Upload
chribla01
View
27
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΩΝ
Citation preview
-
THOMAS TAYLOR
1995
: The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans
5-7, 104 33 . 5221744, 5227678, FAX: 01-5226581
ISBN 960-268-060-1
: :
, . . , , , , .
, , . , , .
, . , , , , , .
, , . , , , - -
- , .
, . (1758-1835) , , . , , , , , , , , .., , .
, , . , .
1995
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 7
I.
. .....65 II.
....................................................................... 67 III.
70
IV. 73 V. .
74 VI.
77 VII.
79 VIII.
83 IX. ............... 83 . 84 XI.
, ................. 85
XII. ,
, 86
XIII. 89
XIV. , 92
XV. 95
XVI. 97
XVII. , 98
XVIII. , , . 100
XIX. 103
XX. , , 107
XXI. 109
XXII. 113
119
I.
123 II.
. ....... 125
III. 128
IV. , . 131
1
V. , . , 133
VI. , 137
VII. , 138
VIII. , . . 139
IX. . 141
. . - - 142
XI. 143 XII. 145 XIII.
, 146 XIV.
148 XV.
- 149
XVI. . 151
XVII. 152
XVIII. . 154
XIX. , , 155
XX. . 158
XXI. , , ....... 160
XXII. ........163
XXIII. 165
XXIV. . . ............ 166
XXV. 170
XXVI. , 173
XXVII. 175
XXVIII. . 177
XXIX. , 181
XXX. 183
XXXI. 185
XXXII. , 186
XXIII. 188 XXXIV.
191 XXXV.
193 XXXVI.
196 XXXVII.
198 XXXVIII.
199 XXXIX.
( . XV, ), 201
XL. 209
XLI. 218
228
I. 233
II. 237
III. 242 IV. 247 V. 251 VI. 254 VII. 262 VIII. 266 IX. 269
. 272 XI. 274 XII. 277 XIII. 280 XIV.
283 XV. ,
285 XVI. .292 XVII. ,
305 XVIII.
309 312 323
, ' , .
(, , 5.)
. , . , , , , . , - , 800 .
, - - .
15
570 580 .. . , , , . .
, . .
, , . -- , '. , .
, , . , 9 . , . , .
, , ,
16
- . , . , . .
, . , . . , .
, 518 .. , . . . , . . , -
17
.
, . . , , .
, . ' , , . , , . , , . , , , . . , . , . 75 80 .
18
, . . , , .
, . , , .
, - - , .
. . . , , . , . , , , , .
. -
19
, , , . , . , , . - :
, , . . . , . . , , .
20
- - . , , . , , , , ,
10 , , (1 + 2 + 3 + 4 = 10). , .., , . , , .
. , , . .
.
21
. , . , . , - 1 , 2, 3, 4- . . , 1, 2, 3, 4. , , . , , . .
, . , , , . , . , . .
, , . ,
22
, , , , . .
, , . , , .
23
, ,
,
, .
,
.
, , ( ) , , , , ( ).
, , . 7, 525.
, , 1. , . .
, , , . , , , . . , . , , , , , , .
27
, . , ' , , , . , - - , , , .., , . , , , , , - , , , 2.
, 10 , , 13, 14 15, , , , , (... ), , .
28
, , , , , 3, , , .
, , . , . 4, , (Des Cartes) 5 .
, , , , . .
. , , , , ;
29
. , , . , . , ; , ; , , , .
; , . , ; , . .
, . .
, , -
30
, , ; ; , , ; .
, , ' ; , . , , ; ; , 6, , , , . .
31
, ( ) 7, .
, . , . ' , , ; . , , . , - , . , , , , , ; 8
, , , , . , .
32
, ( ), , - , . ( ) , , , , . , - , , , . , , , . , .
, , , , - , , , , , , .
33
9 . ( ) . , , , . . , , , , . , . , , 1 0.
, , , , , . . , . , ( )
34
. , .
, , . , , . , , . , . , , , ; , , . , . , , , . .
. ,
35
, , . . . , , . 11, , . , . , , , , - , . , . , , , . , , , , , , , , .
( )
36
; , , , , , , , ; , 12 , . , , , . , , , , , . , . . , 1 3 .
, , , , ,
37
. , , . , , , , .
, , . , , , , , . , , , - , . , . , , , , , .
. : , . , , . -
* (...).
38
, . , , . , , , , . , - , . . , , . . , , . , , . , , , ;
, . , , , .
39
, , , , , , . , , , . , , , . , . , , , , . , , .
, , , , , . , , , . , . , , , , -
40
, . , . , . , . , , . . .
, , , , , . , 1 4 , , , , , . , ( ) , , 1 5, . , , ,
41
. , . - - , . ( ) , , . , . , . , , . , . , , . , . , , , , .
, -
42
. 1 6 : , . . , . , , . , . . 1 7 . , , , , , . , , . . , . : . , , , . , , . , , . ,
43
. , , , .
, , , .
, , , , . , , . , , , , , , . , 1 8 . , (William Day) (William George Meredith), , . ,
44
. , , , , . o , , .
, , , , , 1 9. . , , , .
. . , . , .
, , ,
45
. , .
, , , , , , , . , , , , .
, , , . , . , , . , ; ; , , , , .
, . -
46
, , . , , , , .
, , . . . , ; , , ; , . , , , . , - , , , , . , ,
47
. , , , . , , . , , , - .
, , , . , , , . , , . , , , . , , 2 0.
, , , . , , - , . , . , , -
48
, , . , . , , . , , , - , , , .
, , , . , , . , , . , , , - , , . , -
49
, 2 1 .
, , . , , , .
, , , : : , , . ; ' , , , , . , , . , , , . , , , , , . , 2 2 , , , ( .. .), , , -
50
, , , 2 3. , . : , ; : , , , . , , . . , , , . , 24. , , ; : - . : , , , ( ) , , , , , , . . , , , . , . , ,
51
. , , , - , - ' , , . , , . , , , , , , , , , . , , , . , , , . , , .
: , , .
52
: , , , , , , , , , , , , . , . , , ( ), . , , - , , , . , , , , . , , , , .
53
1. , : ' , ' , , (, , .4) : , . . , .
2. , , , , . , , 7.
3. , , , , . ( , , , , .) -
54
, , . , - - . , .
4. (Newton) .
