1

เอกสารประกอบการเรียนการสอน รายวิชา คณิตศาสตร (ค23102)

เรื่อง สถติิ

โดย

ครยูพุา พุทธเจรญิ

ภาคเรียนที่ 2 ปการศึกษา 2557

ช่ือ............................................................ ..................

ช้ัน ม. 3 หอง............ เลขที่.............

2

เอกสารประกอบการเรียนการสอน เรื่อง สถิติ

การเก็บรวบรวมขอมูล

ข้ันตอนทางสถติิ

การนําเสนอขอมูล

การวิเคราะหและแปลความหมาย

ขัน้ตอนดังกลาวน้ีเรียกวาระเบียบวิธีการทางสถิติ

1. สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่แทนจํานวนหรือขอเท็จจริงของสิ่งที่เราศึกษา เชน สถิติจํานวน

นักเรียน สถิติการสงออกขาวของไทย

คําวา “สถิติ” มีความหมาย 2 ประการคือ

2. สถิติ หมายถึง ศาสตรที่วาดวยระเบียบวิธีการทางสถิติ ซึ่งประกอบดวย การเก็บ

รวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล การวิเคราะหและการแปลความหมายขอมูล

ขอมูล หมายถึงขอเท็จจริง หรือสิ่งที่ยอมรับวาเปนขอเท็จจริงของเร่ืองที่เราสนใจศึกษา

ซึ่งอาจจะเกี่ยวของกับคน สตัว หรือสิ่งของ

ประเภทของขอมูลสถิติ

ขอมูลเชิงปริมาณ (quantitative data) คอื ขอมูลที่เปนตัวเลขซึ่งวัดออกมาเปนจํานวนที่สามารถ

นําไปคํานวณเปรียบเทียบกันได เชน คะแนน นํ้าหนัก สวนสูง อายุ อุณหภูมิ รายไดและ

รายจาย

ขอมูลเชิงคุณภาพ (qualitative data) คอื ขอมูลที่บอกหรืออธิบายลักษณะหรือสมบัติในเชิง

คุณภาพ เชน เพศของผูตอบแบบสอบถาม ความคิดเห็นเกี่ยวกับสิ่งที่สอบถาม เปนตน

การเก็บรวบรวมขอมูล อาจทําได 2 วิธี คือ

วิธีเก็บรวบรวมขอมูลโดยตรงจากสิ่งที่ตองการศึกษา

เก็บรวบรวมจากเอกสารตาง ๆ ที่มีผูรวบรวมไวแลว ซึ่งมักใชในกรณีที่การเก็บรวบรวมขอมูล

โดยตรงมีความยุงยากซับซอน หรือไมสามารถทําได เชนเปนขอมูลในอดีต

Ẻ½ƒ¡ËÑ́ ·Õè 1

3

1. ใหนักเรียนระบุวาขอมูลตอไปน้ีเปนขอมูลเชิงปริมาณ หรือขอมูลเชิงคุณภาพ

1) จํานวนนักทองเที่ยวที่เดินทางมาในประเทศไทย ตอบ……………………………………

2) หมายเลขสลากกินแบงรัฐบาล ตอบ……………………………………

3) ทะเบียนรถยนต ตอบ……………………………………

4) อุณหภูมิที่บอกจุดหลอมเหลวของสารตาง ๆ ตอบ……………………………………

5) เบอรรองเทาขนาดตาง ๆ ตอบ……………………………………

6) เพศของสมาชิกในครอบครัว ตอบ……………………………………

7) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร ตอบ……………………………………

8) ความสูงของนักเรียน ตอบ……………………………………

2. ใหนักเรียนยกตัวอยางขอมูลเชิงปริมาณ และขอมูลเชิงคุณภาพ อยางละ 3 ตัวอยาง

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

การนําเสนอขอมูล สามารถแบงออกเปนรูปแบบใหญ ๆ ได 2 รูปแบบ

การนําเสนอขอมูลอยางไมเปนแบบแผน

การนําเสนอในรูปบทความ

การนําเสนอในรูปบทความกึ่งตาราง

การนําเสนอขอมูลอยางเปนแบบแผน

การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง

การนําเสนอในรูปแผนภูมิ

การนําเสนอขอมลูโดยใชกราฟเสน

Ẻ½ƒ¡ËÑ´·Õè 2

4

1. ตารางแสดงจํานวนครัวเรือนเกษตรและเน้ือที่ถือครองทําการเกษตร เฉลี่ยตอครัวเรือนจําแนกตามภาค

