αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

ΜΕΡΟΣ Α΄ 3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 281

3. 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Στην προσπάθεια μας να επιλύσουμε αλγεβρικά ένα σύστημα δύο εξισώσε-ων α΄ βαθμού με δύο αγνώστους θα έχουμε σαν στόχο να απαλείψουμε από την μία από τις δύο εξισώσεις τον δεύτερο άγνωστο έτσι ώστε να μπορέ-σουμε να βρούμε τον άλλο. Αυτό επιτυγχάνεται με δύο τρόπους:

α) Μέθοδος της αντικατάστασης Λέγεται μέθοδος της αντικατάστασης γιατί στην προσπάθεια μας να απα-λείψουμε τον έναν άγνωστο στην μία από τις δύο εξισώσεις αντικαθιστούμε την τιμή του ενός αγνώστου από την μία εξίσωση στην άλλη για να προκύ-ψει μία πρωτοβάθμια εξίσωση. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται συνήθως όταν η μια εξίσωση είναι λυμένη ως προς ένα άγνωστο ή μπορεί να λυθεί εύκολα ως προς τον έναν άγνωστο(δεν υπάρχουν συντελεστές στους αγνώ-στους).Επομένως τα βήματα που κάνουμε σε αυτή την μέθοδο είναι:

• Λύνουμε τη μια εξίσωση ως προς τον ένα άγνωστο(προτιμώντας τον άγνωστο χωρίς συντελεστή).

• Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου αυτού στην άλλη εξίσωση οπότε προκύπτει μια πρωτοβάθμια εξίσωση την οποία λύνοντας βρίσκουμε τον έναν άγνωστο.

• Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του αγνώστου που βρίσκουμε στην άλλη εξίσωση(την οποία “κουβαλάμε” μέχρι το τέλος για το σκοπό αυτό) και βρίσκουμε τον δεύτερο άγνωστο.

β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών Λέγεται μέθοδος των αντίθετων συντελεστών γιατί στην προσπάθεια μας να απαλείψουμε τον έναν άγνωστο στην μία από τις δύο εξισώσεις κάνουμε αντίθετους τους συντελεστές του ενός αγνώστου στις δύο εξισώσεις, οπότε με πρόσθεση κατά μέλη των εξισώσεων αυτών προκύπτει μια πρωτοβάθμια εξίσωση. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται συνήθως όταν υπάρχουν αντίθε-τοι συντελεστές σε έναν άγνωστο στις δύο εξισώσεις ή όταν όλοι οι άγνω-στοι έχουν συντελεστή. Επομένως τα βήματα που κάνουμε σε αυτή την μέ-θοδο είναι:

• Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη κάθε εξίσωσης με κατάλληλο αριθμό (το Ε.Κ.Π των συντελεστών του αγνώστου) για να κάνουμε αντίθετους


τους συντελεστές του ενός αγνώστου. • Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν (γιατί

αν α = β και γ = δ τότε α+γ = β+δ) και βρίσκουμε μια πρωτοβάθμια εξίσωση με έναν άγνωστο την οποία λύνοντας βρίσκουμε τον έναν άγνωστο.

• Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου αυτού σε μία από τις δύο αρχικές εξισώσεις(διαλέγουμε μία από τις δύο ,την πιο απλή, και την “κουβαλάμε” μέχρι το τέλος για τον σκοπό αυτό) και βρίσκουμε τον δεύτερο άγνωστο.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να βρείτε ποιο από τα παρακάτω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

x y 6x y 4+ =⎧

⎨ − =⎩ α) (2 , 4 ) β) ( 7, –1) γ) (6 , 2 ) δ) (5, 1). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Θα εξετάσουμε ποιο από τα ζεύγη επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος. α) Για το ζεύγος (2 , 4) έχουμε : 1η εξίσωση 2+4 = 6 Επαληθεύεται 2η εξίσωση 2−4 = −2 ≠ 4 Δεν επαληθεύεται Το ζεύγος (2 , 4) δεν είναι λύση του συστήματος β) Για το ζεύγος ( 7, –1) έχουμε : 1η εξίσωση 7+ (−1) = 7 −1 = 6 Επαληθεύεται 2η εξίσωση 7−(−1) = 7+1= 8 ≠ 4 Δεν επαληθεύεται Το ζεύγος ( 7, –1) δεν είναι λύση του συστήματος γ) Για το ζεύγος (6 , 2 ) έχουμε : 1η εξίσωση 6+2 = 8 ≠ 6 Δεν επαληθεύεται 2η εξίσωση 6−2 = 4 Επαληθεύεται Το ζεύγος ( 6, 2) δεν είναι λύση του συστήματος δ) Για το ζεύγος (5 , 1) έχουμε : 1η εξίσωση 5+1 = 6 Επαληθεύεται 2η εξίσωση 5−1 = 4 Επαληθεύεται Το ζεύγος (5 , 1) είναι λύση του συστήματος

2. Για την επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο της αντι-

κατάστασης είναι προτιμότερο να λύσουμε : ⎩⎨⎧

=+=+

7y2x52y3x

α) Την πρώτη εξίσωση ως προς x ; β) Την πρώτη εξίσωση ως προς y ;


γ) Τη δεύτερη εξίσωση ως προς x ; δ) Τη δεύτερη εξίσωση ως προς y ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για την επίλυση του δοσμένου συστήματος με την μέθοδο της αντικατά-στασης είναι προτιμότερο να λύσουμε την δεύτερη εξίσωση ως προς y,δηλαδή το δ. Τότε θα προκύψει η εξίσωση : y = 7 − 2x

3. Αν στο σύστημα 3x 5y 12x 5y 9

+ = −⎧⎨ − = −⎩

εφαρμόσουμε τη μέθοδο των α-

ντιθέτων συντελεστών προκύπτει η εξίσωση α) 3 x = – 1 ; β) 2 x = – 9 ; γ) 5 x = –10 ; δ) 5 x = 10 ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Παρατηρώντας το δοσμένο σύστημα , διαπιστώνουμε ότι οι συντελεστές του αγνώστου y στις δύο εξισώσεις του συστήματος είναι μεταξύ τους αντί-θετοι. Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη προκύπτει η εξίσωση 5x = − 10, δηλαδή το γ.

4. Με ποιους αριθμούς πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα μέλη κάθε εξί-σωσης για να προκύψουν αντίθετοι συντελεστές στον άγνωστο y σε κάθε σύστημα ;

...... ...... ⎩⎨⎧

=+=+

12yx-94y5x

3

......

⎩⎨⎧

=+=−

45yx13yx

24 ......

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι κατάλληλοι αριθμοί με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα μέλη κάθε εξίσωσης για να προκύψουν αντίθετοι συντελεστές στον άγνω-στο y σε κάθε ένα από τα συστήματα είναι ,όπως φαίνονται σε κάθε μία των περιπτώσεων .

⎩⎨⎧

=+=+

12yx-94y5x

3

42− ⎩

⎨⎧

=+=−

45yx13yx

24

35

5. Με ποια μέθοδο είναι προτιμότερο να λύσουμε καθένα από τα πα-ρακάτω συστήματα ;

α) β) γ) δ) ⎩⎨⎧

−==+

53xy84y7x

⎩⎨⎧

=−=+

185y3x75y2x

⎩⎨⎧

+=+=

8x-y2xy

53

⎩⎨⎧

=−=+

42y3x23y5x

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι μέθοδοι είναι : α) Μέθοδος της αντικατάστασης β) Μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών γ) Μέθοδος της αντικατάστασης δ) Μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών


6. Σε καθένα από τα παρακάτω συστήματα

( Σ 1 ) : ( Σ 2 ) : ⎩⎨⎧

=−=+−

3y2x5y2x

⎩⎨⎧

=+−=−4y x-47yx

755

αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών απαλείφονται και οι δύο άγνωστοι . Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για καθένα από τα συστή-ματα ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το ( Σ 1 ) είναι Αδύνατο και το ( Σ 2 ) έχει άπειρες λύσεις. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να λύσετε τα συστήματα . ΑΣΚΗΣΗ 1

α) β) γ) δ) ⎩⎨⎧

==−

4 y 1 y 2 x

⎩⎨⎧

=+=+

0 y 2x 2- 3y x

⎩⎨⎧

=+=

9 3y x 10 y -4x

⎩⎨⎧

=+=+

3- 2y x 4- y 3x

ΛΥΣΗ

α) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης

⎩⎨⎧

==−

4 y 1 y 2 x

ή ή ⎩⎨⎧

==⋅−4 y 1 42 x

⎩⎨⎧

==−4 y 1 8 x

ή ή ⎩⎨⎧

=+=

4 y 1 8 x

⎩⎨⎧

==

4 y 9 x

β) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης

⎩⎨⎧

=+=+

0 y 2x 2- 3y x

ή ή ⎩⎨⎧

−==+

x2y 2- 3y x

⎩⎨⎧

−==−+

x2x)2

y 2- 3(x ή ή ⎩⎨⎧

−==−

x2x6

y 2- x

⎩⎨⎧

−==−x2

x5y

2- ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⋅−=

==

54

522

52x

y

5-2-

γ) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης

α) Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου y από την δεύ-τερη των εξισώσεων στην πρώ-τη και κάνουμε πράξεις .Η λύ-ση του συστήματος είναι x = 9 και y = 4. β) Επιλύουμε την δεύτερη εξίσωση του συστήματος προς y και αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση του συστήματος. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις μετά την αντικατάσταση. Η λύση του συστήματος είναι

52x = και

54

−=y

γ) Επιλύουμε την πρώτη εξίσω-ση ως προς τον άγνωστο y Α-ντικαθιστούμε τον άγνωστο y στην δεύτερη εξίσωση Κάνου-


⎩⎨⎧

=+=

9 3y x 10 y -4x

ή ή ⎩⎨⎧

=+=

9 3y x 10 -4x y

⎩⎨⎧

=+=

9 10)-3(4x x 10 -4xy

ή ή ⎩⎨⎧

=+=

9 30-12x x 10 -4xy

⎩⎨⎧

+==

309 13x 10 -4xy

ή ή ⎩⎨⎧

==

39 13x 10 -4xy

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

3

y

1339 x

10 -4x ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=⋅=

3

y

1339 x

210 -34

δ) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης

⎩⎨⎧

=+=+

3- 2y x 4- y 3x

ή ή ⎩⎨⎧

−==+

3-2y x 4- y 3x

⎩⎨⎧

−==+−

3-2y x 4- y 3)-2y3(ή ή ⎩⎨⎧

−==+−

3-2y x 4- y 9-6y

⎩⎨⎧

−==−

3-2y x 4-9 5y

ή ή ⎩⎨⎧

−==−

3-2y x 5 5y

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−==

3-2y x 5-

5y 1 ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−=

−==

1

1

3- 2(-1)x 5-

5y

με τις σχετικές πράξεις για να επιλύσουμε την εξίσωση αυτή Βρίσκουμε την τιμή του αγνώστου x και την αντικαθι-στούμε στην πρώτη εξίσωση για να βρούμε την τιμή του αγνώστου y. Η λύση του συ-στήματος είναι x = 3,y = 2

δ) Επιλύουμε την δεύτερη εξί-σωση ως προς τον άγνωστο x Αντικαθιστούμε τον άγνωστο x στην πρώτη εξίσωση Κάνου-με τις σχετικές πράξεις για να επιλύσουμε την εξίσωση αυτή Βρίσκουμε την τιμή του αγνώστου y και την αντικαθι-στούμε στην δεύτερη εξίσωση για να βρούμε την τιμή του αγνώστου x. Η λύση του συ-στήματος είναι x = -1, y = -1

Να λύσετε τα συστήματα . ΑΣΚΗΣΗ 2

α) β) γ) δ) ⎩⎨⎧

=+=−

4yx2- 7y x 3

⎩⎨⎧

=+=−

6 2y5x 3 y 2x

⎩⎨⎧

=+=−

0 3y 2x 0 2y 3x

⎩⎨⎧

=−=+

3 9y 6x 5 3y 2x -

α) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών.

