Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.

И.Кеплер

Тема: Свойства медиан в прямоугольном треугольнике

Пифагор Самосский

Ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.

2 1

1х

а)

С

В А

D

1 1

х

4

б)С

А

ВD

Из ΔАВС (С=900)

АВ2=ВС2+АС2

АВ2=5

Из Δ ДВА(А=900)

Х2=АВ2+АD2

X2=6

ИзΔАВС(С=900)

АС2=АВ2-ВС2

АС2=12

Из ΔАDC (C=900)

X2=AC2+CD2

X2=13

1

1

2

х

с)

СВ

А

DИз ΔАВС (С=900)

ВС2=АВ2-АС2

ВС2=3

Из ΔBCD (C=900)

BD2=BC2+CD2

BD2=7

В

А СВ1

А1

Дано: ∆АВС, С=900

АА1, ВВ1 - медианы

АА1=m1; BB1=m2.

Найти: АВ, ВС, АС.

Решение. АВ=с, АС=b, BC=a.

Из ∆ АА1С (С=900) по теореме Пифагора2

221 2

a

bAA

Из ∆ B1BС (С=900) по теореме Пифагора2

221 2

b

aBB

222

2

222

1

2

2

bam

abm

221

2

2

a

mb

24

221

222

am

am

Тема: Свойства медиан в прямоугольном треугольнике

В

А СВ1

А1

444

221

222

amam

44

221

222

am

am

221

22 4

154 amm

22

21

21

22

21

2

15

4

15

164

15

1mmmmmb

2122

2 415

4mma

21

22

22

21

21

22

2

5

4

5

4

15

4

15

16

15

4

15

16mmmmmmc

Дано: ∆АВС, С=900

АА1=m1; BB1=m2.

Найти: АВ, ВС, АС.

)4(15

4 22

21

2 mmb

2221

2

5

4mmc

Дано: ∆АВС, С=900

АА1,ВВ1 - медианы

BC=a, AC=b.

Найти: AB2,

AA12+BB1

2

22

1 2:

a

bkvm

22

2 2:

b

akvm

a, b

sum:=kvm1+kvm2

kvc, sum

В

А СВ1

А1

кvc:=а2+b2

Введем обозначения:

AB2= kvc

AA12=kvm1

ВВ12=kvm2

222

1

222

1

2

2

baBB

abAA

a b c2 m12+m2

2

13 84

36 77

51 68

a b c2 m12+m2

2

16 63

25 60

39 52

a b c2 m12+m2

2

30 25

39 2

38 9

a b c2 m12+m2

2

13 84 7225 9031

36 77 7225 9031

51 68 7225 9031

a b c2 m12+m2

2

16 63 4225 5281

25 60 4225 5281

39 52 4225 5281

a b c2 m12+m2

2

30 25 1525 1906

39 2 1525 1906

38 9 1525 1906

Дано: ∆АВС, С=900

АА1=m1; BB1=m2.

Найти: АВ, ВС, АС. Если в прямоугольном треугольнике гипотенуза постоянна, а меняются только катеты, тосумма квадратов медиан величина постоянная

222

2

222

1

2

2

bam

abm

В

А СВ1

А1

222

21 4

5cmm

2221

2

5

4mmc

В

А СВ1

А1

2222

1

222

2

aacm

acb

2122

3

4mca

Дано: ∆АВС, С=900

АА1=m1; BB1=m2.

Найти: АВ, ВС, АС.

21

22

3

4

3

1mcb

)4(15

4 22

21

2 mmb

2122

2 415

4mma

Дано: ∆АВС, С=900

АА1, ВВ1, СС1 - медианы

АА1=m1; BB1=m2, СС1=m3

Доказать, что m12+m2

2+m32

величина постоянная при постоянной гипотенузе.

В

А СВ1

А1

С1

Домашнее задание

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.

И.Кеплер

Тема: Свойства медиан в прямоугольном треугольнике

Пифагор Самосский

Ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.