Вебинар для учителей математики Хабаровского края 17 мая 2013 года

«Подготовка к ЕГЭ по математике: методический комментарий к выполнению заданий базового и повышенного уровней сложности»

Вебинар для учителей математики Хабаровского края

17 мая 2013 года

Марина Геннадьевна Ким, учитель МАОУ СОШ №77, эксперт региональной предметной комиссии,

город Хабаровск

Типичные ошибки в ЕГЭ и как их избежатьКакие подходы и практические решения целесообразно использовать для нивелирования тех затруднений , которые испытывают выпускники на ЕГЭ

У выпускников слабо развиты вычислительные навыки, недостаточная подготовка в геометрии,

невнимательное прочтение условия заданий.

Следует обратить особое внимание на формирование у учащихся навыков детального прочтения условия

задач, отработку вычислительных навыков, умения проводить по известным формулам и правилам

преобразования числовых выражений, систематическое повторение основных формул и правил планиметрии

при решении стереометрических задач.

Традиционно сложными для выполнения остаются задания по темам «Наибольшее и наименьшее значение функции», «Преобразование выражений, содержащих степень», «Объемы многогранников». Также, остаются проблемными задания, в которых необходимо применить умения составления и исследования простейших математических моделей, решать текстовые задачи на проценты, задачи физического характера. Низкий процент выполнения заданий на выполнение действий с геометрическими фигурами, координатами и векторами, что показывает низкий уровень умения использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

1.Диагональ экрана телевизора равна 64 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

2.Рост Джона 6 футов 1 дюйм. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

3. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

4. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 3 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

5.Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 37000 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

6.Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?

Задачи B1

7.На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Какую сумму должен получить клиент сдачи? Ответ дайте в рублях.

8.На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

9.В квартире, где проживает Алексей, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 103 куб.м воды, а 1 октября — 114 куб.м. Какую сумму должен заплатить Алексей за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб.м холодной воды составляет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях.

10.Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку весом в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

11.При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

12.В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей. В октябре сливы подорожали на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

13.Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

Задачи В3

1.В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 38. Найдите площадь треугольника ABC.

2.Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка E — середина стороны AD . Найдите площадь трапеции AECB.

3.Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A’B’C’D’ , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

4.Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E – середина стороны CD . Найдите площадь треугольника ADE .

5.Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE .

6.На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

7.На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

8.На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

9.На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.

10.На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

11.Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

12.Найдите (в см2) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

13.Площадь параллелограмма ABCD равна 3. Точка E — середина стороны CD . Найдите площадь треугольника ADE .

14.Площадь параллелограмма ABCD равна 11. Точка E — середина стороны CD . Найдите площадь треугольника ADE .

15.Периметры двух подобных многоугольников относятся как 2:11 . Площадь меньшего многоугольника равна 10. Найдите площадь большего многоугольника.

16.Периметры двух подобных многоугольников относятся как 4:7 . Площадь меньшего многоугольника равна 56. Найдите площадь большего многоугольника.

17.Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 164, а отношение соседних сторон равно 4:37 .

18.Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 64, а отношение соседних сторон равно 3:13 .

19.Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как , а другая сторона равна 80. Найдите площадь прямоугольника 21:29.

20.Периметр прямоугольника равен 64, а площадь равна 31,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

21.Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Задачи В12

m (t) 20 10 5

t 10 10 10

Подготовка к заданиям с развернутым ответом повышенного уровня сложности С4

В планиметрических заданиях С4 по сравнению с ЕГЭ-2011 и ЕГЭ-2012 изменения минимальны с точки зрения структуры задач, постановки вопросов и критериев оценивания выполнения этих задач.

По фактическим данным выполнения, задание С4 является своего рода границей, разделяющей высокий и повышенный уровень подготовки участников ЕГЭ. Практика проверки работ на ЕГЭ–2010-2012 показала, что экспертам задание С4 проверять было, пожалуй, легче всего. По крайней мере, количество спорных ситуаций и неоднозначных, пограничных способов трактовки критериев оценивания было меньше всего.

Критерии оценивания выполнения задания С4

КритерииБалл

ы

Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ

3

Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины

2

Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Как и во всякой геометрической, и особенно, достаточно сложной геометрической задаче весьма деликатным является вопрос о степени и характере обоснованности построений и утверждений.

Излишняя требовательность к обоснованиям в принципе ведет к необходимости текста, изложение в котором начинается, грубо говоря, с аксиом, продолжается формулировками теорем, приведением нужных формул, и в котором только после этого происходит собственно решение задачи.

