526.высшая математика линейная алгебра и аналитическая геометрия

1

Министерство культуры Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет

культуры и искусств» Социально-гуманитарный институт

Кафедра экономики социальной сферы

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Конспект лекций

по специальности 080507 «Менеджер организации»

Кемерово 2011

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

Утвержден на заседании кафедры экономики социальной сферы 30 мая 2011 г., протокол № 11

Рекомендован к изданию УМС СГИ 15 июня 2011 г., протокол № 8

Высшая математика: линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст]: конспект лекций по специальности 080507 «Менеджмент орга-низации» / сост.: А. С. Ащеулова, О. С. Карнадуд, А. И. Саблинский. – Кемерово: КемГУКИ, 2011. – 71 с.


3

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебное пособие представляет собой базовый кон-

спект лекций по высшей математике для студентов первого курса специ-

альности 080507 «Менеджер организации» очного и заочного отделений.

Из всего курса высшей математики в нем рассматриваются следующие

разделы «Определители», «Матрицы и системы линейных алгебраиче-

ских уравнений», «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия».

Целью изучения курса математики является:

Формирование базы, на основе которой строится общеобразовательная

и специальная подготовка специалистов;

Привитие навыков освоения нового, развитие логического и алгорит-

мического мышления;

Выработка у студентов умения проведения математического анализа

прикладных задач.

Курс математики относится к циклу общих математических и есте-

ственнонаучных дисциплин. Для его изучения требуются навыки и зна-

ния в рамках программы общеобразовательной школы.

Курс математики является базой для изучения большинства предме-

тов, относящихся к циклу общепрофессиональных дисциплин, таких, как:

Информатика;

Экономическая теория;

Маркетинг;

Финансы и кредит;

Статистика;

Бухгалтерский учет;

Информационные технологии управления.


Тема 1. Элементы линейной алгебры

4

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


1.1. Матрицы и действия над ними

1.2. Определители

1.3. Обратная матрица

1.4. Ранг матрицы

Матрицы и действия над ними

Определение. Матрицей размера mn называется совокупность

mn элементов, представленная в виде таблицы, состоящей из m строк

и n столбцов, где aij, i=1,2,…, m j=1,2,…,n, m, nN – элемент матрицы А,

стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

A

21

22221

11211

Определение. Если число строк матрицы равно числу столбцов,

то матрица называется квадратной, а число строк является ее поряд-

ком или размером.

Определение. Элементы квадратной матрицы размера n, стоя-

щие на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами, то

есть, a11, a22, …, ann, образуют главную диагональ. Соответственно,

элементы a1n, a2n-1, …, an1, лежащие на прямой, соединяющей правый

верхний и левый нижний углы матрицы, образуют побочную диагональ.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

A

21

22221

11211

Определение. Две матрицы А и В одинакового размера называют

равными, если они совпадают поэлементно. Равенство записывается

как А=В.

главная диагональпобочная диагональ



5

Виды матриц Определение. Матрица, состоящая из одной строки A=(a11, a12,

…, a1n), называется матрицей-строкой или вектором. Матрица, со-

стоящая из одного столбца

1

21

11

...A

ma

a

a

, называется матрицей-столбцом

или также вектором. Определение. Матрица, произвольного размера, все элементы

которой равны нулю, называют нулевой и обозначается О.

Определение. Квадратная матрица, у которой на главной диаго-нали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается

1...00

............

0...10

0...01

Е

Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы вы-ше или ниже главной диагонали равны нулю, под главной диагональю стоят нули, называется треугольной.

Определение. Произвольная матрица вида )( ВАС , составленная

из двух матриц, разделенных вертикальной чертой, называется расши-ренной. Например, матрица

100

010

001

674

809

341

С

является расширенной. Она составлена из квадратной матрицы третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка.

Определение. Квадратная матрица А n-го порядка называется симметричной, если ее элементы подчиняются следующему равенству aij=aji, где i, j=1,2,..,n.

Например, матрица

643

425

351

D является симметричной.

Определение. Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если у нее каждая строка является столбцом матрицы А.



6

Например,

413

292

061

420

196

321

A TA

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число.

Определение. Произведением числа λ на матрицу А называется

матрица В такая, что В=λА. Элементы матрицы В вычисляются по

формуле ija ijb , где i=1,2,..,m j=1,2,..,n.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

AB

21

22221

11211

.

Пример.

Умножить матрицу

701

3116

532

A на 2.

1402

6232

1064

272021

2321216

252322

В .

Замечание. Общий множитель всех элементов матрицы можно

выносить за знак матрицы.

2. Сложение (вычитание) матриц.

Пусть матрицы А и В имеют одинаковый размер mn, то есть

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

A

21

22221

11211

,

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

...

............

...

...

B

21

22221

11211

.

Матрица С размера mn называется суммой (разностью) матриц

А и В, если

,

...

............

...

...

C

2211

23222222121

13112121111

mnmnmmmm

n

n

bababa

bababa

bababa

, m n N

то есть, чтобы сложить (вычесть) матрицы одинакового размера, необхо-

димо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.



7

3. Умножение матриц.

Определение. Произведением матрицы А размера mn и матрицы

В размера nr называется матрица С размера mr, имеющая следующий

вид:

mrmm

r

r

ccc

ccc

ccc

...

............

...

...

C

21

22221

11211

, где njinjijiij bababac ...2211 i=1,2, …,m, j=1,2,…, r.

Замечание 1. Отметим, что перемножить матрицы можно только в

том случае, если число элементов в строке первой матрицы равно числу

элементов в столбце второй матрицы.

Замечание 2. Из правила умножения матриц следует, что ABBA ,

то есть умножение матриц не коммутативно.

При умножении матриц удобно использовать следующую схему:

njinjijiij bababac ...2211

Пример. Заданы матрицы

502

321

401

021

401

321

BA

Вычислим произведение:

.

243

1609

2547

503)2(41002)2(01201)2()1(1

5430410420012410)1(1

5332410322012312)1(1

502

321

401

021

401

321

B

A



8

Выполним умножение матриц при помощи, предложенной схемы

Свойства сложения и умножения матриц

1. AА T )( T .

2. TT AА )( , где α=const.

3. TTT BABА )( .

4. TTT ABBА )( .

5. A+B=B+A.

6. (A+B)+C=A+(B+C).

7. α(A+B)=αA+αB, где α=const.

8. A(B+C)=AB+AC.

9. (A+B)C=AC+BC.

10. C(AB)=(CA)B.

11. α(AB)=(αA)B=A(αB), где α=const.

Определители

Если матрица квадратная, то ее можно оценить (определить), то

есть поставить в соответствие число.

Определение. Определителем матрицы А (или detА) называется

многочлен, составленный из элементов этой матрицы. Для матрицы

порядка n определитель записывается в виде

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

detA

21

22221

11211

.

Если матрица числовая, то значение определителя есть число, ко-

торое находят по известным правилам.



9

Вычисление определителей Определитель 2-го порядка равен произведению элементов главной

диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, то есть

211222112221

1211detA aaaaaa

aa .

Примеры. Вычислить определители:

1. 264324143

21 ;

2. 1)cos(sincossincoscossinsinsincos

cossin 2222

xxxxxxxxxx

xx;

Определитель 3-го порядка вычисляется по формуле:

211233322311312213312312213213332211

333231

232221

131211

detA aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

.

Правило треугольников Из структуры формулы видно, что каждое слагаемое в правой час-

ти входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца мат-рицы. Формулу вычисления определителя третьего порядка легко запом-нить, если воспользоваться правилом треугольников (рис.1.1). Берутся произведения элементов, соединенных линиями. На рисунке слева ли-ниями указаны произведения элементов, которые следует взять со зна-ком «+», справа – со знаком «–».

