第八章 相量法 第八章 相量法

内容： 复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式

8. 1 复数8. 1 复数

一、复数的几种形式：

1 、代数形式： F = a + j b

a=Re[ F ] b=Im [ F ]

2 、三角形式： F=|F| (cosθ+jsinθ)+1

a

b F

0θ

+j

3 、指数形式： F=|F|ej

欧拉公式： sinjcose j

极坐标形式： F=|F|

一、复数的运算：

则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)

(1) 加减运算——直角坐标

若 F1=a1+jb1 ， F2=a2+jb2

加减法可用图解法。—平行四边形法

(2) 乘除运算——极坐标（指数形式）

若 F1=|F1| 1 ，若 F2=|F2| 2

212

12

2

1

22

11

2

11

θθ |F|

|F|

e|F|

e|F|

θ |F|

θ |F|

F

Fθj

θj

除法：模相除，角相减。

乘法：模相乘，角相加。

则 :

F1

F2

Re

Im

O

F1+ F2

F1- F2

21212121212121 FFeFFeFeFFF )(jjj

例 1. ?2510475

)226.4063.9()657.341.3(2510475 jj

569.047.12 j61.248.12

解 :

例 2. ?5j20

j6)(4 j9)(17 35 220

解：上式 2.126j2.180

04.1462.20

3.56211.79.2724.19

16.70728.62.126j2.180

329.6j238.22.126j2.180 36522551325182 ..j.

(3) 旋转因子： 复数 ej=cos +jsin =1∠

A• ej 相当于 A 逆时针旋转一个角度，而模不变。

8. 2 正弦量8. 2 正弦量

一 . 正弦量：按正弦规律变化的量。瞬时值表达式： i(t)=Imsin(t+)i

+ _u

波形：

t

i

O/

T

周期 T (period) 和频率 f (frequency) :

频率 f ：每秒重复变化的次数。

周期 T ：重复变化一次所需的时间。

f =1/T

单位： Hz ，赫 ( 兹 )

单位： s ，秒

(1) 幅值 (amplitude) ( 振幅、 最大值 )Im ：反映正弦量变化幅度的大小。

角角角 (angular frequency) 角角角角角角角角角角角反映正弦量变化快慢。

二、正弦量的三要素：

t

i

O/

T

(3) 初相位 (initial phase angle) 角角角角角角角角角角角角角

(t+) 表示正弦量随时间变化的进程 , 称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。 Im

2 t

Tf 22 单位： rad/s ，弧度 / 秒

i(t)=Imsin(t+)

峰 - 峰值： 2 Im

同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。

t

i

O

=0 =/2 =-/2

一般规定： | | 。

一个电路中的许多相关的正弦量，计时零点必须相同。

三、正弦量的性质：

正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，结果仍为一个同频率的正弦量。

四、周期量的有效值

周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。用大写字母表示。

T

ttiT

I0

2def

d)(1

Ttti

TI

0

2def

d)(1

物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R ，在一周期 T 内吸收的电能，等于一直流电流 I 流过 R , 在时间 T

内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。

均方根值

正弦电流、电压的有效值

设 i(t)=Imsin( t+ )

tΨtIT

IT

d ) (sin1

0

22m

TttΨt

tΨtTTT

2

1

2

1d

2

) (2cos1d ) (sin

000

2

II

IIT

IT

I

2

707.022

1

m

mm2

m

) sin(2) sin()( m ΨtIΨtIti

T

ttiT

I0

2def

d)(1

Ttti

TI

0

2def

d)(1

同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：

UUUU 2 2

1mm 或

若一交流电压有效值为 U=220V ，则其最大值为 Um311V ；U=380V ， Um537V 。

工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。

测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。

* 注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I,i m

五、同频率正弦量的相位差 (phase difference) 。设 u(t)=Umsin(t+u), i(t)=Imsin(t+i)

