الفصل 5

من( 5-2) نظام حلخطيتين معادلتين

بالتعويض

: نظام درستحل سبق فيماخطيتين معادلتين من مكون

0بيانيا .

واآلن :

من مكونا نظاما أحل . بالتعويض معادلتين

الحياة واقع من مسائل أحل ) معادلتين) من نظاما تتضمن

. التعويض باستعمال

المفرداتالتعوي

ض

لماذا؟

السنوات إحدى وفيناصر مزرعة أنتجت

أنتجت 16 بينما طنا محمد . 20مزرعة طنا

إنتاج بدأ ثميتناقص المزرعتين

في فبلغ سنويا ،التالية طنا 13السنة

و ناصر 16لمزرعةمحمد لمزرعة .طنا

لماذا؟

إنتاج استمر فإذاالمزرعتين من كل

المعدل وفقفمتى نفسه،

اإلنتاج يتساوىالسنوي للمزرعتين؟

لماذا؟

: بالتعويض الحلاستعمال يمكنكمن مكون نظامإليجاد معادلتين

إنتاج يتساوى متىوإحدى المزرعتين،الحل إيجاد طرائق

لنظام الدقيقالمعادالت . التعويض

أساسي مفهومالحل

:1الخطوةبالتعويض: أحد حل باستعمال األقل على المعادلتين إحدى

. ضروريا ذلك كان إذا المتغيرين:2الخطوة

الخطوة ) من الناتج المقدار في( 1عوض . حلها ثم الثانية، المعادلة :3الخطوة

الخطوة ) من الناتجة القيمة في( 2عوضقيمة إليجاد وحلها المعادلتين من أي

. مرتب كزوج الحل واكتب الثاني، المتغير

1مثال

من نظام حلبالتعويض معادلتين

التعويضلحل استعمل: اآلتي 1س + 2ص = النظام

ص + = -3 س9

1س + 2ص = ص + = -3 س9

أساسا مكتوبة المعادلتين إحدىبداللةص

: 1الخطوةمنصفي 1س + 2عوض : 2الخطوة بدال

الثانية المعادلة ص + = -3 المعادلة 9سالثانية = -1س + 2س + 3

9بـ ص 1س + 2عوضعن

المتشابهة 9= -1س + 5 الحدود اجمعطرف( 1اطرح )10س = -5 كل من

كل 2س = - اقسم5طرفعلى المعادلتين 2عوض -: 3الخطوة من أي منسفي بدال

. قيمةص إليجاد 1س + 2ص = المعادلة

بـ 1( + 2 )-2= أولىال س عوضعن-(2) ب̂سط3= -

-( : هو الحل .(3،-2إذن،

فهمك من تحقق

ص( = 1 6س -4أ1ص = -3س+ 5 ص( = 1 6س -4أ

1ص = -3س+ 5

الحـــــــــــــــــــل :

ــ 4عوض الثانية 6س المعادلة في ص من بدالــ = 3س + 5 1صــ 4 ) 3س + 5 1ــ ( = 6ســ 12س + 5 1ــ = 18ســ 17 1ــ = 18س17س = 17

1س = ص 1عوض قيمة إليجاد المعادلتين من أي في س من بدال

ــ 4ص = 6س 6ــ ( 1 ) 4ص =

ــ = 2صهو : ) الحل ــ 1اذن ،2 )

مكتوبا المتغيرين أحد يكن لم وإذافي المعادلتين إحدى فيطرف وحده

أوال المعادلتين إحدى فحل النظام،عوضلحل ثم المتغير، لهذا بالنسبة

النظام.

للدراسة إرشادات

الميل صيغةوالمقطع

بصيغة المعادلتين من كل كتبت إذاوالمقطع الميل

) مساواتهما) = + فيمكن ، ب س م صوتعويضها س، قيمة إيجاد ثم معا ،

. قيمةص إليجاد

2مثال

التعويض ثم الحل

التعويضلحل استعمل : اآلتي النظام

6ص = 2س + 28ص = 4س – 3

6ص = 2س + 28ص = 4س – 3

:1الخطوةللمتغيرس بالنسبة األولى المعادلة حل

معاملس = .1ألنص = 2س +

6المعادلة األولى -ص2س +

– 6 = ص2ص2

طرف 2اطرح كل صمن

-6س = ص2

ب̂سط:2الخطوة

بـ ) س الثانية( 2- 6عوضعن المعادلة في ص. قيمةص إليجاد

-ص(6-2)328ص=4

بـ ) س ص(2- 6عوضعن

ص - 18-628ص=4

التوزيع خاصيةالمتشابهة 28ص =10 – 18 الحدود اجمع

طرف 18اطرح 18-28= 18-ص 10–18 كل من

ب̂سط10ص = 10-طرف 1ص = - كل اقسم

:3الخطوة 10على -بالتعويضفي س قيمة أوجد

. األولى المعادلةالمعادلة 6 = ص 2س +

بالتعويضفي األولى س قيمة أوجد. األولى المعادلة

بـ )-6 = (1)- 2س + ص (1عوضعن

ب̂سط6 = 2س - كل 2أضف 8س = إلى

طرف هو ) ، -8الحل

1)