Позиция разработчиков КИМ ЕГЭ–2012 состоит в том, что в задании С4 невозможно от выпускников школ на ЕГЭ требовать изложения, приближающегося к стилю учебников и научно-методических статей.

Достаточным является наличие ясного понимания возможности разных геометрических конфигураций искомых объектов, верного описания(предъявления) этих конфигураций и грамотно проведенных вычислений.

Обратим также внимание на то, что часто при решении геометрических задач школьники ссылаются на весьма невразумительный чертёж, а иногда чертёж вообще отсутствует (если рисунок сделан на бланке карандашом, то эта область не сканируется). Снижать оценку только за это не рекомендуется.

Наконец, специально отметим, некоторую несогласованность единственного и множественного числа в постановке вопроса задачи и в ответе на этот вопрос.

Традиции отечественного геометрического образования таковы, что вопрос «Найти геометрический объект, удовлетворяющий некоторым условиям», всегда трактовался как полное решение, то есть отыскание всех объектов, удовлетворяющих условиям задачи.

Мы следуем традиционному подходу и считаем нецелесообразным вопрос «Найти радиус окружности, вписанной в…» приводить в формулировке, типа, «Найти радиусы всех окружностей, …».

Треугольник, основные теоремы

Треугольник, основные теоремыДве прямые пересекаются под углом . От точки пересечения на одной из прямых отложен отрезок , на другой прямой отложен отрезок . Найти длину радиуса окружности, описанной около треугольника .

1.

I вариант.По теореме косинусов найдем

Радиус окружности найдем из теоремы синусов .

II вариант.Следует из чертежа

Ответ.

1;

Треугольник, основные теоремыНа двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно , расположены вершины треугольника, боковые стороны которого равны . Найдите третью сторону треугольника.

2.

I вариант.Дано: . По теореме Пифагора найдем . Сторона треугольника .

II вариант.Пусть теперь треугольник расположен так, что

Ответ.

10;

Треугольник, основные теоремыВ прямоугольном треугольнике длины катетов и . На прямой взята точка так, что . Найдите

3.

I вариант.По теореме Пифагора найдем . Найдем , затем . Т.к. , . Получаем .Заметим, что можно было из треугольника по теореме косинусов найти , затем .

II вариант.Рассмотрите другой вариант положения точки

Ответ.

Треугольник, основные теоремыВысоты треугольника пересекаются в точке . Известно, что . Найдите угол .

4.

I вариант.Треугольники и равны, т.к. оба они прямоугольные, имеют по условию равные гипотенузы и угол как два острых угла со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, , и треугольник прямоугольный и равнобедренный, откуда .II вариант.Рассмотрите вариант тупого угла . Докажите равенство треугольников и , затем докажите, что .

Ответ.

Треугольник, основные теоремыВ треугольнике проведена прямая, параллельная и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Прямая делит треугольник на две фигуры, площади которых относятся как . Найдите отношение длин отрезков и .

5.

I вариант.Пусть Тогда . Треугольники и подобны, причем коэффициент подобия или . Следовательно, .

II вариант.Рассмотрите случай .

Ответ.

Треугольник, основные теоремыПлощадь прямоугольного треугольника равна 8, длина катета равна 2. Прямая проходит через точку и образует угол с прямой . Найдите расстояние от точки до указанной прямой.

6.

I вариант.Из формулы площади следует, что , по теореме Пифагора найдем . Найдем , получаем . Затем

II вариант.Рассмотрите другой вариант положения точки прямой

Ответ.

Треугольник, основные теоремыВ треугольнике , а . В треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне , а две другие на сторонах и . Известно, что одна сторона прямоугольника вдвое больше другой. Найдите диагональ прямоугольника.

7.

I вариант.По теореме Пифагора найдем . Из треугольника найдем . Пусть , тогда , а . Из треугольника следует, что или . Получаем . Диагональ равна .

II вариант.Рассмотрите другой вариант расположения прямоугольникаОтвет.

Окружность, основные теоремы

Окружность, основные теоремыДлина окружности равна . Диаметр и хорда лежат на параллельных прямых. Расстояние между указанными прямыми равно . Найдите длину хорды .

1.

I вариант.Длина окружности , откуда . Из треугольника следует, что . Из треугольника находим Далее . По теореме косинусов находим . Из прямоугольного треугольника найдем .

II вариант.Поменяйте местами точки и .

Ответ. .

Окружность, основные теоремыПлощадь круга, ограниченного некоторой окружностью, равна , – диаметр этой окружности, тока – ее центр. Точка лежит на окружности, причем площадь треугольника равна 3. Найдите величину угла .

2.