5. , . (Halley), , . ( ) : Methodus haec cum algebra speciosa facilitate contendit, evidentia vero et demonstrationum elegan-tia earn longe superare videtur: ut abunde constabit, si quis con-ferat hanc Apollonii doctrinam de Sectione Rationis cum ejus-dem Problematis Analysi Algebraica, quam exhibuit clarissimus Wallisius, torn. 2 Operum Math. cap. 54, p. 220 : . , , , . 54, . 220. : Verum perpendendum est, aliud esse problema aliqualiter resolutum dare, quod modis varus plerum-que fieri potest, aliud methodo elegantissima ipsum efficere: analysi brevissima et simul perspicua; synthesi concinna, et minima operosa- :
55
, , , , .
6. . 7.
. (Locke) -. , .
8. , , , 13 : , , . , , , ' . , . . , , , , . , , , , . , , , , . . ,
56
, , . . , , , . , . , , , . , ; , : . , . , . , , . : , .
57
9. : 1, 2, 4, 8, 3, 9, 27. , 2 .
10. , , : Ad quod attinet quantitates continuas, omnino adsentior Proclo; etsi oratio fluit ipsi torrentis instar, ripas inun-dans, et caeca dubitationum vada gurgitesque occultans, dum mens plena majestatis tantarum rerum, luctatur in angustiis linguae, et conclusio nunquam sibi ipsi verborum copia satis-faciens, propositionum simplicitatem excedit. : , , , , , . : (1571-1630) .
11. , , I, . 118 462. , , . 7, 71, 83 108, . . 83 , , , .
12. 2 , .
13. 9 : , , , , , -
58
, ; , , . , , . . ( ), . . , ; . ; . ; . ; . , , , , . ' . ; . ; .... , , , , , , -
59
, , ' . ; , , . . , , , . . , . . . , , . . , . . , , , , , , 729 , ; : , 3 9. 3 , - . 9 3, 3 1. 9 , 3 . , , .
60
3 , , 9 , 3, 9, 27. 27 , 3 . , 27 729, , 6 3 6 . , , , 729 .
14. , , .
15. . 16. , . 18. 17. ( ),
, . , , . . : , . . , , . , . , . , No XV XVI THE PAMPHLETTEER.
18. Si vis beatus esse, cogita hoc primum contemnere et contemni. 19.
, . , , . , . -
61
, , . , , , - - , . , . , , . 468, , , . , . 3, : , . . , , . , , , , , . ,
20. , 10, . 598.
21. , , , , ,
62
, , (), . . , . .
22. . , .
23. , .
24. , , :
, ' .
63
I
.
, . , . , - , . , , . , , , . , , , . , . . ,
65
, ; . , , , , . , ; , .
, ' . . , 1 . . . 4 3. 3 2. . , . , . , , , , . , . . -
66
. . , . , , .
II
.
2 . . , , , , . . , . , , , . .
, , . , - .
67
, , . 3. ' . , . , , ' , , ' , . , , (. ) . ' , .
4 , , , . , , , . , () , . , . , , , . , 6 3 3, 4 2, 5 1. , , , - .
68
. ( ) , - , , . , , , , 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 4 2 4 2 . . , , ' , . , , 5.
, , , . , . . , , . , , , . , , , .
69
III
.
. , . , . . : - , . . , , , , . , 8 4 4, , . , . , , , 6. , , , 7 - , , . , , .
70
, , , : , , , . , , , . , 10 5 5, , , 3 7. , , . , , 10. , 5 5, 3 7, 8. , , , , 8 4 4, , 8 5 3, , . , . , . , . , 7 3 4, 5 2, . . , , . , . , . , -
71
, - , .
, . . , , . , . , , , , . , , . , , , , , . . . , . , . , , . , , , . , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2 1 , 3 2 9, 4 3 , 5 4 , 6 5 . , , ,
72
. . , , , 1 0 .
IV
.
- , - , , . , 5 6 4, . , , 10, 5. 6 4, 3 7. 5. , 3 7, 5 8 2. , . , . , , .
73
V
. .
, . , , . , . , .
, . , 64 32, 16, 16 8, 8 4, 4 2 2 1, .
. , . .
: , , . , : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 ' . .
74
, , , . , , , 1 128. , , . , , 8 16, . 8 128 16 . , . 32 128 4 . , , 64 128 2 - 128 128, 1 128. , , , . : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, , 8, 64. . , 8, . 4 64 16 . , 32 64 2 . 1 64 64 64. , , .
, .
75
3, 1 2 3, 4 1. , , 1, 2 4 7, 8 1. 1 + 2+4+8=15 , 1 16 . , - 2 . , 1 1.
, 1 2 , .
, , " , . 128, 8 16, 128, 1 x 128. , , , . 4 x 32 1 x 128. , , . 64, , 8, 1 x 64. , , , , , 4 x 1 6 = 64. , 32 -
76
2, 1 64, .
VI
.
, . . , , . 6, 10, 14, 18, 22 . .
. , - . , , , . , 18 9, , , . 18, , 6, . , , 18, , 3, . , , 2, . . .
77
2, . 2, . , , 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. , 2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38. , , , .
, 4 . , , , 2 2, .
, , , , 1 3 . , , , . , , . , , . , , 2, 6, 10, 6 10 + 2. , . ,
78
2, 6, 10, 14, 6+10 2+14, .
VII
.
. . , , . 24 28. , , . , . , .
, . , , . , , , . , -
79
, , , . 24 , . 6, 12, 4 2. . 8, 3 1 - 8 , 3 1 . , , , .
, . , , . , 4, :
80
3 5 7 9 11 13 15 17 19 .. 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ..
, 3 4, , 3 8, , 3 16, -
, , , , - , , , . , ' , . 3 x 4 = 12, 5 x 4 = 20, 7 x 4 = 28, . , 3 8 = 24, 5 8 = 40, 7x 8 = 56. , , , .
, . , , , , . , , , , . , , . 3, . 5, . 7, .
81
3 5 7 9 ..
4 8 16 32 ..
12 24 48 96 20 40 80 160
28 56 112 224 36 72 144 288
, , 12, 20 28, 12 + 28 = 40. 20 + 36=56, 28. . 12 + 36=48 = 20 + 28. 24 + 72=96=40 + 56 . , , , . , , , - 12 x 48 = 576 = 24 x 24. , 24 x 96 = 2304 = 48 x 48. , . 12x96= 1152 = 24x48. , . . , , .