+ –

Рис. 1.1. Правило треугольников

Правило Саррюса К определителю приписывают справа два первых столбца и вычис-

ляют сумму произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и



10

«прямых» параллельных ей и со знаком минус вычисляют сумму произ-ведений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллельных ей (рис. 1.2)

Рис. 1.2. Правило Саррюса

Пример. Вычислить определитель

312

012

101

1. Рассмотрим правило треугольников, сначала выпишем слагаемые со знаком «+»

слагаемые со знаком «+» слагаемые со знаком «–»

Запишем все вместе

1002203302011)1(1)2()1(12)2(00311

312

012

101

2. Рассмотрим правило Саррюса

1002203

302011)1(1)2()1(12)2(00311



11

Определение. Минором Mij элемента aij, i,j=1,2,…,n называется опре-

делитель порядка n–1, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го

столбца из определителя порядка n.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij опреде-

лителя называется число Aij, равное минору Mij со знаком «+», если

сумма i+j четная, и со знаком «», если сумма i+j нечетная, т. е.

ijji

ij MA )1( .

Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произ-

ведений элементов любой строки или любого столбца на их алгебраиче-

ские дополнения:

n

iijij

n

jijij

AaA

AaA

1

1 .

Пример.

Вычислить определитель разложением по третьему столбцу.

134)01(30)22()2011(3

0))2(112(12

013)1(

12

010)1(

12

12)1()1(

312

012

101333231

Свойства определителей

1. Определитель матрицы не изменится, если матрицу транспонировать. Tdet detA A .

2. Определитель матрицы равен нулю, если он содержит строку (стол-

бец), все элементы которой равны нулю.

3. Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столб-

цов) одинаковые.

4. Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столб-

цов) пропорциональны.

5. Определитель матрицы меняет свой знак на противоположный, если

поменять местами две строки (столбца).



12

6. Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общим множи-

тель, то он выносится за знак определителя.

7. Если к одной строке (столбцу) определителя прибавить другую строку

(столбец) умноженную на число, то значение определителя не изменится.

8. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов,

стоящих на главной диагонали.

11 12 1

22 2

11 22

0det ...

0 0

n

n

nn

nn

a a a

a aA a a a

a

Способы вычисления определителей

Существует несколько способов вычисления определителя. Выбор

способа диктуется видом и порядком определителя. Удачно выбранный

способ позволяет существенно сократить вычисления. Рассмотрим их на

примере матрицы третьего порядка.

Пример.

Вычислить определитель матрицы третьего порядка.

222

142

122

A

1-й способ: правило треугольников.

128484416

2221)2(2)1()4()2(1)2(2)1()2(22)4(2

222

142

122

A

2-й способ: использование теоремы о разложении определителя по

любой строке или столбцу.

Разложим определитель по второй строке

12084)44()24(4)24(2

22

221)1(

22

12)4()1(

22

122)1(

222

142

122322212

A



13

Находим определитель

0 0 Матрица вырожденная. Обратной не существует

Находим миноры. Записываемобратную матрицу в виде (1.1)

3-й способ: использование свойств определителя для приведение его к треугольному виду.

)1(

222

142

122

=

222

260

122

= 121)6(2

100

260

122

первую строку умножили на (–1) и прибавили ко второй

первую строку прибавили к третьей

вычислили определитель тре-угольной матрицы, он по свойству равен произведению элементов стоящих на главной диагонали

4-й способ: использование метода Саррюса сделайте самостоятельно.

Обратная матрица Определение. Если определитель матрицы равен нулю, то мат-

рица называется вырожденной. В противном случае, матрица называ-ется невырожденной.

Определение. Матрица А–1 называется обратной к матрице А размера n, если она удовлетворяет следующему равенству:

ЕАААА 11 . Теорема. Для существования обратной матрицы А–1 необходимо и

достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. Если обратная матрица существует, то она находится по фор-

муле:

nnnn

n

AAA

AAA

ААА

А

...

............

...

...

1

21

22212

n12111

1 (1.1)

Алгоритм нахождения обратной матрицы



14

Пример.

Найти матрицу обратную к матрице

123

122

311

А .

Решение. Вычислим определитель матрицы А

0522181232

123

122

311

Так как 0, матрица А является невырожденной, и для нее суще-

ствует обратная, найдем ее. Для этого вычислим алгебраические допол-нения для каждого элемента матрицы А:

26423

22)1(

1)32(13

12)1(

012

12)1(

3113

2112

1111

А

А

А

1)32(23

11)1(

89113

31)1(

5)61(12

31)1(

3223

2222

1221

А

А

А

022

11)1(

5)61(12

31)1(

56112

31)1(

3333

2332

1331

А

А

А

найденные значения в формулу (1.1):

012

581

550

5

11А .

Ранг матрицы Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок

ее миноров, отличных от нуля, который обозначается rang(A)=r(A)≥0.

Элементарные преобразования матрицы 1. Перестановка двух строк. 2. Умножение любой строки на ненулевое число. 3. Добавление к одной строке другой, умноженной на любое число.



15

Теорема. Ранг матрицы не изменится, если к ней применить эле-ментарные преобразования.

Замечание. При определении ранга матрицы целесообразно при помощи элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Используя свойство 8 определителей, легко найти наибольший порядок отличных от нуля миноров.

Свойства ранга: 1. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю

2. R(A)≤min(m, n)

3. r(A)=n у матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда 0А

Пример.

Вычислить ранг матрицы

0010

0101

0101

А .

Решение. Приведем матрицу А к треугольному виду.

0010

0000

0101)1(

0010

0101

0101

0000

0010

0101

010

101

первую строку умно-жили на (–1) и приба-вили ко второй

переставили мес-тами 1-ую и 3-ю строки

т. к. третья строка и третий столбец нулевые, то их убрали

Так как получившаяся матрица имеет размер 32 , следовательно необ-ходимо найти минор второго порядка отличный от нуля.

110

01M , тогда r(A)=2.


Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

16


2.1. Основные понятия 2.2. Метод Крамера 2.3. Матричный метод 2.4. Метод Гаусса 2.5. Однородные системы линейных уравнений 2.6. Решение неоднородной системы линейных уравнений

Основные понятия Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n

неизвестными (СЛАУ):

,...

..............................................

,...

,...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

где xj – неизвестные, aij – коэффициенты при неизвестных, bi – свобод-ные члены, i=1,2,…m, j=1,2,…n.

Обозначим через А матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных jx , а через А матрицу, полученную из А присоединением к

ней столбца свободных членов:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

A

21

22221

11211

,

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

...

...

............

...

...

A 2

1

21

22221

11211

.

Матрица А называется матрицей коэффициентов системы уравне-ний, а матрица А – расширенной матрицей коэффициентов системы уравнений.

Определение. Решением системы уравнений называется совокуп-ность таких значений неизвестных: x1=α1, x2=α2, …, xn=αn, которые удовлетворяют всем уравнениям системы. Решить систему уравнений значит указать все его решения или показать, что их нет.

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решения, то она называется несовместной. Совместная система уравнений называ-ется определенной, если она имеет единственное решение, и неопреде-ленной, если она имеет более одного решения.



17

Методы решения СЛАУ Рассмотрим систему из трех линейных алгебраических уравнений

и трех неизвестных

,

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

(2.1)

тогда матрица коэффициентов при неизвестных и расширенная матрица коэффициентов имеют вид:

333231

232221

131211

A

aaa

aaa

aaa

,

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A .

Метод Крамера Для системы (2.1) введем следующие обозначения:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

33323

23222

13121

1

aab

aab

aab

,

33331

23221

13111

2

aba

aba

aba

,

33231

22221

11211

3

baa

baa

baa

,

где Δi, i=1,2,3 – определители, полученные из исходного определителя заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Тогда при решении системы методом Крамера возможны следую-щие случаи:

1) если 0, то система (2.1) совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:

11x ,

22x ,

33x ;

2) если =0, 1=2=3=0, то система (2.1) либо имеет множество реше-ний, либо несовместна;

3) если =0 и хотя бы один из 1, 2, 3 не равен нулю, то система несо-вместна и решения не имеет.

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

Находим определитель системы

0 0

1=2=3=0 множество решений

хотя бы один из определителей 1, 2, 3 не равен 0. Система не

имеет решений

Система имеет единственное

решение

11x

,

22x ,

33x .