I вариант.Пусть . Тогда и . Треугольник равнобедренный, его площадь , откуда . При данном расположении точки угол тупой, следовательно, , откуда следует .

II вариант.Рассмотрите вариант острого угла

Ответ. .

Окружность, основные теоремыПлощадь круга с центром в точке равна . Точки и расположены на расстоянии 12,5 и 26 соответственно от точки . Длина хорды, лежащей на прямой равна . Найдите площадь треугольника .

3.

I вариант.Длина . Из треугольника следует, что . Из треугольника находим , а из треугольника О находим . Далее

II вариант.Рассмотрите случай, когда точки и лежат по одну сторону от хорды

Ответ. .

Окружность, основные теоремыНа окружности с радиусом последовательно поставлены точки и так, что дуги и , а хорды и пересекаются под углом . Найдите длину наибольшей стороны четырехугольника .

4.

I вариант.Сначала надо доказать, что наибольшей стороной является , для этого найдем величину дуги . Вписанный угол , угол , следовательно, угол , а дуга . Дуга является наибольшей, следовательно хорда является также наибольшей. Треугольник вписан в окружность и по теореме синусов . Получаем

II вариант.Рассмотрите другой вариант расположения хорды

Ответ. .

Вписанные и описанные окружности

Вписанные и описанные окружностиВ треугольник вписана окружность. Точка касания окружности стороны делит ее на отрезки с длинами 6 и 4. Периметр треугольника равен . Найдите .

1.

I вариант.Пусть , , а . Тогда и . Длины треугольника таковы, что он является прямоугольным с гипотенузой . Получаем .

II вариант.Пусть

Ответ. .

Вписанные и описанные окружностиТреугольник вписан в окружность радиуса . Известно, что и . Найдите .

2.

I вариант.Из теоремы синусов следует, что , откуда . Аналогично найдем . Очевидно, что острый. Тогда . Угол может быть и острым, и тупым. Рассмотрим вариант острого угла, тогда . Найдем , т.е. . По теореме синусов найдем

II вариант.Пусть тупой, тогда

Ответ. .

Вписанные и описанные окружностиУгол между радиусом окружности, описанной около треугольника и со стороной равен . Найдите угол треугольника , если угол равен .

3.

I вариант.Проведем радиус . Треугольник равнобедренный, следовательно, , а Получаем .

II вариант.Рассчитайте самостоятельно

Ответ. .

Вписанные и описанные окружностиОколо треугольника описана окружность с центром , угол . В треугольник вписана окружность с центром . Найдите угол .

4.

I вариант.Пусть острый, тогда . Точка лежит на пересечении биссектрис, значит, , откуда . Далее .

II вариант.Пусть тупой, тогда .

Ответ. .

Вписанные и описанные окружностиПрямая отсекает от сторон прямого угла отрезки с длинами 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.

5.

I вариант.Пусть и , тогда . Обозначим и . Тогда и , т.к. квадрат. Находим , .

II вариант.Совсем простой, т.к. получается окружность, вписанная в египетский треугольник

Ответ. .

Вписанные и описанные окружностиВ треугольнике . В треугольник вписана окружность. Касательная к этой окружности, параллельная высоте , пересекает стороны треугольника в точках и . Найдите длину радиуса окружности, описанной около треугольника .

6.

I вариант.Найдем . Площадь , полупериметр. Тогда и . Тогда . Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, треугольник – египетский, и длина искомого радиуса .

II вариант.Рассчитайте второй вариант согласно чертежу

Ответ. .

Вписанные и описанные окружностиПлощадь квадрата равна . Окружность проходит через вершину и касается прямых и . Найдите радиус этой окружности.

7.

I вариант.Сторона квадрата равна 4. Диагональ . Пусть . Тогда . Отсюда .

II вариант.Рассчитайте второй вариант согласно чертежу

Ответ..

Четырехугольники

ЧетырехугольникиВ параллелограмме .Площадь параллелограмма равна . Круг, с центром в точке касается прямой . Найдите площадь части круга, расположенной внутри параллелограмма.

1.

I вариант.Площадь параллелограмма , откуда . По чертежу острый, следовательно, и . В треугольнике по теореме косинусов найдем . Проведем в точку касания радиус , который является высотой треугольника . Площадь , откуда . Площадь круга . Внутри параллелограмма находится часть круга.

II вариант.Рассчитайте вариант тупого угла .Ответ. .

ЧетырехугольникиВ параллелограмме биссектрисы при стороне делят сторону в точках и так, что . Найдите длину стороны , если .

2.