⎩⎨⎧

=+=−

4yx2- 7y x 3

ή ή ⎩⎨⎧

=+=−

4yx2- 7y x 3

⎩⎨⎧

==−

11x 7y x 3

ή ή ⎩⎨⎧

==−⋅

11x 7y 113

α) Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές του αγνώστου y είναι αντίθετοι. Διατηρούμε μία από τις εξισώσεις π.χ. την πρώτη και αντικαθιστούμε την δεύετρη με το άθροι-σμα των των δύο εξισώσεων. Αντικαθιστούμε την τιμή του x στην πρώτη εξίσωση και κάνουμε τις σχετικές πράξεις

ΛΥΣΗ


⎩⎨⎧

==−

11x y 7 33

ή ⎩⎨⎧

==

11x 26y

β) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών.

⎩⎨⎧

=+=−

6 2y5x 3 y 2x

ή⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

1 6 2y5x

2 3 y 2x ή

⎩⎨⎧

=+=−

6 2y5x 6 2y 4x

ή ή ⎩⎨⎧

==−

12 9x 6 2y 4x

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

34

912 x

6 2y 4x ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=−⋅

34x

6 2y 344

ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=−

34x

6 2y 3

16 ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⋅=⋅−⋅

34x

6 32y 3 3

163 ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

34x

186y 16 ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

34x

6y 18 16 ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

34x

6y 2 ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−==

34x

31

62-y

γ) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών.

⎩⎨⎧

=+=−

0 3y 2x 0 2y 3x

ή ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

2 0 3y 2x

3 0 2y 3x ή

⎩⎨⎧

=+=−

0 6y 4x 0 6y 9x

ή ή ⎩⎨⎧

==− 0 13x

0 6y 9x

για να βρούμε τον άγνωστο y Η λύση του συστήματος είναι x = 11 , y = 26

β) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 2 και της 2ης επί τον αριθμό1 για να δημιουργήσουμε αντί-θετους συντελεστές στον αγνωστο y Διατηρούμε μία από τις εξισώσεις π.χ. την 1η και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα των δύο εξισώσεων Βρίσκουμε την τιμή του αγνώστου x και στην συνέχεια αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση για να βρούμε την τιμή του αγνώστου y Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστήματος είναι

34x = και

31y −=

γ) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 3 και της 2ης επί τον αριθμό2 για να δημιουργήσουμε αντί-θετους συντελεστές στον αγνωστο y Διατηρούμε μία από τις εξισώσεις π.χ. την 1η και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα των δύο εξισώσεων Βρίσκουμε την τιμή του αγνώστου x και στην συνέχεια αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση για να βρούμε την τιμή του αγνώστου y Η λύση του συστήματος είναι


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

0130 x

0 6y 9x ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−⋅

0130 x

0 6y 09 ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

0130 x

0 6y ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

0130 x

06-0 y

δ) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών.

⎩⎨⎧

=−=+

3 9y 6x 5 3y 2x -

ή⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

1 3 9y 6x

3 5 3y 2x - ή

⎩⎨⎧

=−=+

3 9y 6x 15 9y 6x -

ή ⎩⎨⎧

==+

18 0x 15 9y 6x -

x = 0 και y = 0 δ) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 3 και της 2ης επί τον αριθμό1 για να δημιουργήσουμε αντί-θετους συντελεστές στον αγνωστο y Διατηρούμε μία από τις εξισώσεις π.χ. την 1η και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα των δύο εξισώσεων .Το σύστημα είναι αδύνατο αφού η 2η εξίσωση είναι αδύνατη .

ΑΣΚΗΣΗ 3 Να λύσετε τα συστήματα .

α)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

42

y3x

34

y2x

β)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=−−

14y

6x

1y4

1x

γ)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−+

=+

+−

42

6y3

4x

33

12y2

5x

α)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

2 42

y3x

4 34

y2x

ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=−

⋅

⋅=+

⋅

42

y3x

34

y2x

22

44 ή

⎩⎨⎧

==+

8 12

y-x3yx2

ή ή ⎩⎨⎧

==+ 20

12x5

yx2

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+

4 520

12

x

yx2 ή ή

⎩⎨⎧

==+⋅

4 12

xy42

⎩⎨⎧

==+

4 12

xy8

ή ⎩⎨⎧

===

4 48-12

xy

α) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 4 και της 2ης επί τον αριθμό 2 για να κάνουμε απαλοιφή των παρονομαστών κάθε εξίσωσης. Επειδή οι συ-ντελεστές του αγνώστου y είναι αντίθετοι διατηρούμε την 1η από τις εξισώσεις και αντι-καθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου x αντικαθιστούμε στην 1η εξί-σωση και βρίσκουμε τον άγνω-στο y Η λύση του συστήματος είναι x = 4 και y = 4 β) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον

ΛΥΣΗ


β)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=−−

1214y

6x

41y4

1x

ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−=+⋅

⋅=⋅−−

⋅

14y

6x

1y4

1x

121212

444

⎩⎨⎧

−=+=−−

124y

y3x241x

ή ή ⎩⎨⎧

−=++=−1214y

y3x24x

⎩⎨⎧

−=+=−

125y

y3x24x

ή⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

4 12

3 5y

y3x2

4x ή

⎩⎨⎧

−=+=−

485y

y12x81123x

ή ή ⎩⎨⎧

−==−

335y

x111123x

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

=−

3x

1123x

1133-

5y ή ή

⎩⎨⎧

−==−

3x1123(-3) 5y

⎩⎨⎧

−==−−

3x1129 5y

ή ή ⎩⎨⎧

−=+=−

3x112 95y

⎩⎨⎧

−==−

3x12 24y

ή⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−==

3x

212-24y

γ)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

−+

=+

+−

6 42

6y3

4x

6 33

12y2

5x

ή

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=−

⋅−+

⋅

⋅=+

⋅+−

⋅

42

6y3

4x

33

12y2

5x

666

666 ή

⎩⎨⎧

=−−+⋅=+⋅+⋅

46)y4)x 18

2(3(21)y2(25)-x(3

ή

⎩⎨⎧

=+−+=++

418y8x 18

2322y415-x3

ή

αριθμό 4 και της 2ης επί τον αριθμό 12 για να κάνουμε απαλοιφή των παρονομαστών κάθε εξίσωσης Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 3 και της 2ης επί τον αριθμό 4για να δημιουργήσουμε αντί-θετους συντελεστές στον αγνωστο y Επειδή οι συντελεστές του αγνώστου y είναι αντίθετοι διατηρούμε την 1η από τις εξι-σώσεις και αντικαθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμα τους Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου x την αντικαθιστούμε στην 1η εξίσωση για να βρούμε τον άγνωστο y. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστήματος είναι x = -3 και y = -2

γ) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης και της 2ης εξίσω-σης επί τον αριθμό 6 για να κάνουμε απαλοιφή των πα-ρονομαστών κάθε εξίσωσης Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 3 και της 2ης επί τον αριθμό4 για να δημιουργήσουμε αντίθετους συντελεστές στον αγνωστο y Επειδή οι συντελεστές του αγνώστου y είναι αντίθετοι διατηρούμε την 1η από τις εξι-σώσεις και αντικαθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμα τους Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου x την αντικαθιστούμε στην 1η εξίσωση για να βρούμε


⎩⎨⎧

=−+=+

8-18- 4yx 2-1518

232y4x3

ή ή ⎩⎨⎧

−=−=+

232y4x3yx

31

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

4232

y4x3

yx

3 31 ή

⎩⎨⎧

−=−=+

81289y12x9

yx 3

⎩⎨⎧

==+

85179y12x9

x 3

ή⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+

51785

9y12x9

x

3

⎩⎨⎧

==+⋅

59y1259

x 3

ή ⎩⎨⎧

==+

59y1254

x 3

⎩⎨⎧

===

59y12

x 4845- 3 ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

5

y

x

41248

τον άγνωστο y. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστήματος είναι x = 5 και y = 4


α) β) ⎩⎨⎧

+=−+−+−=+−

43y2)(x52y)(x2yx203y)(2x34x

⎩⎨⎧

+−+=+−

+−−=+

1)(yyy)(x2y)(x1)(x3x156)(xy4)(yx

2

ΛΥΣΗ

α) ή ⎩⎨⎧

+=−+−+−=+−

43y2)(x52y)(x2yx203y)(2x34x

⎩⎨⎧

+=−+−+−=−−

43y105x4y2xyx209y6x4x

ή

⎩⎨⎧

+=−+−=−+−−

1043y5x4y2x20yx9y6x4x

ή

⎩⎨⎧

=−=−−

47y7x 2010yx

1 ή ή

⎩⎨⎧

=−=−−

4y)7(x 2010yx

1

⎩⎨⎧

=−=−−

2 y x 2010yx ή ή ⎩⎨⎧

=−=−−

2 y 2010yx

211

ή ή ⎩⎨⎧

−==−−−

2y 202)10(x

α) Κάνουμε τις σχετικές πρά-ξεις Στο 1ο μέλος της 2ης εξίσωσης βγάζουμε κοινό παράγοντα τον αριθμό 7 και δια-γράφουμε προκειμένου να έχουμε αντίθετους συντελε-στές στον άγνωστο x Επειδή οι συντελεστές του αγνώστου x είναι αντίθετοι διατηρούμε την 1η από τις εξι-σώσεις και αντικαθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμα τους Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου y την αντικαθιστού-με στην 1η εξίσωση για να βρούμε τον άγνωστο x. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστήματος είναι x = 0 και y = − 2.

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−−

-211-22y

2010yx


⎩⎨⎧

−==+−

2y 2020x ή ή

⎩⎨⎧

−==−=−

2y 20x 020

⎩⎨⎧

−==

2yx 0

β) ή ⎩⎨⎧

+−+=+−

+−−=+

1)(yyy)(x2y)(x1)(x3x156)(xy4)(yx

2

⎩⎨⎧

−−++=−−+

+−−=+

yyyx2yxx3x156yxy4xxy

2222 xy2xy2 ή

⎩⎨⎧

=++−−−−−+

−=−+−+

0yyyx2yxx153x6yxy4xxy

2222 xy2xy2

⎩⎨⎧

=−−−=+0yx

156y x ή ή

⎩⎨⎧

−=−=+

15y156y x

5

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

−=+

3515-y

156y x ή

⎩⎨⎧

−=−=−+

3)3

y156( x

⎩⎨⎧

−=−=−

318

y15 x

ή ⎩⎨⎧

−==+−=

3y31815 x

β) Κάνουμε τις σχετικές πρά-ξεις Επειδή οι συντελεστές του αγνώστου x είναι αντίθετοι διατηρούμε την 1ηαπότις εξι-σώσεις και αντικαθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμα τους Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου y την αντικαθιστού-με στην 1η εξίσωση για να βρούμε τον άγνωστο x. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις


α) β) ⎩⎨⎧

=+=−

0,50,4β0,9α2,10,8βα1,3

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

11,4φ3ω

1,5φ0,24ω

γ) ⎩⎨⎧

−=−−=+

5,62,4y1,6x1,83,2y2,5x

α) ή ⎩⎨⎧

=+=−

0,50,4β0,9α2,10,8βα1,3

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

100,50,4β0,9α

102,10,8β1,3α ή

α) Χωρίς να είναι υποχρεωτικό πολλαπλασιάζουμε τα μέλη κάθε εξίσωσης επί 10 προκει-μένου να έχουμε ακέραιους συντελεστές στους αγνώστους Χωρίς να είναι υποχρεωτικό πολλαπλασιάζουμε τα μέλη κάθε εξίσωσης επί 10 προκει-μένου να έχουμε ακέραιους συντελεστές στους αγνώστους Διατηρούμε την 1η των εξισώ-σεων και αντικαθιστούμε την

