大学物理实验( 陈国杰）

• 教材：《大学物理实验教程》（湖北科技出版社）• 学习网站：

《大学物理实验》是全国各高校开设的一门公共基础课，不管是清华，还是北大，不管是中大，还是华工。当然我们学校也不例外。

在做实验之前，我们先要学习一些必要的基础知识。 今天，我们学习三个方面的内容。

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第一章 误差、数据处理基本知识

§1 测量与误差

§2 测量不确定度和测量结果报道

§3 有效数字及其运算

§4 常用数据处理方法

§1

§2

§3

§4

§1 测量与误差一、测量及其分类1. 测量 测量就是将预定的标准与未知量进行定量比较

的过程和结果。测量值单位：一般用 SI 制。2 、测量分类 按测量形式分：直接测量和间接测量。

直接测量：从仪器直接读出测量结果。如用温度计测温度。

间接测量：由直接测量值按一定的物理公式计算得到。如测密度：

二 . 误差定义和表示1. 误差定义 测量值和真值的差值就叫做测量误差。2 、误差表示 绝对误差 = 测量值 - 真值

2

4dm

绝对误差相对误差 =

真值×100%

这里需要指出：① 一个量的真值是客观存在的，但它只是一个理

想的概念。② 测量结果都有误差，误差自始至终存在于一切

测量过程之中，这就是误差公理。

三、测量误差分类1. 系统误差 在相同条件下（即测量仪器、环境等条件和

人员都相同）多次测量同一被测量，其误差的大小和符号保持不变或按某个确定规律变化，这类误差称为系统误差。

系统误差的特点：确定性和可修正性。 就对它的确定性的掌握程度，系统误差又

可分为已定系统误差和未定系统误差。 未定系统误差：误差的大小、方向和变化规律

未能确定或无法确定，但一般情况下可以估计出它的最大变化范围 .

仪器铭牌上标出的仪器允差就属于未定系统误差。给出仪器允许的最大误差或准确度等级。

如果量具和仪器没有标出允差或准确度等级，我们可以取其最小分度值或其 1/2 作为该仪器的仪器误差。

2 ．随机误差

随机误差 : 在相同条件下多次测量同一被测量时，误差时大时小、时正时负，五无规则地涨落，但对大量测量数据而言，其误差遵循统计规律。产生原因 : 随机因素。如观察者视觉、听觉的分辨能力及外界环境因素的扰动等。

随机误差的特点 : 不确定性和统计性 .

（ 1 ）随机误差的正态分布 德国数学家高斯于 1895年求出正态分布的数学表达式（正态分布概率密度函数）为 :