18

Находим обратную

Обратная матрица

существует

Обратной матрицы не существует

Решение ищем в виде BA 1X

Данный метод нельзя применять

Матричный метод

Пусть для системы (2.1) определитель 0. Запишем ее в матрич-

ной форме. Имеем: А – матрица коэффициентов при неизвестных, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов системы:

333231

232221

131211

A

aaa

aaa

aaa

,

3

2

1

b

b

b

B

3

2

1

x

x

x

X ,

тогда BXA . выразим Х BA 1X . (2.2)

Алгоритм решения матричным методом

Метод Гаусса Метод Гаусса основан на алгоритме последовательного исключе-

ния неизвестных. Задача состоит в том, чтобы привести ее к «треугольному» виду

при помощи эквивалентных преобразований. Выпишем расширенную матрицу коэффициентов системы (2.1):

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A .

При решении системы уравнений (2.1) методом Гаусса возможны следующие случаи:

1. Если матрица A приведена к треугольному виду, то система (2.1) со-вместна и имеет единственное решение.

2. Если матрица A содержит хотя бы одну строку, все элементы которой равны нулю, то система (2.1) совместна и имеет множество решений.



19

3. Если матрица A содержит строку, все элементы которой, кроме сво-

бодного члена, равны нулю, то система (2.1) несовместна, то есть ре-

шения не имеет.

Пример.

Решить системы линейных алгебраических уравнений

а)

.1

,22

,12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

б)

.31152

,2453

,532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Решение.

а)

1. Решим систему методом Крамера.

1

111

112

211

3

111

112

211

1

6

111

122

211

2

2

111

212

111

3

Так как 0, то система совместна и имеет единственное решение:

31

311

x , 61

622

x , 21

233

x .

2. Решим систему матричным методом.

Так как 0, то обратная матрица к матрице А существует. Вычис-

лим алгебраические дополнения, имеем:

111

12

311

12

211

11A

13

12

11

A

A

011

11

111

21

111

21

23

22

21

A

A

A

112

11

512

21

311

21

33

32

31

A

A

A

тогда обратная матрица 1A имеет следующий вид:

101

513

3121A .



20

Найдем решение системы. Для этого запишем уравнение в коор-динатной форме (2.2):

2

6

3

1

2

1

101

513

3121

3

2

1

BA

x

x

x

.

3. Решим систему методом Гаусса. Приведем расширенную матрицу ко-

эффициентов A к «треугольному виду».

)1()2(

1

2

1

111

112

211

2

4

1

100

510

211

Матрица приведена к треугольному виду, следовательно, система совместна и имеет единственное решение. Найдем его, выписав систему уравнений, соответствующую последней матрице.

.2

,45

,12

3

32

321

x

xx

xxx

.2

,6425

,32261

3

2

1

x

x

x

Ответ: х1=3, х2=6, х3=2.

б)

.31152

,2453

,532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

1. Решим систему методом Крамера, имеем:

,0

1152

453

321

,0140

1153

452

325

1

Так как =0, 10, то система несовместна, решения не имеет.

2. Решим систему матричным методом. Так как =0, то обратная матри-ца к матрице А не существует, матричный метод не применим.

3. Решим систему методом Гаусса. Приведем расширенную матрицу ко-

эффициентов A к треугольному виду.

)2()3(

3

2

5

1152

453

321

→

7

13

5

510

510

321

→

20

13

5

000

510

321

Так как у полученной матрицы в последней строке коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член не равен нулю, то реше-ния нет, то есть система несовместна. Ответ: система несовместна.



21

Пример. Решить систему линейных уравнений

.42369

,33446

,24523

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Решение: составим расширенную матрицу системы

)3()2(

4

3

2

2369

3446

4523

→ )2(

2

1

2

101200

5600

4523

0

1

2

0000

5600

4523

или

1

2

5600

4523

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

.156

,24523

43

4321

xx

xxxx

Возьмем x2 и х4 свободными, а х1 и х3 – базисными. Тогда

.71218

1

,156

1

421

43

xxx

xx

Придавая произвольные значения неизвестным х3 и х2, получим

различные решения системы линейных уравнений.

Однородные системы линейных уравнений

Определение. Система линейных алгебраических уравнений назы-

вается однородной, если все свободные члены системы равны нулю:

,0...

..............................................

,0...

,0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

(2.3)

Свойства однородной системы линейных уравнений

1. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как

всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение.

2. Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов

должен быть меньше числа переменных r<n.



22

Пример. Решить однородную систему уравнений

.023

,0322

,02

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

Решение. Запишем матрицы коэффициентов и, совершив элементарные преобразования со строками, приведем ее к ступенчатому виду.

2113

3221

1112

Поменяем первую и вторую строку местами

)3()2(

2113

1112

3221

→

7550

7550

3221

→

7550

3221

Вернемся от матрицы к системе линейных уравнений.

.0755

,02

432

4321

xxx

xxxx

х1 и х2 – базисные переменные; х3 и х4 – свободные переменные.

.5

1

,755

1

41

432

xx

xxx

Решение неоднородной системы линейных уравнений Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неиз-

вестными

,...

..............................................

,...

,...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраиче-ских уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширен-ной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвест-ных, то система имеет единственное решение.



23

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест-ных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения неоднородной системы линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если )()( ArAr ,

то система несовместна.

2. Если rArAr )()( , система совместна. Найти какой-либо базисный

минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых состав-лен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, ко-эффициенты которые входят в базисный минор, называют базисными и оставляют слева, а остальные n–r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений. 3. Найти выражения базисных неизвестных через свободные. Получим общее решение системы. 4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения базисных неизвестных. Таким образом, мож-но найти частные решения исходной системы уравнений.

Схема исследования системы уравнений

Пример.

44352

5432

132

5431

5321

432

xxxx

xxxx

xxx

1. Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементар-ных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду.

Находим ранг матрицы и расширенной матрицы

)()( ArAr

система несовместна

)()( ArAr

система совместна

m<n m>n m=n

r=m r<m r<m r=m r=nr<n

Находим базисные и свободные переменные. Выражаем базисные переменные через свободные

Единственное решение



24

0

1

5

00000

03210

04312

)1(

1

1

5

03210

03210

04312

)1(

4

5

1

43502

04312

03210

2. 2)()( ArAr следовательно, система совместна. Выберем за базисные

переменные x1 и x2, а свободными соответственно будут x3, x4 и x5.

3. Перейдем от матрицы к системе

132

5432

432

5321

xxx

xxxx

4. Выразим базисные переменные через свободные.

432

5321

321

4352

xxx

xxxx

432

5321

3212

435

xxx

xxxx

432

5431

321

25,15,22

xxx

xxxx

Общее решение системы имеет вид

54343543 ;;;321;25,15,22 xxxxxxxx

Частное решение 0;0;0;1;2


Тема 3. Векторная алгебра

25

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Тема 3. Векторная алгебра 3.1. Основные определения 3.2. Линейные операции над векторами 3.3. Проекция вектора на ось 3.4. Разложение вектора по ортам координатных осей 3.5. Действия над векторами, заданными проекциями 3.6. Координаты вектора 3.7. Базис системы векторов 3.8. Скалярное произведение векторов и его свойства 3.9. Векторное произведение векторов и его свойства 3.10. Смешанное произведение векторов

Основные определения Величины, которые полностью определяются своим численным

значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин яв-ляются длина, площадь, объем, масса, температура и другие. Помимо скалярных величин в различных задачах встречаются величины, для оп-ределения которых кроме числового значения необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Примерами векторных величин могут служить сила, скорость и другие.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая за конец. Если А – начало векто-

ра и В – его конец, то вектор обозначается символом AB

. Вектор можно обозначить и одной малой латинской буквой с черточкой над ней a

. Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние

между началом и концом вектора.

AB a

Определение. Вектор, длина которого равна 0, то есть начало и конец его совпадают, называется нулевым вектором и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет.

Определение. Вектор, длина которого равна 1, называется еди-ничным вектором и обозначается через е. Единичный вектор, направле-ние которого совпадает с направлением вектора a

, называется ортом вектора a

.



26

Определение. Вектора называются коллинеарными, если они рас-положены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеа-рен любому вектору.