82
VIII
.
. , , . - , - . , , , .
IX
.
- . 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. , , , , , , . , 3 , , 3, . , 5 , . . , -
83
, . , 1 4. , , , . , . , , . , , .
.
, , . . , . , . 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39. , . 9 , 1 15 , 1 . . 9 , 3 15 ,
84
5, , 3. 21 , 7, , 3 (). , , . , , 9 3, 15 3 5, 21 3 7 . , , . , ' .
XI
,
.
, , , - - , - . 9 25, , . .
85
9 25 25 9. , , , , , 9 25 .
XII
,
, .
, , , , , . 3 , : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49. , , 3 . , 3 , 9. , 9 , 15. , 15, , 3 21. ' 3, ,
86
, . 5, , , , 5, , 7, 9, 11, 13, 15, 5 3 15 3. , , , 17, 19, 21, 23, 5 25. , , , 5 35, . .
, , . , , . , 7, , 21 3 21, , 35 7 . , , 49, 7 , . . , . , . , -
87
, , , , , , . ' . , , . , 3 , . , . , . , 5, , 4 . , 7, , , 6 . , , 8 . . . , , . , , , , . , 3 9 3, 15 5 21 7, 27 9, . 5 15 3, 25 5, 35 7, 45 9, . ,
88
, , , , , . , . , , - , , .
- , , - . , , ( ). , 3 9 5 25. . 5 25 7 49 . , , .
XIII
.
, , . , -
89
. , , , . , , . , . , , 9 29, . , 20. 11. 9 2. 2 9 7. 7 2 5. , 5 2 3. , 2 3 1. , 1 2, , 9 29. , , .
, 21 9, . , 21 9, 12. 9 12, 3. 3 9, 6 , 3, 3. , 3 . , , 3.
, , .
90
XIV
, .
. . . . , , , . 12 24 . , 12 6 4 3 2 1. 16, . , 24 12- 8 6 4 3 2 1 36. , . , , , . , 8 14. 8 4, 2 1 7, . , 14 7, 2 1 10, . , -
92
, , , , , , , , , . , , , , , .
- - . , , , . 6 28. 6 3 2 1, . , 28 14 4 7 2 1 28.
, , , . , , 3 - 6- , 12 - 6- . 2 - 6- , 18 - - . . . ,
93
3, 6, 12, 6 3 12 3 6, 6 12. , 28 14 56, .
, , , . , , . , . , , , , . , . , , . . . , . , , . , , .
94
XV
.
, 1 10, 6 10 100, 28 100 1000 , 496 - 1000 10000 8.128. , 6 8 1 5 .
. . , . , , . , , . , . , 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 1 2, 3, 3 , 2 6. 28, , : 1, 2 4 7, ,
95
4, , 28. , 6 28, . , , 1, 2, 4 8, 15. , , , . , 16, 15, 31, . , 16, , 496, 28. , , , . , , , , . , , .
:
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
-
-
-
1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191
1 6 28 * 496 * 8128 * * * * 33550336
, .
XVI
.
, , , . , . , , , . . , . , , . , , . , . , , , , .
97
, , , , . , , , . , . , -, , -.
XVII
, .
, , . , , .
, . , . , 2 - 3 4 , .
. , , . , -
98
, , , - , - ' . .
1 6 - , . , . ' . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. , 2, , . 4, , 2. 6, , 3. , 8, 4. ' .
, . 3 , , 2. 1 2 , 3 . , 6 4 5 2. 9 7 8 3. ' .
3 . 1, 2 3 4, 1. , 5, 6 7, 8 -
99
, 2. 8, 9, 10 11, 12 3. ' . , . , , , , . .
. , . . , 2, 6 8, 8, 12, 10 . . , .
XVIII
, , ..
, -. , , , , , .
100
' , ' . ' . , , , , . , , .
, . 1 7 3 2. , :
. , 3 2, 6 4, 9 6, , . 3 2 1, 2. 6 4 4, 2. 9 6 6, 3. .
, - . : ,
101
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
. 4, 3. , . . - :
1 2 3 4 5 6 7 8 4 8 12 16 20 24 28 32 3 6 9 12 15 18 21 24
, , . 4 3 3, 1. 8 6 , 2. ' . 3, 6, 9, 12 .. 4, 8, 12, 16 .. , .
. . . . . , . , 4
102
3, , 4 3. 8 6, , , 7 6 8. , 12 9 , , 10 11. , , ' .
XIX
.
, 10. , , . , . , , .
, , 1 10, 4 20, , . , , 2 1. 2,
103
, .
4 2. 3, 6 3. 4, 8 4. . , 9 30, , , . . 2, 3 1. 4, 6 2. 6, 9 3. -
104
. , 16 40, , . , 3, 4 . 6, 8 2, 9, 12 3. . , .
, , , . , 4, 2. 4, , . , 3 2, 6 4, 9 6, 12 8, . . . 1, 3 2. 2. 3 . , 4 3, 8 6, 12 9, .. .
, . . , , . , 2 4, 3 -
105
9, 4 16 . , . . , 2 6 4 2 1 2 2 1 1. 6 2 3 . , 6 12 9 12 3 4, 6 2 3. . , .
, , . 2 + 6 4 x 2 16. 6 + 12 9 x 2 36. .
. , 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, , 4 1 2, 9. , 4 + 9 6, 25. , 9 16, 12 x 2, 49. . , . 9, 25, 49, .. 16, 36, 64 .. .
106
, , 1 100 , 10 10. , 1 100, , 10 x 10. . , , .
XX
, ,
.
, , , , . , , , , , . . , . , . , , , , . , ,
107
. . -. , , , . , , , -, , , , - ' .
. 3 . 5. , , , , . :
108
3 4 5 6 7 8 9 10 5 7 9 11 13 15 17 19
, 5 3 , , 5 3 , 2. 7 4, , 7 4 . , .
' . , . , 3 5, 6 10 . , . ' , .
, 7 4 , . - , .
' , , 9 5, 4. , . , . , () . , , . , , . , . , . , -. , . ' .
XXI
.
. , . - , -
109
. , , . . , , - , , , , , . , . , , . , . , - . , , , , , . . , - , . . 5 2, 5 2 , , 1. - 9 4. - 11 5.