ΛΥΣΗ


⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

2 54β9α

1 218β13α ή ή

⎩⎨⎧

=+=−

108β18α218β13α

⎩⎨⎧

==− 131α

218β13α3

ή ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

13131α

218β13α

⎩⎨⎧

==−⋅

1α218β113

ή ⎩⎨⎧

==−

1α218β13

⎩⎨⎧

==−=−

1α813218βή ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−==

1α8-

8β 1

β) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

11,4φ3ω

1,5φ0,24ω

ή⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

1011,4φ3ω

201,5φ0,24ω

ή

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅=⋅+⋅

⋅=⋅−⋅

1)1,4φ3ω

1,5φ0,24ω

(101010

202020 ή

ή 4ω5

ή4ω5

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

⎩⎨⎧

−=+=−

1 1014φ30ω

6- 30φ1014φ30ω

30φ

ή 4 ω5

ή 24 ω30

⎩⎨⎧

−==−

⎩⎨⎧

−=+=+−

19038φ30φ

1014φ30ω -180φ

ή 5

)54 ω5ή

5

4 ω5

⎩⎨⎧

−==−−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

=−

φ30(

38190-φ

30φ

ή 5

1020ω5 ή

520ω5

⎩⎨⎧

−==−=

⎩⎨⎧

−==+

φ30

φ30

5

25

10ω

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

==

φ

2η με το άθροισμά τους . Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου α την αντικαθιστού-με στην 1η εξίσωση για να βρούμε τον άγνωστο β. Η λύση του συστήματος είναι α = 1 , β = −1 β) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε εξίσωσης με τον αναγραφόμενο αριθμό για να προκύψουν εξισώσεις με ακέ-ραιους συντελεστές. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συ-ντελεστών. Επειδή οι συντελεστές του αγνώστου ω είναι αντίθετοι διατηρούμε την 1η από τις εξισώσεις και αντικαθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμα τους Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου φ την αντικαθιστού-με στην 1η εξίσωση για να βρούμε τον άγνωστο ω. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστήματος είναι ω = 2 , φ = −5

γ) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη


γ)

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

==

⎩⎨⎧

−==+−=

⎩⎨⎧

−=−=+−

⎩⎨⎧

−=−=+−⋅

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=

−=+

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

−=−−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

−=+

⎩⎨⎧

−=−−=+

2

13232

ή 2

3250

ή 2

50ή

2)2

ή 2

139278ή

ή ή

ή ή

x

yx

1832y

x1832y

x1832y(25

x

1832y25x

278139x1832y25x

22496y64x5496y75x

45624y16x

31832y25x

105,62,4y1,6x

101,83,2y2,5x5,62,4y1,6x1,83,2y2,5x

κάθε εξίσωσης επί10 ( χωρίς να είναι υποχρεωτικό ) προκειμέ-νου να έχουμε ακέραιους συ-ντελεστές στους αγνώστους Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντε-λεστών. Επειδή οι συντελεστές του αγνώστου y είναι αντίθετοι διατηρούμε τη η1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμά τους.

Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου x αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση για να βρούμε την τιμή του α-γνώστου y. Η λύση του συστή-ματος είναι x = − 2 και y = 1

ΑΣΚΗΣΗ 6

Να λύσετε τα συστήματα .

α) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=−

3yx

0y2

x1

β)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

65

β4

α3

61

β2

α1

γ)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−

=−

1φ9

ω6

31

φ1

ω2

ΛΥΣΗ

α)

⎩⎨⎧

==⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

=+=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=⋅−⋅

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

⋅=−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=−

1212y

ή1

x2yή

x2yή

x2y

ήx2y

ήx2y

ήyxyx

ήyx

ή

x33x33x32xx

3yx3yx0

3yx

0y2

x1

3yx

0y2

x1

3yx

0y2

x1

α) Προκειμένου να κάνου-με απαλοιφή παρονομα-στών πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί το γινόμενο x⋅y Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικα-τάστασης Η λύση του συστήματος είναι x =1 , y = 2


β)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−=−

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−=−−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅+⋅

=⋅+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

21x

61

231

y ή

21x

312y

ή

21x

31

21

612y

ή

21x

612y

21

ή

21x

612y x

ήy4x3

y42x

ή 1y4x3

2y2xή

43

2ή

63

65

62

65

61

65

β1

α1

61

β1

α1

65

β4

α3

61

β2

α1

γ)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⋅−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅+⋅−

=−⋅

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−

=−

31y

31

62x

ή31y

2x6ή

31y

11x6ή

31y

1313x6

ή31

62y

3y3x6ή

y1y3x6

ήyx

1y3x6

ή13

yx

yx2ή

2ή

26196

19631

1φ19

ω16

31

φ1

ω1

1φ9

ω6

31

φ1

ω2

β) Αντικαθιστούμε το

x και τομε α

1

y τομε β

1.

Θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει με την μέθοδο των αντιθέτων συ-ντελεστών Αφού βρούμε τις τιμές των

x = 2

1και y=

6

1− προσδιο-

ρίζουμε τους αγνώστους α = 2 και β = −6 αφού οι τιμές τους είναι οι αντί-στροφες αντίστοιχα των x και y

γ) Αντικαθιστούμε το

ω

1με x και το

φ

1με y .

Θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει με την μέθοδο των αντιθέτων συ-ντελεστών

Αφού βρούμε τις τιμές των

x = 31και y=

3

1προσδιορί-

ζουμε τους αγνώστους

ω = 3και φ = 3 αφού οι τιμές τους είναι οι αντί-στροφες αντίστοιχα των x και y


Να βρείτε το κοινό σημείο των ευθειών ε 1 :2 x + 5 y =10 και ε 2 : x – y = 1

ΑΣΚΗΣΗ 7

. Το κοινό σημείο των ευθειών έχει συντεταγμένες την λύση του συστήμα-τος των εξισώσεων των ευθειών ε 1 και ε 2 . Θεωρούμε το σύστημα :

ΛΥΣΗ

Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών , πολλαπλασιά-ζοντας τους όρους της 2ης εξί-σωσης επί τον αριθμό 5 ενώ της 1ης τους αφήνουμε όπως είναι.

)78,

715 ( είναι το τομήςΣημείο 7

83540y

ή740

730105y

ή105y

730

ή105y

7152

ή105yx2

ή5

105yx2

ήy5

105yx2ή

51

y105yx2

ήy

105yx2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=+⋅

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

715x

715x

715x

715x 7

15x 17x

55x 1 x 1 x

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y διατηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή x αντι-καθι-στούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρίσκου-με την τιμή του y.

Οι ευθείες ε 1 : 2 x – 3 y = – 14 ε 2 : x + y = – 2 ε 3 : 3 x – y = 14 τέμνονται έξω από το χώρο σχεδίασης . Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων ;

ΑΣΚΗΣΗ 8

ΛΥΣΗ


Το σημείο τομής Α των ευθειών ε1, ε2 είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών αυτών. Θεωρούμε λοιπόν το σύστημα :

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=−−

=

⎩⎨⎧

−=−=−

⎩⎨⎧

−=−=+−=−

⎩⎨⎧

−=−=−

⎩⎨⎧

−=−=−−⋅

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

−=−⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

=+−=−

4x

236yή

4x 6y3

ή4x

6814y3ή

4x 14y38-

ή4x

14y34)(2ή4

520- x

14y3x2

ή20- 5x

14y3x2ή

6- 3y 3x 14y3x2

ή31

2- y x 14y3x2

ή2- y x 14y3x2

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών , πολλαπλασιάζο-ντας τους όρους της 2ης εξίσωσης επί τον αριθμό 3 ενώ της 1ης τους αφήνουμε όπως είναι. Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y διατηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή x αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρί-σκουμε την τιμή του y. Το Α έχει συντεταγμένες (-4,2)

Το σημείο τομής Β των ευθειών ε1, ε3 είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών αυτών. Θεωρούμε το σύστημα :

10) , (8 νεςσυντεταγμέέχει Β Το

8x

103-

30- y

ή8x

30- y 3ή

8x30-6114- y 3

ή8x

14 - y 361ή

8x14- y 38 2

ή8x

14 - y 3 x2ή8

756x

14- y 3 x2

ή56x7

14- y 3 x2ή

42y3x914- y 3 x2

ή3

114yx3

14- y 3 x2ή

14yx314- y 3 x2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

==−=−⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

==−⋅

⎩⎨⎧

==−

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−

=

=−⎩⎨⎧

−=−=−

⎩⎨⎧

−=+−=−

⎩⎨⎧

−=−=−

⎩⎨⎧

=−=−

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών , πολλαπλασιάζο-ντας τους όρους της 2ης εξίσωσης επί τον αριθμό −3 ενώ της 1ης τους αφήνουμε ό-πως είναι. Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y διατηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή x αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρί-σκουμε την τιμή του y.


Το σημείο τομής Γ των ευθειών ε2, ε3 είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών αυτών. Θεωρούμε το σύστημα :

5)- (3, νεςσυντεταγμέέχει Γ σημείο Το3x5y

ή3x

32yή

3x2y3

ή34

12x

2yxή

12x42yx

ή14yx32yx

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

=−−=

⎩⎨⎧

=−=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

−=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−−=+

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y διατηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή x αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρί-σκουμε την τιμή του y.

Αν 3 + 3 + 3 + … + 3 + 5 + 5 + 5 +…+ 5 = 410 και το πλήθος των προ-σθετέων του πρώτου μέλους είναι 100 , να βρείτε πόσες φορές χρησιμοποι-ήθηκε ο αριθμός 3 και πόσες φορές ο αριθμός 5 .

ΑΣΚΗΣΗ 9

Εάν συμβολίσουμε x το πλήθος του προσθετέου 3 και y του 5 τότε προκύ-πτει το σύστημα:

ΛΥΣΗ

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο της αντικα-τάστασης, επιλύοντας την 1η ως προς τον ά-γνωστο y

⎩⎨⎧

==−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−

=

−=⎩⎨⎧

−=−−=

⎩⎨⎧

−=−−=

⎩⎨⎧

=−+−=

⎩⎨⎧

=−+−=⎩⎨⎧

=+−=

⎩⎨⎧

=+=+

45x5545100y

ή452

90x

x100y

ή90x2x100y

ή500410x2x100y

ή410x55003x

x100y

ή410x)5(1003x

x100y

ή4105y3xx100y

ή4105y3x

100yx

Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Αφού βρούμε την τιμή x αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε την τιμή του y. Άρα το 3 χρησιμοποιήθηκε 45 φορές και το 5 χρησιμοποιήθηκε 55 φορές.

Αν το σύστημα έχει ως λύση x = 1 και y = 2 , να

βρείτε τους αριθμούς α , β . ⎩⎨⎧

=−=+

8yβxα2yβxα 7

ΑΣΚΗΣΗ 10

ΛΥΣΗ


Οι αριθμοί x =1 και y =2 αφού αποτελούν λύση του συστήματος το επαλη-θεύουν. Επομένως έχουμε:

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο β διατηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους.

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==−=

⎩⎨⎧

==+

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=⋅−⋅=⋅+⋅

1β5α

ή5

257ή

572

ή5

72ή

72

ή2

72ή

71

α2β

αβ5

315α

βα

153αβα

8β2αβα

82β12α2βα

Αφού βρούμε την τιμή α αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρί-σκουμε την τιμή του β.

Η ευθεία με εξίσωση y = α x +β διέρχεται από τα σημεία Α (–1, 2) και Β (3 , –2). Να βρείτε τις τιμές των α , β .

