2-group 1

第十一章 二組平均數的比較

【應用】 暴露在一氧化碳和暴露在一般空氣下，發生狹心

症情況是否有差異？ 新藥的治療是否比較有效？ 健康孩童與罹病孩童血清鐵濃度是否不同？ 兩種測量儀器的準確性是否有差異？ 洗腎病人透析前後體重比較

2-group 2

分為下列情況分析：Case 1. Paired samples 配對樣本Case 2. Independent samples 獨立樣本

變異數相等 ( 同質性資料 )

變異數不等 ( 異質性資料 )

Test : H0 : μ1= μ2 versus H1 : μ1≠ μ2

μ1 = μ2 ?

2-group 3

配對樣本平均數比較 兩樣本來自相同環境，利用兩樣觀測值之差，當作一新樣本，檢定平均值是否等於 0 。

洗腎病人透析前後體重比較，取 n 個人的資料檢定 以每個人事前體重 減去 事後體重的值作為檢定資料

對常態資料，使用 t test

2-group 4

分析步驟

) ,(

95% 5

1-n;025.0211-n;025.021

21

n

S

n

S DD tx-xtx-x

的信賴區間為、

4 、 p-value = 2P(T > |t|), 若 p-value < α ，則差異是顯著的。

1n t3/

自由度，、檢定值nS

D

D

1 、計算二組之差異， D2 、計算 D 之平均數及標準差 , SD

2-group 5

【例 】洗腎病人透析前後體重比較主題： 研究洗腎病人透析前後體重是否相同。實驗： 選 6 位 patients ，記錄病人洗腎透析前及洗腎後體重。資料類型： paired samples

【解】 Test : H0 : μB= μA vs H1 : μB≠ μA

病人 1 2 3 4 5 6 平均數 標準差

洗腎前體重 53.2 73 61.8 43.4 52.9 62.8 57.85 10.24

洗腎後體重 48 69.6 57.2 41.6 51.8 59.6 54.63 9.77

前 - 後 (D)

D 平均數與標準差：

2-group 6

t =

p-value = 2P(T > 5) = .00407

在 0.01 顯著水準，洗腎病人透析前後體重有顯著差異。

95% 平均體重差異的信賴區間是 3.2167 ± 2.571(0.6409) = (1.57 ， 4.87)

以 95% 的信心估計病人洗腎後體重平均減少 1.57 到 4.87

註： 若欲研究洗腎病人透析後體重是否減少，則為單尾檢定， H0 : μB= μA vs H1 : μB- μA >0 ， α=0.05

p-value = P(T > 5) = .00204 ( 參考下頁 Excel 報表 )

2-group 7

EXCEL: 輸入二欄資料→ 工具 →資料分析 → t- 檢定：成對母體平均數差異檢定

2-group 8

配對資料 excel 報表

2-group 9

分為兩種狀況： ( 一 ) 變異數相等 ( 同質資料 )

( 二 ) 變異數不相等 ( 非同質資料 )

兩種狀況都是用 t- 檢定，

變異數相等時，以合併的變異數估計σ2 ，

變異數不等時，則代個別的樣本變異數估計。

若變異數相等

若變異數不等的變異數原理：

)(

21

2

22

1

21

112

21

nn

nnxx

二獨立樣本平均數之比較

2-group 10

2-nn

1)S-(n1)S-(n

1-n1-n

)X-(X)X-(XS

S , S

21

222

211

21

222

2112

p

1n)X-(X2

21n)X-(X2

1 2

222

1

211

當變異數相等時，以兩組資料合併求得的樣本變異數是一最佳的估計。稱為共同變異數 (pooled variance), S2

p 。

變異數相等時，共同變異數， Sp2

2-group 11

2-nnd.f. , s.e.

xx t

)(s.e.

2121

2n1

n1

21

檢定值

pS

1. Test H0 : μ1 =μ2 vs. μ1 ≠μ2

p-value = 2× P( T > | t | ) p-value < α ，差異顯著。

2. C.I. μ1 -μ2 的信賴區間

.).(/22121 estxx

2-group 12

Healthy With_Dn 9 13

Mean 18.9 11.9StDev 5.9 6.3

【例 p243 】罹病孩童的平均血清鐵濃度是否正常？隨機抽取健康孩童 9 名，罹病孩童 13 名，檢定二組血清鐵濃度之差異

二組 95% 信賴區間圖

2-group 13

【解 】 1. Test H0 : μh =μd vs. μh ≠μd

假設兩組變方相等。

Sp2 =

d.f. = 9+13-2 = 20, s.e. =

t =

=2.63

p- 值 < 0.05

則罹病孩童與健康孩子的平均血清鐵濃度有顯著的差異

2-group 14

2. A 95% C.I. for μh -μd is (1.4, 12.6)

以 95% 的信心估計罹病孩童的血清鐵濃度比正常孩童高出1.4 到 12.6 。

2-group 15

, t, s.e. , ..x-x

nS

nS2

221

21

2

22

1

21

es

( 二 ) 變異數不相等 (σ21 ≠ σ2

2 ) 比較二獨立樣本

1. Test H0 : μ1 =μ2 vs. μ1 ≠μ2

自由度由公式在 p245

p-value = 2× P( T 值 > |t| )

若 p-value < 0.05 ，則差異是顯著的 。 (μ1≠ μ2 )

2. C.I. for μ1 -μ2 with confidence level 1- α

.).(/22121 estxx

2-group 16

【解】假設兩組變異數不相等 1. Test H0 : μp =μn vs. μp ≠μn

吃藥者 吃安慰劑者n 2308 2293

Mean 142.5 156.5StDev 15.7 17.3

給 2308 位病人服藥及 2293 人服安慰劑。

資料統計值

【例 p246 】抗血壓藥效之研究 (p186)

SE =

t =

=3.095 則服藥者的血壓顯著較低。

此藥對降血壓有顯著效果。

2-group 17

如何判斷母體變異數是否相等？

母體變異數差異的檢定是 F-test

Test : H0 : σ12 = σ2

2 vs H1 : σ12 ≠ σ2

2

F = 兩變異數之比， F- 值愈大，顯示差異愈顯著 可選用 excel 之分析工具檢定 當 p-value < 0.05 時，差異顯著，判斷變異數不等 當 p-value >0.05 時，差異不顯著，判斷變異數相

等

2-group 18

Pair sample?

Pooled t-test

Paired t-test

Equal variance?(F-test)

Yes No

Yes

Satterthwaite t-test

No

二組均值比較之檢定流程

2-group 19

EXCEL: 輸入資料→ 工具 →資料分析 → F- 檢定：兩個常態母體變異數差異的檢定

→ t- 檢定：母體平均數差異檢定，異數數相等 or t- 檢定：母體平均數差異檢定，異數數不相等

EXCEL for 2 indepent groups

2-group 20

Excel : 判斷變異數差異 F 檢定

2-group 21

Excel : 檢定二組平均數之差異 t 檢定

2-group 22

深入應用 ( 參考 excel 結果 )

【例 10.1 】比較 A 、 B 兩奶粉品質之差別 由 F 檢定得 p- 值 = 0.573 ，判斷變異數相等 由 pooled t test 得 p- 值 = 0.0466 ，在 0.05 之顯著

水準下，兩組平均值差異顯著， A、 B兩奶粉品質有顯著差異

【例 10.2 】痛風病人血液中尿酸含量研究 由 F 檢定得 p- 值 = 0.00777 ，判斷變異數不相等 由 Satterthwaite’s t test 得 p- 值 = 0.0102 ，在 0.

05 之顯著水準下，兩組平均值差異顯著，痛風病人血液中連酸含量顯著地比較高

2-group 23

F test 有何用處 ?

F-test 是統計分析上用得最廣的 test ，用於比較二變異數，或，變異數分析，其基本原理是由二變異數之比值可突顯出資料之差異性。