第 三章 无限长单位脉冲响应（ IIR ）滤波器 的设计方法 ( 共 10 学时 )

3.1 IIR 滤波器设计（两种方法） 3.2 模拟滤波器到数滤波器转换 3.3 模拟低通到各种数字滤波器的频率

变换 3.4 数字低通到各种数字滤波器的频率

变换

本章重点 理解数字滤波器的基本概念、设计内容及方法 掌握脉冲响应不变法设计 IIR 滤波器 掌握双线性变换法设计 IIR 滤波器 了解 Butterworth 、 Chebyshev 低通滤波

器的特点 掌握从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器

的频率变换。 掌握从数字滤波器到各种数字滤波器的频率变

换

引言 1 、数字滤波器的定义 用有限精度算法实现的时域离散的线性时不

变系统，用于完成对信号的滤波处理 。

低频系列滤波

器

说明：1 ）许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、

预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。

2 ）数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。

3 ）数字滤波器——线性时不变系统，输入输出均为数字信号

2 分类 1 ）经典滤波器从功能上分可分为：低通滤波器（ LPAF/LPDF):Low pass analog/digital filter带通滤波器 (BPAF/BPDF):Bandpass analog/digital filter高通滤波器 (HPAF/HPDF):High pass analog/digital filter带阻滤波器 (BSAF/BSDF):Bandstop analog/digital filter全通滤波器 (ABAF/ASDF):All pass analog/digital filter 即它们每一种又可分为：数字 (Digital) 和模拟 (Analog) 滤波器。

模拟滤波器的理想幅频特性

c c

)( jH

LPAF

)( jH

c c

HPAF

)( jH

c c

BPAF

)( jH

1c2c1c2c

BSAF

数字滤波器的理想幅频特性

数字滤波器的理想幅频特性

)(e jH

o－ 2 － 2

)(e jH

o－ 2 － 2

)(e jH

o－ 2 － 2

)(e jH

o－ 2 － 2

(a )

(b )

(c)

(d )

低通

高通

带通

带阻

2 ）现代滤波器 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。

现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。

现代滤波器理论源于维纳在 40 年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。

本课程主要讲经典滤波器。

3 ）根据单位脉冲响应 h(n) 的时宽，即列长分为：

IIR ： Infinite impulse Response, 即无限长度单位脉冲响应滤波器

FIR ： Definite impulse Response, 即有限长度单位脉冲响应滤波器

N

i

ii

M

i

ii

zb

zazH

1

0

1)(系统函数为：

1

0

)()(N

n

nznhzH系统函数为：

4 ）根据实现的方法分 递归型， IIR 一般为递归型 非递归型，一般 FIR 除频率取样设计方

法外

3 、数字滤波器 DF 的性能要求（低通为例）

c st0

)( jeH1

11

2

π ω

通带 阻带过渡带

-- 阻带截止频率

c

st

-- 通带截止频率

cst - -- 过渡带

在通带内，幅度响应以最大误差 ±δ1 逼近于 1 ，即

1|)(|1 1 jeH

在阻带内，幅度响应以误差小于 δ2 而逼近于零，即

2|)(| jeH ωs≤|ω|≤π

|ω|≤ωp

技术指标：

技术指标：

2min

1min

max

1lg20

)(

1lg20

1

1lg20

)(

)(lg20

ja

ja

ja

eHAt

eH

eH

At

＝

来表示和最小阻带衰减通常用通带波动

理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近。

4 、 IIR 数字滤波器 DF 设计内容1 ）按任务要求确定 Filter 的性能指标；2 ）用 IIR 系统函数去逼近这一性能要求；

3 ）选择适当的运算结构实现这个系统函数；4 ）用软件还是用硬件实现

0

1

( )( )

( ) 1

Mk

kk

Nk

kk

b zY z

H zX z a z

, k ka b即为求滤波器的各系数：

5 IIR 数字滤波器的设计方法 IIR 滤波器的系统函数的设计就是确定各系数 ak, bk 或零极点 c

k ， dk 和 A ，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：

1. 借助模拟 filter 的设计方法

1 ）首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足

预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波

器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数

已经表格化了，设计起来既方便又准确。

2 ）将 DF 的技术指标转换成 AF 的技术指标；3 ）按转换后技术指标、设计模拟低通 filter的系统函数 ； 将 4 ）如果不是低通，则必须先将其转换成低通的技术指标。（本章主要讨论）

)(sH a )()( zHsH a

2. 最优化设计法第一步要选择一种最优准则，然后在此准则下 ， 确定系

统函数的系数。

例如，选择最小均方误差准则 , 最大误差最小准则等。它

是指在一组离散的频率｛ ωi｝ (i=1, 2, …, M) 上，所设

计出的实际频率响应幅度 |H(ejω)|与所要求的理想频率

响应幅度 |Hd (e jω)| 的均方误差 ε 最小。

M

i

jd

j ii eHeH1

2|])(||)([|

第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数

的系数 ak, bk 。一般是通过不断改变滤波器

系数 ak 、 bk ，分别计算 ε; 最后，找到使 ε

为最小时的一组系数 ak, bk ，从而完成设计。

这种设计需要进行大量的迭代运算，故离不

开计算机。所以最优化方法又称为计算机辅

助设计法。

3.1 根据模拟滤波器设计 IIR 滤波器常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（ Butterworth ）滤波器、切

