Σελίδα 1 από 3

Επαναληπτικό διαγώνισμα των φροντιστηρίων ΄΄ΟΡΟΣΗΜΟ ΘΗΒΑΣ ΄΄

Μάθημα : Μαθηματικά κατέυθυνσης

Ύλη : Διαφορικός λογισμός

Ημερομηνία : 20-3-2011

ΘΕΜΑ 1 ο :

Α) α) Να διατυπωθεί το θεώρημα Rolle. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του ;

Μονάδες 10

β) Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ;

Μονάδες 5

Β) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος ;

α) Όταν μία συνάρτηση είναι συνεχής τότε είναι και παραγωγίσιμη.

β) Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και υπάρχει ξ∈(α,β) τότε ισχύει f(α)= f(β).

γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) τότε υπάρχει ξ∈(α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη προς την ευθεία ΑΒ, με Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)).

δ) Αν f ’(x)=g ’(x) , για κάθε x∈Δ , τότε ισχύει : f(x)=g(x).

ε) Αν για μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και xο εσωτερικό του Δ ισχύουν f ΄(xο)= 0 και f ΄(xο)> 0 τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 2 ο :

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αlnx – ln(lnx) η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 = .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f και να υπολογιστεί ο αριθμός α∈ℝ.

Για α = 2 να υπολογίσετε: Μονάδες 7

β) Να βρείτε το είδος του ακρότατου της f Μονάδες 5

γ) Να δείξετε ότι ισχύει x2≥2e lnx. Μονάδες 6

δ )Να βρείτε την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της f Μονάδες 7

Σελίδα 2 από 3

ΘΕΜΑ 3ο :

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= lnx + x – 1

α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να δείξετε ότι αυτή είναι 1 – 1 . Μονάδες 3

β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f Μονάδες 5

γ) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0 Μονάδες 5

δ) Να λυθεί η ανίσωση f-1(ex) > f-1(x+1) Μονάδες 5

ε) Να δείξετε ότι f(x+1)>2f(x+3)-f(x+5) Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 4ο :

Α) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με και για κάθε

ισχύει ο τύπος:

α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Μονάδες 2

β) Βρείτε τα ακρότατα της f Μονάδες 2

γ) Να δείξετε ότι: για Μονάδες 5

δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες Μονάδες 3

Β) Αν δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση f:R->R ,ώστε για κάθε x,y R να ισχύει

και η f να είναι παραγωγίσιμη στο 0 , τότε να αποδείξετε ότι :

ι) |f(x)|< 2 για κάθε x∈ℝ Μονάδες 5

ii) η f είναι περιττή Μονάδες 3

ιιι) η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε xo∈ℝ Μονάδες 5

Επιμέλεια :

Σελίδα 3 από 3

Χρήστος Παππάς – Κωνσταντίνος Γρίβας