ป 2536 ป 2541 และ ป 2546

จากตารางจงตอบคําถามตอไปน้ี

1) ตารางแสดงขอมูลเกี่ยวกับเร่ืองใด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

2) ในป 2546 ทั่วประเทศมีจํานวนครัวเรือนเกษตรทั้งสิ้นกี่ครัวเรือน มีเน้ือที่ถือครองทําการเกษตร

เฉลี่ยตอครัวเรือนเกษตรกี่ไร

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3) ในชวงป 2536 ถึงป 2546 ประเทศไทยมีครัวเรือนเกษตรเพิ่มขึ้นหรือลดลงเปนอยางไร

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

4) ในชวงป 2536 ถึงป 2546 ประเทศไทยมีเนื้อที่ถือครองทําการเกษตรเฉลีย่ตอครัวเรือนเกษตร

เพิ่มขึ้นหรือลดลงเปนอยางไร

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

5) ถาครัวเรือนเกษตรทั้งสิ้นในป 2546 คิดเปนรอยละ 32.4 ของครัวเรือนทั้งประเทศแลวจํานวน

ครัวเรือนทั้งประเทศจะเปนเทาไร

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

6) ในป 2546 ภาคใดมีจํานวนครัวเรือนเกษตรมากทีส่ดุ คิดเปนรอยละเทาไรของครัวเรือนทั้ง

ประเทศ

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

2. จากการสาํรวจรานขายรถยนตประจาป พ.ศ.2545 ในจังหวัดนครพนม ผลปรากฏวาการขายรถยนตเปน ดัง

แผนภูมิแทงดังตอไปน้ี

5

จงตอบคําถามตอไปน้ี

1) รถชนิดใดขายไดมากที่สุด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

2) ถาขายรถเกงไดเปนเงินจํานวน 22,500,000 แสดงวารถเกงราคาคันละเทาไร

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3) ขายรถกระบะและรถบรรทุกไดตางกันกี่คัน

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

4) ในป พ.ศ. 2545 จํานวนรถทัง้หมดทีจ่าํหนายไดมีกี่คัน

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3. จากการสํารวจรานคาที่จําหนายรองเทาและกระเปานักเรียน เปนดังน้ี

จงตอบคําถามตอไปน้ี

1) มีการจําหนายรองเทานักเรียนทั้งหมดกี่คูต้ังแตเดือนมกราคมถึงเดือนเมษายน

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

6

2) เดือนใดขายรองเทาไดมากที่สุด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3) เดือนใดที่มีการขายรองเทาและกระเปานักเรียนเทากัน จํานวนเทาใด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

4) ในการขายกระเปานักเรียนในเดือนมกราคม คิดเปนประมาณกี่เปอรเซ็นตของการขายกระเปา

นักเรียนทั้งหมด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

4. แผนภูมิรูปวงกลมแสดงรายจายของครอบครัวคุณหมวยใน 1 เดือนแบงเปนรายการและจํานวนเปอรเซน็ตคา

รายจายทั้งหมด เปนดังน้ี

จงตอบคําถามตอไปน้ี

1) รายจายของครอบครัวคุณหมวยรายการใดที่จายมากที่สุด และเปนเทาไร

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

2) รายจายของครอบครัวคุณหมวยรายการใดที่จายนอยที่สุด และเปนเทาไร

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3) รายจายคาที่อยูอาศัยคิดเปนกี่เทาของรายจายคาเคร่ืองนุงหม

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

5. ใหนักเรียนพิจารณากราฟตอไปน้ี

7

จงตอบคําถามตอไปนี้

1) ในป พ.ศ. 2538 ราคาขายปลีกผักคะนาสูงสุดในเดือนใด ประมาณกิโลกรัมละกี่บาท

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

2) ในป พ.ศ. 2539 ราคาขายปลีกผักคะนาตํ่าสดุในเดือนใด ประมาณกิโลกรัมละกี่บาท

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3) ราคาขายปลีกผักคะนาในเดือนมิถุนายน พ.ศ.2538 ตํ่ากวาในเดือนพฤษภาคม พ.ศ.2538

ประมาณกโิลกรัมละกี่บาท

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

4) ราคาขายปลีกผักคะนาในเดือนมิถุนายน พ.ศ.2539 ตํ่ากวาหรือสงูกวาในเดือนเดียวกนัของ พ.ศ.

