда еекоординаты удовлетворяют уравнению

x cosα+ y cosβ + z cos γ − p = 0,

то есть это уравнение является уравнением плоскости. �

Уравнение плоскости вида x cosα+y cosβ+z cos γ−p = 0 называется нормальным уравнением плоскости.

Замечание 3.6. Нормальное уравнение прямой характеризуется двумя особенностями:1) свободный член −p уравнения всегда отрицателен,2) сумма квадратов коэффициентов при переменных x , y и z равна 1.Поэтому часто общее уравнение Ax +By +Cz +D = 0 также называют нормальным, если его коэффициенты

удовлетворяют условиям: A2 + B2 + C2 = 1, D < 0.Пример 3.9. Уравнение 2

3x− 2

3y+ 1

3y−2 = 0 является нормальным уравнением прямой, так как свободный член уравнения

равен отрицателен, а сумма квадратов коэффициентов при x и y равна(2

3

)2

+

(−

2

3

)2

+

(1

3

)2

= 1.

Общее уравнение прямой Ax + By + Cz + D = 0 можно привести к нормальному виду, домножив

его на нормирующий множитель, модуль которого равен1√

A2 + B2 + C2, а знак противоположен знаку

коэффициента D (если D = 0, знак нормирующего множителя можно выбрать произвольно).Пример 3.10. Нормирующий множитель общего уравнения плоскости 2x − 2y + z − 6 = 0 равен

1√22 + (−2)2 + 12

=1

3

. Домножив общее уравнение на его нормирующий множитель получим нормальное (см. пример 3.9) уравнение плоскости23x − 2

3y + 1

3y − 2 = 0.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

С помощью нормального уравнения плоскости можно вычислять расстояние от любой точки простран-ства до этой плоскости.

Теорема 3.14. Если уравнение

x cosα+ y cosβ + z cos γ − p = 0

является нормальным уравнением некоторой плоскости Π, то расстояние от произвольной точкиM0(x0, y0, z0)

до плоскости Π вычисляется по формуле

d(M0,Π) = |x0 cosα+ y0 cosβ + z0 cos γ − p|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как уравнение x cosα + y cosβ + z cos γ − p = 0 является нормальнымуравнением плоскости, то вектор n(cosα, cosβ, cos γ) является нормальным вектором плоскости и имеетдлину 1.

Пусть M1(x1, y1, z1) — проекция точки M0 на плоскость Π. Тогда d(M0,Π) = |−−−→M1M0|, а вектор

−−−→M1M0

является нормальным вектором плоскости. Следовательно, векторы n и−−−→M1M0 коллинеарны, то есть угол

между ними равен или 0 или π. В первом случае косинус этого угла равен 1, во втором -1.Рассмотрим модуль скалярного произведения n ·

−−−→M1M0:

|n ·−−−→M1M0| = |n| · |

−−−→M1M0| · | cos(

n,−−−→M1M0)| = 1 · r(M0,Π) · 1 = d(M0,Π).

С другой стороны,−−−→M1M0 =

−−−→OM0 −

−−−→OM1, следовательно,

|n ·−−−→M1M0| = |n ·

−−−→OM0 − n ·

−−−→OM1| =

|x0 cosα+ y0 cosβ + z0 cos γ − (x1 cosα+ y1 cosβ + z1 cos γ)|.

Так как точка M1 лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют нормальному уравнению плоскости.Следовательно, x1 cosα+ y1 cosβ + z1 cos γ = p и

|n ·−−−→M1M| = |x0 cosα+ y0 cosβ + z0 cos γ − p|.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

�

Таким образом, чтобы вычислить расстояние от точки до прямой необходимо координаты точки под-ставить в левую часть нормального уравнения этой прямой и взять модуль полученного значения.

Пример 3.11. Найти расстояние от точки M(−1, 1, 1) до плоскости 2x − 2y + z − 6 = 0.Решение. Нормальное уравнение плоскости 2x − 2y + z − 6 = 0 имеет вид 2

3x − 2

3y + 1

3y − 2 = 0 (см. пример 3.10).

Следовательно,

d(M,Π) =

∣∣∣∣23 · (−1)−2

3· 1 +

1

3· 1− 2

∣∣∣∣ = | − 3| = 3.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки


Теорема 3.15. Если плоскость проходит через три различные точки M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1) иM2(x2, y2, z2), то ее уравнение имеет вид∣∣∣∣∣∣

x − x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

∣∣∣∣∣∣ = 0,

где

∣∣∣∣∣∣x − x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

∣∣∣∣∣∣ — определитель третьего порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произвольная точка пространства будет принадлежать рассматриваемой плос-кости тогда и только тогда, когда векторы

−−−→M0M,

−−−→M0M1 и

−−−→M0M2 будут компланарны. Но по свойствам сме-

шанного произведения три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение

равно нулю. По теореме 2.16 смешанное произведение−−−→M0M

−−−→M0M1

−−−→M0M2 имеет значение

∣∣∣∣∣∣x − x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

∣∣∣∣∣∣.Приравняв его к нулю получим уравнение плоскости. �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пример 3.12. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки M0(−1, 1, 1), M1(1, 0, 1) и M2(2, 1, 0).Решение. В соответствии с теоремой 3.15 рассматриваемая плоскость имеет уравнение∣∣∣∣∣∣

x + 1 y − 1 z − 1

1 + 1 0− 1 1− 1

2 + 1 1− 1 0− 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

или ∣∣∣∣∣∣x + 1 y − 1 z − 1

2 −1 0

3 0 −1

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Вычислив определитель и приведя подобные получим общее уравнение плоскости x + 2y + 3z − 4 = 0.

Взаимное расположение плоскостей

Пусть в пространстве заданы плоскости Π1 и Π2:

A1x + B1y + C1z +D1 = 0,

A2x + B2y + C2z +D2 = 0.

Тогда векторы n1(A1, B1, C1) n2(A2, B2, C2) являются нормальными векторами рассматриваемых плоско-стей.

Если плоскости Π1 и Π2 параллельны, то векторы n1 и n2 коллинеарны, и, следовательно, их координатыпропорциональны:

A1

A2=B1

B2=C1

C2.

Это условие является и достаточным для параллельности плоскостей, если плоскости не совпадают (условиесовпадения плоскостей, заданных нормальными уравнениями, установлено в теореме 3.12).

Задача об определении угла ϕ между плоскостями Π1 и Π2 сводится к определению угла ϕ междувекторами n1 и n2. По определению скалярного произведения

cosϕ =n1n2

|n1| |n2|=

A1A2 + B1B2 + C1C2√A2

1 + B21 + C2

1

√A2

2 + B22 + C2

2

, (3.4)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

где ϕ — один из углов, образуемый при пересечении плоскостей Π1 и Π2. Из (3.4) следует необходимое идостаточное условие перпендикулярности плоскостей:

Π1 ⊥ Π2 ⇐⇒ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.3. Прямые и плоскости1.3.3. Уравнения прямой в пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.3.3. Уравнения прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой


Ненулевой вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой.

Теорема 3.16. Если прямая проходит через точкуM0(x0, y0, z0) и имеет направляющий вектор a(a1, a2, a3),то уравнения

x = x0 + a1t,

y = y0 + a2t,

z = z0 + a3

являются параметрическими уравнениями этой прямой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Произвольная точка M(x, y , z) будет лежать на рассматриваемой прямой то-

гда и только тогда, когда векторы−−−→M0M и a будут коллинеарны. Коллинеарность векторов

−−−→M0M и a равно-

сильна рвенству−−−→M0M = ta, где t — некоторое число, которое может принимать любое значение от −∞ до

+∞ в зависимости от длины вектора−−−→M0M. Так как вектор

−−−→M0M имеет координаты (x − x0, y − y0, z − z0)

а вектор ta координаты (ta1, ta2, ta3), то равенство−−−→M0M = ta равносильно системе

x = x0 + a1t,

y = y0 + a2t,

z = z0 + a3

из которой следует необходимое уравнение. �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Замечание 3.7. В параметрических уравнениях прямой областью значения параметра t является вся числоваяпрямая (−∞,+∞).

Пример 3.13. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0(−1, 1, 1) параллельно вектору a(1, 2, 3),имеют вид

x = −1 + t,

y = 1 + 2t,

z = 1 + 3t.

Канонические уравнение прямой


Теорема 3.17. Если прямая проходит через точкуM0(x0, y0, z0) и имеет направляющий вектор a(a1, a2, a3),то ее уравнения имеют вид

x − x0

a1=y − y0

a2=z − z0

a3.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассматриваемая прямая удовлетворяет параметрическим уравнениямx = x0 + a1t,

y = y0 + a2t,

z = z0 + a3.

Исключим из них параметр t. Для этого выразим t из каждого из параметрических уравнений

t =x − x0

a1, t =

y − y0

a2, t =

z − z0

a3

и приравняем их значенияx − x0

a1=y − y0

a2=z − z0

a3.

�

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Уравнения прямой видаx − x0

a1=y − y0

a2=z − z0

a3называются каноническими уравнениями прямой в

пространстве.

Замечание 3.8. В канонических уравнениях прямой возможно равенство нулю знаменателя. Но это означаетне деление на ноль, которое невозможно, а равенство нулю числителя для всех точек прямой.

Пример 3.14. Канонические уравнение прямой, проходящей через точкуM0(−1, 1, 1) параллельно вектору a(1, 2, 3), имеетвид

x + 1

1=y − 1

2=z − 1

3.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz .Если прямая ∆ проходит через две различные точки M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1), то вектор

−−−→M0M1

является направляющим вектором этой прямой. Подставив координаты (x1−x0, y1−y0, z−z0) этого векторав каноническое уравнение прямой, получим уравнение прямой ∆

x − x0

x1 − x0=y − y0

y1 − y0=z − z0

z1 − z0.

Прямая как линия пересечения плоскостей

Любую прямую в пространстве всегда можно представить как линию пересечения двух различныхплоскостей проходящих через эту прямую. Если

A1x + B1y + C1z +D1 = 0,

A2x + B2y + C2z +D2 = 0(3.5)

— уравнения двух различных плоскостей, проходящих через некоторую прямую ∆, то точка M(x, y , z) будетлежать на этой прямой тогда и только тогда, когда ее координаты будут удовлетворять обоим уравнениямплоскостей. Следовательно, систему уравнений (3.5) можно рассматривать, как уравнения прямой ∆.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Заметим, что уравнения (3.5) будут определять две различные плоскости, проходящие через однупрямую, если их коэффициенты при переменных x, y , z не пропорциональны, так как в противном случаеэти плоскости имели бы коллинеарные нормальные векторы n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2), что означалобы параллельность плоскостей.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть в пространстве заданы прямая ∆ и плоскость Π:

x − x0

a1=y − y0

a2=z − z0

a3,

Ax + By + Cz +D = 0.

Тогда вектор a(a1, a2, a3) является направляющим вектором прямой ∆, а вектор n(A,B, C) — нормальнымвектором плоскости Π.

Прямая ∆ и плоскость Π будут параллельны, если векторы a и n — перпендикулярны, то есть если

a1A+ a2B + a3C = 0.

Если при этом точка (x0, y0, z0), принадлежащая прямой, удовлетворяет уравнению плоскости

Ax0 + By0 + Cz0 +D = 0,

то прямая лежит в плоскости.Прямая ∆ и плоскость Π будут перпендикулярны, если векторы a и n коллинеарны, то есть если

a1

A=a2

B=a3

C.

Угол ϕ между прямой ∆ и плоскостью Π определяется как острый угол между ∆ и ее проекцией наплоскость Π. Обозначим ψ — угол между векторами a и n. Тогда ϕ = π

2−ψ, если угол ψ острый, и ϕ = ψ− π2 ,

если угол ψ тупой. В любом случае

sinϕ = cosψ =an

|a| |n| =a1A+ a2B + a3C√

a21 + a2

2 + a23

√A2 + B2 + C2

.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Взаимное расположение прямых в пространстве

Пусть в пространстве заданы прямые ∆1 и ∆2:

x − x0

a1=y − y0

a2=z − z0

a3,

x − x1

b1=y − y1

b2=z − z1

b3.

Тогда векторы a(a1, a2, a3) и b(b1, b2, b3) являются направляющими векторами прямых ∆1 и ∆2, а точкиM0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1) лежат на прямых ∆1 и ∆2 соответственно.

Прямые ∆1 и ∆2 будут параллельны, если векторы a и b — коллинеарны, то есть, еслиa1

b1=a2

b2=a3

b3.

В частности, прямые совпадают, если координаты точки M0(x0, y0, z0), лежащей на первой прямой, удовле-творяют уравнению второй прямой

x0 − x1

b1=y0 − y1

b2=z0 − z1

b3.

Прямые, которые не являются параллельными, либо пересекаются, либо скрещиваются.В первом случае они будут лежать в одной плоскости. Тогда векторы

−−−→M0M1, a, b компланарны и,

следовательно, их смешанное произведение равно нулю: x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

a1 a2 a3

b1 b2 b3

= 0.

Если смешанное произведение−−−→M0M1ab отлично от нуля, то прямые ∆1 и ∆2 —скрещивающиеся.

Углом ϕ между прямыми ∆1 и ∆2 в пространстве называется любой из двух углов, образуемых пря-мыми, параллельными данным и проходящими через одну точку. Тогда угол ϕ равен углу между векторамиa и b и при этом

cosϕ =ab

|a| |b| =a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a2

2 + a23

√b2

1 + b22 + b2

3

.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4. Линии и поверхности второго порядка

1.4.1. Окружность1.4.2. Эллипс1.4.3. Гипербола1.4.4. Парабола1.4.5. Эксцентриситет и директрисы1.4.6. Линии второго порядка1.4.7. Поверхности второго порядка1.4.8. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения.1.4.9. Линейчатые поверхности. Прямолинейные образующие

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.1. Окружность

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.1. Окружность

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой цен-тром. Расстояние от точек окружности до центра называется радиусом окружности.

Теорема 4.1. Окружность радиуса r , центр которой имеет декартовы координаты (x0, y0), задаетсяуравнением

(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2,

Из теоремы 4.1 следует, что уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид

x2 + y2 = r2. (4.1)

Уравнение окружности вида (4.1) называется каноническим уравнением окружности.Параметрическое уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид

x = r cos t,

y = r sin t.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.2. Эллипс

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.2. Эллипс

Определение эллипса и его уравнение

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек,называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначается 2a) и большая, чем расстояние междуфокусами (обозначается 2c).

Из определения эллипса следует, что a > c .

Теорема 4.2. Эллипс, фокусы которого лежат на оси Ox и равноудалены от оси Oy , задается уравне-нием

x2

a2+y2

b2= 1, (4.2)

где b =√a2 − c2.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

b b

b

x

y

OF1 F2

M

Пусть точки F1 и F2 —фокусы рассматриваемого эллипса. Так как они лежат на оси Ox и равноудаленыот оси Oy , а расстояние между ними равно 2c , то фокусы имеют координаты (−c, 0) и (c, 0). Если M(x, y)

— произвольная точка рассматриваемого эллипса, то по определению эллипса√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a. (4.3)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Уравнение (4.3) является уравнением эллипса. Приведем его к более простому виду.Перенесем слагаемое

√(x − c)2 + y2 в правую часть и возведем полученное равенство в квадрат.

Получим равенство

x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x − c)2 + y2 + x2 − 2xc + c2 + y2,

из которого следуетa√

(x − c)2 + y2 = a2 − xc.

Возведя в квадрат обе части этого равенства и группируя члены, получим:

x2(a2 − c2) + y2a2 = a2(a2 − c2).

Так как по определению эллипса a > c , то a2 − c2 > 0. Если выражение√a2 − c2 обозначит через b, то

последнее равенство примет видx2b2 + y2a2 = a2b2.

Разделим обе его части на a2b2 и получим уравнение (4.2)При преобразовании уравнения эллипса мы дважды возводили в квадрат обе его части, при этом могли

появится посторонние корни. Докажем, что уравнения (4.2) и (4.3) равносильны. Для этого надо показать,что любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (4.2), принадлежит эллипсу.

Пусть координаты точки M1(x1, y1) удовлетворяют уравнению (4.2), то есть

x21

a2+y2

1

b2= 1. (4.4)


y21 = b2(1−

x21

a2).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Тогда, учитывая, что b2 = a2 − c2, получаем

d(F1,M1) =√

(x1 + c)2 + y21 =

√x2

1 + 2x1c + c2 + b2 −b2

a2x2

1 =

=

√x2

1

a2 − b2

a2+ 2cx1 + c2 + b2 =

√x2

1

c2

a2+ 2cx1 + a2 =

=

√(a +

c

ax1

)2

=∣∣∣a +

c

ax1

∣∣∣ .Аналогично можно показать, что

d(F2,M1) =∣∣∣a − c

ax1

∣∣∣ .Из определения эллипса следует, что a > c , а из равенства (4.4), что |x1| 6 a. Следовательно,

a +c

ax1 > 0, a −

c

ax1 > 0.

Тогда

d(F1,M1) + d(F2,M1) =(a +

c

ax1

)+(a −

c

ax1

)= 2a,

то есть точка M1 принадлежит эллипсу. �

Уравнение эллипса видаx2

a2+y2

b2= 1 называется каноническим.

Замечание 4.1. Из равенства b2 = a2−c2 следует, что b2 < a2. Уравнение видаx2

a2+y 2

b2= 1, у которого a2 > b2,

также является уравнением эллипса, но фокусы этого эллипса лежат на оси Oy .

Эллипс задается уравнением видаx2

a2+y2

b2= 1 лишь случае, когда фокусы лежат на одной из коор-

динатных осей и равноудалены от другой координатной оси. При ином расположении системы координатотносительно фокусов уравнение эллипса будет иметь более сложный вид, например, в нем могут появить-ся слагаемые, содержащие переменные x и y в первой степени, или их произведение xy . Среди возможныхуравнений эллипса уравнение, построенное в теореме 4.2, является наиболее простым.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Исследование формы эллипса

Исследуем форму эллипса, описываемого каноническим уравнениемx2

a2+y2

b2= 1.

1. Каноническое уравнение содержит переменные x и y только во второй степени. Следовательно,если ему удовлетворяют координаты некоторой точки M(x, y), то координаты точек M1(−x, y), M2(x,−y)

и M3(−x,−y) также будут удовлетворять этому уравнению. Это означает, что эллипс симметричен относи-тельно координатных осей и начала координат.

Ось симметрии эллипса, проходящая через фокусы, называются фокальной осью эллипса.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Центр эллипса лежит на фокальной оси и равноудален от фокусов эллипса.

2. Из канонического уравнения эллипса следует, чтоx2

a26 1,

y2

b26 1, следовательно, |x | 6 a, |y | 6 b.

Таким образом, эллипс расположен внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = ±a, y = ±b.

3. Найдем точки пересечения эллипса с осями симметрии. При y = 0 получаемx2

a2= 1, откуда x = ±a.

Следовательно, эллипс пересекает ось Ox в точках A1(−a, 0) и A2(a, 0). Аналогично, положив x = 0, можноустановить, что эллипс пересекает ось Oy в точках B1(0,−b) и B2(0, b).

Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами эллипса.

Отрезок, соединяющий вершины эллипса, лежащие на фокальной оси, а также его длина называетсябольшой осью эллипса. Отрезок, соединяющий вершины, лежащие на другой оси, а также его длинаназывается малой осью эллипса.

4. Координаты точек эллипса, лежащих в первом квадранте (x > 0, y > 0), удовлетворяют уравнению

bb b| |

F1 F2

A1 A2

ba

x

y

O

y =b

a

√a2 − x2.

Из него следует, что при изменении x от 0 до a величина y ме-няется от b до 0. Построив линию эллипса в первом квадранте,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

достраиваем ее и в других квадрантах, руководствуясь свойствомего симметрии.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Параметрическое уравнение эллипса

Если в каноническом уравнении эллипсаx2

a2+y2

b2= 1 выполнит замену переменных

u =x

a, v =

y

b,

получим уравнение окружности u2 + v2 = 1 радиуса 1 с центром в начале координат. Параметрическоеуравнение этой окружности имеет вид

u = cos t,

v = sin t.

Выполнив обратную замену переменных, получим параметрическое уравнение эллипса:

x = a cos t,

y = b sin t.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.3. Гипербола

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.3. Гипербола

Определение гиперболы и ее уравнение

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двухданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначается 2a), не равная нулю именьшая, чем расстояние между фокусами (обозначается 2c).

Из определения гиперболы следует, что a < c .

Теорема 4.3. Гипербола, фокусы которой лежат на оси Ox и равноудалены от оси Oy , задается урав-нением

x2

a2−y2

b2= 1, (4.5)

где b =√c2 − a2.


b b

b

x

y

OF1 F2

M

Пусть точки F1 и F2 — фокусы рассматриваемой гиперболы. Так как они лежат на оси Ox и равноуда-лены от оси Oy , а расстояние между ними равно 2c , то фокусы имеют координаты (−c, 0) и (c, 0). ЕслиM(x, y) — произвольная точка рассматриваемой гиперболы, то по определению гиперболы

|√

(x + c)2 + y2 −√

(x − c)2 + y2| = 2a. (4.6)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Уравнение (4.6) является уравнением гиперболы. Приведем его к более простому виду.Для этого перенесем слагаемое

√(x − c)2 + y2 в правую часть√

(x + c)2 + y2 = ±2a +√

(x − c)2 + y2

и возведем полученное равенство в квадрат. Получим равенство

x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 ± 4a√

(x − c)2 + y2 + x2 − 2xc + c2 + y2,

из которого следует±a√

(x − c)2 + y2 = cx − a2.

Возведя в квадрат обе части этого равенства и группируя члены, получим:

x2(c2 − a2)− y2a2 = a2c2 − a4.

Так как по определению гиперболы a < c , то c2 − a2 > 0. Если выражение√c2 − a2 обозначить через b, то

последнее равенство примет видx2b2 − y2a2 = a2b2.

Разделим обе его части на a2b2 и получим уравнение (4.5).При преобразовании уравнения гиперболы мы дважды возводили в квадрат обе его части, при этом

могли появится посторонние корни. Докажем, что уравнения (4.5) и (4.6) равносильны. Для этого надопоказать, что любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (4.5), принадлежит гиперболе.

Пусть координаты точки M1(x1, y1) удовлетворяют уравнению (4.5), то есть

x21

a2−y2

1

b2= 1. (4.7)


y21 = b2(1 +

x21

a2).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Тогда, используя равенство b2 = c2 − a2, получим

d(F1,M1) =√

(x1 + c)2 − y21 =

√x2

1 + 2x1c + c2 + b2 +b2

a2x2

1 =

=

√x2

1

a2 + b2

a2+ 2cx1 + c2 + b2 =

√x2

1

c2

a2+ 2cx1 + a2 =

=

√(a +

c

ax1

)2

=∣∣∣a +

c

ax1

∣∣∣ .Аналогично можно показать, что

d(F2,M1) =∣∣∣a − c

ax1

∣∣∣ .Из определения гиперболы следует, что a < c , а из равенства (4.7), что |x1| > a.

Для точек гиперболы с абсциссой x > 0

a +c

ax1 > 0, a −

c

ax1 < 0,

следовательно,

|d(F1,M1)− d(F2,M1)| =∣∣∣(a +

c

ax1

)−(−a +

c

ax1

)∣∣∣ = |2a| = 2a.

Для точек гиперболы с абсциссой x 6 0

a +c

ax1 < 0, a −

c

ax1 > 0,

следовательно,

|d(F1,M1)− d(F2,M1)| =∣∣∣(−a − c

ax1

)−(a −

c

ax1

)∣∣∣ = | − 2a| = 2a.

Таким образом точка M1 принадлежит гиперболе. �

Гипербола задается уравнением видаx2

a2−y2

b2= 1 лишь в случае, когда фокусы лежат на оси Ox

и равноудалены от оси Oy . При ином расположении системы координат относительно фокусов уравнение

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

гиперболы будет иметь более сложный вид, например, в нем могут появиться слагаемые, содержащие пере-менные x и y в первой степени, или их произведение xy . Среди возможных уравнений построенное в теоремеуравнение является наиболее простым.

Уравнение гиперболы видаx2

a2−y2

b2= 1 называется каноническим.

Исследование формы гиперболы

Исследуем форму гиперболы, описываемой каноническим уравнениемx2

a2−y2

b2= 1.

1. Каноническое уравнение содержит переменные x и y только во второй степени. Следовательно,если ему удовлетворяют координаты некоторой точки M(x, y), то координаты точек M1(−x, y), M2(x,−y)

и M3(−x,−y) также будут удовлетворять этому уравнению. Это означает, что гипербола симметрична от-носительно координатных осей и начала координат.

Ось симметрии гиперболы, проходящая через фокусы, называются фокальной осью гиперболы.

Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы.

Центр гиперболы лежит на фокальной оси и равноудален от фокусов гиперболы.

2. Из канонического уравнения следует, чтоx2

a2> 1, следовательно, |x | > a. Значит, точек гиперболы

внутри полосы, ограниченной прямыми x = ±a нет.

3. Найдем точки пересечения гиперболы с осями симметрии. При y = 0 получаемx2

a2= 1, откуда

x = ±a. Следовательно, эллипс пересекает ось Ox в точках A1(−a, 0) и A2(a, 0). Мнимая ось гиперболыобщих точек с гиперболой не имеет.

Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются вершинами гиперболы.

Отрезок, соединяющий вершины гиперболы, а также его длина называется действительной осью гипер-болы.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

4. Координаты точек гиперболы, лежащих в первом квадранте (x > 0, y > 0), удовлетворяют уравне-нию

y =b

a

√x2 − a2, x > a.

Из него следует, что при увеличении x ордината y монотонно возрастает от наименьшего значения y =

0. Построив линию эллипса в первом квадранте, достраиваем ее и в других квадрантах, руководствуясьсвойством его симметрии.

5. Асимптоты гиперболы.

Теорема 4.4. Прямые y = ±b

ax являются асимптотами гиперболы, заданной уравнением

x2

a2−y2

b2= 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сравним поведение в первом квадранте гиперболы y =b

a

√x2 − a2, x > a и

прямой y =b

ax . ПустьM(x0, y0) — точка лежащая на гиперболе, N(x0, y1) — точка, имеющая ту же абсциссу

и лежащая на прямой. Рассмотрим разность y1 − y0:

y1 − y0 =b

ax0 −

b

a

√x2

0 − a2 =b

a(x0 −

√x2

0 − a2) =

=b

a

(x0 −√x2

0 − a2)(x0 +√x2

0 − a2)

(x0 +√x2

0 − a2)=

ab

(x0 +√x2

0 − a2).

Таким образом, при x > a разность y1 − y0 всегда положительна и стремится к нулю при неограниченномвозрастании абсциссы x0. Это означает, что точка M, удаляясь по гиперболе в первом квадранте от начала

координат, будет приближаться к прямой y =b

ax , то есть эта прямая является асимптотой гиперболы в

первом квадранте.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Учитывая свойство симметрии гиперболы, можно утверждать, что прямая y =b

ax является асимпто-

той гиперболы и в третьем квадранте, а прямая y = −b

ax асимптотой гиперболы во втором и четвертом

квадрантах. �

Заметим, что асимптоты гиперболы являются диагоналями прямоугольника со сторонами x = ±a,y = ±b.

b ab bb| |

F1 F2A1 A2 x

y

O

Гипербола называется равносторонней, если величины a и b =√c2 − a2 равны.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.4. Парабола

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.4. Парабола

Определение параболы и ее уравнение

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фоку-сом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса параболы до директрисы называется параметром параболы и обозначается p.

Теорема 4.5. Парабола, фокус которой лежит на оси Ox , директриса параллельна оси Oy , началокоординат равноудалено от фокуса и директрисы, задается уравнением

y2 = 2px,

где p — параметр параболы.Д о к а з а т е л ь с т в о.

|b

b

x

y

O

∆

F

M

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Фокус F рассматриваемой параболы имеет координаты (p

2, 0), а уравнение x − p

2 = 0 является урав-

нением директрисы. Если M(x, y) — произвольная точка рассматриваемой параболы, то по определениюпараболы √(

x −p

2

)2

+ y2 =∣∣∣x − p

2

∣∣∣ (4.8)

Уравнение (4.8) является уравнением параболы. Чтобы привести его к более простому виду, возведемобе части в квадрат. (

x −p

2

)2

+ y2 =(x −

p

2

)2

,

x2 − px +p2

4+ y2 = x2 + px +

p2

4y2 = 2px.

(4.9)

При возведении в квадрат обоих частей уравнения могли появится посторонние корни. Докажем, что урав-нения (4.8) и (4.9) равносильны. Для этого надо показать, что любая точка, координаты которой удовле-творяют уравнению (4.9), принадлежит параболе.

Пусть M1(x1, y1) — точка удовлетворяющая уравнению y2 = 2px . Тогда y21 = 2px1. Найдем расстояние

от точки M1 до фокуса параболы F .

d(M1, F ) =

√(x1 −

p

2

)2

− y21 =

√x2

1 − px1 +p2

4+ 2px1 =

=

√x2

1 + px1 +p2

4=

√(x1 +

p

2

)2

=∣∣∣x1 +

p

2

∣∣∣ ,то есть d(M1, F ) равно расстоянию от точки M1 до директрисы x = −

p

2. Следовательно, точка M1 лежит

на рассматриваемой параболе. �

Уравнение параболы, расположение которой относительно системы координат отличается от распо-ложения, описанного в теореме, будет иметь более сложный вид. Например, в нем может присутствовать

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

слагаемое, содержащее произведение xy . Среди возможных уравнений параболы уравнение y2 = 2px явля-ется наиболее простым.

Уравнение параболы вида y2 = 2px называется каноническим.

Исследование формы параболы

Исследуем форму параболы, описываемой каноническим уравнением y2 = 2px .1. Каноническое уравнение содержит переменную y только во второй степени. Следовательно, ес-

ли ему удовлетворяют координаты некоторой точки M(x, y), то координаты точки M1(x,−y) также будутудовлетворять этому уравнению. Это означает, что парабола симметрична относительно оси Ox .

Ось симметрии параболы называются осью параболы.

2. Так как координаты точки O(0, 0) удовлетворяют каноническому уравнению параболы, то параболапроходит через начало координат. При этом начало координат — единственная точка параболы, лежащаяна оси параболы.

Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.

3. Из уравнения параболы следует, что x =y2

2p. Так как p > 0, то x > 0 для всех точек параболы, то

есть парабола расположена в той же полуплоскости, что и фокус.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

P/2 P/2

b |F x

y

∆

O

4. Уравнения y2 = −2px , x2 = 2py , x2 = −2py также являются уравнениями параболы. Расположенияэтих парабол см. на рис.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.5. Эксцентриситет и директрисы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.5. Эксцентриситет и директрисы

Эксцентриситет и директрисы эллипса

Эксцентриситетом эллипса (обозначается ε) называется величина, равная отношению фокусного рассто-яния эллипса к длине большой оси эллипса, то есть ε = c

a .

Так как для эллипса c < a, то ε < 1.

Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса и отстоящиена расстоянии

a

εот центра эллипса, где a — длина большой полуоси эллипса, а ε — его эксцентриситет.

Директрисы как и фокусы расположены по разные стороны от центра эллипса.

Фокус и директриса эллипса называются соответствующими друг другу, если они расположены по однусторону от центра эллипса.

Директрисы эллипсаx2

a2+y2

b2= 1 задаются уравнениями x = ±

a

ε. Так как ε < 1, то

a

ε> a. Следова-

тельно, директрисы эллипса не имею с эллипсом общих точек.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

F1 F20

∆1 ∆2

x

y

Теорема 4.6. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию до соответству-ющей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для рассматриваемого эллипса построим декартову систему координат также

как и в теореме 4.2. Тогда эллипс будет описываться каноническим уравнениемx2

a2+y2

b2= 1.

Пусть M(x, y) — некоторая точка эллипса. Вычислим разность d2(M,F1)− d2(M,F2):

d2(M,F1)− d2(M,F2) = ((x + c)2 + y2)− ((x − c)2 + y2) = 4xc.

По определению эллипсаd(M,F1) + d(M,F2) = 2a. (4.10)


d(M,F1)− d(M,F2) =4xc

d(M,F1) + d(M,F2)= 2

c

ax = 2εx. (4.11)

Складывая и вычитая равенства (4.10) и (4.11), получаем

d(M,F1) = a + εx, d(M,F2) = a − εx.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Обозначим через ∆1 директрису, соответствующую фокусу F1, через ∆2 директрису, соответствующую фо-кусу F2. Тогда

d(M,∆1) =a

ε+ x, d(M,∆2) =

a

ε− x.

Следовательно,d(M,F1)

d(M,∆1)=a + εxa

ε+ x

= ε,

d(M,F2)

d(M,∆2)=a − εxa

ε− x

= ε.

�

Эксцентриситет и директрисы гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы (обозначаем ε) называется величина, равная отношению фокусного рассто-яния гиперболы к длине действительной оси гиперболы, то есть ε = c

a .

Так как для гиперболы c > a, то ε > 1.

Директрисами гиперболы называются две прямые, перпендикулярные фокальной оси гиперболы и отсто-ящие на расстоянии

a

εот центра гиперболы, где a — длина действительной полуоси гиперболы, а ε — ее

эксцентриситет.

Директрисы, как и фокусы, расположены по разные стороны от центра гиперболы.

Фокус и директриса гиперболы называются соответствующими друг другу, если они расположены по однусторону центра гиперболы.

Директрисы гиперболыx2

a2−y2

b2= 1 задаются уравнениями x = ±

a

ε. Так как ε > 1, то

a

ε< a.

Следовательно, директрисы гиперболы не имею с гиперболой общих точек.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

F2 F10

∆1 ∆2

x

y

Теорема 4.7. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответ-ствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 4.6.

Эксцентриситет параболы

Из определения параболы следует, что отношение расстояния от любой точки параболы до фокусак расстоянию до директрисы есть величина постоянная и равная 1. Поэтому величину равную 1 считаютэксцентриситетом параболы.

Унифицированное определение эллипса, гиперболы и параболы

Для теоремы 4.6 и теоремы 4.7 будет верно и обратное утверждение.

Теорема 4.8. Пусть на плоскости задана некоторая прямая ∆ и точка F , не лежащая на ней. Множествоточек плоскости, для которых отношение ε расстояний до точки F к расстояниям до прямой ∆ есть величина

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

постоянная, является эллипсом, если это отношение меньше 1, и гиперболой, если больше 1. При этом точкаF будет фокусом линии, ∆ соответствующей этому фокусу директрисой, а отношение ε эксцентриситетом.

Из теоремы и определения параболы следует, что для эллипса гиперболы и параболы можно датьунифицированное определение.

Множество точек плоскости, для которых отношение расстояний до некоторой данной точки к рассто-яниям до данной прямой есть величина постоянная, является эллипсом, если это отношение меньше 1,гиперболой, если больше 1, и параболой, если равно 1.

Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Рассмотрим линию L, которая является эллипсом, параболой или ветвью гиперболы. Пусть F — фокусэтой линии, ∆ — соответствующая этому фокусу директриса, причем, если L — ветвь гиперболы, то F и∆ лежат по разные стороны линии L. Построим прямую, проходящую через F параллельно ∆, и обозначимM0 — точку пересечения этой прямой с линией L, p — расстояние между точками M0 и F .

Если линия L — парабола, то

d(F,M0) = d(M0,∆) = d(F,∆),

то есть p — параметр параболы. Если рассматриваемая линия L — эллипс или ветвь гиперболы, то величинуp также будем называть параметром эллипса или гиперболы соответственно.

Лемма 4.1. Параметр эллипса и гиперболы равен p = b2

a , где b2 равен a2 − c2 для эллипса и c2 − a2

для гиперболы.

Построим на плоскости полярную систему координат следующим образом: полюс поместим в точкуF , а полярную ось проведем перпендикулярно ∆, в сторону, противоположную этой прямой.

Теорема 4.9. Полярное уравнение

r =p

1− ε cosϕ(4.12)

является уравнением эллипса, параболы или ветви гиперболы, причем p — параметр линии, ε — ее эксцен-триситет.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пример 4.1. Определить тип линии r = 14413−5 cosϕ

и найти ее каноническое уравнение.Решение. Запишем уравнение рассматриваемой линии в виде (4.12):

r =

14413

1− 513

cosϕ.

Тогда эксцентриситет линии равен ε = 513. Так как ε < 1, то рассматриваемая линия — эллипс. Его параметр равен 144

13. Решая

систему уравненийb2

a=

144

13,

c

a=

5

13, b2 = a2 − c2,

получаем a = 13, b = 12. Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид

x2

169+

y2

144= 1.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.6. Линии второго порядка

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.6. Линии второго порядка

Канонические уравнения линий второго порядка

Линия на плоскости называется линией второго порядка, если ее уравнение в прямоугольной системекоординат имеет вид

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

причем коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно.

Для любой линии второго порядка на плоскости существует прямоугольная система координат, в ко-торой уравнение заданной линии имеет наиболее простой вид, называемый каноническим. Каноническоеуравнение удобно для изучения свойств линии и ее изображения. Приведем канонические уравнения линийвторого порядка.

1.x2

a2+y2

b2= 1 — каноническое уравнение эллипса. В частном случае, когда a = b, это уравнение

принимает вид x2 + y2 = a2 и определяет окружность радиуса a с центром в начале координат.

2.x2

a2+y2

b2= −1 — каноническое уравнение гиперболы.

3. y2 = 2px — каноническое уравнение параболы.

4.x2

a2−y2

b2= 0 — каноническое уравнение пары пересекающихся прямых

x

a±y

b= 0.

5.x2

a2= 1 — каноническое уравнение пары параллельных прямых

x

a= ±1.

6.x2

a2= 0 — каноническое уравнение пары совпадающих прямых . Этому уравнению удовлетворяют

лишь точки прямой x = 0.7. Кроме приведенных выше канонических уравнений линий второго порядка существуют канонические

уравнение, которые не определяют линии на плоскости:

a)x2

a2+y2

b2= 0,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

б)x2

a2+y2

b2= −1,

в)x2

a2= −1.

Уравнению из пункта а) удовлетворяют координаты лишь начала координат, а для уравнений из пунктовб) и в) точек, координаты которых удовлетворяют этим уравнениям, нет.

Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Декартова система координат, в которой линия второго порядка имеет каноническое уравнение, можетбыть получена из исходной с помощью преобразований параллельного переноса и поворота.

Если в уравнении второго порядка

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

коэффициент B не равен нулю, выполним преобразование поворота системы координат вокруг точки Oпротив часовой стрелки на угол ϕ, удовлетворяющий уравнению

ctg 2ϕ =A− C

2B.

В результате получим систему координат, в которой уравнение рассматриваемой линии не будет содержатьсмешанного произведения xy . После этого выделим в полученном уравнении полные квадраты с перемен-ными x и y , выполним преобразование параллельного переноса и получим каноническое уравнение линии.

Пример 4.2. Изобразить на плоскости линию, заданную уравнением

7x2 − 8xy + y2 − 16x − 2y − 51 = 0.

Решение. Повернем систему координат против часовой стрелки вокруг начала координат на угол ϕ для которого

ctg 2ϕ =7− 1

−8= −

3

4.

Тогдаctg2 ϕ− 1

2 ctgϕ= − 3

4,

4 ctg2 ϕ+ 6 ctgϕ− 4 = 0.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

последнее уравнение имеет два решения: ctgϕ = 1/2 и ctgϕ = −2. Поворот можно выполнять на угол ϕ, удовлетворяющийлюбому из полученных соотношений. Выполним поворот на угол 0 < ϕ < π

2. Для него ctgϕ = 1/2. Тогда

cosϕ

sinϕ=

1

2,

sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1.

Решив систему, получим

cosϕ =1√

5, sinϕ =

2√

5.

Тогда в соответствии с примером 2.4 при повороте системы координат на угол ϕ координаты точек изменятся следующимобразом:

x =1√

5x ′ −

2√

5y ′,

y =2√

5x ′ +

1√

5y ′,

следовательно, в новой системе координат уравнение линии примет вид

7

5(x ′ − 2y ′)2 −

8

5(x ′ − 2y ′)(2x ′ + y ′) +

1

5(2x ′ + y ′)2 −

16√

5(x ′ − 2y ′)−

2√

5(2x ′ + y ′)− 51 = 0.

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим

−(x ′)2 + 9(y ′)2 − 4√

5x ′ + 6√

5y ′ − 51 = 0.

Выделим полные квадраты с переменными x ′ и y ′:

−((x ′)2 + 4√

5x ′ + 20) + 9

((y ′)2 +

6√

5

9y ′ +

5

9

)+ 20− 5− 51 = 0,

−(x ′ + 2√

5)2 + 9(y ′ +

√5

3)2 = 36.

Выполнив параллельный перенос системы Ox ′y ′ по формулам{X = x ′ + 2

√5,

Y = y ′ +√

53,

получим уравнение гиперболы

−X2

36+Y 2

4= 1.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

b

b

y

x

y′

x′

YX

0

0′

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.7. Поверхности второго порядка

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.7. Поверхности второго порядка

Поверхность в пространстве называется поверхностью второго порядка, если ее уравнение в прямоугольнойсистеме координат имеет вид

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + a1x + a2y + a3z + a = 0,

причем коэффициенты a11, a22, a33, a12, a13, a23 не обращаются в ноль одновременно.

Для любой поверхности второго порядка в пространстве существует прямоугольная система координат,в которой уравнение заданной поверхности имеет наиболее простой вид, называемый каноническим. Кано-нической уравнение удобно для изучения свойств поверхности и ее изображения. Приведем каноническиеуравнения поверхностей второго порядка.

1.x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 — каноническое уравнение эллипсоида.

bO

x

y

z

В частном случае, когда a = b = c , это уравнение принимает вид x2 + y2 + z2 = a2 и определяет сферурадиуса a с центром в начале координат.

2.x2

a2+y2

b2−z2

c2= 1 — каноническое уравнение однополостного гиперболоида. В частном случае, когда

a = b это уравнение задает задает однополостный гиперболоид вращения, который может быть полученпри вращении гиперболы вокруг мнимой оси.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

3.x2

a2+y2

b2−z2

c2= −1 — каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. В частном случае, когда

a = b это уравнение задает задает двуполостный гиперболоид вращения, который может быть получен привращении гиперболы вокруг действительной оси.

bO

x

y

z

4.x2

a2+y2

b2−z2

c2= 0 — каноническое уравнение конуса второго порядка.

bO

x

y

z

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

5.x2

a2−y2

b2= 2z — каноническое уравнение называется гиперболического параболоида.

bx

y

z

6.x2

a2+y2

b2= 2z — каноническое уравнение эллиптического параболоида.В частном случае, когда a = b

это уравнение задает эллиптический параболоид вращения, который может быть получен при вращениипараболы вокруг своей оси.

b

O

x

y

z

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

7.x2

a2+y2

b2= 1 — каноническое уравнение эллиптического цилиндра.

0

x

y

z

8.x2

a2−y2

b2= 1 — каноническое уравнение гиперболического цилиндра.

0 x

z

y

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

9. y2 = 2px — каноническое уравнение параболического цилиндра.

0

x

y

z

10.x2

a2−y2

b2= 0 — каноническое уравнение пары пересекающихся плоскостей

x

a±y

b= 0.

0

x

y

z

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

11.x2

a2= 1 — каноническое уравнение пары параллельных плоскостей

x

a= ±1.

0

x

y

z

12.x2

a2= 0 — каноническое уравнение пары совпадающих плоскостей. Этому уравнению удовлетворяют

лишь точки плоскости x = 0.13. Кроме приведенных выше канонических уравнений поверхностей второго порядка существуют ка-

нонические уравнение, которые не определяют поверхностей в пространстве:

a)x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0,

б)x2

a2+y2

b2+z2

c2= −1,

в)x2

a2+y2

b2= 0,

г)x2

a2+y2

b2= −1,

д)x2

a2= −1.

Уравнению из пункта а) удовлетворяют координаты лишь начала координат, уравнению из пункта б)удовлетворяют координаты точек, расположенных на оси Oz , для остальных уравнений точек, координатыкоторых удовлетворяют этим уравнениям, нет.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.8. Цилиндрические и конические поверхности.

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.8. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения.

Цилиндрической поверхностью называется объединение всех параллельных прямых, которые пересекаютнекоторую линию L. При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямыеиз которых состоит поверхность, называются образующими.

Пусть линия L задается как линия пересечения двух поверхностей. тогда она определяется системойуравнений {

F1(x, y , z) = 0,

F2(x, y , z) = 0.

И пусть образующие цилиндрической поверхности имеют направляющий вектор a(a1, a2, a3).Для любой точкиM(x, y , z), лежащей на цилиндрической поверхности, существует точкаM0(x0, y0, z0),

которая принадлежит L и для которой векторы−−−→M0M и a — коллинеарны. Следовательно,

F1(x0, y0, z0) = 0,

F2(x0, y0, z0) = 0,x − x0

a1=y − y0

a2=z − z0

a3.

Исключив из этой системы переменные x0, y0, z0, получим уравнение, которому удовлетворяют точки ци-линдрической поверхности и только они, то есть получим уравнение этой поверхности.

Конической поверхностью называется объединение всех прямых, которые проходят через данную точку Pи пересекают некоторую линию L. При этом линия L называется направляющей конической поверхности,прямые из которых состоит поверхность, называются образующими, точка P — вершиной.

Пусть линия L задается системой уравнений{F1(x, y , z) = 0,

F2(x, y , z) = 0,

а точка P имеет координаты (x1, y1, z1).

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.8. Цилиндрические и конические поверхности.

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Для любой точки M(x, y , z), лежащей на конической поверхности, существует точка M0(x0, y0, z0),лежащая на L, такая, что точки M, M0 и P лежат на одной прямой. Следовательно,

F1(x0, y0, z0) = 0,

F2(x0, y0, z0) = 0,x − x1

x0 − x1=y − y1

y0 − y1=z − z1

z0 − z1.

Исключив из этой системы переменные x0, y0, z0, получим уравнение, которому удовлетворяют точки кони-ческой поверхности и только они, то есть получим уравнение этой поверхности.

Поверхностью вращения линии L вокруг прямой ∆ называется объединение окружностей, которые1) лежат в плоскостях перпендикулярных прямой ∆;2) пересекают L;3) имеют центры на прямой ∆.