Определение. Вектора называются равными, если они коллинеар-ны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно пере-носить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку про-странства, в частности, плоскости. Такой вектор называется свободным.

Определение. Три вектора в пространстве называют компланар-ными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоско-стях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любых коллинеарны, то такие вектора компланарны.

Рис. 3.1. Компланарные вектора

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения, вычитания векторов, а так же умножение вектора на число.

Пусть a и b

произвольные вектора. Необходимо найти a

+b

.

Правило параллелограмма

Возьмем произвольную точку О и построим вектор aOA

и

bOB

. Достроим до параллелограмма. Суммой векторов будет являться направленная диагональ полученного параллелограмма.

Правило треугольника



27

Конец вектора a соединяем с началом вектора b

. Суммой этих

векторов будет вектор с началом в точке О и концом в точке В.

Под разностью векторов a и b

понимается вектор c

такой, что b+c=a.

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a

и b

,

одна направленная диагональ является суммой векторов a и b

, а другая

разностью векторов.

Произведение вектора на скаляр

Произведением вектора a на скаляр называется вектор λ a

, кото-

рый имеет длину a , коллинеарен вектору a

, имеет направление векто-

ру a, если λ>0 и противоположен по направлению, если λ<0.

Свойства линейных операций над векторами

1. a + b

= b

+ a – коммутативность.

2. a + (b

+ с

) = ( a + b

)+ с

3. a + 0

= a

4. a +(–1) a

= 0

5. () a = (a

) – ассоциативность

6. (+) a = a

+ a

– дистрибутивность

7. ( a + b

) = a

+ b

8. 1a = a

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных

операциях с вектором, как это делается в обычной алгебре: слагаемые

меняют местами, вводят скобки, группируют, выносят за скобки, как

скалярные, так и векторные общие множители.

Проекция вектора на ось

Пусть AB – произвольный вектор 0AB . Обозначим через А1 и В1

проекции на ось l соответственно начало А и конец В вектора AB и рас-

смотрим вектор 11BA .

Проекцией вектора AB на ось l называется положительное число

11BA , если вектор 1 1A B

и ось l одинаковы направлены, и отрицательное



28

число – 11BA , если вектор 11BA и ось l противоположно направлены.

Проекция вектора AB на ось l обозначается: ABпрl .

Если точки А1 и В1 совпадают ( 011 BA ), то проекцией вектора AB

равна 0.

Угол φ между вектором AB и осью l изображен на рисунке 3.2:

Рис. 3.2. Угол между вектором и осью

Основные свойства проекции

1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a

на

cosα

cosl aaпр

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрица-тельна), если вектор образует острый (тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и туже ось рав-ны между собой. 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и туже ось равна сумме их проекций на эту ось. 3. При умножении вектора a

на число λ его проекция на ось также ум-

ножается на это число.



29

Разложение вектора по ортам координатных осей Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат

Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичный вектор (орт) и обозначим их i, j, k. Выберем произвольный вектор a

и совмес-

тим его начало с начало координат OMa

. Найдем проекции вектора a

на координатные оси. Проведем через конец вектора a плоскости парал-

лельно координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат обозначим, соответственно, М1, М2, М3, получим пря-моугольный параллелепипед (рис. 3.3), одной из диагоналей которого

является вектор OM . Тогда: xaOMOMпр

1x , yaOMOMпр

2y ,

zaOMOMпр

3z .

Тогда

kajaiaa zyx

, (3.1)

эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, аy и аz на-зываются координатами вектора a

, то есть координаты вектора есть его

проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство часто записывают в символическом виде: a

(ах; аy; аz). Равенство b

(bх; by; bz) означает, что x y zb b i b j b k

. Зная

проекции вектора a, можно легко найти выражение для модуля вектора.

На основании о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда: 2

3

2

2

2

1

2OMOMOMOM .

Отсюда имеем: 222zyx aaaa

(3.2)

Пусть углы вектора a с осями Ox, Oy и Oz ,соответственно, равны

α, β и γ. По свойству проекций вектора на ось имеем:

cos

cos

cos

aa

aa

aa

z

y

x

(3.3)

Следовательно:

a

a

a

a

a

a zyx cos;cos;cos (3.4)



30

Рис. 3.3. Разложение вектора

Числа cosα, cosβ и cosγ называются направляющими косинусами вектора a

. Подставим выражение (3.4) в равенство (3.2):

сos2α + cos2β + cos2γ = 1 То есть сумма квадратов направляющих косинусов нулевого вектора равна 1. Легко заметить, что единичного вектора будет иметь координа-ты e

(cosα; cosβ; cosγ) Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо-

дуль и направление (то есть сам вектор).

Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы a=(ах; аy; аz) и b

=(bх; by; bz) заданы своими проек-

циями на оси координат Оx, Оy и Оz или, что тоже самое:

kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

Линейные операции над векторами

Так как операции над векторами сводятся к соответствующим ли-нейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1. kbajbaibaba zzyyxx

)()()(

)();();( zzyyxx babababa .

2. kajaiaa zyx

);;( zyx aaaa



31

Равенство векторов

Два вектора a и b

равны тогда и только тогда, когда

x x

y y

z z

a b

а b a b

a b

Коллинеарность векторов

Выясним коллинеарность векторов a и b

, заданными своими ко-

ординатами. Так как a параллелен b

, то можно записать a b

, где λ=const, то есть:

( )x y z x y z x y za i a j a k b i b j b k b i b j b k

,

отсюда: ах=λbх; аy =λby; аz= λbz, то есть:

; ;y yx xz z

x y z x y z

a aa aa a

b b b b b b

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональ-ны. Верно и обратное утверждение: вектора, имеющие пропорциональ-ные координаты, коллинеарны.

Координаты вектора

Найдем координаты вектора aAB

, если известны координаты то-чек А(x1, y1, z1) и В(x2, y2, z2).

Из рисунка 3.2 видно, что

kzzjyyixxkzjyixkzjyixOAOBAB

)()()()()( 121212111222 .

Рис. 3.2

Следовательно, координаты вектора равны разности соответст-вующих координат конца и начала вектора.

);;( 121212 zzyyxxAB



32

Базис системы векторов Определение. Система векторов 1a

, 2a

, 3a называется линейно

зависимой, если существуют такие константы 1 , 2 , 3 , не все равные

нулю и имеет место равенство

0332211

aaa .

Если из этого равенства с необходимостью следует, что

1 = 2 = 3 =0, то система называется линейно независимой.

Определение. Базисом в 3-мерной системе координат называется любая упорядоченная система из трех линейно независимых векторов пространства.

Теорема. Векторы );( 1111 zyxa

, );( 2222 zyxa

, );( 3333 zyxa обра-

зуют базис, если 0, где

333

222

111

zyx

zyx

zyx

.

Теорема. Координаты вектора относительно некоторого базиса определяются единственным образом.

Пример.

Даны три вектора (3,2,4)p , (4,3,5)q , (7,5, 2)r . Показать,

что они образуют базис и найти разложение вектора (4,3,2)a в этом

базисе.

Решение.

Покажем, что вектора p , q , r образуют базис. Вычислим опреде-

литель, составленный из координат этих векторов:

3 2 4

4 3 5 18 70 80 84 75 16 11 0

7 5 2

.

Так как 0, то векторы p , q , r образуют базис. По теореме, по-

лучаем разложение вектора a по базисным векторам p , q , r :

1 2 3a p q r 1 2 3

4 3 4 7

3 2 3 5

2 4 5 2

.



33

Чтобы найти координаты 1 , 2 , 3 вектора a в новом базисе, не-

обходимо найти решение следующей системы уравнений:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 4 7 4,

2 3 5 3,

4 5 2 2.

Решим эту систему методом Крамера, имеем:

3 4 7 3 2 4

2 3 5 4 3 5 11

4 5 2 7 5 2

,

1

4 4 7

3 3 5 3

2 5 2

, 2

3 4 7

2 3 5 8

4 2 2

, 3

3 4 4

2 3 3 3

4 5 2

.

Так как 0, то система совместна и имеет единственное решение:

1

3

11 ,

2

8

11 ,

3

3

11 . То есть,

3 8 3 +

11 11 11a p q r .