2538 ประมาณกิโลกรัมละกี่บาท

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

5) เมื่อเปรียบเทียบราคาขายปลีกของผักคะนา ในป พ.ศ.2538 และ พ.ศ.2539 แบบเดือนตอเดือน

เดือนใดมีราคาขายแตกตางกันนอยที่สุด เดือนใดมีราคาขายแตกตางกันมากที่สุด และแตกตาง

กันประมาณกิโลกรัมละกี่บาทและเดือนใดมีราคาไมแตกตางกัน

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..

6) ผูบริโภคตองซื้อผักคะนาแพงที่สุดในเดือนใด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

การแจกแจงความถี่ดวยตาราง เปนการนําขอมูลดิบที่ เกบ็รวบรวมได มาจัดเรียงใหมใหเปนระบบ เปน

หมวดหมู โดยอาจเรียงจากมากไปหานอย หรือ จากนอยไปหามาก แลวจัดขอมูลลงในตาราง หารอยขีดที่

8

แสดงจํานวนคร้ังของขอมูลที่เกิดซ้ํากัน นับจํานวนรอยขีดแลว เขยีนแทนดวยตัวเลข จํานวนรอยขดีของแตละ

ขอมูลที่นับไดน้ีเรียกวา ความถี่ และตารางที่ นําเสนอขอมูลในลักษณะน้ีเรียกวาตารางแจกแจงความถี่

ความถี่ (frequency) หมายถึงจํานวนคะแนนหรือขอมูลแตละคาหรือแตละกลุม เขียน แทนดวย

สัญลักษณ f

ตัวอยางตารางแจกแจงความถี่ ที่มีจํานวนขอมูลมาก ซึ่งเขียนคะแนนที่อยูถัดกันและมีคาตางกันอยู 1 เชน

ตารางแจกแจงความถีข่องคะแนนวชิาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นม.3/1

อันตรภาคชั้น คือ คะแนนเปนชวง ๆ ชวงละเทา ๆ กัน

จุดกึ่งกลางชั้น = 21 ของผลบวกของขอบลางและขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น

พิสัย = คะแนนสงูสดุ – คะแนนตํ่าสดุ

จํานวนอันตรภาคชั้น = ชั้นองอันตรภาคความกวางข

พิสัย

ขอบลางของอันตรภาคชั้นใด คือ คากึ่งกลางระหวางคาที่ตํ่า ที่สุดของอันตรภาคชั้นน้ันกับคาที่สูงที่สุด

ของอันตรภาคชั้นที่ตํ่ากวาและอยูชิดกัน

ขอบบนของอันตรภาคชั้นใด คือ คากึ่งกลางระหวางคาที่สูงที่สุดของอันตรภาคชั้นน้ันกับคาที่ตํ่าที่สุด

ของอันตรภาคชั้นที่สูงกวาและอยูชิดกัน

ตัวอยาง ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 จํานวน 60 คน ไดคะแนนดังตอไปน้ี

72 60 80 66 75 89 71 73 56 67

9

45 69 70 67 62 71 58 67 72 68 83 67 69 72 68 74 75 64 64 69 62 57 69 49 80 72 79 70 68 75 58 51 58 57 66 65 56 68 56 75 53 63 71 62 60 78 61 64 51 54

จงสรางตารางแจกแจงความถี่ใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นเทากับ 5