比雪夫（ Chebyshev）滤波器、椭圆（ Ellipse ）滤波器、贝塞尔（ Bessel ）滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的 , 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。这样根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。

s 平面 z 平面，即模拟系统频响与数字系统的频响之间的映射

1 ） H(z) 的频率响应要与 Ha(s) 的频率响应保持一致，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆上。

2 ）因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1

( ) ( )aH s H z

设计思想：

设计方法：1 、脉冲响应不变法

2 、双线性变换法

-

3.1.1 脉冲响应不变法 1 、变换原理： 使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h(n)

逼近模拟滤波器的冲激响应 ,让 h(n)等于 的采样值，即

)(tha

)(tha

是采样周期T

nThnh a )()(

N

iTsi

n

nTsN

ii

n

nTsN

ii

n

nnTsN

ii

n

n

nTsN

ii

nTsN

iia

a

tsN

iia

N

i i

ia

a

aa

ze

AzeA

zeAnTuznTueAznhzH

znh

nTueAnTueAnThnh

th

tueAthss

AsH

sH

thLsH

i

i

ii

ii

i

11

0

1

1

1

11

11

11

1)(

)()()()()()(

)(

)()()()()(

)(

)()(,)(

)(

))(()(

器的系统函数为变换，即得到数字滤波取再对

进行采样：对

拉氏逆变换：

形式：可以表达为部分分式的模拟滤波器的系统函数

只有单阶极点时，当

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a aH s h t h nT h n H z

1

( )N

ka

k k

AH s

s s

1

1

( )1 k

Nk

s Tk

AH z

e z

系数相同： kA

极点： s 平面 z 平面ks s ks Tz e

总结：用冲激响应不变法设计 IIR 滤波器的一般流程：

1 、根据设计要求，设定指标。

2 、将数字滤波器性能指标变换为模拟滤波器的性能指标。

3 、设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数 Ha(s) 。

4 、将 Ha(s) 展成部分分式的并联形式，利用变换关系公式设计出 H(z) 。

习题 3.1

2215.15.0

15.15.0

15.115.0

13111

1

2

2

)(1

)(23

123

123

123

123

1)(

323

123

34

3)(

5.0

),(34

3)(

zezee

zee

zeze

zezeze

AzH

sssssH

T

zHss

sH

TT

N

iTSi

a

a

i

采样周期不数字系统函数以上模拟系统函数转换试用脉冲响应不变法将

已知模拟系统函数

2 、映射关系

n

n

n

nsTa

st

na

st

naa

n

aa

a

znhzH

enThdtenTtth

dtenTtthsH

nTtthth

th

)()(

)()()(

)()()(

)()()(

)(

由于：

其拉氏变换为：

＝

的拉氏变换入手，先从理想采样

，的虚部的幅角对应于，的实部的模对应于这表明

所以

又因为

平面的映射关系平面与变换存在的采样序列与的拉氏变换可见，理想采样

szsz

T

er

rezeeeez

zsznh

sHth

T

jTjTTjsT

aa

,

)(

)()(

)(

轴映射到单位圆。外，单位圆圆内，右半部分映射在的左半部分映射到单位

每一横带平面的整个平面上。（都将重叠地映射到

的横带部分，平面上每一条宽为，表明）

位圆外部平面的单右半平面映射为表明时，）当

位圆内部平面的单左半平面映射为表明时，）当

单位圆平面的平面的虚轴映射为表明时，）当

所以：

j

z

sT

zs

zs

zsr

T

24

1,r03

1,r02

,101

m

aaez

sTa

m

aa

aa

aa

mT

jsHsHzH

zs

ezsH

mT

jsHsH

sHth

sHth

sT )2

(T

1)((

)(

)2

(T

1)(

)()(

)()(

＝＝）＝

平面的映射。平面到的映射关系完成过做周期延拓，然后再经首先对

字滤波器时将模拟滤波器变换为数表明：脉冲响应不变法

原模拟信号

理想采样信号拉氏变换

拉氏变换

3 、混叠失真可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模

拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：

仅当 ( ) 02

sah j

T

1( )j

aH e H jT T

数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：

T

mjjH

TeH a

m

j 21

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小/ 2s

)T/j(Ha

0

2 2

将一个具有如下系统函数

的滤波器的频率响应。

解：

例3

1

1

1

)3)(1(

2)(

sssssH

TT ezezzH

311 1

1

1

1)(

2431

31

)(1

)(

zeeez

eezTTT

TT

模拟滤波器的频率响应为 :

4)3(

2

)3)(1(

2)(

)(

2 jjjsH

jHa

js

)( jH a

与采样间隔 T 有关 , 如图 T越小 ,衰减越大 ,混叠越小 ,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计 ?