Определение. Совокупность всех 3-мерных векторов с действи-тельными координатами, рассматриваемая с определенными в ней опе-рациями сложения векторов и умножения вектора на число, образует 3-мерное векторное пространство.

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением (обозначается bа или

);( bа ) двух ненулевых векторов а

и b

называется число, равное произве-

дению длин этих векторов на косинус угла между ними.

cos);( babаbа

,

где φ – угол между векторами а и b То есть скалярное произведение двух векторов равно модулю од-

ного из них, умноженного на проекцию другого на ось.

Свойства скалярного произведения

1. baab

2. )()( abab



34

3. aсbсabс )(

4. 22 0cos aaaa

5. Если вектора а и b

ненулевые, взаимно перпендикулярны, то их ска-

лярное произведение равно 0.

Следствие. Если произведение векторов а и b

равно 0, значит век-

тора взаимно перпендикулярны.

6. Пусть заданы два вектора a (ах; аy; аz) и b

(bх; by; bz), то скалярное

произведение можно найти следующим образом zzyyxx babababa

Применение скалярного произведения Угол между векторами

Определение угла φ между векторами a (ах; аy; аz) и b

(bх; by; bz).

222222cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

ba

ba

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторовa и b

.

ахbх +аyby +аzbz =0.

Проекции вектора

Нахождение проекции a на направление, заданное вектором b

,

может осуществляться по формуле:

b

abaпрb или

a

abbпрa , то есть

222zyx

zzyyxxb

bbb

bababaaпр

.

Векторное произведение векторов и его свойства

Определение. Три некомпланарные вектора a, b

, c

, взятые в ука-занном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего векто-

ра c

кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b

виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.

правая тройка левая тройка



35

Определение. Векторным произведением(обозначается bа

или

bа

; ) вектора a на b

называется вектор c

, который

1. перпендикулярен векторам a и b

2. имеет длину численно равную площади параллелограмма, построенно-

го на векторах a и b

, sin bac

3. вектора a, b

, c

образуют правую тройку

Свойства векторного произведения

1. abba

2. )()()( bababa

3. Два ненулевых вектора a и b

коллинеарны тогда и только тогда, когда

их векторное произведение равно нулевому вектору.

4. cbcacba

)(

5. координаты векторного произведения векторов a (ах; аy; аz) и b

(bх; by; bz) можно найти через определители следующим образом:

yx

x

zx

x

zy

y

zyx

yx bb

aak

bb

aaj

bb

aai

bbb

aaa

kji

ba yzz

z

Некоторые приложения векторного произведения

1. Установление коллинеарности векторов.

0

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника.

sin baSпарал

sin2

1 baSтреуг



36

Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b

, c

называется скалярное произведение векторного произведения первых

двух векторов на третий. Обозначается смешанное произведение

);;(; cbacba

или просто cba .

Смешанное произведение cba по модулю равно объему паралле-

лепипеда, построенного на векторах a, b

и c

.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

2. )()( cbacba

3. ),,(),,(),,(),,(),,(),,( bcaabccabbacacbcba

4. ),,(),,(),,( 2121 cbacbacbaa

5. Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a, b

и c

, равен

cbaVпир

,,

6

1

6. Если ),,( zyx aaaa , ),,(),,,( ztxzyx ccccbbbb

, то

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba ),,(

Некоторые приложения смешанного произведения

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если ),,( cba >0 , то cba

,, – правая тройка

Если ),,( cba <0, то cba

,, – левая тройка



37

2. Установление компланарности векторов.

Три вектора компланарны, когда их смешанное произведение равно 0.

3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.

),,( cbaVпар

; ),,(

6

1cbaVпир

Пример.

Вершинами пирамиды служат точки: А(1;2;3) B(0;–1;1) C(2;5;2) D(3;0;–2)

Найти объем пирамиды.

Решение.

ABa

(–1;–3;–2)

ACb

(1;3;–1)

ADc

(2;–2;–5)

4

522

131

231

6

1

пирV


Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости

38

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


4.1. Основные понятия

4.2. Преобразование системы координат

Основные определения

Под системой координат на плоскости понимают способ, позво-

ляющий численно описать положение любой ее точки. Одной из таких

систем является декартова прямоугольная система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно пер-

пендикулярными прямыми – осями, на которых выбрано положительное

направление и задан единичный отрезок. Точку пересечения осей назы-

вают началом координат (О). А сами оси называют: осью абсцисс (Ох) и

ось ординат (Оу).

Рассмотрим произвольную точку М на плоскости. Вектор OM на-

зывается радиус-вектором точки М.

Произвольной точке на плоскости ставится в соответствие два чис-

ла: абсцисса точки – это проекция радиуса вектора точки на ось Ох,

ордината – проекция этого же вектора на ось Оу. Эти два числа полно-

стью определяют положение точки на плоскости.

Другой практически важной системой координат является поляр-

ная система координат. Полярная система координат задается точкой –

называемой полюсом, лучом Оr, называемым полярной осью и единич-

ным вектором того же направления, что и луч Оr. Положение произволь-

ной точки М на плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием

r от полюса и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (от-

счет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой

стрелки). Числа r и φ называются полярными координатами точки М,

пишут М(r,φ), при этом r называют полярным радиусом, φ – полярным

углом.

Можно установить связь между полярной системой координат и

декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой



39

прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль поло-

жительного направления оси Ох.

Декартова система ко-

ординат

Полярная система коор-

динат

Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах

координат связываются соотношениями:

sin

cos

ry

rx

Полярные координаты точки М выражаются следующим обра-

зом.

x

ytg

yxr

22

Определяя величину φ, следует установить (по знакам x и y) чет-

верть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

Пример.

Дана точка N (3; –3). Найти полярные координаты этой точки.

Решение.

13

3

231833 22

tg

r

Так как точка находится в четвертой четверти, то 4

. N( 23 ;4

).

Преобразование систем координат

Определение. Переход от одной системы координат в какую-либо

другую называется преобразованием системы координат.



40

Параллельный перенос

Определение. Под параллельным переносом осей координат по-

нимают переход к новой системе координат О1x1y1, при котором меня-

ется положение начала координат, а направление и масштаб остаются

неизменными.

Пусть оси O1x1 и O1y1 параллельны осям Ox и Oy. Допустим точка

M(x;y) в системе координат О1x1y1 имеет координаты x’ и y’. А начало

новой системы координат относительно старой имеет координаты (x0;y0).

Установим связь между старыми и новыми координатами.

Рис. 4.1. Параллельный перенос осей координат

Из чертежа видно, что

'.

,'

0

0

yyy

xxx (4.1)

Полученные формулы позволяют находить старые координаты по

известным новым и наоборот.

Поворот осей координат

Определение. Под поворотом понимают такое преобразование

осей координат, при котором обе оси поворачиваются на один угол,

а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Повернем ось координат Oxy на угол α, и пусть она займет поло-

жение О1x1y1. Получим соотношения



41

.cos'sin'

,sin'cos'

yxy

yxx (4.2)

Рис. 4.2. Поворот осей координат

Полученные формулы называют формулами поворота осей.

Если новая система координат О1x1y1 получена из старой Оxy пу-

тем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом

осей координат на угол α. Используя формулы (4.1) и (4.2), легко полу-

чить формулы

.cos'sin'

,sin'cos'

0

0

yyxy

xyxx

(4.3)


Тема 5. Линия на плоскости

42


5.1. Основные определения 5.2. Прямая на плоскости

Определение. Уравнением линии на плоскости Oxy называется

такое уравнение F(x;y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств ли-нии заменить исследованием ее уравнения.

Определение. Уравнение F(r;φ)=0 называется уравнением линии в полярной системе координат.

Определение. Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений (параметрическое уравнение)

).(

),(

tyy

txx

Уравнение прямой на плоскости Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания

прямой, соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Общее уравнение прямой Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана

уравнением первого порядка Ах+Ву+С=0, (5.1)

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т. е. А2 + В2 0.

Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. Разрешим уравнение (5.1) относительно переменной y

.B

Cx

B

Ay

Обозначим B

Ak и

B

Cb , тогда получим

y=kx+b. (5.2)



43

Из уравнения (5.2) видно, что точка N(0;b) точка пересечения с осью Oy. k называют угловым коэффициентом прямой ( tgk ). Уравне-

ние (5.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны сле-

дующие частные случаи:

C=0, А0, В0 – прямая проходит через начало координат;

А=0, В0, С0 (By+C=0) – прямая параллельна оси Ох;

В=0, А0, С0 (Аx+C=0) – прямая параллельна оси Оу;

В=С=0, А0 – прямая совпадает с осью Оу;

А=С=0, В0 – прямая совпадает с осью Ох.

Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2), тогда

уравнение прямой, проходящей через эти точки:

.12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Дробь kxx

yy

12

12 называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

34

,2

3

2

4

,31

3

42

4

xy

xy

xy

01 yx – общее уравнение прямой.

1 xy – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах+Ву+С=0 С0, то, разделив на

С, получим: 1 уС

Вх

С

А или

1b

y

a

x , (5.3)

где B

Cb

A

Ca ; .



44

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а

является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – коор-

динатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Замечание. Не каждую прямую можно представить уравнением в

отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через

начало координат.

Пример. Задано общее уравнение прямой 2х–3у+5=0. Найти уравнение

этой прямой в отрезках.

.13525

,15

3

5

2

,532

yx

yx

yx

Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым

коэффициентом

Пусть прямая проходит через точку M(x0;y0) и дан угловой коэф-

фициент этой прямой k.

).( 00 xxkyy

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах+Ву+С=0 умножить на число

22

1

BA , которое называется нормирующем множителем, то получим

0coscos pyx – нормальное уравнение прямой.

Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.р –

длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а – угол, образованный этим перпендикуляром с положительным на-

правлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 3х–4у–65=0. Найти нормальное

уравнение прямой.

Найдем нормирующий множитель

5

1

)4(3

122

, тогда

5

4sin,

5

3cos , а р=13. Нормальное

уравнение прямой будет иметь вид 0135

4

5

3 yx



45

Угол между прямыми на плоскости Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

y=k1x+b1, y=k2x+b2 (рис. 5.1)

Рис. 5.1. Угол между двумя прямыми

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положитель-ном направлении первую прямую вокруг точки пересечения до совпаде-ния со второй прямой.

.1

)(21

1212 kk

kktgtg

(5.4)

Если две прямые перпендикулярны, то .2

Следовательно,

101

2112

21

kk

kk

kkctg (

21

1

kk )

Если две прямые параллельны, то .0 Следовательно, 012 kk

или 12 kk .

Расстояние от точки до прямой Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой

Ах+Ву+С=0 определяется как

22

00

BA

CByAxd

. (5.5)


Тема 6. Линии второго порядка

46

Тема 6. Линии второго порядка 6.1. Основные понятия 6.2. Окружность 6.3. Эллипс 6.4. Гипербола 6.5. Парабола

Основные понятия Рассмотрим линии, определяемые уравнением второй степени от-

носительно текущих координат

Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Ey+F=0. (6.1) Коэффициенты уравнения действительные числа, но по крайней

мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

Окружность Определение. Множество всех точек М(x;y) плоскости, равно-

удаленных от центра О(x0;y0) называется окружностью. Пусть МО=R, тогда

(x–x0)2+(y–y0)

2=R2 – уравнение окружности.

Рис. 6.1. Окружность

Эллипс Определение. Эллипсом называется множество точек на плоско-

сти, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, на-зываемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2a, a>0), боль-шая, чем расстояние между фокусами (2c).



47

2a – большая (фокальная) ось; a – большая полуось; 2b – малая ось; b – малая полуось.

Пусть точка M(x;y) принадлежит эллипсу, F1(-c;0) и F2 (c;0) – фо-

кусы, тогда cFF 221 .

Положим

,)( 2211 ycxMFr .)( 22

22 ycxMFr (6.1)

Рис. 6.2. К определению эллипса

Определение. r1 и r2 называются фокальными радиус-векторами точки M(x;y).

Из определения эллипса r1+r2=const. Подставим в это уравнение (6.1)

aycxycx 2)()( 2222

Перенесем один из корней вправо: 2222 )(2)( ycxaycx .

Возведем обе части в квадрат, получим

.)(4)(4)( 2222222 ycxaycxaycx

Приведем подобные. Перенесем корень влево, а все остальные сла-гаемые – вправо.

.)( 222 xcaycxa

Возведем обе части в квадрат

).()(

,

,22

,2)(

22222222

224222222

22242222222

2224222

caayacax

cxayacaxa

cxxcaayaxcacaxa

cxxcaaycxa

Положим b2=a2-c2, тогда

).( 2222222 caayaxb



48

Разделим на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса

12

2

2

2

b

y

a

x . (6.2)

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соот-ношением:

a2=b2+c2. Определение. Форма эллипса определяется характеристикой,

которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

.a

ce

Так как по определению эллипса с<a, то е<1.

Определение. Величина a

bk называется коэффициентом сжа-

тия эллипса, а величина a

bak

1 называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2=1–e2.

Если a=b (c=0, e=0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в ок-ружность.

Если для точки М(х1;у1) выполняется условие: 12

21

2

21

b

y

a

x, то она нахо-

дится внутри эллипса, а если 12

21

2

21

b

y

a

x, то точка находится вне

эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(x;у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

.

,

2

1

exar

exar

Определение. Директрисами эллипса называют две прямые, па-

раллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном e

a

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.



49

Рис. 6.3. Эллипс с директрисами

Касательная к эллипсу

Уравнение касательной к эллипсу в точке касания M(x0;y0) имеет вид

120

20

b

yy

a

xx .

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоско-

сти, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных

точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая рас-

стояния между фокусами.

2а называется действительной осью гиперболы, а называется дей-

ствительной полуосью гиперболы

2b называется мнимой осью гиперболы, b называется мнимой по-

луосью гиперболы

Пусть точка M(x;y) принадлежит эллипсу, F1(–c;0) и F2 (c;0) – фо-

кусы, тогда cFF 221 .

,)( 2211 ycxMFr .)( 22

22 ycxMFr

По определению r1–r2= 2a.

По аналогии с выводом канонического уравнения для эллипса получим.

aycxycx 2)()( 2222

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

xcaycxa 44)(4 222 22242222 2)( cxxcaayacxa

22242222222 22 cxxcaayacaxcaxa



50

0224222222 cxayacaxa

0)()( 22222222 yaacaacx

)()( 22222222 acayaacx

обозначим с2–а2=b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) 222222 yaxbba

12

2

2

2

b

y

a

x . (6.3)

Уравнение (6.3) – каноническое уравнение гиперболы. Замечание. Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направ-

лена по оси Ox, а действительная ось длиной 2b совпадает с осью Oy, то уравнение гиперболы имеет вид

12

2

2

2

b

y

a

x . (6.4)

Определение. Гиперболы заданные уравнениями (6.3) и (6.4), назы-ваются сопряженными гиперболами.

Определение. Если a=b, гипербола называется равносторонней.

Асимптоты гиперболы У гиперболы есть две асимптоты – прямые, к которым приближа-

ется гипербола при .x

xa

by – уравнение асимптот.

Замечание. Асимптоты являются диагоналями прямоугольника, центр которого совпадает с центром гиперболы, а стороны равны и па-раллельны осям гиперболы (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Гипербола с асимптотами



51

Определение. Отношение 1a

ce называется эксцентрисите-

том гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – дей-

ствительная полуось.

С учетом того, что с2–а2=b2:

2

2

2

22

2

22

a

b

a

ba

a

ce

12 ea

b

Определение. Если а=b, e= 2 , то гипербола называется равно-

бочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси

гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на

расстоянии e

a от него, называются директрисами гиперболы. Их урав-

нения: e

ax .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гипербо-

лы до какого-либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соот-

ветствующей этому фокусу директрисы, то отношение d

r – величина

постоянная, равная эксцентриситету.

Для точек правой ветви фокальные радиус-векторы вычисляются

следующим образом

.

