Санкт -Петербург

2012

Джордж Буль2 ноября 1815 г. – 8 декабря 1864 г.

В 1847 году опубликовал памфлет «Математический

анализ логики», в котором высказал идею, что логика

более близка к математике, чем к философии. В 1854

году опубликовал работу «Исследование законов

мышления, базирующихся на математической

логике и теории вероятностей». Работы 1847 и 1854

годов положили начало алгебре логики, или булевой

алгебре. Булева алгебра располагала тремя основными

операциями – И, ИЛИ, НЕ, которые позволяли

производить сложение, вычитание, умножение,

деление и сравнение символов и чисел. Таким

образом, Булю удалось подробно описать двоичную

систему счисления. В своей работе «Законы

мышления» (1854 г.) Буль окончательно

сформулировал основы математической логики.

Основные понятия булевой

алгебры• Алгебра логики — это математический аппарат, с

помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

• Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Например, высказывание «Париж – столица

Франции» истинно.

А высказывание «Сборная России –

чемпион Европы по футболу 2004 года»

ложно.

• Не все высказывания могут быть логическими. Например,

высказывание «Санкт-Петербург – лучший город на Земле» - не

логическое высказывание, потому что оно не имеет однозначного

ответа. Для кого-то оно истинно, а для кого-то ложно.

• Высказывания бывают общими, частными или единичными. Общее высказываниеначинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказываниеначинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство и т.п. Во всех других случаях высказывание является единичным.

• «Все рыбы умеют плавать» -общее высказывание.

• «Некоторые лисы – рыжие» -частное высказывание.

• «Буква А – гласная» - единичное высказывание.

Основные функции (логические операции) алгебры

логики следующие:

Конъюнкция (от лат.conjunctio, связываю):

• В естественном языке соответствует

союзу и;

• Обозначение &;

• В языках программирования

обозначается: and;

• Иное название: логическое умножение.

Конъюнкция – это логическая операция,

ставящая в соответствие каждым двум

простым высказываниям составное

высказывание, являющееся истинным

тогда и только тогда, когда оба

исходных высказывания истинны.

A B A&B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

• Например, если есть высказывание A

«Трилогия «Властелин колец» была

написана Толкиеном» и B «Трилогия

«Властелин колец» была

экранизирована», то их можно связать

конъюнкцией: союзом «И». Получится:

«Трилогия «Властелин колец» была

написана Толкиеном И была

экранизирована». Результат этой

конъюнкции будет истинным, т.к. оба

элементарных высказывания, входящие

в еѐ состав, истинны.

Дизъюнкция (от лат.disjunctio, различаю):

• В естественном языке соответствует союзу или;

• Обозначение v;

• В языках программирования обозначается: or;

• Иное название: логическое сложение.

Дизъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

A B AvB

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

• Высказывание «Я беру

кролика с белыми лапами

ИЛИ с серыми ушами» будет

истинным в трех случаях:

И только, если кролик не с белыми лапами

и не с серыми ушами – при всей любви к

животным, не возьму.

1. Кролик с белыми лапами, но не с серыми ушами.

2. Кролик не с белыми

лапами, но с серыми

ушами.3. Кролик и с

белыми лапами, и

серыми ушами.

Во всех этих трех случаях я кролика беру.

Инверсия (от лат.inversio, переворачиваю):

• В естественном языке соответствует словам Неверно, что… и

частице не;

• Обозначение ;

• В языках программирования обозначается: not;

• Иное название: отрицание.

Инверсия – это логическая операция, которая каждому простому

высказыванию ставит в соответствие составное высказывание,

заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

A

0 1

1 0

• Например, «Неверно то, что дельфины живут в озерах

Ленинградской области».

Импликация (от лат.implico, тесно связаны):

•В естественном языке выражается связками «если …, то», «из …

следует», «… влечет …»;

•Обозначение →;

Импликация – это логическая операция, при которой высказывание

А→В ложно тогда и только тогда, когда A – истинно, а B – ложно.

В обычной речи описывает причинно следственную связь между

высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не

учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность.

Поэтому не надо смущаться «бессмысленностью» импликаций,

образованных высказываниями, совершенно не связанными по

содержанию. Например: «если лиса – рыжая, то у медведя четыре лапы».

Эквиваленция или двойная импликация:

В естественном языке выражается связками « тогда и только тогда»,

«необходимо и достаточно», «… равносильно …»;

Обозначение ↔ или ~.

Высказывание А ↔ B истинно тогда и только тогда, когда значения

A и B совпадают.

Например, высказывание: «12 делится на 6 тогда и

только тогда, когда 12 делится на 3» истинно.

А высказывание «21 делится на 6 тогда и только

тогда, когда 21 делится на 3» ложно.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А→B= vB.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и

конъюнкцию:

A↔B=( vB)&( vA).

Практическое применение булевой алгебры

• В качестве заключения рассмотрим основные применения булевой алгебры.

• Первое практическое применение булевой алгебры - в вычислительной технике. В этом случае булевы значения - это 0 и 1. Они представляют собой состояние ячейки памяти объемом в 1 бит или наличие/отсутствие напряжения в электрической схеме. Алгебра логики позволяет строить сложные электронные узлы, элементы которых работают согласно этой математической теории.

• Второе практическое применение булевой алгебры - в логических построениях в математике. В этом случае булевы значения - это "ложь" и "истина". Они определяют истинность или ложность некоторого высказывания. Под высказываниями понимаются математические формулы.

• Третье практическое применение булевой алгебры - в повседневных рассуждениях. В этом случае булевы значения - это также "ложь" и "истина". Они представляют собой оценку истинности или ложности некоторого высказывания. Под высказываниями понимаются фразы, которые удовлетворяют строго определенному списку свойств.