243

3

)(1

)()()(

jTjTT

jTT

ez

j

eeeee

eeezHeH j

)( jeH

数字滤波器的频率响应为 :

jeH Hzf s 6

Hzf s 12Hzf s 24

总结

例如：低通和带通。波器只适用于带限的模拟滤，所以脉冲响应不变法）由于频率的混叠效应

拟滤波器的相同特性形状基本与模数字滤波器的频率响应

范围内，的范围内是好的，在此

在的单位圆上，逼近程度的虚轴映射到）稳定。平面的单位圆内，的极点也全在对应的

左半平面内，在是稳定的，它的极点都如果

3

)()(2

)(H(z)

)()1

TT

zHsH

zHz

ssH a

Matlab程序 %巴特沃思滤波器 [B,A]=butter(3,2*pi*1000,'s'); %[b,a] = butter(n,Wn,‘s’) ， n 为滤波器的阶数Wn 为边界频率，按

s 的降幂排列

%脉冲响应不变法 [num1,den1]=impinvar(B,A,4000);%4000为采样频率 [h1,w]=freqz(num1,den1); [B,A]=butter(3,2/0.00025,'s');%2/0.00025预畸变模拟滤波器边界频率 [num2,den2]=bilinear(B,A,4000);%双线性法 [h2,w]=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-'); grid;xlabel('频率 /Hz');ylabel('幅值 /dB');

3.1.2 双线性变换法当用冲激响应不变法设计 DF 时，不可避免的产生混叠失真。这是因为从s平面到 z平面不是一一映射关系。为了克服混叠失真，可采用双线性变换法。

在 S平面与 Z平面的映射关系中 ,我们知道， S平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个 Z平面 .因此，可先将整个 S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个 Z平面上。这样就使 S平面和 Z平面是一一映射关系。如下图所示：

1S

T2

TT

TSeZ 1

1 、变换原理

2 、映射关系

,0-

0-

),2

(

1

1

11

变换到经过将由

时，变换到经过由由上式可知，当

为任意常数

切变换实现的范围内，这可通过正

到轴上的平面的轴压缩到就是将

平面进行压缩，实际上由上图可知，将

TT

cT

tgc

TTjsj

s

T

2,

1

1

1

1

:

1

1

,

)2

(

1)

2(

1

1

1

22

22

22

22

11

22

221

22

221

1

1

1

11

11

11

11

11

11

11

11

取通常

关系

平面的关系平面和借助于

cz

zc

z

zcs

ez

zs

e

ec

ee

eec

ee

eecs

jsjsee

eec

Ttgjcj

jee

eec

Ttgc

Ts

Ts

Ts

TsTs

TsTs

Tj

Tj

Tj

Tj

Tj

Tj

Tj

Tj

Tj

Tj

Tj

Tj

设有一模拟滤波器抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数

21 1aH s s s

2T H z

解：由变换公式1

1

1

1

zs c

z

及 2c

T 2T ， ，可得

1

1

1

1

zs

z

1

1

1

1

za sz

H z H s

21 1

1 1

1

1 11

1 1z zz z

21

2

1

3

z

z

习题 3.4

平面的单位圆外。右半平面映射到这表明

子，则有时，上式的分母小于分）当

平面的单位圆内。左半平面映射到这表明

子，则有时，上式的分母大于分）当平面的单位圆上。

轴映射平面的这就是说时，）当

平面的映射关系平面与所以

所以

求解得：对

zsz

zsz

z

jsz

zs

C

Cz

jc

jc

sc

scz

zz

zcs

;1

03

;1

02

,101

)(

)(

,

1

1

22

22

因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

)2

(tan2

)2

tan(2

)2

tan(2

)(

)(2

1

12

,

1

12

1

222

222

1

1

TT

T

j

eee

eee

T

e

e

Tjs

ezjs

z

z

Ts

jjj

jjj

j

j

j

＝

代入双线性变换公式

2 、数字角频率和模拟角频率之间的变换关系

映射关系如图：，因此不产生混叠＝时，当

。平面的单位圆的下半部被映射到平面的负虚轴即从时，从。平面的单位圆的上半部被映射到平面的正虚轴即从时，从）

所以映射关系如下：

z

s

z

s

-0-0)2

001

4 、频率的非线性失真 从以上 分析可见，虽然双线性变换法避免了混叠失真，却带来了非线性的频率失真。即在零频附近， Ω 与 ω 之间的变换关系近似于线性，随着 Ω 的增加， 表现出严重 非线性 。因此， DF 的幅频响应 相对于 AF 的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。

双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

5、频率的预畸变 分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变，这种频率的畸变可以通过频率的预畸变来加以校正。

给定数字滤波器的截止频率 ω1 ，则

按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，

即可得到 为截止频率的数字滤波器

11 2

c tg

1

1

5 、设计流程 1 、根据要求，设定指标。 2 、将各分段频率临界点预畸。 3 、将数字滤波器性能指标转换为中间模拟滤

波器的性能指标。 4 、根据设计要求，选定双线性变换常数 C。 5、设计中间模拟滤波器的系统函数 Ha(s) 。 6 、将 代入 Ha(s) 中，得到数字滤波

器系统函数。

1

1

1

11

1

1( ) ( )

1a azs c

z

zH z H s H c

z

1

1

1

1

z

zcs

设模拟系统函数的表达式为

NN

NN

N

k

kk

N

k

kk

z

zcs

a

NN

NN

N

k

kk

N

k

kk

a

zbzbzb

zazazaa

zb

zazH

TCsHzH

sBsBsBB

sAsAsAA

sB

sAsH

22

11

22

110

0

0

1

1

2210

2110

0

0

1)(

2,|)()(

)(

1

1

则

利用

表 6.4.1 系数关系表

例设有一模拟滤波器抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数

21 1aH s s s

2T H z

2

21

2

21

22

11

22

110

22102

2201

22102

2201

22100

2210

210210

2

3

21

32

1

31

32

31

1)(

3

2

3

112/)2(;0

3

22/)22(

3

1/)2(

3

2/)22(;