วิธีทํา 1. หาคะแนนสงูสดุและคะแนนตํ่าสดุของขอมลูไดดังน้ี

คะแนนสงูสดุ 89 คะแนนตํ่าสดุ 45

2. หาผลตางระหวางคะแนนสงูสดุและคะแนนตํ่าสดุ ซึง่เรียกวา พิสัย ได

พิสัย = คะแนนสงูสดุ – คะแนนตํ่าสดุ = 89 – 45 = 44

3. หาจํานวนอันตรภาคชัน้จาก

จํานวนอันตรภาคชัน้ = ชั้นองอันตรภาคความกวางข

พิสัย=

544

= 8.8 ≈ 9 ชั้น

น่ันคือจํานวนอันตรภาคชั้นที่ไดจะมีประมาณ 9 ชั้น ในทางปฏิบัติอาจได จํานวนอันตรภาคชั้น

มากกวาหรือนอยกวาน้ี 1 ชั้นก็ได

4. จัดอันตรภาคชัน้ในชองคะแนน โดยเรียงคะแนนจากนอยไปมาก ให 45 อยูใน อันตรภาคชั้น

แรก และ 89 อยูในอันตรภาคชั้นสุดทายของตารางแจกแจงความถี่ ในที่น้ีเร่ิมจาก 45 ถาเร่ิมเรียงคะแนนจากคะแนน

ที่นอยกวา 45 อาจจะได จํานวนอันตรภาคชั้นเพิ่มขึ้นอีก 1 ชั้น

5. อานหรือขานคะแนนทลีะตัวแลวเขยีนรอยขดีแสดงจํานวนคร้ังไวในชองรอยขดีใหตรงกบัคะแนนทีอ่ยู

ในอันตรภาคชั้นน้ัน จนครบทุกตัว

6. นับจํานวนรอยขดีแลวเขยีนไวในชองความถี ่จะไดตารางแจกแจงความถี่ที่สมบูรณดังน้ี

ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้น ม.3

10

ฮสิโทแกรม เปนการแจกแจงความถี่ดวยแผนภูมิแทง โดยใหความสูงของแตละแทงแทนขนาดของ

ความถี่ของคะแนนในแตละอันตรภาคชั้น ความกวาง ของแตละแทงแทนความกวางของแตละอันตรภาคชั้น

ลักษณะของฮิสโทแกรมจึงเปนแทงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเรียงติดตอกัน และจุดปลายของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละ

รูปคือ ขอบลางและขอบบนของอันตรภาคชั้นที่เรียงตอกัน โดยแตละอันตรภาคชั้นจะมีจุดกึ่งกลางชั้น

ฮสิโทแกรมแสดงการแจกแจงความถีข่องคะแนนวชิาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้น ม.3/8

แบบฝกหัดที่ 3

11

1. ในการชั่งนาหนักเปนกิโลกรัมของทหารเกณฑ 40 คน ปรากฏผลดังน้ี

64 60 60 57 65 61 61 66 65 62

68 58 61 61 60 64 64 68 59 60

61 68 65 64 64 70 61 61 62 66

60 57 62 66 66 64 60 58 60 61

จงสรางตารางตารางแจกแจงความถี่แบบแตละคาของขอมูลชุดนี้

วิธีทํา จากขอมูลที่กําหนดให คะแนนตํ่าสดุคอื……………และคะแนนสงูสดุคอื……………

นําขอมูลเขียนในตารางโดยเรียงจากคะแนนตํ่าสุดไปหาคะแนนสูงสุดในชองแรกของตารางใน แนวด่ิง

พรอมทั้งหาความถี่ของขอมูล จะไดตารางแจกแจงความถี่ ดังน้ี

2. ตารางตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ท่ีแสดงเงินเดือนของพนักงานบริษัทแหงหนึ่งจํานวน 75 คน

12

จงตอบคําถามตอไปน้ี

1) การแจกแจงของขอมูลชุดนี้ เปนแบบอันตรภาคชั้นหางกัน 1 หนวย หรือไม

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

2) ความกวางของทุกอันตรภาคชั้นเทากันหรือไม

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3) แตละอันตรภาคชั้นกวางเทาใด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

4) พนักงานสวนใหญไดรับเงนิเดือนในอันตรภาคชั้นใด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

5) มีพนักงานที่ไดรับเงินเดือนนอยกวา 3,000 บาท จํานวนกีค่น และคิดเปนกี่เปอรเซ็นตของจํานวน

คนงานทั้งหมด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

6) มีพนักงานที่ไดรับเงินเดือนอยางนอย 4,000 บาท จํานวนกีค่น และคิดเปนกี่เปอรเซ็นตของจํานวน