,

2

1

aexr

exar

Для точек левой ветви

.

,

2

1

aexr

exar

Касательная к гиперболе

Уравнение касательной к гиперболе в точке касания M(x0;y0) имеет

вид

120

20

b

yy

a

xx .



52

Парабола Определение. Параболой называется множество точек плоско-

сти, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от дан-ной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой ди-ректрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы мы получим, выбрав систему координат таким образом: проведем ось Ox перпендикулярно директрисе через фокус, направив от директрисы к фокусу. Расстояние от директри-сы до фокуса F обозначим р и назовем его параметром параболы. Начало координат возьмем в середине отрезка, соединяющего фокус с директри-сой, и направим ось Oy так, чтобы система координат Oxy была правой (рис.). Опустим из точки M(x;y) на параболе перпендикуляр на дирек-трису. Пусть точка N – его основание.

Рис. 6.5. Определение параболы

Из геометрических соотношений: MFNM .

;2

22

pxyMF

;22

22

2

pxy

px

Откуда

.22 pxy (6.5)

Фокальный радиус-вектор любой точки параболы равен

.2

pxr



53

Касательная к параболе в точке касания (x0;y0) определяется урав-

нением

.2 00 xxyy

Уравнения pxy 22 , qyx 22 и qyx 22 так же определяют пара-

болы.

Канонический вид кривой второго

Рассмотренные выше кривые второго порядка имеют канонические

уравнения только относительно специально подобранных систем коор-

динат. В произвольной системе координат уравнение второго порядка

имеет вид

0222 212

22122

11 cbxbyaxyaxa (6.6)

это общее уравнение кривой второго порядка.

Привести его к каноническому виду можно с помощью преобразо-

ваний координат, причем вид кривой можно определить сразу, вычислив

определитель

.2221

1211

aa

aa

Если Δ>0, то кривая эллиптического типа.

Если Δ<0, то кривая гиперболического типа.

Если Δ=0, то кривая параболического типа.


Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве

54

Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве 7.1. Уравнение поверхности в пространстве 7.2. Плоскость основные задачи 7.3. Уравнение прямой в пространстве 7.4. Прямая линия в пространстве. Основные задачи

Уравнение поверхности в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая поверхность может

быть определена как совокупность точек, координаты которых в некото-рой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют урав-нению:

F(x, y, z) = 0. Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических

свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка М(х1;y1;z1) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки М в уравнение поверхности вместо переменных: если координаты удовлетворяют уравнению, то точ-ка лежит на поверхности, в обратном случае точка не лежит на поверх-ности.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M(x0;y0;z0) и вектором );;( CBAn , перпендикулярным этой плоскости (рис. 7.1)

Рис. 7.1. Плоскость перпендикулярная вектору

Выведем уравнение плоскости Q. возьмем на ней произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор )0000 z; zy;yx(xMM . При любом

расположении точки М на плоскости Q векторы n и 0MM взаимно пер-

пендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю .0000 )zC( z)yB(y)xA(x (7.1)



55

Координаты любой точки плоскости удовлетворяют этому уравне-

нию, координаты точек, не лежащих на плоскости не удовлетворяют.

Уравнение (7.1) называется уравнением плоскости, проходящей че-

рез данную точку перпендикулярно данному вектору. Вектор );;( CBAn

называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам A, B и C уравнения (7.1) различные зна-

чения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через

точку M0. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку

называется связкой плоскостей, а уравнение (7.1) – уравнением связки

плоскостей.

Общее уравнение плоскости

Уравнение

Ax+By+Cz+D=0 (7.2)

называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Частные случаи общего уравнения плоскости

Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях,

когда те или иные коэффициенты общего уравнения обращаются в нуль.

Значение

коэффициентов

Уравнение

плоскости

Расположение плоскости

в пространстве

0D 0 CzByAx проходит через начало

координат 0,0,0,0 DCBA 0 DCzBy // оси Ox ( yOz) 0,0,0,0 DCAB 0 DCzAx // оси Oy ( xOz) 0,0,0,0 DBAC 0 DByAx // оси Oz ( xOy)

0,0,0 CBDA 0CzBy проходит через ось Ox 0,0,0 CADB 0CzAx проходит через ось Oy 0,0,0 BADC 0 ByAx проходит через ось Oz 0,0,0 DCBA 0 DCz оси Oz (// xOy) 0,0,0 DBCA 0 DBy оси Oy (// xOz)

0,0,0 DACB 0 DAx оси Ox (// yOz) 0,0 CDBA 0Cz плоскость xOy 0,0 BDCA 0By плоскость xOz

0,0 ADCB 0Ax плоскость yOz



56

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки );;( 1111 zyxM , );;( 2222 zyxM и );;( 3333 zyxM . Если

точки не лежат на одной прямой, то через них всегда можно провести единственную плоскость. Обозначим (х;у;z) координаты произвольной точ-

ки М пространства и рассмотрим три вектора: )z; zy;yxxMM 1111 ( ,

)z-z ;y- y;( 12121221 xxMM , )z; zy;yx(xMM 13131331 . Точка М лежит на

плоскости М1М2М3 в том и только том случае, когда перечисленные три вектора компланарны, а значит определитель, составленный из их коорди-нат, равен нулю:

0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

. (7.3)

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно от-резки a, b и с, то есть проходит через три точки А(а;0;0) В(0;b;0) и С(0;0;с) (рис 7.2). Подставляем координаты точек в уравнение (7.3)

Рис. 7.2. Плоскость, отсекающая на осях отрезки

0

0

0

ca

ba

zyax

,

раскрывая определитель, получаем уравнение плоскости в отрезках на осях

0c

z

b

y

a

x .



57

Плоскость. Основные задачи Угол между плоскостями

Пусть даны две плоскость Q1 и Q2:

A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0.

Под углом между плоскостями Q1 и Q2 понимается один из дву-гранных углов, образованных этими плоскостями (рис.7.3).

Рис. 7.3. Угол между плоскостями

Угол α между нормальными векторами 1n (A1, B1, C1), 2n (A2, B2, C2)

плоскостей Q1 и Q2 равен одному из этих углов (рис. 7.3). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

21

21cosnn

nn

или .cos

22

22

22

12

12

12

212121

CBACBA

CCBBAA

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей На основе полученной выше формулы для нахождения угла между

плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярно-сти плоскостей.

Теорема. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необ-ходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

0212121 CCBBAA .

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: 1n || 2n .

Это условие выполняется, если: 2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A .



58

а) б) Рис. 7.4. Взаимное расположение плоскостей:

а) перпендикулярные плоскости; б) параллельные плоскости

Расстояние от точки до плоскости Пусть дана точка M0(x0;y0;z0) и плоскость Q. Расстояние d от точки

М0 до плоскости Q находится по формуле

.222

000

CBA

DCzByAxd

Уравнение прямой в пространстве Векторное и каноническое уравнения прямой

Возьмем произвольную прямую и вектор s (m, n, p), параллельный

данной прямой. Вектор s называется направляющим вектором прямой. На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).

Обозначим радиус-векторы этих точек как 0r и r , очевидно, что

r – 0r = MM0 .

Т. к. векторы MM 0 и s коллинеарны, то верно соотношение MM 0 =t s , где

t – некоторый параметр. Итого, можно записать:

r = 0r +t s . (7.4)

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой. Это векторное уравнение может быть представлено в координат-ной форме:

.

,

,

0

0

0

ptzz

ntyy

mtxx



59

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, полу-

чаем канонические уравнения прямой в пространстве:

p

zz

n

yy

m

xx 000

.

Определение: Направляющими косинусами прямой называются

направляющие косинусы вектора s , которые могут быть вычислены по

формулам:

222cos

pnm

m

;

222cos

pnm

n

;

222cos

pnm

p

.

Отсюда получим: m:n:p=cos:cos:cos. Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Так как

s – ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновремен-

но, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в

уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки

M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетво-

рять полученному выше уравнению прямой:

p

zz

n

yy

m

xx 121212

.

Кроме того, для точки М1 можно записать:

p

zz

n

yy

m

xx 111

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.