Замечание 4.2. Среди поверхностей второго порядка есть конические, цилиндрические поверхности и поверх-ности вращения. Но при этом, конические, цилиндрические поверхности и поверхности вращения не обязательноявляются линиями второго порядка. Например, поверхность вращения окружности{

(x − 3)2 + y 2 = 1,

z = 0,

вокруг оси Oy является тором, то есть поверхностью четвертого порядка

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.4. Линии и поверхности второго порядка1.4.9. Линейчатые поверхности. Прямолинейные образующие

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.4.9. Линейчатые поверхности. Прямолинейные образующие

Поверхность называется линейчатой, если она образована движением прямой. Лежащие на линейчатойповерхности прямые называются прямолинейными образующими.

Цилиндрические и конические поверхности являются линейчатыми. Среди поверхностей второго по-рядка прямолинейными образующими кроме плоскостей, конусов и цилиндров обладают также однополост-ный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Однополостный гиперболоидx2

a2+y2

b2−z2

c2= 1 покрыт двумя семействами прямых

{k1( xa + z

c ) = k2(1 + yb ),

k2( xa −zc ) = k1(1− y

b ),

{k1( xa + z

c ) = k2(1− yb ),

k2( xa −zc ) = k1(1 + y

b ),

где k1, k2 — произвольные действительные числа, не обращающиеся в ноль одновременно. Гиперболический

параболоидx2

a2−y2

b2= 2z также покрыт двумя семействами прямых

{k1( xa −

yb ) = 2k2z,

k2( xa + yb ) = k1,

{k1( xa + y

b ) = 2k2z,

k2( xa −yb ) = k1.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.5. Группа. Кольцо. Поле x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.5. Группа. Кольцо. Поле

1.5.1. Группа1.5.2. Кольцо1.5.3. Поле

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.5. Группа. Кольцо. Поле1.5.1. Группа

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.5.1. Группа

Пусть на множестве X задана алгебраическая операция.

Говорят, что относительно этой операции множество X является группой, если выполняются следующиеусловия:1) операция ассоциативна;2) в множестве X существует нейтральный элемент;3) для каждого элемента множества X существует симметричный элемент.

Если группа X состоит из конечного числа элементов, то она называется конечной группой, а числоэлементов в ней – порядком группы.

Если операция, определенная в группе X, коммутативна, то X называют коммутативной или абелевойгруппой.

Если в группе X задана операция сложения, то это аддитивная группа, умножения – мультипликативнаягруппа.

Примеры1) N – не является группой;2) Z – группа по сложению, но не является группой по умножению;3) Q – группа по сложению, а множество Q∗ = Q \ {0} – группа по умножению;4) R – группа по сложению, а множество R∗ = R \ {0} – группа по умножению;5) множество C([a, b]) всех вещественных непрерывных функций на отрезке [a, b] есть группа по сложению,т.е. группа относительно операции поаргументного сложения.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.5. Группа. Кольцо. Поле1.5.1. Группа

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Простейшие свойства групп

Свойство 1. В группе X существует лишь один нейтральный элемент и для каждого элемента естьлишь один симметричный.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует непосредственно из теорем ?? и ?? и определениягруппы. �

Свойство 2. Для любых x1, x2 ∈ X уравнения x1 ◦ x = x2, y ◦ x1 = x2 имеют в X единственные решения

x = x ′1 ◦ x2, y = x2 ◦ x ′1, (5.1)

где x ′1 – элемент, симметричный x1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x определяется формулой (5.1), то

x1 ◦ x = x1 ◦ (x ′1 ◦ x2) = (x1 ◦ x ′1) ◦ x2 = n ◦ x2 = x2.

Отсюда следует, что x – решение уравнения x1 ◦ x = x2. Докажем единственность такого решения. Пусть x– другое решение уравнения x1 ◦ x = x2, т.е. x1 ◦ x = x2. Тогда из

x ′1 ◦ x1 ◦ x = x ′1 ◦ (x1 ◦ x) = x ′1 ◦ x2

x ′1 ◦ x1 ◦ x = (x ′1 ◦ x1) ◦ x = n ◦ x = x

}⇒ x = x ′1 ◦ x2.

�Свойство 3. (Закон сокращения в группе). Если x1 ◦ x3 = x1 ◦ x2, то x3 = x2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из свойства 2. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.5. Группа. Кольцо. Поле1.5.2. Кольцо

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.5.2. Кольцо

Множество K называется кольцом, если выполнены условия:1) на множестве K задана алгебраическая операция сложение;2) множество K относительно этой операции является абелевой группой;3) на множестве K задана алгебраическая операция умножение;5) сложение и умножение связаны свойством дистрибутивности, т.е. a(b + c) = ab + ac ; (a + b)c =

ac + bc, ∀a, b, c ∈ K.Если операция умножение в кольце K является коммутативной, то кольцо K называется коммутатив-

ным, операция умножения является ассоциативной – ассоциативное кольцо, есть 1–кольцо с единицей.

Примеры колец1) Множества Z,Q,R;

2) Множество всех функций, определенных для всех действительных значений x и принимающих дей-ствительные значения;

3) Множество P [x ] всех многочленов над полем P от переменной x.

Простейшие свойства колец

Так как (K,+) – абелева группа, то для k ∈ K существует единственный противоположный элемент(−k) ∈ K. Поэтому в K можно ввести операцию вычитания:

a − b = a + (−b), ∀a, b ∈ K.

В силу свойств групп разность a − b есть единственное решение уравнения x + b = a.

Свойство 1. Умножение дистрибутивно относительно вычитания, т.е. для любых элементов k, l ,m ∈ Kвыполняются равенства

k(l −m) = kl − km,(l −m)k = lk −mk.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.5. Группа. Кольцо. Поле1.5.2. Кольцо

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое равенство, имеем l = (l −m) + m ⇒ kl = k(l −m) + km ⇒k(l −m) = kl − km. Второе равенство доказывается аналогично. �

Свойство 2. k0 = 0k = 0, для любых k ∈ K.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как k − k = 0, то k0 = k(k − k) = k2 − k2 = 0. Аналогично доказывается

равенство 0k = 0. �Утверждение, обратное свойству 2, вообще говоря, неверно. Существуют кольца, в которых произ-

ведение отличных от нуля элементов равно нулю. Если в кольце kl = 0, причем k 6= 0 и l 6= 0, то k и lназываются делителями нуля.

Пример 5.1. Рассмотрим функцию единичного скачка

f (x) = 1(x) =

{1, x > 0,

0, x < 0.,

и функцию g(x) =

{0, x > 0,

1, x < 0.. Тогда f (x) 6= 0, g(x) 6= 0, но f (x)g(x) = 0, ∀x ∈ R.

Свойство 3. (Закон сокращения в кольце). Пусть k – отличный от нуля элемент кольца K, не являю-щийся делителем нуля. Если kl = km или lk = mk, то l = m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из kl = km ⇒ kl − km = 0. Но тогда из свойства 1 следует, что k(l − m) =

0⇒ l −m = 0⇒ l = m. Второе утверждение доказывается аналогично. �Свойство 4. (−k)m = k(−m) = −km, ∀k,m ∈ K.Д о к а з а т е л ь с т в о. km + (−k)m = (k + (−k))m = 0m = 0 ⇒ (−k)m = −km. Второе равенство

доказывается аналогично. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.5. Группа. Кольцо. Поле1.5.3. Поле

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.5.3. Поле

Пусть множество P содержит по крайней мере два элемента.

Множество P называется полем, если выполнены следующие условия:1) на множестве P задана алгебраическая операция сложение;1) относительно этой операции P образует абелеву группу;3) на множестве P задана алгебраическая операция умножение;4) относительно операции умножения множество P ∗ (P ∗ = P \ {0}) образует абелеву группу;5) сложение и умножение связаны свойством дистрибутивности, т.е. a(b + c) = ab + bc, ∀a, b, c ∈ P.

Примеры1) Множество Z целых чисел – не образует поле (Z∗ не является абелевой группой по умножению);2) Множество Q рациональных чисел – поле;3) Множество R действительных чисел – поле;4) Множество C комплексных чисел – поле;5) Множество Pn[x ] всех многочленов над полем P степени 6 n не является полем.

Простейшие свойства полей

Свойство 1. В поле P нет делителей нуля.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть pq = 0, причем p, q ∈ P, p 6= 0. Умножим обе части равенства pq = 0

на элемент p−1 ∈ P. Получим p−1(pq) = p−10⇒ q = 0. �Свойство 2. (закон сокращения в поле). Для любого элемента k ∈ P, k 6= 0, из равенств kl = km, lk =

mk следует, что l = m.

Свойство 3. Для любых p ∈ P, q ∈ P, q 6= 0, уравнение

qx = p (5.2)

имеет в поле P единственное решение x = q−1p.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.5. Группа. Кольцо. Поле1.5.3. Поле

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Решение уравнения (5.2) обозначается также символомp

qи называется частным элементов p и q.

Таким образом, в поле определено деление на ненулевой элемент.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6. Многочлены

1.6.1. Определение многочлена1.6.2. Действия над многочленами1.6.3. Деление с остатком1.6.4. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида1.6.5. Корни многочленов1.6.6. Схема Горнера1.6.7. Кратные корни многочленов1.6.8. Основная теорема алгебры1.6.9. Следствия из основной теоремы алгебры для многочленов с комплексными коэффициентами1.6.10.Следствия из основной теоремы алгебры для многочленов с действительными коэффициентами1.6.11.Неприводимые многочлены1.6.12.Рациональные функции

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.1. Определение многочлена

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.1. Определение многочлена

Пусть множество P – некоторое числовое поле, в частности P = R (поле действительных чисел) либоP = C (поле комплексных чисел),а n – целое неотрицательное число.

Многочленом (полиномом) степени n от переменной x над полем P называется выражение вида

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0,

где ai ∈ P, ∀i = 0, n, причем an 6= 0.

Рассмотрим многочленanx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0. (6.1)

Числа ai(0 6 i 6 n) называются коэффициентами многочлена (6.1), причем an – старший коэффи-циент. Если в (6.1) n = 0, то говорят, что многочлен (6.1) – это многочлен нулевой степени. Исходя изопределения многочлен нулевой степени представляет собой отличное от нуля число из поля P.

Если в многочлене все коэффициенты равны нулю, то он называется нулевым многочленом или простонулем и обозначается символом 0(x) или просто 0. Степень нулевого многочлена не определена. Иногдасчитается, что она равна −∞.

Многочлены обозначаются символами f (x), g(x), . . . . Так, например, многочлен (6.1) можно записатьв виде f (x) = anx

n+an−1xn−1 + . . .+a1x+a0. Степень многочлена f (x) в этом случае обозначается deg f (x),

т.е. deg f (x) = n.Замечание 6.1. Иногда, кроме выражения (6.1), многочлен f (x) записывается в виде f (x) = a0x

n + a1xn−1 +

. . .+ an, где a0 6= 0.

Замечание 6.2. Множество всех многочленов от переменной x над полем P обозначается P [x ]. В частности,множество всех многочленов степени не выше n обозначается Pn[x ] либо P [x ]n.

Замечание 6.3. Любой многочлен можно рассматривать как целую рациональную функцию, т.е. функцию,получающуюся из переменных и некоторых постоянных (коэффициентов) посредством выполнения в определенномпорядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий классрациональных (дробно-рациональных) функций.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.2. Действия над многочленами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.2. Действия над многочленами

Два многочленаf (x) = anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,

g(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + . . .+ b1x + b0,

ai , bj ∈ P, ∀i = 0, n, j = 0, m, называются равными, если:1) deg f = deg g, т.е. m = n;2) равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, т.е. ai = bi , ∀i = 0, n.

Суммой многочленовf (x) = anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0

иg(x) = bmx

m + bm−1xm−1 + . . .+ b1x + b0

является многочлен

c(x) =

n∑j=0

cjxj , cj = aj + bj , j = 0, n

(причем при n > m коэффициенты bm+1, bm+2, . . . , bn предполагаются равными нулю).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Произведением многочленов

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0,

g(x) = bmxm + bm−1x

m−1 + . . .+ b1x + b0

является многочленd(x) = dn+mx

n+m + . . .+ d1x + d0,

где di =∑j+l=i

ajbl , i = 0, n +m, 0 ≤ j ≤ n, 0 ≤ l ≤ m.

В частности,d0 = a0b0; d1 = a0b1 + a1b0; dn+m = anbm.

Замечание 6.4. Из определения суммы многочленов следует, что

deg(f (x) + g(x)) 6 max(deg f (x), deg g(x)). (6.2)

Если n 6= m, то формула (6.2) имеет вид deg(f (x) + g(x)) = max(deg f (x), deg g(x)).

При n = m может оказаться, что deg(f (x) + g(x)) < n(если an = −bn).Замечание 6.5. Из определения произведения многочленов ввиду того, что an 6= 0, bm 6= 0, вытекает, что

dn+m 6= 0. Поэтомуdeg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x). (6.3)

Замечание 6.6. Таким образом, на множестве P [x ] всех многочленов над полем P введены алгебраическиеоперации сложения и умножения многочленов.

Свойства операций над многочленами

Если f (x), g(x), h(x) ∈ P [x ], то верны следующие равенства:1) f (x) + g(x) = g(x) + f (x);

2) (f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x));

3) f (x) + 0(x) = f (x);

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

4) для каждого f (x) из P [x ] существует такой многочлен q(x) ∈ P [x ], что f (x) + q(x) = q(x) + f (x) = 0(x).

Многочлен q(x) называется противоположным многочлену f (x). Нетрудно видеть, что q(x) = −f (x);

5) f (x)g(x) = g(x)f (x);

6) (f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x));

7) f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x).

Справедливость этих свойств следует из соответствующих свойств действительных (комплексных)чисел, так как сложение и умножение многочленов, на основании определений, сводится к сложению иумножению соответствующим образом их коэффициентов.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.3. Деление с остатком

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.3. Деление с остатком

Теорема 6.1. Для любых двух многочленов f (x), g(x) ∈ P [x ], g(x) 6= 0(x), существуют, и притомединственные, многочлены q(x), r(x) ∈ P [x ] такие, что имеет место равенство

f (x) = g(x)q(x) + r(x), причем deg r(x) < deg g(x). (6.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала, что многочлены q(x) и r(x) определены однозначным об-разом. Пусть, от противного, существуют многочлены q(x), r(x) такие, что

f (x) = g(x)q(x) + r(x), (6.5)

где q(x), r(x) ∈ P [x ]; deg r(x) < deg g(x). Из равенств (6.4) и (6.5) имеем

g(x)(q(x)− q(x)) = r(x)− r(x). (6.6)

Очевидно, чтоdeg(r(x)− r(x)) 6 max(deg r(x), deg r(x)) < deg g(x).

Но если q(x)− q(x) 6= 0(x), то на основании формулы (6.3) имеем

deg(g(x)(q(x)− q(x))) = deg g(x) + deg(q(x)− q(x)) > deg g(x).

Полученное противоречие означает, что q(x) − q(x) = 0, т.е. q(x) = q(x). Тогда из (6.6) следует, чтоr(x) = r(x).

Докажем существование многочленов g(x) и r(x) таких, что выполняется (6.4).Если deg f (x) < deg g(x), то

q(x) = 0(x), r(x) = f (x). (6.7)

Тогда соотношение (6.4) выполняется.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пусть deg f (x) > deg g(x) и

f (x) = anxn + . . .+ a1x + a0, an 6= 0, deg f (x) = n,

g(x) = bmxm + . . .+ b1x + b0, bm 6= 0, deg g(x) = m.

Применим индукцию по степени многочлена f (x). Пусть n = 0. Если m = 0, т.е. f (x) = a0, g(x) = b0, то

q(x) =a0

b0, r(x) = 0(x). При m > 0 имеем соотношение (6.7).

Рассмотрим теперь случай n > m. Предположим, что утверждение теоремы справедливо для всехмногочленов, степень которых меньше n. Положив

f1(x) = f (x)−anbmxn−mg(x), (6.8)

получим, что deg f1(x) < deg f (x) = n, так как старшие коэффициенты многочленов f (x) иanbmxn−mg(x)

совпадают. Поэтому к многочлену f1(x) можно применить предположение индукции. Существуют такиемногочлены q(x), r(x) ∈ P [x ], что

f1(x) = g(x)q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x).

Из равенства (6.8) получим

f (x) = f1(x) +anbmxn−mg(x) = g(x)q(x) + r(x) +

anbmxn−mg(x) =

= g(x)(anbmxn−m + q(x)) + r(x),

т.e.q(x) =

anbmxn−m + q(x), r(x) = r(x),

где q(x), r(x) ∈ P [x ]; deg r(x) = deg r(x) < deg g(x). �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Многочлен q(x) в соотношении (6.4) называется частным от деления f (x) на g(x), многочлен r(x) –остатком.

Замечание 6.7. Пользуясь доказательством теоремы 6.1, можно построить алгоритм деления многочленов состатком. В случае небольших степеней этот алгоритм осуществляется делением <уголком>, как показано в примере6.1.

Пример 6.1. Разделить с остатком многочлен f (x) = 4x3 − 2x + 3 на многочлен g(x) = 2x + 1.

Решение. Имеем

4x3 − 2x + 3 2x + 1−4x3 + 2x2 2x2 − x − 1/2

−2x2 − 2x + 3−−2x2 − x

−x + 3−−x − 1/2

7/2

Таким образом, f (x) = g(x)

(2x2 − x −

1

2

)+

7

2, т.е. частное q(x) = 2x2 − x −

1

2, остаток r(x) =

7

2.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.4. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.4. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида

Пусть f (x), g(x) ∈ P [x ]. Если существует многочлен h(x) ∈ P [x ] такой, что f (x) = g(x)h(x), то говорят,что многочлен f (x) делится на g(x) или g(x) делит f (x), и пишут g(x)

∣∣f (x).Многочлен g(x) называется делителем многочлена f (x).

Многочлен u(x) ∈ P [x ] называется общим делителем многочленов f (x), g(x) ∈ P [x ], еслиu(x)|f (x), u(x)|g(x).

Замечание 6.8. Из определения делимости многочлена следует, что многочлен нулевой степени является общимделителем любых двух многочленов.

Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов f (x) и g(x) из P [x ] называется такой их общийделитель d(x) ∈ P [x ], который сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Теорема 6.2. Если НОД двух многочленов существует, то он определен с точностью до множителяα ∈ P, α 6= 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. ⇒ Предположим, что d1(x), d2(x) являются НОД многочленов f (x), g(x) ∈P [x ]. Из определения НОД имеем, что d1(x)|d2(x), d2(x)|d1(x). Тогда d2(x) = αd1(x), для некоторого α ∈ P.

⇐ Пусть β 6= 0, β ∈ P. Если d1(x) – общий делитель многочленов f (x) и g(x), то βd1(x) также являетсяобщим делителем многочленов f (x), g(x). В то же время любой общий делитель f (x) и g(x) делит d1(x),

а поэтому и βd1(x). Следовательно, βd1(x) – НОД многочленов f (x) и g(x). �

Замечание 6.9. Таким образом, НОД двух многочленов, если он существует, определяется с точностью домножителя нулевой степени. Поэтому в дальнейшем, чтобы избежать неоднозначности, будем считать, что старшийкоэффициент в наибольшем общем делителе многочленов f (x) и g(x) равен единице. Кроме того, если g(x) = 0(x)

и f (x) = 0(x), то положим НОД(f (x), g(x)

)= 0(x).

Лемма 6.1. Если g(x)|f (x), то g(x) есть НОД многочленов f (x), g(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Многочлен g(x) есть общий делитель f (x) и g(x), а любой общий делительмногочленов f (x), g(x) делит g(x). �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Теорема 6.3 (алгоритм Евклида). Для любых двух многочленов f (x) и g(x) из P [x ] существует наи-больший общий делитель, принадлежащий P [x ].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если g(x) = 0(x), то f (x)|0(x), а следовательно, получаем, что f (x) являетсяНОД многочленов f (x), 0(x).

Рассмотрим теперь два многочлена f (x), g(x) ∈ P [x ] таких, что deg f (x) > deg g(x), g(x) 6= 0(x), g(x)

не делит f (x). Исходя из теоремы 6.1 деления многочленов с остатком, делим с остатком f (x) на g(x)

и получаем некоторый остаток r1(x). Если r1(x) = 0(x), то процесс прекращаем. Если r1(x) 6= 0(x), тоделим с остатком g(x) на r1(x) и получаем остаток r2(x). Если r2(x) = 0(x), то процесс прекращаем. Еслиr2(x) 6= 0(x), то делим с остатком r1(x) на r2(x) и т. д. Так как степени остатков все время понижаются, вэтой цепочке последовательных делений через конечное число шагов процесс остановится.

Используя теорему 6.2, можно записать цепочку соотношений:

f (x) = g(x)q1(x) + r1(x), r1(x) 6= 0(x);

g(x) = r1(x)q2(x) + r2(x), r2(x) 6= 0(x);

r1(x) = r2(x)q3(x) + r3(x), r3(x) 6= 0(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rk−3(x) = rk−2(x)qk−1(x) + rk−1(x), rk−1(x) 6= 0(x);

rk−2(x) = rk−1(x)qk(x) + rk(x), rk(x) 6= 0(x);

rk−1(x) = rk(x)qk+1(x),

(6.9)

где deg g(x) > deg r1(x) > deg r2(x) > . . . > deg rk(x) > −∞.Рассматривая сверху вниз равенства (6.9), получаем, что пары многочленов f (x), g(x); g(x), r1(x);

r1(x), r2(x); ...; rk−2(x), rk−1(x); rk−1(x), rk(x); rk(x), 0 имеют одинаковые общие делители, т.е. общие дели-тели многочленов f (x), g(x) совпадают с делителями многочлена rk(x) – последнего отличного от нуляостатка в алгоритме (6.9). Но это значит, что rk(x) является общим делителем многочленов f (x), g(x) иделится на любой другой общий делитель f (x) и g(x), т.е. rk(x) – НОД многочленов f (x), g(x). �

Итак, из доказательства теоремы 6.3 следует, что если g(x) не делит f (x), то НОД многочленовf (x), g(x) равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме (6.9).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Способ получения НОД многочленов f (x) и g(x), изложенный в теореме 6.3, называется алгоритмомпоследовательного деления или алгоритмом Евклида.

Замечание 6.10. Исходя из алгоритма Евклида и свойств операций над многочленами, можно во избежаниедробных коэффициентов умножать делимое или сокращать делитель на любое не равное нулю число, причем делатьэто можно не только в начале какого-либо из последовательных делений, но и в процессе каждого деления. Это при-ведет к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевойстепени, что не искажает НОД.

Пример 6.2. Найти НОД многочленов f (x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x − 1 и g(x) = x3 + x2 − x − 1.

Решение. Делим с остатком f (x) на g(x) :

x4 + x3 − 3x2 − 4x − 1 x3 + x2 − x − 1−x4 + x3 − x2 − x x

−2x2 − 3x − 1

Таким образом, первый остаток r1(x) = −2x2 − x − 1. Делим с остатком g(x) на r1(x) :

x3 + x2 − x − 1 −2x2 − 3x − 1

(после умножения на −2) −2x3 − 2x2 + 2x + 2 x + 1−−2x3 − 3x2 − x

x2 + 3x + 2

(после умножения на −2) −2x2 − 6x − 4−−2x2 − 3x − 1

−3x − 3

Вторым остатком (после сокращения на (–3)) будет r2(x) = x + 1.

−2x2 − 3x − 1 x + 1−−2x2 − 2x −2x − 1

−x − 1−−x − 1

0

Итак, x+1 – последний отличный от нуля остаток в данном алгоритме Евклида. Следовательно, НОД(f (x), g(x)

)= x+1.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.5. Корни многочленов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.5. Корни многочленов

Элемент c ∈ P называется корнем многочлена f (x) ∈ P [x ], если f (c) = 0.

Теорема 6.4 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена f (x) ∈ P [x ] на двучлен x − c равензначению многочлена f (x) при x = c.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем f (x) = (x − c)q(x) + r(x). Так как deg r(x) < deg(x − c) = 1, то r(x) –постоянный многочлен, т.е. r(x) = r ∈ P. Тогда f (c) = (c − c)q(c) + r, откуда r = f (c). �

Следствие 6.4.1. Число c ∈ P тогда и только тогда является корнем многочлена f (x), когда (x−c)|f (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. ⇒ Если c – корень f (x), то f (c) = 0 и r = f (c) = 0. Это означает, что(x − c)|f (x).

⇐ Пусть (x − c)|f (x). Тогда r = 0 и f (c) = r = 0, т.е. c – корень f (x). �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.6. Схема Горнера

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.6. Схема Горнера

Многочлен f (x) можно разделить на линейный многочлен (x − c) с помощью алгоритма деления состатком. Вместе с тем для нахождения коэффициентов частного и остатка от деления многочлена f (x) на(x − c) существует алгоритм, известный под названием схемы Горнера.

Пусть многочлен f (x) ∈ P [x ] имеет вид

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0

и пустьf (x) = (x − c)q(x) + r,

где q(x) = bn−1xn−1 + bn−2x

n−2 + ...+ b1x + b0. Тогда имеем равенство

anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0 =

= (x − c)(bn−1xn−1 + bn−2x

n−2 + ...+ b1x + b0) + r.(6.10)

Используя определение равенства многочленов и приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхx, получаем

an = bn−1; an−1 = bn−2 − cbn−1; an−2 = bn−3 − cbn−2; . . . ; a1 = b0 − cb1; a0 = r − cb0.

Откудаbn−1 = an,

bn−2 = an−1 + cbn−1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .bk−1 = ak + cbk , k = 1, n − 1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b0 = a1 + cb1,

r = a0 + cb0.

Для практического использования схемы Горнера строят таблицу следующего вида:

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.6. Схема Горнера

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

an an−1 . . . ak . . . a1 a0

c bn−1 =

an

bn−2 =

cbn−1 +

an−1,

. . . bk−1 =

cbk + ak

. . . b0 =

cb1 +

a1

r =

cb0 +

a0.

Пример 6.3. Пусть f (x) = x5 − 4x3 + 6x2 − 8x + 10. Найдем f (2) по схеме Горнера.

1 0 –4 6 –8 102 1 2· 1+0=2 2· 2–4=0 2· 0+6=6 2· 6–8=4 2·

4+10=18

Таким образом, f (2) = 18. Кроме того, f (x) = (x − 2)(x4 + 2x3 + 6x + 4) + 18.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.7. Кратные корни многочленов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.7. Кратные корни многочленов

Если c ∈ P – корень многочлена f (x) ∈ P [x ], т.е. f (c) = 0, то (x−c)|f (x).Может оказаться, что существуетчисло k ∈ N такое, что (x − c)k |f (x), но (x − c)k+1 не делит f (x). Тогда x = c называется k-кратнымкорнем многочлена, число k – кратностью корня . Если k = 1, то корень называется простым.

Пусть f (x) = anxn + ...+ a1x + a0, f (x) ∈ P [x ].

Производной f ′(x) многочлена f (x) степени n > 1 назовем многочлен (n − 1)-й степени:

f ′(x) = nanxn−1 + (n − 1)an−1x

n−2 + ...+ 2a2x + a1.

Теорема 6.5. Если элемент c поля P является k-кратным корнем многочлена f (x) ∈ P [x ], то при k > 1

элемент c будет (k − 1)-кратным корнем производной f ′(x) этого многочлена. Если k = 1, то c не являетсякорнем для f ′(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть элемент c поля P есть k-кратный корень f (x). Тогда имеет место ра-венство

f (x) = (x − c)kϕ(x), k > 1, (6.11)

причем x − c не делит ϕ(x), т.е. ϕ(c) 6= 0. Дифференцируя (6.11), имеем f ′(x) = k(x − c)k−1ϕ(x) + (x −c)kϕ′(x) = (x−c)k−1(kϕ(x)+(x−c)ϕ′(x)). Так как x−c не делит ϕ(x), то x−c не делит kϕ(x)+(x−c)ϕ′(x).

Поскольку частное от деления f ′(x) на (x − c)k−1 определено однозначно, то (x − c)k−1 являетсянаибольшей степенью x − c, на которую делится f ′(x). �

Замечание 6.11. Из теоремы 6.5 следует, что k-кратный корень многочлена f (x) является (k − s)-кратным(1 < s < k) корнем s-й производной f (s)(x) многочлена f (x) и не является корнем k-й производной этого многочлена.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.8. Основная теорема алгебры

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.8. Основная теорема алгебры

Теорема 6.6 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен степени больше нуля, с любыми число-выми коэффициентами имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Замечание 6.12. Теорема приводится без доказательства (доказательство этой теоремы можно найти, напри-мер, в учебном пособии ([?]). Впервые основная теорема алгебры была сформулирована в XVII в. (П. Роте, Л.Жирар, Р. Декарт).

Во второй половине XVIII в. появляются доказательства Ж. Д’Аламбера, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Лагранжаи др. Строгое доказательство впервые опубликовал в 1799 г. К. Гаусс. Выработанные в доказательствах идеи и методыоказали глубокое влияние на последующее развитие алгебры и других разделов математики.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.9. Следствия для многочленов с комплексными коэффициентами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.9. Следствия из основной теоремы алгебры для многочленов с комплекснымикоэффициентами

Следствие 6.6.1. Для каждого многочлена f (x) ∈ C[x ], deg f (x) = n > 0, существуют числа α1, ..., αn ∈C такие, что справедливо разложение

f (x) = an(x − α1)(x − α2) . . . (x − αn), (6.12)

где an – старший коэффициент многочлена f (x); α1, ..., αn – корни многочлена.Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем справедливость разложения для f (x) методом математической ин-

дукции по n. При n = 1 многочлен f (x) имеет вид f (x) = a1x + a0, a1 6= 0. Поэтому многочлен f (x) можнопредставить в виде

f (x) = a1

(x −

(−a0

a1

)).

Пусть n > 1. Предположим, что для всякого многочлена g(x) ∈ C[x ] степени n− 1 справедливо разложение

g(x) = an−1(x − α1)(x − α2) . . . (x − αn−1).

Для многочлена f (x) в силу основной теоремы алгебры существует корень αn ∈ C. Тогда из следствия6.4.1 имеем (x − αn)|f (x), т.е. существует многочлен g(x) ∈ C[x ] такой, что f (x) = (x − αn)g(x), причемdeg g(x) = n − 1. Используя предположение индукции, получаем разложение (6.12). Ясно, что α1, ..., αn в(6.12) – корни многочлена, an – его старший коэффициент, так как старший коэффициент произведениямногочленов равен произведению старших коэффициентов сомножителей. �

Замечание 6.13. Представление многочлена f (x) ∈ C[x ] в виде (6.12) называется разложением многочленаf (x) на линейные множители.

Теорема 6.7. Разложение многочлена f (x) на линейные множители определяется однозначно с точно-стью до порядка следования сомножителей.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведем методом математической индукции по n, т.е. постепени многочлена f (x).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пусть при n = 1 имеем два разложения f (x) = a1(x − α1), f (x) = a1(x − β1). Тогда имеет месторавенство a1(x − α1) = a1(x − β1), откуда α1 = β1.

Предположим, что утверждение справедливо для всех многочленов (n − 1)-й степени.Пусть наряду с разложением (6.12) для многочлена f (x), deg f (x) = n, справедливо разложение f (x) =

an(x − β1) . . . (x − βn). Тогда

an(x − α1) . . . (x − αn) = an(x − β1) . . . (x − βn). (6.13)

Так как α1 – корень f (x), то среди чисел β1, ..., βn обязательно существует такое βi , 1 6 i 6 n, что α1 = βi .

В противном случае, положив x = α1, слева в (6.13) получили бы нуль, а справа – число, отличное отнуля. Сократим обе части равенства (6.13) на x − α1. С учетом предположения индукции и сделав, принеобходимости, перестановку сомножителей, получим требуемое. �

Следствие 6.7.1. Всякий многочлен f (x) ∈ C[x ], deg f (x) = n > 1, имеет в точности n корней, есликаждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 6.7.2. Число различных корней непостоянного многочлена не превосходит его степени.Следствие 6.7.3. Если два многочлена f (x) и g(x), степени которых не превосходят n, принимают

одинаковые значения при n + 1 различных значениях переменной, то f (x) = g(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (x), g(x) ∈ C[x ], deg f (x) 6 n, deg g(x) 6 n, c1, ..., cn+1 – попарноразличные элементы такие, что f (ci) = g(ci), i = 1, n + 1.

Рассмотрим многочлен h(x) = f (x) − g(x). Для h(x) имеем: deg h(x) 6 n, h(ci) = 0, i = 1, n + 1,

следовательно, h(x) имеет n+ 1 различных корней, и в силу следствия 6.7.2 многочлен h(x) нулевой, откудаf (x) = g(x). �

Следствие 6.7.4.(интерполяционная формула Лагранжа) Для любых попарно различных чисел c1, ..., cn+1 ∈C и любых b1, ..., bn+1 ∈ C существует единственный многочлен f (x), deg f (x) 6 n, такой, что f (ci) = bi ,

i = 1, n + 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если существует многочлен f (x) ∈ C[x ], deg f (x) 6 n, такой, что f (ci) = bi ,

i = 1, n + 1, то в силу следствия 6.7.3 он определен однозначно. Этим многочленом является многочлен

f (x) =

n+1∑j=1

bjϕj(x), (6.14)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

где

ϕj(x) =(x − c1) . . . (x − cj−1)(x − cj+1) . . . (x − cn+1)

(cj − c1) . . . (cj − cj−1)(cj − cj+1) . . . (cj − cn+1).

Проверим, что deg f (x) 6 n, f (ci) = bi , i = 1, n + 1. Так как degϕj(x) = n, j = 1, n + 1, то deg f (x) 6 n.

Имеем также

ϕj(ci) =

{1, если j = i ,

0, если j 6= i , i = 1, n + 1.


f (ci) =

n+1∑j=1

bjϕj(ci) = bi , i = 1, n + 1.

�Многочлен

f (x) =

n+1∑j=1

bjϕj(x), (6.15)

где

ϕj(x) =(x − c1) . . . (x − cj−1)(x − cj+1) . . . (x − cn+1)

(cj − c1) . . . (cj − cj−1)(cj − cj+1) . . . (cj − cn+1)

называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а формула (6.15) – интерполяционной формулойЛагранжа.

Пример 6.4. Построить многочлен f (x) по заданной таблице значений:

x -2 -1 0 1f (x) -1 -2 1 0

Решение. Для построения многочлена f (x) воспользуемся интерполяционной формулой Лагранжа. Имеем

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

f (x) = (−1)(x + 1)(x − 0)(x − 1)

(−2 + 1)(−2− 0)(−2− 1)+ (−2)

(x + 2)(x − 0)(x − 1)

(−1 + 2)(−1− 0)(−1− 1)+ 1 ·

(x + 2)(x + 1)(x − 1)

(0 + 2)(0 + 1)(0− 1)+ 0

(x + 2)(x + 1)(x − 0)

(1 + 2)(1 + 1)(1− 0)=

=1

6(x3 − x)− (x3 + x2 − 2x)−

1

2(x3 + 2x2 − x − 2) = −

8

6x3 − 2x2 +

14

6x + 1 = −

4

3x3 − 2x2 +

7

3x + 1.

Следствие 6.7.5. (Формулы Виета) Пусть

f (x) = xn + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0, f (x) ∈ P [x ]. (6.16)

В силу следствия 6.6.1 справедливо разложение

f (x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn),

где α1, ..., αn – корни многочлена, причем каждый корень выписан столько раз, какова его кратность. Тогда

xn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn). (6.17)

Исходя из определения равенства многочленов и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x,из равенства (6.17) получаем:

an−1 = −(α1 + α2 + . . .+ αn),

an−2 = α1α2 + α1α3 + . . .+ α1αn + α2α3 + . . .+ αn−1αn,

an−3 = −(α1α2α3 + α1α2α4 + . . .+ αn−2αn−1αn),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a1 = (−1)n−1(α1α2 . . . αn−1 + α1α2 . . . αn−2αn + . . .+ α2α3 . . . αn),

a0 = (−1)nα1α2 . . . αn.

(6.18)

Формулы (6.18) называют формулами Виета.При n = 2 для многочлена f (x) = x2 + a1x + a0 имеем известные соотношения a1 = −(α1 + α2),

a0 = α1α2.

При n = 3 для многочлена f (x) = x3 + a2x2 + a1x + a0 формулы Виета имеют вид:

a2 = −(α1 + α2 + α3),

a1 = α1α2 + α1α3 + α2α3,

a0 = −α1α2α3.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пример 6.5. Определить число c так, чтобы один из корней уравнения x3 + 21x2 + c = 0 был равен удвоенному другому.Решение. Воспользуемся формулами Виета, а именно, если α1, α2, α3 – корни исходного уравнения, то они удовлетворяют

системе уравнений вида: α1 + α2 + α3 = −21,

α1α2 + α1α3 + α2α3 = 0,

α1α2α3 = −c.Исходя из условий задачи, положим, что, например, α1 = 2α2, тогда последняя система приобретает вид

3α2 + α3 = −21,

2α22 + 3α2α3 = 0,

2α22α3 = −c.

Из первых двух уравнений этой системы следует, что либо α2 = 0, α3 = −21, либо α2 = −9, α3 = 6. Но тогда из последнего

уравнения имеем либо c = 0, либо c = −972.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.10. Следствия для многочленов с действительными коэффициентами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.10. Следствия из основной теоремы алгебры для многочленов сдействительными коэффициентами

Пусть f (x) = anxn +an−1x

n−1 + ...+a1x+a0, причем ai ∈ R. Такой многочлен называется многочленомс действительными коэффициентами.

Следствие 6.7.6. Если комплексное число α является корнем многочлена f (x) с действительнымикоэффициентами, то сопряженное к нему комплексное число также является корнем для f (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как α – корень f (x), то f (α) = anαn+...+a1α+a0 = 0. Применяя свойства

сопряженных чисел, имеем

f (α) = anαn + . . .+ a1α+ a0 = anαn + . . .+ a1α+ a0 = anα

n + . . .+ a1α+ a0 = 0,

т.е. f (α) = 0. �Замечание 6.14. Исходя из следствия 6.7.6 если α ∈ C – корень многочлена f (x) ∈ R[x ], то α является также

корнем этого многочлена, и это значит, что

(x − α)|f (x), (x − α)|f (x)⇒ (x − α)(x − α)|f (x).

Пусть ϕ(x) = (x − α)(x − α) = x2 − (α+ α)x + αα. Ясно, что ϕ(x) – многочлен с действительными коэффи-циентами, так как α+ α ∈ R, αα ∈ R. Значит, ϕ(x)|f (x).

Следствие 6.7.7. Если α – k-кратный корень многочлена f (x) с действительными коэффициентами,то α также является k-кратным корнем f (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, от противного, α – l-кратный корень f (x). Положим, например, чтоl > k. Тогда f (x) = (x − α)k(x − α)lg(x), где g(α) 6= 0; g(α) 6= 0. Отсюда получаем

f (x) = (ϕ(x))kg1(x),

где ϕ(x) = (x −α)(x − α); g1(x) = (x − α)l−kg(x); g1(α) 6= 0. Многочлен g1(x) имеет действительные коэф-фициенты как частное двух многочленов с действительными коэффициентами и определяется однозначно.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.10. Следствия для многочленов с действительными коэффициентами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Таким образом, имеем g1(α) 6= 0, g1(α) = 0, что противоречит следствию 6.7.6. Следовательно, lне может быть больше k. Аналогичным образом можно показать, что l не может быть меньше k. Значит,l = k. �

Следствие 6.7.8. Любой многочлен f (x) с действительными коэффициентами нечетной степени имеетхотя бы один действительный корень.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.11. Неприводимые многочлены

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.11. Неприводимые многочлены

Многочлен f (x) ∈ P [x ] степени n больше нуля со старшим коэффициентом, равным единице, называетсянеприводимым над полем P , если его нельзя представить в виде произведения многочленов из P [x ],степени которых меньше n. Очевидно, многочлены над полем R вида x2 + px + q, p, q ∈ R, p2 − 4q < 0, атакже вида x − α, α ∈ R, являются неприводимыми. Над полем C неприводимые многочлены имеют вид(x − c), c ∈ C.

Теорема 6.8. Для всякого многочлена f (x) ∈ R[x ] степени n больше нуля имеет место разложение нанеприводимые множители

f (x) = an(x − β1) . . . (x − βs)(x2 + p1x + q1) . . . (x2 + ptx + qt), (6.19)

где an, βk , pj , qj ∈ R; p2j − 4qj < 0; k = 1, s; j = 1, t; s > 0; t > 0; s + 2t = n. Это разложение единственно

с точностью до перестановки сомножителей.

Замечание 6.15. Исходя из следствия 6.6.1 всякий многочлен f (x) ∈ C[x ] представим в виде произведениянеприводимых над полем C многочленов и старшего коэффициента, а именно f (x) представим в виде

f (x) = an(x − α1)(x − α2) . . . (x − αn),

где an ∈ C, αi ∈ C, ∀i = 1, n.Пример 6.6. Разложить многочлен f (x) = x3 + 8 на неприводимые над полем R и над полем C множители.Решение. Рассмотрим два способа решения данного примера.1-й способ. Первоначально сделаем разложение многочлена f (x) на неприводимые над полем R, а затем над полем C.

Используя известную формулу разложения суммы кубов на множители, т.е. формулу a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2), имеемразложение исходного многочлена на неприводимые над полем R множители:

x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4).

Так как многочлен x2−2x+4 приводим над полем C, т.е. его можно представить в виде x2−2x+4 = (x−(1+i√

3))(x−(1−i√

3)),

то имеем разложение многочлена x3 + 8 на неприводимые над полем C :

x3 + 8 = (x + 2)(x − (1 + i√

3))(x − (1− i√

3)).

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.11. Неприводимые многочлены

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

2-й способ. Разложим теперь, первоначально, многочлен x3 + 8 на неприводимые над полем C. Для этого найдем всезначения 3

√−8. Используя формулу(??) корней n-й степени из комплексного числа, имеем

3√−8 = 2(cos

π + 2πk

3+ i sin

π + 2πk

3), k = 0, 1, 2.

В результате получаем разложение многочлена x3 + 8 на неприводимые над полем C множители:

x3 + 8 = (x − 2)(x − (1 + i√

3))(x − (1− i√

3)).

Отсюда, объединяя два последних сомножителя в предыдущем разложении, приходим к разложению над полем R :

x3 + 8 = (x − 2)(x2 − 2x + 4).

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.6. Многочлены1.6.12. Рациональные функции

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.6.12. Рациональные функции

Отношение двух многочленов называется рациональной или дробно-рациональной функцией

R(x) =P (x)

Q(x).

Если степень многочлена P (x) меньше, чем степень многочлена Q(x), то R(x) называют правильной

рациональной функцией. Если рациональная функцияP (x)

Q(x)не является правильной, то многочлен P (x)

можно разделить с остатком на многочлен Q(x) (см.теорему 6.1), т.е. представить в виде

P (x)

Q(x)= S(x) +

R(x)

Q(x), (6.20)

причемR(x)

Q(x)– правильная рациональная функция. При этом многочлен S(x) называется целой частью

функцииP (x)

Q(x), т.е. является целой рациональной функцией.

Простейшими рациональными функциями над множеством R называются рациональные функции вида

A

(x − a)k,

Mx + N

(x2 + px + q)l, A,M,N, a, p, q ∈ R,

причем p2 − 4q < 0.

Всякую правильную рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших рациональ-

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

ных функций. Вид представления определяется видом знаменателя Q(x) при разложении на неприводимыенад полем R множители (см. теорему 6.8). Каждому множителю вида (x − a)k соответствует сумма

A1

(x − a)k+

A2

(x − a)k−1+ ...+

Akx − a ,

а каждому множителю вида (x2 + px + q)l , где p2 − 4q < 0, соответствует сумма

M1x + N1

(x2 + px + q)l+

M2x + N2

(x2 + px + q)l−1+ ...+

Mlx + Nlx2 + px + q

.

Такое представление единственно с точностью до перестановки слагаемых. (Доказательство этогоутверждения см., например, в пособии [?].)

Пример 6.7.2x + 3

(x3 + x)2(x − 2)3=

2x + 3

x2(x2 + 1)2(x − 2)3=A

x2+B

x+

C

(x − 2)3+

D

(x − 2)2+

E

x − 2+Mx + N

(x2 + 1)2+Kx + L

x2 + 1. В

этом разложении A,B, C,D,E,M,N,K, L – некоторые коэффициенты (числа), которые определяются однозначным образом.

Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения неизвестных коэффициентов в правой части разложения правильной рациональнойфункции используют метод неопределенных коэффициентов. При этом существует несколько подходов дляих определения.

Продемонстрируем это на примерах.

Пример 6.8.5x + 7

(x + 1)(x + 2)=

A

x + 1+

B

x + 2=A(x + 2) + B(x + 1)

(x + 2)(x + 1).

Отсюда имеем 5x + 7 = A(x + 2) +B(x + 1) = (A+B)x + (2A+B). Последнее равенство представляет собой равенстводвух многочленов. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x у многочленов, стоящих справа ислева:

x1 A+ B = 5

x0 2A+ B = 7

}⇒ A = 2, B = 3.

Таким образом,5x + 7

(x + 1)(x + 2)=

2

x + 1+

3

x + 2.

Пример 6.9.x + 1

(x + 2)(x2 + 1)=

A

x + 2+Bx + C

x2 + 1=A(x2 + 1) + (Bx + C)(x + 2)

(x + 2)(x2 + 1).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Следовательно,x + 1 = A(x2 + 1) + (x + 2)(Bx + C). (6.21)

Так как равенство (6.21) выполняется при любых значениях переменной x, то оно должно выполняться и при конкретных,заданных значениях этой переменной (в том числе и при комплексных значениях x).

Пусть x = −2. Тогда из (6.21) получаем 5A = −1⇒ A = −1

5.

Пусть x = i . Тогдаi + 1 = (i + 2)(Bi + C) = (2C − B) + i(2B + C).

Поэтому{

2C − B = 1

2B + C = 1⇒ B =

1

5, C =

3

5.

Таким образом,x + 1

(x + 2)(x2 + 1)= −

1

5(x + 2)+

x + 3

5(x2 + 1).

Пример 6.10.x2 + 1

x3(x − 1)=A

x3+B

x2+C

x+

D

x − 1=

(x − 1)(A+ Bx + Cx2) +Dx3

x3(x − 1).

Приравняем числители дробей.x2 + 1 = (x − 1)(A+ Bx + Cx2) +Dx3. (6.22)

x = 1 ⇒ D = 2; x = 0 ⇒ A = −1.

Продифференцируем равенство (6.22):

2x = (A+ Bx + Cx2) + (x − 1)(B + 2Cx) + 3Dx2.

x = 0 ⇒ A− B = 0 ⇒ B = −1.

Продифференцируем еще один раз:2 = 2(B + 2Cx) + 2(x − 1)C + 6Dx.

x = 0 ⇒ 2B − 2C = 2 ⇒ C = −2.