3

1/)(;3

1,1,1,0,0,1,12

,2

1

1)(:

z

zz

z

zz

zbzbzb

zazazaazH

ACBCBBbACBBb

ACACAAa

ACAAaACACAAaCBCBBA

BBBAAAT

Ck

sssH

NN

NN

a

解

例试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图所示的 RC低通滤波器转换成数字滤波器。

ssH

RC

RCs

RC

sCR

sCjHsH

CjR

CjjH

a

sjaa

a

＝，＝令

为滤波器的频率响应函数解模拟

)(1

1

1

1

1

)()(

1

1

)(

RC

利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数 H1(z) 为

1 1( )

1 TH z

e z

利用双线性变换法转换，数字滤波器的

系统函数 H2(z) 为

1

1

11

2 12 121

1 2

(1 )( ) ( )

1

2,

2 2

a zs

T z

zH z H s

a z

T T

T T

H1(z) 和 H2(z) 的网络结构分别如图 (a),(b)所示。

数字滤波器 H1(z) 和 H2(z) 的幅频特性

比较结果 1 、脉冲响应不变法随频率增加，与原模拟滤

波器的幅度特征差别大，这是由于频率的混叠现象引起的。但是频率是线性变换的，所以曲线形状与原模拟滤波器很相近。

2 、双线性变换法的曲线形状偏离原模拟滤波器的幅度特性曲线的形状较大，这是由于变换算法的非线性造成的， ω小时，非线性的影响少一些，非线性的影响小，所以适合于片断常数滤波器的设计。故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。

3.2 常用的模拟低通滤波器特性 1 、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的

系统函数

2( )aH j

( )aH s

的幅频特性。是

的频响，是的系统函数，是其中

＝

AF)(

AF)(AF)(

)()()()(

)()()(2

jH

jHsH

sHsHjHjH

jHjHjH

a

aa

jsaaaa

aaa

)()(* jHjH aa

。的极点一定在左半平面是稳定的，所以）由于

没有极点。）稳定的系统在虚轴上阶的。虚轴上的零点一定是二

如

与虚轴。

平面的实轴于的零极点是成对地对称和所以

的零点。就是的零点，则是的极点，如果就是的极点，那么是）如果

的零极点分布特点、

对称对称

)(4

3

)2

,

,,

)-()(

)-(-)(

)-(-)(1

)(2

4433

22221111

00

11

sHfilter

jjaa

jajajaja

ssHsH

sHssHs

sHSsHS

sH

a

aa

aa

aa

a

2阶

2阶

例 设已知 求对应的

,1

2)(

4

222

jHA a

sH a

)

2

1)(

2

1)(

2

1)(

2

1(

22

1

2

1

2

)()(

4

2

4

2

2

js

js

js

js

ss

s

s

jHsHsH

j

s

ajsaa

零极点分布

2

1 j

2

1 j

2

1 j

2

1 j

22

取左半平面的零极点构成 Ha(s)

)2

1)(

2

1(

2)(

js

js

ssH a

3.2.1 巴特沃思滤波器

2

1)(

2

1)(

N

1

1)(

1

2

2

22

＝所以

＝时，＝当

为通带的截止频率阶数，为整数，称为滤波器的式中，

、幅度平方函数

ca

cac

c

N

c

a

jH

jH

jj

jHA

2)( jH a

2/1

c

dB32

1log10

2

1

不管 N 为多少，都通过 : 3dB 衰减点

通带 : 使信号通过的频带 阻带：抑制噪声通过的频带 过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 Ωc ：通带边界频率。

过渡带为零， 阻带 |H(jΩ)|=0 通带内幅度 |H(jΩ)|=const. ， H(jΩ) 的相位是线性的。

理想滤波器

3 、幅度函数特点

近似性越好。值越大，通带和阻带的所以

值越大时当

值越大时当

，＝时，＝当

＝时，＝当

N

0)(,1,

1)(,0,

32

1)(

1)(0

)(1

1)(

22

c

22

c

2

c

2

2

2

jHN

jHN

dBjH

jH

jH

a

N

c

a

N

c

a

a

N

c

a

4 、幅度平方特性的极点分布

圆周上。

分布在个极点，它们等角度地有的幅度平方函数可见，巴特沃思滤波器

其极点为：

c

cN

p

N

c

aajsa

s

js

js

sHsHjH

2N

)()1(

)(1

1)()()(

2

1

2

2

/

c

j

cj

c

j

c

j

cj

c

j

c

kj

cN

kj

c

jNkj

cN

p

eseses

eseses

Nkee

eejs

3

7

62

53

5

4

3

4

323

2

1

)6

12

2

1()