: فهمك من تحقق

11ص = 5س + 4أ( 213س = -3ص –

الحــــــــــل ــ ــ = 3ص 13ســ 3ص = 13س

بـ ) ص ــ 3عوضعن ص ( 13س قيمة إليجاد األولى المعادلة في 11ص = 5س + 4 ــ 3 ) 5س + 4 11 ( = 13ســ 15س + 4 11 = 65س 76س = 19

4س = الثانية المعادلة في بالتعويض ص قيمة أوجد

ــ ــ = 3ص 13ســ 13ــ ( = 4 ) 3ص

ــ = 12 + 13صــ = 1ص

هو ) الحل ــ 4اذن ،1 )

نتيجة كانت إذا عامة، وبصورةجملة معادلتين من نظام حل

مثل حل 2 = -3خطأ يوجد فال ،أما الحالة، هذه في للنظاممتطابقة النتيجة كانت إذا

النهائي 3 = 3مثل عدد فهناك . الحلول من

إرشادات للدراسة

المستقل غير النظام

من النهائي عدد هناكفي للنظام الحلول

كتابة 3المثال عند ألنه ؛الميل بصيغة المعادلتين

تكونان والمقطعالتمثيل ولهما متكافئتين

. نفسه البياني

3مثال

أو للنظام، حل وجود عدممن نهائي ال عدد وجود

الحلول:

مستعمال اآلتي النظام حلالتعويض:

4س – 2ص = ص = -3س + 6-

12

4س – 2ص = ص = -3س + 6-

12

بـ ) ص س – 2عوضعن4 . الثانية( المعادلة في

الثانية المعادلة = -ص3س + 6-12

بـ )12 = -(4س-2)3س + 6- ص (4س – 2عوضعن

= -12س – 6س + 6-12

خاصية التوزيع المتشابهة 12 = - 12- الحدود اجمع

تشكل الناتجة الجملة أن بمامن نهائي ال عدد يوجد لذا متطابقة،

الحلول.

من تحققفهمك

اآلتيين النظامين من كال حل . التعويض مستعمال

ص – =2أ( 3 8س3س - 2ص =

الحــــــــــــــل

ــ 2عوض األولى 3س المعادلة في ص من بدالص = 2 ــ 8س

ــ ) 2 ــ 2س 8 ( = 3ســ 2 8 = 3س + 2س

3 = 8 الحل مستحيلة Øالمعادلة

اآلتيين النظامين من كال حل . التعويض مستعمال

واقع من مسائل حليمكنك الحياة:

التعويض استعمالواقع من مسألة لحلنظاما تتضمن الحياة

معادلتين .من

واقع 4مثال منالحياة

متجر أجهزة: وس̂ماعة، 125باع تسجيل جهازالواحد، 104.95بسعر التسجيل لجهاز رياالت

ثمن 18.95و كان فإذا الواحدة، للسماعة رياال األجهزة من . 6926.75مبيعاته باع جهازا فكم رياال

نوع كل ؟من

جـ ت125عدد

الوحدات المبيعة

السعر جـ 104.95ت6926.7518.95

من نظام كتابةوحله معادلتين

ت = = التسجيل، أجهزة عدد جـ لتكن . السماعات عدد

متجر أجهزة: وس̂ماعة، 125باع تسجيل جهازالواحد، 104.95بسعر التسجيل لجهاز رياالت

ثمن 18.95و كان فإذا الواحدة، للسماعة رياال األجهزة من . 6926.75مبيعاته باع جهازا فكم رياال

نوع كل ؟من

جـ ت125عدد

الوحدات المبيعة

السعر جـ 104.95ت6926.7518.95 = + : ت جـ هما المعادلتان ، 125فتكون

6926.75ت = 18.95جـ + 104.95

متجر أجهزة: وس̂ماعة، 125باع تسجيل جهازالواحد، 104.95بسعر التسجيل لجهاز رياالت

ثمن 18.95و كان فإذا الواحدة، للسماعة رياال األجهزة من . 6926.75مبيعاته باع جهازا فكم رياال