图 1-1-1 正态分布

2)(21

e2

1)(

δ=x-X随机误差， X-总体平均值（真值） , x- 测量值， σ- 标准误差 . 是决定 x的离散程度的参数，它的数学计算式是：

n

ii

nXx

n1

2)(1

lim

（ 2 ）标准误差 σ 的意义① σ 反映了测量的离散性σ越小，离散度就越小，测量精密度越高。② σ具有明确的概率意义

在置信区间 [-2σ ， +2σ] 和 [-3σ ， +3σ] 内的置信概率分别为 95.4%和 99.7%。 所以把 Δ=3σ 称为极限误差。

6827.0)()( dp

xX

（ 3 ）随机误差的估算① 有限次测量的标准偏差算术平均值为：

在有限次次测量时，用算术平均值表示测量结果。 而标准误差则由标准偏差 Sx 作为最佳估算值。单次测量：

Sx具有与 σ相同的概率含义，即测量列中任一次测量值的偏差落在区间±Sx内的概率为 68.3%。

n

iixn

x1

1

1

)(1

2

n

xxs

n

ii

x

n次测量的标准偏差：

实际测量一般取 n=6～ 10 即可 。

)1(

)(1

2

nn

xx

n

SS

n

ii

xx

§2 测量不确定度和测量结果的报道一．测量不确定度的概念（ 1 ）定义设某被测量 X的测量结果为，误差限为 u，则

u越大，表示真值可能出现的范围越大，真值不确定程度也越大。

u：测量不确定度，表示由于测量误差的存在而对被测量值的真值不能确定的程度。

uxXuxuXx

（ 2 ）不确定度的分类A类分量 uA：可以用统计方法计算的误差。B类分量 uB：用非统计其他方法估算的误差（如

仪器误差） . 应当注意，不确定度和误差是两个不同的概念。

误差是指测量值与真值之差。不确定度是表示误差可能存在的范围。

二 . 测量不确定度的评定 对测量不确定度的评定，常以估计标准偏差去表示大小，称其为标准不确定度。

1.A类标准不确定度的评定

)1(

)(1

2

nn

xx

n

SSu

n

ii

xxA

2 ． B类标准不确定度的评定

其中系数 是把仪器误差 Δ 仪转换为标准误差 σ仪时的变换系数。

3仪仪 Bu

3

三 .合成标准不确定度 uC2222 )

3()( 仪

xBAC Suuu

n

i

nk

iBiAi

k

iciC

uu

uU

1 1

22

1

2

对于受多个（如 k个）误差来源影响的直接测量，如果不确定度的各个分量彼此独立，则测量结果的合成不确定度 uC ，用广义方和根法计算评定：

4. 标准不确定度的传递合成公式 对于间接测量量 y=f（ x1 、 x2 、…、 xn），设直接测量量 x1 、 x2 、…、 xn互相独立，且相应的标准不确定度分别为 u1 、 u2 、，… un。

当间接测量的函数式为积商（或含和差的积商）形式时，为使运算简便起见，

2222

2

2

21

2

1)()()( n

nc u

xy

uxy

uxy

u

2222

2

2

21

2

1

)ln

()ln

()ln

( nn

c ux

yu

x

yu

x

y

y

u

21 xxy 2221 xxc uuu

21 xxy

2

1xx

y 2

2

2

1)()( 21

x

u

x

u

yu xxc

函数的表达式 不确定度的传递公式

或

n

mk

x

xxy

3

21 2

3

22

2

22

1

2 )()()( 321

x

un

x

um

x

uk

yu xxxc

常用函数的不确定度传递公式

• 例：函数 的不确定度传递公式。

解：先对函数式取对数，得

对各自变量求偏导数得：

代入不确定度传递公式，得：

n

mk

x

xxy

3

21

321 lnlnlnln xnxmxky

332211

,,x

n

x

y

x

m

x

y

x

k

x

y

2

3

22

2

22

1

2 )()()( 321

x

un

x

um

x

uk

y

u xxxy

三．测量结果报道 为了既能反映测量结果又能反映测量结果的可靠程度，对物理量 x测量的最终结果应按如下形式表达：

xUxx （单位）（ P=0.683 ）

%100x

UE xx

ux ：一般取一位（特殊情况可以取 2 位）有效数字 ：最后一位与不确定度的最后一位对齐 Ex ：取一位或两位有效数字。

x

例．用螺旋测微计测一铁球的直径d，数据记录于下表，请报道测量结果。

螺旋测微计（ No.5310，允差： 0.004mm），零点读数为 -0.004mm，表格内数据单位：mm。 /d=13.217mm.n 1 2 3 4 5 6 7 8