2

12

2

1(

22

1)12(2

1

,,

,,

2......2,1,

)()1(

3N

时例：

5、系统函数

N

kk

a

N

kj

cp

a

ss

ksH

Nkes

sH

1

0

)2

12

2

1(

)()(

,....2,1,

N

)(

则

即：

个这样极点有的极点取左半平面的极点为因为滤波器是稳定的，

设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：

(1) 通带截止频率： Ωp=0.2π；通带最大衰减： Ap=7 dB 。

(2) 阻带截止频率： Ωs=0.3π；阻带最小衰减： As=16dB 。

参数的设计，设计的实质是这两个和谁未知？

幅度平方函数要找出极点求解：先明确求谁？

c

N

c

a

a

jH

sH

N

)(1

1)(

-)(

2

2

的最小整数取大于等于

解方程组

）（阻带最小衰减：

）（通带最大衰减：

N

379.2

3.02.0

lg2

110110

lg

lg

110110

lg

110

110)(

2-----)/(1

1lg10

1----)/(1

1lg10

6.1

7.0

10/

10/

10/

10/

2

2

N

N

A

A

s

p

A

A

A

AN

s

p

Ncs

s

Ncp

p

s

p

s

p

5122.0110

3.0

)/(1

1lg10

4985.0110

2.0

)/(1

1lg10

6 6.1

2

6 7.0

2

c

Ncs

s

c

Ncp

p

Q

A

Q

A

根据

解得：

根据

现在在上面两个数之间可任选 Ωc 值。现选

Ωc=0.5 ，这样就必须设计一个 N=3 和 Ωc=0.5 的

巴特沃思滤波器，模拟滤波器 Ha(s) 的设计类似

于前例。最后可得

)25.05.0)(5.0(

125.0)(

2

ssssHa

表 6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数

))()((

)(

,,1,

,,1,

6,....2,1,

1

1)()(

)1

(1

1)()(

1

,28318.6f3.7

321

0

3

7

62

53

5

4

3

4

323

2

1

6

12

2

1

6

3*2

22

s

ssssss

ksH

eseses

eseses

keS

ssHsH

jj

jHA

kHzf

kHz

a

jj

j

jj

j

kj

k

aa

c

有：取左半轴的三个极点则

其极点为

解：

波器，边界频率阶巴特沃思数字低通滤一个三用脉冲响应不变法设计设采样频率习题

s

TsTsTs

a

jj

j

a

fTze

A

ze

A

ze

AzH

ss

A

ss

A

ss

A

sssssssH

k

eee

k

sss

kH

/1111

)(

))()((

1)(

)()()(1)0(

13

12

11

3

3

2

2

1

1

321

0

3

4

3

20

321

0

321

3.2.2 切比雪夫滤波器巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变换而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济。在同样通带、 阻带性能要求下，就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。

切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带

中（通带或阻带）具有这种等波纹特性。幅

度特性在通带中是等波纹的，在阻带中是单

调的，称为切比雪夫Ⅰ型。幅度特性在通带

内是单调下降的，在阻带内是等波纹的，称

为切比雪夫Ⅱ型。由应用的要求来确定采用

哪种形式的切比雪夫滤波器。这里仅介绍切

比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性。

阶切比雪夫多项式：为滤波器的阶数

。值越大，通带波动越大表示通带波纹的大小，

带宽一定为：为通带截止频率，不

、幅度平方函数

Nx

dB

V

jH

c

cN

a

)(V

N

:10

3

1

1)(

1

N

22

2

2)(

1),(

1),coshcosh(

,1),arccoscos(

)(1

xx

N

eexch

xxNchch

xxNar

xxN

xV

＝双曲余弦函数

，或表示为

，单调增加

等波纹幅度特征

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

N VN(x)

0123456

1x

2x2-14x3-3x8x4-8x2+1

16x5-20x3+5x32x6-48x4+18x2-1

0

111

11)(

11)0(

1)0(0)1(

)(1

1)(

2

2

2

2

22

降趋向时，通带外迅速单调下

间等波纹起伏＋

和时，通带内在

＋＝时，＝

＋＝为偶数，

＝为奇数，时，当

、幅度函数的特点

c

c

ac

a

a

cN

a

jH

jHN

jHN

V

jH

3 、性能指标

2

max max2

minmin

max min 2

2 2 0.110

2 10

( ) ( )10lg 20lg

( )( )

1( ) 1, ( )

1

10lg(1 ) 10 1 10 1

10 1p

c

a a

aa

a a

Chebyshev N

dB

H j H j

H jH j

H j H j

滤波器特性有三个参数 ， 及

定义通带波纹（以 表示）

4 、 N阶特性 阶数 N等于通带内最大和最小值个数的总和。可由幅频特性中看出 N阶数。且当：N=奇数，则Ω=0处有一最大值，N=偶数，则Ω=0处有一最小值。

N阶公式 N值是根据阻带的边界条件来确定的

)(

1)(

11

,1

)

)(

1)(

11

1)(

11)()(1

)(1

1)

1

21

22

1

21

21

22

2

c

r

rr

c

r

r

rc

r

c

rN

c

r

c

rN

r

ch

Ach

NA

A

ch

Ach

N

ANchchC

CA

（

（

切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的 A2(Ω)曲线对比

3.3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换

实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通和带阻等类型。设计各种类型的数字滤波器通常可以把一个归一化的原型模拟低通滤波器经模拟频带变换成所需类型的模拟滤波器，再通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为所需类型的数字滤波器。如图所示：