则 相位差 即相位角之差：= (t+u)- (t+i)= u-i

>0 ， u 领先 ( 超前 )I 角，或 i 落后 ( 滞后 ) u 角(u 比 i 先到达最大值 ) ；

<0 ， i 领先 ( 超前 ) u 角，或 u 落后 ( 滞后 ) i 角 (i 比 u 先到达最大值 ) 。

t

u, iu

i

u i

O

恰好等于初相位之差

=0 ， 同相：

= (180o ) ，反相：

规定： || (180°) 。

特殊相位关系：

t

u, iu

i

O

t

u, iu

iO

= 角 u 领先 i , 不说 u 落后 i 3/2 ； i 落后 u , 不说 i 领先 u 3/

2 。

t

u, iu

i

O

同样可比较两个电压或两个电流的相位差。

8. 3 相量法的基础8. 3 相量法的基础

正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应统一频率。

相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。

加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 ( 强调它与正弦量的联系 ) ，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。

) sin(2)( ΨIIΨtωIti

) sin(2)( θUUθtωUtu

为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII

正弦量的相量表示 :相量的模表示正弦量的有效值

相量的幅角表示正弦量的初相位

同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：

1 、相量：

已知例 1.

试用相量表示 i, u .

)V6014t311.1sin(3A)30314sin(4.141

o

o

uti

解：

V60220

A30100o

o

U

I

例 2.

试写出电流的瞬时值表达式。

解： A)15314sin(250 ti

. 50Hz A,1550

fI 已知

2 、相量图 ( 相量和复数一样可以在平面上用向量表示 ) ：

IItωIti ) sin(2)(

θUUθtωUtu )sin(2)(

U

I

我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义几何意义：：

ej t 为一模为 1 、幅角为 t 的相量。随 t 的增加，模不变，而幅角与 t成正比，可视其为一旋转因子，当 t从 0

~T 时，相量旋转一周回到初始位置， t 从 0~2 。

。电流

投影即为正弦其旋转一周在虚轴上的的旋转相量。为初始角度是模为

)tsin(Ii

Ψ

,IIeeeIeI ) Ψtj(tjΨjtj

2

2222

3 、 相量运算(1) 同频率正弦量相加减

故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。i1 i2 = i3

321 III

这实际上是一种变换思想

)2Im() sin(2)(

)2Im() sin(2)(

j2222

j1111

t

t

eUΨtUtu

eUΨtUtu

))(2Im()22Im(

)2Im()2Im()()( )(

j21

j2

j1

j2

j121

ttt

tt

eUUeUeU

eUeUtututu

U21 UUU 可得其相量关系为：

例．V )60314sin(24)(

V )30314sin(26)(o

2

1

ttu

ttu

同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。

同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。

V604

V 306o

2

o1

U

U

V )9.41314sin(264.9)()()( o21 ttututu

60430621 UUU

Re

Im

30

1U9.41

U

Re

Im

9.4130

1U

60

2UU

首尾相

接

46.32319.5 jj 46.619.7 j V 9.4164.9 o

60

2U

(2) . 正弦量的微分，积分运算

)sin(2 ii IItIi

)2sin( 2

)cos( 2

)sin(2

i

i

i

tI

tI

tIdt

d

dt

di

)2sin(2

)cos(2

)dsin(2d

i

i

i

tωI

tωI

ttIti

IjIdt

dii

2

j

IIidt i

2

微分运算 : 积分运算 :

Ijdt

Id

相量微分 : 相量积分 :

j

IdtI

（ 3 ）、 相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解 ( 微分方程的特解 )

例 )sin()( m uψtUtu

一阶常系数线性微分方程

自由分量 (齐次方程解 ) ： Ae-R/L t

强制分量 ( 特解 ) ： Imsin(t+i)

)sin()()(

)cos()sin()sin(

2m

2m

mmm

θψtωLIωRI

ψtωLIωψtωRIψtωU

i

iiu

Ri(t)

u(t) L+

-

22

mm

2m

2mm )()(

LωR

UILIωRIU

2

)()()( dt

tdiLtRitu 解 :