60

Общие уравнения прямой в пространстве Прямую в пространстве можно записать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений

.0

,0

2222

1111

DCzByAx

DCzByAx (7.5)

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пере-сечения двух плоскостей.

Рис. 7.5. Пересечение двух плоскостей

Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны то система определяет прямую L как геомет-рическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (рис. 7.5). Уравнения (7.5) называют об-щими уравнениями прямой.

От общих уравнений можно перейти к каноническим уравнениям. Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

.22

11

22

11

22

11

222

11121 pknjmiBA

BAk

CA

CAj

CB

CBi

CBA

CBA

kji

nns

Прямая линия в пространстве. Основные задачи Угол между прямыми в пространстве

Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями

1

1

1

1

1

1

p

zz

n

yy

m

xx

и 2

2

2

2

2

2

p

zz

n

yy

m

xx

.



61

Под углом между этими прямыми понимают угол между направ-ляющими векторами. Поэтому для нахождения угла между прямыми пользуются формулой

22

22

22

21

21

21

212121

21

21cospnmpnm

ppnnmm

ss

ss

.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Теорема. Чтобы две прямые были параллельны необходимо и дос-

таточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеар-ны, т. е. их соответствующие координаты были пропорциональны

2

1

2

1

2

1

p

p

n

n

m

m .

Теорема. Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпен-дикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю

0212121 ppnnmm .

Угол между прямой и плоскостью Определение. Углом между прямой и плоскостью называется лю-

бой из двух смежных углов, образованный прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением 0 DCzByAx , а прямая –

p

zz

n

yy

m

xx 000

. Тогда

222222sin

pnmCBA

CpBnAm

. (7.6)

Острый угол между плоскостью и прямой можно найти, взяв в формуле (7.6) модуль правой части.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве

Теорема. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и на-правляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходи-мо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

.0,0sin,0, CpBnAmsnsn

Теорема. Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендику-лярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и



62

направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполня-ется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

p

C

n

B

m

Asn ;0 .

Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой

плоскости Пусть требуется найти точку пересечения прямой

p

zz

n

yy

m

xx 000

(7.7)

с плоскостью

0 DCzByAx . (7.8)

Для этого надо решить систему уравнений (7.7) и (7.8). Проще всего это сделать, записав уравнение прямой в параметрическом виде

.

,

,

0

0

0

ptzz

ntyy

mtxx

Подставляя эти выражения в уравнение плоскости получим

.000

CpBnAm

DCzByAxt

Подставляя найденное значение t в параметрическое уравнение прямой, найдем координаты пересечения прямой с плоскостью.

Рассмотрим теперь случай, когда 0 CpBnAm :

а) если 0000 DCzByAx , то прямая параллельна плоскости и пересе-

кать ее не будет.

б) если 0000 DCzByAx , то любая точка прямой является точкой

плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств

0

,0000

CpBnAm

DCzByAx

является условием принадлежности прямой плоскости.


Тема 8. Поверхности второго порядка

63

Тема 8. Поверхности второго порядка 8.1. Цилиндрические поверхности 8.2. Поверхности вращения

Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются урав-нениями второго порядка.

Цилиндрические поверхности

Определение. Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направле-ние и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилинд-рической поверхностью или цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прямая L – его образующей.

Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие па-раллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.

Пусть в плоскости xOy лежит некоторая кривая К, уравнение которой F(x;y)=0. (8.1)

Построим цилиндр с образующими параллельными оси Оz и на-правляющей К.

Теорема. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси Оz, имеет вид (8.1), т. е. не содержит координаты z.

Название цилиндра определяется названием направляющей. Если

направляющей служит эллипс 12

2

2

2

b

y

a

x в плоскости Oxy, то соответст-

вующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилин-дром (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Эллиптический цилиндр



64

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой ци-линдр, его уравнение x2+y2=R2.

Уравнение x2=2pz определяет в пространстве параболический ци-линдр (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Параболический цилиндр

Уравнение 12

2

2

2

b

y

a

x определяет гиперболический цилиндр (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Гиперболический цилиндр

Поверхности вращения Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вра-

щающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x2+y2;z)=0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x2+z2;y)=0 – поверхность вращения с осью враще-ния Оу, F(z2+y2;x)=0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.



65

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых част-ных случаев:

1. 12

2

2

22

c

z

a

yx – эллипсоид вращения

2. 12

2

2

22

c

z

a

yx – однополостный гиперболоид вращения

3. 12

2

2

22

c

z

a

yx – двуполостный гиперболоид вращения

4. zp

yx2

22

– параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных вы-ше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некото-рые типы которых рассмотрены ниже:

2222 )()()( rczbyax – уравнение сферы.

Трехосный эллипсоид – 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.



66

Однополостный гиперболоид – 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x .

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x – двуполостный гиперболоид.

Эллиптический параболоид – 0,0,222

qpгдеzq

y

p

x .



67

zq

y

p

x2

22

– гиперболический параболоид.

Конус второго порядка – 02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x .


68

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грес П. В. Математика для гуманитариев [Текст]: учеб. пособие /

П. В. Грес. – М.: Юрайт, 2000. – 112 с.

2. Ильин В. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст] /

В. А. Ильин, Г. Д. Ким. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.

3. Красс М. С. Математика для экономических специальностей [Текст] /

М. С. Красс. – М.: Дело, 2002.

4. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс

лекций [Текст] / В. А. Малугин. – М.: Эксмо, 2006. – 224 с.

5. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст] /

Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, 2000. – 1 часть. – 228 с.


69

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………...…....3

ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ................................................................ 4 Тема 1. Элементы линейной алгебры ............................................................ 4

Матрицы и действия над ними ........................................................ 4

Определители ..................................................................................... 8

Обратная матрица ......................................................................... 13

Ранг матрицы .................................................................................. 14

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений ............................. 16

Основные понятия ........................................................................... 16

Метод Крамера ................................................................................ 17

Матричный метод .......................................................................... 18

Метод Гаусса ................................................................................... 18

Однородные системы линейных уравнений .................................. 21

Решение неоднородной системы линейных уравнений ................ 22

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ............................................................ 25 Тема 3. Векторная алгебра ........................................................................... 25

Основные определения ..................................................................... 25

Линейные операции над векторами. .............................................. 26

Проекция вектора на ось ................................................................ 27

Разложение вектора по ортам координатных осей ................... 29

Действия над векторами, заданными проекциями ...................... 30

Координаты вектора ...................................................................... 31

Базис системы векторов ................................................................ 32

Скалярное произведение векторов и его свойства ...................... 33

Векторное произведение векторов и его свойства ...................... 34

Смешанное произведение векторов ............................................... 36

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .......................................... 38 Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости ..................................... 38


70

Основные определения ..................................................................... 38

Преобразование систем координат .............................................. 39

Тема 5. Линия на плоскости ......................................................................... 42

Уравнение прямой на плоскости .................................................... 42

Тема 6. Линии второго порядка ................................................................... 46

Основные понятия ........................................................................... 46

Окружность ..................................................................................... 46

Эллипс ................................................................................................ 46

Гипербола .......................................................................................... 49

Парабола ........................................................................................... 52

Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве ................................. 54

Уравнение поверхности в пространстве. ..................................... 54

Плоскость. Основные задачи ......................................................... 57

Уравнение прямой в пространстве ............................................... 58

Прямая линия в пространстве. Основные задачи ........................ 60

Тема 8. Поверхности второго порядка ....................................................... 63

Цилиндрические поверхности ......................................................... 63

Поверхности вращения ................................................................... 64

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................. 68


71

Редактор М. В. Чупина Компьютерная верстка Е. И. Ащеулова

Подписано к печати 11.11.2011. Формат 60х841/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Уч.-изд. л. 1,5. Усл. печ. л. 4,1.

Тираж 300 экз. Заказ № 360 ___________________________________________________________

Издательство КемГУКИ: 650029, г. Кемерово,

ул. Ворошилова, 19. Тел. 73-45-83. E-mail: [email protected]


Documents

526.высшая математика линейная алгебра и аналитическая геометрия