归一化模拟低通

模拟低通、高通、带通、带阻

数字低通、高通、带通、带阻

模拟 - 模拟频带变换

双线性变换或脉冲响应不变

法

模拟 - 模拟 - 数字

归一化模拟低通

数字低通、高通、带通、带阻

模拟 - 数字频带变换

模拟 - 数字

1c

1c

设计 IIR 滤波器的两种频率变换法

3.3.1 低通变换（模拟低通 -数字低通） 首先将数字低通滤波器的性能要求转换

为与之相对应的模拟低通滤波器的性能要求，根据此性能要求设计模拟低通滤波器。然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法，将此模拟低通滤波器 Ha(s) 数字化为所需的数字低通滤波器。

32

321

)()(2)(21

1)(

221

1

1

13

4(250

1

ccc

a

c

a

c

c

s

ssssH

ssss

H

kHzfdB

kHzfsT

代替其归一化频率，得然后以

沃思滤波器时，归一化的三阶巴特当边界频率为其

器一个三阶巴特沃思滤波用脉冲响应不变法设计），采样频率例：设采样周期

）脉冲响应不变换法

)207.01905.01

554.0571.1

2079.01

57.1(

1)(

5.0/221

)3/(

1

)3/(

1

/)(

1

3/

1

3/

1)(

2/)31(

3/

2/)31(

3/)(

21

1

1

12/)31(

6/

12/)31(

6/

1

12/)31(

6/

12/)31(

6/

1

6/6/

zz

z

zTzH

ffTfZe

eT

Ze

eT

Ze

TZH

Tze

e

ze

e

zezH

js

e

js

e

ssH

sccc

j

jc

j

jcC

cc

j

jc

Tj

jc

Tc

c

jc

c

jc

c

ca

ccc

ccc

代入，角频率只将模拟角频率和数字

展开器的计算。按部分分式三阶巴特沃思模拟滤波

可见， H(z) 与采样周期 T有关， T越小， H(z)的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出 H(z)后，再乘以因子T, 使 H(z)只与 fc和 fs 的相对值 有关，而与采样频率 fs 无直接关系。例如， 与 的数字

滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。

最后得：

sc ff /

21

1

1 2079.01905.01

5541.0571.1

2079.01

571.1)(

zz

z

zZH

KHzfKHzf cs 10,40 KHzfKHzf cs 1,4

2

31

1

12

32

3

)1(

2

1)(H)(

)/()/(2)/(21

1)(H

)2

(2

5.02

Hz1,4)2

1

1

z

zszH

ssss

tgT

Tf

fkHzf

z

z

Ts

a

ccca

cc

cc

cs

的关系进行预畸变利用

器三阶巴特沃思低通滤波双线性变换法设计一个

采用双线性法

Matlab程序 %巴特沃思滤波器 [B,A]=butter(3,2*pi*1000,'s'); %[b,a] = butter(n,Wn,‘s’) ， n 为滤波器的阶数Wn 为边界频率，按 s 的降幂排列

%脉冲响应不变法 [num1,den1]=impinvar(B,A,4000);%4000为采样频率 [h1,w]=freqz(num1,den1); [B,A]=butter(3,2/0.00025,‘s’);％ 2/0.00025预畸变模拟滤波器边界频率 [num2,den2]=bilinear(B,A,4000);%双线性法 [h2,w]=freq(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-'); grid;xlabel('频率 /Hz');ylabel('幅值 /dB');

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ƵÂÊ/Hz

·ùÖµ

频率 /Hz

三阶巴特沃兹滤波器的频率响应

幅 度/

dB

上图为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率 处形成一个三阶传输零点 , 这个三阶零点正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。因此 ,双线性变换法使过渡带变窄 ,对频率的选择性改善 , 而脉冲响应不变法存在混淆 ,且没有传输零点。

,1Z

3.3.2 高通变换（模拟低通 -数字高通）

fs

ws

fpwp

1Ap

Asf

w

|H(ejw)|通带截止频率： fp(wp)又称为通带下限频率。

通带衰减： Ap

阻带截止频率： fs(ws)又称阻带上限截止频率。

阻带衰减： As

1 、高通滤波器的性能指标

)2

(2

)2

(2

)(

)(

21

1

2

,

1

1

2

2

222

222

1

1

ctgT

ctgj

T

eee

eeeT

e

eTj

ezjs

z

zTs

s

jjj

jjj

j

j

j

令

即

用其倒数代替的方法是将双线性变换中模拟高通滤波器模拟低通滤波器变换至

、变换方法

由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件

映射到 即 映射到 即

图 1 高通变换频率关系 这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通 , 如图 2 。

22

ctg

T

0 1z

1z0

1.0

1.0

0

所谓高通 DF ，并不是 ω 高到 ，由于数字频域存在 折叠频 率 ，对于实数响应的数字滤波器， 部分只是 的镜象部分，因此有效的数字域仅是

，高通也仅指这一段的高端，即到 为止的部分。 高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型

预畸的临界频率时，应采用 , 不必加负

号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。

2~由

0~由 ~0

22k

k ctgT

应当明确：

1000Hz19dB,

317Hz0.5dB

500Hz,4005

采样频率为少为的频带内至小于的波动，阻带内衰减在通带有～器，它的通带为、设计一数字高通滤波例

400 500 Hz

-0.5dB

-19dB

317

3,)(

1)(

11

19)(H

120lgAt

0.122

5.011/

120lg

)(

)(lg20

317,1000,400

)2

2(

2

T),

2

2(

2

T)