ΑΣΚΗΣΗ 11

ΛΥΣΗ

Αφού η ευθεία διέρχεται από τα σημεία Α και Β ,οι συντεταγμένες των ση-μείων αυτών την επαληθεύουν. Οι δύο εξισώσεις που θα προκύψουν μετά την αντικατάσταση των συντεταγμένων των σημείων αυτών μας δίνουν το σύστημα :

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών , πολλαπλασιάζοντας τους όρους της 2ης εξίσωσης επί τον αριθμό 3 ενώ της 1ης τους αφήνουμε όπως είναι.

ή1β1α

ή1β1α

ή1β

12α

ή1β

21αή1

44β

2βα

ή4β4

2βαή

2βα36β3α3

ή13

2βα32βα

ήβ3α2β1)(α2

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

==+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+−⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

−=+=+−

⎩⎨⎧

−=+=+−

⎩⎨⎧

+⋅=−+−⋅=

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντε-λεστές στον άγνωστο α διατηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή β αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε την τιμή του α.

Να βρείτε τους αριθμούς λ , μ , ώστε η εξίσωση x 2+(λ – μ) x + μ–2λ = 0 να έχει ρίζες τους αριθμούς –1 και 3.

ΑΣΚΗΣΗ 12

ΛΥΣΗ


Αφού οι αριθμοί −1 και 3 είναι ρίζες της εξίσωσης αυτοί την επαληθεύουν. Μετά την αντικατάσταση προκύπτουν οι εξισώσεις : (−1)2 +(λ−μ)(−1)+μ−2λ=0 ή 1−λ+μ+μ−2λ= 0 ή −3λ+2μ= − 1ή 3λ−2μ =1 (1) 32 +(λ−μ)⋅3+ μ – 2 λ = 0 ή 9+3λ−3μ+ μ – 2 λ = 0 ή λ−2μ= −9 (2) Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2).

5λ

72

14μή5λ

14μ2

ή5λ

14511μ2ή

5λ 1μ251

ή5λ

1μ253ή5

210λ

1μ23λ

ή10λ2

1μ23λή

9μ2λ 1μ23λ

ή1

19μ2λ 1μ23λ

ή9μ2λ 1μ23λ

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−

=⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−=−

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

==−⋅

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

−−=−=−

⎩⎨⎧

−=−=−

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο των α-ντιθέτων συντελεστών , πολλαπλασιάζο-ντας τους όρους της 2ης εξίσωσης επί τον αριθμό -1 ενώ της 1ης τους αφήνουμε όπως είναι. Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο μ διατηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή λ αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρί-σκουμε την τιμή του μ.

Στο πάνω μέρος ενός τοίχου μή-κους 180 cm έχουν τοποθετηθεί πράσινα και γαλάζια διακοσμητι-κά τούβλα σε δύο σειρές . Να υπο-λογίσετε το μήκος κάθε πράσινου και γαλάζιου τούβλου .

ΑΣΚΗΣΗ 13

ΛΥΣΗ

Εάν συμβολίσουμε με x και y σε εκατοστόμετρα τα μήκη του γαλάζιου και του πράσινου τούβλου αντίστοιχα , τότε προκύπτουν οι εξισώσεις για κάθε σειρά τούβλων, αφού παρατηρήσουμε ότι το μήκος των 180cm. Για την 1η σειρά τούβλων στην οποία υπάρχουν 4 γαλάζια και3 πράσινα τούβλα έχουμε : 4x + 3y =180 και για την 2η σειρά τούβλων αντίστοιχα 2x + 6y =180.Θεωρούμε το σύστημα :

⎩⎨⎧

−=+=+

⎩⎨⎧

=+=+

ή 2

11806y2x1803y4x

ή1806y2x1803y4x

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών , πολλαπλασιά-ζοντας τους όρους της 2ης εξίσωσης επί τον αριθμό -2 ενώ της 1ης τους αφήνου-με όπως είναι.


⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

−=−−=+

ή180y91803y4x

ή036y12x4

1803y4x

⎩⎨⎧

==⋅+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−

=

=+ ή

02y1800234x

ή209

180y

1803y4x

⎩⎨⎧

==−=

⎩⎨⎧

==+

ή02y

120601804x ή

20y180064x

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

== 20y

304

120x

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθε-τους συντελεστές στον άγνωστο x δια-τηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθι-στούμε την 2η με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή y αντικαθιστού-με την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε την τιμή του x. Το γαλάζιο έχει μήκος 30cm και το πράσινο τούβλο έχει μήκος 20cm .

Συσκευάσαμε 2,5 τόνους ελαιόλαδου σε 800 δοχεία των 2 και 5 κιλών. Να βρείτε πόσα δοχεία χρησιμοποιήσαμε από κάθε είδος .…

ΑΣΚΗΣΗ 14

Εάν συμβολίσουμε με x το πλήθος των δοχείων των 2 κιλών και με y το πλήθος των δοχείων των 5 κιλών τότε προκύπτει το σύστημα :

⎩⎨⎧

==−=

⎩⎨⎧

==+

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

=+−=−−

⎩⎨⎧ −

=+=+

300y500300800 x

ή300y

800 300x

ή3003

900y

800 y xή

9003y800 y x

ή25005yx2

1600 y 22xή

12

25005yx2800 y x Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο των

αντιθέτων συντελεστών , πολλαπλα-σιάζοντας τους όρους της 1ης εξίσω-σης επί τον αριθμό -2 ενώ της 2ης τους αφήνουμε όπως είναι.

ΛΥΣΗ

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντί-θετους συντελεστές στον άγνωστο x δια-τηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροι-σμα τους. Αφού βρούμε την τιμή y αντικαθι-στούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσω-ση και βρίσκουμε την τιμή του x.

Ο μέσος όρος της βαθμολογίας ενός μαθητή στη Φυσική και τη Χημεία κατά το πρώτο τρίμηνο ήταν 16. Στο δεύτερο τρίμηνο ο βαθμός της Φυσι-κής μειώθηκε κατά 2 μονάδες , ο βαθμός της Χημείας αυξήθηκε κατά 4 μονάδες με αποτέλεσμα οι δύο βαθμοί να γίνουν ίσοι . Ποιους βαθμούς είχε ο μαθητής σε καθένα από τα δύο μαθήματα κατά το πρώτο τρίμηνο;

ΑΣΚΗΣΗ 15


Εάν συμβολίσουμε με x τον βαθμό της φυσικής και y τον βαθμό της χημεί-ας τότε προκύπτει το σύστημα :..

ΛΥΣΗ

Αρχικά θα κάνουμε απαλοιφή του παρονο-μαστή στην 1η εξίσωση πολλαπλασιάζοντας τους όρους της επί 2

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

+==

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

==⎩⎨⎧

+==

⎩⎨⎧

+==−=

⎩⎨⎧

+==++

⎩⎨⎧

+=++==+

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−

=+

19x13y

ή613x

13yή

6yx

132

26yή6yx

262y

ή6yx

266322yή

6yx32y6y

ή6y24yx

32yxή

4y2x

2162

yx

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο της αντι-κατάστασης, επιλύοντας την 2η ως προς τον άγνωστο x, τον οποίο στη συνέχεια αντικα-θιστούμε 1η εξίσωση. Αφού βρούμε την τιμή y αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρί-σκουμε την τιμή του x.

Τα κέντρα δύο κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά απέχουν 12 cm . Aν οι κύκλοι μετατοπιστούν έτσι ώστε να εφάπτονται εξωτερικά, τότε τα κέντρα τους απέχουν 58 cm. Nα βρείτε τις ακτίνες των δύο κύκλων.

ΑΣΚΗΣΗ 16

ΛΥΣΗ

Γνωρίζουμε ότι εάν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά τότε η διαφορά των ακτίνων τους ισούται με την διάκεντρο , ενώ όταν εφάπτονται εξωτερικά το άθροισμα των ακτίνων ισούται με την διάκεντρο. Εάν συμβολίσουμε R και ρ τις ακτίνες του μεγαλύτερου και του μικρότερου των κύκλων τότε προκύπτει το σύστημα

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθε-τους συντελεστές στον άγνωστο ρ δια-τηρούμε την 1η από αυτές και αντικα-θιστούμε την 2η με το άθροισμα τους.

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

==

==−

⎩⎨⎧

==−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

=+=−

ή35R23ρ

ή35R

ρ 1235ή

35R12 ρ35

ή352

70R

12 ρRή

702R12 ρR

ή58ρR12 ρR

Αφού βρούμε την τιμή R αντικαθι-στούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε την τιμή του ρ.

Αν οι μαθητές ενός τμήματος καθίσουν ανά ένας σε κάθε θρανίο, τότε θα μείνουν όρθιοι 8 μαθητές , ενώ αν καθίσουν ανά δύο θα μείνουν κενά 4 θρανία . Να βρείτε πόσοι ήταν οι μαθητές και πόσα ήταν τα θρανία .

ΑΣΚΗΣΗ 17

ΛΥΣΗ


Εάν συμβολίσουμε με x το πλήθος των μαθητών και y το πλήθος των θρα-νίων, τότε x = y+8 αφού στην περίπτωση που θα καθίσουν ένας μαθητής ανά θρανίο μένουν χωρίς κάθισμα 8 μαθητές. Στην περίπτωση που καθί-σουν δύο μαθητές ανά θρανίο τότε αντίστοιχα έχουμε x = 2y−8. Προκύπτει λοιπόν το σύστημα :

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο της αντι-κατάστασης, αφού και στις δύο εκφράζεται ο x με την βοήθεια του

ή16y

24816xή

16y8yx

ή16y8yx

ή882yy

8yx

ή82y8y

8yxή

82yx8yx

⎩⎨⎧

==+=

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

−=−+=

⎩⎨⎧

−−=−+=⎩⎨⎧

−=++=

⎩⎨⎧

−=+=

Διατηρούμε την 1η εξίσωση και την 2η την αντικαθιστούμε με αυτήν που προ-κύπτει από την εξίσωση των εκφράσεων του x Αφού βρούμε την τιμή y αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρίσκου-με την τιμή του x.

Μια ποτοποιία παρασκεύασε 400 λίτρα ούζο περιεκτικότητας 38 % vol , αναμειγνύοντας δύο ποιότητες με περιεκτικότητες 32 % vol και 48 % vol αντίστοιχα . Πόσα λίτρα από κάθε ποιότητα χρησιμοποίησε ; Εάν συμβολίσουμε x την ποσότητα σε λίτρα του ούζου περιεκτικότητας 32% και y αντίστοιχα του ούζου περιεκτικότητας 48% τότε προκύπτει το σύστημα :

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

+=+=+

+=+=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+

=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+

=+

ήx6y10

4002y6y10ή

x6y104002y66x

ήx6y10

6400yxή

32xx38y38y48400yx

ήy38x38y4832x

400yxή

y)x(38y4832x400yx

ή100

1y)x(

10038y

10048x

10032

400yx

ήy)x(10038y

10048x

10032

400yx

ΑΣΚΗΣΗ 18

ΛΥΣΗ

Κάνουμε απαλοιφή των παρονομαστών της 2ης εξί-σωσης πολλαπλασιάζοντας τους όρους της επί τον α-ριθμό 100. Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικα-τάστασης αφού από την 2η

εξίσωση του συστήματος βρούμε την σχέση που συνδέει τους αγνώστους x και y. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της1ηςεξίσωσης επί τον αριθμό 6 προκειμένου να δημιουργήσου-με στην 1η εξίσωση την παράσταση 6x την οποία και θα αντι-καταστήσουμε. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου y στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε τον άγνωστο x .

