Историческое развитие

тригонометрии и Применение тригонометрии в жизни человека.

Цель работыЦель работы

(1)(1) Изучить исторические пути развития Изучить исторические пути развития тригонометрии и её связи со сферической тригонометрии и её связи со сферической тригонометрией, давшей возможность тригонометрией, давшей возможность изучать объекты астрономии. изучать объекты астрономии.

(2)(2) Рассмотреть основные понятия Рассмотреть основные понятия тригонометрии во взаимосвязи с тригонометрии во взаимосвязи с практическим применением впрактическим применением в астрономииастрономии, , компьютерной графике, музыке,компьютерной графике, музыке,

медицине...медицине...

Тригонометрия в Тригонометрия в жизнижизни

Слово "Тригонометрия" Слово "Тригонометрия" (от греческих слов "Тригонон" - (от греческих слов "Тригонон" - треугольник и "метрео" - измеряю) - треугольник и "метрео" - измеряю) - математическая дисциплина, изучающая математическая дисциплина, изучающая

зависимости между углами и сторонами зависимости между углами и сторонами треугольников, тригонометрические функции и треугольников, тригонометрические функции и

тригонометрические ряды.тригонометрические ряды.

Тригонометрия в Тригонометрия в астрономииастрономии

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого

времени тригонометрия развивалась и изучалась как

один из разделов астрономии.

Тригонометрия в Тригонометрия в древностидревности Греческие астрономы не знали

синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволяющие отыскать хорду окружности по

стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись градусами

(один градус составлял шестидесятую часть радиуса), минутами и секундами.

Это шестидесятеричное подразделение греки

заимствовали у вавилонян.(370 – 415)

Тригонометрия в Тригонометрия в древностидревности

ЗначительныЗначительныхх высот достигла высот достигла тригонометрия и тригонометрия и у индийских у индийских

средневековых астрономов. Главным средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов достижением индийских астрономов

стала замена хорд синусами, стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные что позволило вводить различные

функции, связанные со сторонами и функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольникауглами прямоугольного треугольника. .

Таким образом, в Индии было Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как положено начало тригонометрии как

учению о тригонометрических величинах.учению о тригонометрических величинах.

Тригонометрия в Тригонометрия в древностидревности

Индийские ученые пользовались Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме которые в современной форме выражается как выражается как

sinsin α+ cosα+ cos α=1α=1sin α= cos(90° -α)sin α= cos(90° -α)sin(α+β)= sin α cos β+ cos α sin β.sin(α+β)= sin α cos β+ cos α sin β.

Тригонометрия в Тригонометрия в древностидревности

В В VIIIVIII веке ученые стран Ближнего веке ученые стран Ближнего и Среднего Востока и Среднего Востока

познакомились с трудами познакомились с трудами индийских математиков и индийских математиков и

астрономов и перевели их на астрономов и перевели их на арабский язык. арабский язык. В середине В середине IXIX века среднеазиатский ученый века среднеазиатский ученый аль - Хорезми написал сочинение аль - Хорезми написал сочинение "Об индийском счете". "Об индийском счете".

После того как арабские После того как арабские трактаты были переведены на трактаты были переведены на

латынь, многие идеи индийских латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой европейской, а затем и мировой

науки.науки.

(ок. 783 – ок. 850)

Тригонометрия Тригонометрия 18 18 векавека

Современный вид тригонометрия получила в Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера. трудах Леонарда Эйлера. Он разработал ее Он разработал ее как науку о тригонометрических функциях, как науку о тригонометрических функциях,

рассматриваемых как отношения рассматриваемых как отношения

соответствующих тригонометрических соответствующих тригонометрических линий к радиусу. линий к радиусу. Эйлер Эйлер

установил несколько неизвестных до него установил несколько неизвестных до него формул и ввел единообразные знаки. формул и ввел единообразные знаки. Впервые в его трудах встречаются записи Впервые в его трудах встречаются записи

sin xsin x , , tg x tg x и другие и другие современные обозначениясовременные обозначения..

(1707 – 1783)(1707 – 1783)

Гиппарх Гиппарх

Составленные Гиппархом таблицы Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). затмений (с ошибкой 1—2 ч).

Гиппарх впервые стал использовать в Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. инструментах — секстантах и квадрантах.

Ученый составил огромный по тем Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем долготу, и его можно считать основателем математической географии.математической географии.

(ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

Птолемей Птолемей В знаменитом сочинении Птолемея, вошедшем в историю В знаменитом сочинении Птолемея, вошедшем в историю

науки под арабским названием «Альмагест», собраны все науки под арабским названием «Альмагест», собраны все астрономические знания того времени. «Альмагест» астрономические знания того времени. «Альмагест» служил основным руководством по астрономии в служил основным руководством по астрономии в древности и в средние века. В нем содержится каталог древности и в средние века. В нем содержится каталог звезд, трактат по тригонометрии и таблицы хорд, звезд, трактат по тригонометрии и таблицы хорд, заменявшие в то время тригонометрические таблицы. заменявшие в то время тригонометрические таблицы. Птолемею принадлежит также «Руководство по Птолемею принадлежит также «Руководство по географии» из 8 книг и 5-томный труд по оптике. В этом географии» из 8 книг и 5-томный труд по оптике. В этом научном труде Птолемей изложил свою теорию научном труде Птолемей изложил свою теорию отражения и преломления света, привел составленные отражения и преломления света, привел составленные им таблицы преломления света при переходе луча из им таблицы преломления света при переходе луча из воздуха в воду и стекло и прохождении в земной воздуха в воду и стекло и прохождении в земной атмосфере (астрономическая рефракция). атмосфере (астрономическая рефракция).

Однако система Птолемея, укрепившая геоцентрическое Однако система Птолемея, укрепившая геоцентрическое понимание мира, со временем стала тормозом на пути понимание мира, со временем стала тормозом на пути развития естествознания, пока не была разрушена развития естествознания, пока не была разрушена революционными астрономическими трудами Коперника.революционными астрономическими трудами Коперника.

(129 – 201гг)

ВИЕТ (ВЬЕТА) Франсуа ВИЕТ (ВЬЕТА) Франсуа (Viete Francois)(Viete Francois)

(1540 — 13 декабря 1603)

Виет разработал единообразный прием Виет разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения степени и новый метод решения кубического уравнения, дал кубического уравнения, дал тригонометрическое решение тригонометрическое решение уравнения 3-й степени в неприводимом уравнения 3-й степени в неприводимом случае, предложил различные случае, предложил различные рациональные преобразования корней, рациональные преобразования корней, установил зависимость между корнями установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Виета). Для приближенного Для приближенного решения уравнений с числовыми решения уравнений с числовыми коэффициентами Виет предложил коэффициентами Виет предложил метод, сходный с методом,метод, сходный с методом, позднее позднее разработаннымразработанным И. Ньютоном. И. Ньютоном.

Достижения Виета в Достижения Виета в тригонометриитригонометрии

Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического

треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням

cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что

решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с

помощью линейки и циркуля.

Решение сферических Решение сферических треугольников- одна треугольников- одна из задач астрономиииз задач астрономии

Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие

теоремы:теоремы:

(теорема синусов)(теорема синусов)

(теорема косинусов для углов)(теорема косинусов для углов)

(теорема косинусов для сторон)(теорема косинусов для сторон)

Решение сферических треугольниковРешение сферических треугольников

Задача из жизниЗадача из жизни

Камень брошен на склоне горы под углом α к ее поверхности. Камень брошен на склоне горы под углом α к ее поверхности. Определите дальность полета камня, если начальная скорость Определите дальность полета камня, если начальная скорость камня равна vкамня равна v00, угол наклона горы к горизонту β. Сопротивление , угол наклона горы к горизонту β. Сопротивление

воздуха не учитывать.воздуха не учитывать.

Сложное движение камня по параболе нужно представить как результат Сложное движение камня по параболе нужно представить как результат наложения двух прямолинейных движений: одного вдоль наложения двух прямолинейных движений: одного вдоль поверхности Земли, другого - по нормали к ней.поверхности Земли, другого - по нормали к ней.

Выберем прямоугольную систему координат с началом отсчета в точке Выберем прямоугольную систему координат с началом отсчета в точке бросания камня так, чтобы оси бросания камня так, чтобы оси OXOX и и OYOY совпали с указанными совпали с указанными направлениями, и найдем составляющие векторов начальной направлениями, и найдем составляющие векторов начальной скорости vскорости v00 и ускорения свободного падения g по осям. Проекции и ускорения свободного падения g по осям. Проекции

этих составляющих на оси этих составляющих на оси OXOX и и OYOY равны соответственно: равны соответственно:vv00cosα vcosα v00; -g sinβ -g cosβ; -g sinβ -g cosβ

Составляем уравнения движения для каждого направления с учетом того, что за Составляем уравнения движения для каждого направления с учетом того, что за время t всего движения перемещение камня по нормали к поверхности (по оси время t всего движения перемещение камня по нормали к поверхности (по оси OYOY) оказалось равным нулю, а вдоль поверхности (по оси ) оказалось равным нулю, а вдоль поверхности (по оси OXOX) - равным s:) - равным s:

0=0=vv00sinsinαα t t11-g cos-g cosββ t² t²11/2/2

s= vs= v00coscosαα t t11-g sin-g sinββ t² t²11/2/2

Задача из жизниЗадача из жизни

Составляем уравнения движения для каждого направления с учетом того, что за время t всего Составляем уравнения движения для каждого направления с учетом того, что за время t всего движения перемещение камня по нормали к поверхности (по оси движения перемещение камня по нормали к поверхности (по оси OYOY) оказалось равным нулю, ) оказалось равным нулю, а вдоль поверхности (по оси а вдоль поверхности (по оси OXOX) - равным s:) - равным s:

0=0=vv00sinsinαα t t11-g cos-g cosββ t² t²11/2/2

s= vs= v00coscosαα t t11-g sin-g sinββ t² t²11/2/2

Две неизвестные величины s и t1:Две неизвестные величины s и t1:

t1=t1=

Подставляя это выражение во второе уравнение, находим:Подставляя это выражение во второе уравнение, находим:

S= S= vv00cosαcosα * *

t1= S=t1= S=

2v sin a

gcos a0

2v sin a0

gcos a

2 v 0 sin a cos (a + b)

g cos b

2

2

2v sin a 4 sin bv 0 sin a 2 v sin a ( cos a cos b – sin b sina) 2 v 0 sin a cos ( a + b )

gcos a 2g cos a g cos a g cos b0 0

22

2

2 2 2 2

Другие области применения Другие области применения тригонометриитригонометрии

теория музыкиакустика

электроника медицина компьютерная графика

Тригонометрия в музыке

Ученые из университета Принстона разработали геометрическую теорию музыки. Согласно данной теории, последовательность нот можно представить в виде геометрических форм. Каждый аккорд можно отобразить как точку в системе координат. В качестве иллюстрации специалисты представили тетраэдр семейства аккордов из 4 звуков. Красная сфера в этом семействе - наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.

Работа может привести к созданию новых методов визуального представления музыкального произведения, а также к новым способам изучения музыки.

Тригонометрия в акустике

Поверхности разной геометрической формы по-разному отражают звук. Таким образом, анализ геометрических форм

залов сводится к выявлению в них благоприятных и неблагоприятных сочетаний геометрической формы и

элементов, вызывающих образование мертвых зон, фокусных точек и других акустических недостатков (рис. 1).

При отражении от плоской поверхности (рис.1а) лучевую картину строят с положением мнимого источника S'. Отражение от вогнутой поверхности (рис.1в) приводит к фокусировке лучей

в точке S'. Выпуклые поверхности рассеивают звук (рис.1б).

Тригонометрия в медицине

В Иране открыли формулу сердцаВ результате исследования, проведенного студентом иранского

университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической

активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и

затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах.

Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько

дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза

и начало собственно лечения.

Тригонометрия в 3D графике

ТригонометрияТригонометрия – аналог 3D, переводящая фигуры в трехмерное пространство.

В тригонометрии фигуры обретают глубину. У специалистов была цель – получить на экране изображение, которое

можно будет повернуть, как угодно, и рассмотреть с любой стороны. Так и родилась

3D графика - непрерывные во времени и пространстве изображения.

Как получается 3D изображение? Для перевода изображения из плоскости в объем

используются специальные программы, которые создают геометрическую проекцию

модели 3D на экране монитора.

Все просто: каждому глазу предоставляются разные картинки на

очень высокой скорости, что в комбинации и дает ощущение объемного изображения.

Для чего нужны 3D очки?

Для того чтобы такой эффект возник, зрителю нужно надеть специальные очки. Секрет заключается в том, что

каждая из двух линз блокирует часть изображения, что в

результате дает разную картинку для каждого глаза.

1.1. Математика имеет тригонометрический Математика имеет тригонометрический аппарат и использование его при реализации аппарат и использование его при реализации меж- предметной связи физики и математики меж- предметной связи физики и математики ведет к осознанию единства мира и интеграции ведет к осознанию единства мира и интеграции научных знаний.научных знаний.

2. 2. Тригонометрия в нашей жизни играет довольно Тригонометрия в нашей жизни играет довольно большую роль, она может находиться в любой отрасли большую роль, она может находиться в любой отрасли начиная от самой математики и заканчивая начиная от самой математики и заканчивая гуманитарными науками, она применяется там, гуманитарными науками, она применяется там, где на практике представить себе невозможно. где на практике представить себе невозможно.

ВыводыВыводы

Проект подготовлен учениками 10-1 класса средней школы №245:

Кирилловым Ильей, Рощиной Елизаветой, Федорюк Надеждой и Гасановой Гульнарой

В проект вошли статьи сайтов:

Wikipedia. org. ru

3d.veralan.com

traditio. ru

Список литературы:

1. История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3

2. Э. Т. Бэлл Творцы математики. Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г.

3. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров. Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г.

4. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г.

5. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.