第三章 概 率教材分析与教学建议

余杭区教育局教研室

陈朝阳E-mail: ccy@yhjy.net

人教 A 版必修3

先看大家熟知的大纲教材体系

概率是在高二第二学期 第二册下（ B ）第十章 “排列、组合与二项式定理” 后面的 第十一章 “概率” 必修： 概率（ 12 课时）

选修 II ：概率与统计（ 14 课时）

大纲教材的着眼点 :

把概率内容放在排列组合内容后面，从而运用排列组合数公式这一得力工具更深入对独立实验事件发生概率的计算

大纲教材更侧重对互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率较深刻的研究。

再看课标教材体系：　　　概率教学内容安排在必修３模块第二

章统计后面，而此时计数原理等排列组合知识尚未学习，虽然它们是理科学生指定必选内容，而文科学生就不再选修计数原理等排列组合知识．但必修３模块中概率教学内容是文科学生也必须掌握的知识 .

　　　当然理科学生还有指定必选内容－－“随机变量及其分布”是放在选修２－３中．

再看概率教学内容在小学低段、小学高段和初中的教学要求：小学低段： 初步感受事件发生的不确定性和可能性 .

具体教学目标 :（ 1 ）初步体验有些事件的发生是确定的，有些则

是不确定的 .（ 2 ）能够列出简单试验所有可能发生的结果 .（ 3 ）知道事件发生的可能性是有大小的 .（ 4 ）对一些简单事件发生的可能性作出描述，并

和同伴交换想法 .

再看概率教学内容在小学低段、小学高段和初中的教学要求：小学高段 :

将进一步体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性 .

具体目标 :

　（ 1 ）体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公 平性，会求一些简单事件发生的可能性 .

（ 2 ）能设计一个方案，符合指定的要求 . 　　（ 3 ）对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述

自己的理由 .

再看概率教学内容在小学低段、小学高段和初中的教学要求：

初中阶段 :

进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率 . 应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。

再看概率教学内容在小学低段、小学高段和初中的教学要求：初中阶段 :

具体目标 :

（ 1 ）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包 括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率 .

（ 2 ）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复 实验时频率可作为事件发生概率的估计值 .

（ 3 ）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一 些实际问题 .

总之：从小学到初中再到高中，概率统计的内容是采用逐步渗透、螺旋上升的方式。在初中，介绍了随机事件的概念，要求会运用列举法计算简单随机事件的概率，通过试验，获得随机事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为随机事件发生概率的估计值。由此可以看到，高中有些内容是与初中相同的。在教学中可以用回忆复习等方式先回顾初中相应的内容，在此基础上要有更深层次的理解。比如，在频率与概率部分，不但知道频率可以作为概率的近似，而且要知道频率与概率的区别：频率是随机的，每次试验得到的频率可能是不同的，而随机事件的概率是一个常数，是随机事件发生可能性大小的度量，它不随每次试验的结果改变。在初中要求会运用列举法计算简单随机事件的概率，而高中提高到理解古典概型的特征，在古典概型中运用古典概型求概率的公式计算随机事件的概率。随机事件的关系与运算、概率的性质、几何概型、随机模拟方法等是高中的新内容，初中没有涉及。

必修 3 第三章概率的内容与课时 :本章包括 3节，教学安排 8 课时，分配如下：3.1.1 随机事件的概率 1 课时3.1.2 概率的意义 1 课时3.1.3 概率的基本性质 1 课时 阅读与思考 天气变化的认识过程3.2.1 古典概型 1 课时3.2.2 (整数值 ) 随机数的产生 1 课时3.3.1 几何概型 1 课时3.3.2 均匀随机数的产生 1 课时 阅读与思考 概率和密码小 结 1 课时

高中课标内容 :

1. 在具体情境中，了解随机事件的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别 .

2. 通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。3. 通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会

用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

4. 了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率 .

5. 初步体会几何概型的意义 .6. 结合阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

本章知识结构框图 :

教学要求与重点难点 :3.1 随机事件的概率

基本要求

1. 通过实例 , 理解必然事件、不可能事件和随机事件的意义 .

2. 通过实例 , 了解随机事件的不确定性和频率的稳定性 .

3. 了解概率的意义以及概率与频率的联系与区别 .

4. 了解概率思想 , 并能解释一些有关的简单的自然现象和统计规律 .

5. 了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式 .

发展要求

了解有限个互斥事件的概率加法公式 .

说明 本节教学重在了解概率的意义 , 不必引入复杂的问题

重点 : 是了解随机事件的不确定性和频率的稳定性 , 正确理解概率的意义 .

难点 : 是理解频率与概率的关系 , 对概率含义的正确理解 .

教学要求与重点难点 :3.2 古典概型

基本要求

1. 通过实例 , 了解基本事件的意义 .

2. 通过实例 , 理解古典概型及其概率计算公式 .

3. 会用列举法计算随机事件包含的基本事件数及事件发生的概率 .

4. 会初步应用概率计算公式解决简单的古典概型问题 .

发展要求

了解随机数的产生 , 介绍计算器产生两位随机数的方法 .

说明 重在理解古典概型的特征及其概率计算公式 , 不必补充复杂的问题 ,不要把重点放在如何计数上 .

重点 : 是理解古典概型及其概率计算公式 .

难点 : 是设计和运用模拟方法近似计算概率 .

教学要求与重点难点 :3.3 几何概型

基本要求

1. 通过实例 , 初步体会几何概型的意义 .

2. 了解均匀随机数的产生过程 .

3. 通过实例 , 初步体会运用模拟方法 ( 包括计算器产生随机数 )估 计概率 .

4. 结合实例和阅读材料 , 了解人类认识随机现象的过程 .

发展要求说明 本节学习重在了解 , 不必补充复杂的问题 .

重点 : 是体会随机模拟中的统计思想 ; 用样本估计总体 .

难点 : 是把实际问题转化为几何概型求概率的问题 .

教师要熟练操作的取数方法 : 随机数的产生与随机模拟是新增内容，教科书

中分两部分介绍： 第一部分是在第 2节，分别介绍了用计算器和

计算机中的 Excel软件产生取整数值的随机数的方法，这样的随机数可以用在简单随机抽样中。

第二部分是在第 3节，分别介绍了用计算器和计算机中的 Excel软件产生取均匀随机数的方法。

取数方法是教师必须要掌握的方法．目的是通过具体实例，介绍了利用随机模拟的方法估计随机事件的概率、估计圆周率的值、近似计算不规则图形的面积。

教学中几个值得关注的问题 :1 ．鼓励学生动手操作和主动参与，让他们在试验、观察、交流等活动中体会和理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性等相关内容 .

学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，鼓励学生动手操作、主动参与统计试验，不但能激发学生学习概率统计的兴趣，而且学生在反复的统计试验中可以更好地体会和理解统计思想。

教学中几个值得关注的问题 :2 ．注意与学生已有的概率统计知识相衔接 在初中，介绍了随机事件的概念，要求会运用列举法计算

简单随机事件的概率，通过试验，获得随机事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为随机事件发生概率的估计值。由此可以看到，高中的随机事件、频率、概率等概念，以及概率的意义等都是在初中初步接触过的。教学中应当注意在学生已有概念的基础上，引导他们进行更深层次的理解。比如，在频率与概率的教学中，应当通过比较使学生认识到，频率可以作为概率的近似，但频率与概率有区别：频率是随机的，每次试验得到的频率可能是不同的，而随机事件的概率是一个常数，是随机事件发生可能性大小的度量，它不随每次试验的结果改变。又如，初中已经会用列举法计算简单随机事件的概率，在此基础上，要进一步引导学生理解古典概型的特征，即试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，并要学会将实际问题转化为古典概型，然后用古典概型概率计算公式求出相应的概率。另外，随机事件的关系与运算、概率的性质、几何概型、随机模拟方法等是高中的新内容。

教学中几个值得关注的问题 :3 ．注重统计思想和概率的意义的解释 一种统计方法只能解决部分实际问题，在面临新的问题时，需要的是新思想。教学的目的是要让学生掌握知识的同时，发展他们分析问题和解决问题的能力，所以本章的教学中，统计思想的解释就显得尤为重要（比如在作推断和决策中的极大似然思想）。在用频率近似概率时利用的是样本的数字特征估计总体的数字特征的统计思想。同样随机模拟的理论依据仍然是用样本估计总体的思想。在古典概型的教学中，要让学生学会把一些实际问题转化为古典概型，而不要在“如何计数”上花过多的时间。要点：重视对古典概率模型的理解和应用，淡化繁杂的计算．

教学中几个值得关注的问题 :4 ．重视信息技术的应用 信息技术对概率统计的发展起到了决定性的

作用。随机模拟试验需要产生大量的随机数，同时又要统计试验的结果，如果离开计算机的帮助，需要花费大量的时间，统计试验结果的困难是可想而知的。用计算机进行模拟试验的另一个好处是相同的试验可以在短时间内多次重复，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。信息技术的应用使统计试验变得十分方便，而且可以通过大量重复试验比较结果的稳定性。

本章对学生的最低要求是会用计算器产生随机数进行简单的模拟试验，并统计试验结果。有条件的学校可以让学生学会用一种统计软件，例如 Excel软件，多次重复模拟试验，统计模拟的结果，并画出频率折线图等统计图。

其他建议：• 教师应通过具体问题的讨论让学生加深对随机思

想的理解。• 培养学生的随机意识是一个长期的过程。在我们

的教学中要特别强调这一点，而不要把概率统计讲成单纯的计算。

• 古典概型的教学重点是让学生通过实例理解其特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，并让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型．教学时不要把重点放在“如何计数”上，计数本身只是方法与策略问题，在具体模型中有很多特殊的计数方法．

其他建议：• 古典概型教学时，首先要理解基本事件的特点。

通过具体的实例引导学生理解古典概型的特征：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限多个；②每个基本事件出现的可能性相等。理解古典概型的概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

• 随机事件概率的基本算法是通过大量重复试验用频率来估计，而其特殊的类型 ---古典概型概率计算，可通过分析结果来计算。

• 由于排列、组合的知识还未学习，所以在例题和练习时一定要控制难度。

在没讲排列组合的情况下计算事件发生的概率

• 用列举法计算古典概型中随机事件的概率，重点是理解概率的意义 .

• 教材中的习题和例题已经全部修改为能用列举法列出全部的基本事件 .

不学排列组合，能学习概率吗？

学习组合学并不使我们增进对机遇概念的理解，也不比其他学科更能发展使用概率建模的能力。在大多数情况下，应该避免组合问题，除非是最简单的计数问题。 ——大卫 • S • 莫尔 美国普渡大学统计学教授

此外：• 概率的一个基本性质：对于任意事件 A ，

0≤P(A)≤1

但是 概率为 0 的事件不是不可能事件

概率为 1 的事件不是必然事件

这可以利用几何概型举出例子。作为教师要知道，学生中不必强调．

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