⎩⎨⎧

=⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

====

ήx615010

150yή

x6y10

15016

2400yήx6y10

4002y16


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

⎩⎨⎧

==

2506

1500x

150yή

x61500150y

Ένα αυτοκίνητο μετά την ενεργοποίηση των φρένων του συνέχιζε να κι-νείται με ταχύτητα υ = υο – α t , όπου t ο χρόνος που μεσολάβησε από τη στιγμή του φρεναρίσματος . Αν 2 sec μετά το φρενάρισμα το αυτοκίνητο είχε ταχύτητα 12 m / sec και 2 sec αργότερα είχε ταχύτητα 4 m / sec , να βρείτε την αρχική ταχύτητα υο και την επιβράδυνση α. Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή του φρεναρίσματος θα σταματήσει το αυτοκίνητο ; Αντικαθιστώντας τους χρόνους των 3sec και 4sec στην εξίσωση της ταχύ-τητας έχουμε :

ΑΣΚΗΣΗ 19

ΛΥΣΗ

12= υ0 −2α (1) και 4 = υ0 − 4α (2). Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) και έχουμε :

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο των α-ντιθέτων συντελεστών , πολλαπλασιάζο-ντας τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 1 και της 2ης επί τον αριθμό -1

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

==−

=−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

⋅−=

==

−=⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

+−=−−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

−=−=

−=−=

4α4υ

ή4αυ812

ή4α

8υ12

ή428α

42υ12ή4

28α

α2υ12

ήα28

α2υ12ή

α4υ4α2υ12

ή1-

1α4υ4α2υ12

ήα4υ4α2υ12

000

00

0

0

0

0

0

0

0

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο υ0 δια-τηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Αφού βρούμε την τιμή α αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρί-σκουμε την τιμή του υ0. Το αυτοκίνητο θα σταματήσει όταν υ=0. Στον τύπο υ=20-4t αν θέσουμε υ=0 παίρνουμε t=5. Άρα το αυτοκίνητο θα σταματήσει μετά από 5 sec.

Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν 945 αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες και .εισπράχτηκαν 1810 ευρώ . Αν ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλή-ρωσε 2 ευρώ και ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε 1,2 ευρώ, να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσικλέτες

ΑΣΚΗΣΗ 20


Εάν υποθέσουμε ότι x είναι ο αριθμός των αυτοκινήτων και yτων μοτοσι-κλετών που πέρασαν τότε προκύπτει το σύστημα .

ΛΥΣΗ

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο της αντικατάστασης, επιλύοντας την 1η ως προς τον άγνωστο y, τον οποίο στη συνέχεια αντικαθιστούμε 2η εξίσωση.

ή845x

100845945yή845

8,06760,8x

x945y

ή676113418100,8x

x945y

ή1810x2,111342x

x945y

ή1810x)1,2(9452x

x945y

ή18101,2y2xx945y

ή18101,2y2x

945yx

⎩⎨⎧

==−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

−=⎩⎨⎧

=−=−=

⎩⎨⎧

=−+−=

⎩⎨⎧

=−+−=

⎩⎨⎧

=+−=

⎩⎨⎧

=+=+

Αφού βρούμε την τιμή x αντικαθι-στούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσω-ση και βρίσκουμε την τιμή του y. Τελικά πέρασαν 845 αυτοκίνητα και 100 μοτοσικλέτες.

Σ ’ ένα τηλεοπτικό παιχνίδι σε κάθε παίκτη υποβάλλονται 10 ερωτήσεις και για κάθε σωστή απάντηση προστίθενται βαθμοί , ενώ για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρούνται βαθμοί .Ένας παίκτης έδωσε 7 σωστές απαντήσεις και συγκέντρωσε 64 βαθμούς , ενώ ένας άλλος έδωσε 4 σωστές απαντή-σεις και συγκέντρωσε 28 βαθμούς . Πόσους βαθμούς παίρνει ένας παίκτης για κάθε σωστή απάντηση και πόσοι βαθμοί τού αφαιρούνται για κάθε λανθασμένη απάντηση ; Εάν υποθέσουμε ότι σε κάθε σωστή ερώτηση προστίθενται x βαθμοί και για κάθε λανθασμένη αφαιρούνται y τότε προκύπτει το σύστημα των εξισώσε-ων.

ΑΣΚΗΣΗ 21

ΛΥΣΗ

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

==−⋅

==

=−⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−=−=−

=−−=+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

=−=−

=−=−

ή10x

64y3107ή10

10-100-x

64y3x7

ή100x1064y3x7

ή28y64x

128y6x14

ή12-

28y64x64y3x7

ή28y64x64y3x7

Θα το επιλύσουμε με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών , πολλαπλασιάζο-ντας τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό -2 και της 2ης επί τον αριθμό 1

Επειδή οι δύο εξισώσεις έχουν αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y δια-τηρούμε την 1η από αυτές και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους.


⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−

=

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

=−=−

==−

10x

236yή

10x6y3

ή10x

7064y3ή

10x64y307

5

4

3

2

1

-1

y

2

-4 -2 2 4 6 8

x

x+y=3x+y=2

x+y=1

Ο(0,0)

Αφού βρούμε την τιμή x αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρί-σκουμε την τιμή του y.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

1. Να επιλύσετε γραφικά το σύστημα , όπου k πραγματικός

αριθμός . ⎩⎨⎧

=+=+

kyx1yx

ΛΥΣΗ α) Αν κ≠1 από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι αν δίνουμε διάφορες τιμές στο κ οι γραφικές παραστάσεις των αντίστοιχων γραμμικών εξισώσεων θα είναι όλες παράλληλες προς την γραφική παράσταση της x+y=1 αυτό σημαίνει ότι δεν έχουν κοινό σημείο , επομένως το σύστημα δεν έχει λύση είναι δηλαδή αδύνατο. β) Αν τώρα κ=1 τότε οι δύο ευθείες συμπίπτουν και το σύστημα έχει άπει-ρες λύσεις.

2. Αν οι ευθείες ε 1 : ( λ + μ ) x + y = 7 και ε 2 : x + ( λ +3 μ ) y = 1 τέμνονται στο σημείο Α (2, 1) , να υπολογίσετε τις τιμές των λ και μ .

ΛΥΣΗ Αφού οι ευθείες ε1 και ε2 τέμνονται στο σημείο Α(2,1) , οι συντεταγμένες του σημείου αυτού τις επαληθεύουν. Επομένως έχουμε : Από ευθεία ε1 :(λ+μ)⋅2+1= 7 ή 2λ+2μ+1=7 ή 2λ+2μ = 7−1=6 ή 2λ+2μ=6 (1) Από ευθεία ε2 :2+(λ+3μ)⋅1=1 ή 2+λ+3μ =1ή λ+3μ =1−2 =−1ή λ+3μ = −1(2) Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2).

Βγάζουμε κοινό παράγοντα στο 1ο μέλος της 1ης εξίσωσης τον αριθμό 2 προκειμένου με την διαγραφή του αριθμού αυτού να έχουμε απλούστερη μορφή εξίσωσης. ή

13μλ3μ13μ

ή13μλ

3μλή

13μλ3μλ

ή13μλ

3μλή

13μλ6 μ)2(λ

ή1 3μλ62μ2λ

⎩⎨⎧

−−==+−−

⎩⎨⎧

−−==+

⎩⎨⎧

−=+=+

⎩⎨⎧

−=+=+

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−=+=+

−=+=+

Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατά-στασης Επιλύουμε την 2η εξίσωση ως


προς τον άγνωστο λ και την έκφραση που θα βρούμε την αντικαθιστούμε στην 1η εξί-σωση. ⎩

⎨⎧

−−⋅−=−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

−==⎩⎨⎧

−−==+=−

ή12)(3λ

2μ ή

13μλ

22-

4μ ή13μλ

4 132μ

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

=−=−=

5λ2μ

ή516λ

2μ

Κάνουμε τις σχετικές πράξεις και βρίσκουμε την λύση του συστήματος

3. Αν τα συστήματα ( Σ 1 ) : και ( Σ 2 ) :

έχουν την ίδια λύση , να βρείτε τους αριθμούς α , β . ⎩⎨⎧

=+=−

9 y 2x 3 y x

⎩⎨⎧

=−=+

α y β3x β y α x 2

ΛΥΣΗ Αρχικά θα επιλύσουμε το σύστημα ( Σ1 ). Επειδή τα συστήματα έχουν την ίδια λύση εάν αντικαταστήσουμε τις τιμές των x και y που αποτελούν λύση του ( Σ1 ) στο σύστημα ( Σ2 ) ,θα προκύψει ένα νέο σύστημα με αγνώστους τους α και β. Επίλυση του συστήματος Σ1

ή 4x

1y

ή 4x

y 3 4 ή

4x 3 y 4

ή 4

312x

3 y x

ή 4

312x

3 y x ή

12 3x 3 y x

ή 9 y 2x

3 y x

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

==−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

=+=−

Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συν-τελεστών. Διατηρούμε την 1η των εξισώ-σεων και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Μετά την εκτέλεση των σχετι-κών πράξεων βρίσκουμε την λύση του συστήματος η οποία είναι x = 4 και y = 1

Αντικαθιστούμε τις τιμές των x και y στο σύστημα ( Σ2 ) οπότε προκύπτει το σύστημα :

( Σ3 ) ⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=⋅−⋅=⋅+⋅

12βα8βα

ήαβ12β8α

ήα1β43β1α42

Επίλυση του συστήματος ( Σ3 )

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

=−=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

−=−

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=+−=−

2α10β

ή2αβ82

ή2α

8β2

ή224α

8βαή

42α8βα

ή12βα

8βα

Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συν-τελεστών. Διατηρούμε την 1η των εξισώσεων και α-ντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμα τους. Μετά την εκτέλεση των σχετικών πράξεων βρίσκουμε την λύση του συστήματος η οποία είναι α =2 και β = 10

4. Να υπολογίσετε τις τιμές των x , y , όταν


α) (x + y – 2) 2 + (2x –3y +1) 2 = 0 β) 2 x 2 + y2 –2 x y + 4 x +4 = 0. ΛΥΣΗ

Γενική παρατήρηση Για να είναι ένα άθροισμα τετραγώνων ίσο με το μηδέν πρέπει κάθε προ-σθετέος να ισούται με το μηδέν ως μη αρνητική ποσότητα. α) Άρα πρέπει να είναι : (x + y – 2) 2 = 0 και φυσικά μία δύναμη ισούται με μηδέν αν η βάση της δύναμης είναι μηδέν. Οπότε έχουμε x + y – 2 =0 ή x +y = 2 εξ. ( 1 ). Παρόμοια πρέπει (2x –3y +1) 2 = 0 ή 2x –3y +1 = 0 ή 2x –3y = −1 εξ.( 2 ) Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων ( 1 ) και ( 2 )

⎩⎨⎧

−=−=+

13y2x2yx

Επίλυση του συστήματος

Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών. Προκειμένου να δημιουργήσουμε αντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 3 ενώ την δεύτερη την αφήνουμε όπως είναι .

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==−=

⎩⎨⎧

==+

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

−=−=+

1x1y

ή1x

112yή

1x2y1

ή155x

2yxή

55x2yx

ή13y2x

6y33x

ή13

13y2x2yx

ή13y2x

2yx

Διατηρούμε την 1η των εξισώσεων ενώ την2η την αντικαθιστούμε με το άθροισμα τους Οι ζητούμενες τιμές είναι x = 1 και y = 1

β) Η δοσμένη ισότητα γράφεται : 2 x 2 + y2 –2 x y + 4 x +4 = 0 ή (x 2 + y2 –2 x y) +(x 2+ 4 x +4) = 0 ή (x−y)2+(x+2)2 = 0. Επομένως έχουμε : (x−y)2 = 0 ή x−y = 0 εξ. ( 1 ) και (x+2)2 = 0 ή x+2 = 0 ή x = − 2 εξ. ( 2 ). Θεωρούμε το σύστημα των (1) και (2)

⎩⎨⎧

−=−==

⎩⎨⎧

−==

⎩⎨⎧

−==−

2x2yx

ή2x

yxή

2x0yx

5. Nα λύσετε τα συστήματα

α) β) ⎩⎨⎧

=+=++−

4y2x0y)(x4)3y(2x

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=+−

2y2x

82y)(x4y)(3x γ)

⎩⎨⎧

=+=+

7yx2xyyx 22

ΛΥΣΗ α) Εάν ένα γινόμενο παραγόντων ισούται με μηδέν τότε τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες του γινομένου ισούται με μηδέν.