, , , 2, ' 5 - , , , :
110
2 , 5, 5, :
111
3, 3, 7, 7, - , ;
, 1, 2, 3, 4, .., 4, 9 9, , :
, 2, , 7 7, :
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
2 4 6 8 10 12 5 10 15 20 25 30
3 6 9 12 15 18 21 7 14 21 28 35 42 49
4 8 12 16 20 24 9 18 27 36 45 54
2 4 6 8 10 12 14 7 14 21 28 35 42 49
3 10 10, :
3 6 9 12 15 18 21 10 20 30 40 50 60 70
XIX, . - - . , , . , , . , , . , ' , . , , , , - .
, , , , , . , , , , - , , . , , . , , , - . , -
112
, , - . 8, 3, . 16 6, 8 8, 3 3. , , . , , , , .
XXII
.
, . , . , . . , . , , . , , ,
113
. , , , , , . , . , , : , , , . , , . , , . . , . , , , , .
. , , , . , . , . . ' . , 1, 1, 1. , 1. , 2. , -
114
, , 4. , , :
1 1 1 1 2 4
. , 1. , 1 2, 3. , , 9. :
1 2 4 1 3 9
. , , . , , 1. , 4. , , 16, :
1 3 9 1 4 16
.
, , , , , .. , , :
4 2 1
, 4, , 6.
115
, , 9, 3, 1. , 9. , 12. , , 16.
116
, , 9.
(...
' , .
, , :
' , .
, , , . , . , . :
9 3 1 9 12 16
16 4 1 16 20 25
4 4
2 6
1 9
9 6 4 ,
9. , 15. , :
9 6 4 9 15 25
. , ,
. - :
16 12 9 ,
16. , 28. , , , 49. , , .
16 12 9 16 28 49
, , , :
25 20 16 25 45 81
. , . . :
4 6 9
117
, , 4, , to 10. , , , 25:
4 6 9 4 10 25
. ,
, , :
9 12 16 9 21 49
, . , 9, 15, 25, - 9, 24, 64. 16, 28, 49, , 16, 44, 121. . , .
118
1. () = . () -= . () = .
2. , . 11.
3. 7 .
4. , , . 23.
5. , , , , . -, , , ., , . , ( ). - . , , . , , . , .
119
6. :
, (...).
7. (...).
8. 6 4, .
9. : . 3/2 1+. : . 4/3 1+1/3. : . 5/4 1+1/4. . . Lidell-R. Scott. (...).
10. , , . 29, ..
11. , , , , .. , , 1. , 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, , , 2, 6, 18, 54, 162, 486, .. 2+6 = 8, 9 1. 2 + 6+18 = 26, 27 1. 2 + 6+18+54=80, 81 1. . , . ,
120
, . .
12. , . , a fortiori , , ..
13. , , , , . , 10 , . , , , , .
14. , .
15. 6 8. .
16. . = ( . Lidell, R. Scott) (...).
17. , 1, 2, 3, 4, 5 .. , .., , .. .
121
1
.
, . . , , , . . . . , , . , . , , . , , , , , -, , .
123
, . . : . . , , , . , .
, 8, 32, 128. , 32, 8. 24. 8 24 . 128, 8, , 24, 72. 8, 24, 72 .
, . , , 8. 16. 72, , to 8, , 16 32, 32. 8, 16, 32 .
, . , 8. 16 8 8. 32, 8, , 8, 8. , 8, 8, 8.
124
. , .
II
.
, , , , . , - 1. , . , . . : , , , , .
, , , , , ' .
125
. , , , 2, , 3. 2 3, . 3, , , . 4 . . 6 6, , 9 . , , 4 6 6 9. 9, , . 8. . 12 , 12 18 18 27. 27 . , :
1 2 3 8 16 32 3 6 12 24 48
9 18 36 72 27 54 105
81 162 243
, , . 9 4 4 1. , 27 8 8 1. . , .
, . , 3 , -
126
, 4, , , . , 9, 12. 12, , 16, . 27 , , 36, 48 48 , 64 64 , . , :
1 3 9 27 81 243 4 12 36 108 324
16 48 144 432 64 192 576
256 768 1024
, . .
1 4 16 64 256 1024 5 20 80 320 1280
25 100 400 1600 125 500 2000
625 2500 3125
, , , , - ..
127
. , , , . , , . , , ' . , . , , , . , ' .
.
, , , . . 3 2 4 3 4 2.
III
128
, . , , , , . 4 6 3, , 3 , 6 .
129
, , .
, , , , . 12 6 18 12 6.
, , 6 18,
9 , 6 18 18 6.
, . , , , , , .
, .
, .
,
.
130
IV
, , ..
. , . . , , , , , , . , , , , , . , , .
, , , . , , . . . , 6, 6, 6, ,
131
, , , 6 6. , , . , . , . , , , . , , . , , , , , . , . . , , . ' , , . , , , , , , , , . , , , . , , . , -
132
, , .
, , . , . , . . 2 , :
11. 111. 1111. 11111.
V
, . .
, .
, 3. . , , , , , , , .
3, . .
133
. , , , , .., , , . :
, , , :
, - , . , , .
. . , , . 3 - , , .
134
6 . 10, 4. 15, 5 ' , :
, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, .. , . 1+2=3 , . 1 + 2 + 3 = 6 . 1 + 2 + 3 + 4 = 10 , . , , . , 3 , 2 1 . , 6 3 , . .
, . 1 3
135
, 6 10, , . , 15 21 , 28 36 . .
, - - ' . , , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. , , , 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45. , 1 2, 3 6. 2 3, 10 15. , 3 4, 21 28 .
. , , , , , :
136
, , .
VI
, .
, , , . . :
. , , 1 . , , 4, 2 . , 9, , 3 . .
, , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .., 1 . 1 + 3=4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3+5+7 = 16, . , .
, -
137
, . , 1, 1. , 4, 1 3, , 2. 9, , 3. .
VII
, .
, , - . . , 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70. . . , 1 , 1 . 5 , 2 . , 12, 3 . 22, 4. , :
138
O , , . , , :
. , , . , , , . . , 4, 1, 5. , 9, 3, 12. .
VIII
, .
, ..
. -
139
. , 2, . , , 3. , 4. , . 1, 5, 9, 13, 17, 21, .., , , 1, 6, 15, 28, 45, 66, ..
, , 5 , , :
1, 6, 11, 16, 21
, 1, 7, 18, 34, 55. , ,
, , , , . . , 1, .
140
IX
-
. .
