《力学》课程普通物理学 第七讲

主讲教师：王艳利博士 罗绍凯教授

问题的提出：

问题：物体运动过程中，有质量的分离或并入？？！　　　牛顿定律不适用！怎么办？？？

dvF ma m

dt

d

d

pF

t

m若 恒量

发现号航天飞机发现号航天飞机

F

§6 有质量迁移的系统——密歇尔斯基方程§6 有质量迁移的系统——密歇尔斯基方程

m

dm

mFd

mF

主体

附体

u

t 时刻 : 经过 dt 时间 :

m+dm

d

tFFummmm mm d)()d()d)(d( d

忽略二阶小量

tFumm d)(dd

其中：

mm FFF d

mF

tFFummmmmm mm d)()d()dddd( d

∴ t

muF

tm

d

d)(

d

d

由质点系的动量定理，得

如火箭、喷气式飞机、洒水车等

∴t

muF

tm

d

d)(

d

d

其中， 为附体对主体的作用力——反推力。 t

mu

d

d)(

①如果 ，则

ud

dm F

t

②如果 ，则0u d d

d d

mm F

t t

如果主体参与两种质量迁移，则有

t

m

t

m

t

m

d

d

d

d

d

d 11

t

mu

t

muF

tm

d

d)(

d

d)(

d

d 22

11

这时：

（注意 m 为变量）

附体相对于主体的速度——相对速度

单位时间内迁移的质量——质量迁移的快慢

d d0, 0

d d

m m

t t 并入 分离

如落链、拉链等

如雨滴下落、拉链、落链等

注意：瞬时性、矢量性、相对性！

1. 煤车为主体，漏煤为附体，2. 初始条件： t=0, m= m0, v=0

3. dm/dt=B, dm=Bdt,

[ 例题 14] 如图所示，用恒力 F 拉煤车，车原重 m0 ，底部有漏洞，以恒速率漏煤 dm/dt=B ，拉车与漏煤从 t=0 开始，求 t 时刻煤车速度的大小（不计摩擦）。

F

u

由

得 Ft

Btm d

d)( 0

t

Btm

Fd

)(d

0

tt

Btm

F0

00

d)(

d

Btm

m

B

F

0

0ln

[ 分析 ]

[ 求解 ] Btmm 0

d

dm F

t

在水平方位投影

[ 例题 15] 一条均匀的柔软长绳，质量为 m0 ，全长为 l ，盘在光滑的水平面上，一端以匀速 0 向上拉，求作用于绳端的拉力 F 与高度 y 的函数关系。

F

y

0

t

mumgF

tm

d

d)(

d

d

∴t

mmgF

d

d0 0

t

mmgF

d

d0

1. 长绳的 y 部分为主体，盘在水平面上的部分为附体2. 主体 =0 ( 恒定 ) 附体 u=0,3. 主体受拉力、重力和附加力的作用

[分析 ]

[求解 ]

上式中： yl

mm 0

∴

y

l

m

tyg

l

mF 0

00

d

dt

y

l

myg

l

m

d

d0

00 20

00 l

myg

l

m

§7 质心系§7 质心系1 、动量中心系和质心系1 、动量中心系和质心系

质点系各质点的动量：

系统的总动量：

、、 21 pp

i

ipp

动量中心系（或零动量系）：使系统总动量为零的参考系。

ii

im

设 S ′ 系相对于 S 系以 运动，C

ii

imp )( Ci

iim

Ci

ii mm

iimm

在 S 参考系中

取参考系 S ′

0p

令m

m ii

i

C

m

p

则C i ii

p m m

i i C

则在 S ′ 系中系统的总动量为：

m

m ii

i

C

m

p

∵t

rii d

d

∴ i

iiC t

r

m

m)

d

d(

)(

d

d

m

rm

tii

i

m

rm

ti

ii

d

d

质心 (center of mass) 的位置矢量：

m

rmr i

ii

C

∴

t

rCC d

d

质心系：随质心一起运动的参考系。 质心系就是动量中心系（或零动量系）。

在 S 参考系中C i i

i

p m m

0p

在 S ′ 质心参考系中坐在质心上看质心的动量！

d

dCr

t

系统质量集中在质心上，质心的运动代表整体的平动！

质心位矢的分量形式：

m

xmx i

ii

C

m

ymy i

ii

C

m

zmz i

ii

C

质量连续分布 mrm

rc d1

mxm

xC d1

mym

yC d1

mzm

zC d1

m

rmr i

ii

C

质心的位矢

③ 质心是以质量为权重的位置加权平均值；

① 均匀重力场中（不太大物体），质心与重心重合； ② 质量均匀分布的物体，质心在几何中心；

④ 质心处不一定有质量。

质量连续分布

注意：

解：

[ 例题 16] 　求由两质点构成的系统的质心。

在质心系中， 0Cx

∴ 02211

m

xmxmxC

1

2

2

1

m

m

x

x

设： 11 xl 22 xl 21 lll

则： lmm

ml

21

21 l

mm

ml

21

12

在Ｓ系中 1 1 2 2C

m x m xx

m

l

1l 2l

1m2m

[ 例题 17] 已知沿杆分布的质量线密度为 =cx ，求非均匀杆的质心．

lxO

dx

x

lC mx

mx d

1

l

l

xcx

xcx

0

0

2

d

d

2

3

2131

cl

cl l

3

2

dm dx cxdx [ 分析 ]

[ 求解 ]

2 、质心运动定理2 、质心运动定理

Cmp

质点系所受的合外力满足：t

pF

d

d

外 其中：

∴t

mFd

d C

外

而： )(d

d C 质心加速度Cat

质心运动定理：

CamF

外

一个质点系质心的运动，如同一个质点的运动，该质点质量等于整个质点系的质量并且集中在质心，而此质点所受的力是质点系所受的所有外力之和。

则有内力不改变质心的运动 !

问题：质心的运动怎样代表整体的平动？满足什么规律？

一个质点系的运动情况可能很复杂，但此质点系质心的运动却很简单，只由质点系的合外力决定。

0F

0Ca

constantC

系统的动量守恒定律的另一种表述： 当一质点系所受的合外力等于零时，其质心速度保持不变。

质点系的运动 = 质心的运动 + 各质点相对质心的运动

[ 例题 18] 一根长为 l 、质量线密度为的软绳弯成 U字形，一端挂在 A 点，一端用手提着，现放手，当自由端离 A 的距离为x 时， A 点受力为多少？

x

x

A

系统的质心坐标为：

lxC

1

22

1

2

xlxl

2

xl

2

xl

22

1

2

xlx

xll

xlxl

4

222

1. 系统受拉力和重力的作用2.右端下落 x时，左端增长 x/2 ，右端减少 x/23. 用系统质心的运动代表整体的运动4. 以 A点为坐标原点建立 ox 轴

[ 分析 ]

[ 求解 ] 由质心运动定理得：

CN xlFlg

l

xx

l

xlxC 22

2

根据题意，有：gxx 2 gx

由质心运动定理得：CN xlFlg

)22

(2

l

xx

l

xll

)

2

2

2(

l

gxg

l

xll

xglg

2

3

2

1

∴ xglgFN 2

3

2

1

x

x

A

2

xl

2

xl

质心的速度和加速度分别为：

l

xlxxxC 4

22 x

l

xl 2

2 、柯尼希定理、资用能量2 、柯尼希定理、资用能量

2

2

1ii

ik mE 2)(

2

1

iii

m

iiiii

i

mmm 22

2

1

2

1

在质心参考系 S′ 中 0i i ci

m m

柯尼希 (König) 定理： 2

2

1CkCk mEE

质点系相对于 S 系的动能，等于质点系相对于质心系的动能与质点系随质心整体平动的动能之和。

坐在质心上看质心的动量

质点系的动能 = 质点系相对质心的动能 + 质心的平动能

在相对速度为 的两个参考系 S 、 S′ 中，

在两个参考系 S 、 S′ 中，两个质点的相对速度为

21 21

u

选 S′ 为质心参考系，则

02211

mm

∴ umm

m

21

21 u

mm

m

21

12

质点系相对于质心系的动能为2

222

11 2

1

2

1 mmEkC2

21

21

2

1u

mm

mm

折合质量：21

21

mm

mm

1

2

2

1

m

m

∴ 2

2

1uEkC

2

2

1uEkC

∴22

2

1

2

1Ck muE

两个质点相对于 S 系的动能，等于两个质点相对运动的动能与它们随质心整体平动的动能之和。

资用能量：参与粒子之间反应的能量。

2

2

1u 是资用能量； 不是资用能量。2

2

1Cm

对等质量、等速率，但反向运动的粒子而言：

0)(21

m

mmC

这时全部能量都是资用能量。

现代粒子碰撞实验

如现代粒子对撞机

实验室坐标系与质心坐标系合二为一

两个质点相对运动的动能

§8 碰撞§8 碰撞11、正碰——对心碰撞、正碰——对心碰撞11、正碰——对心碰撞、正碰——对心碰撞

恢复系数：2010

12

e

两物体发生一般非弹性碰撞时，定义

)( 201012 e

2211202101 mmmm

设 10> 20 ，由上两式解得

2021

210

21

211

)1( mm

me

mm

emm

两物体碰撞后的相对速率

两物体碰撞前的相对速率

2021

2110

21

12

)1( mm

mem

mm

me

动量守恒

碰撞后两物体相对速率恢复了多少？

碰撞前后能量损失为

)2

1

2

1(

2

1

2

1 222

211

2202

2101 mmmmE

22010

21

212 )()1(2

1

mm

mme

e=1 为完全弹性碰撞，这时没有能量损失

0min

E

e=0 为完全非弹性碰撞，这时能量损失最大

22010

21

21max

)(2

1

mm

mmE

动量守恒 能量也守恒

动量守恒能量不守恒

碰撞后两质点粘在一起

为一般非弹性碰撞，这时部分能量损失0 1e

动量守恒能量不守恒

22 、斜碰——非对心碰撞、斜碰——非对心碰撞22 、斜碰——非对心碰撞、斜碰——非对心碰撞

斜碰是二维碰撞 , 存在四个未知量（两个碰后速度矢量）

可以列出 : 两个动量守恒方程 完全弹性碰撞有一个动能守恒方程 完全非弹性碰撞有一个恢复系数方程

因此，往往还需要一个附加方程或已知条件。

[ 例题 19] 光滑桌面上质量为 m1 的小球以 10碰在质量为 m2 的静止小球上， 10 与两球连心线成 角，两球表面光滑，碰撞力沿两球连心线，恢复系数为 e ，求碰撞后两球的速度。

m1 m2

10

m1

1

m22

cos1012211 mmm x sin10111 mm y

0cos10

12

xe

解之得：

1 21 10

1 2

cosx

m em

m m

1 10 siny 12 10

1 2

(1 )cos

e m

m m

[ 分析 ]

[ 求解 ] 由动量守恒定律 , 在水平和垂直方向上投影 , 得：

m2

2

3 、质心系中的碰撞3 、质心系中的碰撞 在质心系中，碰撞前后的动量都为零，方便！

在实验室系中，

2101

222

211 2

1

2

1

2

1 mmm

2

m1 10 m2

m1

1

1

101222111 coscos mmm

0sinsin 222111 mm

完全弹性碰撞

水平动量守恒

垂直动量守恒

m2

2

m1 10

m1 1

在质心系中，

m220

2202

2101

222

211 2

1

2

1

2

1

2

1 mmmm

0202101 mm

02211

mm

以上三式解得 101 202

完全弹性碰撞

碰前动量为零

碰后动量为零

前后速度大小不变两质点反方向运动

碰前方向相反

碰后方向相反

1 与 的关系：

m2

2

2

m1

1

1x

y

1

11tan

Cx

y

1

1

C

cos

sin

1

1

10/cos

sin

C

∵21

101

mm

mC

21

101 )(

mm

m C

2

1

10 m

mC

∴

2

11

cos

sintan

mm

m2

2

m1 1

回到实验室系

实验室系

质心系

作业 1 、结合ＰＰＴ讲稿，认真钻研教材 P64-72 。 2 、思考题： 2-8, 2-9 3 、作业题： 2-19, 2-20 ， 2-21, 2-22. 对作业的要求 1 、每道题要抄题、画图； 2 、 [ 求解 ] 前要给出 [ 分析 ] 过程； 3 、 [ 求解 ] 要给出详细计算过程； 4 、求解后要说明属于哪一类的问题；用到哪些基本公式和定律 . 5 、作业要认真，不要抄题解，不要潦草。

关于作业 1 、平时作业占 30 分，期终考试占 70 分。 2 、每周星期一中午之前学习委员把作业收齐、按学号排好顺序送到物理 系 3S211 室王艳利老师的办公桌上。

提醒： 把《高等数学》书或《数学手册》放在案头，随时翻用！

谢谢 ,再见！

结合ＰＰＴ讲稿，认真钻研教材，　　　一定要自己推算一遍！