คนงานทั้งหมด

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3. ในการสาํรวจไก (ตัว) ที่ใชทําอาหารในแตละสปัดาหของรานอาหารแหงหน่ึง เปนเวลา 40 สปัดาห ไดผลดังน้ี

13

30 32 28 25 27 40 35 38 45 20

33 50 48 42 37 36 34 42 50 52

22 24 32 35 20 38 45 32 47 39

28 46 38 42 25 48 50 27 32 46

จงสรางตารางแจกแจงความถี่โดยใหความกวางของอันตรภาคชั้นเทากันทุกชั้นโดยที่

1) มีจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 6 ชั้น

2) ความกวางของอันตรภาคชั้นเทากับ 10

วิธีทํา 1) จํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 6 ชั้น

ข้ันตอนการสราง

1. หาขอมูลที่มีคาตํ่าสุดและสูงสุด คือ……………และ……………

2. พิสัย เทากับ คาสูงสุดของขอมูล – คาตํ่าสุดของขอมูล เทากับ …………………………

3. ความกวางของอันตรภาคชั้น เทากับ …………………………

4. สรางตารางแจกแจงความถี่โดยมีจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 6 ชั้น และมีความกวาง

เทากับ……………ดังน้ี

จํานวนไก(ตัว) รอยขดี จํานวนสัปดาห

รวม

2) ความกวางของอันตรภาคชั้นเทากับ 10

ข้ันตอนการสราง

1. หาขอมูลที่มีคาตํ่าสุดและสูงสุด คือ……………และ……………

2. พิสัย เทากับ …………………………

3. จํานวนอันตรภาคชัน้ เทากับ …………………………

4. สรางตารางแจกแจงความถี่โดยมีจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ……ชั้น และมีความกวางเทากับ 10 ดังน้ี

จํานวนไก(ตัว) รอยขดี จํานวนสัปดาห

14

รวม

4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนจํานวน 150 คน ผลปรากฏดังตารางแจกแจงความถี่ดังนี้

จงหาขอบลาง ขอบบน จุดกึ่งกลางชั้น และความกวางของแตละอันตรภาคชั้น

วิธีทํา

5. จากการสํารวจความสูงของนักเรียนจํานวน 40 คน ผลปรากฏดังตารางตอไปนี้

15

1) จงสรางฮิสโทแกรม

วิธีทํา จากโจทยสามารถหาขอบบนและขอบลางของแตละอันตรภาคชั้นไดดังนี้

นําขอมูลในตารางมาเขียนฮิสโทแกรมไดดังน้ี

2) จงสรางรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ โดยใชจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นและความถี่

16

วิธีทํา จากโจทยสามารถหาจุดกึ่งกลางของแตละอันตรภาคชั้นไดดังนี้

นําขอมูลดังกลาวมากําหนดจุดและลากสวนของเสนตรงเชือ่มจุดดังกลาว จะไดรูป หลายเหลี่ยมของ

ความถี่ดังน้ี

3. ฮิสโทแกรมตอไปนี้แสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 110 คน จงพจิารณา ฮิสโทแกรมน้ีและ

ตอบคําถาม

จงตอบคําถามตอไปนี้

1) ในชวงคะแนน 40 - 49 มีนักเรียนสอบไดกี่คน

17

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

2) ชวงคะแนนใดทีม่นีกัเรียนสอบไดคะแนนมากทีส่ดุ

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

3) ชวงคะแนนใดทีม่นีกัเรียนสอบไดคะแนนนอยทีส่ดุ

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

4) ถานักเรียนสอบไดคะแนน 70 คะแนนขึ้นไปถือวาสอบผาน นักเรียนที่สอบผานหรือนักเรียนที่สอบไมผานมี

จํานวนมากกวากนั และมากกวาประมาณกี่คน

ตอบ………………………………………………………………………………………………..