Επομένως από την 1ηεξίσωση του συστήματος προκύπτει ή 2x − 3y+4 = 0 ή x + y = 0 Από το σύστημα λοιπόν της περίπτωσης αυτής προκύπτουν τα συστήματα :

( Σ1 ) και ( Σ2 ) ⎩⎨⎧

=+=+−4 y 2x

04y32x

⎩⎨⎧

=+=+

4 y 2x0 y x

Επίλυση του συστήματος ( Σ1 ) Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών. Προκειμένου να δημιουργήσουμε αντίθετους συντελε-στές στον άγνωστο x πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθ-μό −1 ενώ την δεύτερη την αφήνουμε όπως είναι .

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−

=⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−=−

⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

==⋅+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+−⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

=+=+−

−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

=+=+−

2 y

122 xή

2 y 2x2

ή2 y

264x2 ή

2 y 46x2

ή2 y

423x2 ή2

48 y

4y3x2

ή8 y 4

4y3x2 ή

4 y 2x 4y3x2

ή11

4 y 2x 4y32x

ή4 y 2x

04y32x

Διατηρούμε την 1η των εξισώσεων ενώ την2η την αντικαθιστούμε με το άθροισμα τους Οι ζητούμενες τιμές είναι x = 1 και y = 2

Επίλυση του συστήματος ( Σ2 )

ή4 x 4 y

ή4 x x y

ή4 0x0 y x

ή4 y)(xx

0 y xή

4 y 2x0 y x

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

=+=+

⎩⎨⎧

=++=+

⎩⎨⎧

=+=+

Εμφανίζουμε το άθροισμα x+y στην 2η εξί-σωση το οποίο αντικαθιστούμε με την τιμή του όπως μας δίνεται από την 1η εξίσωση. Έτσι υπολογίζουμε αμέσως τον x Και στην συνέχεια από την 1η εξίσωση τον y ο οποίος είναι αντίθετος του x.

Επομένως το σύστημα 2ου βαθμού έχει τις δύο

παρακάτω λύσεις : ( x = 1 , y = 2 ) και ( x = 4 , y = −4 ) ⎩⎨⎧

=+=++−

4y2x0y)(x4)3y(2x

β) Θα επιλύσουμε το σύστημα

ή 2x

)4( ή

2x

ή22

ή 2

⎩⎨⎧

−=+=−⋅−

⎩⎨⎧

−=+=+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⋅+⋅

=+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=+−

4y84y)(3x

4y82y)(x4y)(3x

4y2x

82y)(x4y)(3x

2y2x

82y)(x4y)(3x Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της 2ης εξίσωσης επί τον α-ριθμό 2 για να κάνουμε α-παλοιφή του παρονομαστή . Αντικαθιστούμε στην 1η εξί-σωση την παράσταση x+2y όπως αυτή μας δίνεται από την 2η εξίσωση, οπότε προ-


2x

14

4 ή

2x4

ή 2x

62 ή

2x26

ή 2x

2)2( ή

2510x

2

ή 5x

2 ή

42x2

ή 21

2x2

ή 2x

24

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=−

=

⎩⎨⎧

−==−

⎩⎨⎧

−=+−=−

⎩⎨⎧

−=−=−−

⎩⎨⎧

−=−=−−⋅

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=

−=−⎩⎨⎧

−=−=−

⎩⎨⎧

−=+−=−

⎩⎨⎧

−=+−=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

−=−

=−

y4y

4y4y

4y34y3x

104y3x

8y4y3x

4y4y3x

4y

84y3x

κύπτει μετά τις σχετικές πρά-ξεις σύστημα 1ου βαθμού το οποίο θα λύσουμε με την μέθοδο των αντιθέτων συντε-λεστών. Η λύση του συστήματος είναι : x = −2 και y = − 1

γ) Επίλυση του συστήματος

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

=+=−

⎩⎨⎧

=+=−

⎩⎨⎧

=+=−+

⎩⎨⎧

=+=+

27yx

yx

7yxyx

7yx0yx

7yx0y)x

7yx02xyyx

7yx2xyyx

2

2222

ή

ή ή (

ή ή

Μεταφέρουμε στο 1ο μέλος την ποσότητα 2xy προκειμένου να προκύψει το ανάπτυγ-μα του τετραγώνου της διαφοράς. Για να είναι μία δύναμη ίση με το μηδέν πρέπει η βάση της δύναμης να ισούται με μηδέν. Αφού είναι ίσοι μεταξύ τους καθένας

τους καθένας τους θα ισούται με 27

6. Να βρείτε δύο αριθμούς, που έχουν άθροισμα 100 και αν διαιρέσουμε το μεγαλύτερο με το μικρότερο, τότε θα προκύψει πηλίκο 4 και υπόλοιπο 15.

ΛΥΣΗ Εάν συμβολίσουμε με x τον μεγαλύτερο και y τον μικρότερο από τους α-ριθμούς τότε προκύπτει το σύστημα :


Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης, αντικαθιστώντας στην 1η εξίσωση τον άγνωστο x όπως αυτός εκφράζεται στην 2η εξίσωση.

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

+==

+=−=

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

+==++

+==+

ή 154yx

855y ή

154yx151005y

ή154yx

100y 154y ή

154yx100y x

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

+⋅==

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

==

83x17y

ή 15174x

17y ή

154yx

175

85y

Κάνουμε τις σχετικές πράξεις. Ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς είναι ο 83 και ο μικρότερος είναι ο 17.

7. Αν η εξίσωση (2λ – κ – 3) x = κ – λ + 1 είναι αόριστη , να βρείτε τους α-

ριθμούς κ , λ . ΛΥΣΗ

Για να είναι η παραπάνω εξίσωση αόριστη πρέπει ο συντελεστής του αγνώ-στου και ο σταθερός όρος να είναι όσοι με μηδέν. Προκύπτει το σύστημα :

ή 2λ1κ

ή 2λ

143κ ή

2λ34κ

ή 2λ

322κ ή

2λ32λκ

ή 2λ

32λκ ή

2λ32λκ

ή 1λκ32λκ

ή 01λκ03κ2λ

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=−=−=−

⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

==⋅+−

⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−=−=+−

=+−=−−

Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών. Επειδή οι συντελεστές του κ είναι αντίθετοι διατηρούμε την1ηεξίσωση και αντικαθιστού-με την 2η με το άθροισμα τους. Αφού υπολογίσουμε την τιμή του αγνώστου λ, αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση για να υπολογίσουμε και την τιμή του κ

8. Τα κέντρα δύο κύκλων που εφάπτονται εξωτερικά απέχουν 18 cm . Αν τα εμβαδά των δύο κύκλων διαφέρουν κατά 72 π cm

2, να βρείτε τις ακτίνες των δύο κύκλων.

ΛΥΣΗ Εάν συμβολίσουμε R την ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου και ρ του μικρό-τερου κύκλου τότε προκύπτει το σύστημα :


Καταστρώνουμε το σχετικό σύστημα όπως προκύπτει από τα δεδομένα του προβλήματος.

⎩⎨⎧

=+−=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

ή 72ρ)ρ)(R(R

18ρRή

72ρR18ρR

ή π72)ρπ(R

18ρR ή

π72πρπR18ρR

22

2222

⎪⎩

⎪⎨⎧

==−

=+

⎩⎨⎧

=⋅−=+

ή 41872ρR

18ρR ή

7218ρ)(R18ρR

Εξάγουμε κοινό παράγοντα το π από το 1ο μέλος της 2ης εξίσωσης το οποίο και διαγράφουμε. Στη συνέχεια παραγοντο-ποιούμε την διαφορά τετραγώνων που αποτελεί το 1ο μέλος της 2ης εξίσωσης και αντικαθιστούμε το άθροισμα των ακτίνων

⎩⎨⎧

==−=

⎩⎨⎧

==+

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

==+

=−=+

11R

71118ρ

ή 11R

18ρ11 ή 11

222R

18ρR

ή 222R18ρR

ή 4ρR

18ρR Το σύστημα που προκύπτει το επιλύουμε με την μέθοδο των αντιθέτων συν-τελεστών, διατηρώντας την 1η των εξι-σώσεων και αντικαθιστώντας την 2η με το άθροισμά τους. Η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου είναι R= 11cm και του μικρότερου ρ=7cm.

9. Να βρείτε τις ηλικίες δύο αδελφών , αν σήμερα διαφέρουν κατά 5 χρό-

νια , ενώ μετά 11 χρόνια οι ηλικίες τους θα έχουν λόγο 34 .

ΛΥΣΗ Εάν συμβολίσουμε με x την ηλικία του μεγαλύτερου και y του μικρότερου τότε προκύπτει σύστημα που γράφεται παρακάτω αφού λάβουμε υπόψη μας ότι μετά από 5 χρόνια οι ηλικίες τους θα είναι x+5 και y+5 αντίστοιχα.


Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της 2ης εξίσωσης επί το γινό-μενο 3(y+5) για να κάνουμε απαλοιφή των παρονομα-στών.

10y

15510 x ή 10

110y

5y x ή

10y5y x

ή 151520y43y

5y x ή

204y51513y5y x

ή 204y515)3(y

5y x ή

204y513x5y x

ή 5)4(y5)3(x

5y x ή

345)3(y

5y5x5)3(y

5y x

ή 5)3(y3

45y5x

5y x ή

34

5y5x

5y x

⎩⎨⎧

==+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−

=

+=

⎩⎨⎧

−=−+=

⎩⎨⎧

−−=−+=

⎩⎨⎧

+=+++=

⎩⎨⎧

+=+++=

⎩⎨⎧

+=++=

⎩⎨⎧

+=++=

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=++

+

+=

+⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

+=

Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατά-στασης Κάνουμε τις σχετικές πράξεις . Οι ηλικίες των δύο αδελφών είναι 15ετών και10 ετών.

10. Σ ’ ένα ταξίδι με πλοίο το εισιτήριο της Α΄ θέσης κοστίζει 18 ευ-

ρώ και της Β΄ .θέσης κοστίζει 6 ευρώ λιγότερα . Αν σ’ ένα ταξίδι κόπηκαν 350 εισιτήρια συνολικής αξίας 4500 ευρώ, να βρείτε πό-σα εισιτήρια κόπηκαν από κάθε κατηγορία.

ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι αφού το εισιτήριο της 2ης θέσης κοστίζει 6 ευρώ ολιγότε-ρα από το εισιτήριο της 1ης θέσης , τότε αυτό θα κοστίζει 12ευρώ. Εάν υποθέσουμε ότι κόπηκαν x εισιτήρια της 1ης θέσης και y της 2ης θέσης τότε προκύπτει το σύστημα :


Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών. Για να δημιουρ-γήσου-με αντίθετους συντελε-στές στον άγνωστο y πολλα-πλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό −12 ενώ της 2ης τους αφήνου-με όπως είναι.

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

==+

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

==+

=+−=−−

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧ −

=+=+

=+=+

50x

300y

ή 50x

50350y ή

50x350y50

ή506

300x

350yx

ή3006x

350yx ή

450012y18x4200y12x12

ή 112

450012y18x350yx

ή 450012y18x

350yx

Επειδή οι συντελεστές του αγνώστου x είναι αντίθετοι δια-τηρούμε την 1η των εξι-σώσεων στην αρχική της μορ-φή και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμά τους. Κόπηκαν 50 εισιτήρια της1ης θέσης και 300 της 2ης

11. Να βρείτε ένα διψήφιο αριθμό, που το άθροισμα των ψηφίων του εί-ναι ίσο με 10 και αν εναλλάξουμε τα ψηφία του, τότε θα προκύψει α-ριθμός κατά 18 μικρότερος.