直径Di

13.217

13.208

13.218

13.209

13.215

13.207

13.213

13.215

修正值 di

13.221

13.212

13.222

13.213

13.219

13.211

13.217

13.219

偏差 0.004 -0.005

0.0050

-0.004

0.0020

-0.006

0.000

0.002

解：（ 1 ）修正螺旋测微计的零点误差：

di=Di- （ -0.004）mm，填入上表：

（ 2 ）计算平均值：

（ 3）计算测量值的偏差，填入上表。（ 4）计算不确定度

mm

d

217.138

219.13212.13221.13

mm

nn

xxSu

idA

0015.0)18(8

)002.0()005.0()004.0(

)1(

)(

222

2

)(0023.03

004.0

3mm

uB

仪

)(0027.00023.00015.0 22

22

mm

uuu BAc

d= （ 13.217±0.003 ） mm （ P=0.683 ）

Ed=0.003/13.217=0.022%

d ， Ed 。

是否有错？

§3 有效数字及其运算 一．有效数字的概念1 ．有效数字定义及其意义

先看一个例子：用米尺（最小刻度是 1mm）测量钢棒的长度 :4.26cm， 4.27cm，或 4.28cm？

“4.2” - 确切数字6、 7、 8（第三位数）——可疑数字

L=4.2？ cm

有效数字 : 测量结果的第一位非零数字起到最末1 位可疑数字（误差所在位）止的全部数字。

有效数字的意义：其位数反映所使用仪器的测量精度和测量结果的准确度。

如：某物体长度的两个测量结果分别为：1.3500（ cm）— 5位有效数字，可靠数字： 1.350，可疑数字： 0 ；可能是螺旋测微计测的，精度高。

1.35（ cm）— 3位有效数字，可靠数字： 1.3，可疑数字： 5 ；可能是米尺测的，精度低。注意：小数点后的“ 0”代表有效数字，不可随意取舍。

2 、测量结果有效数字位数的确定（ 1 ）不确定度位数一般只取一位，若首位是 1 时可取两位。不确定

度的尾数只进不舍。相对不确定度为百分之几，一般只取一、两位。

（ 2 ）测量结果（平均值）位数 由不确定度决定测量结果的有效位数，即测量

结果有效数字最后一位应与不确定度所在位末位对齐。

例如： U= （ 6.040±0.005）（ V） . g= （ 981.2±1.8） cm·s-2.

（ 3）有效数字尾数舍入规则

“小于 5则舍，大于 5则入，等于 5 凑偶”。

例 3-1 ：将下列数值取四位有效数字。 3.14159→3.142 （入）

2.71729→2.717（舍）

4.510500→4.510。（凑偶）

4.511500→4.512 。（凑偶）

（ 4）同一个测量值，其精度不应随单位变换而改变。

A）十进制单位的变换，有效数字位数保持不变。

3636

33

105.21050.200000250.050.2

mmmcmV

mmmmcml

13000010300.10.13000.13

5

B）非十进制单位变换：保持误差所在位在单位变换后还是有效数字的末位。

例如： 用弧度表示。 粗略判断其误差不小于 0.1o。若要改用弧度为

单位，则先换算其误差约为：

故

o5.93

rad002.01.0180

rad632.15.93180

3. 测量结果的科学表示方法 测量结果的表示，一般应采用科学表示法，即用有效

数字乘以 10的幂指数的形式来表示。一般小数点前只取一位数字，幂指数不是有效数字。

例如： 1.5kg可写成 1.5×103g，不能写成 1500g。

（ 5234±1 ） km 应写成（ 5.234±0.001 ）×106m。

（ 0.000456±0.000003） s 应写成（ 4.56±0.03）×10-4s。

二 . 有效数字的运算规则1.加、减法运算：以参与运算各量中有效数字最后一位位数最高的为准，并与之取齐。

例： 3.86-1.801+5.7=7.8，结果是两位有效数字。因为小数点后的第一位已经有误差（可疑）了，保留小数点后两位数字无意义。有效数字只取

一位可疑数字。2.乘、除法运算 以参加运算各量中有效数字最少的为准，结果原则上与有效数字最少的相同，但当结果第一位数是 1 、 2 、 3时，可多取一位。

例 3-2 ： A=80.5， B=0.0014， C=3.08326， D=764.9，求

[解 ]

3. 对数法运算 对数运算结果的有效数字位数，其尾数

与真数的有效数字位数相同。例： lg3.27=0.514 lg220.2=2.3428

?DABC

N

4105.4765

08.30014.05.80

D

ABCN

4. 指数法运算：指数运算结果的有效数字位数与指数的小数点后的位数相同（注意包括紧接小数点后的零）。

5. 三角函数法运算 三角函数计算结果的有效数字与角度的有效数

字位数相同。例： Sin43.43o=0.6875 Sin30o07′= Sin30.12o=0.5018

575.5 106.532.56234110 取成

19.11885022.110 075.0 取成

6. 对其他函数运算我们给出一种简单直观的方法，即将自变量可疑位上下变动一个单位，观察函数结果在哪一位上变动，结果的可疑位就取在该位上。

如求 ，因为

所以取

20 25.3

0605405.124.320

0607039.125.320

0608669.126.320

0607.125.320

上面给出的各函数运算例子也可用这种方法来确定结果的有效数字位数。

7. 对一个包含几种不同形式运算的运算式，应按上述的运算原则按部就班进行运算。必须注意，运算中途得到的中间结果应比按有效数字运算规则规定的多保留一位，以防止由于多次取舍引入计算误差，但运算最后仍应舍去。

§4 常用数据处理方法• 正确处理实验数据是实验能力的基本训练之一。• 根据不同的实验内容、不同的要求，可以采取

不同的数据处理方法。• 下面介绍物理实验中较常用的数据处理方法。

一．列表法结果一目了然，便于查对，记录的最好方法。列

表要求： 1 ．表格设计要尽量简明、合理，重点考虑如何

能完整地记录原始数据及揭示相关量之间的函数关系；

2 ．各标题栏中应标明物理量的名称（或符号）和单位；3．数据填写要正确反映测量数据的有效数字，而且数据书写应整齐清楚；4. 与表格有关的说明和参数。包括表格名称、编

号，实验条件。如：

t （ o

C ） 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0

R

升温

1.282

1.323

1.370

1.425

1.470

1.513

降温

1.275

1.318

1.370

1.415

1.468

1.510

平均

1.278

1.320

1.370

1.420

1.469

1.512

（Ω）

表 1-5 铜丝电阻与温度关系测量记录表

测量条件：电阻箱精度位 0.01 级，温度的最小分度为 0.1oC 。

二．作图图解法：把测得的一系列相互对应的实验数据及变化的情况在坐标纸上用图线直观地表示出来，然后由图线求出有关测量量的参数和经验公式。

1 、作图规则① 作图一定要用坐标纸② 选好坐标纸大小和合理标注坐标分度 应该使坐标纸的最小格对应于有效数字的最后一位可靠数字，数据中可疑的一位数字在图中应能估计标出。

坐标起点不一定从 0开始。 分度比例一般用坐标纸的一小格表示被测量的最后一

位的 1 个单位、 2 个单位或 5个单位、 10个单位较好，以便于换算和描点 .

③ 标点与连线• 在一张图纸上要画出几条不同的曲线，每条曲线可采用不同的标记，如用⊙”“◇”“□”“△”“+”等等，以示区别，并在适当位置上注明各符号代表的意义。

•描点时，交叉点和中心点应是数据的最佳点。

•连线一定要用直尺或曲线尺等作图工具。 •采用光滑的直线或曲线时，应尽可能通过

或接近大多数数据点，并使数据点尽可能均匀对称地分布在曲线的两侧。 ④ 图名和图注

（ 5）图线的线性化——曲线改直如：用单摆测重力加速度 g，摆长 l和周期 T 之间的关系式为， T～ l为非线性关系，但 T2～ l则为一线性函数。（ 6）根据图线求出有关参数 求直线斜率和截距的具体做法：从拟合

直线上取两点（不取原数据点）；两点相隔要远一些，取点的坐标应在图上标出。

如：

lg

T2

2 4

5. 505. 555. 605. 655. 705. 755. 805. 855. 905. 956. 006. 056. 106. 156. 206. 256. 306. 356. 406. 456. 506. 556. 606. 656. 706. 756. 806. 856. 906. 957. 007. 057. 107. 157. 207. 257. 307. 357. 407. 457. 507. 557. 607. 657. 707. 757. 807. 857. 907. 958. 00

15. 0 25. 0 35. 0 45. 0 55. 0 65. 0 75. 0

从直线上两端取点 A 、 B ，可求出直线的斜率和截距为A

B后得到经验公式为： tt eR 034.07.4272

)/(034.0

0.670.22

050.6600.7

C

b

o

图 1 半导体热敏电阻的阻值与温度的关系