, . , . , 4 1 3, . , 9 3 6, . 16 6 10 25 10 15. . . 5 4 1. , 12 9 6. 22 16 6. 35, 25 10. .
, , . 6 5 , 1. , 15 12 3. , 28 22 6. .
. - 7 6 1.
141
18 15 3. - 34 28 6. . .
, , , , , . 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, , . 6 9, 9 12, 12 15, 15 18, , 3. , 10 16, 16 22, 22 28, 28 34, , 6. , . .
.
- - .
. , -
142
. , , , , .
, , , . . - , , , :
, , , .
XI
.
, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .. ,
143
. , , .
, . 3 1, , 4. 6, . 10, 20. .
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220
. , , , .
, , .
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385
144
. ' , . , ' , , , , , , .., .
XII
.
, . , , , -. , 16 9 4, , , , , , , . , , . , , , .., . , , . , 16 9 4, . , , .
145
XIII
, .
, . , , , , . , 1, 4, 9, 16, 25, .., , . , . 4 2 . 4 2, 8. . 9 3 27. 16 4 64. . , , . , ,
146
, .
.
, . . , , , , , .
, , , , . 2, 5, , . , Gradati, . , . -, - , , , , . , , , , .
147
148
XIV
.
, , . , . , , , , . , , , , , , :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 2 x 1 , 2 x 3 , 3 x 4 , 4 x 5 , .., 2, 6, 12, 20, .., , .
, . , 3 x 7 , 3 x 5 .., , , , . , , , . , . , -
. , . , .
, - , . , , . , , , , .
XV
.
, . , , , , , , , . , -
149
, . 1 2 1, . 2, :
1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12 14
, . , , , , , , . . , , . , . 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7=16, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, . . , 2, . 2+4=6 , 6 3 2. , 2+4 + 6=12, 12 4 3. .
150
XVI
- . .
, . , , ( laterculus). 3 x 3 x 2 = 18 4 x 4 x 2 = 32, . . , 4 x 4 x 9 = 1 4 4 . , , . .
, , 5 6. 5 x 5 = 25, 5 5. 25 x 5 = 125. 5, 5. , ' . 2 6. , , . , ,
151
, , . , , . .
XVII
.
. , , . , , , , . , . , , . , , -
152
. , , , . , , , , , .
, , .., , , . , , , , . ' , -. , 6 2 3, 12 4 3. , 3 x 5 3 x 6 4 x 7 . , , , . , , .
153
XVIII
.
.
, , - , . - , . , , , , . , , . , . . , . , . , , - . , , . . , ,
154
, . , , , . , , , , . , , . .
XIX
, , .
, , , . . , , :
1 4 9 16 25 36 49 2 6 12 20 30 42 56
155
, , , , . , . , . , , , . ' , . , , 1, 2. 3, 4. , , 1. , , , , , .., , . , . ' . . . - , .
, , .
, . , , , . , .
156
, .
, 2 , . 1+4=5 , 5 2 x 2 9. , 4 + 9=13 13 2 x 6 25. . - , - , . , 2 6 4. 16. , , 12 + 6 = 18 9, 36. , 12 + 20 = 32, 16, 64 .
, -
157
, , . 1+4 2, 9, 3. 25, 4 + 9 6, 5. , 49, 9, 16 12, 7. .
, , . , 16, 2, 6 9, 6. , 64, 12, 20 16, 8. .
XX
.
.
. , , . , 1, , 2, , 3. 2 4, , 6. , 4 6 10
158
. , , :
,
, . 4 2, 6, 2 4, 2. 6 2 . , 3 9 3 12 6, . . , , - , . , , , . , 6-2, 2 + 2 4.
' , . , , , , , . , , , . ,
159
, .
XXI
,
, .
, , , , , , . , : 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30. 1, , 2 . , , , . 2 1 , 4 2 2. , 4 2, , 6 4 . , . 4 2 2, 6 4. , , , . , 4 6, 6 9, , 6 4 2 9 6 3. , , , , ,
160
, . , , , :
, . 2 1 4 2. 6 4 9 6. 12 9 16 12. . 1 2 1, 2 4 2. 4 6 2,
, , - , -, :
6 9 3. 9 12 3, 12 16 4. . , . 4 2 6 4. 9 6 12 9. 16 12 20 16. , , , . , , . , 4 2 6. 9 6 12. 16 12 20. . , 2 1 4, 6 4 9, 12 9 16 .
, , , ' . 1 2 1, 2 4 2. , , 1 2 , , . 1 1 , 2. , 2 2 , 4. , 2 4 6, 3 6 9. , ' . . 2 4, 6. 3 6 9. , 3 9 12, 4 12 16 , ' ,
162
, . . . . . . .
, , , ' . 2 4, 2, 4 6. . 2 , , . , . , 6 9 9 12 3. , , . , . .
XXII
.
, , , , , -
163
. , .., . , , .. :
, . , 4 9 3, 16 81 5 64 729 7. . , ( ) 4 64, , , , .. .
, , , , , . -
164
, : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, . , 1 , , 3 5, , , 8. , , 7, 9, 11, 27 . , 13, 15, 17, 19 , , , 64. .
XXIII
.
. , , , , . , , 3 . , , , . , , . . 4, 2, 1. 4 2, 2 1 , .
. ,
165
8, 4, 2, 1, 8 4, 4 2, 2 1 , . 16, 8, 4, 2, 1 32, 16, 8, 4, 2, 1, ' . , , , . , , , . 1, 2, 4, 8, 2 1, 8 4, , 1 2, 4 8. , 4 1, 8 2.
XXIV
.
.
, , , . , . , . , -
166
, . , , . , ( ) .
. , , . , . , . , . ; ' , , , . , . , , , . , . .
, , , . , -
167
, . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, , . , , , . , , . , . , 1, 2, 3 , . 2 1, 3 2 . .
, , . , , 2, 1,3,5, 2. 3 1 5 3. , 4 , . , . , , , , .
, 1, 2, 3, 1+3 = 4 = 2 x 2 . , . 1, 2, 3, 4, 1+4 = 2 + 3.
, . , , . , , 3, 5, 7 3 x 7 = 21
168
5 x 5 = 2 5 . 21 25 4, 3 5, 5 7, 2 x 2 . , , , . , 12, 10, 4, 2, 12x2 = 24 10x4 = 40 24 40 16, 12 10, 2, 10 2, 8, 2 x 8 = 16. 12 4, 8, 4 2, 2.