نوع كل ؟من

جـ ت125عدد

الوحدات المبيعة

السعر جـ 104.95ت6926.7518.95

ث + = األولى 125جـ المعادلةالخطو

:1ةاألولى المعادلة حلجـ للمتغير بالنسبة

ت + -125 =ت-جـت

طرف كل من ت اطرح

ب̂سط ت-125جـ =الخطو

:2ةبـ ) جـ ( 125عوضعن في- ت

. الثانية المعادلة المعادلة 6926.75ت = 18.95 + جـ104.95(125)104.95 لتانيةا 6926.75ت = 18.95 + ت-

بـ ) جـ - 125عوضعنت( 6926.75ت = 18.95+ ت13118.75-104.95

خاصية التوزيع

6926.75ت= 13118.75-86

الحدود اجمعالمتشابهة

كل 13118.75اطرح 6192ت = -86- منطرف

طرفعلى -72ت = كل اقسم86

الخطو:3ة

بـ ) ت إحدى( 72عوضعن فيجـ قيمة إليجاد .المعادلتين

المعادلة 125 = تجـ + األولى

بـ )125 = 72جـ + ت ( 72عوضعن

طرف 72اطرح 53جـ = كل من

المتجر باع تسجيل، 53إذن، جهازس̂ماعة 72

من تحققفهمك

سجلها رياضة: ( 4 التي النقاط مجموعاليد كرة مباريات إحدى في 31فريقان

الفريق. نقاط nعدد كان فإذا نقطةيساوي الفريق 5.2األول نقاط عدد مرة

فريق؟. كل نقاط عدد فما الثاني

الحــــــــــــــــــلص + = 31س

5. 2س = ص + = 5. 2 31ص

31ص = 6 . 2 5ص = ص + = 31س

31 = 5س + 26س =

س = = األول الفريق 26نقاطص = = الثاني الفريق 5نقاط

للدراسة إرشادات

حلك صحة من تحقق

المتغيرين، م

قي إيجاد بعد

كلتا في بهما

عوض

من لتتحقق نالمعادلتي

. الحل صحة

تأكد

اآلتية األنظمة من كال حل : التعويض مستعمال

ص = -1( 2سص + = 4 2س

الحــــــــــــل

ــ الثانية 2عوضص المعادلة في س من بدالص + = 4 2س

ــ ) 4 2ص ( + = 2صــ 4 2ص + = 8ص

10ص = 5 2ص =

األولى 2عوض المعادلة في ص من بدالــ = ص 2س

2ــ 2س = 0س = هو ) (2، 0الحل

تأكد

اآلتية األنظمة من كال حل : التعويض مستعمال

4ص = 3س +22(9ص = 6س + 4

الحـــــــــــــــل

س للمتغير بالنسبة األولى المعادلة حلــ = 2ص + 3 س

2 ــ ) بـ س ص ( 2ص + 3 عوضعن قيمة إليجاد الثانية المعادلة في 2

9ص = 6س + 4 9ص = 6 ( + 2ص + 3 ــ ) 4

2 9ص = 6 + 8ص + 6ــ 9 = 8ص + 6ص + 6ــ 8 = 9

الحل مستحيلة Øالمعادلة

وحل تدربالمسائل

اآلتية األنظمة من كال حل: التعويض مستعمال

5س + 4ص = ( 5ص + = 2 17س

الحـــــــــــــــلالمعادلة 5س + 4عوض في ص من بدالاألولى

ص + = 2 17س 17 = 5س + 4س + 2 12س = 6

2س = األولى 2عوض المعادلة في س من بدال

ص قيمة إليجاد 5س + 4ص = 13ص =

هو ) الحل ( 13، 2اذن

وحل تدربالمسائل

اآلتية األنظمة من كال حل: التعويض مستعمال

ص + =2( 8 3س 8ص =4س + 4

الحــــــــــــلمعاملص = ألن ص للمتغير بالنسبة األولى المعادلة 1حل

ص + = 2 3ســ = 3س + 2ص

ــ ) بــ ص س ( 3س + 2عوضعن قيمة إليجاد الثانية المعادلة في 8ص = 4س + 4

8 ( = 3س + 2ــ ) 4س + 4 ــ 4 8 = 12س + 8س

ــ = 4ــ 4س 1س =

األولى المعادلة في بالتعويض ص قيمة أوجدص + = 2 3س 3ص ( + = 1 ) 2

2ــ 3ص = 1ص =

هو ) الحل (1، 1اذن

الدرس انتهى