Υδροστατική πίεση

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2. Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ

2.1 ΠΙΕΣΗ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ

F=mα⇒Py=Ps -Η πίεση σ’ ένα σηµείο του ρευστού είναιPz=Ps ανεξάρτητη της διεύθυνσης

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2.2 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ

-Επιφανειακές δυνάµεις(λόγω πίεσης)

-∆υνάµεις σώµατος(π.χ. βάρος)

γ−=

γ−=∂∂

=∂∂

=∂∂

ρευστνητοακιαΓ

dzdp

zp,0

yp,0

xp:όί

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣP1-P2=γh

h: πιεζοµετρικό ύψος

P= γh+p0

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ

Εξάρτηση της πίεσης απόP0,γ,hΟΧΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΗΜΑ


ΑΠΟΛΥΤΗ ή ΣΧΕΤΙΚΗ(GAGE) ΠΙΕΣΗ

2.3 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ

Μέτρηση Ατµοσφαιρικής ΠίεσηςPatm=γh+Pvapor

0.000023 lb/in2


ΠΙΕΖΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΩΛΗΝΑΣP=γh+P0PA=γ1h1 (P0=0,σχετική πίεση)

PA =P1

Μειονεκτήµαταα) PA > Patmβ) Σχετικά µεγάλη πίεση για

την ακριβή µέτρηση του h1

2.4 ΜΑΝΟΜΕΤΡΑ


ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ ΤΥΠΟΥ U

PA+γ1h1- γ2h2=0 ⇒ PA=γ2h2- γ1h1

Το ρευστό του µανοµέτρουδιαφορετικό από το ρευστόµέτρησης

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1

Ένα κλειστό δοχείο περιέχει αέρα υπό πίεση και υγρό µε πυκνότητα 900kg/m3.Ένα υδραργυρικό µανόµετρο τύπου U συνδέεται στο δοχείο όπως φαίνεται στοσχήµα.Για h1=0.914m, h2=0.152m και h3=0.228m, να προσδιορισθεί η ένδειξη στοπιεσόµετρο.

ΛύσηΑκολουθώντας τη γενική µεθοδολογία τωνµανοµέτρων, αρχίζουµε από την διεπιφάνειααέρα-υγρού και καταλήγουµε στο ανοικτόάκρο του µανοµέτρου.

)Pa(m/N21007P

0228.0*81.9*13600)152.0914.0(*81.9*900P

0gh)hh(gP

0h)hh(P

2έ

έ

3.21ύέ

3.21ύέ

=

=−++

=ρ−+ρ+

=γ−+γ+

ραα

ραα

υδραρυγροραα

υδραρυγροραα


Μέτρηση διαφοράς πίεσης

σκουίµηντουδρασηίεπ*

hγhγhγPPPhγhγhγP

113322BA

B332211A

−+=−

=−−+


Σε ένα σωλήνα η παροχή όγκου Q(m3/s)µπορεί να προσδιορισθεί µέσω ενόςακροφυσίου όπως φαίνεται στο σχήµα. Το ακροφύσιο δηµιουργεί µία πτώσηπίεσης στο σωλήνα PA-PB και η παροχή µπορεί να υπολογισθεί από τη σχέσηQ=Κ√PA-PB (Κ=σταθερά). Η µέτρηση της πτώσης πίεσης γίνεται µέσω ενόςµανοµέτρου τύπου U.

Nα προσδιορισθεί η εξίσωση για την PA-PB σαν συνάρτηση των γ1,γ2και h2.

ΛύσηΞεκινώντας από το σηµείο Α καταλήγουµε στο σηµείο Β

*όπως φαίνεται η πτώση πίεσης εξαρτάται µόνο από το ύψος h2 και όχι από το h1. Όσο ψηλά και να τοποθετήσουµε το µανόµετρο (h1=0.5m ή h1=5m) η ένδειξη h2 παραµένει η ίδια

)(hPPP)hh(hhP

122BA

B2112211A

γ−γ=−=+γ+γ−γ−


ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ

θκαττουξησηα

θγ−

=

θγ=−ριααιαΓ

γ−γ+θγ=−

=γ−θγ−γ+

sin1άlύ,

sinPPl

sinlPPέ

hhsinlPPPhsinlhP

22

BA2

22BA

113322BA

B332211A

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2.5 Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ∆ΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕ∆Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

cR

cR

c

cA

A

AAAR

AhγFθsinAyγF

φεταιάγρ)1(Hρουςάβντρουέκτουνηέσυντεταγµyy

AyydA

χπροςωςνειαςάεπιφ

τηςήροπτηώπρηναιίεydAρωµαήολοκλοΤ

)1(ydAθsinγdAθsinyγhdAγF

=

=

=

=

===

∫

∫

∫∫∫

• Υπολογισµός της δύναµης (µέγεθος,διεύθυνση,σηµείο εφαρµογής)

• Για δεδοµένο h η δύναµη που ασκείται σε dA είναι dF=γhdA

• Η συνολική δύναµη είναι:


Προσδιορισµός του σηµείου εφαρµογής της FR (κέντρο πίεσης)Η ροπή της συνισταµένης δύναµης είναι ίση µε τη ροπή των επιµέρους δυνάµεων.