2(

2

T

1

21

2

2

min

max

1

11c

Nch

Hch

N

dB

eH

eH

ffHzf

f

fctg

f

fctgctg

c

r

ra

ra

j

j

rs

s

rr

s

根据

＝解得

＝＝

的截止频率为预畸变模拟低通滤波器

321

1

1

1

22

453.0524.1974.11

)1(0159.0)(

1

1

2)(

)(1

1)(

zzz

zzH

z

zTssH

V

jH

a

cN

a

器的系统函数得到数字切比雪夫滤波

，然后将关系式

波器系统函数进一步求出模拟低通滤

义：根据切比雪夫滤波器定

Matlab程序 wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000)); wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000)); [N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s'); [B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'hign','s'); [num,den]=bilinear(B,A,1000); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid; xlabel('频率 /Hz');ylabel('幅度 /Hz');

3.3.3 带通变换（模拟低通 -数字带通） 1 、带通滤波器的性能指标

fs1

ws1

fp1wp1

1Ap

As

f

w

|H(ejw)|通带截止频率：上限截止频率 fp2(wp2) ，下限截止频率 fp1(wp1) 。

通带波纹： Ap

阻带截止频率：上限截止频率 fs2(ws2) ，下限截止频率 fs1(ws1) 。

阻带衰减： As

fp2wp2

fs2

ws2

2 、变换关系 满足变换的双线性变换为

两端＝，＝映射在＝上＝，映射在＝

映射关系如图，可看出

令

0

0

sin

coscos

,

1

1cos2

0

0

20

2

jezjs

z

zzs

H(ejω)

1

101

21

210

2

20

1

10

21

21

2

202

1

101

21

sin

coscos

sinsin

)sin(cos

sin

coscos

sin

coscos

-

sin

coscos,

sin

coscos

c

＝

＝是一对镜像和由于

＝＝

作为设计要求，所以、边界频率一般只给出上下边带的在设计带通滤波器时，

0 为中心频率

01

01

0)cos1(2)1(

1

)cos1(2)1(

1

cos21

1

1cos2

2

2

2

20

2

20

时，时，

zs

稳定性证明：2

r

r

rr

r

rr

r

rr

z

z

c

c

由此证明了， S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换，

Matlab 程序 w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400)); w2=2*400*tan(2*pi*110/(2*400)); wr=2*400*tan(2*pi*120/(2*400)); w0=2*400*tan(2*pi*80/(2*400)); [N,wn]=buttord([w1 w2],[w0 wr],3,10,'s'); [B,A]=butter(N,wn,'s'); [num,den]=bilinear(B,A,400); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*200; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([40,160,-30,10]); grid; xlabel('频率 /kHz') ylabel('幅度 /dB')

巴特沃斯带通滤波器

40 60 80 100 120 140 160-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

ƵÂÊ/kHz

·ù¶È/dB

频率 /kHz

幅 度 / dB

3.3.4 带阻变换 带阻滤波器的性能指标

fs1

ws1

fp1wp1

1Ap

As

f

w

|H(ejw)|通带截止频率：上限截止频率 fp2(wp2) ，下限截止频率 fp1(wp1) 。

通带波纹： Ap

阻带截止频率：上限截止频率 fs2(ws2) ，下限截止频率 fs1(ws1) 。

阻带衰减： As

fp2wp2

fs2

ws2

21

210

0

0

002

2

02

2

sinsin

)sin(cos,

coscos

sin

cos2cos2

sin2

)cos2(

)(

1cos2

1

,

1cos2

1

＝式中

令

j

eee

eee

ee

ej

ezsj

zz

zs

jjj

jjj

jj

j

j

低通函数到带阻函数变换

其变换关系曲线如图所示，其映射关系为 : Ω=0→ω=0, ω=π Ω=±∞→ω=ω0 也就是说，低通滤波器的通带（ Ω=0 附近）映射到带阻滤波器的阻带范围之外（ ω=0, π），低通滤波器的阻带（ Ω=±∞）映射到带阻滤波器的阻带上（ ω=ω0 附近）。

程序w1=95/500;w2=105/500;[B,A]=butter(1,[w1, w2],'stop');[h,w]=freqz(B,A);f=w/pi*500;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([50,150,-30,10]);grid;

xlabel(' 频率 /Hz') ylabel(' 幅度 /dB')

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

ƵÂÊ/Hz

·ù¶È/dB

频率 /Hz

巴特沃斯带阻滤波器

幅度

/dB

总结 1 、性能指标

fs

ws

fpwp

δ2

1-δ11 Ap

Asf

w

|H(ejw)|LP

fs

ws

fpwp

1Ap

Asf

w

|H(ejw)|

fs1

ws1

fp1wp1

1Ap

As

|H(ejw)|

fp2wp2

fs2

ws2

fs1

ws1fp1wp1

1Ap

As

f

w

|H(ejw)

fp2wp2

fs2

ws2

HP

BP BS

由归一化模拟低通滤波器原型到其它类型数字滤波器的转换

低通—低通

低通—高通

低通—带通

低通—带阻

css /)

2(

T

22

21

cc

cccc

tg

Tf

＝、双线性法

，、脉冲响应不变法

1

1

1

1

2

z

zTs ).

2(

2).....