Окончательно получаем разложениеx2 + 1

x3(x − 1)= −

1

x3−

1

x2−

2

x+

2

x − 1.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.7. Матрицы

1.7.1. Определение матрицы. Примеры1.7.2. Частные виды матриц1.7.3. Линейные операции над матрицами1.7.4. Умножение матриц1.7.5. Элементарные преобразования матриц1.7.6. Транспонирование матриц1.7.7. Обратная матрица

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.1. Определение матрицы. Примеры

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.7.1. Определение матрицы. Примеры

Пусть m и n – произвольные натуральные числа,а K – некоторое множество.

Матрицей размеров m× n называется прямоугольная таблица, составленная из mn элементов множестваK и имеющая m строк и n столбцов, т.е. таблица вида

a11 a12 . . . a1n,

a21 a22 . . . a2n,

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn,

где ai j ∈ K; ∀i = 1, m, ∀j = 1, n, при этом i обозначает номер строки, а j – номер столбца, на пересечениикоторых расположен элемент ai j . Элементы ai j , составляющие матрицу, называют ее элементами.

Для изображения матриц употребляют как круглые, так и квадратные скобки:a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

;

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

.

Прямоугольная матрица размеров 1× n, состоящая из одной строки

[a11, a12, . . . , a1n],

называется строчной, матрицей-строкой или просто строкой.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.1. Определение матрицы. Примеры

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Прямоугольная матрица размеров m × 1, состоящая из одного столбцаa11

a21

. . .

am1

,называется столбцовой, матрицей-столбцом или просто столбцом.

Множество всех матриц размеров m × n над множеством K обозначают Km,n.Пример 7.1. Матрица 2 −1 0

3 2 4

0 −5 6

имеет размеры 3× 3. Ее элементы принадлежат множеству целых чисел Z.

Пример 7.2. Матрица (x2 x2 − 1 2

x2 + 2x x4 0

)есть матрица размеров 2× 3, или 2× 3-матрица над множеством многочленов.

Для обозначения матрицы употребляется также запись (ai j ; i = 1, m, j = 1, n) или (ai j), если изконтекста ясно, матрица каких размеров имеется в виду. Часто матрицу обозначают одной буквой, например

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.2. Частные виды матриц

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.7.2. Частные виды матриц

Матрица вида

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

называется квадратной матрицей порядка n. Одна из ее частей, определяемая элементами a11, a22, . . . , ann,

называется главной диагональю, а другая, определяемая элементами a1n, a2,n−1, . . . , an1, – побочной диа-гональю. При этом сумма элементов главной диагонали называется следом матрицы A и обозначаетсяtrA или SpA, т.е. trA = a11 + a22 + . . .+ ann.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главнойдиагонали, равны нулю, т. е. матрица вида

a11 0 . . . 0

0 a22 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . ann

.

В этом случае часто пишут A = diag(a11, a22, . . . , ann).

Диагональная матрица вида a 0 . . . 0

0 a . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . a

называется скалярной.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной и обозначаетсяE или I. Единичную матрицу порядка n иногда обозначают En (соответственно In).

Матрица размеров m × n, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается Om,n,или просто 0, если известны размеры этой матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону отглавной диагонали, равны нулю. Причем матрица вида

a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . ann

называется верхней треугольной, а матрица вида

a11 0 . . . 0

a21 a22 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

– нижней треугольной матрицей.

Пусть α – отличное от нуля число.

Диагональная матрица порядка n, у которой один из элементов на главной диагонали равен α, а остальныеэлементы равны единице, называется элементарной матрицей первого типа или типа I.

Элементарная матрица типа I, как правило, обозначается Ti ,α, если α есть i-й элемент диагонали.

Квадратная матрица порядка n называется элементарной матрицей второго типа или типа II, если ее диа-гональные элементы равны единице, некоторый недиагональный элемент, расположенный на пересеченииi-й строки и j-го столбца (i 6= j), равен β, а остальные элементы равны нулю.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Элементарная матрица типа II обозначается Ti ,j,β.Пример 7.3. Матрицы

T2,5 =

1 0 0

0 5 0

0 0 1

, T2,3,5 =

1 0 0

0 1 5

0 0 1

– элементарные матрицы.

Матрица A размеров m×n, m 6 n, называется частично мономиальной, если в каждой ее строке найдетсяхотя бы один элемент, равный единице, причем остальные элементы столбца, содержащего этот элемент,равны нулю. Иначе говоря, матрица A ∈ Km,n частично мономиальна, если из некоторых ее столбцовможно составить единичную матрицу порядка m.

Пример 7.4. Матрица (1 0 3 1 0

1 10 2 0 1

)частично мономиальна.

Пусть матрица A размера m × n. Блоком матрицы A называется часть этой матрицы, определяемаяэлементами ai j , где i = i1, i2, j = j1, j2, 1 6 i1 6 i2 6 m, 1 6 j1 6 j2 6 n. Этот блок обозначается A[i1,i2],[j1,j2].

Возрастающая последовательность натуральных чисел

m1 < m2 < . . . < mp = m, p ∈ N, (7.1)

где mp = m, называется разбиением числа m. Пусть наряду с разбиением (7.1) числа m имеем разбиениечисла n :

n1 < . . . < nq = n.

Тогда в соответствии с этой парой разбиений матрицу A можно разбить на блоки:

A =

A[1,m1],[1,n1] . . . A[1,m1],[nq−1+1,nq ]

. . . . . . . . .

A[mp−1+1,mp ],[1,n1] . . . A[mp−1+1,mp ],[nq−1+1,nq ]

.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Такое разбиение матрицы A назовем блочным разбиением.Пример 7.5. Разбиения 1 < 3 < 4, 2 < 5 чисел 4 и 5 определяют следующее блочное разбиение матрицы A размеров

4× 5 : a11 a12 a13 a14 a15

a21 a22 a23 a24 a25

a31 a32 a33 a34 a35

a41 a42 a43 a44 a45

=

A[1,1],[1,2] A[1,1],[3,5]

A[2,3],[1,2] A[2,3],[3,5]

A[4,4],[1,2] A[4,4],[3,5]

.Пусть m = n, т. е. A – квадратная матрица порядка n, разбиения чисел m и n совпадают (k = p =

q, ni = mi , i = 1, k).

Блочная квадратная матрица A видаA[1,n1],[1,n1] On1,n2−n1 . . . On1,nk−nk−1

On2−n1,n1 A[n1+1,n2],[n1+1,n2] . . . On2−n1,nk−nk−1

. . . . . . . . . . . .

Onk−nk−1,n1 Onk−nk−1,n2−n1 . . . A[nk−1+1,nk ],[nk−1+1,nk ]

называется блочно-диагональной, квазидиагональной или распавшейся и обозначается

diag(A[1,n1],[1,n1], A[n1+1,n2],[n1+1,n2], . . . , A[nk−1+1,nk ],[nk−1+1,nk ]).

В соответствии с блочным разбиением матрицы по аналогии с определением треугольной матрицы

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

можно ввести понятие (верхней, нижней) блочно-треугольной, квазитреугольной или полураспавшейся мат-рицы.

Блочная матрица вида

A =

(A[1,m1],[1,n1] Om1,n2−n1

A[m1+1,m2],[1,n1] A[m1+1,m2],[n1+1,n2]

)является нижней блочно-треугольной, нижней квазитреугольной, нижней полураспавшейся матрицей, аматрица

A =

(A[1,m1],[1,n1] A[1,m1],[n1+1,n2]

Om2−m1,n1 A[m1+1,m2],[n1+1,n2]

)– верхней блочно-треугольной, верхней квазитреугольной, верхней полураспавшейся матрицей.

Две матрицы A = (ai j , i = 1, m, j = 1, n) и B = (bi j , i = 1, m, j = 1, n) одинаковых размеров считаютсяравными (обозначение: A = B), если элементы одной матрицы равны соответствующим элементам другойматрицы, т.е. ai j = bi j для всех i , j.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.3. Линейные операции над матрицами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.7.3. Линейные операции над матрицами

Рассмотрим множество Rm,n матриц размеров m × n с элементами из множества R – множествадействительных чисел.

Замечание 7.1. Отметим, что указанные ниже в этом разделе утверждения верны и для матриц из множестваPm,n – матриц размеров m×n над любым полем P и, в частности, для матриц из множества Cm,n – матриц размеровm × n с комплексными элементами.

Суммой двух матриц A,B ∈ Rm,n называется такая матрица C = (ci j) ∈ Rm,n, у которой

ci j = ai j + bi j , ∀i , j, i = 1, m, j = 1, n.

Сумма матриц A и B обозначается A+ B, т.е. A+ B = C.

Из определения суммы матриц видно, что сумма A + B матриц A и B вполне определяется этимиматрицами. Эта операция (A,B) 7→ A+ B называется сложением матриц.

Пример 7.6. (1 2 0

−3 6 −4

)+

(0 −1 0

2 3 −4

)=

(1 1 0

−1 9 −8

).

Свойства операции сложения матриц

Свойство 1. A+ B = B + A, ∀A,B ∈ Rm,n.Свойство 2. (A+ B) + C = A+ (B + C),∀A,B, C ∈ Rm,n.Свойство 3. Для любой матрицы A ∈ Rm,n верны равенства

A+Om,n = Om,n + A = A.

Свойство 4. Для любой матрицы A ∈ Rm,n существует матрица B ∈ Rm,n такая, что A+B = B +A =

Om,n. При этом если A = (ai j) и B = (bi j), то bi j = −ai j .

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.3. Линейные операции над матрицами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Матрица B ∈ Rm,n называется матрицей, противоположной матрице A ∈ Rm,n, если выполняется равенствоA+ B = B + A = Om,n. Противоположная матрице A матрица обозначается −A, т.е. B = −A.

Произведением числа α на матрицу A ∈ Rm,n называется матрица C ∈ Rm,n с элементами, которыевычисляются по формуле

ci j = αai j , ∀i , j, 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n.

Это произведение обозначается αA, т.е. αA = C.

Операция (αA) 7→ αA называется умножением числа на матрицу из множества Rm,n.

Свойства операции умножения матриц на числа

Для любых матриц A,B ∈ Rm,n и любых чисел α, β имеют место следующие соотношения:Свойство 1. α(βA) = (αβ)A;

Свойство 2. (α+ β)A = αA+ βA;

Свойство 3. α(A+ B) = αA+ αB;

Свойство 4. 1A = A.

Разностью двух прямоугольных матриц A,B одинаковых размеров называется прямоугольная матрица,которая обозначается A− B и которая определяется равенствами

A− B = A+ (−1)B = A+ (−B).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на числа называются линейными операциями над мат-рицами.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.4. Умножение матриц

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.7.4. Умножение матриц

Произведением матрицы A = (ai j) размеров m×n на матрицу B = (bi j) размеров n× l называется матрицаC = (ci j) размеров m × l , у которой каждый элемент ci j вычисляется по формуле

ci j =

n∑k=1

aikbkj .

Произведение матрицы A на матрицу B обозначается AB, т.е. AB = C.

Из определения следует, что элемент матрицы AB, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен суммепроизведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Пример 7.7. Найти произведение AB, если

A =

(1 2

−3 0

), B =

(−1 3 6

2 −8 7

).

Решение. По определению имеем

AB =

(1 · (−1) + 2 · 2 1 · 3 + 2 · (−8) 1 · 6 + 2 · 7

(−3) · (−1) + 0 · 2 (−3) · 3 + 0 · (−8) (−3) · 6 + 0 · 7

)=

=

(3 −13 20

3 −9 −18

).

Операция (A,B) 7→ AB называется умножением матриц.

Матрица A называется согласованной с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строкматрицы B.

Согласно определению умножать матрицу A на матрицу B можно только тогда, когда матрица Aсогласована с матрицей B.

Из согласованности матрицы A с матрицей B не следует, вообще говоря, согласованность матрицыB с A. Однако легко заметить, что если A и B – квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица Aсогласована с матрицей B и наоборот.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Свойства умножения матриц

Свойство 1. В общем случае AB 6= BA.Замечание 7.2.(коммутативность матриц). Если матрицы A и B таковы, что верно равенство AB = BA, то

матрицы A и B называются коммутирующими.Пример 7.8. Пусть

A =

(2 0

3 1

), B =

(7 −1

2 0

).

По определению произведения матриц

AB =

(14 −2

23 −3

), BA =

(11 −1

4 0

).

Таким образом, AB 6= BA.

Свойство 2. (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Rm,n, B ∈ Rn,l , C ∈ Rl ,p.Д о к а з а т е л ь с т в о. Левая часть рассматриваемого равенства имеет смысл только в случае, если

матрица A согласована с матрицей B, а матрица AB согласована с матрицей C. Пусть A – m × n-матрица,B – n × l-матрица, а C – l × p-матрица. Тогда матрица F = (fi j) = (AB)C имеет размеры m × p. Легкоубедиться, что произведение A(BC) существует и матрица F = (fi j) = A(BC) имеет те же размеры, что иматрица F. Докажем, что

fi j = fi j , i = 1, m, j = 1, p.

Произведение AB обозначим через D, D − m × l-матрица. Элементы этой матрицы

dis =

n∑k=1

aikbks , i = 1, m, s = 1, l ,

а элементы матрицы F имеют вид

fi j =

l∑s=1

discsj , i = 1, m, j = 1, p,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

или, используя свойства операций в множестве R, получаем

fi j =

l∑s=1

( n∑k=1

aikbks

)csj =

l∑s=1

n∑k=1

aikbkscsj =

n∑k=1

l∑s=1

aikbkscsj =

n∑k=1

aik

( l∑s=1

bkscsj

).

Очевидно, что

gkj =

l∑s=1

bkscsj , k = 1, n, j = 1, p,

есть элементы n × p-матрицы G = BC.

Тогда fi j =n∑k=1

aikgkj = fi j . �

Замечание 7.3. Имеет смысл рассматривать произведение A1A2 . . . Al конечного числа матриц A1, A2, . . . , Al .

Это произведение существует, если матрицы Ai , i = 1, l , соответствующим образом согласованы друг с другом.Пусть A – квадратная матрица порядка n. Положим

A0 = E, A1 = A, A2 = A · A, . . . , Ak = A · A · . . . · A︸︷︷︸k

.

k-кратное (k ∈ N) произведение квадратной матрицы A самой на себя называется k-й степенью матрицыA и обозначается Ak .

Очевидно, что матрица Ak имеет тот же порядок, что и матрица A.Свойство 3. AmAl = Am+l .

Д о к а з а т е л ь с т в о. AmAl = A · A · . . . · A︸︷︷︸m

·A · A · . . . · A︸︷︷︸l

= A · A · . . . · A︸︷︷︸m+l

= Am+l . �

Свойство 4.A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Rm,n ∀B,C ∈ Rn,l ;(A+ B)C = AC + BC, ∀A,B ∈ Rm,n, ∀C ∈ Rn,l .Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из определений суммы и произведения матриц. �Свойство 5. EmA = AEn = A, ∀A ∈ Rm,n.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через B = (bi j) произведение AEn, а через C = (ci j) – произведениеEmA. Тогда

bi j =

n∑k=1

aikδkj = ai jδj j = ai j ,

ci j =

m∑k=1

δikakj = δi iai j = ai j ,

где δi j =

{1, i = j,

0, i 6= j– символ Кронекера. Итак, bi j = ai j = ci j , ∀i , j. �

Свойство 6. (αEm)A = αA = A(αEn), ∀A ∈ Rm,n, ∀α ∈ R.Свойство 7. Op,mA = Op,n, AOn,q = Om,q, ∀A ∈ Rm,n. В частности,

On,nA = AOn,n = On,n, ∀A ∈ Rn,n.

Свойство 8. α(AB) = (αA)B = A(αB), ∀A ∈ Rm,n, ∀B ∈ Rn,l , ∀α ∈ R.Замечание 7.4. Линейные операции над матрицами, имеющими блочные разбиения, могут быть сведены к

соответствующим операциям над блоками. При этом следует иметь в виду, что при сложении соответствующиеблоки у матриц должны иметь одни и те же размеры.

Рассмотрим теперь, как умножение матриц, разбитых на блоки, сводится к операциям над блоками.Пусть

0 < m1 < m2 < . . . < mp = m, (7.2)

0 < n1 < n2 < . . . < nk = n, (7.3)

0 < l1 < l2 < . . . < lq = l (7.4)

есть разбиения чисел m, n, l соответственно. По этим разбиениям построим блочные разбиения m × n-матрицы A и n × l-матрицы B. Такое блочное разбиение матрицы A назовем согласованным с блочнымразбиением матрицы B. В этом случае блок разбиения матрицы C = AB, соответствующего разбиениям

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

(7.2) и (7.4) чисел m и l , равен сумме произведений всех блоков матрицы A, расположенных на соответ-ствующих строках, на блоки матрицы B, расположенных на соответствующих столбцах.

Например, в частном случае, когда p = k = q = 2, имеет место следующее равенство:

AB=

(A1 A2

A3 A4

)·(B1 B2

B3 B4

)=

(A1B1 + A2B3 A1B2 + A2B4

A3B1 + A4B3 A3B2 + A4B4

), (7.5)

где A1 = A[1,m1],[1,n1]; B1 = B[1,n1],[1,l1] и т.д.В самом деле, если AB = C = (ci j), то для 1 6 i 6 m1, 1 6 j 6 l1 справедливы равенства

ci j =

n∑k=1

aikbkj =

n1∑k=1

aikbkj +

n∑k=n1+1

aikbkj . (7.6)

Так какn1∑k=1

aikbkj – элемент матрицы A1B1, аn∑

k=n1+1

aikbkj – элемент матрицы A2B3, причем оба они распо-

ложены в этих матрицах на пересечении i-х строк и j-х столбцов, то из (7.6) следует, что

C[1,m1],[1,l1] = A1B1 + A2B3.

С помощью таких же рассуждений приходим к остальным равенствам для блоков, указанных в (7.5).Пример 7.9. Пусть матрицы A и B представлены в виде блочных разбиений следующим образом:

A =

3 0 −1

2 1 0

−6 0 3

, B =

1 2 0 1

0 −3 3 0

1 0 0 0

или

A =

(A1 A2

A3 A4

), B =

(B1 B2

B3 B4

),

где

A1 =

(3

2

); A2 =

(0 −1

1 0

); A3 = [−6]; A4 = [0 3];

B1 = [1 2]; B2 = [0 1]; B3 =

(0 −3

1 0

); B4 =

(3 0

0 0

).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Нетрудно видеть, что блочное разбиение матрицы A согласовано с блочным разбиением матрицы B. Тогдана основании равенства (7.5) имеем

AB =

2 6 0 3

2 1 3 2

−3 −12 0 −6

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.5. Элементарные преобразования матриц

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.7.5. Элементарные преобразования матриц

Пусть A – произвольная m × n-матрица.

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы A называют следующие операции:1) умножение какой-либо строки (столбца) на ненулевое число;2) прибавление к одной, например i-й, строке (столбцу) другой, например j-й, строки (столбца), умножен-ной на число.

Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы называют элементарными преобразованиямиматрицы.

Если матрица B получена из матрицы A в результате последовательного применения нескольких элемен-тарных преобразований строк (столбцов), то говорят, что матрица A эквивалентна матрице B, и пишутA ∼ B.

Пример 7.10. Нетрудно видеть, что (1 2

3 4

)∼(

3 4

1 2

).

В самом деле, переставить строки исходной матрицы можно, используя следующую цепочку элементарных преобразований: ковторой строке прибавить первую; к первой строке прибавить вторую, умноженную на −1; ко второй строке прибавить первую;умножить первую строку на −1.

Из примера видно, что любые строки (столбцы) матрицы можно переставить с помощью элементарных преобразований

строк (столбцов).

Теорема 7.1. Пусть матрица B получается из матрицы A в результате применения элементарногопреобразования строк (столбцов). Тогда существует элементарная матрица T такая, что TA = B (соответ-ственно AT = B).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица A ∈ Rm,n и T – элементарная матрица порядка m. Пусть k-ястрока матрицы T не является строкой единичной матрицы, т.е. имеет вид:

1) (0, 0, . . . , α(k), 0, . . . , 0), α 6= 0;

или

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.5. Элементарные преобразования матриц

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

2) (0, . . . , 0, α(l), 0, . . . , 0, 1

(k), 0, . . . , 0).

Так как k-я строка произведения TA получается умножением k-й строки матрицы T на столбцы мат-рицы A, то в случае 1) k-й элемент каждого столбца матрицы A умножается на α и остается на том жеместе, а в случае 2) l-й элемент каждого столбца умножается на α и прибавляется к k-му элементу. Этоозначает, что к k-й строке матрицы A прибавляется l-я, умноженная на α. Получившаяся строка будет k-й впроизведении TA. Наконец, j-я строка произведения TA, где j 6= k, получается путем умножения j-й строкиединичной матрицы на все столбцы матрицы A, т.е. имеем случай 1) при α = 1, и, следовательно, j-я строкаматрицы A становится j-й строкой матрицы TA. Итак, применение элементарного преобразования строкравносильно умножению слева на соответствующую элементарную матрицу. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.6. Транспонирование матриц

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.7.6. Транспонирование матриц

Пусть

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

∈ Rm,n.Рассмотрим матрицу

AT =

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2

. . . . . . . . . . . .

a1n a2n . . . amn

∈ Rn,m,которая получается из матрицы A следующим образом: j-й столбец матрицы AT составляется из элементовj-й строки матрицы A, расположенных в том же порядке.

Матрица AT , получающаяся из матрицы A заменой строк соответствующими столбцами, называетсятранспонированной матрицей к матрице A.

Операция A 7→ AT называется транспонированием.Пример 7.11. Пусть

A =

(−3 4 7

2 1 0

).

Тогда

AT =

−3 2

4 1

7 0

.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Свойства операции транспонирования

Свойство 1. (AT )T = A;

Свойство 2. (A+ B)T = AT + BT ;

Свойство 3. (αA)T = αAT ;

Свойство 4. Для любых матриц A ∈ Rm,n и B ∈ Rn,l имеет место равенство (AB)T = BTAT .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A ∈ Rm,n, B ∈ Rn,l . Тогда (AB)T ∈ Rl ,m. Нетрудно видеть, что матрицаBTAT имеет те же размеры.

Пусть c ′i j – элемент матрицы (AB)T , стоящий в i-й строке и j-м столбце. Этот элемент равен элементуcj i , стоящему в j-й строке и i-м столбце матрицы AB, т.е. c ′i j = cj i . Согласно правилу умножения матриц

c ′i j = cj i =

n∑k=1

ajkbki ,

где ajk и bki – соответственно элементы матриц A и B. Так как ajk = a′kj , bki = b′ik (a′kj и b

′ik – соответственно

элементы матриц AT и BT ), то

c ′i j =

n∑k=1

a′kjb′ik =

n∑k=1

b′ika′kj .

Последнее выражение, представляющее собой сумму произведений элементов i-й строки матрицы BT насоответствующие элементы j-го столбца матрицы AT , является элементом матрицы BTAT , стоящим в i-йстроке и j-м столбце. Таким образом, (AB)T = BTAT . �

Замечание 7.5. Для произведения трех матриц имеем

(ABC)T = ((AB)C)T = CT (AB)T = CTBTAT .

Таким образом,(ABC)T = CT · BT · AT .

Аналогично для l сомножителей(A1A2 . . . Al)

T = ATl · ATl−1 · . . . · AT2 · AT1 .

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Если квадратная матрица A такова, что A = AT , т. е. ai j = aj i , ∀i , j, то такая матрица называется симмет-рической.

Если квадратная матрица A такова, что A = −AT , то матрица A называется кососимметрической.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.7. Матрицы1.7.7. Обратная матрица

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.7.7. Обратная матрица

Пусть A – квадратная матрица порядка n.

Матрица X ∈ Rn,n называется обратной к матрице A ∈ Rn,n, если

AX = XA = En. (7.7)

Обратная матрица к матрице A обозначается A−1. Из равенств (7.7) имеем

AA−1 = A−1A = En. (7.8)

Квадратная матрица называется невырожденной (или неособенной), если ее определитель отличен отнуля, и вырожденной (или особенной) в противном случае.

Теорема 7.2 (о единственности обратной матрицы). Если для матрицы A существует обратная мат-рица, то она единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы A существуют две обратные матрицы A−11 , A−1

2 . Рассмот-рим произведение A−1

2 AA−11 . Тогда, с одной стороны, имеем

A−12 AA−1

1 = A−12 (AA−1

1 ) = A−12 En = A−1

2 .

С другой стороны,A−1

2 AA−11 = (A−1

2 A)A−11 = EnA

−11 = A−1

1 .

Отсюда следует, чтоA−1

2 = A−11 .

�

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Матрицей, присоединенной к матрице A, называется матрица

B =

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

. . . . . . . . . . . .

A1n A2n . . . Ann

,где Ai j – алгебраическое дополнение элемента ai j матрицы A.

Лемма 7.1. Для матрицы A и присоединенной к ней матрицы B выполняются равенства

AB = BA = (detA)En. (7.9)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть C = (ci j) = AB. Тогда, исходя из определения произведения матриц исоотношений (9.8), имеем

ci j =

n∑k=1

aikAjk = δi j detA,

т. е. ci i = detA, i = 1, n; ci j = 0, i , j = 1, n, i 6= j. Таким образом,

AB =

detA 0 . . . 0

0 detA . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . detA

= (detA)En.

Аналогично доказывается, что BA = (detA)En. �

Теорема 7.3 (о существовании обратной матрицы). Для того чтобы для матрицы A существовалаобратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A−1. То-гда из равенств (7.8), ввиду теоремы 9.5, получаем

detA · detA−1 = detEn ⇒ detA · detA−1 = 1⇒ detA 6= 0.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Достаточность. Пусть detA 6= 0, т. е. A – невырожденная матрица. Докажем, что A−1 =1

detAB, где

B – присоединенная матрица к матрице A. Действительно, из равенств (7.9) следует, что

1

detAAB =

1

detABA = En,

или

A

(1

detAB

)=

(1

detAB

)A = En.

Последние равенства говорят о том, что матрица1

detAB является обратной к матрице A. �

Замечание 7.6. Из доказательства теоремы имеем один из способов нахождения матрицы, обратной к даннойневырожденной матрице A :

A−1 =1

detA

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

. . . . . . . . . . . .

A1n A2n . . . Ann

. (7.10)

Свойства обратных матриц

Пусть A и B – невырожденные матрицы порядка n. Тогда справедливы следующие свойства.Свойство 1. (A−1)−1 = A.

Свойство 2. (A−1)T = (AT )−1.

Свойство 3. (A−1)k = (Ak)−1, ∀k ∈ N.Свойство 4. detA−1 = (detA)−1.

Свойство 5. Если AB = En или BA = En, то B = A−1.

Доказательство свойств 1− 5 предоставляется читателю.Свойство 6. (AB)−1 = B−1A−1.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. (AB)−1AB = En. Умножим равенство справа на матрицу B−1. Имеем (AB)−1A(BB−1) =

EnB−1 ⇔ (AB)−1A = B−1. Умножим последнее равенство опять справа на A−1 :

(AB)−1AA−1 = B−1A−1 ⇔ (AB)−1 = B−1A−1.

�

Пример 7.12. Дана матрица A =

0 1 3

2 3 5

3 5 7

. Выяснить, существует ли обратная матрица A−1, и если существует,

то найти ее.

Решение. Определитель матрицы A detA=

∣∣∣∣∣∣0 1 3

2 3 5

3 5 7

∣∣∣∣∣∣=4 6= 0. Следовательно, данная матрица невырожденная и A−1

существует. Найдем алгебраические дополнения Ai j элементов ai j матрицы A. Имеем A11 = −4, A12 = 1, A13 = 1, A21 = 8,

A22 = −9, A23 = 3, A31 = −4, A32 = 6, A33 = −2. Тогда, используя формулу (7.10), получаем

A−1 =

−1 2 −1

1

4

−9

4

3

2

1

4

3

4

−1

2

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.8. Перестановки x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.8. Перестановки

Пусть M – некоторое конечное множество, состоящее из n элементов.

Упорядоченное расположение элементов множества M, т.е. расположение, при котором указано, какой изэлементов первый, второй и т.д., называется перестановкой множества M.

Две перестановки множества M считаются равными, если их порядки одинаковы, т.е. на соответствующихместах расположены одинаковые элементы.

Пронумеруем элементы множества M с помощью чисел

1, 2, . . . , n. (8.1)

Тогда любой перестановке элементов множества M будет соответствовать перестановка чисел (8.1). По-этому в дальнейшем будем рассматривать лишь перестановки множества (8.1). Множество всех таких пе-рестановок обозначим Pn.

Теорема 8.1. Количество всех различных перестановок из n чисел равно n!.Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем метод математической индукции. Для n = 1 утверждение очевид-

но. Пусть утверждение верно для любого множества из n − 1 чисел. Все перестановки из n чисел можноразбить на n классов, помещая в один класс лишь те перестановки, которые на первом месте имеют однои то же число. Число перестановок в каждом классе совпадает с числом перестановок из n − 1 чисел, т. е.равно (n − 1)!. Следовательно, число всех перестановок из n чисел равно n!. �

Говорят, что в данной перестановке числа i , j образуют инверсию, если i > j, но число i стоит в переста-новке левее числа j.

Число инверсий в перестановке (α1, . . . , αn) будем обозначать ν(α1, . . . , αn).

Перестановка называется четной, если ее числа составляют четное число инверсий, и нечетной в против-ном случае.

Пример 8.1. Определить четность перестановки (8,1,3,4,2,6,7,5).

xНазад

xВперёд


Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Решение. Число 8 образует инверсии со всеми остальными числами перестановки, т.к. оно расположено левее всехостальных и больше их, а это значит, что оно образует 7 инверсий; 1 – не образует инверсий; числа 3 и 4 образует инверсиюс числом 2; 2 – не образует инверсий; число 6, как и число 7, образует инверсию с числом 5. Значит,

ν(8, 1, 3, 4, 2, 6, 7, 5) = 7 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 11.

Итак, число инверсий в перестановке (8,1,3,4,2,6,7,5) равно 11, а следовательно, она является нечетной.

Если в некоторой перестановке поменяем местами какие-либо два числа, не обязательно стоящие рядом,а все остальные оставим на месте, то получим новую перестановку. Это преобразование перестановкиназывается транспозицией.

Теорема 8.2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.Д о к а з а т е л ь с т в о. Для чисел, стоящих рядом, это утверждение очевидно. Их взаимное располо-

жение относительно других чисел осталось прежним, а перестановка самих чисел меняет общее число инвер-сий на единицу. Пусть теперь между переставляемыми числами i и j находятся s других чисел k1, k2, . . . , ks ,

т. е. перестановка имеет вид(. . . , i , k1, k2, . . . , ks , j, . . .).

Будем менять местами число i последовательно с рядом стоящими числами k1, k2, . . . , ks , j. Затем числоj, стоящее уже перед i , переместим влево при помощи s транспозиций с числами ks , ks−1, . . . , k1. Такимобразом, всего выполним 2s+1 транспозиций рядом стоящих чисел. Следовательно, четность перестановкиизменится на противоположную. �

Теорема 8.3. Количество всех различных четных перестановок из n чисел (n > 1) равно количеству

всех нечетных перестановок из этих чисел и равноn!

2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим буквой p количество всех четных перестановок чисел, а буквой q– количество всех нечетных перестановок этих чисел. К каждой из четных перестановок применим однуи ту же транспозицию. Все полученные после этого перестановки нечетны и различны, их число равно p.Учитывая, что q – число всех нечетных перестановок, получаем неравенство

p 6 q.

xНазад

xВперёд


Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Точно так же можно показать, чтоq 6 p.

Отсюда следует, чтоp = q.

Так как число всех перестановок равно n!, то окончательно имеем

p = q =n!

2.

�

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.9. Определитель

1.9.1. Понятие определителя1.9.2. Частные виды определителя1.9.3. Свойства определителей1.9.4. Миноры и алгебраические дополнения1.9.5. Вычисление определителей n-го порядка1.9.6. Определитель произведения матриц

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.1. Понятие определителя

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.9.1. Понятие определителя

Пусть n ∈ N. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка n над множеством R :

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

.С каждой такой квадратной матрицей A можно связать вполне определенный элемент множества R, назы-ваемый определителем данной матрицы. С этой целью рассмотрим все произведения элементов матрицы,взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Любое такое произведениебудет содержать n сомножителей и может быть записано в виде

aα1β1aα2β2 . . . aαnβn , (9.1)

где αi 6= αj , βi 6= βj , если i 6= j. Умножив каждое из произведений (9.1) на (−1)ν(α1,α2,...,αn)+ν(β1,...,βn),

где ν(α1, α2, . . . , αn) и ν(β1, β2, . . . , βn) – числа инверсий соответственно в перестановках (α1, α2, . . . , αn),

(β1, β2, . . . , βn), получим произведения вида

(−1)ν(α1,α2,...,αn)+ν(β1,...,βn)aα1β1aα2β2 . . . aαnβn . (9.2)

Выражение (9.2) называется членом определителя матрицы A.

Преобразуем выражение (9.2). Для удобства сомножители в (9.2) расположим так, чтобы первыеиндексы (номера строк) следовали в порядке возрастания, т. е. перейдем к выражению

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1a2γ2 . . . anγn . (9.3)

Элементы (9.2) и (9.3) равны между собой, так как перемена местами двух сомножителей aαiβi и aαjβj вчлене определителя изменяет четность в перестановках (α1, α2, . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn), (β1, . . . , βi , . . . , βj , . . . , βn)

одновременно, и, следовательно, четность суммы чисел инверсий в этих перестановках не изменяется.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.1. Понятие определителя

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Поэтому в дальнейшем будем оперировать как членами определителя вида (9.2), так и членами опре-делителя вида (9.3).

Определителем матрицы A ∈ Rn,n называется элемент множества R, равный сумме n! членов определителяэтой матрицы, т.е. равный ∑

(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1a2γ2 . . . anγn ,

где сумма содержит все слагаемые, для которых перестановки (γ1, γ2, . . . , γn) различны.

Употребляются следующие обозначения определителя матрицы A = (ai j) :∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ , |A|, detA, ∆.

Иногда определитель называют детерминантом.Таким образом, по определению,∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∑

(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1 . . . anγn . (9.4)

Укажем, что обозначение определителя матрицы A в виде∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣несет большую функциональную нагрузку. Элементы, строки, столбцы, диагонали и порядок матрицы A на-зываются также соответственно элементами, строками, столбцами, диагоналями и порядком определителяэтой же матрицы.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.2. Частные виды определителя

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.9.2. Частные виды определителя

Исходя из формулы (9.4) определения определителя, вычислим определитель матрицы A, если n =

1, 2, 3.

Если n = 1, то detA = |a11| = a11.

При n = 2 получаем detA =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = (−1)ν(1,2)a11a22 + (−1)ν(2,1)a12a21 = a11a22 − a12a21.

Пример 9.1.∣∣∣∣ 1 −1

3 4

∣∣∣∣ = 1 · 4− (−1) · 3 = 7.

Если n = 3, имеем detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = (−1)ν(1,2,3)a11a22a33+(−1)ν(2,3,1)a12a23a31+ +(−1)ν(3,1,2)a13a21a32+

(−1)ν(3,2,1)a13a22a31 + (−1)ν(1,3,2)a11a23a32 + (−1)ν(2,1,3)a12a21a33 = (a11a22a33+ +a12a23a31 + a13a21a32) −

(a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33).Замечание 9.1. Как видно из формулы вычисления определителя третьего порядка, этот определитель равен

сумме шести слагаемых: трех слагаемых, у которых знак сохраняется, и трех слагаемых, у которых знак меняется напротивоположный. Поэтому укажем схему вычисления определителя третьего порядка, которая называется правиломтреугольников или правилом Саррюса.

Отметим элементы определителя точками (см. рисунки).

b b b

b b b

b b b

b b b

b b b

b b b+ -

Тогда три слагаемых со знаком плюс представляют собой произведения элементов, стоящих на главной диа-

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

гонали и в вершинах двух треугольников, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали, а три слагаемыхсо знаком минус вычисляются аналогично, только за основу берется побочная диагональ.

Пример 9.2. Вычислить определитель матрицы A =

1 0 2

−1 3 4

−8 6 4

.Решение. Исходя из правила треугольников, имеем:

detA = ((1 · 3 · 4 + (−1) · 6 · 2 + 0 · 4 · (−8))− ((−8) · 3 · 2 + 6 · 4 · 1 + (−1) · 0 · 4) =

= (12− 12 + 0)− (−48 + 24 + 0) = 0 + 24 = 24.

Для некоторых n × n-матриц специального вида можно также вычислить их определители, исходя изопределения.

Следствие 9.0.1. Определитель единичной матрицы:

detEn =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1.

Следствие 9.0.2. Определитель диагональной матрицы:∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 . . . 0

0 a22 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22 . . . ann.

Следствие 9.0.3. Определители элементарных матриц:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 . . . 0 . . . 0

0 1 . . . 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . α . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= α,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0

0 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1 . . . β . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0

0 1 . . . 0 . . . 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . β . . . 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1.

Следствие 9.0.4. Определители верхней и нижней треугольных матриц:∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 . . . 0

a21 a22 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22 . . . ann.

Таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.Замечание 9.2. Вычисление определителей при помощи только формулы (9.4) связано со значительными вы-

числительными трудностями. Например, уже при вычислении определителя пятого порядка пришлось бы искать 120его членов. Поэтому для вычисления определителей применяют другие приемы, основанные, например, на свойствахопределителей.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.3. Свойства определителей

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.9.3. Свойства определителей

Свойство 1. (свойство инвариантности определителя) Для любой матрицы A ∈ Rn,n верно равенствоdetA = detAT .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A = (ai j), а AT = (a′i j). Так как detA и detAT имеют равное числочленов – n!, то достаточно показать, что любой член detA является членом detAT и наоборот.

Пусть(−1)ν(α1,α2,...,αn)+ν(β1,β2,...,βn)aα1β1aα2β2 . . . aαnβn

есть какой-либо член detA. Рассмотрим произведение

(−1)ν(β1,β2,...,βn)+ν(α1,α2,...,αn)a′β1α1a′β2α2

. . . a′βnαn ,

которое является членом detAT . В силу того, что ai j = a′j i , имеем

(−1)ν(α1,α2,...,αn)+ν(β1,β2,...,βn)aα1β1aα2β2 . . . aαnβn =

= (−1)ν(β1,β2,...,βn)+ν(α1,α2,...,αn)a′β1α1a′β2α2

. . . a′βnαn .

�Замечание 9.3. Так как при транспонировании матрицы столбцы становятся строками и наоборот, то из свой-

ства 1 следует, что все утверждения, которые верны для строк, верны и для столбцов.Свойство 2. Если матрица B получена из матрицы A умножением некоторой строки на число α, то

detB = α detA.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы


detB =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

. . . . . . . . . . . .

αai1 αai2 . . . αain. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=∑

(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1a2γ2 . . . (αaiγi )ai+1,γi+1. . . anγn =

= α∑

(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1 . . . aiγi . . . anγn = α detA.

�Свойство 3. Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.Д о к а з а т е л ь с т в о. Положив в предыдущем свойстве α = 0, получим требуемое. �Свойство 4. Если матрица B получается из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строк, то

detB = − detA.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица B получена из матрицы A перестановкой двух рядом стоящихстрок с номерами α и α+ 1.

ТогдаdetA =

∑(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1a2γ2 . . . aαγαaα+1,γα+1 . . . anγn ,

detB =∑

(γ1,γ2,...,γα−1,βα,βα+1,...,γn)

(−1)ν(γ1,...,γα−1,βα,βα+1,...,γn)a1γ1 . . . aα−1,γα−1bαβαbα+1,βα+1 . . . anγn ,

где βα = γα+1; βα+1 = γα; bαβα = aα+1,γα+1 ; bα+1,βα+1 = aαγα .

Так как перестановка (γ1, γ2, . . . , γn) после транспозиции чисел γα и γα+1 дает перестановку (γ1, . . . , γα−1, γα+1, γα, γα+2, . . . , γn)

и они имеют разный характер четности, то члены этих определителей отличаются только знаками и, сле-довательно, detB = − detA.

Пусть матрица B получена из матрицы A перестановкой i-й и j-й строк, между которыми содержитсяm строк. Ясно, что i-ю строку можно поместить на j-е место, а j-ю строку – на i-е место путем после-

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

довательной перестановки 2m + 1 раз стоящих рядом строк. Поэтому detB = (−1)2m+1 detA = − detA.

�Свойство 5. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.Д о к а з а т е л ь с т в о. Меняя местами эти две одинаковые строки и используя свойство 4 опреде-

лителя, имеем равенство detA = − detA. Откуда следует, что 2 detA = 0, а следовательно, detA = 0.

�Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.Д о к а з а т е л ь с т в о. Вынося за знак определителя общий множитель элементов одной из строк,

получаем определитель, у которого две одинаковые строки. Последний определитель равен нулю в силусвойства 5. �

Свойство 7.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

. . . . . . . . . . . .

a′i1 + a′′i1 a′i2 + a′′i2 . . . a′in + a′′in. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

. . . . . . . . . . . .

a′i1 a′i2 . . . a′in. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

. . . . . . . . . . . .

a′′i1 a′′i2 . . . a′′in. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Д о к а з а т е л ь с т в о. ∆ =∑

(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1 . . . (a′iγi+a′′iγi

) . . . anγn =∑

(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1 . . . a′iγi. . . anγn+∑

(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1 . . . a′′iγi. . . anγn . �

Свойство 8. Определитель не изменится, если к одной строке определителя прибавить другую строкуэтого же определителя, умноженную на произвольное число.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Новый определитель ∆1 есть сумма двух слагаемых: исходного определителя∆ и определителя с пропорциональными строками. Последний равен нулю, поэтому ∆1 = ∆. �

Свойство 9. Если матрица B получена из матрицы A прибавлением к некоторой ее строке других строк,умноженных на числа, то detB = detA.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этого свойства аналогично доказательству свойства 8 опре-делителя. �

Свойство 10. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки линейнозависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть определитель матрицы A n-го порядка равен нулю. То-гда наивысший порядок отличных от нуля ее миноров меньше n, а это значит, на основании теоремы оранге матрицы, что ранг системы строк матрицы A меньше n. Следовательно, максимальное число линейнонезависимых строк меньше их числа.

Достаточность. Следует из свойств определителя. �Применение указанных выше простейших свойств определителей облегчает их вычисление.Пример 9.3. Вычислить ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2 3

1 2 4 5

1 1 3 7

1 1 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Решение. Умножив первую строку на -1 и прибавив ее ко всем остальным строкам, получим∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2 3

0 1 2 2

0 0 1 4

0 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣– определитель верхней треугольной матрицы, который равен 2. Следовательно, исходный определитель также равен 2.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.4. Миноры и алгебраические дополнения

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.9.4. Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим матрицу A ∈ Rm,n. Выберем в ней произвольно k строк и k столбцов (1 6 k 6 min{m, n}),причем каждая строка и каждый столбец выбираются лишь один раз. Элементы, стоящие на пересечениивыбранных строк и столбцов, составляют матрицу k-го порядка. Определитель M этой матрицы называ-ется минором k-го порядка матрицы A.

Пусть A – квадратная матрица порядка n иM – минор k-го порядка этой матрицы (k < n). Тогда элементы,расположенные на пересечении остальных строк и столбцов этой матрицы, образуют матрицу (n − k)-гопорядка. Определитель M ′ полученной матрицы называется дополнительным минором к минору M.

Отметим, что минор M является, в свою очередь, дополнительным к минору M ′.

Миноры квадратной матрицы называют также минорами ее определителя.

Алгебраическим дополнением минора M квадратной матрицы A называется дополнительный к нему минорM ′, умноженный на (−1)s , где s – сумма тех номеров строк и столбцов матрицы A, на которых расположенаматрица минора M.

Обозначим алгебраическое дополнение минора M через M ′′. Тогда M ′′ = (−1)sM ′.Пример 9.4. Пусть дана матрица

1 −3 2 1

3 4 0 −6

−5 7 8 0

4 2 −1 0

.Выберем в ней первую и четвертую строки, второй и третий столбцы и вычислим соответствующий

минор M второго порядка, его дополнительный минор M ′ и алгебраическое дополнение M ′′ :

M =

∣∣∣∣ −3 2

2 −1

∣∣∣∣ = −1, M ′ =

∣∣∣∣ 3 −6

−5 0

∣∣∣∣ = −30,

M ′′ = (−1)1+4+2+3M ′ = −30.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.4. Миноры и алгебраические дополнения

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Каждый элемент ai j квадратной матрицы A порядка n можно рассматривать как ее минор первого порядка.Дополнительный к нему минор (при n > 1) есть определитель (n − 1)-го порядка. Этот дополнительныйминор называют минором элемента ai j и обозначают Mi j , а алгебраическое дополнение элемента ai j обо-значают Ai j . Тогда Ai j = (−1)i+jMi j .

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.5. Вычисление определителей n-го порядка

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.9.5. Вычисление определителей n-го порядка

Теорема 9.1. Если в матрице A ∈ Rn,n все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю заисключением, быть может, одного, то определитель этой матрицы равен произведению этого ненулевогоэлемента на его алгебраическое дополнение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если a11 6= 0, a1i = 0, ∀i = 2, n, то

detA =∑

(γ1,γ2,...,γn)

(−1)ν(γ1,γ2,...,γn)a1γ1 · a2γ2 · . . . · anγn =

=∑

(1,γ2,...,γn)

(−1)ν(1,γ2,...,γn)a11 · a2γ2 · . . . · anγn =

= a11

∑(γ2,...,γn)

(−1)ν(γ2,...,γn)a2γ2 · . . . · anγn︸︷︷︸M11

= a11M11 = (−1)1+1a11M11 = a11A11.

Пусть теперь матрица A имеет вид

A =

a11 . . . a1k . . . a1n

a21 . . . a2k . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . aik . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . .

an1 . . . ank . . . ann

, aik 6= 0.

Построим новую матрицу

A =

aik 0 . . . 0

a1k a11 . . . a1n

a2k a21 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

ank an1 . . . ann

,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

которая получается из матрицы A, если i-ю строку поставить на место первой, а затем k-й столбец – наместо первого столбца.