ΛΥΣΗ Εάν συμβολίσουμε x το ψηφίο των δεκάδων και y το ψηφίο των μονάδων τότε προκύπτει το σύστημα :

ή 29

18yx

10yxή

18y)9(x10yx

ή 18y99x

10yxή

18y10yx10x10yx

ή 18x10yy10x

10yx

⎪⎩

⎪⎨⎧

==−

=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

=−+−=+

⎩⎨⎧

++=+=+

ή 6x4y

ή 6x

610yή

6x10y6

ή 6x10yx

ή 62

12x

10yxή

122x10yx

ή 2yx

10yx

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

==+

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

=−=+

Ο ζητούμενος αριθμός είναι 10x+y και μετά την αντιστροφή των ψηφίων ο νέος αριθμός που προκύπτει είναι ο 10y+x. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις στην 2η εξίσωση έως να καταλήξουμε στην μορ-φή : x − y = 2. Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθο-δο των αντιθέτων συντελεστών. Διατηρούμε την 1η των εξισώσεων ενώ αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμά τους. Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 64


12. Αν διαιρέσουμε ένα διψήφιο αριθμό με το άθροισμα των ψηφίων του, βρίσκουμε πηλίκο 6 και υπόλοιπο 3 . Αν εναλλάξουμε τα ψηφία του και τον αριθμό που προκύπτει τον διαιρέσουμε με το άθροισμα των ψηφίων του , βρίσκουμε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 9 . Ποιος είναι ο αρ-χικός διψήφιος αριθμός ;

ΛΥΣΗ Εάν συμβολίσουμε x το ψηφίο των δεκάδων και y το ψηφίο των μονάδων τότε ο αριθμός είναι ο 10x+y ενώ μετά την αντιστροφή των ψηφίων προκύ-πτει ο αριθμός 10y+x. Στηριζόμενοι στα δεδομένα του προβλήματος προκύπτει το σύστημα :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

==⋅−

⎩⎨⎧

==−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=−

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

=+−=−

⎩⎨⎧

=−+−=−+−

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

++=+++=+

++=+++=+

ή 5y

7428xή

5y284x

ή 5y

2534xή

5y3524x

ή 5y

3554x

ή 5y

3y54xή 5

945y

3y54xή

45y93y54x

ή 36y24x129y1512x

ή 43

9y6x33y54x

ή 9y6x3

3y54xή

9x4xy410y3y6yx610x

ή 9y44xx10y3y66xy10x

ή 9y)4(xx10y3y)6(xy10x Κάνουμε τις σχετικές πράξεις

έως ότου καταλήξουμε σε απλή μορφή του συστήματος, το οποίο θα επιλύσουμε με την μέθοδο των αντιθέτων συντε-λεστών. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 3 και της 2ης επί τον αριθμό 4. Διατηρούμε την 1η των εξισώ-σεων και αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμά τους. Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 75.

13. Αν ελαττώσουμε το μήκος ενός ορθογωνίου κατά 2 m και αυξή-

σουμε το πλάτος του κατά 5 m , το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 94 m 2. Αν όμως , αυξήσουμε το μήκος του κατά 4 m και ελαττώ-σουμε το πλάτος του κατά 6 m , το εμβαδόν του ελαττώνεται κατά 104 m 2. Ποιες είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου;

ΛΥΣΗ Εάν συμβολίσουμε x το μήκος και y το πλάτος του ορθογωνίου παραλληλο-γράμμου τότε προκύπτει το σύστημα :


Κάνουμε τις σχετικές πράξεις

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−

=

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

=−=−

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

==+−

==⋅+−

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+−

⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

−=−+=+−

⎩⎨⎧

−=−+=+−

⎩⎨⎧

−=−+−+=+−−

⎩⎨⎧

−=−−++=−+−

⎩⎨⎧

−=−++=+−

32x

284

112y

ή32x

112y4ή

32x320208y4

ή32x

208320y4ή

32x2083210y4

ή324

128x

20810xy4ή

1284x20810xy4

ή80x64y

20810xy4ή

12

80x64y1045xy2

ή10424x64yxyxy10945xy2xyxy

ή104xy24x64yxy94xy105xy2xy

ή104xy)64)(y(x94xy5)y)(2(x

Θα επιλύσουμε το σύστημα 1ου βαθμού με την μέθοδο των αντιθέτων συντελε-στών. Για τον λόγο αυτό πολλαπλασιά-ζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό 2 ενώ την 2η την αφήνουμε όπως είναι. Επειδή οι συντελεστές του y είναι αντίθε-τοι διατηρούμε την 1η των εξισώσεων ενώ αντικαθιστούμε την 2η με το άθροι-σμά τους. Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου x αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση για να βρούμε τον άγνωστο y

14. Οι πόλεις Α και Β απέχουν

55 Κm . Ένα αυτοκίνητο ξεκινά από την πόλη Α και με μέση ταχύτητα 80 Κm/ h την ώρα κινείται προς την πόλη Β .Δεκαπέντε λεπτά μετά την εκκίνησή του ένα άλλο … αυτο-κίνητο ξεκινά από την πόλη Β και με μέση ταχύτητα 60 Κm / h κινείται προς την πόλη Α .Πόσο χρόνο κινήθηκε κάθε αυτοκίνητο μέχρι τη συ-νάντησή τους ;

ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι τα 15 λεπτά κατά τα οποία κινήθηκε το πρώτο αυτοκίνη-

το στην αρχή μόνο του είναι 41

6015

= της ώρας.


Εάν συμβολίσουμε x σε ώρες τον χρόνο κίνησης του 1ου αυτοκινήτου και y

πάλι σε ώρες του δευτέρου, έως τότε :x = y + 41 (1).

Σχετικά με τα διαστήματα που διάνυσαν έχουμε : Το αυτοκίνητο που ξεκίνησε από την πόλη Α διάνυσε διάστημα 80x Το αυτοκίνητο που ξεκίνησε από την πόλη Β διάνυσε διάστημα 60y Επειδή το άθροισμα των δύο διαστημάτων ισούται με την απόσταση των πόλεων Α και Β έχουμε : 80x +60y = 55 (2). Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2).

Θα λύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==+=

==

+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

+=

=+⋅+

+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

+=

41y

21

42

41

41 x

ή

41

14035y

41y x

ή 35140y41y x ή

205560y80y41y x

ή5560y2080y

41y x ή

5560y418080y

41y x

ή5560y)

4180(y

41y x

ή 5560y80x

41y x Αντικαθιστούμε τον άγνωστο x

στην 2η εξίσωση από την επίλυση της οποίας προκύπτει η τιμή του y Η λύση του συστήματος είναι η

x = 2

1 της ώρας και y =

4

1 της

ώρας Επομένως το πρώτο αυτοκίνητο κινήθηκε για 30 λεπτά και το δεύτερο για 15 λεπτά.

15. Δύο αυτοκίνητα κινούνται με σταθερές ταχύτητες και απέχουν με-ταξύ τους 45 Κm .Αν κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση θα συ-ναντηθούν μετά από 3 ώρες , ενώ αν κινούνται σε αντίθετη κατεύ-θυνση , θα συναντηθούν σε 20 λεπτά. Με ποια ταχύτητα κινείται κάθε αυτοκίνητο ;

ΛΥΣΗ Εάν συμβολίσουμε : ΑΒ την απόσταση των 45Km που απέχουν τα δύο αυτοκίνητα x την αριθμητική τιμή της ταχύτητας του αυτοκινήτου που βρίσκεται στην θέση Α y την αριθμητική τιμή της ταχύτητας αυτού που βρίσκεται στην θέση Β τότε :


Όταν κινούνται επί τρεις ώρες προς την ίδια κατεύθυνση από το Α προς το Β τα διαστήματα που θα διανύσουν είναι 3x αυτού που βρισκόταν στην θέ-ση Α και 3y αυτού που βρισκόταν στην θέση Β. Τότε 3x = 3y +45 ή 3x = 3(y +15) ή x = y + 15 (1)

Όταν κινούνται επί 20 λεπτά δηλ. 31

6020

= της ώρας με αντίθετες κατευθύν-

σεις, τα διαστήματα που θα διανύσουν είναι y31x και

31 αντίστοιχα .

Τότε προκύπτει η εξίσωση 45y31x

31

=+ η οποία μετά των πολλαπλασια-

σμό των μελών της επί τον αριθμό 3 προκειμένου να κάνουμε απαλοιφή των παρονομαστών γίνεται :

135 y x ή135y313x

313 ή 453y)

31x

31(3 =+=⋅+⋅⋅=+⋅ (2)

Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) για να το επιλύσουμε και έχουμε :

Θα λύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης.

⎩⎨⎧

==+=

⎩⎨⎧

=+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

+=

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

=+++=

⎩⎨⎧

=++=

ή 60y

751560x ή

60y15yx

ή 602

120y

15yx ή

1202y15yx

ή135y15y

15yx ή

135yx15yx

Αντικαθιστούμε τον άγνωστο x στην 2η εξίσωση από την επίλυση της οποίας προκύ-πτει η τιμή του y Η λύση του συστήματος είναι η x = 75Km/h και y = 60Km/h

16. Ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα . Ο χρόνος, που μεσολαβεί από τη στιγμή που θα εισέλθει σε μια σήραγγα μήκους 180 m μέχρι τη στιγμή που και το τελευταίο του βαγόνι θα εξέλθει απ’ αυτή, είναι 12 sec. Σε μια δεύτερη σήραγγα μήκους 930 m το ίδιο συμβαίνει σε χρόνο 42 sec. Nα βρείτε τη ταχύτητα και το μήκος του τρένου.

ΛΥΣΗ Εάν συμβολίσουμε x σε μέτρα το μήκος του τραίνου και y σε m/sec την ταχύτητά του τότε : Για την 1η σήραγγα


Την χρονική στιγμή που η αρχή του τραίνου εισέρχεται στην σήραγγα το τέλος του τραίνου απέχει από την έξοδο απόσταση σε μέτρα 180 + x την οποία θα διανύσει σε χρόνο y sec. Επομένως 12y = 180 + x (1) Για την 2η σήραγγα αντίστοιχα θα έχουμε 42y = 930 + x (2) Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2).

Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών. Πολλαπλα-σιάζουμε τους όρους της 1ης εξίσωσης επί τον αριθμό −1, ενώ τη 2η την αφήνουμε όπως είναι. Διατηρούμε την 1η των εξισώ-σεων ενώ την 2η την αφήνουμε όπως είναι.

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==−

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

=+=⋅

⎩⎨⎧

=+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

+=⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

+=−−=−

⎩⎨⎧ −

+=+=

⎩⎨⎧

+=+=

25y120x

ή 25y

x180300

ή 25y

x180300 ή

25yx1802512

ή 25y

x 18012y ή 25

30750y

x 18012y

ή 75030y

x 18012y ή

x93042yx 18012y

ή11

x93042yx 18012y

ή x93042yx 18012y

Αφού βρούμε την τιμή του αγνώστου y αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην 1η εξίσωση και βρίσκουμε την τιμή του α-γνώστου x. Επιλύοντας το σύστημα συμπεραίνουμε ότι το μήκος του τραίνου είναι 12 0m και η ταχύτητα του 25m/sec

17. Οι αντιστάσεις R 1, R 2, αν συνδεθούν παράλληλα , έχουν ολική αντί-σταση 2,4 Ω. Αν η αντίσταση R 2 συνδεθεί παράλληλα με αντίσταση 12 Ω , τότε η ολική τους αντίσταση είναι R 1 . Να βρείτε τις τιμές των αντιστάσεων R 1 , R 2 .

ΛΥΣΗ Ανάλογα με τον τρόπο σύνδεσης των αντιστάσεων προκύπτουν οι εξισώ-σεις.