2(

2c

cc

c ctgT

ctgT

1

1cos22

02

z

zzs

1

10

sin

coscos

c

1cos2

1

02

2

zz

zs

02

2

coscos

sin

c

2 、变换关系

低通—高通

ω

Ω

低通—带阻低通—带通

c低通—低通

3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换

前言： 1 、变换方法 从低通数字滤波器到各种类型数字滤波

器的频率变换（也称为 Z平面变换法）， 这种变换方法是直接在数字域上进行的。

数字低通 数字低通、高通、带通、带阻

数字域频带变换

2 、变换函数 如果已经有一个数字滤波器低通原型的

系统函数 Hp(z), 可以通过一个变换来设计其它各种不同类型的数字滤波器的系统函数 H(z).这种变换是一种两个 z平面间和映射变换。

3 、变换关系函数表示式设变换前 z平面定义为 u平面，变换后 z平面仍为 z 平面。其变换关系用函数表示：

注：此中变量选用 u-1 及 z-1, 而不是用 u 和 z，是因为系统函数中 z和 u 都是以负幂形式出现的。

)(

11

11)()(

)(

zGup uHzH

zGu

则：

3 、映射关系要求：（ 1 ）变换以后的系统函数应保持稳定性

不变。所以要求 u 的单位圆内部必须对应 z的单位圆内部。

（ 2) 两个函数的频响要满足一定的变换要求。因而频率轴应满足一定的对应关系，即 z的单位圆必须要映射到 u 的单位圆上。

轭的倒数。它的零点是其极点的共

即在单位圆内是它的极点，其中，

示为。任何全通函数都可表这样的函数是全通函数

）的相位函数，是其中

）则：

单位圆，表示

；单位圆，表示若

,1

1)(

)(Garg

1)(G(G)(

)(G(G

:

:

11

*11

)(

ii

N

i i

i

jw

jwjw

wjjwjwj

jwjw

jj

z

zzG

e

eew

eeee

ezze

euue

补充：

1 、全通函数的定义：

如果系统的幅频响应 |H(jω)|=K对所有的 ω均为常数，则称该系统为全通系统，其相应的系统函数称为全通函数。

全通系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点互为共轭倒数，其零 -极点分布如图所示

2 、全通函数的特征当ω由 0变到 π时， N阶全通 G(z-1) 的幅角 arg[G(e-jω)]=-θ的变化量一定是 Nπ。反过来，当由 0→π时，如果 G(z-1) 的幅角变化为 Nπ，则 G(z-1) 一定是 N阶全通。 N  是全通函数的零点或者极点的阶数 。

j

ii

ikjH )(;)(

3.4.1 数字低通 -数字低通

p

p

1 、 LP→LP 的变换Hp(ejθ) 和 H(ejω) 都是低通函数，只是截止频率互不相同（或低通滤波器的带宽不同），如图

1)1(,1)1(

11

1010)2(

1

)()1(

00

)()

2

GG

uzw

uzw

N

Nw

w

eHeH jwjp

即点的点时，

点的点时，

则全通函数的阶数必须的性质变化量为根据全通函数

从从它们仅截止频率不同

也是低通数字滤波器低通数字滤波器（

、映射函数：

映射

映射

）jwj ee (G

1

111

11

*11

1)(

1

1)(

z

zzGu

a

z

zzG

N

i i

i

低通的映射函数为：低通

为实数，且即”号，“应取

根据全通函数公式：

＊

，等式不成立＋

＋

）

系统极点在单位圆内为实数，又因为稳定的

）

取正？）且为实数？及补充：为什么

aaa

aG

aaa

aG

z

zu

a

aaa

aG

aaa

aG

z

zu

z

zu

--1111

1-)1(

-1-111

1-)1(

1-2

1

11

1)1(

11

1)1(

11

(1

1

1

11

1

11

1

11

cos)1(2

sin)1(

,)

2sin(

)2

sin(

)(

)(

1

,1

,

3

2

21

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

)(

)(

tgw

w

w

eee

eee

e

eea

aeaeee

ee

ezeu

wj

wj

wj

wj

wj

wj

j

jjw

jwjjjw

jwj

jwj

解得：

求出

率变换关系可以找出这个变换的频将

、频率变换关系

2

1

0

2

1

12

2

2

低通 -- 低通变换特性

宽代表频率扩张，带宽变时，当窄代表频率压缩，带宽变时，当

其余为非线性呈线性关系，，即＝时，＝当

讨论：

,0

,0

0

)jL eH（

0

2

1

止带压缩）

（通带扩展

2

1

3.4.2 数字低通—数字高通 1 、变换方法 通过将单位圆旋转 180 。，能使低通数字滤波

器变到高通数字滤波器。

p

p

3.4.3 数字低通—数字带通 1 、幅度响应（数字低通—数字带通）p

p

总结

本章学习重点 1 、如何确定滤波器的设计指标。 2 、设计 IIR LDF 两种变换法（模拟频率

变换法，数字频率变换法）。 3 、利用模拟滤波器来设计数字滤波器的

两种方法（冲激不变法、双线性变换法）。

重点习题 3.1 ， 3.4 ， 3.6， 3.7， 3.8 作业 3.7（两种方法设计即用分别用脉

冲响应不变法设计三阶巴特沃思数字滤波器）