R cF Ay sin= γ ϑΑφού έχουµε2

A xR

c c

y dAIy

y A y A= =∫

όπου

=xI ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα x.

2x xc cI I Ay= +

όπου

=xI δεύτερη ροπή της επιφάνειας ως προς άξονα που διέρχεταιαπό το κέντρο βάρους και παράλληλο στον άξονα x

Παρόµοια η συντεταγµένη Rx προσδιορίζεται από την εξίσωση

R RA

F x sin xydA= γ ϑ∫και τελικά καταλήγουµε στη σχέση

xycR c

c

Ix x

y A= + όπου =xycI

γινόµενο αδράνειας ως προς ορθογώνιο σύστηµασυντεταγµένων που διέρχεται από το κέντρο βάρους.

Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα των παράλληλων αξόνων

2R R

A

F y ydF sin y dAΑ

= = γ θ∫ ∫Η συντεταγµένη yR προσδιορίζεται απο το αθροισµα ροπών ως προς τον αξονα x.


Γεωµετρικές ιδιότητες χαρακτηριστικών επιφανειών


Η δεξαµενή του σχήµατος περιέχει θαλασσινό νερό (ρ=1025kg/m3) σε ένα βάθος3.0m. Χρειάζεται να αντικατασταθεί το τριγωνικό κοµµάτι στη µία γωνία.Να προσδιορισθεί το µέγεθος και το σηµείο εφαρµογής της δύναµης που ασκεί τονερό στην τριγωνική επιφάνεια.

ΛύσηΟι διάφορες αποστάσεις φαίνονται στο σχήµα (b)yc=hc=2.7mκαι FR=γhcA=9.81*1025*2.7(0.9)2/2=10995NΗ δύναµη αυτή είναι ανεξάρτητη του µήκουςτης δεξαµενής.Η συντεταγµένη y του κέντρου πίεσης βρίσκε-ται από τη σχέση


m0083.0x

m0091.09.072

)9.0(9.0I,xAy

Ix

:ό

m716.27.2

2)9.0*9.0(7.2

018.0y

m018.036

)9.0(9.0I,yAy

Iy

R

42

xyccc

xycR

R

43

xccc

xcR

=

==+=

µοιααρΠ

=+=

==+=

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2.6 ΠΡΙΣΜΑ ΠΙΕΣΗΣ

A2hγ)bh)(hγ(

21γκοςόF

A2hγApF

R

ανR

===

==

R 1 2

R R 1 1 2 2 R

F F FF y F y F y y

= +

= + ⇒ =…


ΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΠΙΕΣΗΣ


2.7 Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ∆ΥΝΑΜΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

•Επιλογή όγκου ελέγχου που περιλαµβάνει την επιφάνεια

•Ισορροπία δυνάµεων στον όγκο ελέγχου

•Οριζόντια διεύθυνση F2=FH α=tan-1(FV/ FH) ως προς το οριζόντιο επίπεδο

•Κατακόρυφη διεύθυνση F1+W=FV

•FR=√F2H+F2

V


Ο αποχετευτικός σωλήνας του σχήµατος έχει διάµετρο 1.8 m και είναι µισο-γεµάτος µε νερό.Να υπολογισθεί το µέγεθος και η διεύθυνση της δύναµης πουασκεί το νερό στο τµήµα BC του σωλήνα, µήκους 0.3 m (κάθετα στη διατοµή).

Λύση• Επιλογή όγκου ελέγχου που περιλαµβάνει την επιφάνεια BC

• Προσδιορισµός των δυνάµεων που δρουν στον όγκο ελέγχου F1: η δύναµη πουδρα στην επιφάνεια AC, W: Tο βάρος του νερού στον όγκο ελέγχου

• FH,FV:Οι αντιδράσεις από το τοίχωµα στο νερό

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ• Ισορροπία δυνάµεων

( )

Ν=+=⇒=⇒

=

π⇒=γ⇒=

=⇒

=⇒=γ⇒=

ολ 4.2219FFFN2.1872F

F3.0*49.0*9810FVFW

N9.1191F

F3.0*9.029.0*9810FAhFF

2V

2HV

V

2

VV

H

HHcH1


Μία σφαιρική σηµαδούρα έχει διάµετρο 1.5m, ζυγίζει 8.5kΝ και είναι αγκυρωµέ-νη στον πυθµένα της θάλασσας µε ένα καλώδιο.Σε κανονικές συνθήκες η σηµα-δούρα επιπλέει στην επιφάνεια του νερού. Για κάποιες συνθήκες η σηµαδούραείναι βυθισµένη όπως φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογισθεί η τάση στο καλώδιο.