1ος τρόπος σύνδεσης : 4,2

1R1

R1

21

=+ (1)

2ος τρόπος σύνδεσης : 12 R

1121

R1

=+ (2)

Θεωρούμε το σύστημα των (1) και (2)


Κάνουμε απαλοιφή παρο-νομαστών πολλαπλασιάζο-ντας κάθε μία των εξισώσεων με το Ε.Κ.Π. των παρονομα-στών της.

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

⋅==

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==⋅+

⎩⎨⎧

==⋅+

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

==+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

=−=+

⎩⎨⎧

−=−=+

⎩⎨⎧

=+=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅=+

⋅⋅=+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

6R4R

ή45,1R

4Rή

R5,1RR4

ή R5,1R

R5,16

ήR5,1R

)(R5,1R6ή

R5,1R)(R5,1)R5,14,24,2(

ήR5,1R

)(R5,1R5,14,2R4,2

ήR5,1R

R ,51RR5,1.4,2R4,2

ήR 5,1R

RRR4,2R4,2ήR

6,94,14R

RRR4,2R4,2

ήR6,9R4,14

RRR4,2R4,2ή

0R6,9R4,14RRR4,2R4,2

ήRRR12R12RRR4,2R4,2

ήR12RRR12RRR4,2R4,2

ήRR12

R1

121

R1

RR4,24,2

1R1

R1

ή

R1

121

R1

4,21

R1

R1

2

1

2

1

12

1

12

1

12

211

12

211

12

2111

12

1111

12

2121

12

2121

21

2121

21

2121

2121

2121

2211

2112

2112

2121

12

21

Κάνουμε τις σχετικές πράξεις . Διατηρούμε την 1η των εξι-σώσεων ενώ αντικαθιστούμε την 2η με το άθροισμά τους. Αφού βρούμε μία σχέση μεταξύ των R1 και R2 αντι-καθιστούμε την R1. στην 1η εξίσωση για να βρούμε τον άγνωστο R1. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις . Στηριζόμενοι στην ιδιότητα της διαγραφής του πολλα-πλασιασμού υπολογίζουμε την τιμή της αντίστασης R1. και στη συνέχεια της R Επομένως οι τιμές των αντι-στάσεων είναι: R1=4 Ω και R2=6Ω

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Μαρία: Αν μου δώσεις δύο, θα έχω όσα και εσύ. Ελένη: Αν εσύ μου δώσεις δύο, θα έχω τα διπλάσια από σένα. Πόσα έχει η καθεμιά;

ΛΥΣΗ Έστω x αυτά που έχει η Μαρία και y αυτά που έχει η Ελένη . Τότε έχουμε τις

εξισώσεις: . Θα λύσουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων. (⎩⎨⎧

−=+−=+

2x22y2y2x

)


( )

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

−=+++=

⎩⎨⎧

−=+−=+

14y10x

10x4xy

4x224x4xy

2x22y2y2x

Χρησιμοποιούμε την μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε την πρώτη ως προς y και αντικαθιστούμε την τιμή του y στην δεύτερη . Λύνοντας την δεύτερη εξίσωση ως προς x βρίσκουμε το x=10 και αντικαθιστώντας την τιμή του στην πρώτη βρίσκουμε και το y=14

2. . Οι συντελεστές του x και του y σβήστηκαν κατά λάθος.

Μπορείτε να τους υπολογίσετε αν γνωρίζετε ότι το σύστημα έχει λύση ⎩⎨⎧

=−=+

3y...x64yx...

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

35,

31 ;

ΛΥΣΗ

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

=−=

⎩⎨⎧

=+−=−−

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=−−

⎩⎨⎧

=−=+

3β17α

15β517α

9β56125α

3β35

31.6

435α

31

3yβx64yxα

Θέτουμε α τον συντελεστή του x και β τον συντελεστή του y.

Εφόσον το σύστημα έχει λύση το σημείο ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−3

5,

3

1 .

Τοποθετούμε στο σύστημα στην θέση του x το -1/3 και στην θέση του y το -5/3. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Λύνουμε την πρώτη ως προς α και την δεύτερη ως προς β . Βρίσκουμε α =-17 και β=3


3. Να αποδείξετε ότι τα συστήματα

⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

=−=+

33y-2x14yx-

και 7y2x3

5y2x έχουν κοινή λύση.

ΛΥΣΗ

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=−=

→⎩⎨⎧

==+

⎩⎨⎧

==+

→⎩⎨⎧

=−=+

1y3x

3x35y2

3x5y2x

124x52yx

7y2x3

5y2x

Λύνουμε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθε-των συντελεστών. Λύνουμε το σύστημα με τη μέθοδο των αντίθε-των συντελεστών. Παρατηρούμε ότι τα δύο συστήματα έχουν κοινή λύση την (x,y)=(3,1)

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=+−=

→⎩⎨⎧

==+−

⎩⎨⎧

=−=+−

→⎩⎨⎧

==+

3x1y

28x21y

5y52y8x2

3y3x22y8x2

33y-2x14yx-


ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ 10 Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Το ζεύγος (3,2) είναι λύση της εξίσωσης 3x-2y=5. β) Η ευθεία ε:2x-5y=0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. γ) Η εξίσωση y=-3 παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y΄y. δ) Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα των εξισώσεων τους είναι αόριστο. (4 μονάδες) Β. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση: i) Οι ευθείες ε1: 2x-3y=18 και ε2: 3x+5y=8 έχουν κοινό σημείο το: α) Α(9,0) , β) Β(1,1), γ) Γ(6,-2), δ) Δ(3,-4)

ii) Αν για την επίλυση του συστήματος εφαρμόσουμε την

μέθοδο των αντίθετων συντελεστών, τότε προκύπτει η εξίσωση: ⎩⎨⎧

=+−=−

3y4x26y4x5

α) 5x=6, β) 3x=3, γ) -2x=3, δ) 3x=9.

iii) Το σύστημα ⎩⎨⎧

=+=+

5y2x5y2x

α) έχει μία λύση, β) είναι αόριστο, γ) είναι αδύνατο. (3 μονάδες) ΘΕΜΑ 20

Να λύσετε το σύστημα ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

−=+

0y3x2

8y5x32

(6 μονάδες)

ΘΕΜΑ 30 Αν οι ευθείες ( ) ( ) ( ) 6λy-x4κ:ε και 26y1-λx2κ:ε 21 =+=++ τέμνονται στο σημείο Μ(2,4) , να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμών κ, λ. (7 μονάδες)


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ( ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ )

ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 3ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θέμα 1ο α. Τι ονομάζεται λύση της εξίσωσης αx + βy = γ β. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία (2λ+1)x + (λ+1)y = 12 να περνά από το σημείο Α(2 , 3) γ. Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή και να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας με τους άξονες του συστήματος. Θέμα 2ο Να λυθεί το σύστημα :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=+

45

y-x44

2y3x6y)-(2x-yx3

ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 3ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Θέμα 1ο α. Τι γνωρίζετε για την γραφική παράσταση της εξίσωσης αx +βy = γ με α ≠ 0, β ≠ 0 και γ ≠0 β. Να βρείτε τις τιμές των κ και λ ώστε οι ευθείες με εξισώσεις : (κ+1)x + (2k+1)y = 12 και (λ +2)x – (λ+1)y = 5 να έχουν κοινό σημείο το Α(3,2) γ. Να σχεδιάσετε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα αξόνων. Θέμα 2ο Να λυθεί το σύστημα :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

++

=+

45

2yx2

y4x6y)-(x-yx3


ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ

1. Εάν ένα σημείο ………………. ανήκει σε μία ευθεία , τότε οι συντε-ταγμένες του …………….. επαληθεύουν την ………………. της ευθεί-ας. 2. Εάν οι ……………………… ενός σημείου ……………………. την εξί-σωση μίας ευθείας , τότε το σημείο ……………….. ανήκει στην ευθεία αυτή. 3. Η εξίσωση y = κ με κ ≠ 0 …………………. μία ευθεία παράλληλη στον άξονα ………… και τέμνει τον άξονα yy΄ στο σημείο ( …. , …..). 4.Η εξίσωση x = 0, παριστάνει τον ………………………………. 5 Λύση γραμμικού συστήματος δύο …………………… με δύο αγνώ-στους x και y ονομάζεται κάθε ζεύγος (x , y) που επαληθεύει τις εξισώ-σεις του. 6. Εάν ένα γραμμικό σύστημα είναι αδύνατο, τότε οι ευθείες που αντι-στοιχούν στις εξισώσεις του είναι μεταξύ τους ………………………………. 7. Εάν ένα γραμμικό σύστημα είναι αόριστο, τότε οι ευθείες που αντι-στοιχούν στις εξισώσεις του ……………………………….

ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ 1. Ποιο από τα παρακάτω σημεία ανήκει στην ευθεία 2x + 3y = 5 ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , -1 ) , ( 2 , 0 ) , ( 3 , 2 ) 2. Σε ποιο από τα παρακάτω σημεία τέμνει η ευθεία x = 5 τον άξονα xx’ (5 , -1 ) , (5 , 0 ) , ( 5 , 1 ) , ( 5 , 4 ) , ( 5 , 5 ) 3. Σε ποιο από τα παρακάτω σημεία τέμνει η ευθεία y = -3 τον άξονα yy’ (-2 , -3 ) , (-1 , -3 ) , ( 0 , -3 ) , ( 1 , -3 ) , ( 0 , -2 ) 4. Ποιο από τα παρακάτω σημεία ανήκει και στις δύο ευθείες με εξισώσεις 2x + y = 3 και x + 2y = 3. ( 0 , 0) , ( 0 , 1 ) , (1 , 1 ) , ( 2 , -1 ) , ( 5 , -1 ) 5. Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη είναι η λύση του συστήματος

: ⎩⎨⎧

==

464)-(y-x3

y ( 0 , 0) , ( 2 , 0) , ( 2 , 2 ) , (2 , 4 ) , (-2 , -3 ) , (0 -2 ) 6. Ποια είναι η σχετική θέση των ευθειών ε1 και ε2 που αποτελούν τις γρα-

φικές παραστάσεις των εξισώσεων του συστήματος : ⎩⎨⎧

=+=+

44y2x 62y x

1. Οι ε1 , ε2 είναι παράλληλες ,2. Οι ε1 , ε2 τέμνονται , 3. Οι ε1 , ε2 συμπί-πτουν


ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ή ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ» Στις παρακάτω προτάσεις, άλλες είναι σωστές και άλλες είναι λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λάθος. 1. Η ευθεία y = αx (α ≠ 0) περνά από την αρχή του συστή-ματος των αξόνων.

Σ Λ

2. Η ευθεία y = k (k ≠ 0) είναι παράλληλη με τον άξονα xx΄ Σ Λ 3. Η ευθεία x = 0 παριστάνει τον άξονα xx΄ Σ Λ 4. Οι ευθείες x = k ( k ≠ 0 ) και y = λ ( λ ≠ 0 ) τέμνονται στο σημείο ( k , λ )

Σ Λ

5.Εάν το ζεύγος ( κ , λ ) επαληθεύει την εξίσωση αx + βy = γ, για την οποία (α ≠ 0 , β ≠ 0 , γ ≠ 0 ) τότε το σημείο (κ , λ) ανήκει στην εξίσωση της ευθείας .

Σ Λ

6. Το ζεύγος (κ ,λ ) που επαληθεύει τις εξισώσεις ενός συ-στήματος , είναι η λύση του συστήματος αυτού.

Σ Λ

7. Εάν οι ευθείες δύο εξισώσεων τέμνονται , τότε το σύστη-μα των δύο αυτών εξισώσεων είναι αδύνατο.

Σ Λ

8. Εάν οι ευθείες δύο εξισώσεων είναι παράλληλες, τότε το σύστημα των δύο αυτών εξισώσεων είναι αόριστο.

Σ Λ

Documents

αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος