八年级数学（下册）第四章 相似图形

6 探索三角形相似的条件 (2)

相似三角形的相关概念 三个角对应相等 , 三条边对应成比例的两个三角形 ,

叫做相似三角形 (similar trianglec) 相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例 . 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应周

长的比等于相似比 . 相似比等于 1 的两个三角形全等 .

回顾与反思☞☞

注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上 .反之 , 写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！由于相似三角形与其位置无关 , 因此 , 能否弄清对应是正确解答的前提和关键 .

判定三角形相似的方法 判定两个三角形相似的方法之一 : 两角对应相等的两个三角形相似 . 这是判三角形相似最常用的方法 , 你掌握的怎

么样 ? 类比三角形全等的判定方法 : 边角边 (SAS); 角边角 (ASA); 角角边 (AAS);

边边边 (SSS); 斜边直角边 (HL). 你能否得出判定三角形相似的其它方法 ?

回顾与反思☞☞

相似与全等类比—新化旧

三角形全等的判定方法： 边角边 (SAS); 角边角 (AS

A); 角角边 (AAS); 边边边(SSS); 斜边直角边 (HL).

由角边角 (ASA); 角角边(AAS) 已经知道 : 两个角对应相等的两个三角形相似 ;

由边边边 (SSS) 可猜想 : 三边对应成比例的两个三

角形相似 ;

由边角边 (SAS) 可猜想 : 两边对应成比例 , 且夹角

相等的两个三角形相似 ; 由斜边直角边 (HL) 可猜

想 : 斜边直角边对应成比例

的两个直角三角形相似 . 我们已经把第一个猜想

变为现实 , 用类比的方法继续来证实其余几个猜想的正确性 .

思考分

析

想一想 , 做一做

☞☞亲历知识的发生和发展

问题二 : 如果△ ABC 与△ A′B′C′ 三

边对应成比例 , 那么它们一定相似吗 ?

我们一起来动手 : 画△ ABC 与△ A′B′C′,

设法比较∠ A 与∠A′ 的大小 , B∠ 与∠B′ 的大小 , C∠ 与∠C′ 的大小 .

△ ABC 与△ A′B′C′相似吗 ? 说说你的理由 .

改变 k 值的大小 ( 如2 3),∶ 再试一试 .

通过上面的活动 , 你猜出了什么结论 ?

).2

3(

,

如都等于给定的值

和

使对应边的比

k

CB

BC

CA

AC

BA

AB

判定三角形相似的方法之二

三边对应成比例的两个三角形相似 .

如图 , 在△ ABC 与△ A′B′C′ 中 , 如果

梦想成真

那么△ ABC A∽△ ′B′C′( 三边对应成比例的两个三角形相似 .)

C

BAA ′ B ′

C′

.CB

BC

CA

AC

BA

AB

这又是一个今后经常用来判定两个三角形相似的方法 , 务必引起重视 , 熟练掌握 .

随堂练习☞☞敢问

“路”在何 方 下面两个三角形是否相似 ? 为什么 ?

解 : 在△ ABC 和△ DEF 中 .

.22

4

AD

AB

∴△ ABC ADE.∽△ ( 三边对应边成比例的两个三角形相似 .)

A

B C

4cm

7cm

5cmD

E F

2cm 2.5cm

3.5cm

.25.3

7

EF

BC .25.2

5

DF

AC

.DF

AC

EF

BC

DE

AB

两角对应相等的两个三角形相似 ; 三边对应成比例的两个三角形相似 . 如图 , ABC△ 与△

A′B′C′ 相似吗 ? 你用什么方法来支

持你的判断 ?

∴△ ABC A∽△ ′B′C′ ( 三边对应成比例的两个三角形相似 .)

C

BA

A ′ B ′

C′解 : 如图 , 设小正方形的边长为 1, 由勾股定理可得 :

.21

2

CB

BC

CA

AC

BA

AB;22,102,8 ACBCAB ;2,10,4 CACBBA

思考分

析

;5,1,2, AFEFAEAEF中在

,2

2

CE

AE ,

2

2

2

1

EA

EF.

2

2

10

5

CA

AF

.CA

AE

CE

EF

CE

AE

例 如图矩形 ABCD 是由三个正方形 ABEG,GEFH,HFCD 组成的 , 找出图中的相似三角形 .

解 : AEF CEA.△ ∽△ 理由是 : 设小正方形的边长是 1, 由勾股

定理得

;10,2,2, ACAECECEA中在

∴△ AEF CEA.∽△( 三边对应边成比例的两个三角形相似 .)

A

B C

D

E F

G H

提升能力的奥秘随堂练习随堂练习p p 119119

如图 , ABC△ 中 , AC∠B=900,CD AB⊥ 于 D, 图中其有几对相似三角形 ?为什么？

理由是：∠A 是共公角 , AD∠C= ACB=90∠ 0,

解 : 有三对相似三角形.△ACD ABC∽△△CBD ABC∽△△ACD CBD.∽△

同理 :△CBD ABC.∽△△ACD CBD.∽△根据上面的结论 , 你能写出几组对应成比例的线段 ? 几组相等的角？

A B

C

D··

· ··

·

△ACD ABC.∽△( 两角对应相等的两个三角形相似 )

这是一个常用数学模型

称“双垂直”三角形

联想的功能如图 , 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似 .

根据上面的结论 , 你能写出几组相等的角？几组对应成比例的线段 ?

即 , 有三对相似三角形 .△ACD ABC∽△△CBD ABC∽△△ACD CBD.∽△

如 , 成比例的线段有 :A B

C

D··

· ··

·

如 , 相等的角有：∠A = DCB; B = ACD;∠ ∠ ∠

ADC= CDB= ACB =90∠ ∠ ∠ 0.

让数学模型“双垂直”三角形 , 成

为你的好友 !

开启 智慧

;2 ABADAC ;2 ABBDBC ;2 DBADCD .CDABBCAC

老师的建议 : 上面红色字表示出的关系式 , 是几个重要的结论 , 若能理解记忆并运用 , 将会促进能力的提高 .

回味无穷 判定三角形相似的常用

方法 : 两角对应相等的两个三

角形相似 . 三边对应成比例的两个

三角形相似 . 相似三角形的各对应角

相等，各对应边对应成比例 .

相似三角形对应高的比，对应角平分线 的 ,对应周长的比 .

如图 : 在△ ABC 和△ DEF 中 如果∠ A= D, B= E,∠ ∠ ∠ 那么△ ABC DEF.∽△

小结 拓展

A

BC

D

EF

那么△ ABC DE∽△F.

.DF

AC

EF

BC

DE

AB如果

模型“双垂直三角形”及其结论也要留意噢！

A B

C

D··

· ·

·

·

知识的升华独立作业

(1) P123 习题 4.8 1 题 ;(2)练习册 P112 2(2),(4) 题 .

祝你成功！

知识的升华独立作业练习册 P112 2(2) 题 .

A B

C

D··

· ··

·

如图 , ABC△ 中 , AC∠B=900,CD AB⊥ 于 D, 若∠ A=300 ，则 BD BC∶= ？练习册 P112 2(4) 题.如图 , 在△ ABC 中若AB=9,AP=4, B= A∠ ∠CB, 则 AC=?

A

B C

P

结束寄语•可以用一次的想法是一个决窍,如果它可以用两次以上,那就成为一种方法了.

下课了 !