В результате матрица A получилась из матрицы A посредством перемены местами двух соседнихстрок (i − 1) раз и соседних столбцов (k − 1) раз. Каждая такая перемена строк (столбцов) изменяет знакопределителя на противоположный, следовательно det A = (−1)i−1+k−1 detA = (−1)i+k detA, т.е.

det A = (−1)i+k detA. (9.5)

Так как det A = aikMik , то из (9.5) следует, что aikMik = (−1)i+k detA ⇔ detA = (−1)i+kaikMik ⇔ detA =

aikAik . �

Теорема 9.2 (о разложении определителя по строке или столбцу). Определитель матрицы A равенсумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. верныравенства

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin, 1 6 i 6 n, (9.6)

detA = a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj , 1 6 j 6 n. (9.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем равенство (9.6) (равенство (9.7) доказывается по аналогии). Имеем

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

ai1 ai2 . . . ain. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=[используем свойство 7 определителя и теорему 9.1]=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

ai1 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

0 ai2 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ . . .+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . ain. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin.

�

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Замечание 9.4. Формула (9.6) называется разложением определителя матрицы A по i-й строке, а формула(9.7) – по j-му столбцу.

Пример 9.5. Вычислить определитель

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 7 5

−1 3 −1 2

5 9 29 17

4 6 31 20

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на -5, к четвертой – первую, умноженную на-4, получим

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 7 5

0 5 6 7

0 −1 −6 −8

0 −2 3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Разлагая этот определитель по первому столбцу и применяя затем элементарные преобразования к определителю третьегопорядка, получаем

∆ = 1 ·

∣∣∣∣∣∣5 6 7

−1 −6 −8

−2 3 0

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣9 0 7

−5 0 −8

−2 3 0

∣∣∣∣∣∣ = (−1)3+2 · 3 ·∣∣∣∣ 9 7

−5 −8

∣∣∣∣ =

(−3)(−72 + 35) = 3 · 37 = 111.

Лемма 9.1. Пусть A есть n×n-матрица над множеством R, n > 1 и b1, b2, . . . , bn ∈ R. Сумма произве-дений элементов b1, . . . , bn на алгебраические дополнения соответствующих элементов какой-нибудь строки(столбца) матрицы A равна определителю матрицы B, которая получается из матрицы A путем заменыуказанной строки (столбца) на строку (столбец), составленную из элементов b1, b2, . . . , bn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть j – номер выбранной строки матрицы A. После замены элементовaj1, . . . , ajn j-й строки матрицы A на соответствующие элементы b1, . . . , bn алгебраические дополнения, какнетрудно видеть, остались прежними. Поэтому согласно теореме 9.2 b1Aj1 + b2Aj2 + . . .+ bnAjn = detB. �

Теорема 9.3 (аннулирования). Сумма произведений всех элементов какой-нибудь строки (столбца)определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равнанулю.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана n × n-матрица A = (ai j). Докажем, что

ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . .+ ainAjn = 0,

1 6 i 6 n, 1 6 j 6 n, i 6= j.

На основании леммы 9.1 сумма ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . . + ainAjn есть определитель матрицы B, полученнойиз матрицы A путем замены элементов j-й строки элементами ai1, ai2, . . . , ain. Следовательно, матрица Bимеет одинаковые строки, и поэтому detB = 0, т. е.

detB = ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . .+ ainAjn = 0.

Аналогично доказывается утверждение для столбцов. �

Замечание 9.5. Из теорем 9.2, 9.3 получаем следующие равенства:

n∑k=1

akiAkj =

n∑k=1

aikAjk = δi j detA, (9.8)

где δi j – символ Кронекера.

Теорема 9.4 (Теорема Лапласа). Пусть A – квадратная матрица n-го порядка (n > 1). Выделимв матрице A любые k строк (столбцов), где 1 6 k < n. Тогда определитель матрицы A равен суммепроизведений всех различных миноров k-го порядка, расположенных в выделенных k строках (столбцах),на их алгебраические дополнения.

Без доказательства (доказательство этой теоремы можно найти в учебных пособиях [?] ).Замечание 9.6. Ясно, что теорема о разложении по строке или столбцу является частным случаем теоре-

мы Лапласа, если положить k = 1. Теорема Лапласа позволяет сводить вычисление определителя к вычислениюопределителей меньших порядков.

Пример 9.6. Вычислить определитель

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −3 2 1

3 4 0 −6

−5 7 8 0

4 2 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Решение. Используя теорему Лапласа, разлагаем этот определитель по последним двум строкам. Замечаем, что в соот-

ветствующей сумме остаются три ненулевых слагаемых, так как остальные миноры второго порядка, расположенные в выбран-

ных строках, равны нулю, ибо они будут содержать нулевой столбец. Итак,

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −3 2 1

3 4 0 −6

−5 7 8 0

4 2 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ −5 7

4 2

∣∣∣∣ (−1)3+4+1+2

∣∣∣∣ 2 1

0 −6

∣∣∣∣+

+

∣∣∣∣ −5 8

4 −1

∣∣∣∣ (−1)3+4+1+3

∣∣∣∣ −3 1

4 −6

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ 7 8

2 −1

∣∣∣∣ (−1)3+4+2+3

∣∣∣∣ 1 1

3 −6

∣∣∣∣ =

= (−38)(−12) + (−27)(−14) + (−23)(−9) = 456 + 378 + 207 = 1041.

Следствие 9.4.1. Определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей еедиагональных блоков.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим блочно-треугольную матрицу вида

A =

[B Ok,n−kD C

].

Разлагая определитель матрицы A по первым k строкам, находим, что единственным минором k-го порядка,который расположен на этих строках и может быть не равен нулю, является detB. Поэтому

detA = (detB)(−1)2(1+2+...+k) detC = (detB)(detC).

Применяя далее индукцию по числу блоков на диагонали, приходим к следствию из теоремы Лапласа. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.6. Определитель произведения матриц

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.9.6. Определитель произведения матриц

Теорема 9.5 (определитель произведения матриц). Определитель произведения двух квадратных мат-риц A и B одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. det(AB) = (detA)(detB).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A и B – две квадратные матрицы n-го порядка. Докажем, что

det(AB) = (detA)(detB). (9.9)

Рассмотрим матрицу D порядка 2n :

D =

(A On,n−En B

).

С одной стороны, на основании теоремы Лапласа имеем

detD = (−1)2(1+2+...+n)(detA)(detB). (9.10)

С другой стороны, преобразуем матрицу D так, чтобы на месте, занимаемом матрицей A, появилась нулеваяматрица. Пусть C = (ci j) = AB. К первой строке матрицы D прибавим (n + 1)-ю строку, умноженную наa11, (n+ 2)-ю, умноженную на a12, . . . , последнюю, умноженную на a1n. Тогда в полученной матрице первыеn элементов первой строки будут нулевыми, а другие n элементов этой строки будут такими: c11, c12, . . . , c1n.

Аналогичным образом поступаем со второй строкой и т. д. К i-й строке, 1 6 i 6 n, прибавим (n + 1)-ю,умноженную на ai1, (n + 2)-ю, умноженную на ai2, . . . , последнюю, умноженную на ain. Тогда i-я строкапримет вид

0, 0, . . . , 0︸︷︷︸n

, ci1, ci2, . . . , c1n︸︷︷︸n

.

После этих преобразований получим матрицу

D′ =

(On,n C

−En B

).

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.9. Определитель1.9.6. Определитель произведения матриц

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Используя свойство 9 определителей, равенство (9.10) и теорему Лапласа, имеем

(detA)(detB) = detD = detD′ = (detC)(−1)1+2+...+n+...+2n det(−En) =

= (detC)(−1)2n+1

22n(−1)n = (detC)(−1)2n2+2n = detC = det(AB).

Следовательно, равенство (9.9) доказано. �

Замечание 9.7. Теорема 9.5 справедлива и для произведения любого конечного числа квадратных матрицодного порядка.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.10. Системы линейных уравнений x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.10. Системы линейных уравнений

1.10.1.Определения. Основные понятия1.10.2.Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера1.10.3.Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)1.10.4.Критерий совместности1.10.5.Однородные системы1.10.6.Связь между решениями неоднородной и приведенной однородной систем уравнений

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.10. Системы линейных уравнений1.10.1. Определения. Основные понятия

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.10.1. Определения. Основные понятия

Системойm линейных алгебраических уравнений от n неизвестных x1, . . . , xn над множеством R называетсясистема выражений вида

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm,

где m, n ∈ N; ai j , bi ∈ R, i = 1, m, j = 1, n. Элементы ai j называются коэффициентами системы, элементыbi – ее свободными членами.

Замечание 10.1. Вместо множества R может рассматриваться множество C комплексных чисел, и все утвер-ждения, излагаемые ниже, остаются верными.

Если все свободные члены системы линейных уравнений равны нулю, то система называется однородной,в противном случае – неоднородной.

Последовательность чисел (α1, α2, . . . , αn) называется решением системы, если каждое из уравнений этойсистемы обращается в верное равенство после подстановки вместо символов неизвестных x1, x2, . . . , xnсоответствующих элементов α1, α2, . . . , αn и выполнения указанных в уравнении операций.

Если существует хотя бы одно решение рассматриваемой системы, то эта система считается совместной,в противном случае – несовместной.

Если система совместна, то каждое ее решение называется частным решением. Совокупность всех еечастных решений называется общим решением.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной– в противном случае.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Решить систему линейных уравнений – это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае сов-местности найти все ее решения (общее решение).

Две системы линейных уравнений с одними и теми же неизвестными и над одним и тем же множеством Rназываются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несов-местные системы с неизвестными x1, x2, . . . , xn над множеством R равносильны.

Рассмотрим систему a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm.

(10.1)

Матрица A =

a11 a12 . . . a1n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

, составленная из коэффициентов системы (10.1), называется

матрицей или основной матрицей системы, а матрица A =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

. . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn bm

, которая получа-

ется из матрицы A приписыванием столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.Положим

X =

x1

x2

...xn

, B =

b1

b2

...bm

.Столбец X называется столбцом неизвестных , а B – столбцом свободных членов системы (10.1).

Матричное уравнениеAX = B (10.2)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

называется матричным уравнением, соответствующим системе уравнений (10.1).

Пример 10.1. Для системы{

5x1 + 3x2 − x4 = 1,

2x1 − 3x2 + x3 + 2x4 = 3расширенная матрица имеет вид A =

[5 3

2 −3

0

1

−1

2

∣∣∣∣ 1

3

].

Наоборот, если известно, что матрица A =

2 1 −1

5 0 4

3 −2 0

∣∣∣∣∣∣−1

3

1

является расширенной матрицей некоторой линей-

ной системы, то эта система имеет вид 2x1 + x2 − x3 = −1,

5x1 + 4x3 = 3,

3x1 − 2x2 = 1.

Матрица-столбец

C =

α1

α2

...αn

∈ Rn,1называется решением матричного уравнения (10.2), если верно равенство AC = B.

Лемма 10.1. Последовательность чисел (α1, . . . , αn) является решением системы уравнений (10.1)тогда и только тогда, когда столбец C = [α1 . . . αn]T есть решение уравнения (10.2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, выполнение равенства AC = B равносильно по правилу умно-жения матриц тому, что

a11α1 + . . .+ a1nαna21α1 + . . .+ a2nαn. . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1α1 + . . .+ amnαn

=

b1

...bm

.Последнее равенство как равенство матриц равносильно системе равенств

a11α1 + a12α2 + . . .+ a1nαn = b1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1α1 + am2α2 + . . .+ amnαn = bm.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Значит, последовательность (α1, . . . , αn) – решение системы уравнений (10.1). �

Лемма 10.2. Если расширенная матрица одной системы линейных уравнений получается из расширен-ной матрицы другой системы посредством умножения слева на невырожденную матрицу, то эти две системыравносильны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (10.1) – система m линейных уравнений с соответствующим матричнымуравнением (10.2) и T – невырожденная матрица порядка m. По правилу умножения матриц имеем

T A = T [A|B] = [TA|TB].

Надо показать, что множество решений матричного уравнения (10.2) совпадает с множеством решенийматричного уравнения

(TA)X = TB. (10.3)

Для этого предположим, что столбец C есть решение уравнения (10.2). Тогда AC = B, откуда (TA)C =

T (AC) = TB и, следовательно, C есть решение уравнения (10.3). Итак, с одной стороны, всякое решениеуравнения (10.2) есть решение уравнения (10.3). С другой стороны, мы можем перейти от матрицы T A

к матрице A умножением слева на матрицу T−1 (матрица T невырожденна!). Поэтому, меняя местами впредыдущем рассуждении уравнения (10.2) и (10.3), приходим к тому, что каждое решение уравнения (10.3)есть решение уравнения (10.2). Следовательно, две рассматриваемые системы уравнений равносильны. �

Следующие преобразования системы линейных алгебраических уравнений называются элементарными:1) умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;2) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения этой системы, умноженного на некотороечисло;3) удаление из системы с более чем одним уравнением и приписывание к системе уравнения, у котороговсе коэффициенты и свободный член равны нулю.

Если одна система линейных уравнений получена из другой путем последовательного применения элемен-тарных преобразований, то эти системы называются эквивалентными.

Замечание 10.2. Нетрудно видеть, что применение элементарных преобразований типа 1) и 2) равносильно

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

соответствующим элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы этой системы. Более того, преоб-разование типа 1) равносильно умножению слева расширенной матрицы системы на элементарную матрицу Ti ,α, апреобразование типа 2) равносильно умножению слева расширенной матрицы на элементарную матрицу Ti ,j,β.

Лемма 10.3. Две эквивалентные системы уравнений равносильны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из определения элементарных преобразований, заме-

чания 10.2 и леммы 10.2. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.10. Системы линейных уравнений1.10.2. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.10.2. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Система n линейных уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если определитель ее мат-рицы (который называется также определителем системы) не равен нулю. Соответствующее матричноеуравнение также называется невырожденным матричным уравнением.

Теорема 10.1. Решение невырожденного уравнения

AX = B

существует, единственно и описывается формулой

X = A−1B. (10.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть AX = B – невырожденное уравнение. По теореме 7.3 матрица A имеетобратную A−1. Умножая расширенную матрицу A слева на невырожденную матрицу A−1, приходим согласнолемме 10.2 к равносильной системе с расширенной матрицей:

A−1[A|B] = [A−1A|A−1B] = [En|A−1B],

которой соответствует матричное уравнение EnX = A−1B. Это уравнение имеет единственное решение вида(10.4). �

Замечание 10.3. Исходя из связи между решениями системы и соответствующего ей матричного уравнениязаключаем, что решением невырожденной системы (10.1) является строка XT = (A−1B)T .

Теорема 10.2 (теорема Крамера). Невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестнымиимеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам

xi =detAidetA

, i = 1, n, (10.5)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

где матрица Ai получена из матрицы A путем замены в ней i-го столбца на столбец свободных членов.Д о к а з а т е л ь с т в о. Перепишем (10.4) в координатном виде

x1

x2

...xn

=1

detA

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

. . . . . . . . . . . .

A1n A2n . . . Ann

b1

b2

...bn

,или

x1

x2

...xn

=1

detA

A11b1 + A21b2 + . . .+ An1bn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A1nb1 + A2nb2 + . . .+ Annbn

.Исходя из определения равенства матриц, отсюда следует, что для каждого i , 1 6 i 6 n,

xi =1

detA(A1ib1 + A2ib2 + . . .+ Anibn) =

=1

detA

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1,i−1 b1 a1,i+1 . . . a1n

a21 a22 . . . a2,i−1 b2 a2,i+1 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . an,i−1 bn an,i+1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ =detAidetA

.

�

Замечание 10.4. Метод нахождения решения невырожденных линейных систем по формулам (10.5) называетсяметодом (правилом) Крамера.

Пример 10.2. Методом Крамера решить систему уравнений{

2x1 + x2 = 4,

x1 − 2x2 = −3.

Решение. Вычисляем

detA =

∣∣∣∣ 2 1

1 −2

∣∣∣∣ = −5, detA1 =

∣∣∣∣ 4 1

−3 −2

∣∣∣∣ = −5, detA2 =

∣∣∣∣ 2 4

1 −3

∣∣∣∣ = −10 .

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Но тогда, исходя из формулы (10.5), имеем

x1 =detA1

detA= 1, x2 =

detA2

detA= 2.

Пример 10.3. Цех выпускает три вида изделий, для производства которых необходимо выполнить операции штамповки,сварки и окраски. Производственные мощности цеха позволяют в сутки выполнять эти операции общей трудоемкостью 40, 40и 80 часов. Трудоемкость ai j , i , j = 1, 2, 3, выполнения операции i для изделия j задается матрицей

A =

2 2 1

1 4 1

1 6 4

.Если x1, x2, x3− количества выпускаемых цехом изделий 1-го, 2-го и 3-го вида, то получаем следующую модель процесса:

2x1 + 2x2 + x3 = 40

x1 + 4x2 + x3 = 40

x1 + 6x2 + 4x3 = 80.

Обозначим через X = (x1, x2, x3)T столбец выпуска продукции, B = (40, 40, 80)T− столбец производственных мощностей.Тогда модель процесса можно представить в виде матричного уравнения

AX = B.

Найдем решение этой системы или матричного уравнения по формулам Крамера: x1 = 10, x2 = 5, x3 = 10. Решение показывает,

сколько изделий в сутки может выпустить цех на имеющихся мощностях.Пример 10.4. (задача o межотраслевом балансе) Пусть n отраслей производства связаны взаимными поставками про-

изводимых продуктов (межотраслевыми потоками). Конечным итогом деятельности отрасли с номером k является некоторыйконечный продукт qk . Обозначим

q = [q1, . . . , qn]T .

Столбец q – конечный продукт совокупности n отраслей. Нужно спланировать работу отраслей таким образом, чтобы былобеспечен заданный конечный продукт q.

Обозначим Qk – объем продукции (в натуральном выражении), которую должна произвести k-я отрасль для обеспе-чения плана. Часть qkl продукции, произведенной k-й отраслью, поступит в l-ю отрасль для обеспечения ее работы. Тогдараспределение всего объема Qk продукции, произведенной k-й отраслью, определяется формулой

Qk = qk1 + qk2 + . . .+ qkn + qk .

Получаем систему балансовых уравнений производстваQ1 = q11 + q12 + ...+ q1n + q1,

Q2 = q21 + q22 + ...+ q2n + q2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Qn = qn1 + qn2 + ...+ qnn + qn.

(10.6)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Коэффициенты

akl =qkl

Ql, k, l = 1, . . . , n, (10.7)

представляют собой количество единиц продукции k-й отрасли, необходимое для производства единицы продукции l-й отрасли.Величины akl обусловлены существующими технологическими особенностями производства в отраслях. Их называют техно-логическими коэффициентами производства. Они образуют матрицу A = [akl ], называемую матрицей техники производства,

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

.Так как qkl = akl ·Ql , k, l = 1, . . . , n, то система (10.6) запишется в виде

Q1 = a11Q1 + a12Q2 + ...+ a1nQn + q1,

Q2 = a21Q1 + a22Q2 + ...+ a2nQn + q2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Qn = an1Q1 + an2Q2 + ...+ annQn + qn.

(10.8)

Если обозначить Q = [Q1, ... Qn]T , то систему (10.8) можно записать в виде матричного уравнения Q = AQ+ q или

(E − A)Q = q. (10.9)

Если det (E − A) 6= 0, то, умножив (10.9) слева на (E − A)−1, получим

Q = (E − A)−1q. (10.10)

Формула (10.10) дает решение поставленной задачи по обеспечению планируемого конечного продукта q. Она позволяет быстронаходить задания Q для каждой из отраслей по выпуску продукции при разных вариантах плана выпуска конечного продукта q.

Например, пусть изучается баланс производства двух отраслей. Матрица техники производства

A =

[0, 2 0, 4

0, 2 0, 4

].

Рассматривают два варианта плана выпуска конечного продукта:

1) q1 = 10000, q2 = 8000;

2) q1 = 9000, q2 = 10000.

Найдем варианты объемов производства Q1 и Q2 для каждого варианта плана.

E − A =

[0, 8 −0, 4

−0, 2 0, 6

], (E − A)−1 =

[1, 5 1

0, 5 2

].

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Для первого варианта [Q1

Q2

]=

[1, 5 1

0, 5 2

] [10000

8000

]=

[23000

21000

];

для второго варианта [Q1

Q2

]=

[1, 5 1

0, 5 2

] [9000

10000

]=

[23500

24500

].

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.10. Системы линейных уравнений1.10.3. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.10.3. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Рассмотрим систему a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm.

(10.11)

Укажем один из общих методов решения этой системы. Ясно, что среди коэффициентов при неизвестномxj имеется хотя бы один отличный от нуля. Не ограничивая общности, можно считать, что a11 6= 0, так каквсегда можно принять за первое уравнение системы то, в котором коэффициент при xj отличен от нуля,а затем перенумеровать неизвестные. Исключим неизвестное x1 из всех уравнений, кроме первого, т.е. ко

2-му уравнению прибавим первое, умноженное на(−a21

a11

), . . . , к i-му уравнению (2 6 i 6 m) прибавим

первое, умноженное на(−ai1a11

).

В результате получаем систему, равносильную исходной:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1,

a(1)22 x2 + . . .+ a

(1)2n xn = b

(1)2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a

(1)m2x2 + . . .+ a

(1)mnxn = b

(1)m .

(10.12)

Назовем переход от системы (10.11) к системе (10.12) первым шагом алгоритма Гаусса. В результатепервого шага алгоритма могут иметь место следующие ситуации:

1) среди уравнений системы (10.12) имеется хотя бы одно, у которого все коэффициенты при неизвест-ных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Тогда система (10.12) несовместна, а следовательно,и система (10.11) несовместна (см. лемму ??);

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

2) если для некоторого l , 2 6 l 6 m все коэффициенты a(1)l j , j = 2, n, и свободный член b(1)

l равнынулю, то l-е уравнение в системе (10.12) можно удалить, не нарушая множества решений этой системы;

3) среди коэффициентов a(1)i j , i = 2, m, j = 2, n имеется хотя бы один отличный от нуля. В этом

случае переходим ко второму шагу алгоритма. Не ограничивая общности, можем считать, что a(1)22 6= 0.

Исключим неизвестное x2 из всех уравнений системы (10.12) начиная с третьего и ниже. Для этого к 3-му

уравнению прибавим второе, умноженное на(−a

(1)32

(a(1)22 )

), . . . , к i-му уравнению прибавим второе, умноженное

на(−

a(1)i2

(a(1)22 )

).

В результате, получим систему:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1,

a(1)22 x2 + a

(1)23 x3 + . . .+ a

(1)2n xn = b

(1)2 ,

a(2)33 x3 + . . .+ a

(2)3n xn = b

(2)3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a

(2)m3x3 + . . .+ a

(2)mnxn = b

(2)m .

(10.13)

После второго шага алгоритма могут иметь место случаи, аналогичные тем, которые получились в резуль-тате первого шага. Если имеет место третий случай, то переходим к третьему шагу и т.д. Через несколькошагов алгоритма мы либо докажем несовместность системы (10.11), либо придем к системе одного изследующих двух видов:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1,

a(1)22 x2 + a

(1)23 x3 + . . .+ a

(1)2n xn = b

(1)2 ,

a(2)33 x3 + . . .+ a

(2)3n xn = b

(2)3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a

(n−1)nn xn = b

(n−1)n ,

a11 · a(1)22 · a

(2)33 · . . . · a

(n−1)nn 6= 0

(10.14)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

либо

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1sxs + . . .+ a1nxn = b1,

a(1)22 x2 + a

(1)23 x3 + . . .+ a

(1)2s xs + . . .+ a

(1)2n xn = b

(1)2 ,

a(2)33 x3 + . . .+ a

(2)3s xs + . . .+ a

(2)3n xn = b

(2)3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a

(s−1)ss xs + . . .+ a

(s−1)sn xn = b

(s−1)s ,

a11 · a(1)22 · . . . · a

(s−1)ss 6= 0, s < n.

(10.15)

Легко видеть, что система (10.14) имеет единственное решение. Мы найдем его, если из последнегоуравнения определим xn, далее из предпоследнего, уже зная xn, найдем xn−1 и т.д.

Рассмотрим систему (10.15). Перепишем ее так:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1sxs = b1 − a1,s+1xs+1 − . . .− a1nxn,

a(1)22 x2 + . . .+ a

(1)2s xs = b

(1)2 − a

(1)2,s+1xs+1 − . . .− a(1)

2n xn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a

(s−1)ss xs = b

(s−1)s − a(s−1)

s,s+1xs+1 − . . .− a(s−1)sn xn.

(10.16)

Если теперь неизвестным xs+1, xs+2, . . . , xn придать произвольные значения, то относительно оставшихсяs неизвестных x1, x2, . . . , xs систему (10.16) можно будет решить так же, как и систему (10.14). Легкопроверить, что описанным путем получаются все решения системы (10.16), так как при заданных значенияхнеизвестных xs+1, . . . , xn оставшиеся неизвестные определяются однозначно.

Замечание 10.5. Таким образом, система (10.11) может быть:а) несовместной (нет решения) (см. примеры 10.7,10.12);б) определенной (единственное решение) (см. примеры 10.5, 10.10);в) неопределенной (бесконечное множество решений)(см. примеры 10.6,10.8,10.9,10.11,10.13).Замечание 10.6. При практическом решении системы (10.11) все описанные преобразования удобно применять

не к самой системе, а к расширенной матрице A (см. примеры 10.10–10.13).Замечание 10.7. Метод Гаусса можно использовать для решения матричных уравнений вида

AX = B, (10.17)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

где A ∈ Rm,n, B = (B1|B2| . . . |Bq) ∈ Rm,q – заданные матрицы; X = (X1|X2| . . . |Xq) – неизвестная матрица размеровn × q. Так как уравнение (10.17) равносильно системе матричных уравнений

AX1 = B1, AX2 = B2, . . . , AXq = Bq (10.18)

с общей матрицей A, то его можно решать, применяя к матрице (A|B) элементарные преобразования строк и удале-ния нулевых строк. В случае, если в матрице получится ненулевая строка с нулями на первых n позициях, приходимк тому, что матричное уравнение (10.17) не имеет решений. В случае же, если матрица A приводится к частичномономиальной матрице, переходим к решению каждого уравнения (10.18) в отдельности.

Замечание 10.8. Исходя из замечания 10.7 имеем еще один метод вычисления обратной матрицы, которыйназывается методом элементарных преобразований и основан на методе Гаусса решения матричной системы.

Пусть для матрицы A требуется найти A−1. Рассмотрим матричное уравнение

AX = En, (10.19)

где En – единичная матрица. С одной стороны, умножим это уравнение слева на A−1, получим, что X = A−1. Сдругой стороны, X можно определить, решая матричное уравнение (10.19) методом Гаусса (см. пример 10.14).

Пример 10.5. Решить систему уравнений3x1 + 2x2 + x3 = 5,

x1 + 2x2 + 4x3 = 3,

5x1 − 3x2 + 7x3 = 19.

Решение. Так как неизвестное x1 присутствует в первом уравнении, то необходимости переставлять уравнения нет.

Вычтем поочередно из второго уравнения первое, умноженное на1

3, а из третьего уравнения — первое, умноженное на

5

3. В

результате придем к системе 3x1 + 2x2 + x3 = 5,

43x2 + 11

3x3 = 4

3,

− 193x2 + 16

3x3 = 32

3.

Хотя систем с дробными коэффициентами не всегда удается избежать, в данном случае можно было получить систему болееудобного вида. Для этого в исходной системе следует переставить первое и второе уравнение:

x1 + 2x2 + 4x3 = 3,

3x1 + 2x2 + x3 = 5,

5x1 − 3x2 + 7x3 = 19,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

а затем вычесть из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего уравнения – первое, умноженное на 5. В этомслучае придем к системе

x1 + 2x2 + 4x3 = 3,

−4x2 − 11x3 = −4,

−13x2 − 13x3 = 4.

Похожую систему мы могли бы получить, если бы второе и третье уравнение второй системы умножили на 3, но в большинствеслучаев удобнее иметь уравнение с самым простым коэффициентом на первом месте. Чтобы система приняла более удобныйвид, умножим второе и третье уравнения на -1:

x1 + 2x2 + 4x3 = 3,

4x2 + 11x3 = 4,

13x2 + 13x3 = −4.

Рассмотрим систему, состоящую лишь из двух последних уравнений. Она содержит лишь два неизвестных x2 и x3. Исключимнеизвестное x2 из одного из уравнений. Для этого от третьего уравнения отнимем второе, умноженное на 13

4:

x1 + 2x2 + 4x3 = 3,

4x2 + 11x3 = 4,

− 914x3 = −17.

В результате получили систему, третье уравнение которой содержит лишь x3, и, следовательно, можем из него найти значениеэтого неизвестного:

x3 =68

91.

Подставим это значение во второе уравнение

4x2 +748

91= 4

и найдем из него значение неизвестного x2:

x2 = −96

91.

Подставим найденные неизвестные в первое уравнение

x1 +80

91= 3

и решим его:

x1 =193

91.

Таким образом, получили, что (193

91,−

96

91,

68

91

)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

— единственное решение исходной системы.Пример 10.6. Решить систему уравнений

5x3 − 2x6 = 3,

4x2 + 2x4 − 3x6 − 7x7 = −2,

x1 − 3x4 + x5 = 0.

Решение. В первом уравнении этой системы отсутствует неизвестное x1, поэтому поменяем местами первое и третьеуравнение:

x1 − 3x4 + x5 = 0,

4x2 + 2x4 − 3x6 − 7x7 = −2,

5x3 − 2x6 = 3.

Полученная система содержит неизвестное x1 лишь в первом уравнении, неизвестное x2 лишь во втором уравнении, а неиз-вестное x3 лишь в третьем уравнении, то есть система имеет ступенчатый вид.

Третье уравнение 5x3 − 2x6 = 3, очевидно, не имеет однозначного решения. Мы лишь можем одно из неизвестныхвыразить через другое. Например, выразим x3 через x6:

x3 =2

5x6 +

3

5.

При этом переменная x6 становится свободной, то есть ей можем присвоить любое значение α ∈ R. Тогда

x6 = α, x3 =2

5α+

3

5.

Подставим полученные выражения во второе уравнение:

4x2 + 2x4 − 3α− 7x7 = −2.

Так как α — некоторый элемент, то это уравнение представляет собой соотношение для неизвестных x2, x4 и x7. Выразим изнего x2 через остальные, которые будем считать свободными, т.е. можем придать им любые значения

x7 = β ∈ R, x4 = γ ∈ R.

Тогда

x7 = β, x4 = γ, x2 =3

4α+

7

4β −

γ

2−

1

2.

Подставим полученное в первое уравнение:x1 − 3γ + x5 = 0;

и выразим из него x1, а неизвестному x5 присвоим произвольное значение δ ∈ R, т.е.

x5 = δ, x1 = 3γ − δ.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

В итоге получили, что решение системы зависит от четырех произвольных элементовα, β, γ, δ, т.е. система имеет бесконечное множество решений{(

3γ − δ,3

4α+

7

4β −

γ

2−

1

2,

2

5α+

3

5, γ, δ, α, β

)| α, β, γ, δ ∈ R

}.

Пример 10.7. Решить систему уравненийx2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

6x1 − 3x2 + x3 + 5x4 − 3x6 = 15,

4x1 + x2 − 3x4 + x6 = 0,

2x1 − 10x2 + x3 + 18x4 + 24x5 − 10x6 = −32.

Решение. В примере 10.5 решение можно было получать, используя лишь одно элементарное преобразование методаГаусса – вычитание уравнений, в примере 10.6 – лишь элементарное преобразование перестановки уравнений. Рассмотримпример, где необходимо использовать обе операции. Вначале поменяем местами первое и второе уравнение:

2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

x2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

6x1 − 3x2 + x3 + 5x4 − 3x6 = 15,

4x1 + x2 − 3x4 + x6 = 0,

2x1 − 10x2 + x3 + 18x4 + 24x5 − 10x6 = −32.

Затем исключим неизвестное x1 в третьем, четвертом и пятом уравнениях. Для этого отнимем от третьего уравнения первое,умноженное на 3, от четвертого – умноженное на 2, и от пятого уравнения отнимем первое:

2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

x2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

−9x2 + x3 + 17x4 + 18x5 − 9x6 = −21,

−3x2 + 5x4 + 12x5 − 3x6 = −24,

−12x2 + x3 + 22x4 + 30x5 − 12x6 = −44.

Неизвестное x2 присутствует во всех уравнениях, исключим его из третьего, четвертого и пятого, прибавляя к ним второеуравнение, умноженное соответственно на 9, 3 и 12:

2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

x2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

x3 + 62x4 = 69,

20x4 + 6x5 = 6,

x3 + 82x4 + 6x5 = 76.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Вычтем третье уравнение из пятого, чтобы исключить из него неизвестное x3:2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

x2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

x3 + 62x4 = 69,

20x4 + 6x5 = 6,

20x4 + 6x5 = 7.

Обратив внимание на последние два уравнения получившейся системы, можно увидеть, что система несовместна, однако мыпродолжим операции алгоритма Гаусса, пока это возможно. Исключим из пятого уравнения неизвестное x4. Для этого вычтемиз него четвертое уравнение:

2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

x2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

x3 + 62x4 = 69,

20x4 + 6x5 = 6,

0 = 1.

Ни одна из последовательностей (x1, x2, x3, x4, x5, x6) не удовлетворяет последнему уравнению системы 0 = 1, т.е. система

несовместна.Пример 10.8. Рассмотрим систему, которая отличается от системы примера 10.7 лишь одним элементом: свободный

член последнего уравнения у нее будет равен -33, а не -32, т.е. на единицу меньше:x2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

6x1 − 3x2 + x3 + 5x4 − 3x6 = 15,

4x1 + x2 − 3x4 + x6 = 0,

2x1 − 10x2 + x3 + 18x4 + 24x5 − 10x6 = −33.

Решение. Так как все шаги алгоритма Гаусса определяются исключительно коэффициентами при неизвестных, то ис-пользуем те же элементарные преобразования, что и для предыдущего примера. При этом придем к системе, у которой праваячасть последнего уравнения будет на единицу меньше, чем правая часть последнего уравнения системы предыдущего примера:

2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

x2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

x3 + 62x4 = 69,

20x4 + 6x5 = 6,

0 = 0.

Последнему уравнению удовлетворяет любая последовательность (x1, . . . , x6), поэтому его можно исключить из системы, так

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

как (x1, . . . , x6) является решением исходной системы тогда и только тогда, когда она является решением первых четырехуравнений, т.е. решением системы

2x1 + 2x2 − 4x4 − 6x5 + 2x6 = 12,

x2 + 5x4 − 2x5 + x6 = 10,

x3 + 62x4 = 69,

20x4 + 6x5 = 6.

Неизвестные x1, x2, x3, x4 назовем базисными, а x5, x6 — свободными, т.е. можем придать им произвольные значения x5 = α ∈ R,x6 = β ∈ R. Затем из четвертого уравнения можем получить, что

x4 = −3

10α+

3

10.

Подставив это выражение в третье уравнение, получим уравнение

x3 −93

5α+

93

5= 69,

из которого следует

x3 =93

5α+

252

5.

Подставим полученные выражения во второе уравнение:

x2 −7

2α+ β +

3

2= 10.

Тогда

x2 =7

2α− β +

17

2,

и первое уравнение имеет вид

2x1 +11

5α+

79

5= 12,

из которого следует

x1 = −11

10α−

19

10.

Таким образом, общее решение исходной линейной системы зависит от двух свободно выбираемых параметров α, β и имеетвид (

−11

10α−

19

10,

7

2α− β +

17

2,

93

5α+

252

5,−

3

10α+

3

10, α, β

), где α, β ∈ R.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Пример 10.9. Рассмотрим систему, коэффициенты которой зависят от некоторого параметра:x1 + ax2 + x3 = 1,

x1 + x2 = 1,

−2x1 − 2ax2 − ax3 = 1.

Такая система может возникнуть, например, при решении следующей задачи. Рассматриваются три объекта регулиро-вания, зависящие от трех управляемых величин x1, x2, x3 и заданного извне параметра a, который определяется внешнимифакторами. Пусть объекты регулирования имеют вид

x1 + ax2 + x3, x1 + x2, −2x1 − 2ax2 − ax3.

Определим значения управляемых величин, при которых все объекты регулирования равны 1. Решение такой задачи совпадаетс решением исходной системы.

Решение. На первом этапе решения системы вычтем первое уравнение из второго и прибавим к третьему первое, умно-женное на 2:

x1 + ax2 + x3 = 1,

(1− a)x2 − x3 = 0,

(2− a)x3 = 3.

Получили систему, у которой третье уравнение содержит только одно неизвестное x3. Однако вычислить его значение, просторазделив уравнение на 2−a, мы не можем, так как в случае, если 2−a = 0, такое деление невозможно. Следовательно, разделивна 2−a, мы исключим из рассмотрения случай, когда значение внешнего фактора равно 2, и решение будет неполным. В такойситуации необходимо рассмотреть два случая: a = 2 и a 6= 2.

Если a = 2, то последнее уравнение имеет вид 0 = 3,и, следовательно, система несовместна.Пусть a 6= 2. Тогда 2− a 6= 0 и из третьего уравнения

x3 =3

2− a.

Подставим найденное значение неизвестного x3 во второе уравнение:

(a − 1)x2 +3

2− a= 0.

При решении этого уравнения нам также необходимо рассмотреть два случая: a = 1 и a 6= 1.Если a = 1, то второе уравнение представляет собой противоречивое равенство

3

2− a= 0.

Если a 6= 1, то из второго уравнения может быть получено значение неизвестного x2:

x2 =3

(a − 1)(a − 2).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Подставим найденные значения x2 и x3 в первое уравнение и найдем из него x1. Итак, если a 6= 1, 2, то система имеет решениевида (

1−3

(a − 1)(a − 2),

3

(a − 1)(2− a),

3

(2− a)

).

Если же a = 1 либо a = 2, то исходная система несовместна.

Пример 10.10. Решить методом Гаусса систему уравнений

x + y + z = 5,

2x − y + z = 2,

3x − y + z = 3.

Решение. Строим расширенную матрицу A = [A|B] =

1 1 1 5

2 −1 1 2

3 −1 1 3

и преобразуем ее. Ко второй строке прибавим

первую, умноженную на (−2), а к третьей – первую, умноженную на (−3). Получим

A ∼

1 1 1 5

0 −3 −1 −8

0 −4 −2 −12

∼ [ко второй строке прибавим третью, умноженную на (−1)] ∼

1 1 1 5

0 1 1 4

0 −4 −2 −12

∼ [к

третьей строке прибавим вторую, умноженную на 4] ∼

1 1 1 5

0 1 1 4

0 0 2 4

.Этой матрице соответствует система

x + y + z = 5,

y + z = 4,

2z = 4.

Откуда имеем, что x = 1, y = 2, z = 2, т.е. система имеет

единственное решение.

Пример 10.11. Решить систему

x − y + 2z = 4,

2x + y − z = 3,

3x + z = 7.

Решение. Решаем систему методом Гаусса. Имеем

A =[A|B

]=

1 −1 2 4

2 1 −1 3

3 0 1 7

∼ [ко второй строке прибавим первую, умноженную на (−2), а к третьей – первую,

умноженную на (−3)] ∼

1 −1 2 4

0 3 −5 −5

0 3 −5 −5

∼ [к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (−1)]

∼

1 −1 2 4

0 3 −5 −5

0 0 0 0

.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Этой матрице соответствует система уравнений вида{x − y + 2z = 4,

3y − 5z = −5,

из которой

y =

5

3(z − 1),

x = 4 + y − 2z = 4 +5

3(z − 1)− 2z =

7− z3

.Полагая z = α, имеем x =

7− α3

, y =5(α− 1)

3, z = α, где

α – любое число. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений:(7− α

3,

5(α− 1)

3, α

), α ∈ R.

Пример 10.12. Решить систему линейных уравнений

x + 2y − z = 3,

3x + y − z = 2,

6x + 2y − 2z = 1.

Решение.

x + 2y − z = 3,

3x + y − z = 2,

6x + 2y − 2z = 1

⇒ [A|B] =

1 2 −1 3

3 1 −1 2

6 2 −2 1

∼∼

1 2 −1 3

0 −5 2 −7

0 −10 4 −17

∼ 1 2 −1 3

0 −5 2 −7

0 0 0 −3

.Соответствующая система

x + 2y − z = 3,

−5y + 2z = −7,

0 = −3

не имеет решений. Значит, и исходная система несовместна.

Пример 10.13. Решить систему 2x1 + 4x2 + 6x3 + 2x4 = 8,

4x1 + 8x2 + 13x3 + 6x4 = 17,

6x1 + 12x2 + 19x3 + 8x4 = 25.

(10.20)

Решение. Элементарными преобразованиями над строками преобразуем соответствующим образом расширенную мат-рицу: 2 4 6 2 8

4 8 13 6 17

6 12 19 8 25

∼ 1 2 3 1 4

0 0 1 2 1

0 0 1 2 1

∼ 1 2 3 1 4

0 0 1 2 1

0 0 0 0 0

∼∼[

1 2 3 1 4

0 0 1 2 1

]∼[

1 2 0 −5 1

0 0 1 2 1

].

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Получившаяся система имеет вид {x1 + 2x2 −5x4 = 1,

x3 +2x4 = 1.(10.21)

Объявляем x1 и x3 базисными, x2 и x4 свободными неизвестными и, исходя из (10.21), выражаем базисные неизвестные черезсвободные:

x1 = 1− 2x2 + 5x4, x3 = 1− 2x4.

Придавая x2 и x4 произвольные значения α и β из множества R, получаем общее решение системы (10.20):

(1− 2α+ 5β, α, 1− 2β, β), α, β ∈ R.

Пример 10.14. Используя метод элементарных преобразований, найти обратную матрицу для матрицы

A =

0 1 3

2 3 5

3 5 7

.Решение. 0 1 3 1 0 0

2 3 5 0 1 0

3 5 7 0 0 1

∼ 2 3 5 0 1 0

0 1 3 1 0 0

3 5 7 0 0 1

∼∼

1 32

52

0 12

0

0 1 3 1 0 0

0 12− 1

20 − 3

21

∼ 1 3

252

0 12

0

0 1 3 1 0 0

0 0 −2 − 12− 3

21

∼

∼

1 3

252

0 12

0

0 1 0 14− 9

432

0 0 1 14

34− 1

2

∼ 1 0 0 −1 2 −1

0 1 0 14− 9

432

0 0 1 14

34− 1

2

.Следовательно,

A−1 =1

4

−4 8 −4

1 −9 6

1 3 −2

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.10. Системы линейных уравнений1.10.4. Критерий совместности

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.10.4. Критерий совместности

Теорема 10.3 (теорема Кронекера–Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений была сов-местна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширеннойматрицы, т.е. rankA = rank A.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Рассмотрим систему (10.1). И пусть эта система совместна.Это означает, что существуют последовательность чисел (α1, α2, . . . , αn) таких, что имеет место ра-

венство

α1

a11

...am1

+ . . .+ αn

a1n

...amn

=

b1

...bm

. (10.22)

Это в свою очередь означает, что последний столбец матрицы A является линейной комбинацией столбцовматрицы A. Но тогда, на основании теоремы о ранге матрицы, ранг матрицы A равен рангу матрицы A.

Достаточность. Пусть rankA = rankA. Докажем что система (10.1) совместна. Так как ранг матрицыA равен рангу матрицы A, то последний столбец матрицы A является линейной комбинацией столбцовматрицы A. Это значит, что найдутся числа (α1, α2, . . . , αn) такие, что выполняется равенство (10.22),которое в свою очередь равносильно системе равенств

a11α1 + a12α2 + . . .+ a1nαn = b1,

a21α1 + a22α2 + . . .+ a2nαn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1α1 + am2α2 + . . .+ amnαn = bm.

(10.23)

А это значит, что последовательность чисел (α1, α2, . . . , αn) является решением системы (10.1), т.е. онасовместна. �

Предположим теперь, что система (10.1) совместна. Попытаемся найти все ее решения, используятеорему Кронекера–Капелли. Пусть rankA = rankA = r. Для определенности предположим, что первые r

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

строк матрицы A линейно независимы. Тогда ясно, что первые r строк матрицы A линейно независимы, акаждая другая строка есть их линейная комбинация. Отсюда следует, что всякое уравнение системы (10.1)есть линейная комбинация первых r уравнений и, следовательно, система

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1rxr + a1,r+1xr+1 + . . .+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2rxr + a2,r+1xr+1 + . . .+ a2nxn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ar1x1 + ar2x2 + . . .+ ar rxr + ar,r+1xr+1 + . . .+ arnxn = br ,

(10.24)

составленная из первых r уравнений системы (10.1), равносильна системе (10.1). Заменим систему (10.1)системой (10.24). Если r = n, то определитель системы (10.24) отличен от нуля (его строки линейнонезависимы) и она имеет по правилу Крамера единственное решение.

Пусть r < n и для определенности линейно независимы первые r столбцов матрицы системы (10.24).Тогда из (10.24) получаем систему

a11x1 + . . .+ a1rxr = b1 − a1,r+1xr+1 − . . .− a1nxn,

a21x1 + . . .+ a2rxr = b2 − a2,r+1xr+1 − . . .− a2nxn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ar1x1 + . . .+ ar rxr = br − ar,r+1xr+1 − . . .− arnxn,

(10.25)

в которой неизвестные xr+1, xr+2, . . . , xn называются свободными неизвестными, а x1, x2, . . . , xr – базисныминеизвестными.

Придадим свободным неизвестным значения xr+1 = cr+1, xr+2 = cr+2, . . . , xn = cn. Система (10.25)примет вид

a11x1 + . . .+ a1rxr = b1 − a1,r+1cr+1 − . . .− a1ncn,

a21x1 + . . .+ a2rxr = b2 − a2,r+1cr+1 − . . .− a2ncn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ar1x1 + . . .+ ar rxr = br − ar,r+1cr+1 − . . .− arncn.

(10.26)

Система (10.26) является системой r линейных уравнений с r неизвестными x1, x2, . . . , xr . Ее определительотличен от нуля (можно решить по правилу Крамера). Она имеет единственное решение c1, c2, . . . , cr . Такимобразом, c1, c2, . . . , cr , cr+1, . . . , cn – решение системы (10.24), а следовательно, и системы (10.1). Так как

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

множество R бесконечно, то таким путем получается бесконечное множество решений системы (10.1). Всели решения найдутся таким путем? Утверждается, что это так.

Пусть c∗1 , c∗2 , . . . , c

∗r , c

∗r+1, . . . , c

∗n – какое-то произвольное решение системы (10.1). Покажем, что это

решение можно получить указанным выше способом.Положим в системе (10.25) xr+1 = c∗r+1, xr+2 = c∗r+2, . . . , x

∗n = c∗n .

В силу того, что система (10.25), как и система (10.26), при заданной правой части имеет единственноерешение, то

x1 = c∗1 , x2 = c∗2 , . . . , xr = c∗r ,

что и требовалось показать.Из вышеприведенных рассуждений получаем следующий метод решения систем линейных уравнений.