用相量法求：

)arctgsin(2

222 R

LΨt

LωR

Ui u

t

tiLtRitu

d

)(d)()(

j ILIRU

)arctgsin(2

222 R

LΨt

LωR

Ui u

22 )( LωR

R

L

Ri(t)

u(t) L+

-取相量

LR

UI

j

RL

arctgLR

ΨU u

222 ω

R

Larctg

iu

小结小结① 正弦量 相量

时域 频域

② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。

③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。

N线性

N线性

1

2

非线性

不适用

正弦波形图 相量图

8. 4 电路定律的相量形式8. 4 电路定律的相量形式

VCR 、 KCL 和 KVL一、电阻、电感和电容的 VCR

1. 电阻 时域形式：

相量形式：

iR

i

ΨRIU

ΨII

相量模型

)sin(2)( iΨtωIti 已知

)sin(2)()( iR ΨtωRItRitu 则uR(t)

i(t)

R+

-有效值关系： UR=RI

相位关系 u=i (u,i 同相 )

R+

-RU

I

UR u

相量关系：IRU R

UR=RI

u=i

瞬时功率： iup RR

波形图及相量图：

i

tO

uR

pRRU

I

u=i

URI

瞬时功率以 2 交变。但始终大于零，

表明电阻始终是吸收（消耗）功率。

瞬时功率以 2 交变。但始终大于零，

表明电阻始终是吸收（消耗）功率。

) (sin22 i2 ΨtωIU R

)] (2cos1[ iΨtωIU R

2 . 电感时域形式：

i(t)

uL(t) L+

-

相量形式： td

)t(idL)t(u L

相量模型

j L+

-LU

I

LU

I

i

ILjU L

有效值关系： U=L I

相位关系： u=i +90°

(u 超前 i 90°)

1. 相量关系：

=0 时，相当于短路

功率：

)(2sin

)cos()sin( m

iL

iimL

LL

ΨtωIU

ΨtωΨtωIU

iup

波形图：

t

i

O

uLpL

2

瞬时功率以 2 交变，有正有负，

一周期内刚好互相抵消。

瞬时功率以 2 交变，有正有负，

一周期内刚好互相抵消。

3 、 电容 时域形式：

相量形式：

td

)t(udC)t(i C

相量模型

有效值关系： IC=CU

相位关系： i=u+90°

(i 超前 u 90°)

UCI

u

iC(t)

u(t) C+

-

U

C

I

+

-ωCj

1

IC

jUCj

U

UCjI

11

=0 时，相当于开路

功率：

)(2sin

)cos()sin(2

uC

uuC

CC

ΨtωUI

ΨtωΨtωUI

uip

波形图：

t

iC

O

u

pC

2

瞬时功率以 2 交变，有正有

负，一周期内刚好互相抵消。

瞬时功率以 2 交变，有正有

负，一周期内刚好互相抵消。

4 、 受控源

VCCS

º

º

gu1

+

_u2

i2

º

º+

_u1

i1

时域形式：

相量形式：

gui 12

12 UgI

VCCS

º

º

+

_º

º+

_

1

.

I 2

.

I

2

.

U1

.

U 1

.

Ug

二、基尔霍夫定律的相量形式

0 0)(

0 0)(

Utu

Iti

同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中， KCL 和 KVL 可用相应的相量形式表示：

由 KVL ：. 1

j.

j. . . . .

IC

ILIRUUUU CLR

CLR uuuu

其相量关系也成立

L

C

R

u

uL

uC

i

+

-

+

-

+ -+ -uR

.

I j LR

+

-

+

-

+ -.

U

LU.

CU.

Cωj

1+

例 1 ：

列 KVL ，一般设电流相量为参考相量 AII.

00

例 2 ：列 KCL 方程

书上例 8-4 ， 187页

列 KCL ，一般设电压相量为参考相量 VUU S

.

S00