, , ' . 1, 2, 3, , 2 1, , , 3 2, . . , 12, 10, 8, 6, 8 6 12 10. 12 10 , 8 6 . , , . , , , . .
169
XXV
.
. , , , . . 1, 2, 4, 8, 16, 32, .., 1, 3, 9, 27, 81, .., , . 2, 4, 8, 2:4 = 4:8, 8:4=4:2. 2, 4, 8, 16, 2:4 = 8:16, 16:8 = 4:2. .
, . , , - , . , , :
170
. , . 2 1, 1. 4 2, 2. 8 4, 4. . , . 3 1 2, 1. 9 3 6, 3. 27 9 18, 9. . , . 4 1 3, 1. 16 4 12, 4. 64 16 48, 16. . , , , .., .
, , . , 2, 4, 8, , 2 x 8 = 4 x 4 = 16.
171
. , 16, 8, 4, 2, 1, , 16 x 1 4. , 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 64 1 = 8 8. , , 2, 4, 8, 16 2 x 16 = 4 8 32. . 2, 4, 8, 16, 32, 64, : 2 x 64 = 128 = 4 32 = 8 16.
. 2, 4, 8, 16, 32, 64, . 3, 9, 27, 81, 243, 729, . .
, , , :
, , , , . , . , ,
172
4 .
XXVI
, .
, , . . , . , . , , . , , , . , , 4 9. . 6, 6 4 9 6. , , 6. 4 2, 9 3, 6. , . . , 8 27, , 12
173
18. 12 8 18 27 .
. , . , . 8 27. 3 2 3 x 2 x 2 = 12, 3 x 3 x 2 = 18, . 27 64. 4 3 4 x 3 x 3 = 36, 4 x 4 x 3 = 48. . , . 12, 8 27, 8 27, 2 x 2 x 3 = 12. 18, , 27 8, 3 x 3 2 = 18.
, 5. , , 6. , 7, , , 8. . , 9.
174
, 1 0 . , , 1 1 . , , , .
XXVII
.
, . , , . 3, 4, 6 2, 3, 6, 6 3, 6 4, 2, 4 3, 1. 6 2, 6 3, 3, 3 2, 1. , .
. . , . , 3, 4, 6, 4 3, , 6 4, .
175
, 1:2 1:3. , , . , - - .
, , . , . 2, 3, 4, 3 2, , 1, 4 , . 3 2 2, 4 4. 3 2 1, 2, 4 1, 4. . , , , . 2, 3, 6, 3 2 2, 6 3, 6. , , , , . -
176
, . , 4, 6, 9, 6 4 , 9 6 . . , . 3, 4, 6, 3 + 6 = 9 9 x 4 = 36, 3 x 6 . , 2, 3, 6, 2 + 6 = 8 8 x 3 = 24, 2 x 6 = 12.
. 6 + 3 4 x 2 , 6 + 2 3 x 2 . , , . 3 x 6 = 18, 16, 4, 2. 2 6 4 4 3. 2 x 6 9, 3, 3. 3 6 3 3 2.
XXVIII
. .
, , . -
177
, . , , , , . , . , .
, . , , , , 4 3, . . ,
3, 4, 6 2, 3, 6. , 6 3,
2. , , , . 6 3 3 6 2 4 4 3 .
, . 6 4, 3 2. . , , , -
178
, 6 3. , , . 2, 3, 6, 3 2 6 3 . , , , . , 3 2 1 6 3 3. , 3, 4, 6, 6 , 2. , , 1. , , , , , . 3, 4, 6, 4 1, . 2, 3, 6, 6 2 . 4 1. 4 1 .
, , . , , , , , . , , . 12 , , . , 6, 8, 12, . 12 6, 12 8
179
8 6. , 8 , 6 , . , 1 2 . , , . 12+6=18 18 x 18 = 144. 144 12 x 6 = 72.
. , , 8 6, . 12 8, , , . , , 12 6. , , . 8 6 2 6 2. , , 8 8 6, 8 2. , .
180
XXIX
,
.
, , , , , . , , , . , , , . , 10 40, . , 25, 10, 25, 40 . , 10 40 20, , 10 20, 20 40. , 16 10 40, , 10 40, 16 10, 6, 40 16, 24.
181
, 5 45, 25 , 15 9 .
. , 2. . 10 + 40=50 50:2=25. , . 2 , . 40 10 30. 2, 15, 10, 25, 10 40. . , 10 40 = 400 400 20. , 20 10 40. , 2, . , 40 10 . , , 2, , 20, 20 10. 20 . , , , . . 40 10 30, 30 x 10 = 300 300 40+10 = 50 6 6 + 10=16, 10 40.
182
XXX
.
, . , . , . , . . , , , 3, 4, 6. , , , , . , 3, 5, 6. , 6 3, 5 3, 2, 6 5, 1. . , , , , . . 5 x 6 = 30, 3 x 5 = 15. -
183
, , .
. , , - , 2, 4, 5. , 4 2, 4 2, 2, 5 4, 1. , , , , , 8, 4, 2. 8 4 4 2, 8-4 4-2. , , . , . 2, 4, 5, 5 x 4 = 20 20 5 x 2 .
, , , , .. 1, 4, 6. 4 1, 3, 6 4, 2. 6:4 = 3:2. , , .
184
XXXI
.
, . , . , , . . , , , , 6, 8, 9. 9 6 3. , 8 6, 2, 3 .
, , , 6, 7, 9. 9 6 3, , 9 7, 2, .
, , , , 4, 6, 7. 6 4 -
185
. 2. 7 4 3, 2 .
, , , , 3, 5, 8. 5, , 3 . , 5, 8 5, 3, 1 3.
XXXII
,
.
, - - - . , - - . , , . , , , , , , , , , . , , , . , , .
186
6, 8, 9, 12. , 6 1 x 2 x 3 , 12 2 x 2 x 3 , 8 1 x 2 x 4 9 1 x 3 x 3 . . , 12 8 9 6, 12:8 = 9:6. . , 12 9 9 6, 3 . , . , 12 8 8 6. 12 6 12 8, 4, 8 6, 2. . 8 6 9 12 . 6 9 8 12 . , 12 6 . 8 9 , . , . 1 4 , .
, , , , , 5, 15, 25, 45. . 5, 15 45, 5:15 = 15:45 -
187
5, 25 45, 25 to 5 45 25. 40, 25, 16, 10. 40, 16 10 , 40 10 40 16 16 10. 40, 25 10 , 40 25 25 10. , 80, 40, 32, 20, . 80, 40, 20 80, 32 20 . .
XXXIII
.
. 284 220 , , , . , , , . . , , .
188
, (Ozanam), , . 15, : 220 284 , 220 - , 1 + 2+4+71 + 142 = 220. , 284 , 1 + 2 + 4 + 5 + 10+11 + 22+44+55 + 110 = 284.
, 2, , 1 , 6, , 12, - , 72, , 5, 11 71. 5 11 55 4, 2, 220 . , 284, 71, 4, 2 .
, 2, , , , 8. , 24, , 48, 1152, - , , 23, 47, 1151. 23, 47, 1081 16, 8, 17296, . , 18416, , 1151 16, 8.
, 2, 8,
190
64 .
64, , 9363584 9437056. 191, 383 73727.
XXXIV
15.
, ( ) ( ), , , . . , , , . , , , , , . , 1 6 .
, , . , , , , . , 1 2 1.
191
, , . , , . , 2, 4. 3, 9. 9 1 2.
3 2, 5 . , , 7 . 25, 7 49. 49, , , 25. , 7, 12. 7 5, 17, 289, 144, 1. , , 1 1 . 1 7. 1 , 1 . , , , , , , , . , . :
1
1
2
1
192
. 29 12 17. . 41 17 12x2, 99 41 2 9 x 2 , 41+58 = 99.
.
, . , , .
1+2 + 3 + 4 + 5, .., , , . 4 , 3 + 2 = 5 5 x 4 = 20, 10, .
1+2 + 4 + 8+16 + 32, .., ,
XXXV
193
2 3 8 9 5 7 50 49
12 17 288 289 29 41 1682 1681 70 99 9800 9801
169 239 57122 57121
. 1+2 + 1 2. 1 + 2 + 4 + 1 4. .
1 + 3 + 9 + 27+81, .., . , 3, 9, 1 + 3, 4, 1. 9, 27, 1 + 3 + 9, 13, 1. .
1+4 + 16 + 64 + 256, .., .
1+5 + 25 + 125 + 625, .., .
1 + 2 + 4 + 8 + 16, .., , . , 2 2 1 1 + 2. 4 4 3 1 + 2+4, .
1 + 3+9 + 27 + 81, .., 2 , . 3-1=2, 2:2=1, 1 + 3 = 4 . 9-1 = 8 8: 2=4 4 + 9 = 13 = 1 + 3 + 9, ..
1 + 4 + 16+64+256, .., 3 , .
1 + 5 + 25 + 125 + 625, .., 4 , .
194
, .
, .
, , , , . 8-1 = 7 7 + 8 = 15, . , , 2, , , . , , 3, 4, 5, 6, .
.., ' 2, , . , ,
105
:
, , . , 3. , 4 .
196
, 3, , 4, , 5, , 6 .
XXXVI
.
27 35, 39 55, 65 77, 51 91, 95 119, 69
133, 115 187, 87 247. 27 = 3 x 9 1, 3, 9, 13 35 = 5 x 7 1, 5, 7, 13.
39 = 3 x 13 1, 3, 13, 17. 1, 5, 11, 55 = 5 x 11.
65 = 13 5 1, 5, 13. 77 1, 7, 11 19,
51 = 17 3 1, 3, 17 21. 91 = 13 7 1, 7, 13 21. .
, 12, 16, 18, 20, 24, 26, 28, 32, 4, 2. 4, 2, 2 4. , 4, 2, 2, 4, 2, 2, 4, ' .
. , . , . , () , , -
197
. , , , . , , . 12 144, , , 80 104. 106.
, , . , , . , , , , , , , .
XXXVII
.
: 12, 20, 24, 28, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92,
198
96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228, 232, 236, 240, 244, 248, 252, 260, ..
' 8 4. 12 20 8, 20 24 24 28 4. , 28 36 8, 36 40, 40 44, 44 48, 48 52, 52 56, 56 60 4. , 60 68 8, 68 72 4, , 124 132, 8.
, 12 20 8, 20 36 16, 36 68 32, 68 132 64, , .
, 8, , , 8. 36 + 24 = 60, 68. , 68 + 56 = 124, 132. 132 + 120= 252. . ' .
XXXVIII
.
2, 4, 8, 16, 32, 64, ..,
199
1. , 2 1 4 2 1, 3 8 4, 2, 1, 7 16 8, 4, 2, 1, 15. .
3, 9, 2, 7, 81, 243 .., 1 . , 3 1 3 2 1. 9 3 9 , 8, 1. , 27 13, 9, 3, 1, 1. 243 121, 81, 27, 9, 3, 1, 1. .
5, 25, 125, 625 .., 1 . 7, 1 . 9, 1.
, , 1 .
. . . .
6....
. . . .
....
. . . .
8, 10, 14, 22, 38, 7, 8, 10, 14, 22 9, 15, 33, 87, 249, 4, 9, 15, 33, 87. , 134, 262, 70, 134. 262, , . 249.
XXXIX
( . XV, ),
.
1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, .. , 1+6 + 28+120 + 496, .., .
6, 28, 496, 8128, 130816, 2096128, 33550336, 536854528, .., , 28, 6, 2, 4, 16, 64, 256, ., :
201
, 3 2, 5 2, 9,
13, 17, 21, 25, 29, . , , 4 .
6 + 28+496+8128+130816, .. ,
, 1, 6, 28, 496, 8128, .., 1, 3, 7, 31, 127, 511, 2047, 8191, .. , 1 + 2 + 4 + 24 + 96 + 384, .. 1 = 1, 1 + 2=3, 1+2 + 4=7, 1 + 2+4+24=31 . , , 1, 2, 4, .
, 24 96, 96 384, 384
1536 . , ,
4 3, . 3 1 x 4 = 124 124 + 3 = 127. , 2 7 x 4 = 508 508 + 3 = 511. , 511 x4 = 2044 2044+3 = 2047. .
2 , 1, . 2 + 1 = 3, 6. 2 + 4+1=7, 28. 2+4 + 8+16 + 1=31, 496. .
202
203
' - 1 + 3 + 7 + 31 + 127, ..
2 , , , , 6 + 8 + 496 + 8128 + 130816 + 2096128, .., , , .