Метод решения систем линейных уравнений.

Пусть A – матрица системы уравнений (10.1), B – столбец свободных членов и A – расширеннаяматрица.

1. Если A – нулевая матрица, тогда если B – нулевой столбец, то (α1, . . . , αn) – общее решение(α1, α2, . . . , αn – произвольные элементы из множества R). Если же B 6= Om,1, то система (10.1) несов-местна.

2. Если A – ненулевая матрица, то вычисляем ее базисный минор R. Пусть его порядок равен r.3. Находим все окаймляющие R миноры (r + 1)-го порядка матрицы A, не содержащиеся в A. Если

среди них есть ненулевые, процесс заканчиваем, система несовместна, иначе переходим к следующему шагу.4. Из матрицы A удаляем все строки кроме тех, на которых расположен минор R. Те неизвестные,

коэффициенты при которых составляют минор R, объявляем базисными, а остальные, если они есть, –свободными. Решаем полученную систему уравнений, например, по формулам Крамера. Выражаем базисныенеизвестные через свободные и получаем общее решение системы (10.1).

Пример 10.15. Пусть

1 2 4 8

3 2 8 12

9 −1 17 15

– расширенная матрица системы уравнений. Решить эту систему изложенным

выше методом.Решение.1. Так как матрица системы ненулевая, переходим к шагу 2.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

2. Минор∣∣∣∣ 1 2

3 2

∣∣∣∣ ненулевой, поэтому рассмотрим окаймляющий его минор матрицы A :

∣∣∣∣∣∣1 2 4

3 2 8

9 −1 17

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 2 0

3 2 4

9 −1 19

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 0 0

3 −4 4

9 −19 19

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Следовательно, ранг матрицы системы равен двум и∣∣∣∣ 1 2

3 2

∣∣∣∣ – базисный минор.

3. Вычислим ранг расширенной матрицы. Для этого нужно вычислить минор∣∣∣∣∣∣1 2 8

3 2 12

9 −1 15

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 2 0

3 2 4

9 −1 19

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 0 0

3 −4 4

9 −19 −19

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Следовательно, ранг расширенной матрицы равен двум и система совместна.

4. Так как базисный минор∣∣∣∣ 1 2

3 2

∣∣∣∣ расположен на первых двух строках, то удаляем третью строку и объявляем x1 и

x2 базисными неизвестными, а x3 – свободной. Пусть x3 = α – параметр. Перепишем систему в виде{x1 + 2x2 = 8− 4α,

3x1 + 2x2 = 12− 8α.

Решаем ее по правилу Крамера относительно x1 и x2 :

x1 =

∣∣∣∣ 8− 4α 2

12− 8α 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2

3 2

∣∣∣∣ = −1

4

(∣∣∣∣ 8 2

12 2

∣∣∣∣+ α

∣∣∣∣ −4 2

−8 2

∣∣∣∣) = −1

4(−8 + 8α) = 2− 2α;

x2 =

∣∣∣∣ 1 8− 4α

3 12− 8α

∣∣∣∣−4

=

∣∣∣∣ 1 −2 + α

3 −3 + 2α

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1 −2

3 −3

∣∣∣∣ + α

∣∣∣∣ 1 1

3 2

∣∣∣∣ = 3− α. Следовательно, общее решение можно записать

в виде {(2− 2α, 3− α,α), α ∈ R}.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.10. Системы линейных уравнений1.10.5. Однородные системы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.10.5. Однородные системы

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений от n неизвестных видаa11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = 0,

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = 0

(10.27)

и соответствующее ей однородное матричное уравнение

AX = O. (10.28)

Однородная система (10.27) (как и матричное уравнение (10.28)) всегда совместна, так как она имеетнулевое (тривиальное) решение (0, 0, . . . , 0).

При каких условиях однородная система (10.27) имеет ненулевые решения? Верна следующая теорема.

Теорема 10.4. Однородная система линейных уравнений (10.27) имеет ненулевые решения тогда итолько тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных, т.е. когда rankA < n.

Следствие 10.4.1. Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые ре-шения тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы равен нулю.

Теорема 10.5. Множество U всех решений однородной системы линейных уравнений (10.27) есть под-пространство арифметического пространства R1,n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для простоты изложения доказательство приведем для однородного матрич-ного уравнения (10.28). Ясно, что система (10.27), а следовательно, матричное уравнение (10.28) имеетнулевое решение, и поэтому множество U не является пустым.

Пусть, далее, C′ и C′′ – два решения матричного уравнения (10.28) и α, β – произвольные элементыиз множества R. Тогда имеем A(αC′ + βC′′) = αAC′ + βAC′′ = O. Отсюда следует, что столбец αC′ +

βC′′ ∈ U, а это значит, что множество U, на основании определения подпространства, есть подпространствопространства Rn,1. �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Так как множество всех решений однородной системы линейных уравнений является подпространствомсоответствующего пространства, то найдем его базис и размерность.

Пусть для системы (10.27) rankA = r, причем 1 6 r < n. Требуется найти все ее ненулевые решения.Для определенности предположим, что базисный минор R r -го порядка матрицы A занимает в ней левыйверхний угол. Тогда, объявив свободными неизвестными xr+1, xr+2, . . . , xn, от системы (10.27) перейдем ксистеме

a11x1 + . . .+ a1rxr = −a1,r+1xr+1 − . . .− a1nxn,

a21x1 + . . .+ a2rxr = −a2,r+1xr+1 − . . .− a2nxn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ar1x1 + . . .+ ar rxr = −ar,r+1xr+1 − . . .− arnxn.

(10.29)

При фиксированной правой части система (10.29) является системой r линейных уравнений от r базисныхнеизвестных x1, . . . , xr . Ее определитель отличен от нуля, и поэтому ее можно решать, например, по правилуКрамера.

Придадим свободным неизвестным последовательно значения:

xr+1 = 1, xr+2 = 0, . . . , xn = 0;

xr+1 = 0, xr+2 = 1, . . . , xn = 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xr+1 = 0, xr+2 = 0, . . . , xn = 1.

В результате имеем (n − r) решений

C1 = (α11, α12, . . . , α1r , 1, 0, . . . , 0),

C2 = (α21, α22, . . . , α2r , 0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Cn−r = (αn−r,1, αn−r,2, . . . , αn−r,r , 0, 0, . . . , 1)

системы (10.29), а следовательно, и системы (10.27).Покажем, что система этих решений

(C1, C2, . . . , Cn−r ) (10.30)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

является линейно независимой и что любое решение системы (10.27) является их линейной комбинацией.Действительно, так как ранг матрицы

α11 α12 . . . α1r 1 0 . . . 0

α21 α22 . . . α2r 0 1 . . . 0

. . . . .αn−r,1 αn−r,2 . . . αn−r,r 0 0 . . . 1

,составленной по системе (10.30), равен (n− r) (базисный минор (n− r)-го порядка расположен в последних(n − r) столбцах) и равен числу векторов в системе (10.30), то эта система линейно независима.

Пусть теперь C = (β1, β2, . . . , βn) – произвольное решение системы (10.27). Покажем, что это решениеможно представить в виде линейной комбинации решений системы (10.29). Для этого введем в рассмотрениевектор-строку C = (γ1, γ2, . . . , γn), определяемую соотношением

C = C − βr+1C1 − βr+2C2 − . . .− βnCn−r . (10.31)

Можно проверить, что строка C является решением системы (10.27), а следовательно, и системы (10.29).Кроме того, исходя из соотношения (10.31) эта строка имеет вид C = (γ1, γ2, . . . , γr , 0, . . . , 0). Но тогда

из системы (10.29) (поскольку все свободные неизвестные равны нулю) следует, что γ1 = γ2 = . . . = γr = 0,

а это значит, что C = (0, . . . , 0) и что в свою очередь C = βr+1C1 + βr+2C2 + . . .+ βnCn−r .

Система решений (10.30) называетсяфундаментальной системой решений однородной системы (10.27).Таким образом, общее решение однородной системы (10.27) имеет вид α1C1 +α2C2 + . . .+αn−rCn−r ,

где (C1, C2, . . . , Cn−r ) – фундаментальная система ее решений, αi , i = 1, n − r , – произвольные элементы измножества R, r – ранг матрицы A системы (10.27), т.е. r = rankA.

Из вышеизложенного следует, что1) система решений (10.30) есть базис подпространства U – подпространства решений однородной

системы (10.27);2) размерность этого подпространства равна n –rankA, где A – матрица системы (10.27).

Пример 10.16. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с матрицей A =

1 1 1 1

1 −1 2 2

1 3 0 0

. Требуетсянайти фундаментальную систему решений и общее решение этой системы.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Решение. Используя элементарные преобразования, приходим к эквивалентной системе уравнений с матрицей: 1 1 1 1

1 −1 2 2

1 3 0 0

∼ 1 1 1 1

0 −2 1 1

0 2 −1 −1

∼ 1 1 1 1

0 −2 1 1

0 0 0 0

∼ 1 3 0 0

0 −2 1 1

0 0 0 0

.Имеем rankA = 2. В качестве базисного минора можно взять минор

∣∣∣∣ 1 0

0 1

∣∣∣∣ , расположенный на первых двух строках и на пер-

вом и третьем столбцах получившейся матрицы. Поэтому объявляем x1 и x3 базисными, а x2 и x4 – свободными неизвестнымии получаем следующие выражения базисных неизвестных через свободные:{

x1 = −3x2,

x3 = 2x2 − x4.

Придадим свободным переменным последовательно значения:

x2 = 1, x4 = 0;

x2 = 0, x4 = 1.

В результате имеем фундаментальную систему решений (C1, C2), где C1 = (−3, 1, 2, 0) и C2 = (0, 0,−1, 1), а тогда

α1C1 + α2C2 = (−3α1, α1, 2α1 − α2, α2), α1, α2 ∈ R, есть общее решение исходной системы.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.10. Системы линейных уравнений1.10.6. Связь между неоднородной и приведенной однородной системами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.10.6. Связь между решениями неоднородной и приведенной однородной системуравнений

Рассмотрим систему уравнений (10.1). Если заменить в ней свободные члены нулями, то получим од-нородную систему линейных уравнений (10.27), называемую приведенной однородной системой для системыуравнений (10.1).

Теорема 10.6. Все решения совместной системы линейных уравнений (10.1) можно получить, склады-вая какое-либо одно решение этой системы с каждым решением приведенной однородной системы линейныхуравнений.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведем для матричных уравнений. Пусть

AX = B (10.32)

– матричное уравнение, соответствующее системе уравнений (10.1). Тогда

AX = O (10.33)

– матричное уравнение, соответствующее приведенной однородной системе (10.27). Пусть L – множестворешений уравнения (10.32), а L – множество решений уравнения (10.33). Зафиксируем некоторый столбец-решение C0 ∈ L. Надо доказать, что

L = {C0 + C| ∀C ∈ L}. (10.34)

Если C ∈ L, то A(C0 + C) = AC0 + AC = B + Om,1 = B, так что C0 + C ∈ L и потому {C0 + C|C ∈ L} ⊂ L.Пусть теперь C1 ∈ L. Положим C = C1 − C0. Тогда AC = A(C1 − C0) = AC1 − AC0 = B −B = Om,1, так чтоC1 = C0 + C, где C ∈ L. Следовательно, равенство (10.34) истинно. �

Следствие 10.6.1. Пусть r – ранг матрицы совместной системы линейных уравнений (10.1) и 0 < r < n.

Если C0 – некоторое ее решение, а (C1, . . . , Cn−r ) – фундаментальная система решений приведеннойоднородной системы уравнений (10.27) для системы (10.1), то любое решение системы (10.1) являетсялинейной комбинацией вида

C0 + α1C1 + . . .+ αn−rCn−r , (10.35)

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.10. Системы линейных уравнений1.10.6. Связь между неоднородной и приведенной однородной системами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

где α1, . . . , αn−r ∈ R.Например, общее решение системы линейных уравнений примера 10.15 представимо в виде (2, 3, 0) +

(−2,−1, 1)α, где строка (2, 3, 0) – некоторое частное решение этой системы, а строка (−2,−1, 1)α, α ∈ R,– общее решение соответствующей ей однородной системы, т.е. системы вида

x1 + 2x2 + 4x3 = 0,

3x1 + 2x2 + 8x3 = 0,

9x1 − x2 + 17x3 = 0.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11. Линейные пространства

1.11.1.Определение. Простейшие свойства1.11.2.Подпространства линейного пространства1.11.3.Линейная зависимость и независимость векторов1.11.4.Эквивалентные системы векторов1.11.5.Базис и размерность линейных пространств1.11.6.Базис и ранг системы векторов1.11.7.Базис n-мерных векторных пространств1.11.8.Координаты вектора1.11.9.Преобразования координат

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.1. Определение. Простейшие свойства

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.1. Определение. Простейшие свойства

Пусть V – непустое множество, элементы которого будем называть векторами и обозначать a, b, c , . . . , x , y , z , . . . ,а R – множество всех вещественных чисел, элементы которого будем обозначать α, β, γ, . . . и называть ино-гда скалярами.

Пусть, далее, задан закон, согласно которому каждой паре (x , y) векторов множества V ставится всоответствие вектор этого множества V, называемый суммой векторов x , y и обозначаемый x + y . В этомслучае говорят, что на множестве V задана операция сложения. Кроме того, пусть имеется правило, котороекаждому вектору x ∈ V и любому действительному числу α ∈ R ставит в соответствие вектор множества V,называемый произведением вектора x на число α (скаляр α) и обозначаемый αx . Эта операция называетсяумножением векторов на числа (скаляры).

Множество V, в котором определены операции сложения векторов и умножения векторов на числа, назы-вается вещественным линейным (векторным) пространством, если выполняются следующие условия:1) x + y = y + x , ∀x , y ∈ V ;

2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x , y , z ∈ V ;

3) в множестве V существует вектор, который называется нулевым, обозначается 0, и такой, что x + 0 =

0 + x = x , ∀x ∈ V ;

4) для каждого вектора x ∈ V существует вектор y ∈ V такой, что x + y = y + x = 0. Вектор y называетсяпротивоположным вектору x и обозначается −x , т.е. −x = y ;

5) для любого вектора x верно равенство 1x = x , где 1 – единица множества R;

6) α(βx) = (αβ)x , ∀x ∈ V, ∀α, β ∈ R;

7) α(x + y) = αx + αy , ∀x , y ∈ V, ∀α ∈ R;

8) (α+ β)x = αx + βx , ∀x ∈ V, ∀α, β ∈ R.Замечание 11.1. Аналогичным образом определяется комплексное линейное (векторное) пространство. В этом

случае вместо множества R рассматривается множество всех комплексных чисел C.Примеры вещественных линейных пространствПример 11.1. Множество V3 свободных геометрических векторов с их обычным сложением векторов и умножением

векторов на действительные числа.Пример 11.2. Множество Rm,n всех действительных матриц размеров m× n, относительно операций сложения матриц и

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

умножения матриц на числа. Если m = 1, то это пространство называется арифметическим n-мерным векторным простран-ством строк длины n, а если n = 1 – арифметическим m-мерным векторным пространством столбцов длины m.

Пример 11.3. Множество всех многочленов Rn[x ] степеней не больше n, относительно операции сложения многочленови умножения многочленов на числа.

Пример 11.4. Множество C([a, b]) всех вещественных непрерывных функций на отрезке [a, b], относительно операцийпоаргументного сложения функций и умножения на числа.

Пример 11.5. Множество функций вида {αex + β sin x + γ cos x |α, β, γ ∈ R} относительно операций сложения функций и

умножения функций на действительные числа.

Простейшие свойства линейных пространств

Свойство 1. В линейном пространстве V существует единственный нулевой вектор.Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что в пространстве V существуют два нулевых вектора 01, 02.

Тогда 01 + 02 = 01, т.к. 02 – нулевой вектор. С другой стороны, 01 + 02 = 02, так как 01 – нулевой вектор.Сравнивая эти равенства, получаем, что 01 = 02. �

Свойство 2. В линейном пространстве V для любого вектора a существует единственный противопо-ложный ему вектор −a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что для a существует два противоположных вектора −a1 и −a2.

Рассмотрим следующую сумму векторов: (−a1) + a + (−a2). Тогда, с одной стороны, (−a1) + a + (−a2) =

((−a1) + a) + (−a2) = 0 + (−a2) = −a2. С другой стороны, (−a1) + a + (−a2) = (−a1) + (a + (−a2)) =

(−a1) + 0 = −a1. Сравнивая результаты, имеем −a1 = −a2. �Свойство 3. Для вектора −a противоположным является вектор a.Свойство 4. Произведение числа 0 на любой вектор a ∈ V есть нулевой вектор пространства V.Д о к а з а т е л ь с т в о. 0a = 0a + 0 = 0a + ((a) + (−a)) = (0a + a) + (−a) = (0 + 1)a + (−a) =

1a + (−a) = a + (−a) = 0. �Свойство 5. Произведение (−1)a равно вектору −a.Д о к а з а т е л ь с т в о. (−1)a + a = (−1 + 1)a = 0a = 0. Поэтому вектор (−1)a противоположен

вектору a и, следовательно, (−1)a = −a. �Свойство 6. Произведение любого числа α на 0 ∈ V есть нулевой вектор пространства V.Д о к а з а т е л ь с т в о. α0 = α((a) + (−a)) = α(a + (−1)a) = α(1 + (−1))a = α(0a) = 0a = 0. �Свойство 7. Если αa = 0 и α 6= 0, то a = 0 или, если a 6= 0, то α = 0.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть α 6= 0. Умножим равенство αa = 0 на число1

α, получим

1

α(αa) =

1

α0.

Откуда следует, что a = 0.Пусть a 6= 0. От противного предположим, что и α 6= 0. Тогда, умножив равенство αa = 0 на число

1

α, получим, что a = 0. Противоречие. Следовательно α = 0. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.2. Подпространства линейного пространства

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.2. Подпространства линейного пространства

Пусть V – вещественное (комплексное) линейное пространство, а M – непустое подмножество множестваV, в котором определены операции сложения векторов и умножения векторов на числа, такие же, как и вмножестве V.Множество M называется подпространством пространства V, если выполняются следующие условия:1) для любых векторов a, b ∈ M вектор a + b ∈ M;

2) для любого вектора a ∈ M и любого числа α вектор αa ∈ M.Замечание 11.2. Иначе говоря, множество M является подпространством пространства V, если оно замкнуто

относительно линейных операций над векторами пространства V.Условия 1), 2) равносильны условию αa +βb ∈ M для любых векторов a, b ∈ M и любых чисел α и β.

Примеры подпространствПример 11.6. Линейное пространство V является своим же подпространством.

Пример 11.7. Множество {0}, содержащее лишь нулевой вектор пространства V, является подпространством этого про-

странства. Оно называется нулевым подпространством.Пример 11.8. Пусть G = (a1, a2, . . . , ak) – произвольная система векторов вещественного (комплексного) линейного

пространства V.

Множество векторов вида {α1a1 + α2a2 + . . . + αkak |αi ∈ R(αi ∈ C)}, т.е. множество всех линейных комбинаций векторовсистемы G = (a1, a2, . . . , ak) с коэффициентами из множества R (из множества C) называется линейной оболочкой векторовсистемы G или линейной оболочкой, порожденной системой G. Линейная оболочка обозначается L(a1, a2, . . . ak) или LG.Линейная оболочка является подпространством пространства V.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.3. Линейная зависимость и независимость векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.3. Линейная зависимость и независимость векторов

В линейном пространстве V рассмотрим конечную систему (последовательность) векторов

(a1, a2, a3, . . . , ak), k ∈ N. (11.1)

Вектор α1a1 +α2a2 + . . .+αkak , где α1, α2, . . . , αk – некоторые числа, называется линейной комбинациейвекторов системы (a1, a2, a3, . . . , ak).

Если в линейной комбинации αi = 0, ∀i = 1, k, то говорят, что она является тривиальной, в противномслучае – нетривиальной.

Конечная система векторов (a1, a2, a3, . . . , ak) называется линейно зависимой, если существуют числа

α1, α2, . . . , αk , не все одновременно равные нулю (k∑i=1

α2i > 0), и такие, что верно равенство

α1a1 + α2a2 + . . .+ αkak = 0.

Система векторов, не являющаяся линейно зависимой, называется линейно независимой.

Теорема 11.1. Если система векторов (11.1) содержит нулевой вектор, то она является линейно зави-симой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, например, вектор a1 = 0. Ясно, что верно равенство α1 · 0 + 0 · a2 +

. . .+ 0 ·ak = 0 для каждого α1 6= 0. Отсюда, по определению линейной зависимости, система (11.1) линейнозависима. �

Теорема 11.2. Если какая-нибудь подсистема системы векторов (11.1) линейно зависима, то и всясистема векторов (11.1) линейно зависима.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для некоторого l , 1 6 l < k, подсистема (a1, . . . , al) линейно зависима.Тогда найдутся числа α1, . . . , αl такие, что имеет место равенство α1a1 + α2a2 + . . . + αlal = 0, причемl∑i=1

α2i > 0. Тогда имеет место и равенство α1a1 + α2a2 + . . . + αkak = 0, где αl+1 = αl+2 = . . . = αk =

0. Отсюда следует, на основании определения линейной зависимости векторов, что и вся система (11.1)линейно зависима. �

Следствие 11.2.1. Если система (11.1) линейно независима, то и любая ее подсистема линейно неза-висима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. От противного. Пусть некоторая подсистема исходной системы линейно зави-сима. Тогда, на основании теоремы 11.2, исходная система также линейно зависима. Противоречие. �

Теорема 11.3. Для того чтобы система, состоящая более чем из одного вектора, была линейно за-висимой, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из векторов этой системы можно былопредставить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы, другими словами, чтобы онлинейно выражался через остальные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть система (11.1) линейно зависима, т.е. существуют чис-ла α1, α2, . . . , αk , не все одновременно равные нулю, такие, что α1a1+α2a2+. . .+αkak = 0. Пусть, например,α1 6= 0, тогда

a1 = −α2

α1a2 − . . .−

αkα1

ak .

Достаточность. Пусть al = β1a1 + β2a2 + . . . + βl−1al−1 + βl+1al+1 + . . . + βkak , 1 6 l 6 k. Тогдаβ1a1 + β2a2 + . . .− al + . . .+ βkak = 0, а это значит, на основании определения линейной зависимости, чтосистема (11.1) линейно зависима. �

Замечание 11.3. Можно говорить и о линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если линейно независима каждая ее конечная часть,и линейно зависимой, если какая-либо ее конечная часть линейно зависима.

Пример 11.9. В пространстве V3 геометрических векторов система, состоящая из одного вектора, линейно зависима

тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой, два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

(см. теорему 2.5), три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (см. теорему 2.6), а любые

четыре вектора в пространстве V3 геометрических векторов всегда линейно зависимы (см. теорему 2.7).Пример 11.10. В арифметическом пространстве R1,n строк длины n система векторов (e1, . . . , en), где e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 =

(0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1), линейно независима. В самом деле, пусть

α1e1 + α2e2 + . . .+ αnen = 0, αi ∈ R, ∀i = 1, n. (11.2)

Вычислим левую часть равенства (11.2):(α1, 0, . . . , 0) + (0, α2, . . . , 0) + . . .+ (0, 0, . . . , αn) = (α1, α2, . . . , αn).

Но тогда (α1, α2, . . . , αn) = (0, 0, . . . , 0), откуда следует, что αi = 0, ∀i = 1, n.

Пример 11.11. Рассмотрим линейное пространство Rm,n матриц размеровm×n и в нем систему матриц (e11, . . . , e1n, e21, . . . , e2n, . . . , em1 . . . , emn),

где e i j =

0 . . . 0 . . . 0...

......

......

0 . . . 1 . . . 0...

......

......

0 . . . 0 . . . 0

– матрица размеров m× n, все элементы которой равны нулю, за исключением одного эле-

мента, который равен единице и этот элемент располагается на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Можно показать, что система (e11, . . . , e1n, e21, . . . , e2n, . . . , em1 . . . , emn) линейно независима в пространстве Rm,n.Пример 11.12. В пространстве Pn[x ] многочленов степени не больше n система многочленов (1, x, . . . , xn) линейно неза-

висима.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.4. Эквивалентные системы векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.4. Эквивалентные системы векторов

Пусть G и Q – две произвольные системы векторов линейного пространства V.

Говорят, что система G линейно выражается через Q, если каждый вектор системы G можно переставитьв виде линейной комбинации векторов системы Q.

Если система G линейно выражается через Q, а, в свою очередь, система Q линейно выражается черезнекоторую систему M, то система G линейно выражается через M, т.е. свойство линейной выражаемоститранзитивно.

Если система G линейно выражается через Q и, обратно, Q линейно выражается через G, то G и Qназываются эквивалентными системами векторов (обозначается G v Q).

Из транзитивности линейной выражаемости следует транзитивность эквивалентности систем векто-ров: если G,Q и M – три такие системы векторов, что G эквивалентна Q, а Q эквивалентна M, то Gэквивалентна M.

Теорема 11.4 (критерий эквивалентности систем). Две системы векторов эквивалентны тогда и толькотогда, когда их линейные оболочки совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что если линейные оболочки двух систем совпадают, то каждый извекторов одной системы линейно выражается через векторы другой системы, т.е. системы эквивалентны.Пусть теперь заданы две любые эквивалентные системы. Рассмотрим любой вектор из линейной оболочкиодной системы. По определению линейной оболочки он линейно выражается через векторы этой системы.Так как рассматриваемые системы векторов эквивалентны, то каждый вектор первой системы линейновыражается через векторы второй системы. Поэтому любой вектор из линейной оболочки первой системыобязательно принадлежит линейной оболочке второй системы. Верно и обратное: любой вектор из линейнойоболочки второй системы обязательно принадлежит линейной оболочке векторов первой системы, а этозначит, что линейные оболочки обеих систем совпадают. �

Теорема 11.5. Ранги эквивалентных систем равны.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.4. Эквивалентные системы векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система векторов G эквивалентна системе векторов Q, rankG = r1, аrankQ = r2. И пусть далее подсистема G1 – базис системы G, а подсистема Q1 – базис системы Q. Образуемсистему векторов G ∪ Q. Система G1 ранга r1 является базисом этой системы G ∪ Q, так как G1 линейнонезависима, G линейно выражается через G1 и Q линейно выражается через G1, в силу определения эквива-лентности систем и свойства транзитивности эквивалентных систем. Итак, rank(G ∪Q) = r1. Аналогичнымобразом показывается, что Q1 – базис системы векторов G∪Q, т.е. rank(G∪Q) = r2. Отсюда на основаниитеоремы 11.6 имеем rankG = rankQ. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.5. Базис и размерность линейных пространств

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.5. Базис и размерность линейных пространств

Система векторов линейного пространства V называется базисом, если она линейно независима и каждыйвектор пространства V линейно выражается через нее.

Линейное пространство, имеющее конечный базис, называется конечномерным. Количество векторов вбазисе конечномерного пространства V называется размерностью пространства V и обозначается dim V.

Если dim V = n, то пространство V называется n-мерным и обозначается Vn.

Линейное пространство, состоящее только из одного нулевого вектора (нулевое линейное пространство),также называется конечномерным.

Ненулевое линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем нет базиса, состоящего изконечного числа векторов.

Замечание 11.4. В курсе линейной алгебры изучаются лишь конечномерные линейные пространства.Пример 11.13. В векторном пространстве V3 свободных геометрических векторов система векторов (i , j , k) образует

базис, ибо эта система линейно независима и любой вектор этого пространства линейно выражается через векторы этой

системы. Следовательно, размерность пространства V3 равна 3, т.е. dim V3 = 3.

Пример 11.14. Рассмотрим арифметическое пространство R1,n строк длины n с элементами из множества R. Как показанов примере 11.10, система векторов

(e1, . . . , en), где e i = (0, . . . , 0,(i)

1 , 0, . . . , 0), ∀i = 1, n, (11.3)

линейно независима.Покажем, что система (11.3) является базисом в пространстве R1,n. Действительно, исходя из определения базиса,

осталось показать, что любой вектор пространства R1,n представим в виде линейной комбинации векторов системы (11.3).

Пусть (α1, α2, . . . , αn) – произвольная строка из R1,n. Очевидно, что (α1, α2, . . . , αn) = α1(1, 0, . . . , 0)+α2(0, 1, 0, . . . , 0)+

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.5. Базис и размерность линейных пространств

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

. . .+αn(0, 0, . . . , 0, 1)⇔ (α1, α2, . . . , αn) = α1e1 +α2e2 +. . .+αnen, αi ∈ R, ∀i = 1, n. Итак, система (11.3) – базис пространства

R1,n и dimR1,n = n. Базис (11.3) называется каноническим базисом арифметического пространства R1,n.

Пример 11.15. В векторном пространстве Rm,n матриц размеровm×n система векторов (см. пример 11.11) (e11, e12, . . . , e1n, e21, . . . , e2n, . . . , em1, . . . , emn)

образует базис. Этот базис называется каноническим базисом пространства Rm,n. Таким образом, dimRm,n = mn.

Пример 11.16. Система многочленов (1, x, x2, . . . , xn) – канонический базис векторного пространства Rn[x ] – простран-

ства многочленов с действительными коэффициентами степени не больше n. Следовательно, dimRn[x ] = n + 1.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.6. Базис и ранг системы векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.6. Базис и ранг системы векторов

Пусть G – некоторая система векторов линейного пространства V.Подсистема G1 системы G называется базисом системы G, если выполняются следующие два условия:1) подсистема G1 линейно независима;2) система G линейно выражается через подсистему G1.

Теорема 11.6. Любые два базиса системы векторов конечномерного линейного пространства состоятиз одинакового количества векторов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G – система векторов конечномерного пространства V. Значит, все еебазисы состоят из конечного числа векторов. Пусть система

(a1, a2, . . . , ak) (11.4)

– базис системы G, состоящий из минимального числа векторов, а система

(b1, b2, . . . , bm) (11.5)

– произвольный базис этой же системы. Требуется показать, что m = k.

От противного предположим, что m > k. Так как система (11.4) – базис системы G, то по определениюбазиса любой вектор системы G и, в частности, любой вектор системы (11.5) можно представить в виделинейной комбинации векторов (11.4). Это значит, что найдутся числа α1, α2, . . . , αk такие, что

b1 = α1a1 + α2a2 + . . .+ αkak , (11.6)

причем α21 + α2

2 + . . . + α2k > 0 (если бы все αi = 0, i = 1, k, то вектор b1 = 0, а тогда система векторов

(11.5) была бы линейно зависима. Противоречие).Пусть для определенности α1 6= 0. Тогда из (11.6) имеем

a1 = β1b1 + β2a2 + . . .+ βkak , (11.7)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

т.е. вектор a1 линейно выражается через систему

(b1, a2, a3, . . . , ak). (11.8)

Покажем, что система векторов (11.8) является базисом системы G. Докажем первоначально, что система(11.8) линейно независима. От противного. Пусть система (11.8) линейно зависима, т.е. найдутся числаγ1, γ2, . . . , γk такие, что выполняется равенство

γ1b1 + γ2a2 + . . .+ γkak = 0, причем γ21 + γ2

2 + . . .+ γ2k > 0. (11.9)

Ясно, что γ1 6= 0 (если γ1 = 0, то система (a2, . . . , ak) линейно зависима, следовательно, линейно зависимаи система (11.4), противоречие). Разделим последнее равенство на γ1 и подставим в (11.7) вместо b1 еговыражение через a2, . . . , ak . Тогда получим, что a1 выражается через a2, a3, . . . , ak . Снова противоречие.Следовательно, система (11.8) линейно независима. Далее покажем, что G выражается через (11.8). Нетруд-но видеть, что системы (11.4) и (11.8) эквивалентны (в силу равенств (11.6) и (11.7)). Исходя из свойстватранзитивности линейной выражаемости получаем, что система G выражается через систему (11.8). А этозначит, что система (11.8) – базис для системы G.

Рассмотрим вектор b2 и базис (11.8). Поступая, как и выше, можно показать, что система

(b1, b2, a3, . . . , ak)

– базис для системы G и т.д. Через k шагов мы получим, что система (b1, b2, . . . , bk) – базис для G. Нотогда векторы bk+1, . . . , bm линейно выражаются через систему (b1, b2, . . . , bk). Это противоречит тому, чтосистема (11.5) – базис. Значит m ≯ k. �

Следствие 11.6.1. Любые два базиса конечномерного векторного пространства V состоят из одинако-вого количества векторов.

Число векторов в базисе системы G называется рангом этой системы и обозначается rankG.

Если система G совпадает со всем пространством V, то rankG = dim V.

Подсистема G1 системы G называется максимальной линейно независимой, если:1) подсистема G1 линейно независима;2) присоединение к подсистеме G1 любого вектора из системы G дает линейно зависимую систему.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Теорема 11.7. Подсистема G1 системы G является максимальной линейно независимой тогда и толькотогда, когда G1 является базисом системы G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из определения базиса системы векторов и определе-ния максимальной линейно независимой системы. �

Алгоритм нахождения максимальной линейно независимой подсистемы ненулевой системы G

1) Удаляем из исходной системы векторов все нулевые векторы.

2) Помечаем первый ненулевой вектор.

3) Если получившаяся система полностью состоит из помеченных векторов, то процесс заканчиваем ивсе помеченные векторы образуют максимальную линейно независимую подсистему исходной системы,иначе переходим к следующему шагу.

4) Присоединяем к помеченным векторам первый непомеченный вектор рассматриваемой системы. Еслиполучившаяся система векторов линейно независима, то помечаем этот вектор и переходим к шагу 3,иначе этот вектор удаляем из рассматриваемой системы и переходим к шагу 3.

Пример 11.17. Найти какой-либо базис и ранг системы векторов a1 = (1, 0, 0,−1), a2 = (2, 1, 1, 0), a3 = (1, 1, 1, 1),

a4 = (1, 2, 3, 4), a5 = (0, 1, 2, 3).

Решение. Для получения базиса системы применим способ нахождения максимальной линейно независимой подсистемы.Так как рассматриваемая система не содержит нулевых векторов, то помечаем вектор a1. Присоединяем к нему вектор a2 ипроверяем их линейную независимость, составляя равенство α1a1 + α2a2 = 0, которое равносильно системе уравнений

α1 + 2α2 = 0,

α2 = 0,

α2 = 0,

−α1 = 0.

Отсюда следует, что α1 = α2 = 0, т.е. векторы a1, a2 линейно независимы. Помечаем вектор a2 и присоединяем к помеченным

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

векторам вектор a3. Проверяем линейную независимость векторов a1, a2, a3. Равенство α1a1 + α2a2 + α3a3 = 0 эквивалентносистеме уравнений

α1 + 2α2 + α3 = 0,

α2 + α3 = 0,

α2 + α3 = 0,

−α1 + α3 = 0.

Эта система имеет ненулевые решения, например α1 = α3 = 1, α2 = −1. Следовательно, векторы a1, a2, a3 линейно зависимы.Удаляем из системы вектор a3 и переходим к рассмотрению вектора a4. Исследуем линейную независимость векторов a1, a2, a4,

т.е. систему α1 + 2α2 + α4 = 0,

α2 + 2α4 = 0,

α2 + 3α4 = 0,

−α1 + 4α4 = 0.

Из нее следует, что α1 = α2 = α4 = 0. Помечаем вектор a4 и присоединяем к помеченным векторам a1, a2, a4, вектор a5.

Проверяем линейную независимость векторов a1, a2, a4, a5. Из равенства α1a1 + α2a2 + α4a4 + α5a5 = 0 имеемα1 + 2α2 + α4 = 0,

α2 + 2α4 + α5 = 0,

α2 + 3α4 + 2α5 = 0,

−α1 + 4α4 + 3α5 = 0.

Последняя система уравнений имеет ненулевое решение α1 = α4 = −1, α2 = α5 = 1. Поэтому система векторов a1, a2, a4, a5

линейно зависимая. Удаляем из исходной системы вектор a5. Таким образом, в системе остались только три помеченных

вектора a1, a2, a4, которые образуют базис исходной системы векторов. Ранг этой системы равен 3.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.7. Базис n-мерных векторных пространств

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.7. Базис n-мерных векторных пространств

Теорема 11.8. В векторном пространстве Vn любая линейно независимая система из n векторов явля-ется базисом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть(a1, a2, . . . , an) (11.10)

– базис пространства Vn, а(b1, b2, . . . , bn) (11.11)

– произвольная линейно независимая система в Vn. Рассмотрим систему векторов

(a1, a2, a3, . . . , an, b1, b2, . . . , bn). (11.12)

В системе (11.12) система (11.10) является базисом. Покажем, что и система (11.11) – базис для системы(11.12), а из этого, в силу свойства транзитивности линейной выражаемости, следует, что система (11.11)– базис пространства Vn. От противного, пусть система (11.11) не является базисом системы (11.12). Тогдасреди векторов ai (1 6 i 6 n) найдется такой, который линейно не выражается через систему (11.11). Безограничения общности пусть это будет вектор a1. Рассмотрим систему векторов

(a1, b1, b2, . . . , bn). (11.13)

Покажем, что (11.13) линейно независима. От противного. Пусть (11.13) линейно зависима, т.е. найдутсячисла α0, α1, . . . , αn, не все одновременно равные нулю и такие, что выполняется равенство α0a1 + α1b1 +

α2b2 +. . .+αnbn = 0. Если α0 6= 0, то из равенства следует, что вектор a1 выражается через систему (11.11).А это противоречит выбору вектора a1. Следовательно, α0 = 0, а тогда последнее равенство приобретаетвид α1b1 + α2b2 + . . .+ αnbn = 0, причем α2

1 + α22 + . . .+ α2

n > 0. Но это противоречит тому, что (11.11) –линейно независимая система. Итак, (11.13) – линейно независимая система векторов. Но она не являетсябазисом для системы (11.12) (см. теорему 11.6). Следовательно, в этой системе существует вектор, которыйлинейно не выражается через систему (11.13). Пусть это будет вектор a2. Рассмотрим систему

(a1, a2, b1, b2, . . . , bn). (11.14)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

По аналогии с рассмотренным выше показывается, что (11.14) является линейно независимой и не являетсябазисом для системы (11.12), и т.д. Через n шагов мы получим, что (11.12) является линейно независимойи, следовательно, является базисом для самой себя. Это значит, что для системы (11.12) есть два базиса,один из которых состоит из n векторов, а второй – из 2n векторов, а это противоречит теореме 11.6. �

Теорема 11.9. Любая линейно независимая система векторов в пространстве Vn или является базисом,или может быть дополнена до базиса этого пространства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (a1, a2, . . . , ak) – линейно независимая система векторов пространстваVn. Тогда если:

1) k = n, то эта система векторов является базисом пространства Vn (см. теорему 11.8);2) k > n быть не может, так как любая подсистема линейно независимой системы линейно независима,

а это значит, что подсистема (a1, a2, . . . , an) линейно независима и, следовательно, она образовывает базиспространства Vn. Но тогда векторы an+1, . . . , ak линейно выражаются через этот базис, а это противоречитлинейной независимости исходной системы;

3) k < n. Тогда система (a1, a2, . . . , ak) не является базисом пространства Vn, а это значит, что в Vnнайдется вектор, который через нее не выражается. Обозначим этот вектор через ak+1 и дополним исходнуюсистему этим вектором. Если k + 1 = n, то полученная система является базисом пространства Vn. Еслиже k + 1 < n, то дополняем систему вектором ak+2, который через нее не выражается, и т.д. Через n − kшагов мы получим линейно независимую систему, которая и будет базисом пространства Vn. �

Система векторов линейного пространства Vn называется максимальной линейно независимой, если:1) она линейно независима;2) к ней нельзя добавить ни одного вектора из Vn, чтобы полученная система была линейно независимой.

Теорема 11.10. Система векторов пространства Vn является максимальной линейно независимой тогдаи только тогда, когда является базисом этого пространства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство непосредственно следует из определения максимальной ли-нейной независимой системы векторов, определения базиса пространства и теоремы 11.6. �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Из теоремы 11.9 следует метод дополнения некоторой системы векторов пространства Vn до базисаэтого пространства.

Алгоритм построения базиса пространства Vn

Пусть в пространстве Vn уже имеется некоторая система

(a1, a2, . . . , ak), 1 6 k 6 n, (11.15)

линейно независимых векторов. Тогда если:

1) k = n, то система (11.15) – базис пространства Vn;

2) k < n, то в пространстве Vn выберем вектор, который линейно не выражается через векторы системы(11.15) и присоединим его к этой системе. Теперь система состоит из (k+ 1)-го вектора. Если k+ 1 =

n, то построенная система – базис пространства Vn. Если же k + 1 < n, то к этой новой системеприсоединим вектор, который через нее не выражается, и т.д. Через n − k шагов построим базиспространства Vn.

Пример 11.18. Показать, что система векторов (a1, a2), где a1 = (1, 4, 0, 1), a2 = (2, 5, 1, 0), линейно независима впространстве R1,4, и дополнить ее до базиса всего пространства.

Решение. Нетрудно видеть, что система (a1, a2) линейно независима, так как из равенства α1a1 + α2a2 = 0, α1, α2 ∈ R,следует, что α1 = α2 = 0.

Так как число векторов в системе меньше размерности пространства, то система (a1, a2) не образует базис этого про-

странства. Присоединим к системе (a1, a2) вектор, который принадлежит пространству R1,4 и линейно не выражается через

векторы a1, a2. Чтобы найти этот вектор, достаточно, например, сложить векторы a1 и a2 и изменить один из элементов век-

тора суммы (к первому элементу добавим 1). Имеем вектор a3 = (2, 9, 1, 1). Присоединим его к исходной системе, т.е. имеем

систему (a1, a2, a3). Эта система линейно независима в пространстве R1,4. Так как число векторов в ней меньше размерности

пространства, то она опять не является базисом. Присоединим к ней вектор, который линейно через нее не выражается. На-

пример, вектор a4 = (4, 19, 2, 2). Имеем систему векторов (a1, a2, a3, a4). Поскольку число векторов в этой системе совпадает

с размерностью пространства и эта система линейно независима, то она образует базис пространства R1,4.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.8. Координаты вектора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.8. Координаты вектора

Пусть Vn – линейное пространство, а система векторов

E = (e1, e2, . . . , en) (11.16)

– базис этого пространства. Рассмотрим некоторый вектор x из Vn. Тогда система векторов

(x , e1, e2, . . . , en) (11.17)

линейно зависима, т.е. найдутся числа γ0, γ1, γ2, . . . , γn, не все одновременно равные нулю и такие, что

γ0x + γ1e1 + . . .+ γnen = 0.

Ясно, что γ0 6= 0, иначе, в противном случае, система (11.16) линейно зависима. Но тогда из последнегоравенства следует, что

x = x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen. (11.18)

Представление вектора x в виде x = x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen, где E = (e1, e2, . . . , en) – базис пространстваVn, а x i ∈ R, ∀i = 1, n, называется разложением вектора x по базису E, а коэффициенты x1, x2, . . . , xn вэтом разложении – координатами вектора x в этом базисе.

Нетрудно видеть, что разложение (11.18) вектора x по базису (11.16) (по базису E) можно записатьв векторном виде x = EX, где X ∈ Rn,1.

Столбец X, составленный из координат вектора x ∈ Vn в базисе E = (e1, e2, . . . , en) этого пространства,называется координатным столбцом вектора x в базисе E.

Теорема 11.11. Координаты вектора в заданном базисе пространства определены однозначным обра-зом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть наряду с разложением (11.18) вектора x по базису (11.16) существуетдругое разложение вектора x по (11.16) в виде

x = y1e1 + y2e2 + . . .+ ynen. (11.19)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Вычитая из равенства (11.18) равенство (11.19), получаем

0 = (x1 − y1)e1 + (x2 − y2)e2 + . . .+ (xn − yn)en. (11.20)

Так как система векторов (11.16) – базис, то отсюда следует, что xi − yi = 0, т.е. xi = yi , ∀i = 1, n. �

Свойства координат векторовСвойство 1. Вектор является нулевым вектором пространства тогда и только тогда, когда все его

координаты в любом базисе равны нулю.Д о к а з а т е л ь с т в о. Если все координаты вектора x в некотором базисе (e1, e2, . . . , en) равны нулю,

то ясно, что x = 0e1 + 0e2 + . . . + 0en = 0. Обратно, если x = 0 и в некотором базисе (e1, e2, . . . , en)

вектор x = x1e1 + . . . + xnen, то 0 = x1e1 + . . . + xnen. Векторы линейно независимы, следовательно,x1 = x2 = . . . = xn = 0. �

Свойство 2. Два вектора пространства Vn равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующиекоординаты в одном и том же базисе пространства Vn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство производится на основании определения координат вектора иуказанного выше свойства 1. �

Свойство 3. Вектор x является линейной комбинацией векторов x1, x2, . . . , xr тогда и только тогда,когда каждая координата вектора x в некотором базисе пространства Vn является такой же линейной ком-бинацией соответствующих координат векторов x1, x2, . . . , xr в том же базисе пространства Vn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть вектор x представим в виде линейной комбинации век-торов x1, x2, . . . , x r , т.е. имеет вид

x = β1x1 + β2x2 + . . .+ βrx r . (11.21)

И пусть в некотором базисе (e1, e2, . . . , en) векторы x1, x2, . . . , x r и вектор x , в свою очередь, представимыв виде

x i = γ1ie1 + γ2ie2 + . . .+ γnien, (11.22)

x = γ1e1 + γ2e2 + . . .+ γnen. (11.23)

Подставим соотношения (11.22), (11.23) в (11.21). Получим γ1e1 + γ2e2 + . . .+ γnen = β1(γ11e1 + γ21e2 +

. . . + γn1en) + . . . + βr (γ1re1 + γ2re2 + . . . + γnren). Отсюда следует, что 0 = (β1γ11 + β2γ12 + . . . + βrγ1r −

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

γ1)e1 + . . .+ (β1γn1 + β2γn2 + . . .+ βrγnr − γn)en. В силу линейной независимости векторов (e1, e2, . . . , en)

получаем, что γ1 = β1γ11 + β2γ12 + . . .+ βrγ1r ,

γ2 = β1γ21 + β2γ22 + . . .+ βrγ2r ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .γn = β1γn1 + β2γn2 + . . .+ βrγnr .

(11.24)

Достаточность. Пусть координаты векторов x и x i (1 6 i 6 r) в некотором базисе (e1, e2, . . . , en)

связаны соотношениями (11.24). Требуется доказать, что выполняется равенство (11.21). Умножим первоеравенство в (11.24) на вектор e1, второе – на вектор e2 и т.д., последнее – на вектор en и затем всеэти равенства сложим. Получим γ1e1 + γ2e2 + . . . + γnen = (β1γ11 + β2γ12 + . . . + βrγ1r )e1 + (β1γ21 +

β2γ22 + . . . + βrγ2r )e2 + . . . + (β1γn1 + β2γn2 + . . . + βrγnr )en. Далее, используя (11.22), (11.23), имеемx = β1x1 + β2x2 + . . .+ βrx r . �

Пример 11.19. Показать, что векторы e1 = (2, 1,−3), e2 = (3, 2,−5), e3 = (1,−1, 1) образуют базис трехмерногопространства R1,3. Найти координаты вектора x = (6, 2,−7) в этом базисе.

Решение. Покажем, что векторы e1, e2, e3 линейно независимы. Равенство α1e1 +α2e2 +α3e3 = 0 равносильно системелинейных уравнений

2α1 + 3α2 + α3 = 0,

α1 + 2α2 − α3 = 0,

−3α1 − 5α2 + α3 = 0.

(11.25)

Записав систему (11.25) в матричном виде и совершив элементарные преобразования строк, получим 2 3 1

1 2 −1

−3 −5 1

→ 1 2 −1

0 −1 3

0 1 −2

→ 1 2 −1

0 −1 3

0 0 1

.Следовательно, α1 = α2 = α3 = 0, т.е. векторы e1, e2, e3 линейно независимы, поэтому они образуют базис трехмерногопространства. Найдем координаты вектора x в базисе (e1, e2, e3), т.е. коэффициенты разложения

x = β1e1 + β2e2 + β3e3. (11.26)

Равенство (11.26) равносильно системе линейных уравнений2β1 + 3β2 + α3 = 6,

β1 + 2β2 − β3 = 2,

−3β1 − 5β2 + β3 = −7.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Записав эту систему в матричном виде и использовав элементарные преобразования над строками расширенной матрицы,получим 2 3 1 6

1 2 −1 2

−3 −5 1 −7

→ 1 2 −1 2

0 −1 3 2

0 1 −2 −1

→ 1 2 −1 2

0 −1 3 2

0 0 1 1

→ 1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

.Отсюда β1 = β2 = β3 = 1. Таким образом, справедливо разложение x = 1 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3 = (e1, e2, e3)

1

1

1

, т.е. [1, 1, 1]T

– координатный столбец вектора x в базисе (e1, e2, e3).

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.11. Линейные пространства1.11.9. Преобразования координат

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.11.9. Преобразования координат

Пусть Vn – некоторое вещественное линейное пространство, а

E = (e1, e2, . . . , en), (11.27)

E’ = (e ′1, e′2, . . . , e

′n) (11.28)

– два его базиса. И пусть далее x – некоторый вектор пространства Vn, который в базисе (11.27) имеет

координатный столбец X =

x1

x2

. . .

xn

, а в базисе (11.28) – координатный столбец X ′ =

x ′1x ′2. . .

x ′n

. Каксвязаны между собой координатные столбцы X и X ′? Чтобы установить эту зависимость, первоначальноопределим зависимость между базисами (11.27) и (11.28).

Разложим векторы базиса (11.28) по базису (11.27). Пустьe ′1 = α11e1 + α21e2 + . . .+ αn1en,e ′2 = α12e1 + α22e2 + . . .+ αn2en,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .e ′n = α1ne1 + α2ne2 + . . .+ αnnen,

(11.29)

где αi j ∈ R, ∀i , j = 1, n. Обозначим через

S =

α11 α12 . . . α1n

α21 α22 . . . α2n

. . . . . . . . . . . .

αn1 αn2 . . . αnn

матрицу, составленную из координатных столбцов векторов базиса (11.28) в базисе (11.27). Тогда (11.29)можно записать в виде

E’ = E · S. (11.30)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Матрица S, столбцами которой являются координатные столбцы векторов базиса E’ = (e ′1, e′2, . . . , e

′n) в

базисе E = (e1, e2, . . . , en), называется матрицей перехода от базиса E к базису E’.

Так как (11.28) – базис, то матрица S является невырожденной, и следовательно, для нее существуетобратная матрица S−1. Тогда, умножив равенство (11.30) справа на S−1, получим

E = E’ · S−1. (11.31)

Формула (11.31) дает выражение базиса (11.27) через базис (11.28). А это значит, что S−1 – матрицаперехода от базиса (11.28) к базису (11.27).

Далее, с одной стороны, x = EX, а с другой стороны, x = E’X ′. Отсюда EX = E’X ′. В силу формулы(11.30), имеем EX = ESX ′ или

E(X − SX ′) = 0. (11.32)

Из равенства (11.32) следует, что X − SX ′ – координатный столбец нулевого вектора в базисе (11.27). Этозначит, что этот столбец нулевой, т.е. X − SX ′ = 0⇔

X = SX ′ (11.33)

или x1 = α11x

′1 + α12x

′2 + . . .+ α1nx

′n,

x2 = α21x′1 + α22x

′2 + . . .+ α2nx

′n,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xn = αn1x

′1 + αn2x

′2 + . . .+ αnnx

′n.

(11.34)

Формулы (11.33) или (11.34) выражают зависимость между координатами вектора x в базисах (11.27) и(11.28) – его координатный столбец в базисе (11.27) получается из координатного столбца в базисе (11.28)умножением слева на матрицу перехода от базиса (11.27) к базису (11.28). Из формулы (11.31) получаетсятакже выражение X ′ через X :

X ′ = S−1X, (11.35)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

т.е. выражение координат вектора x в "новом"базисе (11.28) через его координаты в "старом"базисе(11.27).

Пример 11.20. Пусть вектор x в базисе (e1, e2, e3) имеет координатный столбец X =

1

−3

1

. Требуется найти коорди-

наты вектора x в базисе (e ′1, e′2, e′3), где e ′1 = 2e1 + e3, e ′2 = 6e2 − e3, e ′3 = 5e1 + 3e2.

Решение. Найдем матрицу перехода S от базиса (e1, e2, e3) к базису (e ′1, e′2, e′3).

Исходя из формулы (11.29), имеем

S =

2 0 5

0 6 3

1 −1 0

.Но тогда искомые координаты находим по формуле (11.35). А именно координатный столбец вектора x в базисе (e ′1, e

′2, e′3)

имеет вид

X ′ = S−1X =

−

1

8

5

24

5

4

−1

8

5

24

1

41

4−

1

12−

1

2

1

−3

1

=

1

2

−1

2

0

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.12. Изоморфизм линейных пространств x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.12. Изоморфизм линейных пространств

1.12.1.Определение и простейшие свойства изоморфизма1.12.2.Критерий изоморфизма

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.12. Изоморфизм линейных пространств1.12.1. Определение и простейшие свойства изоморфизма

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.12.1. Определение и простейшие свойства изоморфизма

Рассмотрим два линейных пространства V и V ′ над полем P (P = R или P = C).

Биективное линейное отображение пространства V в пространство V ′ называется изоморфным отображе-нием пространства V в пространство V ′.

Если такое изоморфное отображение существует, то говорят, что пространство V изоморфно про-странству V ′, и пишут V ∼= V ′.

Свойство 1. V ∼= V ;

Свойство 2. Если V ∼= V ′, то V ′ ∼= V ;

Свойство 3. Если V ∼= V ′ и V ′ ∼= V ′′, то V ∼= V ′′.

Из свойств 1-3 следует, что множество всех линейных пространств над одним и тем же полем P

разбивается на классы изоморфных между собой пространств.Свойство 4. При изоморфизме линейно независимая система векторов переходит в линейно незави-

симую систему векторов.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

(a1, a2, . . . , ak) (12.1)

– линейно независимая система векторов в пространстве V над полем P, а f – изоморфное отображениепространства V в пространство V ′.

Покажем, что система векторов (f (a1), . . . , f (ak)) линейно независима в пространстве V ′.От противного. Пусть (f (a1), . . . , f (ak)) – линейно зависимая система векторов в пространстве V ′.

Тогда существуют αi ∈ P, ∀i = 1, k,k∑i=1

|αi |2 > 0 и такие, чтоk∑i=1

αi f (ai) = 0V ′ . Так как отображение f

линейно, то изk∑i=1

αi f (ai) = 0V ′ следует, что

f( k∑i=1

αiai)

= 0V ′ . (12.2)

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.12. Изоморфизм линейных пространств1.12.1. Определение и простейшие свойства изоморфизма

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Учитывая, что f – биективное отображение, то для него существует обратное биективное отображение f −1

пространства V ′ в пространство V. Применим f −1 к равенству (12.2). Получаем

f −1(f (

k∑i=1

αiai)) = f −1(0V ′)⇔ e(

k∑i=1

αiai) = 0V ⇒k∑i=1

αiai = 0V , (12.3)

гдеk∑i=1

|αi |2 > 0. Из (12.3) следует, что система (12.1) линейно зависима. Противоречие. Следовательно,

система векторов (f (a1), . . . , f (ak)) линейно независима в пространстве V ′. �Следствие 12.0.1. При изоморфизме базис переходит в базис.Следствие 12.0.2. Размерности изоморфных пространств равны.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.12. Изоморфизм линейных пространств1.12.2. Критерий изоморфизма

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.12.2. Критерий изоморфизма

Теорема 12.1 (критерий изоморфизма линейных пространств). Два линейных пространства над одними тем же полем P изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Очевидным образом следует из следствия 12.0.2.Достаточность. Пусть размерность двух линейных пространств dim V = dim V ′ = n и система векторов

(e1, e2, . . . , en) (12.4)

– базис пространства V, а система векторов

(e ′1, e′2, . . . , e

′n) (12.5)

– базис пространства V ′.Рассмотрим некоторый вектор x ∈ V и разложим его по базису (12.4)

x = x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen,

где xi ∈ P, ∀i = 1, n.

Тогда на основании свойства 2 линейных отображений линейных пространств, существует единствен-ное линейное отображение f : V → V ′, определенное формулой

f (x) = x1e ′1 + . . .+ xne ′n (12.6)

и такое, что f (e i) = e ′i , ∀i = 1, n.

Покажем, что отображение f , определяемое формулой (12.6), является изоморфным отображением.Докажем первоначально, что f – инъекция. Наряду с вектором x ∈ V рассмотрим вектор y ∈ V (y 6= x) иразложим его по базису (12.4)

y = y1e1 + y2e2 + . . .+ ynen, yi ∈ P, ∀i = 1, n.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.12. Изоморфизм линейных пространств1.12.2. Критерий изоморфизма

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Так как y 6= x , то их координаты различны. А тогда из (12.6) следует, что f (x) 6= f (y).

Докажем, что f – сюръекция. Рассмотрим y ′ ∈ V ′. Разложим y ′ по базису (12.5)

y ′ = y ′1e′1 + y ′2e

′2 + . . .+ y ′ne

′n,

где y ′i ∈ P, ∀i = 1, n. Но тогда вектор y ′1e1 + y ′2e2 + . . .+ y ′nen ∈ V и f (y ′1e1 + . . .+ y ′nen) = y ′. Значит, V ∼= V ′.

�

Следствие 12.1.1. При фиксированном поле P и размерности n существует единственное, с точностьюдо изоморфизма, линейное пространство Vn над полем P. А именно, любое n-мерное линейное пространствонад полем R изоморфно арифметическому пространству Rn,1 – столбцов длины n над полем R или арифме-тическому пространству R1,n – строк длины n над полем R. А всякое n-мерное линейное пространство надполем C изоморфно арифметическому пространству Cn,1 либо C1,n над полем C.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.13. Ранг матрицы x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.13. Ранг матрицы

1.13.1.Определение ранга матрицы1.13.2.Теорема о ранге матрицы и следствия из нее1.13.3.Элементарные преобразования матрицы и ее ранг1.13.4.Линейная зависимость, независимость векторов и ранг матрицы

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.13. Ранг матрицы1.13.1. Определение ранга матрицы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.13.1. Определение ранга матрицы

Рассмотрим произвольную m × n – матрицу

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

(13.1)

над множеством P, где P = R или P = C. Строки этой матрицы – векторы арифметического пространстваP1,n строк длины n, поэтому можно говорить об их линейной зависимости или независимости.

Рангом матрицы A называется ранг системы ее строк.

Ранг матрицы A обозначается rankA или rangA.Пример 13.1. rankOm,n = 0.

Пример 13.2. rank(

1 2 3

2 4 6

)= 1.

Пример 13.3. rankEn = rank

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

. . .0 0 . . . 1

= n.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.13. Ранг матрицы1.13.2. Теорема о ранге матрицы и следствия из нее

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.13.2. Теорема о ранге матрицы и следствия из нее

Теорема 13.1 (теорема о ранге матрицы). Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных отнуля ее миноров.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть наибольший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен r.Будем считать для определенности, что отличный от нуля минор R r -го порядка матрицы A расположен влевом верхнем углу:

A =

a11 a12 . . . a1r a1,r+1 . . . a1n

a21 a22 . . . a2r a2,r+1 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ar1 ar2 . . . ar r ar,r+1 . . . arn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amr am,r+1 . . . amn

.

Введем обозначения для строк матрицы A :

q1 = (a11, a12, . . . , a1n),

q2 = (a21, a22, . . . , a2n),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .qm = (am1, am2, . . . , amn).

И покажем, что первые r строк, т.е. система (q1, . . . , qr ), образуют базис всей системы строк (q1, . . . , qm).

Докажем первоначально, что строки q1, q2, . . . , qr линейно независимы.Пусть

α1q1 + α2q2 + . . .+ αrqr = 0, αi ∈ P. (13.2)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Равенство (13.2) равносильно системе равенств

α1a11 + α2a21 + . . .+ αrar1 = 0,

α1a12 + α2a22 + . . .+ αrar2 = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .α1a1r + α2a2r + . . .+ αrar r = 0,

α1a1,r+1 + α2a2,r+1 + . . .+ αrar,r+1 = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .α1a1n + α2a2n + . . .+ αrarn = 0.

Рассмотрим первые r равенств, которые можно рассматривать как линейную однородную систему rуравнений относительно неизвестных α1, . . . , αr . Поскольку R 6= 0, то по правилу Крамера следует, чтоα1 = α2 = . . . = αr = 0, т.е. строки q1, q2, . . . , qr линейно независимы. Дальше требуется доказать, что всеостальные строки линейно выражаются через систему (q1, q2, . . . , qr ). Если матрица A содержит r строк,то это утверждение очевидно.

Пусть r < n. Рассмотрим определитель

∆sj =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1r a1j

a21 a22 . . . a2r a2j

. . . . . . . . . . . . . . .

ar1 ar2 . . . ar r ar jas1 as2 . . . asr asj

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(r+1)-го порядка, который получается, если присоединить к минору R строку (as1, as2, . . . , asr , asj) и столбец

a1j

a2j

. . .

ar jasj

, r < s 6 m, j = 1, n.

Ясно, что∆sj = 0 (13.3)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

(ибо, если j 6 r, то ∆sj содержит два одинаковых столбца; если же j > r, то ∆sj = 0, так как ∆sj –минор (r + 1)-го порядка, а наибольший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен r). Разложимопределитель ∆sj по элементам последнего столбца

0 = ∆sj = a1jA(s)1 + a2jA

(s)2 + . . .+ ar jA

(s)r + asjR, (13.4)

где A(s)i – алгебраическое дополнение элемента ai j в определителе ∆sj , причем A

(s)i не зависит от ”j а зависит

от ”s”. Так как R 6= 0, то из (13.4) следует

asj = −1

R(a1jA

(s)1 + a2jA

(s)2 + . . .+ ar jA

(s)r ), j = 1, n, (13.5)

а следовательно

qs = −1

R(A

(s)1 q1 + A

(s)2 q2 + . . .+ A

(s)2 qr ), r < s 6 m.

�

Следствия из теоремы о ранге матрицы

Следствие 13.1.1. rankA = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю.Следствие 13.1.2. Для матрицы A 6= Om,n размеров m × n имеет место неравенство 1 6 rankA 6

min{m, n}.Следствие 13.1.3. Для квадратной матрицы n-го порядка rankA = n тогда и только тогда, когда мат-

рица невырожденная.Следствие 13.1.4. Ранг матрицы не изменяется при ее транспонировании.Следствие 13.1.5. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов.

Метод окаймления миноров

При доказательстве теоремы о ранге не использовалось равенство нулю всех миноров матрицы, по-рядки которых больше r. Использовано только равенство нулю всех миноров r + 1-го порядка, которые

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

окаймляют отличный от нуля минор r -го порядка (т.е. содержат его целиком внутри себя). Уже из равен-ства нулю только этих миноров следует, что r – ранг матрицы.

Отсюда имеем один из методов вычисления ранга матрицы. Этот метод называется метод окаймленияминоров.

Суть метода окаймления миноров состоит в следующем: при вычислении ранга матрицы следует пере-ходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор R r -го порядка,отличный от нуля, то нужно вычислять лишь те миноры (r + 1)-го порядка, которые окаймляют минор R.Если они все равны нулю, то ранг матрицы A равен r.

Если же среди них есть хотя бы один отличный от нуля, то переходим к минорам (r + 2)-го порядка,которые окаймляют этот отличный от нуля минор r+1-го порядка. Если все они равны нулю, то rankA = r+1.

В противном случае переходим к следующему шагу.

Любой отличный от нуля минор R порядка r = rankA называется базисным минором матрицы A.

Пример 13.4. Методом окаймления миноров вычислить ранг матрицы

A =

1 4 6 6

−1 0 2 1

2 1 −2 0

2 5 6 7

.Решение. Среди миноров первого порядка есть отличный от нуля, например ∆1 = |1|. Среди окаймляющих его миноров

второго порядка есть отличный от нуля, например ∆2 =

∣∣∣∣ 1 4

−1 0

∣∣∣∣ . Среди миноров, окаймляющих минор ∆2, есть ненулевой

минор третьего порядка, например

∆3 =

∣∣∣∣∣∣1 4 6

−1 0 1

2 1 0

∣∣∣∣∣∣ .Так как единственным минором, окаймляющим минор ∆3, является определитель матрицы A, причем равный нулю, то rankA =

3.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.13. Ранг матрицы1.13.3. Элементарные преобразования матрицы и ее ранг

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.13.3. Элементарные преобразования матрицы и ее ранг

Теорема 13.2. Если матрица B получена из матрицы A при помощи элементарных преобразований, тоrankB = rankA.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ранг матрицы не изменяется при транспонировании, то достаточнорассмотреть лишь элементарные преобразования строк. Пусть

(q1, q2, . . . , qm) (13.6)

– система строк матрицы A, и матрица B получена из A при помощи первого элементарного преобразования,т.е. какая-нибудь строка, например первая, умножается на α (α ∈ P, α 6= 0):

(αq1, q2, . . . , qm). (13.7)

Очевидно, что система (13.6) эквивалентна системе (13.7), и следовательно, на основании теоремы 11.5ранги их равны, а это значит, что rankB = rankA.

Пусть β ∈ P и матрица B получена при помощи второго элементарного преобразования. Например,матрица B получена из матрицы A путем прибавления к первой строке второй, умноженной на элемент β,т.е. матрица B имеет систему строк

(q1 + βq2, q2, . . . , qm). (13.8)

Ясно, что система (13.8) линейно выражается через систему (13.6). Но и система (13.6) линейно выражаетсячерез систему (13.8), так как q1 = (q1 + βq2)− βq2. Таким образом, система (13.8) эквивалентна системе(13.6), а следовательно, ранг системы (13.6) равен рангу системы (13.8), т.е. rankB = rankA. �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Теорема 13.3. Любую матрицу A ранга r можно элементарными преобразованиями привести к виду

1 0 0 . . . 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 1 . . . 0

0 0 0 . . . 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 0 . . . 0

, (13.9)

где число 1 в последней повторяется r раз.Д о к а з а т е л ь с т в о. Если A = Om,n, то A имеет вид (13.9) и ее ранг равен нулю. Пусть A 6= Om,n.

Переставим строки и столбцы этой матрицы так, чтобы в левом верхнем углу оказался не равный нулюэлемент. Итак, a11 6= 0. Умножим первую строку на a−1

11 и применим к строкам и столбцам достаточноочевидные элементарные преобразования. В результате получим

A ∼

1 a′12 . . . a′1na21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

am1 am2 . . . amn

∼

1 a′12 . . . a′1n0 a′22 . . . a′2n. . . . . . . . . . . .

0 a′m2 . . . a′mn

∼

1 0 . . . 0

0 a′22 . . . a′2n. . . . . . . . . . . .

0 a′m2 . . . a′mn

и т.д.

Через конечное число шагов мы придем к матрице вида (13.9). Ранг этой матрицы равен числу содер-жащихся в ней единиц. Так как ранг не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы, то числоединиц в матрице (13.9) равно r. �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Метод элементарных преобразований для нахождения ранга матрицы

Исходя из теоремы 13.3 имеем второй способ вычисления ранга матрицы. Суть этого способа состоитв следующем: при помощи элементарных преобразований исходная матрица A приводится к виду (13.9).Число единиц в последней равно рангу матрицы A.

Пример 13.5. При помощи элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

A =

25 31 17 43 10

75 94 53 132 30

75 94 54 134 30

25 32 20 48 10

.Решение. Прибавив ко второй строке первую, умноженную на −3, к третьей – первую, умноженную на −3, к четвертой

– первую, умноженную на −1, получим

A ∼

25 31 17 43 10

0 1 2 3 0

0 1 3 5 0

0 1 3 5 0

.Прибавив к четвертой строке третью, умноженную на −1, а затем к третьей – вторую строку, умноженную на −1, к первой –вторую, умноженную на −31, получим

A ∼

25 0 −45 −50 10

0 1 2 3 0

0 0 1 2 0

0 0 0 0 0

.Прибавив ко второй стоке третью, умноженную на −2, к первой – третью, умноженную на 45, и удалив из последней матрицынулевую (четвертую) строку, получим

A ∼

25 0 0 40 10

0 1 0 −1 0

0 0 1 2 0

.Умножив первую строку на

1

25, получим частично мономиальную матрицу

A ∼

1 0 0 85

25

0 1 0 −1 0

0 0 1 2 0

.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Нетрудно видеть, что последняя матрица эквивалентна матрице 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

,ранг которой равен 3. Следовательно, rankA = 3.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.13. Ранг матрицы1.13.4. Линейная зависимость, независимость векторов и ранг матрицы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.13.4. Линейная зависимость, независимость векторов и ранг матрицы

Рассмотрим следующую задачу: в некотором фиксированном базисе линейного пространства Vn заданыкоординатные столбцы X1, X2, . . . , Xm векторов x1, x2, . . . , xm.Определить, является ли система (x1, . . . , xm)

указанных векторов линейно зависимой или нет. Из свойства 3 координат векторов следует, что наличиелинейной зависимости между векторами равносильно такой же линейной зависимости между их координат-ными столбцами. Поэтому векторы x1, x2, . . . , xm линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейнозависимы столбцы X1, X2, . . . , Xm. Пусть

Xi =

α1i

α2i

...αni

, i = 1, m. (13.10)

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы (13.10) векторов x1, . . . , xm :

A =

α11 α12 . . . α1m

α21 α22 . . . α2m

. . .αn1 αn2 . . . αnm

.Вычислим ее ранг. Если:

1) rankA = m, то векторы x1, . . . , xm линейно независимы;2) rankA < m, то выделяем какой-нибудь базисный минор и векторы, координатные столбцы которых

входят в этот базисный минор, будут линейно независимыми. Они образуют максимальную независимуюподсистему системы (x1, . . . , xm), т.е. образуют базис этой системы векторов.

Следствие 13.3.1. Для того чтобы n векторов линейного пространства Vn были линейно независи-мы, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этихвекторов, был отличен от нуля.

Пример 13.6. Выяснить, является ли система векторов (x + 4, 3x2−1, 2x2 + 4x) линейно зависимой в пространстве R2[x ]

всех многочленов степени не больше 2.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.13. Ранг матрицы1.13.4. Линейная зависимость, независимость векторов и ранг матрицы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Решение. Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов рассмотренной системы вканоническом базисе (1, x, x2) этого пространства. Имеем

A =

4 −1 0

1 0 4

0 3 2

.Вычислим ранг матрицы A. Используя метод окаймления миноров, получаем, что rankA = 3.Отсюда следует, что координатные

столбцы векторов системы линейно независимы, а следовательно, линейно независима и исходная система многочленов в

пространстве R2[x ].

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.14. Линейное отображение x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.14. Линейное отображение

Пусть множество P = R(P = C) и пусть V, V ′ – два вещественных (комплексных) линейных простран-ства.

Отображение f : V → V ′ называется линейным, если для любых двух векторов x1, x2 ∈ V и любого числаλ ∈ P справедливы равенства:1) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2);

2) f (λx1) = λf (x1).

Система условий 1), 2) равносильна, очевидно, условию, что

f (λ1x1 + λ2x2) = λ1f (x1) + λ2f (x2),

для любых векторов x1, x2 пространства V и любых чисел λ1, λ2 ∈ P.

Примеры линейных отображений

Пример 14.1. Тождественное отображение e : V → V пространства V в себя, определяемое формулой e(x) = x , ∀x ∈ V,является линейным отображением.

Пример 14.2. Нулевое отображение 0 : V → {0}, определяемое формулой O(x) = 0, является линейным отображением.

Пример 14.3. В пространстве V3 свободных векторов фиксируем какой-либо базис. Тогда любому вектору x ∈ V3 можно

поставить в соответствие координатный столбец X =

x1

x2

x3

, X ∈ R3,1. И следовательно, формулой f (x) = X определяется

линейное отображение f : V3 → R3,1.

Пример 14.4. Формулой f (x) = x1 + ix2, x ∈ V3, x → X =

x1

x2

x3

∈ R3,1, определяется линейное отображение

пространства V3 в пространство комплексных чисел над полем R.

xНазад

xВперёд


Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Свойства линейных отображений

Свойство 1. Если f : V → V ′, ϕ : V ′ → V ′′ – линейные отображения, то и отображение ϕ ◦ f : V → V ′′,

определяемое формулой(ϕ ◦ f )(x) = ϕ(f (x)), ∀x ∈ V,

является линенйым.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a, b ∈ V, α, β ∈ P. Тогда (ϕ ◦ f )(αa + βb) = ϕ(f (αa + βb)) = ϕ(αf (a) +

βf (b)) = αϕ(f (a)) + βϕ(f (b)) = α(ϕ ◦ f )(a) + β(ϕ ◦ f )(b). �Свойство 2. Пусть V = Vn и V ′ – два линейных пространства, и пусть

(e1, e2, . . . , en) (14.1)

– базис пространства V, а(a1, a2, . . . , an) (14.2)

– произвольная система векторов пространства V ′. Тогда существует единственное линейное отображениеf : V → V ′, при котором

f (ei) = ai , i = 1, n. (14.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x – произвольный вектор пространства Vn. Тогда

x = x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen, (14.4)

где xi , i = 1, n, – координаты вектора x в базисе (14.1). Определим отображение f формулой

f (x) = x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan. (14.5)

Нетрудно видеть, что f (e i) = ai . Покажем, что f – линейное отображение. Пусть y ∈ V, а λ, µ – некоторыечисла. Разложим вектор y по базису (14.1), получим

y = y1e1 + y2e2 + . . .+ ynen. (14.6)

xНазад

xВперёд


Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Тогда вектор λx + µy имеет координаты λxi + µyi , i = 1, n, и, значит,

f (λx + µy) =

n∑i=1

(λxi + µyi)ai = λ

n∑i=1

xiai + µ

n∑i=1

yiai = λf (x) + µf (y).

Таким образом, f – линейное отображение. Докажем его единственность. От противного. Пусть существуетеще одно линейное отображение ϕ : V → V ′ – такое линейное отображение, что ϕ(e i) = ai , i = 1, n. Есливектор x имеет в базисе (14.1) координаты x1, x2, . . . , xn, то

ϕ(x) = ϕ(

n∑i=1

xie i) =

n∑i=1

xiϕ(e i) =

n∑i=1

xiai = f (x), ∀x ∈ V.

Отсюда, на основании определения равенства отображений, следует, что ϕ = f . �Свойство 3. Если f : V → V ′ – линейное отображение, а 0V , 0V ′ – нулевые векторы пространств V и

V ′ соответственно, тогдаf (0V ) = 0V ′ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. f (0V ) = f (0 · a) = 0 · f (a) = 0V ′ , ∀a ∈ V. �Свойство 4. Если f : V → V ′ – линейное отображение и a ∈ V, то

f (−a) = −f (a).

Д о к а з а т е л ь с т в о. f (−a) + f (a) = f (−1 ·a) + f (a) = f ((−1)a + a) = f (0V ) = 0V ′ . Отсюда следует,что f (−a) = −f (a), ∀a ∈ V. �

Свойство 5. Пусть f : V → V ′ – линейное отображение. Если

(a1, a2, . . . , ak) (14.7)

– линейно зависимая система векторов пространства V, то линейно зависима и система векторов

(f (a1), f (a2), . . . , f (ak)) (14.8)

xНазад

xВперёд


Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

пространства V ′. При этом сохраняются все линейные соотношения между векторами. Более точно, если

b = α1a1 + α2a2 + . . .+ αkak , (14.9)

для некоторых чисел αi , i = 1, k, то

f (b) = α1f (a1) + α2f (a2) + . . .+ αk f (ak). (14.10)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку система векторов (a1, a2, . . . , ak) линейно зависима, то существуютчисла βi , i = 1, k, не все одновременно равные нулю, и такие, что выполняется равенство

β1a1 + β2a2 + . . .+ βkak = 0V .

Отсюда f (β1a1 + β2a2 + . . . + βkak) = f (0V ) ⇔ β1f (a1) + β2f (a2) + . . . + βk f (ak) = 0V ′ . Следовательно,система векторов (14.8) линейно зависима. Доказательство того, что из равенства (14.9) следует (14.10),производится аналогичным образом. �

Свойство 6. Если f : V → V ′ – линейное отображение и Q – подпространство пространства V, то f (Q)

– подпространство пространства V ′ и dim f (Q) 6 dimQ. В частности, f (V ) – подпространство пространстваV ′ и dim f (V ) 6 dim V.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть c , d ∈ f (Q), α, β ∈ P. Это значит, что найдутся векторы a, b ∈ Q

такие, что f (a) = c , f (b) = d . Но тогда c = f (a), d = f (b), a, b ∈ Q и f (αa + βb) = αf (a) + βf (b) =

αc + βd . Так как αa + βb ∈ Q, то f (αa + βb) = αc + βd ∈ f (Q). Пусть (e1, e2, . . . , ek) – базис Q, т.е.Q = L(e1, e2, . . . , ek) ⇒ f (Q) = L(f (e1), f (e2), . . . , f (ek)). Если система (f (e1), f (e2), . . . , f (ek)) линейнонезависима, то dim f (Q) = k = dimQ, в противном случае dim f (Q) 6 dimQ. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15. Линейные операторы

1.15.1.Определение и примеры1.15.2.Матрица линейного оператора1.15.3.Действия над линейными операторами1.15.4.Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису1.15.5.Подобные матрицы1.15.6.Ранг и дефект линейного оператора1.15.7.Собственные векторы1.15.8.Характеристическая матрица. Характеристический многочлен1.15.9.Подпространство собственных векторов1.15.10.Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.1. Определение и примеры

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.1. Определение и примеры

Пусть P – множество действительных (комплексных) чисел и V – вещественное (комплексное) линей-ное пространство.

Линейное отображение f пространства V в себя, т.е. f : V → V, называется линейным оператором (линей-ным преобразованием) пространства V.

Примеры линейных операторов.Пример 15.1. Нулевое линейное отображение 0 : V → V, определяемое для каждого вектора a пространства V формулой

0(a) = 0.Пример 15.2. Пусть λ – некоторое фиксированное число. Определим образ каждого вектора x пространства V формулой

f (x) = λx . Тогда f – линейный оператор, который называется оператором подобия.Линейность следует из соотношений

f (αa + βb) = λαa + λβb = αf (a) + βf (b), ∀a, b ∈ V, α, β ∈ P.

Пример 15.3. В пространстве V3 геометрических векторов поворот на угол α вокруг одной из осей, проектирование

параллельно одной из осей являются линейными операторами.

Пример 15.4. В пространстве P [x ] (пространство всех многочленов) отображение f : P [x ]→ P [x ], определяемое форму-

лой f (ϕ(x)) = ϕ′(x), ϕ(x) ∈ P [x ], является линейным оператором.Пример 15.5. Рассмотрим Pn,n – пространство квадратных матриц порядка n над множеством P.

Тогда отображение f : Pn,n → Pn,n определяемое формулой f (A) = AT , является линейным оператором в этом линейном

пространстве.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.2. Матрица линейного оператора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.2. Матрица линейного оператора

Пусть f – линейный оператор пространства Vn, а

(e1, e2, . . . , en) (15.1)

– базис этого пространства. Найдем образы базисных векторов (15.1) при отображении f

(f (e1), f (e2), . . . , f (en)) (15.2)

и разложим их по базису (15.1). Имеемf (e1) = a11e1 + a21e2 + . . .+ an1en,f (e2) = a12e1 + a22e2 + . . .+ an2en,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f (en) = a1ne1 + a2ne2 + . . .+ annen.

(15.3)

Составим матрицу

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

, (15.4)

столбцами которой служат координатные столбцы векторов системы (15.2) в базисе (15.1).

Матрица, составленная из координатных столбцов образов базисных векторов при линейном отображенииf пространства Vn в себя, записанных в том же базисе этого пространства, называется матрицей линейногооператора f в рассматриваемом базисе пространства Vn.

Таким образом, каждому линейному оператору пространства Vn в заданном базисе этого пространствасоответствует некоторая квадратная матрица порядка n. Справедливо и обратное: всякой матрице порядка n

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

при фиксированном базисе пространства Vn можно поставить в соответствие некоторый линейный операторэтого пространства.

Пусть теперь x – произвольный вектор пространства Vn, а x1, x2, . . . , xn – координаты этого вектора вбазисе (15.1), т.е. имеет место разложение

x = x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen, xi ∈ P, ∀i = 1, n. (15.5)

Найдем координаты y1, y2, . . . , yn вектора y = f (x) в том же базисе (15.1).С одной стороны, имеем

y = f (x) = y1e1 + y2e2 + . . .+ ynen. (15.6)

С другой стороны,

y = f (x) = f (x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen) = x1f (e1) + x2f (e2) + . . .+ xnf (en) =

= x1(a11e1 + a21e2 + . . .+ an1en) + x2(a12e1 + . . .+ an2en) + . . .+ xn(a1ne1+

+ . . .+ annen) = (a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn)e1 + (a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn)e2+

+ . . .+ (an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn)en.

(15.7)

Сравнивая это выражение с равенством (15.6), получимy1 = a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn,

y2 = a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .yn = an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn.

(15.8)

Соотношения (15.8) выражают зависимость между координатами образа и прообраза одного и тогоже вектора при линейном преобразовании f .

Отметим, что систему соотношений (15.8) можно записать в матричном виде

Y = AX, (15.9)

где X =

x1

x2

...xn

, Y =

y1

y2

...yn

, X, Y ∈ Pn,1.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Примеры нахождения матрицы линейного оператора

Пример 15.6. Нулевой оператор 0 : Vn → Vn, определяемый формулой 0(x) = 0. Пусть (e1, e2, . . . , en) – базис Vn.

Тогда 0(e i ) = 0, ∀i = 1, n. По свойствам линейных пространств 0 = 0 · e1 + 0 · e2 + . . . + 0 · en. Следовательно, столб-

цами матрицы A нулевого линейного оператора являются нулевые координатные столбцы

0

0...0

. Отсюда следует, что

A =

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0

, т.е. матрица нулевого линейного оператора пространства Vn в любом базисе этого пространства

является нулевой матрицей.

Пример 15.7. Тождественный оператор e : Vn → Vn, определяемый формулой e(x) = x . Нетрудно видеть, что A = En –

единичная матрица порядка n.

Пример 15.8. Оператор подобия, определяемый формулой f (x) = λx . Тогда A =

λ 0 . . . 0

0 λ . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . λ

= λEn.

Пример 15.9. Показать, что преобразование f пространства V3, действующее по правилу f (x) = [a, [x , b]], ∀x ∈ V3, гдеa = 2i + 4j − k; b = i − j + k, является линейным, и найти его матрицу в базисе (i , j , k).

Решение. Используя свойства векторного произведения, получаем f (x +y) = [a, [x +y , b]] = [a, [x , b]+[y , b]] = [a, [x , b]]+

[a, [y , b]] = f (x) + f (y) для любых x , y из V3, а также f (αx) = [a, [αx , b]] = [a, α[x , b]] = α[a, [x , b]] = αf (x) для любого α ∈ R иx ∈ V3. Итак, преобразование f линейно. Для нахождения матрицы A надо вычислить векторы f (i), f (j), f (k). Сначала найдемкоординаты вектора f (i) = [a, [i , b]]. Поскольку

[i , b] =

∣∣∣∣∣∣i j k1 0 0

1 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −j − k,

постольку

f (i) = [a,−j − k] =

∣∣∣∣∣∣i j k2 4 −1

0 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −5i + 2j − 2k.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Аналогично f (j) = −4i + j − 4k, f (k) = i − j − 2k. Поэтому

A =

−5 −4 1

2 1 −1

−2 −4 −2

.Пример 15.10. Доказать, что преобразование f (x1, x2, x3) = (x1 +x2, 2x2, 2x1 +x2 +x3) пространства R1,3 линейно, и найти

его матрицу в каноническом базисе ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) этого пространства.Решение. Исходное преобразование запишем в виде f (X) = XB, где X = (x1, x2, x3) и

B =

1 0 2

1 2 1

0 0 1

.Отсюда, используя дистрибутивность умножения матриц относительно сложения, для любых двух матриц-строк X, Y ∈ R1,3

имеем f (X+ Y ) = (X+ Y )B = XB+ Y B = f (X) + f (Y ). Аналогично для любого α ∈ R и X ∈ R1,3 получаем f (αX) = (αX)B =

α(XB) = αf (X). Далее, так как f (1, 0, 0) = (1, 0, 2), f (0, 1, 0) = (1, 2, 1), f (0, 0, 1) = (0, 0, 1), то матрица A оператора f вканоническом базисе ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) пространства R1,3 имеет вид

A =

1 1 0

0 2 0

2 1 1

= BT .

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.3. Действия над линейными операторами

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.3. Действия над линейными операторами

Пусть Vn – вещественное (комплексное) пространство. Множество всех линейных операторов этогопространства обозначим символом Hom(Vn, Vn).

Пусть f , ϕ ∈ Hom(Vn, Vn).

Два линейных оператора f и ϕ называются равными и это обозначается f = ϕ, если f (x) = ϕ(x) длялюбого x ∈ Vn.

Пусть далее оператор f имеет в базисе (15.1) матрицу A = (ai j , i , j = 1, n), а оператор ϕ имеет матрицуB = (bi j , i , j = 1, n).

Теорема 15.1. Для того чтобы два линейных оператора были равны, необходимо и достаточно, чтобыони имели в заданном базисе равные матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть f = ϕ. Тогда на основании равенства операторов вы-

полняется равенство f (x) = ϕ(x) для любого x ∈ Vn. В частности f (e i) = ϕ(e i), т.е.n∑j=1

aj ie j =n∑j=1

bj ie j , для

любого i , 1 6 i 6 n. Отсюда следует, чтоn∑j=1

(aj i − bj i)e j = 0. Так как (15.1) – базис, то ai j = bi j для любого

i , j = 1, n, т.е. A = B.

Достаточность. Следует из соотношения (15.7), которое записывается для f (x) и ϕ(x) для любогоx ∈ Vn, и равенства матриц A и B. �

Суммой двух линейных операторов f и ϕ ∈ Hom(Vn, Vn) называется отображение ψ : Vn → Vn, определяемоеформулой ψ(x) = f (x) + ϕ(x) для любого x ∈ Vn.

Сумма линейных операторов f и ϕ обозначается f + ϕ.

Теорема 15.2. Сумма двух линейных операторов f и ϕ есть линейный оператор. Матрица суммы ли-нейных операторов в некотором базисе равна сумме матриц этих операторов в этом же базисе.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что f + ϕ ∈ Hom(Vn, Vn). Пусть a, b ∈ Vn, α, β ∈ P. Тогда

(f +ϕ)(αa + βb) = f (αa + βb) +ϕ(αa + βb) = αf (a) + βf (b) +αϕ(a) + βϕ(b) = α(ϕ+ f )(a) + β(ϕ+ f )(b).

Докажем вторую часть теоремы. Действительно, имеем

ψ(e i) = f (e i) + ϕ(e i) =

n∑j=1

aj ie j +

n∑j=1

bj ie j =

n∑j=1

(aj i + bj i)e j =

n∑j=1

cj ie j ,

где ci j = ai j + bi j и ci j , ∀i , j = 1, n, – элементы матрицы C = A+ B. �

Произведением линейного оператора f на число λ называется отображение ψ : Vn → Vn, определяемоеформулой

ψ(x) = λ · f (x), ∀x ∈ Vn.

Это произведение обозначается λf .

Теорема 15.3. Произведение линейного оператора f на число λ есть линейный оператор. Матрицейэтого оператора является матрица λA, где A – матрица оператора f в некотором базисе пространства Vn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.2. �

Произведением двух линейных операторов f , ϕ ∈ Hom(Vn, Vn) называется отображение ψ : Vn → Vn, опре-деляемое формулой

ψ(x) = f [ϕ(x)], ∀x ∈ Vn.

Произведение операторов f , ϕ обозначается f ϕ или f ◦ ϕ.

Теорема 15.4. Произведение двух линейных операторов является линейным оператором. Матрица про-изведения линейных операторов в некотором базисе равна произведению матриц этих операторов в том жебазисе.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.2. �

Пример 15.11. Пусть линейный оператор f пространства многочленов степени не больше 2 имеет в базисе G = (1, x, x2)

матрицу

Af =

0 0 1

0 1 1

1 1 1

,а оператор g в базисе H = (1, x − 1, (x − 1)2) – матрицу

Bg =

0 1 0

1 0 1

0 1 0

.Найти матрицы линейных операторов f ◦ g, f + g, 5f в базисе H.

Решение. Обозначим искомые матрицы через Bf ◦g , Bf+g , B5f . Сначала найдем матрицу Bf оператора f в базисе H, азатем воспользуемся тем, что согласно теоремам 15.2, 15.3, 15.4 матрицы Bf ◦g = BfBg , Bf+g = Bf + Bg , B5f = 5Bf . Длянахождения матрицы Bf ищем матрицу перехода S от базиса G к базису H, для чего выражаем векторы базиса H через векторыбазиса G : 1 = 1 · 1 + 0 · x + 0 · x2, x − 1 = −1 · 1 + 1 · x + 0 · x2, (x − 1)2 = 1 · 1− 2 · x + 1 · x2. Располагая полученные координатыв столбцы, образуем матрицу S :

S =

1 −1 1

0 1 −2

0 0 1

.Так как Bf = S−1Af S (см. формулу (15.16)), то матрицу Bf можно найти, решив матричное уравнение SBf = Af S. В силутого, что

Af S =

0 0 1

0 1 1

1 1 1

1 −1 1

0 1 −2

0 0 1

=

0 0 1

0 1 −1

1 0 0

,составляем расширенную матрицу для вышеуказанного уравнения и решаем его методом Гаусса:

[S|Af S] =

1 −1 1 0 0 1

0 1 −2 0 1 −1

0 0 1 1 0 0

→ 1 −1 0 −1 0 1

0 1 0 2 1 −1

0 0 1 1 0 0

→ 1 0 0 1 1 0

0 1 0 2 1 −1

0 0 1 1 0 0


Bf =

1 1 0

2 1 −1

1 0 0

.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Наконец, вычисляем искомые матрицы

Bf ◦g = BfBg =

1 1 0

2 1 −1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 0

=

1 1 1

1 1 1

0 1 0

,

Bf+g = Bf + Bg =

1 1 0

2 1 −1

1 0 0

+

0 1 0

1 0 1

0 1 0

=

1 2 0

3 1 0

1 1 0

,B5f = 5Bf =

5 5 0

10 5 −5

5 0 0

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.4. Матрица линейного оператора при переходе к новому базису

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.4. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть f – линейный оператор пространства Vn, а A и B – его матрицы соответственно в базисах

E = (e1, e2, . . . , en), (15.10)

E′ = (e ′1, e′2, . . . , e

′n). (15.11)

Как связаны между собой матрицы A и B? Связь между базисами (15.10) и (15.11) предполагается задан-ной, т.е. задана матрица S – матрица перехода от базиса (15.10) к базису (15.11).

Пусть вектор x линейного пространства Vn имеет координатный столбец X =

x1

x2

...xn

в базисе (15.10)

и координатный столбец X ′ =

x ′1x ′2...x ′n

в базисе (15.11). Пусть далее вектор y = f (x), который является

образом вектора x при отображении f , имеет координатный столбец Y =

y1

y2

...yn

в базисе (15.10), а в

базисе (15.11) – Y ′ =

y ′1y ′2...y ′n

.Тогда, с одной стороны, исходя из соотношения (15.9), имеем равенства

Y = AX, (15.12)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Y ′ = BX ′. (15.13)

С другой стороны, учитывая, что S – матрица перехода от базиса (15.10) к базису (15.11), имеем

X = SX ′, (15.14)

Y = SY ′. (15.15)

Умножив равенство (15.14) слева на матрицу A, получим AX = ASX ′, или, учитывая (15.12) и (15.15),получаем SY ′ = ASX ′. Отсюда Y ′ = S−1ASX ′. Сравнивая последнее равенство с (15.13), имеем

B = S−1AS. (15.16)

Таким образом, если матрица A – матрица оператора f в базисе (15.10), а S – матрица переходаот базиса (15.10) к базису (15.11), то матрица B оператора f в базисе (15.11) может быть найдена изсоотношения (15.16).

Верно обратное. Пусть A – матрица линейного оператора f в базисе (15.10), S – произвольная невы-рожденная матрица и такая, что B = S−1AS. Если (15.11) – такой базис пространства Vn, что S – матрицаперехода от (15.10) к (15.11), то в силу формулы (15.16) матрица B – матрица оператора f в базисе (15.11).

Отсюда получаем теорему.

Теорема 15.5. Две квадратные матрицы A и B n-го порядка тогда и только тогда являются матрица-ми некоторого линейного оператора f пространства Vn, когда существует невырожденная матрица S n-гопорядка такая, что выполняется равенство B = S−1AS.

Следствие 15.5.1. Если линейный оператор имеет в некотором базисе невырожденную матрицу, то ив любом другом базисе матрица этого оператора является невырожденной.

Пример 15.12. Пусть f – линейный оператор пространства V3 (пространства свободных геометрических векторов) – имеетв ортонормированном базисе G = (i , j , k) своей матрицей матрицу

A =

1 1 0

0 1 1

−1 0 1

.Найти матрицу B этого преобразования в базисе H = (i + 2j + k, 2i + j − k, i − j + 3k).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Решение. Для нахождения матрицы B первоначально найдем матрицу S перехода от базиса G к базису H :

S =

1 2 1

2 1 −1

1 −1 3

.Учитывая, что B = S−1AS, перепишем это соотношение в виде

SB = AS.

В результате имеем матричное уравнение относительно неизвестной матрицы B. Вычисляем матрицу AS и решаем затем этоматричное уравнение, привлекая метод Гаусса:

AS =

3 3 0

3 0 2

0 −3 2

, 1 2 1 3 3 0

2 1 −1 3 0 2

1 −1 3 0 −3 2

∼ 1 2 1 3 3 0

0 −3 −3 −3 −6 2

0 −3 2 −3 −6 2

∼∼

1 2 1 3 3 0

0 −3 −3 −3 −6 2

0 0 5 0 0 0

∼ 3 0 0 3 −3 4

0 −3 0 −3 −6 2

0 0 1 0 0 0


B =1

3

3 −3 4

3 6 −2

0 0 0

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.5. Подобные матрицы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.5. Подобные матрицы

Говорят, что квадратная матрица B порядка n подобна матрице A порядка n, если существует невырож-денная матрица S такая, что

B = S−1AS.

Матрица S в этом случае называется трансформирующей матрицей, т.е. матрицей, переводящей (транс-формирующей) матрицу A в матрицу B.

Замечание 15.1. Исходя из теоремы 15.5 две матрицы A и B являются матрицами одного и того же линейногооператора тогда и только тогда, когда они подобны.

Замечание 15.2. Существуют специальные методы построения трансформирующей матрицы S, переводящейматрицу A в матрицу B (см., например, учебное пособие [?, c.255]). Одним из самых простых, но трудоемких с вы-числительной точки зрения, является метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода состоит в решенииматричного уравнения SB = AS при условии, что элементы матрицы S = (si j , i , j = 1, n) определяются после пере-множения слева и справа соответствующих матриц и сравнения их друг с другом. В результате получаем системуn2 линейных однородных уравнений относительно переменных si j , i , j = 1, n. Отметим, что матрица S определяетсянеоднозначным образом.

Свойства подобия матриц.

Свойство 1. Матрица A всегда подобна A.Д о к а з а т е л ь с т в о. A = E−1

n AEn. �Свойство 2. Если B подобна A, то и A подобна B.Д о к а з а т е л ь с т в о. B = S−1AS ⇒ SBS−1 = (SS−1)A(SS−1) ⇒ SBS−1 = EnAEn ⇒ A = SBS−1.

Положим S−1 = T. Тогда A = T−1BT. �Свойство 3. Если A подобна B, B подобна C, то A подобна C.Д о к а з а т е л ь с т в о. A = S−1BS, B = T−1CT ⇒ A = S−1T−1CTS ⇒ A = (TS)−1C(TS) ⇒ A =

Q−1CQ, где Q = TS. �Свойство 4. Единичная матрица E подобна лишь самой себе.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.5. Подобные матрицы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. S−1EnS = En. �Свойство 5. Скалярная матрица λE подобна лишь самой себе.Д о к а з а т е л ь с т в о. S−1(λEn)S = λS−1EnS = λ(S−1S) = λEn. �Свойство 6. Определители подобных матриц равны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A подобна B, т.е. A = S−1BS ⇒ detA = det(S−1BS)⇔ detA = detS−1.

detB · detS. Учитывая, что detS−1 =1

detS, имеем detA = detB. �

Свойство 7. Ранги подобных матриц равны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из того, что эти матрицы являются матрицами одного

и того же линейного оператора, записанными в разных базисах пространства, и ранг каждой их них равенрангу этого оператора. �

Свойство 8. Характеристические многочлены подобных матриц равны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B = S−1AS. Тогда det(B − λEn) = det(S−1AS − λEn) = det(S−1AS −

S−1λEnS) = det(S−1(A−λEn)S) = det(S−1) ·det(A−λEn) ·detS =1

detS·det(A−λEn) ·detS = det(A−λEn).

�

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.6. Ранг и дефект линейного оператора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.6. Ранг и дефект линейного оператора

Рассмотрим линейное пространство Vn и f : Vn → Vn – линейный оператор в Vn.Известно, что множество f (Vn) является подпространством пространства Vn (см. свойство 6 линейных

отображений), т.е. f (Vn) ⊆ Vn.

Размерность подпространства f (Vn) называется рангом линейного оператора и обозначается rankf .

Теорема 15.6. Ранг линейного оператора f пространства Vn равен рангу его матрицы, записанной внекотором базисе этого пространства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если система (e1, e2, . . . , en) – базис пространства Vn, то Vn = L(e1, e2, . . . , en).Отсюда следует, что f (Vn) = L(f (e1), f (e2), . . . , f (en))⇒ dimf (Vn) = rank(f (e1), f (e2), . . . , f (en)) = rankA,где матрица A – матрица линейного оператора в базисе (e1, e2, . . . , en). �

Следствие 15.6.1. Ранги подобных матриц равны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из того, что эти матрицы являются матрицами одного

и того же линейного оператора, записанными в разных базисах пространства, и ранг каждой их них равенрангу этого преобразования. �

Следствие 15.6.2. f (Vn) = Vn ⇔ rankf = n ⇔ detA 6= 0.

Если ранг оператора f равен n, то линейный оператор называется невырожденным или неособенным, еслиранг оператора f меньше n, то он называется вырожденным или особенным.

Множество всех векторов x ∈ Vn таких, что f (x) = 0, называется ядром линейного оператора f .

Ядро линейного оператора f обозначается Kerf или f −1(0).

Теорема 15.7. Kerf – подпространство пространства Vn.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a, b ∈ Kerf , α, β ∈ P. Покажем, что αa + βb ∈ Kerf . Действительно,

имеем f (αa + βb) = αf (a) + βf (b) = 0. Тогда на основании определения подпространства множество Kerfявляется подпространством пространства Vn. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.6. Ранг и дефект линейного оператора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Размерность ядра линейного оператора f называется дефектом оператора f и обозначается deff .

Теорема 15.8. Сумма ранга и дефекта линейного оператора f векторного пространства Vn равна раз-мерности этого пространства, т.е. rankf + deff = dim Vn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим векторное пространство Vn, f – линейный оператор в Vn, а системавекторов

(e1, e2, . . . , en) (15.17)

– базис Vn. Пусть оператор f в базисе (15.17) имеет матрицу A. Обозначим через X координатный столбецпроизвольного вектора x ∈ Vn, а Y – координатный столбец вектора y = f (x). Тогда

Y = AX. (15.18)

Так как Kerf = {x |f (x) = 0}, то из (15.18) имеем

O = AX. (15.19)

Уравнение (15.19) – однородное матричное уравнение. Пространство решений этого уравнения (15.19) имеетразмерность n − rankA. С другой стороны, размерность этого подпространства равна dim Kerf . Отсюдаследует, что n − rankA = deff ⇒ rankf + deff = dim Vn. �

Следствие 15.8.1. Kerf = {0} ⇔ rankf = n.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.7. Собственные векторы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.7. Собственные векторы

Ненулевой вектор u ∈ Vn называется собственным вектором линейного оператора f , если существует числоλ ∈ P такое, что выполняется равенство

f (u) = λu.

Число λ называется собственным значением (собственным числом) оператора f .

Замечание 15.3. Собственный вектор u и собственное значение λ называются соответствующими друг другу .

Множество всех собственных значений оператора f называется спектром этого оператора.

Примеры

Пример 15.13. Все ненулевые векторы из ядра Kerf – собственные векторы линейного оператора f , соответствующие

нулевому собственному значению.

Пример 15.14. При тождественном преобразовании все ненулевые векторы пространства – собственные с собственным

значением, равным единице.

Пример 15.15. Если f – оператор подобия, определяемый формулой f (x) = αx , α ∈ P, то все ненулевые векторы

пространства Vn – собственные векторы с собственным значением α.

Свойства собственных векторов

Свойство 1. Каждому собственному вектору линейного оператора соответствует единственное соб-ственное значение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ1 и λ2 – собственные значения, соответствующие собственному век-

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

тору u оператора f . Тогда f (u) = λ1u1, f (u) = λ2u ⇒ λ1u = λ2u, или (λ1−λ2)u = 0. Так как u – ненулевойвектор, то λ1 = λ2. �

Замечание 15.4. Утверждение, обратное свойству 1, неверно. Каждому собственному значению оператора fсоответствует бесконечное множество собственных векторов.

Свойство 2. Если u – собственный вектор линейного оператора f с собственным значением λ и α –любое отличное от нуля число, то αu также собственный вектор оператора f с собственным значением λ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f (u) = λu, то отсюда следует, что f (αu) = αf (u) = αλu = λ(αu). �Свойство 3. Если u1, u2 – собственные векторы линейного оператора f с одним и тем же собственным

значением λ, то u1 +u2 либо нулевой вектор, либо также собственный вектор этого оператора с собственнымзначением λ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. f (u1) = λu1, f (u2) = λu2. Пусть u1 +u2 6= 0. Тогда f (u1 +u2) = f (u1)+f (u2) =

λ(u1 + u2). �Следствие 15.8.2. Если u1, u2, . . . , uk – собственные векторы линейного оператора f с одним и тем же

собственным значением λ, то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов является собствен-ным вектором этого оператора с собственным значением λ.

Свойство 4. Собственные векторы линейного оператора, соответствующие разным собственным зна-чениям, линейно независимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть линейный оператор f имеет собственные значения λ1, λ2, . . . , λk , причемλi 6= λj , i 6= j. Обозначим через u i собственный вектор, соответствующий собственному значению λi .

Покажем, что система векторов (u1, u2, . . . , uk) линейно независима.Воспользуемся методом математической индукции. Если k = 1, то теорема очевидна (система, со-

стоящая из одного ненулевого вектора, всегда линейно независима). Пусть теорема верна для системы,состоящей из k − 1 векторов. Докажем, что теорема верна для системы, состоящей из k векторов.

От противного. Предположим, что система векторов (u1, u2, . . . , uk) линейно зависима. Отсюда сле-

дует, что существуют числа αi ∈ P, i = 1, k,k∑i=1

α2i > 0, такие, что

k∑i=1

αiu i = 0. (15.20)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Применим к равенству (15.20) оператор f . Тогда f(

k∑i=1

αiu i

)= f (0) ⇒

k∑i=1

αi f (u i) = 0. Поскольку u i –

собственный вектор оператора f с соответствующим собственным значением λi , то выполняется равенствоf (u i) = λiu i . Но тогда

k∑i=1

αiλiu i = 0. (15.21)

Умножим равенство (15.20) на λm и вычтем его из (15.21). Получим

k−1∑i=1

αi(λi − λk)u i = 0. (15.22)

По предположению векторы u1, u2, . . . , uk−1 линейно независимы, из (15.22) следует, что αi(λi−λk) = 0, длялюбого i = 1, k − 1. Так как по условию все λi различны, то λi−λk 6= 0, а следовательно, αi = 0, i = 1, k − 1.

Но тогда из (15.20) следует также, что αk = 0 (uk – ненулевой вектор). Противоречие. �Следствие 15.8.3. Если линейный оператор f линейного пространства Vn имеет n различных собствен-

ных значений, то в пространстве Vn существует базис, состоящий из собственных векторов оператора f .

Линейный оператор в пространстве Vn называется оператором простой структуры, если в пространстве Vnсуществует базис из собственных векторов этого оператора.

Теорема 15.9 (критерий оператора простой структуры). Линейный оператор f пространства Vn явля-ется оператором простой структуры тогда и только тогда, когда в некотором базисе этого пространстваматрица оператора f является диагональной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть f – оператор простой структуры пространства Vn. Тогдав пространстве Vn существует базис

(u1, u2, . . . , un) (15.23)

из собственных векторов этого оператора с соответствующими собственными значениями λ1, λ2, . . . , λn.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Найдем матрицу оператора f в базисе (15.23). Для этого, исходя из определения матрицы линейного опе-ратора, разложим образы векторов базиса (15.23) при отображении f по базису (15.23). Имеем

f (u1) = λ1u1,

f (u2) = λ2u2,

. . . . . . . . . . . . .f (un) = λnun.

Но тогда матрица оператора f имеет вид A =

λ1 0 . . . 0

0 λ2 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . λn

, т.е. является диагональной.

Достаточность. Если в каком-либо базисе пространства Vn линейный оператор f имеет диагональ-ную матрицу, то базисные векторы являются собственными векторами с соответствующими собственнымизначениями, расположенными на главной диагонали этой матрицы. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.8. Характеристическая матрица. Характеристический многочлен

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.8. Характеристическая матрица. Характеристический многочлен

Как найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора (если они существуют)?Пусть

(e1, e2, . . . , en) (15.24)

– базис пространства Vn, а f – линейный оператор в Vn, который имеет в базисе (15.24) матрицу A. Обозна-чим через U координатный столбец собственного вектора u оператора f в базисе (15.24). Тогда из равенстваf (u) = λu следует, что

AU = λU, (15.25)

или(A− λEn)U = 0, (15.26)

где En – единичная матрица.Таким образом, координатный столбец собственного вектора u и соответствующее ему собственное

значение λ удовлетворяют матричному уравнению (15.25) или (15.26). Известно, что уравнение (15.26)имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

det(A− λEn) = 0, (15.27)

т.е. ∣∣∣∣∣∣∣∣a11 − λ a12 . . . a1n

a21 a22 − λ . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (15.28)

Матрица (A− λEn) называется характеристической матрицей линейного оператора f (матрицы A).

Многочлен ϕ(λ) = det(A − λEn) называется характеристическим многочленом оператора f (характе-ристическим многочленом матрицы A). Иногда характеристическим многочленом называют многочленϕ(λ) = det(λEn − A).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Уравнение det(A − λEn) = 0 называется характеристическим уравнением оператора f (характеристиче-ским уравнением матрицы A). Корни характеристического уравнения над множеством C (C – множествокомплексных чисел) называются характеристическими числами оператора f (матрицы A).

Замечание 15.5. Таким образом, любое собственное значение линейного оператора f является характеристи-ческим числом. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. не всякое характеристическое число являетсясобственным значением. А именно: характеристическое число является собственным значением оператора f про-странства Vn, если оно принадлежит тому множеству (множеству R или множеству C), над каким из них рассматри-вается векторное пространство (вещественное или комплексное пространство), в котором действует оператор f .

Свойства характеристического многочлена

Свойство 1. Характеристический многочлен полураспавшейся матрицы равен произведению характе-ристических многочленов ее диагональных клеток.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица A =

(A1 O

B A2

)– полураспавшаяся матрица. Рассмотрим

характеристическую матрицу A− λEn :

A− λEn =

(A1 − λE′ O

B A2 − λE′′),

где E′, E′′ – единичные матрицы соответствующих размерностей. По теореме Лапласа имеем ϕ(λ) = det(A−λEn) = det(A1 − λE′) · det(A2 − λE′′). �

Свойство 2. Характеристические многочлены подобных матриц равны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B = S−1AS. Тогда det(B − λEn) = det(S−1AS − λEn) = det(S−1AS −

S−1λEnS) = det(S−1(A−λEn)S) = det(S−1) ·det(A−λEn) ·detS =1

detS·det(A−λEn) ·detS = det(A−λEn).

�Следствие 15.9.1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора

базиса векторного пространства.Исследуем характеристический многочлен

ϕ(λ) = det(A− λEn) = (−1)nλn + α1λn−1 + . . .+ αn−1λ+ αn.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Нетрудно видеть, что α1 = (−1)n−1(a11 + a22 + . . .+ ann) = (−1)n−1trA, где trA – след матрицы A, а

αn = ϕ(0) = detA. (15.29)

Из равенства (15.29) следует следующее утверждение.

Теорема 15.10. Линейный оператор является невырожденным тогда и только тогда, когда его харак-теристический многочлен не имеет нулевых корней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. r = n ⇔ detA 6= 0⇔ ϕ(0) 6= 0. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.9. Подпространство собственных векторов

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.9. Подпространство собственных векторов

Теорема 15.11. Множество всех собственных векторов линейного преобразования f пространства Vn,отвечающих данному собственному значению λ0, вместе с нулевым вектором этого пространства образуетлинейное подпространство пространства Vn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r – рангматрицы A− λ0En.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из того, что ненулевые координатные столбцы соб-ственных векторов, отвечающих собственному значению λ0, и координатный столбец нулевого вектора яв-ляются решениями однородного матричного уравнения (A− λ0E)U = 0. �

Подпространство собственных векторов, соответствующих собственному значению λ0, обозначаетсяLλ0 .

Теорема 15.12. Пусть λ0 есть k-кратное собственное число оператора f . Тогда соответствующее емуподпространство Lλ0 собственных векторов имеет размерность не больше k, т.е. dimLλ0 6 k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия теоремы следует, что характеристический многочлен ϕ(λ) линей-ного оператора f можно представить в виде

ϕ(λ) = (λ− λ0)kψ(λ), (15.30)

где ψ(λ0) 6= 0.

Пусть данному собственному значению λ0 соответствует l (1 6 l 6 n) линейно независимых соб-ственных векторов (u1, u2, . . . , u l). Выберем новый базис пространства Vn. Дополним систему векторов

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

(u1, u2, . . . , u l) до базиса пространства Vn, т.е. (u1, u2, . . . , u l , e l+1, e l+2, . . . , en). Найдем образы базисныхвекторов при линейном отображении f и разложим их по рассматриваемому базису. Имеем

f (u1) = λ0u1,

f (u2) = λ0u2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f (u l) = λ0u l ,

f (e l+1) =l∑j=1

aj,l+1u j +n∑

i=l+1

ai ,l+1e i ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f (en) =l∑j=1

ajnu j +n∑

i=l+1

aine i .

На основании свойства 2 для характеристических многочленов имеем

ϕ(λ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λ0 − λ 0 . . . 0

0 λ0 − λ . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . λ0 − λ

C

O D(λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Вычислим определитель по теореме Лапласа, тогда

ϕ(λ) = (λ0 − λ)l |D(λ)| = (λ0 − λ)lq(λ). (15.31)

Сравнивая (15.30) и (15.31), имеем l 6 k. �

Теорема 15.13 (критерий оператора простой структуры). Линейный оператор f n-мерного простран-ства V является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда каждое характеристическоечисло матрицы этого оператора является собственным значением и любому его собственному значениюλi

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

кратности ki соответствует подпространство собственных векторов Lλi размерности ki , т.е. ki = dimLλi =

n − rank(A− λiEn).

Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений линейного оператора f влинейном пространстве Vn

1) Рассматриваем какой-либо базис пространства Vn и находим матрицу линейного оператора f в этомбазисе.

2) Составляем характеристическое уравнение det(A− λEn) = 0 и вычисляем его корни λ1, λ2, . . . , λn,

т.е. характеристические числа.3) Из всех корней λ1, . . . , λn выбираем лишь те, которые принадлежат основному множеству, т. е.

множеству, над которым рассматривается векторное пространство. Если это комплексное пространство, товсе λ1, . . . , λn суть собственные значения оператора f . Если же пространство Vn является вещественным,то только вещественные корни будут собственными значениями оператора f .

4) В системе (15.26) полагаем λ равным одному из собственных значений и находим ее ненулевыерешения.

5) Найденные ненулевые решения уравнения являются координатными столбцами базисных собствен-ных векторов, соответствующих рассматриваемому собственному значению.

Пример 15.16. Найти собственные векторы линейного оператора f вещественного линейного пространства R3,1, заданногов некотором базисе этого пространства матрицей

A =

1 −4 −8

−4 7 −4

−8 −4 1

.Решение. Характеристическое уравнение данного оператора имеет вид

−λ3 + 9λ2 + 81λ− 729 = 0.

Вычисляем характеристические числа и их кратности: λ1 = 9, k1 = 2; λ2 = −9, k2 = 1. Так как характеристическиечисла являются действительными, то они являются собственными значениями этого оператора.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Чтобы найти координатные столбцы базиса подпространства Lλ1– подпространства собственных векторов, отвечающих

собственному значению λ1, полагаем в уравнении (A− λE3)U = 0 λ равным 9. Имеем −8 −4 −8

−4 −2 −4

−8 −4 −8

U =

0

0

0

.Решая это матричное уравнение, находим столбцы U1 = [1, −2, 0]T , U2 = [0, −2, 1]T , которые являются координатнымистолбцами базиса подпространства Lλ1

. Но тогда Lλ1= L(U1, U2). Другими словами говоря, любой вектор αU1 + βU2 = α

−2α− 2β

β

, где α и β – произвольные действительные числа и такие, что α2 + β2 > 0, является собственным вектором

оператора f , отвечающим собственному значению λ1 = 9.

Аналогично находим координатный столбец U3 = [2, 1, 2]T базиса подпространства Lλ2.А это значит, что множество

всех собственных векторов, отвечающих собственному значению λ2 = −9, имеет вид γU3 =

2γ

γ

2γ

, γ ∈ R, γ 6= 0.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.15. Линейные операторы1.15.10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.15.10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора

Пусть P – поле комплексных (действительных) чисел, а α – произвольный элемент из P.

Квадратная матрица порядка k вида

Jk(α) =

α 1 0 . . . 0 0

0 α 1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . α 1

0 0 0 . . . 0 α

называется клеткой Жордана порядка k.

Например,

J1(α) = [α], J2(0) =

[0 1

0 0

], J3(−8) =

−8 1 0

0 −8 1

0 0 −8

.Квазидиагональная матрица

J = diag{Jk1 (α1), Jk2 (α2), . . . , Jks (αs)},

на диагонали которой расположены клетки Жордана, называется жордановой матрицей.

Замечание 15.6. Заметим, что в жордановой матрице J элементы α1, α2, . . . , αs не обязательно должны бытьразличными.

Теорема 15.14 (теорема Жордана). Всякая квадратная матрица A порядка n над полем C – полем ком-плексных чисел – подобна некоторой жордановой матрице, причем последняя определяется единственнымобразом с точностью до порядка следования клеток Жордана на главной диагонали.

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в учебном пособии [?, c.263].

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Замечание 15.7. Отметим, что если все характеристические числа матрицы A ∈ Rn,n являются действитель-ными, то матрица A подобна над полем R некоторой вещественной матрице J (см. пример 15.17).

Жорданова матрица J ∈ Pn,n, подобная матрице A ∈ Pn,n, называется жордановой нормальной формойматрицы A.

Алгоритм построения жордановой нормальной формы заданной матрицы A над полем комплексныхчисел

1) Составляем характеристическое уравнение det(A− λEn) = 0 матрицы A.

2) Вычисляем характеристические числа λi и их кратности ki .3) Каждому характеристическому числу λi кратности ki соответствует число клеток Жордана, равное

размерности подпространства Lλi – подпространства собственных векторов, отвечающих характеристиче-скому числу λi . А это значит, что число всех клеток Жордана в жордановой нормальной форме матрицы A

равноs∑i=1

dimLλi =s∑i=1

(n − rank(A − λiEn)), где λ1, λ2, . . . , λs – все попарно различные характеристические

числа матрицы A.

4) Число lm(λi) клеток Жордана порядка m, отвечающих характеристическому числу λi , определяетсяпо формуле

lm(λi) = rank(A− λiEn)m−1 − 2 rank(A− λiEn)m + rank(A− λiEn)m+1. (15.32)

5) Каждому характеристическому числу λi ставим в соответствие клетку (клетки) Жордана порядкаm, т.е. клетку (клетки) вида Jm(λi).

6) Из клеток Жордана Jm(λi) составляем квазидиагональную матрицу J.Для построения трансформирующей матрицы S, переводящей исходную матрицу A к ее жордановой

нормальной форме J, т.е. для построения матрицы S такой, что выполняется равенство J = S−1AS, можноиспользовать метод, изложенный в замечании (15.2).

Пример 15.17. Для матрицы A =

0 1 0

−4 4 0

−2 1 2

построить жорданову нормальную форму.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Решение. Так как характеристическая матрица матрицы A имеет вид

A− λE3 =

−λ 1 0

−4 4− λ 0

−2 1 2− λ

,то имеем характеристическое уравнение

(λ− 2)3 = 0.

Откуда находим единственное характеристическое число λ1 = 2 кратности k1 = 3, которое является вещественным. А этозначит, исходная матрица A подобна вещественной жордановой матрице.

Найдем число клеток Жордана, соответствующих характеристическому числу λ1. Так как ранг матрицы

A− λ1E3 =

−2 1 0

−4 2 0

−2 1 0

равен единице, то число клеток Жордана в жордановой нормальной форме равно (3− rank(A− λ1E3)) = 3− 1 = 2.

В силу этого, учитывая, что размерность матрицы равна 3, можно не пользоваться формулой (15.32), чтобы опре-

делить размерность этих клеток. Ясно, что матрица J имеет один из следующих двух видов: J =

2 0 0

0 2 1

0 0 2

либо J =

2 1 0

0 2 0

0 0 2

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.16. Евклидово пространство

1.16.1.Определение. Примеры1.16.2.Длина вектора. Основные неравенства1.16.3.Ортогональные векторы1.16.4.Матрица скалярного произведения1.16.5.Ортогональные матрицы и их свойства1.16.6.Изометрические преобразования1.16.7.Симметрические преобразования

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.1. Определение. Примеры

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.16.1. Определение. Примеры

Вещественное линейное пространство Vn называется евклидовым пространством, если любой паре a, bвекторов этого пространства поставлено в соответствие действительное число, которое обозначается ab ∈R, называется скалярным произведением, и при этом выполняются аксиомы:1◦. ab = ba, ∀a, b ∈ Vn;

2◦. для любой тройки векторов a, b, c ∈ Vn имеет место равенство (a + b)c = ac + bc ;

3◦. для ∀a, b ∈ Vn и ∀λ ∈ R верно равенство (λa)b = λ(ab);

4◦. для ∀a ∈ Vn aa > 0, причем aa = 0⇔ a = 0.

Замечание 16.1. Иногда скалярное произведение векторов a и b обозначается < a, b > либо (a, b).

Примеры евклидовых пространств

Пример 16.1. Пространство V3 свободных геометрических векторов является евклидовым пространством со скалярным

произведением ab = |a||b| cos(a, b).

Пример 16.2. Пространство R1,n строк длины n над полем R со скалярным произведением, определяемым формулой

(α1, α2, . . . , αn)(β1, β2, . . . , βn) =

n∑i=1

αiβi .

Пример 16.3. Бесконечномерное линейное пространство C([a, b]) всех вещественных функций, непрерывных на отрезке[a, b], со скалярным произведением, определяемым формулой

f g =

b∫a

(f (x)g(x))dx.

Теорема 16.1. Во всяком конечномерном вещественном линейном пространстве может быть заданоскалярное произведение, т.е. любое вещественное пространство можно превратить в евклидово.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Vn – вещественное линейное пространство и

(e1, e2, . . . , en) (16.1)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

– его базис. Тогда каждый вектор пространства Vn единственным образом разлагается по векторам (16.1).Для произвольной пары a и b векторов пространства Vn положим

ab =

n∑i=1

xiyi , (16.2)

где

a =

n∑i=1

xie i , b =

n∑i=1

yie i , xi , yi ∈ R, ∀i = 1, n.

Покажем, что произведение, определяемое формулой (16.2), скалярное произведение. Действительно,

ba =

n∑i=1

yixi =

n∑i=1

xiyi = ab.

Если

c =

n∑i=1

zie i ,

то

(a + b)c =

n∑i=1

(xi + yi)zi =

n∑i=1

xizi +

n∑i=1

yizi = ac + bc .

Далее, для λ ∈ R

(λa)b =

n∑i=1

(λxi)yi = λ

n∑i=1

xiyi = λ(ab).

Наконец,

aa =

n∑i=1

x2i > 0; aa = 0⇔ a = 0.

�

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Простейшие свойства скалярного произведения

Свойство 1. Для любых векторов a, b, c евклидова пространства Vn верно равенство

c(a + b) = ca + cb.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Это следует из аксиом 1◦ и 2◦ скалярного произведения. �Свойство 2. Для любого вещественного числа λ и каждой пары a и b векторов евклидова пространства

Vna(λb) = λ(ab).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из аксиом 1◦ и 3◦. �Свойство 3. Для каждого вектора a ∈ Vn верны равенства

0a = (0 · a)a = 0(aa) = 0.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.2. Длина вектора. Основные неравенства

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.16.2. Длина вектора. Основные неравенства

Пусть a – произвольный вектор евклидова пространства. Число√

aa =√

a2 называется длиной вектора aи обозначается |a|.

Нетрудно видеть, что для длины вектора верны следующие свойства:Свойство 1. |a| > 0; |a| = 0⇔ a = 0;

Свойство 2. |λa| = |λ||a|, ∀λ ∈ R.

Углом между векторами a и b назовем любое действительное число ϕ, удовлетворяющее условию

cosϕ =ab|a| · |b| . (16.3)

Теорема 16.2 (неравенство Коши–Шварца–Буняковского).Для любых векторов a и b евклидова пространства верно неравенство

|ab| 6 |a||b|. (16.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что (αa + b)2 = (αa + b)(αa + b) = α2a2 + 2α(ab) + b2 > 0 для ∀ α ∈ R.Но для любого α ∈ R это неравенство выполняется, если его дискриминант меньше или равен 0, т.е.(ab)2 − a2b2 6 0⇔ (ab)2 6 a2b2 ⇔ (ab)2 6 |a|2|b|2 ⇔ |ab| 6 |a||b|. �

Замечание 16.2. Если a и b линейно зависимы, то

|ab| = |a||b|.

Теорема 16.3 (неравенство треугольника). Длина суммы двух векторов евклидова пространства непревосходит суммы длин слагаемых, т.е.

|a + b| 6 |a|+ |b|, ∀a, b ∈ Vn.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. |a + b|2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 6 |a|2 + 2|a| · |b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 ⇔|a + b| 6 |a|+ |b|. �

Следствие 16.3.1. Рассмотрим арифметическое пространство R1,n строк длины n, т.е. R1,n = {(α1, α2, . . . , αn) |αi ∈R}. Скалярное произведение векторов в этом пространстве определим формулой

(α1, α2, . . . , αn)(β1, β2, . . . , βn) =

n∑i=1

αiβi .

Тогда в силу неравенства Коши-Шварца-Буняковского имеем, что

∣∣∣∣ n∑i=1

αiβi

∣∣∣∣ 6√√√√ n∑

i=1

α2i ·

√√√√ n∑i=1

β2i . (16.5)

Неравенство (16.5) верно для любых вещественных чисел αi , βi , i = 1, n. Из неравенства треугольникаследует √√√√ n∑

i=1

(αi + βi)2 6

√√√√ n∑i=1

α2i +

√√√√ n∑i=1

β2i . (16.6)

Следствие 16.3.2. В пространстве C([a, b]) всех действительных функций действительного аргумента,

непрерывных на отрезке [a, b], скалярное произведение определим формулой f g =b∫a

(f (x)g(x)dx).

Тогда, исходя их неравенства Коши-Шварца-Буняковского и неравенства треугольника, для любыхдвух функций f (x) и g(x) из C([a, b]) имеют место неравенства:

∣∣∣∣b∫a

f (x)g(x)dx

∣∣∣∣ 6√√√√√ b∫

a

f 2(x)dx ·

√√√√√ b∫a

g2(x)dx (16.7)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

и √√√√√ b∫a

(f (x) + g(x))2dx 6

√√√√√ b∫a

f 2(x)dx +

√√√√√ b∫a

g2(x)dx. (16.8)

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.3. Ортогональные векторы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.16.3. Ортогональные векторы

Вектор a евклидова пространства Vn называется ортогональным вектору b ∈ Vn, если их скалярное про-изведение равно нулю, т.е. ab = 0.

То обстоятельство, что вектор a ортогонален вектору b, записывается a ⊥ b.

Свойства ортогональных векторов

Свойство 1. Если a ⊥ b, то b ⊥ a, и поэтому говорят о паре ортогональных векторов.Свойство 2. 0 ⊥ a для ∀ a ∈ Vn.Свойство 3. Если вектор a ∈ Vn ортогонален любому вектору пространства Vn, то a = 0.Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если в равенстве ab = 0 положить b = a, то a2 = 0. Следова-

тельно, a = 0. �Свойство 4. Если (a1, a2, . . . , ak) –конечная система векторов евклидова пространства, а b – вектор

этого пространства, ортогональный каждому ai , 1 6 i 6 k, то вектор b ортогонален любой линейнойкомбинации векторов системы (a1, a2, . . . , ak).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,( k∑i=1

αiai

)b =

k∑i=1

αi(aib) = 0, ∀αi ∈ R, i = 1, k,

так как aib = 0, ∀i = 1, k. �

Теорема 16.4. Конечная система попарно ортогональных векторов евклидова пространства, не содер-жащая нулевого вектора, линейно независима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть(a1, a2, . . . , ak) (16.9)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

– конечная система попарно ортогональных векторов, т.е. aiaj = 0, i 6= j, ∀i , j = 1, k. Если

α1a1 + α2a2 + . . .+ αkak = 0, αi ∈ R, ∀i = 1, k, (16.10)

то, умножив обе части равенства (16.10) скалярно на вектор ai , 1 6 i 6 k, имеем αi(aiai) = 0.

Так как aiai 6= 0, то следовательно, αi = 0 для любого i(1 6 i 6 k). Отсюда следует, что система(16.9) линейно независима. �

Система попарно ортогональных векторов называется ортогональной системой векторов.

Теорема 16.5. Пусть (16.9) – произвольная конечная система векторов евклидова пространства. Тогдав этом пространстве существует ортогональная система векторов

(b1, b2, . . . , bk) (16.11)

такая, что для любого i (1 6 i 6 k) системы

(a1, a2, . . . , ai), (16.12)

(b1, b2, . . . , bi) (16.13)

эквивалентны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Систему векторов (16.11) будем строить последовательно, применяя так на-

зываемый процесс ортогонализации. Положим b1 = a1. Далее воспользуемся методом математическойиндукции по числу векторов в системе. Предположим, что теорема справедлива для системы, состоящей изi векторов (i < k), т.е. построена ортогональная система векторов (16.13), эквивалентная (16.12). Докажемсправедливость теоремы для системы, состоящей из (i + 1)-го вектора. Положим

bi+1 = ai+1 + α1b1 + α2b2 + . . .+ αibi , (16.14)

где α1, α2, . . . , αi – неизвестные пока элементы из R. Нетрудно видеть, что системы векторов

(a1, a2, . . . , ai , ai+1) (16.15)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

и(b1, b2, . . . , bi , bi+1) (16.16)

эквивалентны при любом наборе коэффициентов αl , l = 1, i . В самом деле, система векторов (16.13)линейно выражается через систему (16.12), а вектор bi+1 – через систему (16.15). Значит, система (16.16)линейно выражается через (16.15). В свою очередь, система (16.12) линейно выражается через систему(16.13), а вектор ai+1 в силу равенства (16.14) линейно выражается через (16.16). Значит, (16.15) линейновыражается через (16.16). Следовательно, (16.15) эквивалентна (16.16).

Подберем коэффициенты αl , l = 1, i , в равенстве (16.14) так, чтобы система векторов (16.16) былаортогональной. Равенство (16.14) умножаем скалярно на вектор bs , 1 6 s 6 i . Имеем

bi+1bs = ai+1bs + α1(b1bs) + α2(b2bs) + . . .+ αi(bibs).

Так как (16.13) – ортогональная система векторов, то bjbs = 0, ∀j = 1, i , j 6= s. Тогда

bi+1bs = ai+1bs + αs(bsbs).

Число αs выберем из равенстваai+1bs + αs(bsbs) = 0. (16.17)

Если bs 6= 0, то αs = −ai+1bsbsbs

. Если bs = 0, то (16.17) имеет место для любого αs . Таким образом,

bi+1bs = 0 и, следовательно, (16.16) – ортогональная система векторов. �

Вектор a ∈ Vn называется нормированным вектором, если |a| = 1.

Ясно, что если a 6= 0, то векторa|a| является нормированным.

Базис(i1, i2, . . . , in)

евклидова пространства Vn называется ортонормированным базисом, если его векторы попарно ортого-нальны и нормированы.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Следствия из теоремы 16.5Следствие 16.5.1. В евклидовом пространстве Vn всегда существует ортонормированный базис.Следствие 16.5.2. Если исходная система векторов (16.9) линейно независима, то и эквивалентная ей

система векторов (16.11) линейно независима.Следствие 16.5.3. Если система векторов (16.9) линейно зависима, то система (16.11) содержит хотя

бы один нулевой вектор.

Алгоритм построения ортогональной системы векторов

Из доказательства теоремы 16.5 имеем метод построения ортогональной системы векторов по задан-ной системе векторов. Этот метод основан на процессе ортогонализации.

Пример 16.4. Посредством процесса ортогонализации по системе векторов (a1, a2, a3), где a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1,−3, 1,−3),

a3 = (4, 0, 3,−1), построить ортогональную систему векторов (b1, b2, b3).

Решение. Исходя из процесса ортогонализации полагаем b1 = a1, т.е. b1 = (1, 1, 1, 1). Затем вектор b2 ищем в видеb2 = a2 + α11b1, где α11 – некоторый элемент из множества R.

Для этого умножим последнее равенство скалярно на вектор b1. Учитывая, что вектор b1 должен быть ортогональнымвектору b2, имеем соотношение для определения элемента α11 :

0 = a2b1 + α11b21 ⇔ 0 = −4 + α11 · 4⇒ α11 = 1.

Но тогда вектор b2 = a2 + b1 = (2,−2, 2,−2).

Найдем вектор b3. Для этого полагаем, что b3 = a3 +α21b1 +α22b2, где α21, α22 – пока неизвестные элементы из R. Дляих определения умножим это равенство скалярно на вектор b1, а затем на вектор b2. В результате имеем систему уравненийотносительно неизвестных α21, α22 : {

0 = 6 + α21 · 4,0 = 16 + α22 · 16.

Откуда находим α21 = −3

2, α22 = −1. Но тогда вектор b3 = a3 −

3

2b1 − b2, т.е. b3 =

(1

2,

1

2,−

1

2,−

1

2

).

Итак, система векторов (b1, b2, b3), гдеb1 = (1, 1, 1, 1),

b2 = (2,−2, 2,−2, ),

b3 =(1

2,

1

2,−

1

2,−

1

2

),

является ортогональной.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.4. Матрица скалярного произведения

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.16.4. Матрица скалярного произведения

Пусть в евклидовом пространстве Vn задан базис

(e1, e2, . . . , en), (16.18)

а x и y – некоторые векторы в Vn.Разложим векторы x и y по базису (16.18). Имеем

x =

n∑i=1

xie i , y =

n∑j=1

yje j , xi , yi ∈ R, ∀i , j = 1, n.

Но тогда

xy =

(n∑i=1

xie i

)(n∑j=1

yje j

)=

n∑i ,j=1

xiyj(e ie j) =

= [ai j = e ie j ] =n∑

i ,j=1

ai jxiyj = Y TAX,

где A = (ai j , i , j = 1, n) = (e ie j , i , j = 1, n), а X, Y – координатные столбцы соответствующих векторов x иy в базисе (16.18).

Матрица A называется матрицей скалярного произведения.Отметим, что матрица A является симметрической, так как

e ie j = e je i .

Посмотрим, как изменится матрица скалярного произведения при замене базиса. Пусть A – матрицаскалярного произведения в базисе (16.18), B – матрица скалярного произведения в базисе

(e ′1, e′2, . . . , e

′n). (16.19)

И пусть S – матрица перехода от (16.18) к (16.19).

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.4. Матрица скалярного произведения

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Тогда X = SX ′, Y = SY ′, X, Y – координатные столбцы векторов x , y в базисе (16.18), а X ′, Y ′ –координатные столбцы векторов x , y в базисе (16.19). Следовательно,

xy = Y TAX = (SY ′)TA(SX ′) = Y ′T (STAS)X ′ = Y ′TBX ′ = xy .

Откуда получаем связь между матрицами скалярного произведения, записанными в разных базисах евкли-дова пространства Vn. А именно:

B = STAS. (16.20)

Замечание 16.3. Если рассматриваемый базис является ортонормированным, то матрица скалярного произве-дения в этом базисе является единичной и поэтому

xy =

n∑i=1

xiyi = Y TX.

Пример 16.5. Найти матрицу скалярного произведения в базисе (a1, a2, a3) евклидова пространства R1,3, если в канони-ческом базисе этого пространства вектор a1 = (1, 3, 0), вектор a2 = (0, 1, 0), а вектор a3 = (1, 1, 1).

Решение. Так как матрица скалярного произведения в каноническом базисе (e1, e2, e3), где e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0),

e3 = (0, 0, 1), является единичной, то исходя из формулы (16.20) матрица скалярного произведения в базисе (a1, a2, a3) имеетвид

B = STS,

где S – это матрица перехода от канонического базиса к базису (a1, a2, a3). Поскольку

S =

1 0 1

3 1 1

0 0 1

,то окончательно имеем

B =

1 3 0

0 1 0

1 1 1

1 0 1

3 1 1

0 0 1

=

10 3 4

3 1 1

4 1 3

.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.5. Ортогональные матрицы и их свойства

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.16.5. Ортогональные матрицы и их свойства

Пусть(i1, i2, . . . , in) (16.21)

и(i ′1, i

′2, . . . , i

′n) (16.22)

– два ортонормированных базиса евклидова пространства Vn, а S – матрица перехода от базиса (16.21) кбазису (16.22). Так как оба базиса ортонормированы, то матрица скалярного произведения в каждом изних единичная. Поэтому En = STEnS ⇒ En = STS. Таким образом, матрица S перехода от одного орто-нормированного базиса евклидова пространства Vn к другому ортонормированному базису удовлетворяетусловию

En = STS или S−1 = ST . (16.23)

Обратно, если (16.21) – ортонормированный базис, а матрица перехода S от базиса (16.21) к базису (16.22)удовлетворяет условию (16.23), то, очевидно, и система векторов (16.22) – ортонормированный базис, таккак скалярное произведение имеет в ней матрицу STEnS = STS = En.

Вещественная матрица S, удовлетворяющая условию STS = En, называется ортогональной.

Пример 16.6. Матрица(

cosϕ − sinϕ

sinϕ cosϕ

)является ортогональной.

Теорема 16.6. Любые два ортонормированных базиса евклидова пространства связаны ортогональ-ной матрицей перехода. Если дан ортонормированный базис, а другой базис связан с ним ортогональнойматрицей перехода, то и этот базис является ортонормированным.

Свойства ортогональных матриц

Свойство 1. Множество всех ортогональных матриц n-го порядка образует группу относительно умно-жения матриц.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.5. Ортогональные матрицы и их свойства

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A и B – ортогональные матрицы n-го порядка. Рассмотрим их произ-ведение AB. Тогда

(AB)T = BTAT = B−1A−1 = (AB)−1.

Значит, (AB) – ортогональная матрица.Единичная матрица является ортогональной.Пусть A – ортогональная матрица. Покажем, что A−1 – ортогональная матрица. Действительно,

(A−1)TA−1 = (AT )−1A−1 = (AAT )−1 = E−1n = En.

�Свойство 2. Матрица A = (ai j) ортогональна тогда и только тогда, когда имеют место следующие

равенства:n∑i=1

ai jaik = δjk , ∀j, k = 1, n,

илиn∑i=1

aj iaki = δjk , ∀j, k = 1, n,

где δjk – символ Кронекера.Следствие 16.6.1. Матрица A является ортогональной тогда и только тогда, когда система столбцов

(строк) матрицы A есть ортонормированный базис арифметического пространства Rn,1(R1,n).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из равенства ATA = En. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.6. Изометрические преобразования

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.16.6. Изометрические преобразования

Линейное преобразование (линейный оператор) f евклидова пространства называется изометрическим,если оно не изменяет скалярного произведения, т.е. для любой пары x , y векторов этого пространстваимеет место равенство

f (x)f (y) = xy . (16.24)

Изометрические преобразования евклидова пространства называют также ортогональными.

Теорема 16.7. Изометрическое преобразование сохраняет длины векторов. Обратно, если линейноепреобразование f евклидова пространства сохраняет длины векторов, то оно изометрическое.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Положим в равенстве (16.24) y = x . Имеем

f (x)f (x) = x2 ⇔ |f (x)|2 = |x |2 ⇔ |f (x)| = |x |.

Достаточность. Так как f сохраняет длины векторов, то для любых векторов x , y имеем:

|f (x +y)| = |x +y | ⇔ |f (x +y)|2 = |x +y |2 ⇔ f (x +y)f (x +y) = (x +y)(x +y)⇔ (f (x) + f (y))(f (x) + f (y)) =

= x2 + 2xy + y2 ⇔= f 2(x) + 2f (x)f (y) + f 2(y) = x2 + 2xy + y2 ⇔ f (x)f (y) = xy .

�

Следствие 16.7.1. Изометрическое преобразование евклидова пространства сохраняет углы между век-торами:

cosϕ =xy|x||y| =

f (x)f (y)

|f (x)||f (y)| .

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Теорема 16.8. Матрица изометрического преобразования евклидова пространства в любом ортонор-мированном базисе этого пространства является ортогональной. Если в каком-либо ортонормированномбазисе евклидова пространства матрица линейного преобразования является ортогональной, то это преоб-разование – изометрическое.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y = f (x) – изометрическое преобразование, т.е. ∀ x , z ∈ Vn выполняетсяравенство f (x)f (z) = xz , а система

(i1, i2, . . . , in) (16.25)

– ортонормированный базис Vn. Обозначим через A матрицу линейного преобразования f в базисе (16.25),а через Y,X – соответственно координатные столбцы векторов y и x в базисе (16.25). Так как f – линейноепреобразование, то тогда Y = AX.

Рассмотримx2 = XTEnX, y2 = Y TEnY.

Так как преобразование изометрическое, то выполнено условие x2 = y2 ⇔ XTEnX = Y TEnY ⇔ XTEnX =

(AX)TEn(AX) ⇔ XTEnX = XT (ATEnA)X ⇔ En = ATEnA ⇔ ATA = En. Отсюда следует, что матрица Aявляется ортогональной.