5) จงเขียนรูปหลายเหลี่ยมของความถี่จากฮิสโทแกรมขางตน

คากลางของขอมูล เปนคาที่ใชแทนขนาดและลักษณะของขอมูลแตละชุด ประโยชน ของการหาคากลาง

ของขอมูล ก็คือทําใหไดตัวเลขจํานวนเดียวที่เปนตัวแทนของขอมูลหรือ คะแนน ทัง้หมดในแตละชดุมาเสนอ

รายงาน การหาคากลางของขอมูลทําไดหลายวิธี คากลางของขอมูลที่นิยมใชกัน ซึ่งมี 3 ชนิด คือ คาเฉลี่ยเลข

คณิต มัธยฐานและฐานนิยม

คาเฉลี่ยเลขคณิต คือจํานวนที่ไดจากการหารผลบวกของขอมูลทั้งหมดดวยจํานวน ขอมูล จึงอาจเรียก

สั้น ๆ วา คาเฉลี่ย

ตัวอยาง จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักเรียน 5 คน ดังตอไปน้ี 150, 148, 161, 155 และ 156

เซนติเมตร

วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณิต 1545770

5156155161148150 ==++++= เซนติเมตร

ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักเรียน 5 คน เทากับ 154 เซนติเมตร

ตัวอยาง ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหน่ึงไดคะแนนดังตอไปน้ี

คะแนน 7 8 9 10 11 12 13

18

จํานวนนักเรียน 1 1 2 9 4 2 1

จงหาคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมนี้

วิธีทํา คะแนนเฉลี่ย

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

20

113212411910291817 ×+×+×+×+×+×+×=

20132444901887 ++++++=

2.1020204 == คะแนน

ดังน้ันคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมน้ีเทากับ 10.2 คะแนน

Ẻ½ƒ¡ËÑ´·Õè 4

1. จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลในแตละชุดตอไปน้ี

1) 3, 5, 4, 2, 1, 4, 8, 7, 9, 3, 5, 6, 4, 8

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

2) 2.5, 3.5, 2.4, 1.2, 3.2, 1.5, 5.2, 2.6, 4.2, 1.5, 2.3

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

3) 85, 95, 84, 75, 82, 45, 76, 83, 74, 85, 71, 76

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

4) 140, 150, 120, 130, 160, 170, 150, 120, 130

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

2. คาเฉลีย่ของคะแนนสอบของนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 4 คน เปน 51 คะแนน

1) จงหาคะแนนรวมของคะแนนสอบของนักเรียนท้ัง 10 คนน้ี

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

19

2) ถาคาเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียนชายเปน 49 คะแนน จงหาคาเฉลีย่ของคะแนนสอบของ

นักเรียนหญิง

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

3. ดิลกเรียนอยูชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 3 มีผลการเรียน 5 ภาคเรียนท่ีผานมาเปน ดงัน้ี

จงหาระดับผลการเรียนเฉลี่ยทั้ง 5 ภาคเรียนของดิลก

วิธีทํา จํานวนหนวยการเรียนทัง้หมด เทากับ………………………………………

ระดับผลการเรียนเฉลี่ยทั้ง 5 ภาคเรียนของดิลก คือ

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

ตอบ…………………………………………………………………………………………

มธัยฐาน คือคากลางของขอมูลเมื่อเรียงขอมูลจากนอยไปหามากหรือจากมากไปหานอยแลว จํานวน

ขอมูลที่นอยกวาจะเทากับจํานวนขอมูลที่มากกวาคาน้ัน

ตัวอยาง จงหามัธยฐานของขอมูลตอไปนี้

1) 8, 11, 9, 14, 5, 15 และ 6 2) 22, 26, 29, 35, 42 และ 50

วิธีทํา 1) เรียงขอมูลจากนอยไปหามากไดดังนี้

5 6 8 9 11 14 15

มัธยฐานของขอมูลชุดนี้ คือ 9

2) เรียงขอมูลจากนอยไปหามากไดดังนี้

22 26 29 35 42 50

มัธยฐานของขอมูลชุดน้ี คือ 32264

23529 ==+

ตัวอยาง จงหามัธยฐานของขอมูลตอไปนี้

คะแนน 27 28 30 33 35 39

20

จํานวนนักเรียน 1 2 7 5 3 2

วิธีทํา เรียงคะแนนจากนอยไปหามากตามจํานวนนักเรียนไดดังน้ี

27, 28, 28, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 33, 33, 33, 33 , 33, 35, 35, 35, 39, 39