, , . .
3, 2 1, 6. 3 , 2 1 6. , 14, 7, 4, 2 1 28. , 496 , 465 2 . 496 248, 248 2, 496 4. , 124, 248, 2, 496 8. 62, 124, 2, 496 16. , 496 2, 4, 8, 16, 1 465, 496. , 8001 2 . 8128 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1 8001, -
8128. .
, . : 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128. , . , :
16 ,
. , (Ruffus) , .
6 8. , 6 8, .
297
, , . 2 , 6 8. , 1 + 8 + 32 + 512+8192, ..,
. 8, 32, 512, .., 4, 16, 256, . 6 + 28 + 496 + 8128 + 130816, .., , . 12, 6, 16- 56, 28, 64 - 992, 496, 1024, 32 16256, 8128, 16384, 128 216632, 130816, 262144, 512. . . , , .
, 2 28 6, 28, 496, 8128, 130816, .., , 2, 3, 7, 31, 127, 511, .., . , 3 2, 3 1, 4 2,
208
16, 31, , 496, 6, 28, 496, 8128, .. , 2 4 4 , 6 2, 64, 127, 8128, 6, 28, 496, 8128, .. .
6, 28, 496, 8128, 130816, .., , : 16 . 3, 7, 31, 127, 511, .., 6, 28, 496, .. , 28 16 - 448 448 12 x 4, 48, 496. , 496 x 16 = 7936, 7936 + (12 x 16) = 8128. .
, 1, 6, 15, 28, 45, 66, .. ' ,
XL
.
, , 9363584 943705618.
209
, , 8, , 2 , . , 64 8, 512. , 1535, 3071 4718591. 4827120640 4831837184, , 2 , , . , 512 8, 4096. 12287, 24575 301989887. 2473599180800 2473901154304. 2 , , . , 4096 8 32768. , 98303, 196607 19327352831. 1266618067910656 1266637395132416.
, 32768 8, 262144. , 786431, 1572863 1236950581247. 648517109391294464 648518346340827136.
, 9363584 9437056. 2 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..,
210
, . : 4681792, 2340896, 1170448, 585224, 292612, 146306, 73153. , 191 383 9363584, , . 9363584 191, 49024 383 24448. , 2 . 49024 2 , 24512, 12256, 6128, 3064, 1532, 766, 383. , 24448 12224, 6112, 3056, 1528, 764, 382 191. :
4681792 2340896 1170448 585224 292612 146306 73153 49024 24448 24512 12256 6128 3064 1532 766 383
12224 6112 3056 1528 764 382 191
211
9436801
2 , , 1 + 2+4 + 8+16 + 32+64+128= 255, 9437056, .
, 9437056 2 , :
255, , 9363584, .
2 . . , , .
, 3, 6 18, , , . 3 6 . , , . 18 6 3.
, . 1 1000 , 284 20.000 ,
212
18416 .
, , . , 284 220 1
1 17296 18416
1 1
9437056 9363584
1 1
. . , . 4827120640 4831837184, , 4 8. 2473599180800 2473901154304, 2473 . 1266618067910656 1266637395132416, . , 64851710939294464 648518346340827136. , 170005188316757680455680 1700051933833071941 38624, . , . .
, .
213
:
5 11 71 23 47 1151
191 383 73727 1535 3071 4718591
12287 24575 301989887 98303 196607 19327352831
, (2x5 ) + l = 11, (2 x 23) + 1=47, (2 x 91) +1 = 383, (2 x 1535) + 1 = 3071, (2 x 12287) + 1 = 24575 (2 x 98303) + 1 = 196607. , , .
, 4 3, . , 11x4 = 44, 44 + 3=47, . 23 x 8 = 184, 184 + 7 = 191, (47 8) + 7 = 383 , (191 x 8)+ 7 = 1535, (383 x 8)+7=3071, (1535 x8) + 7 = 12287, (3071 x 8) + 7 = 24575, (12287x8) + 7 = 98303, (24575 x 8) + 7=196607.
, (47 x 4) + 3 = 191, (383 x 4) + 3 = 1535, (3071 x 4) + 3 = 12287 (24575 x 4) + 3 = 98303.
, =16 15 =64
63 =64 63 =64, 63. ' , 64 63 .
, , , , , . =23 + 191 + 1535 + 12287, ..
214
, , . , 5 x 11 = 55, 71-55 = 16. 16 = 5 + 11. , 23 x 47=1081 1151-1081 = 70 = 23 + 47. , 191 x383 = 73153 73727-73153 = 574=191 + 383. . , , . , , . ( , -
, 17296 18416, , 128, 1024, 8192, . .
, , , 2 .
215
' , 4831837184 4827120640, :
2 .
2473901154304 2473599180800:
216
.
, , .
217
. , .
XLI
.
, . .
: , , , , . . , , . , , 1 9.
, , , , .
218
, , , , , , . , , , 2 0 , , , . , , , .
, . , , . , , . , , , , , . , . , -
219
, .
, . , , . . ,
, , , , , , , , ( ), , . , . , , - , , - ,
220
, .
, , .
, , , , , . , , , . , , . , - , , , , . . , . , , .
, ,
221
27, 18, 12, 8, . , .
, . 95. 25 - 4 3, - 70, 40 30, . 95 25 70, . 5 , 100x 100= 10000 10000 x 100=1000000. , , . , , 10 x 10 x 100 1000 x 10 x 100. . 21, 12 , 8 12, 8, 6 . , , 10000 1000000 .
222
( ) . 100 10, , 1000 10 100, .
, 1000000 , , , , : 1000000 ( 10000), . , . XXXIV , . , . , , , , . , 3 9, 4, 3 4. , , . , 10000 . 7 25. 989.
10000 989 , , ,
223
, , , 2 3. 300 77 , . , , 2700 27, 3. , , 10000, :
989 , 300 77 3, 2.700.
, .
: . - . . , , , , . . ,
224
, , . . , , , , . . , , , . , , , , , , .
, :
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
2 1, . 6 4 12 9 . , , , .
2 1 1, 6 4 2, 12 9 3, . .
225
, , , , 3. 4.
- . , 6 2 4, 4 1 3, 4 3 . , 12 6 9 4 5, 6 5 . .
, 4, . 4 4 16, 4 9 36, 4 16 64, . , , , 12 2 6, 72 6 12, . 6 4, 24 2 2.
:
1 3