Вторая часть теоремы доказывается, если приведенные выше выкладки провести в обратном порядкеи использовать теорему 16.7. �

Следствие 16.8.1. Определитель матрицы ортогонального преобразования в любом ортонормирован-ном базисе равен ±1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ATA = En, то отсюда detAT ·detA = 1. Учитывая, что detAT = detA,

имеем (detA)2 = 1⇔ detA = ±1. �

Теорема 16.9. Если λ – собственное значение ортогонального преобразования f , то λ = ±1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как λ – собственное значение преобразования f , то f (x) = λx , где x ∈ Vn, x– собственный вектор. Рассмотрим скалярный квадрат образа вектора x . Имеем f 2(x) = (λx)(λx) = λ2x2.

Учитывая, что f – ортогональное преобразование, в силу равенства (16.24) получаем

λ2x2 = x2 ⇒ λ2 = 1⇒ λ = ±1.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

�

Теорема 16.10. Ортогональное преобразование евклидова пространства является невырожденным.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как в любом ортонормированном базисе определитель матрицы ортого-

нального преобразования равен ±1, то это преобразование является невырожденным. �

Следствие 16.10.1. Для изометрического преобразования f пространства Vn

Kerf = {0}.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.16. Евклидово пространство1.16.7. Симметрические преобразования

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.16.7. Симметрические преобразования

Линейное преобразование (линейный оператор) f евклидова пространства Vn называется симметрическим(самосопряженным), если для любых двух векторов x , y ∈ Vn выполняется равенство

f (x)y = x f (y). (16.26)

Примеры симметрических преобразованийПример 16.7. Тождественное преобразование e : Vn → Vn, определяемое формулой e(x) = x .Пример 16.8. Нулевое преобразование 0 : Vn → Vn, определяемое формулой 0(x) = 0.Пример 16.9. Преобразование f : Vn → Vn, определяемое формулой f (x) = −x .

Действительно, f (x)y = (−x)y = x(−y) = xf (y).

Теорема 16.11. Линейное преобразование f евклидова пространства является симметрическим тогдаи только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе является симметрической.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть

(i1, i2, . . . , in) (16.27)

– некоторый ортонормированный базис евклидова пространства Vn. Обозначим через A,X, Y – соответ-ственно матрицу линейного преобразования f , координатные столбцы векторов x , y ∈ Vn. Так как f – сим-метрическое преобразование, то для любых векторов x , y выполняется равенство (16.26). Учитывая, чтоxy = Y TEnX, из (16.26) имеем:

Y T (AX) = (AY )TX ⇔ Y TAX = Y TATX ⇔ Y T (A− AT )X = O.

Из того, что последнее равенство выполняется для любых X и Y, следует, что A = AT .

Достаточность. A = AT ⇒ A − AT = O ⇒ Y T (A − AT )X = O ⇒ Y TAX = Y TATX ⇒ Y T (AX) =

(AY )TX ⇒ (16.26) выполняется. �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Теорема 16.12. Все характеристические числа действительной симметрической матрицы A действи-тельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица A является матрицей некоторого симметрического преобра-зования f , записанной в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства Vn и λ – кореньхарактеристического уравнения этой матрицы, т.е. характеристическое число преобразования f . Рассмот-рим собственный вектор x преобразования f с характеристическим числом λ. Тогда имеет место равенствоAX = λX, где X – координатный столбец вектора x . Найдем произведение XTAX двумя способами.

С одной стороны, учитывая, что A – действительная матрица, имеем

XTAX = XT AX = XT (AX) = XT (λX) = XT λX = λXT X.

С другой стороны, так как A = AT , получаем

XTAX = XTAT X = (AX)T X = (λX)T X = λXT X.

Таким образом, λ(XT X) = λ(XT X) ⇔ (λ − λ)(XT X) = 0. Но, XT X =n∑i=1

xi xi =n∑i=1

|xi |2 > 0, ибо x –

собственный вектор, а следовательно, столбец X является ненулевым. Тогда имеем λ−λ = 0⇒ λ = λ, т.е.λ – вещественное число. �

Теорема 16.13. Любая вещественная симметрическая матрица A подобна диагональной матрице.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть J – жорданова матрица, подобная симметрической матрице A, и пусть

она содержит клетку Жордана порядка выше первого. Например, содержит клетку J2(λ1) =

(λ1 1

0 λ1

),

т.е. матрица J имеет вид

J =

λ1 1 . . .

0 λ1 . . .

. . . . . .. . .

.Матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого симметрического преобразования f евклидовапространства Vn, записанную в некотором ортонормированном базисе этого пространства Vn, а матрицу J

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

– как матрицу этого же преобразования f , записанную в жордановом базисе (a1, a2, . . . , an). Тогда имеютместо равенства

f (a1) = λ1a1,

f (a2) = a1 + λ1a2,

. . . . . . . . . . . . . . . . ..

Умножим скалярно первое равенство справа на вектор a2, а второе равенство – слева на a1. Имеем

f (a1)a2 = λ1a1a2,

a1f (a2) = a21 + λ1a1a2.

Отсюдаλ1a1a2 = a2

1 + λ1a1a2.

Поскольку f – симметрическое преобразование, то выполняется равенство f (a1)a2 = a1f (a2)), а тогдаиз последнего равенства следует, что a1 = 0. А это противоречит тому, что a1 – базисный вектор. �

Следствие 16.13.1. Для любого симметрического преобразования евклидова пространства существуетбазис, состоящий из собственных векторов этого преобразования.

Теорема 16.14. Для любого симметрического преобразования f евклидова пространства Vn существуетортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования.

Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании следствия 16.13.1 для преобразования f существует базис изсобственных векторов:

(u11, u12, . . . , u1k1 , u21, u22, . . . , u2k2 , . . . , us1, us2, . . . , usks ),

где подсистема векторов (u i1, u i2, . . . , u iki ) – базис подпространства Lλi собственных векторов, отвечающихсобственному значению λi кратности ki , причем λi 6= λj , если i 6= j, k1 + . . .+ ks = n.

Рассмотрим подпространство Lλi = L(u i1, u i2, . . . , u iki ), 1 6 i 6 s. Любой вектор из подпространстваLλi является собственным вектором преобразования f с тем же собственным значением λi . По системевекторов u i1, u i2, . . . , u iki посредством процесса ортогонализации построим ортогональную систему векторовv i1, v i2, . . . , v iki . Как следует из процесса ортогонализации, каждый вектор v i j , j = 1, ki , получается как

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

некоторая линейная комбинация векторов u i j . Следовательно, v i j также является собственным векторомпреобразования f , соответствующим собственному значению λi , т.е. v i j ∈ Lλi . Таким образом, мы имеемновый базис из собственных векторов

(v11, v12, . . . , v1k1 , v21, v22, . . . , v2k2 , . . . , v s1, v s2, . . . , v sks ). (16.28)

Покажем, что любой вектор v iβ ∈ Lλi , 1 6 β 6 ki , ортогонален любому вектору v jγ ∈ Lλj , 1 6 γ 6 kj ,

т.е. что v iβv jγ = 0. Так как f (v iβ) = λiv iβ, f (v jγ) = λjv jγ , то f (v iβ)v jγ = λiv iβv jγ и v iβf (v jγ) = λjv iβv jγ ⇒λiv iβv jγ = λjv iβv jγ ⇒ (λi − λj)v iβv jγ = 0. Учитывая, что λi − λj 6= 0, имеем v iβv jγ = 0.

Нормируя векторы из системы (16.28), получаем доказательство теоремы. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.17. Унитарное пространство x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.17. Унитарное пространство

1.17.1.Основные понятия1.17.2.Свойства скалярного произведения в унитарном пространстве1.17.3.Основные утверждения в унитарных пространствах

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.17. Унитарное пространство1.17.1. Основные понятия

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.17.1. Основные понятия

Унитарное пространство определяется аналогично евклидову пространству.

Комплексное линейное пространство Vn называется унитарным, если каждой паре векторов a, b этого про-странства ставится в соответствие комплексное число ab, которое называется скалярным произведениемвекторов a, b, и при этом выполняются аксиомы:1◦. ab = ba, ∀a, b ∈ Vn, где ba – комплексное число, сопряженное с ba;

2◦. для любой тройки векторов a, b, c пространства Vn верно равенство (a + b)c = ac + bc ;

3◦. для любой пары a и b векторов пространства Vn и каждого λ ∈ C, (λa)b = λ(ab);

4◦. для любого a ∈ Vn произведение aa есть действительное число, причем aa > 0. Кроме того,aa = 0⇔ a = 0.

Теорема 17.1. Во всяком конечномерном комплексном пространстве может быть задано скалярноепроизведение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводится по аналогии с теоремой 16.1. Пусть Vn – комплекс-

ное линейное пространство, а система векторов (e1, e2, . . . , en) – его базис. Если a =n∑i=1

xie i , b =n∑i=1

yie i ,

xi , yi ∈ C, ∀i = 1, n, то положим

ab =

n∑i=1

xi yi .

Можно проверить, что аксиомы 1◦ − 4◦ определения унитарного пространства выполняются. �

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.17. Унитарное пространство1.17.2. Свойства скалярного произведения в унитарном пространстве

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.17.2. Свойства скалярного произведения в унитарном пространстве

Свойство 1. a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ Vn;

Свойство 2. a(λb) = λab, ∀a, b ∈ Vn, ∀λ ∈ C;

Д о к а з а т е л ь с т в о. a(λb) = (λb)a = λba = λ(ab). �Свойство 3. 0a = a0 = 0.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.17. Унитарное пространство1.17.3. Основные утверждения в унитарных пространствах

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.17.3. Основные утверждения в унитарных пространствах

В унитарном пространстве, как и в евклидовом, выполняется неравенство Коши-Шварца-Буняковскогои неравенство треугольника. В этом пространстве, по аналогии с евклидовым пространством, вводитсяпонятие матрицы скалярного произведения.

Через A∗ обозначим матрицу, которая получается, если матрицу A транспонировать и затем каждыйее элемент заменить комплексно сопряженным числом. Если A – вещественная матрица, то

A∗ = AT .

Если A – матрица скалярного произведения в базисе

(e1, e2, . . . , en) (17.1)

унитарного пространства Vn, а B – матрица скалярного произведения в базисе

(e ′1, e′2, . . . , e

′n), (17.2)

то B = S∗AS, где S – матрица перехода от базиса (17.1) к базису (17.2).Так как в любом ортонормированном базисе унитарного пространства Vn матрица скалярного произ-

ведения является единичной, то из равенства B = S∗AS получаем равенство S∗S = En. Итак, любые дваортонормированных базиса унитарного пространства связаны матрицей перехода S, которая удовлетворяетусловию

S∗S = En. (17.3)

Верно и обратное. Если один из базисов унитарного пространства является ортонормированным, адругой с ним связан матрицей перехода, удовлетворяющей равенству (17.3), то и другой базис этого про-странства является ортонормированным.

Матрица S ∈ Cn,n, удовлетворяющая условию S∗S = En, называется унитарной.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.17. Унитарное пространство1.17.3. Основные утверждения в унитарных пространствах

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Итак, верна следующая теорема.

Теорема 17.2. Любые два ортонормированных базиса унитарного пространства связаны унитарнойматрицей перехода. Если дан ортонормированный базис, а другой с ним связан унитарной матрицей пере-хода, то и второй базис является ортонормированным.

Замечание 17.1. Унитарные матрицы обладают теми же свойствами, что и ортогональные матрицы.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.18. Квадратичные формы x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.18. Квадратичные формы

1.18.1.Основные определения и понятия1.18.2.Эквивалентность квадратичных форм1.18.3.Нормальный вид вещественных квадратичных форм1.18.4.Знакоопределенные квадратичные формы1.18.5.Приведение вещественной квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогональ-

ных преобразований

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.18. Квадратичные формы1.18.1. Основные определения и понятия

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.18.1. Основные определения и понятия

Многочлен второй степени от n переменных x1, x2, . . . , xn вида

f (x1, . . . , xn) =

n∑i=1

n∑j=1

ai jxixj ,

где ai j ∈ R, причем ai j = aj i , ∀i , j = 1, n, называется вещественной квадратичной формой.Числа ai j называются коэффициентами квадратичной формы f .

Замечание 18.1. Если в указанном выше определении квадратичной формы вместо множества R рассмат-ривается множество C комплексных чисел, то такая квадратичная форма называется комплексной квадратичнойформой.

Квадратичная форма

f (x1, . . . , xn) =

n∑i=1

n∑j=1

ai jxixj , ai j ∈ R, ∀i , j = 1, n (18.1)

может быть записана в матричном виде

f (x1, . . . , xn) = XTAX, (18.2)

где A = (ai j , i , j = 1, n), A = AT – вещественная симметрическая n × n – матрица, а X =

x1

x2

...xn

– столбец

переменных.

Матрица A, составленная из коэффициентов квадратичной формы f , называется матрицей квадратичнойформы f .

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.18. Квадратичные формы1.18.1. Основные определения и понятия

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Ранг матрицы квадратичной формы f называется рангом этой квадратичной формы и обозначается rankf .

Говорят, что квадратичная форма f имеет канонический вид, если она содержит только квадраты пере-

менных, т.е. имеет вид f (x1, . . . , xn) =n∑i=1

ai ix2i или в матричном виде

f (x1, . . . , xn) = XT

a11 0 . . . 0

0 a22 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . ann

X.

Пример 18.1. Найти матрицу и ранг следующей квадратичной формы

f (x1, x2, x3) = 3x21 + 4x2

2 − 4x23 + 6x1x2 − 4x1x3 − 2x2x3.

Решение. Исходя из определения квадратичной формы, матрица этой формы имеет вид

A =

3 3 −2

3 4 −1

−2 −1 −4

.Так как ранг матрицы A равен 3, то и ранг исходной квадратичной формы равен 3.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.18. Квадратичные формы1.18.2. Эквивалентность квадратичных форм

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.18.2. Эквивалентность квадратичных форм

Наряду с квадратичной формой (18.1) рассмотрим квадратичную форму

g(y1, . . . , yn) =

n∑i=1

n∑j=1

bi jyiyj , bi j ∈ R, bi j = bj i , ∀i , j = 1, n, (18.3)

или в матричном видеg(y1, . . . , yn) = Y TBY.

Пусть S = (si j , i , j = 1, n) – невырожденная матрица.Система выражений вида

x1 = s11y1 + . . .+ s1nyn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xn = sn1y1 + . . .+ snnyn,

(18.4)

или в матричной формеX = SY, (18.5)

где X =

x1

x2

...xn

, Y =

y1

y2

...yn

, называется невырожденным линейным преобразованием переменных с

матрицей S.Если в квадратичную форму (18.1) вместо переменных x1, . . . , xn подставить их выражение через пе-

ременные y1, y2, . . . , yn, связанные соотношением (18.4), и мы перейдем от (18.1) к (18.3), то говорят, чтоквадратичная форма f переводится в квадратичную форму g невырожденным линейным преобразованием(18.4).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Нетрудно видеть, что если существует невырожденное линейное преобразование переменных, перево-дящее квадратичную форму f в квадратичную форму g, то существует и невырожденное линейное преоб-разование переменных, переводящее квадратичную форму g в квадратичную форму f .

Две квадратичные формы f и g называются эквивалентными и это обстоятельство обозначается f ∼ g,если существует невырожденное линейное преобразование переменных, переводящее одну квадратичнуюформу в другую.

Исходя из вышеизложенного ясно, что:1) f ∼ f ;

2) если f ∼ g, то g ∼ f ;

3) если f ∼ g и g ∼ ϕ, то f ∼ ϕ.Более того, если f ∼ g, то тогда f (x1, x2, . . . , xn) = XTAX = [ используем преобразование X = SY ] =

(SY )TA(SY ) = Y T (STAS)Y = Y TBY = g(y1, y2, . . . , yn).

А это значит, что матрицы двух эквивалентных форм связаны соотношением B = STAS, из которогоследует, что ранги эквивалентных форм равны, т.е.rank f = rank g.

Теорема 18.1. Всякая вещественная квадратичная форма эквивалентна некоторой квадратичной формев каноническом виде. Число квадратов в последней равно рангу исходной квадратичной формы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем метод математической индукции по числу переменных в квадра-тичной форме.

Квадратичная форма от одной переменной эквивалентна самой себе:

f (x1) = a11x21 ∼ a11x

21 .

Пусть утверждение верно для всех квадратичных форм, число переменных которых не больше n − 1.

Докажем, что оно верно для всех квадратичных форм от n переменных.Возможны следующие два случая:1) среди коэффициентов ai i при квадратичных переменных есть хотя бы один, отличный от нуля. Без

ограничений общности предполагаем, что это a11 (в противном случае переменные можно перенумеровать).Перепишем форму (18.1) в виде

f (x1, x2, . . . , xn) = (a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + . . .+ 2a1nx1xn) + f1(x2, . . . , xn), (18.6)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

где f1(x2 . . . xn) – квадратичная форма от (n − 1)-й или меньшего числа переменных.Выражение, стоящее в круглых скобках (18.6), преобразуем так, чтобы выделить полный квадрат по

переменной x1. Имеем

a11x21 + 2a12x1x2 + . . .+ 2a1nx1xn =

= a11(x21 + 2x1

1

a11(a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn)+

+1

a211

(a12x2 + . . .+ a1nxn)2 −1

a211

(a12x2 + . . .+ a1nxn)2) =

=1

a11(a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn)2 −

1

a11(a12x2 + . . .+ a1nxn)2.

(18.7)

Тогда выражение (18.6) равносильно

f (x1, x2, . . . , xn) =1

a11(a11x1 + . . .+ a1nxn)2 + f2(x2 . . . xn), (18.8)

где f2(x2 . . . xn) = f1(x2 . . . xn) −1

a11(a12x2 + . . . + a1nxn)2. Ясно, что f2(x2 . . . xn), в свою очередь, являет-

ся квадратичной формой от (n − 1)-й или меньшего числа переменных. Следовательно, по индукционномупредположению она эквивалентна некоторой квадратичной форме в каноническом виде, т.е. найдется невы-рожденное линейное преобразование переменных вида

y2 = b22x2 + . . .+ b2nxn,

y3 = b32x2 + . . .+ b3nxn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .yn = bn2x2 + . . .+ bnnxn,

bi j ∈ R,∀i , j = 2, n,

(18.9)

которое приводит квадратичную форму f2(x2 . . . xn) к каноническому виду

α2y22 + . . .+ αny

2n , αi ∈ R, ∀i = 2, n. (18.10)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Но тогда рассмотрим линейное преобразование переменных видаy1 = a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn,

y2 = b22x2 + . . .+ b2nxn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .yn = bn2x2 + . . .+ bnnxn.

(18.11)

Это преобразование, с использованием равенства (18.8), приводит квадратичную форму f (x1, x2, . . . , xn) кканоническому виду

1

a11y2

1 + α2y22 + . . .+ αny

2n . (18.12)

Итак, квадратичная форма f эквивалентна квадратичной форме в каноническом виде (18.12).Заметим, что преобразование (18.11) является невырожденным, ибо его матрица

a11 a12 . . . a1n

0 b22 . . . b2n

. . . . . . . . . . . .

0 bn2 . . . bnn

является невырожденной;

2) все коэффициенты ai i при квадратичных переменных квадратичной формы (18.1) равны нулю. Нотогда существует коэффициент ai j 6= 0, i 6= j, 1 6 i , j 6 n. Рассмотрим следующее невырожденное линейноепреобразование переменных:

xi = yi + yj ,

xj = yi − yj ,xk = yk , k = 1, n, k 6= i , k 6= j.

(18.13)

Применим это линейное преобразование к квадратичной форме (18.1). Тогда квадратичная форма fэквивалентна квадратичной форме вида

. . .+ ai j(y2i − y2

j ) + . . .

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Последняя квадратичная форма уже содержит квадраты переменных. Пришли к первому случаю. Итак,первая часть теоремы доказана.

Вторая часть теоремы следует из того, что ранги эквивалентных форм равны и, что ранг квадратичнойформы в каноническом виде равен числу ненулевых коэффициентов при квадратах переменных. �

Нахождение по данной квадратичной форме эквивалентной ей квадратичной формы в каноническом виденазывается приведением квадратичной формы к каноническому виду .

Замечание 18.2. Для всякой квадратичной формы существует бесконечное множество эквивалентных ей квад-ратичных форм в каноническом виде. Однако все они имеют одно и то же число отличных от нуля коэффициентов,равное рангу исходной квадратичной формы. Более того, как будет доказано ниже (см. теорему 18.3), все они со-держат одно и то же число положительных и одно и то же число отрицательных коэффициентов.

Пример 18.2. Привести квадратичную форму f (x1, x2, x3) = 2x21 + 7x2

2 + 4x23 − 8x1x2 + 4x1x3− 6x2x3 к каноническому виду

и найти соответствующее невырожденное линейное преобразование переменных.Решение. Так как среди коэффициентов ai i , 1 6 i 6 3, есть отличные от нуля, например, a11 = 2 6= 0, то выделим полный

квадрат по переменной x1 :

f (x1, x2, x3) = (2x21−8x1x2 +4x1x3)+7x2

2 +4x23−6x2x3 = 2(x2

1−2x1(2x2−x3)+(2x2−x3)2)−2(2x2−x3)2 +7x22 +4x2

3−6x2x3 =

2(x1 − 2x2 + x3)2 + (−x22 + 2x2x3 + 2x2

3 ).

Далее в квадратичной форме −x22 + 2x2x3 + 2x2

3 выделим полный квадрат по переменной x2. В результате имеемf (x1, x2, x3) = 2(x1 − 2x2 + x3)2 − (x2 − x3)2 + 3x2

3 .

Применим преобразование переменных y1 = x1 − 2x2 + x3,

y2 = x2 − x3,

y3 = x3,

которое является невырожденным и переводит исходную квадратичную форму к каноническому виду 2y21 − y2

2 + 3y23 .

Пример 18.3. Привести к каноническому виду квадратичную форму f (x1, x2, x3) = x1x2 − 2x2x3.

Решение. Так как все коэффициенты ai i , 1 6 i 6 3, при квадратах переменных равны нулю, то первоначально применим

невырожденное линейное преобразование вида

x1 = y1 + y2,

x2 = y1 − y2,

x3 = y3.

В результате имеем, что квадратичная форма f эквивалентна квадратичной форме g(y1, y2, y3) = y21 −y2

2 −2y1y3 + 2y2y3.

Так как в этой квадратичной форме коэффициент при y21 отличен от нуля, то выделим в ней полный квадрат по пере-

менной y1, а затем по переменной y2 :

g(y1, y2, y3) = (y1 − y3)2 − (y2 − y3)2.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Применив преобразование z1 = y1 − y3,

z2 = y2 − y3,

z3 = y3,

получим канонический вид исходной квадратичной формы z21 − z2

2 .

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.18. Квадратичные формы1.18.3. Нормальный вид вещественных квадратичных форм

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.18.3. Нормальный вид вещественных квадратичных форм

Пусть

f (x1, x2, . . . , xn) =

n∑i=1

n∑j=1

ai jxixj (18.14)

– вещественная квадратичная форма, а

b1y21 + b2y

22 + . . .+ bly

2l + bl+1y

2l+1 + . . .+ bry

2r , (18.15)

– ее канонический вид, где r = rank f .

Канонический вид вещественной квадратичной формы, каждый ненулевой коэффициент которого равен 1или -1, называется нормальным видом вещественных квадратичных форм.

Теорема 18.2. Всякая вещественная квадратичная форма при помощи вещественного невырожденноголинейного преобразования переменных может быть приведена к нормальному виду. Число квадратов внормальном виде равно рангу исходной квадратичной формы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим каноническую квадратичную форму (18.15) и, без ограниченияобщности, предположим, что коэффициенты b1 > 0, . . . , bl > 0, а коэффициенты bl+1 < 0, . . . , br < 0. При-

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

меним к этой квадратичной форме вещественное невырожденное линейное преобразование переменных вида

z1 =√b1y1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .zl =

√blyl ,

zl+1 =√−bl+1yl+1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .zr =

√−bryr ,

zr+1 = yr+1,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .zn = yn.

(18.16)

Тогда (18.15) эквивалентна квадратичной форме вида

z21 + . . .+ z2

l − z2l+1 − . . .− z2

r . (18.17)

�

Теорема 18.3 (закон инерции вещественной квадратичной формы). Число положительных и числоотрицательных квадратов в нормальном виде вещественной квадратичной формы определяются однознач-ным образом и, следовательно, не зависят от вещественного невырожденного линейного преобразованияпеременных, переводящего исходную квадратичную форму к нормальному виду.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим квадратичную форму f (x1, x2, . . . , xn) = XTAX, которая при по-мощи невырожденного вещественного линейного преобразования Y = S1X ⇔ yi = αi1x1 + αi2x2 + . . . +

αinxn, ∀i , j = 1, n, αi j ∈ R, приводится к нормальному виду

y21 + y2

2 + . . .+ y2s − y2

s+1 − . . .− y2r , (18.18)

а при помощи Z = S2X – невырожденного линейного преобразования zi = βi1x1 + βi2x2 + . . .+ βinxn, ∀i , j =

1, n, βi j ∈ R, – приводится к нормальному виду

z21 + z2

2 + . . .+ z2t − z2

t+1 − . . .− z2r . (18.19)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Требуется доказать, что s = t.

Пусть s < t, тогда рассмотрим следующую однородную систему линейных уравнений:

α11x1 + α12x2 + . . .+ α1nxn = 0,

α21x1 + α22x2 + . . .+ α2nxn = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .αs1x1 + αs2x2 + . . .+ αsnxn = 0,

βt+1,1x1 + βt+1,2x2 + . . .+ βt+1,nxn = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .βn1x1 + βn2x2 + . . .+ βnnxn = 0.

(18.20)

Система (18.20) состоит из n− t+ s < n линейных уравнений. Значит, она имеет ненулевые решения. Пусть(γ1, γ2, . . . , γn), γi ∈ R – одно из таких ненулевых решений. Найдем значение исходной квадратичной формына этом ненулевом решении.

С одной стороны,

f (γ1, γ2, . . . , γn) =( n∑i=1

α1iγi)2

+( n∑i=1

α2iγi)2

+. . .+( n∑i=1

αsiγi)2−

( n∑i=1

αs+1,iγi)2−. . .−

( n∑i=1

αr iγi)2

= [из системы

(18.20) следует, чтоn∑i=1

αj iγi = 0, ∀j = 1, s]=

= −( n∑i=1

αs+1,iγi

)2

− . . .−( n∑i=1

αr iγi

)2

6 0. (18.21)

С другой стороны,

f (γ1, γ2, . . . , γn) =( n∑i=1

β1iγi)2

+( n∑i=1

β2iγi)2

+ . . .+( n∑i=1

βtiγi)2−

( n∑i=1

βt+1,iγi)2− . . .−

( n∑i=1

βr iγi)2

= [из системы

(18.20) следует, чтоn∑i=1

βj iγi = 0, ∀j = t + 1, n]=

=

( n∑i=1

β1iγi

)2

+ . . .+

( n∑i=1

βtiγi

)2

> 0. (18.22)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Итак, из (18.21) и (18.22) следует, что f (γ1, . . . , γn) = 0. Но тогда из соотношения (18.22) и системы (18.20)

следует, что S2

γ1

γ2

. . .

γn

= 0, причем

γ1

γ2

. . .

γn

6= 0. Учитывая, что detS2 6= 0, получаем противоречие. Значит,

s ≮ t. Аналогично доказывается, что s ≯ t. �

Число положительных квадратов в нормальном виде вещественной квадратичной формы называется по-ложительным индексом инерции, а число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции.Разность между положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы называетсясигнатурой.

Следствие 18.3.1. Для любой вещественной симметрической матрицы A найдется невырожденная ве-щественная S такая, что

STAS =

1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0

0 1 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1 0 . . . 0 0 . . . 0

0 0 . . . 0 −1 . . . 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 0 . . . −1 0 . . . 0

0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0

,

где число 1, -1 равно рангу матрицы A и не зависит от матрицы S.

Нетрудно видеть, что ранг и сигнатура вещественной квадратичной формы однозначным образомопределяют положительный и отрицательный индексы инерции рассматриваемых квадратичных форм.

Теорема 18.4 (критерий эквивалентности вещественной квадратичной формы). Две вещественные

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

квадратичные формы от n переменных эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их ранги и сигна-туры.

Пример 18.4. Найти нормальный вид следующей квадратичной формы f (x1, x2, x3) = x21 +3x2

2 +2x23 +6x1x2−4x1x3−18x2x3.

Решение. Приведем первоначально исходную квадратичную форму к каноническому виду. Для этого, на основании тео-ремы 18.1, выделим полный квадрат по переменной x1, затем по переменной x2 и т.д. (см., например, пример 18.2). Применив

невырожденное линейное преобразование вида

y1 = x1 + 3x2 − 2x3,

y2 = x2 + 12x3,

y3 = x3,

приходим к каноническому виду y21 − 6y2

2 −1

2y2

3 .

В свою очередь, применяя к последней квадратичной форме невырожденное линейное преобразование вида

z1 = y1,

z2 =√

6y2,

z3 =1√

2y3,

приходим к нормальному виду исходной квадратичной формы: z21 − z2

2 − z23 .

Пример 18.5. Выяснить, являются ли эквивалентными следующие квадратичные формыf1(x1, x2, x3) = 2x2

1 + 3x22 + x2

3 − 4x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3, f2(x1, x2, x3) = 3x1 − 2x22 − 5x2

3 − 4x2x3.

Решение. Приведем обе квадратичные формы к каноническому виду (см. пример 18.4). Имеем f1 ∼ z21 + z2

2 + z23 , f2 ∼

u21 − u2

2 − u23 . Так как нормальный вид первой квадратичной формы содержит три положительных квадрата, то ранг этой

квадратичной формы равен 3 и сигнатура также равна 3. В то же время, нормальный вид второй квадратичной формы содержит

один положительный и два отрицательных квадрата, а это значит, что ранг этой квадратичной формы также равен 3, но

сигнатура равна -1. На основании теоремы 18.4 (критерия эквивалентности) заключаем, что квадратичная форма f1 не является

эквивалентной квадратичной форме f2.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.18. Квадратичные формы1.18.4. Знакоопределенные квадратичные формы

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.18.4. Знакоопределенные квадратичные формы

Совокупность значений переменных x1, . . . , xn называется нулевой, если x1 = x2 = . . . = xn = 0.

Совокупность значений переменных x1, . . . , xn называется ненулевой, если среди этих значений есть хотя

бы одно, отличное от нуля, т.е.n∑i=1

x2i > 0.

Рассмотрим вещественную квадратичную форму f вида (18.1). Ясно, что f (0, 0, . . . , 0) = 0.

Вещественная квадратичная форма f называется положительно определенной, если на любой ненуле-вой совокупности значений переменных x∗1 , x

∗2 , . . . , x

∗n значение квадратичной формы больше нуля, т.е.

f (x∗1 , . . . , x∗n ) > 0, если

n∑i=1

(x∗i )2 > 0.

Вещественная квадратичная форма f называется отрицательно определенной, если на любой ненуле-вой совокупности значений переменных x∗1 , x

∗2 , . . . , x

∗n значение квадратичной формы меньше нуля, т.е.

f (x∗1 , . . . , x∗n ) < 0, если

n∑i=1

(x∗i )2 > 0.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называется знакоопределенным квад-ратичными формами.

Теорема 18.5. Если некоторая вещественная квадратичная форма является положительно определен-ной, то и любая ей эквивалентная квадратичная форма является положительно определенной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим две вещественные квадратичные формы f (x1, . . . , xn) = XTAX,

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

g(y1, . . . , yn) = Y TBY, A,B ∈ Rn,n, A = AT , B = BT . Пусть f ∼ g, причем f положительно определена. Таккак f ∼ g, то существует невырожденное линейное преобразование

s11x1 + s12x2 + . . .+ s1nxn = y1,

s21x1 + s22x2 + . . .+ s2nxn = y2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sn1x1 + sn2x2 + . . .+ snnxn = yn,

(18.23)

которое переводит квадратичную форму g в квадратичную форму f и наоборот.От противного. Пусть квадратичная форма g не является положительно определенной. Это значит,

что найдется ненулевая совокупность значений переменных y ∗1 , y∗2 , . . . , y

∗n таких, что g(y ∗1 , . . . , y

∗n ) 6 0. Но

тогда, положив в соотношениях (18.23) y1 = y ∗1 , y2 = y ∗2 , . . . , yn = y ∗n , получим невырожденную неодно-родную линейную систему уравнений, которая имеет единственное ненулевое решение x∗1 , . . . , x

∗n . Так как

g ∼ f , то g(y ∗1 , y∗2 , . . . , y

∗n ) = f (x∗1 , x

∗2 , . . . , x

∗n ), а это значит, что f (x∗1 , . . . , x

∗n ) 6 0 на ненулевой совокупности

переменных x∗1 , . . . , x∗n . Противоречие. �

Теорема 18.6. Если некоторая вещественная квадратичная форма отрицательно определена, то и лю-бая эквивалентная ей квадратичная форма отрицательно определена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство аналогично доказательству теоремы 18.5. �

Теорема 18.7. Нормальный вид положительно определенной квадратичной формы от n переменныхсодержит в точности n положительных квадратов, т.е. имеет вид

y21 + y2

2 + . . .+ y2n . (18.24)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть положительно определенная квадратичная форма f от n переменныхэквивалентна квадратичной форме в нормальном виде

ε1y21 + ε2y

22 + . . .+ εny

2n . (18.25)

Покажем, что εi = 1, ∀i = 1, n.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

От противного. Пусть существует индекс i∗, 1 6 i∗ 6 n, такой, что либо εi∗ = 0, либо εi∗ = −1.

Тогда рассмотрим следующую совокупность переменных: x1 = 0, . . . , x2 = 0, . . . , xi∗ = −1, . . . , xn = 0.

Нетрудно видеть, что значение квадратичной формы (18.25) на этом наборе переменных меньше либоравно 0. Но тогда (18.25) не является положительно определенной. Однако (18.25) эквивалентна f , причемf положительно определенная. Противоречие с теоремой 18.5. �

Теорема 18.8. Нормальный вид отрицательно определенной квадратичной формы от n переменныхсодержит в точности n отрицательных квадратов, т.е. имеет вид

− y21 − y2

2 − . . .− y2n . (18.26)

Необходимые признаки положительно определенных квадратичных форм

1◦. Если квадратичная форма f (x1, . . . , xn) =n∑i=1

n∑j=1

ai jxixj является положительно определенной, то

ai i > 0 для любого i = 1, n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как квадратичная форма f (x1, . . . , xn) является положительно определен-ной, то на любой ненулевой совокупности переменных x1, . . . , xn она принимает положительные значения.В частности, f (1, 0, . . . , 0) = a11 > 0, f (0, 1, . . . , 0) = a22 > 0, . . . , f (0, . . . , 1) = ann > 0. �

Замечание 18.3. Утверждение, обратное 1◦, вообще говоря, неверно.Например, в квадратичной форме f (x1, x2) = x2

1 − 10x1x2 + x22 , a11 = a22 = 1. Однако эта квадратичная форма

не является положительно определенной, ибо на ненулевом наборе x1 = x2 = 1 имеем f (1, 1) = −8 < 0.

2◦. Определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы больше нуля.Д о к а з а т е л ь с т в о. f (x1, . . . , xn) = XTAX – положительно определенная квадратичная форма.

Тогда существует X = SY – невырожденное вещественное преобразование переменных, переводящее этуквадратичную форму к нормальному виду, т.е. f ∼ g, причем g(y1, . . . , yn) = Y TBY и B = En – единич-ная матрица порядка n. Так как B = STAS, имеем detB = detST · detA · detS ⇔ 1 = (detS)2 · detA.

Следовательно, detA > 0. �3◦. Ранг положительно определенных квадратичных форм от n переменных равен n.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из определения ранга квадратичной формы и призна-ка 2◦ положительно определенной квадратичной формы. �

Рассмотрим матрицу A :

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n

. . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 an3 . . . ann

.

Следующие миноры квадратной матрицы A называются главными угловыми минорами:

∆1 = |a11|; ∆2 =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ ; ∆3 =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ ; . . . , ∆n = detA.

Замечание 18.4. Все миноры матрицы A, симметричные относительно главной диагонали, называются глав-ными минорами матрицы A. Так, например, если n = 3, имеем следующие главные миноры матрицы A :

∆11 = |a11|; ∆12 = |a22|; ∆13 = |a33|;

∆21 =

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ ; ∆22 =

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ ; ∆23 =

∣∣∣∣ a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣ ; ∆31 = detA.

Теорема 18.9 (теорема Якоби). Если все главные угловые миноры матрицы квадратичной формыотличны от нуля, то такая квадратичная форма эквивалентна квадратичной форме в каноническом виде:

∆1

∆0y2

1 +∆2

∆1y2

2 + . . .+∆n

∆n−1y2n , где ∆0 = 1. (18.27)

Доказательство теоремы можно найти, например, в учебном пособии [?].

Теорема 18.10 (критерий Сильвестра для положительно определенных квадратичных форм). Для тогочтобы вещественная квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобывсе главные угловые миноры матрицы этой квадратичной формы были положительны.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть квадратичная форма f (x1, . . . , xn) =n∑i=1

n∑j=1

ai jxixj , ai j ∈

R, или в матричном виде f (x1, . . . , xn) = XTAX, положительно определена. Но тогда положительно опреде-

лена и любая квадратичная форма вида fk(x1, . . . , xk) =k∑i=1

k∑j=1

ai jxixj , ai j ∈ R, 1 6 k 6 n, которая является

"сужением"исходной квадратичной формы от n переменных x1, . . . , xn к квадратичной форме от k пере-менных x1, . . . , xk . Исходя из признака положительной определенности квадратичной формы определительматрицы квадратичной формы fk(x1, . . . , xk) положителен, т.е.

∆k =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1k

a21 a22 . . . a2k

a31 a32 . . . a3k

. . . . . . . . . . . .

ak1 ak2 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣> 0, 1 6 k 6 n.

Итак, все главные угловые миноры матрицы A исходной квадратичной формы f (x1, . . . , xn) =n∑i=1

n∑j=1

ai jxixj

положительны.Достаточность. Пусть все главные угловые миноры матрицы A квадратичной формы положительны,

т.е. ∆k > 0 для любого k = 1, n. Тогда на основании теоремы Якоби квадратичная форма f эквивалентнаквадратичной форме в каноническом виде

∆1

∆0y2

1 +∆2

∆1y2

2 + . . .+∆n

∆n−1y2n . (18.28)

Квадратичная форма (18.28) положительно определена, но тогда на основании теоремы 18.5 положительноопределена и исходная квадратичная форма f . �

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Необходимые признаки отрицательно определенных квадратичных форм

Нетрудно видеть, что если квадратичная форма f (x1, . . . , xn) является положительно определенной,то квадратичная форма −f (x1, . . . , xn) является отрицательно определенной. Поэтому верны следующиепризнаки отрицательно определенных квадратичных форм:

1◦. если квадратичная форма отрицательно определена, то все коэффициенты при квадратичных пе-ременных в этой квадратичной форме отрицательны;

2◦. если квадратичная форма от n переменных отрицательно определена, то определитель матрицыэтой квадратичной формы положителен, если n – четное, и отрицателен, если n – нечетное;

3◦. если квадратичная форма от n переменных является отрицательно определенной, то ее ранг равенn.

Теорема 18.11 (критерий Сильвестра для отрицательно определенных квадратичных форм). Для тогочтобы вещественная квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобывсе главные угловые миноры матрицы этой квадратичной формы четного порядка были положительны, анечетного – отрицательны.

Пример 18.6. При каких значениях λ квадратичная форма f (x1, x2, x3) = 4x21 + x2

2 + λx23 + 2x1x2 + 4x1x3 − 6x2x3 является

положительно определенной?

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы f : A =

4 1 2

1 1 −3

2 −3 λ

. В соответствии с критерием Сильвестра

потребуем, чтобы все главные угловые миноры этой матрицы были положительны:

∆1 = 4 > 0; ∆2 =

∣∣∣∣ 4 1

1 1

∣∣∣∣ = 3 > 0; ∆3 =

∣∣∣∣∣∣4 1 2

1 1 −3

2 −3 λ

∣∣∣∣∣∣ = 3λ− 52 > 0.

Следовательно, форма f положительно определена лишь при λ >52

3.

xНазад

xВперёд

Часть I. Теоретический материалГлава 1. Геометрия и алгебра1.18. Квадратичные формы1.18.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

1.18.5. Приведение вещественной квадратичной формы к каноническому виду припомощи ортогональных преобразований

Рассмотрим вещественную квадратичную форму

f (x1, x2, . . . , xn) =

n∑i=1

n∑j=1

ai jxixj , ai j ∈ R, ai j = aj i , ∀i , j = 1, n (18.29)

или в матричном видеf (x1, x2, . . . , xn) = XTAX, A ∈ Rn,n, A = AT .

Как известно, эта квадратичная форма эквивалентна квадратичной форме в каноническом виде

g(y1, . . . , yn) =

n∑i=1

bi iy2i , bi i ∈ R, ∀i = 1, n,

или в матричном виде

g(y1, . . . , yn) = Y TBY = Y T

b11 0 . . . 0

0 b22 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . bnn

Y.Это значит, что найдется невырожденное линейное преобразование переменных X = HY, переводящее квад-ратичную форму f в квадратичную форму g. Но тогда матрицы A и B связаны соотношением

B = HTAH,

причем матрица B – диагональная.С другой стороны, матрицу A квадратичной формы (18.29) можно рассматривать как матрицу неко-

торого симметрического оператора f евклидова пространства Vn в некотором ортонормированном базисе

(i1, i2, . . . , in) (18.30)

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

этого пространства.Как известно, в этом случае для оператора f (см. теорему 16.14) существует ортонормированный

базис(i ′1, i

′2, . . . , i

′n) (18.31)

из собственных векторов оператора f .А это значит, что если S- матрица перехода от базиса (18.30) к базису (18.31), то:1) матрица S−1AS – матрица оператора f в новом ортонормированном базисе (18.31);2) матрица S−1AS является диагональной, причем на главной диагонали стоят собственные значения

оператора f ;

3) учитывая, что базисы (18.30), (18.31) ортонормированы, то исходя из теоремы 16.6 верно равенствоS−1 = ST , т.е. матрица S ортогональна.

Отсюда следует, что в качестве невырожденного линейного преобразования, переводящего квадратич-ную форму (18.29) к каноническому виду, можно рассматривать преобразование X = SY, где S - ортого-нальная матрица, т.е. матрица некоторого ортогонального преобразования евклидова пространства Vn.

Итак, верна следующая теорема.

Теорема 18.12. Любая вещественная квадратичная форма f с помощью ортогонального преобразова-ния переменных может быть приведена к каноническому виду, причем коэффициенты при квадратах пере-менных в каноническом виде суть собственные значения матрицы квадратичной формы f .

Алгоритм приведения квадратичной формы от n переменныхк каноническому виду с помощьюортогональных преобразований

1) Выписываем матрицу A квадратичной формы.2) Решаем характеристическое уравнение, т.е. находим собственные значения матрицы A. Это будут

коэффициенты при квадратах переменных в каноническом виде.3) Находим n линейно независимых собственных векторов (базис евклидова пространства Vn, состоя-

щий из собственных векторов некоторого симметрического оператора f , имеющего в некотором ортонор-мированном базисе этого пространства своей матрицей матрицу A).

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

4) Строим ортонормированный базис.5) Составляем матрицу искомого ортогонального преобразования.Пример 18.7. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму

f (x1, x2, x3) = 5x21 + 2x2

2 + 5x23 − 4x1x2 − 2x1x3 − 4x2x3.

Решение. В соответствии с алгоритмом, выписываем матрицу исходной квадратичной формы

A =

5 −2 −1

−2 2 −2

−1 −2 5

и решаем характеристическое уравнение det(A− λE3) = 0⇔

∣∣∣∣∣∣5− λ −2 −1

−2 2− λ −2

−1 −2 5− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ −λ3 + 12λ2 − 36λ = 0.

Корни этого уравнения λ1 = 6, λ2 = 0 имеют соответственно кратности k1 = 2, k2 = 1. Они являются собственнымизначениями матрицы A и являются коэффициентами при квадратах переменных в каноническом виде исходной квадратичнойформы f , т.е. f ∼ 6y2

1 + 6y22 .

Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям. Координаты (u1, u2, u3) собственных векторов,отвечающих собственному значению λ1 = 6 кратности k1 = 2, определим из системы уравнений вида (15.26), заменяя в нейλ на λ1. В результате имеем систему, состоящую из одного уравнения u1 + 2u2 + u3 = 0. Находим координатные столбцы

U1 =

−2

1

0

, U2 =

−1

0

1

базисных собственных векторов подпространства Lλ1– подпространства собственных векторов,

отвечающих собственному значению λ1. Отметим, что Lλ1= L(U1, U2) и dimLλ1

= 2.

Координаты (u1, u1, u3) собственных векторов, отвечающих собственному значению λ2 = 0 кратности k2 = 1, определя-ются из системы уравнений {

5u1 − 2u2 − u3 = 0,

−2u1 + 2u2 − 2u3 = 0.

Отсюда имеем U3 =

1

2

1

– координатный столбец базисного собственного вектора подпространства Lλ2, а это значит, что

Lλ2= L(U3) и dimLλ2

= 1.

Итак, (U1, U2, U3) – базис из собственных векторов. Строим ортонормированный базис из собственных векторов. Дляэтого в каждом из подпространств Lλ1

и Lλ2строим свой собственный ортонормированный базис из собственных векторов.

xНазад

xВперёд


x

Вверх

�Главная

А-ЯПонятия

?Помощь

zzСтраницы

Рассмотрим подпространство Lλ1. Используя процесс ортогонализации, по системе векторов U1, U2 находим первона-

чально ортогональный базис: V1 = U1 =

−2

1

0

, V2 = U2 −2

5V1 =

− 1

5

− 25

1

. Пронормировав векторы V1 и V2, получим

V ′1 =

− 2√

5

1√5

0

, V ′2 =

− 1√

30

− 2√30

5√30

.В подпространстве Lλ2

производим лишь нормировку вектора u3 :

V ′3 =

1√6

2√6

1√6

.Из координатных столбцов V ′1 , V

′2 , V

′3 составляем теперь матрицу S искомого ортонормированного преобразования, переводя-

щего данную квадратичную форму к каноническому виду 6y21 + 6y2

2 :

S =

− 2√

5− 1√

301√6

1√5

− 2√30

2√6

0 5√30

1√6

.Само искомое преобразование имеет вид

x1 = − 2√5y1 − 1√

30y2 + 1√

6y3,

x2 = 1√5y1 − 2√

30y2 + 2√

6y3,

x3 = 5√30y2 + 1√

6y3.

Documents

Геометрия и алгебра (Г.П. Размыслович, А.В. Филипцов)