มัธยฐานของขอมูลชุดน้ี คือ 5.31263

23330 ==+

คะแนน

ฐานนิยม คือขอมูลที่ซ้ํากันมากที่สุดในขอมูลชุดน้ัน หรือขอมูลที่มีความถี่สูงสุดใน ขอมูลชุดน้ัน

ตัวอยางท่ี 1 จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้

5, 6, 4, 3, 5, 7, 9, 5, และ 6

วิธีทํา ขอมูลที่ซ้ํากันมากที่สุดในขอมูลชุดน้ีคือ 5 (มี 3 คร้ัง)

ดังน้ันฐานนิยมของขอมูลชุดน้ีคือ 5

ตัวอยางท่ี 2 จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้

2, 4, 3, 5, 7, 9 และ 6

วิธีทํา ขอมูลชุดน้ีไมมีขอมูลที่ซ้ํากันเลย (มีความถี่เทากันหมด)

ดังน้ันขอมูลชุดน้ีไมมีฐานนิยม

ตัวอยางท่ี 3 จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้

คะแนน 30 39 42 45 50 52

จํานวนนักเรียน 2 4 6 7 5 3

วิธีทํา คะแนนที่นักเรียนสวนใหญทําได คือ 45 (มี 7 คน)

ดังน้ันฐานนิยมของขอมูลชุดน้ีคือ 45 คะแนน

แบบฝกหัดที่ 5

1. จงหามัธยฐานของขอมูลตอไปนี้

1) 14, 17, 18, 29, 42, 56, 100

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

2) 39, 45, 38, 44, 52, 36, 41, 42, 53, 50, 38

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

3) 16, 20, 35, 25, 16, 18, 22, 28, 30, 27

……………………………………………………………………………………………………

21

……………………………………………………………………………………………………

4) 15, 18, 17, 17, 29, 25, 37, 49, 62

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

5) 41.4, 38.5, 40.1, 37.3, 38.7, 35.2, 43.9, 39.3

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

2. จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้

1) 2, 9, 15, 7, 8, 2, 17, 15, 8, 9, 8

……………………………………………………………………………………………………

2) 7, 11, 19, 22, 7, 19, 17, 11, 12, 11, 19

……………………………………………………………………………………………………

3) 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3 3, 1, 2, 3

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

4) 5, 7, 4, 8, 7, 11, 7, 4, 10, 8

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

3. รานขายเสื้อสําเร็จรูปสตรีแหงหน่ึง จําหนายเสื้อขนาดตามเบอรตาง ๆ ในหน่ึงสปัดาหไดดังตาราง

จงตอบคาถามตอไปนี้

1) คนสวนใหญซือ้เสือ้เบอรอะไร

……………………………………………………………………………………………………

2) เฉลีย่แลวในแตละวันขายเสื้อไดกี่ตัว

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

4. จากการทดลองโยนลูกเตาสองลูกพรอม ๆ กัน สังเกตผลรวมของแตมที่ปรากฏไดดังนี้

22

จงหาคาเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมของผลรวมของแตมที่ปรากฏ

1) จากโจทยผลรวมของความถี่ท้ังหมดคือ…………………………………

ดังน้ัน คาเฉลี่ยของผลรวมของแตมที่ปรากฏเทากับ

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

น่ันคือ คาเฉลี่ยของผลรวมของแตมที่ปรากฏเทากับ…………………………………

2) ตําแหนงกึง่กลางของขอมูลคือ ตําแหนงที่…………………………………

และเมื่อเรียงขอมูลจากนอยไปหามากแลวจะไดมัธยฐานคือ…………………………………

3) ฐานนิยมเทากับ…………………………………

5. รายไดตอเดือนของพนักงาน 6 คน ของบริษัทแหงหน่ึง เปนดังน้ี

5,300 4,800 5,000 5,200 4,500 8,000

1) จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมของขอมูลดังกลาว

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2) คากลางชนิดใด เหมาะสมที่จะเปนตัวแทนรายไดตอเดือนของพนักงานทั้ง 6 คนน้ีไดดีกวากัน

เพราะเหตุใด

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

6. ขอมูลชุดหน่ึงมี 5 อยูหาตัว ม ี6 อยูหกตัว มี 7 อยูเจ็ดตัว มี 8 อยูแปดตัว และม ี9 อยูเกาตัว จงหา

คากลางทั้งสามชนิดของขอมูลนี้

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

23

การกระจายของขอมูล หมายถึงการที่ขอมูลในชุดใดชุดหน่ึงอยูหางหรือแตกตางกัน มากนอยเพียงใด ถา

ขอมูลในชุดใดอยูใกล ๆ กันหรือเกาะกลุมกันกลาววาขอมูลชุดน้ันมีการกระจายของขอมูลนอย แตถาขอมูลในชุดใด

อยูหางกันมากกลาววาขอมูลชุดนั้นมีการกระจายของขอมูลมาก การวัดการกระจายของขอมูลมีหลายวิธี แตที่ใชกัน

มาก ไดแก พิสัยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สวนเบีย่งเบนมาตรฐาน คือ รากที่สองของคาเฉลี่ยของสวนเบี่ยงเบนระหวางขอมูลแตละตัวกับคาเฉลี่ย

เลขคณิตของขอมูลชุดน้ันยกกําลังสอง

พิสัย คือ ผลตางระหวางขอมูลสูงสุดกับขอมูลตํ่าสุด

ตัวอยาง จงหาพิสัยของคะแนนตอไปนี้

(1) 25, 43, 32, 28, 14, 35, 40, 37, 39, 22, 19, 26 และ 31

(2) 9, 11, 15, 18, 20, 23, 25, 26, 27 และ 29

วิธีทํา

(1) เรียงคะแนนจากคะแนนตํ่าสดุไปหาคะแนนสงูสดุ ไดดังน้ี

14, 19, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 39, 40, 43

คะแนนตํ่าสดุ =14 คะแนนสงูสดุ = 43

พิสัย = 43 – 14 = 29

(2) คะแนนตํ่าสดุ =9 คะแนนสงูสดุ = 29

พิสัย = 29 – 9 = 20

แสดงวาขอมูลชุดที่ (1) มีการกระจายของขอมูลมากกวา ขอมูลชุดที่ (2)

สวนเบีย่งเบนมาตรฐาน คือ รากที่สองของค าเฉลี่ยของสวนเบี่ยงเบนระหวางขอมูลแตละตัวกับคาเฉลี่ย

เลขคณิตของขอมูลชุดน้ันยกกําลังสอง มีขั้นตอนในการคํานวณดังน้ี

ขั้นที่ 1 หาคาเฉลี่ยเลขคณิต

ขั้นที่ 2 หาสวนเบี่ยงเบนหรือผลตางระหวางขอมูลแตละตัวกับคาเฉลี่ยเลขคณิต โดยนําขอมูลแตละตัว

ลบดวยคาเฉลี่ยเลขคณิต

ขั้นที่ 3 หากําลังสองของสวนเบี่ยงเบนแตละคาที่ไดในขั้นที่ 2

ขั้นที่ 4 หาคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนที่ไดในขั้นที่ 3

ขั้นที่ 5 หารากที่สองที่เปนบวกของคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนที่ไดในขั้นที่ 4

ตัวอยาง จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของนักเรียน 5 คน ดังตอไปน้ี 150, 148, 161, 155 และ

156 เซนติเมตร

วิธีทํา 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต 1545770

5156155161148150 ==++++= เซนติเมตร

2. หาสวนเบี่ยงเบนระหวางขอมูลแตละตัวกับคาเฉลี่ยเลขคณิต และ

3. หากําลังสองของสวนเบี่ยงเบนแตละคาที่ไดตามตารางดังตอไปนี้

24

ความสูง สวนเบีย่งเบน กําลังสองสวนเบี่ยงเบน

148

150

155

156

161

– 6

– 4

1

2

7

36

16

1

4

49

รวม 106

4. หาคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนที่ไดในขั้นที่ 3 ไดเทากับ

2.215106

549411636 ==++++

5. หารากที่สองที่เปนบวกของคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนที่ไดในขั้นที่ 4 จะได

6043.42.21 =

ดังนั้นสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของนักเรียน 5 คนนี้มีคาประมาณ 4.6 เซนติเมตร