Λύση• Από ισορροπία δυνάµεων έχουµε T=FB-W

N10*65.910*85.0N10*785.1TkN5.8W

N10*785.16

5.181.9*1025gVVF

344

4ύ.ύ.B

=−=

=

=π

==ρ=γ= νεροθαλνεροθαλ

Από την (1) έχουµε


2.8 ΑΝΩΣΗ-ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ-ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

µατοςσγκος

γ=

−−γ−−γ=

−γ=−

επιφνηςµγραµροςβ

−−=

ώό:VVF

VA)hh(A)hh(F

A)hh(FF

.έ/ά:WWFFF

B

1212B

1212

12B

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣΕΥΣΤΑΘΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΑΣΤΑΘΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

ΑΠΘΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ.ΠΟΛ. ΜΗΧ.Π. ΠΡΙΝΟΣΠ. ΠΡΙΝΟΣ2.9 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΣΕ ΡΕΥΣΤΟ

ΜΕ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ-ΣΩΜΑΤΟΣ,

zp,

yp,

xp

zyx ρα+γ=∂∂

−ρα=∂∂

−ρα=∂∂

−

0dzdpg

))g(dzdp,έ..0,0(

gdydz

0dpίήή*

dz)g(dydp

dzzpdy

ypdp*

)g(zp*

yp*

0xp0*

ίή)

z

zzy

z

y

zy

z

y

x

=⇒−=αιαΓ

α+ρ−=ρασανσχπ≠α=αιαΓ

α+

α−=⇒

⇒=εσηςπςσταθεργραµµιαΓ

α+ρ−ρα−=

⇒∂∂

+∂∂

=

α+ρ−=∂∂

ρα−=∂∂

=∂∂

−⇒=α

νησηΚραµµικΓα


zάάίίέάίίή

άz2

rp

dzrdrdp

ί

)άέ(άgrz

gr

drdz

0dpdzdrrdp

dzzpdr

rpdp

zp

0p

rrp

ώύή)

22

2

22

2

2

2

στουδροστατικλλεταιµεταβεσηπηναακτνηδεδοµγιααλλναακττηνµεεσηςπτηςµεταβολ

σταθερ+γ−ρω

=⇒

γ−ρω=

εσηπτηνιαΓ

νειεςεπιφςπαραβολικσταθερ+ω

=

ω=

=ιαΓγ−ωρ=

⇒∂∂

+∂∂

=

γ−=∂∂

=θ∂∂

ωρ=∂∂

µατοςσστερεοεριστροφΠβ

∫∫∫


Η δεξαµενή του σχήµατος κινείται µε σταθερή γραµµική επιτάχυνση.(α)Να προσδιοριστεί η σχέση µεταξύ της επιτάχυνσης και της πίεσης στον αισθητήρα

για υγρό µε πυκνότητα 650 kg/m3.(β)Ποια είναι η µέγιστη επιτάχυνση για την οποία η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού

αγγίζει τον αισθητήρα;

Λύση(α) •Για σταθερή οριζόντια επιτάχυνση η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας

προσδιορίζεται από τη σχέση

)0α(gα

dydz

zy =−=


• Για επιτάχυνση ay η µεταβολή του βάθους z1 δίνεται από τη σχέση

• Η πίεση θα είναι υδροστατική (αz=0) και εποµένως

(β)Από την εξίσωση έχουµε

α=⇒

α−=−

g75.0z

g75.0z y

1y1

y

y

5.4872.3188pg

75.005.0*81.9*650pghphp

α−=⇒

α−=⇒ρ=⇒γ=

g75.0z y1 α

−=−

2max,y

max,y s/m54.6g75.0

5.0=α⇒

α−=


Η γωνιακή ταχύτητα ω ενός σώµατος ή ενός εµβόλου µπορεί να µετρηθεί µε τηδιάταξη του σχήµατος µετρώντας µε ένα σταθµήµετρο τη διαφορά στάθµης(Η-h0). Να προσδιορισθεί η σχέση µεταξύ ω και (Η-h0).

Λύση• Το ύψος h της ελεύθερης επιφάνειας µπορεί να προσδιορισθεί από τη σχέση

0

22

hg2rωh +=


• Ο αρχικός όγκος του ρευστού στη δεξαµενή είναι

• Ο τελικός όγκος του ρευστού υπολογίζεται µε βάση τον στοιχειώδη όγκο του σχήµατος

• Από Vαρχ = V τελ (χωρίς υπερχείλιση) έχουµε

HRπV 2αρχ =

02

42R

00

22

τελ hRπg4Rπωdrh

g2rωrπ2V +=

+= ∫

g4RωhHhRπ

g4RπωHRπ

22

002

422 =−⇒+=

Documents

Υδροστατική πίεση