I вариант.Треугольник равнобедренный, следовательно, , и . Треугольник также равнобедренный и .Получаем .

II вариант.Рассчитайте другой вариант расположения биссектрис.

Ответ. .

ЧетырехугольникиВ трапеции основание , а боковые стороны и . Известно, что . Найдите .

3.

I вариант.Т.к. , то , . В треугольнике найдем и . По теореме Пифагора найдем . Получаем . В треугольнике по теореме Пифагора найдем

II вариант.Рассчитайте другой вариант трапеции

Ответ. .

ЧетырехугольникиТрапеция с основаниями и вписана в окружность радиуса . Найдите высоту трапеции

4.

I вариант.Пусть центр окружности расположен внутри трапеции. Проведем высоту трапеции через центр окружности . Т.к. перпендикуляр к хорде делит ее пополам, то , а . По теореме Пифагора найдем и . Следовательно .

II вариант.Рассчитайте вариант расположения центра окружности вне трапеции

Ответ. .

ЧетырехугольникиДана трапеция , основания которой и . Боковые стороны . Окружность, касающаяся прямых и , касается стороны в точке . Найдите длину отрезка .

5.

I вариант.Найдем высоту трапеции . Из треугольника найдем . По теореме косинусов найдем . Пусть , а . Получаем систему и . Из системы получаем

II вариант.Рассчитайте вариант расположения окружности вне трапеции. Воспользуйтесь равенством треугольников и . Тогда , а Ответ. .

ЧетырехугольникиВ трапеции основание , а боковые стороны и , диагонали пересекаются в точке . Высота трапеции равна . Найдите площадь треугольника .

6.

I вариант.Найдем и . Следовательно, . Треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Следовательно, . Обозначим . Из подобия треугольников и легко доказать, что . Пусть , а . Площади и удовлетворяют отношению или . Найдем площадь трапеции . Составим уравнение . Учитывая предыдущие соотношения, найдем

II вариант.Рассчитайте другой вариант трапеции

Ответ. .

Взаимное расположение окружностей

Взаимное расположение окружностейНайдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны и , а расстояние между центрами окружностей равно .

1.

I вариант.Радиусы и перпендикулярны касательной . Проведем параллельно . Очевидно, что , а . По теореме Пифагора найдем .

II вариант.Другой вариант общей касательной рассчитайте самостоятельно.

Ответ. .

Взаимное расположение окружностейРасстояние между центрами двух окружностей равно 20, длина радиуса одной из них равна 10. Окружности пересекаются в точках и , причем . Найдите длину радиуса второй окружности.

2.

I вариант.Пусть . Из треугольника найдем , тогда . По теореме Пифагора найдем .

II вариант.Другой вариант расположения окружностей рассчитайте самостоятельно

Ответ. .

Взаимное расположение окружностейВ треугольнике , . Найдите длину радиуса окружности с центром в точке касающейся окружности, вписанной в треугольник .

3.

I вариант.Найдем и . По формуле найдем радиус вписанной окружности . Обозначим искомый радиус . В треугольнике и . Запишем теорему Пифагора для этого треугольника . Откуда .

II вариант.Другой вариант расположения окружностей рассчитайте самостоятельноОтвет. .

Взаимное расположение окружностейВ треугольнике , а . Вершина служит центром окружности радиуса 2. Найдите длину радиуса окружности, касающейся данной окружности и проходящей через концы стороны .

4.

I вариант.Рассмотрим вариант внутреннего касания окружностей. Найдем по теореме Пифагора . По теореме о пересекающихся хордах или . Получаем .

II вариант.Пусть окружности касаются внешне. Радиус можно найти из треугольника .

Ответ. .

Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решенияОколо круга, площадь которого равна , описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5. Найдите длину большего основания трапеции.

1.

Ответ.

В равнобедренной трапеции длины оснований и равны соответственно 4 и 3. Найдите расстояние от точки до прямой , если длина стороны

2.

Ответ.

Длина радиуса окружности . На окружности взяты точки и , причем . Точка принадлежит диаметру , причем . Найдите площадь треугольника .

3.

Ответ.

Отношение длин катетов в прямоугольном треугольнике равно . Найдите отношение площади треугольника к площади описанного круга.

4.

Ответ.

Задачи для самостоятельного решенияДлина высоты равнобедренного треугольника равна . Окружность, центр которой лежит на основании, касается боковых сторон. Найдите площадь треугольника, если длина радиуса окружности равна 1.

5.

Ответ.

Из одной точки окружности проведены две хорды с длинами 4 и 6. найдите длину радиуса окружности, если расстояние между серединами хорд равно .

6.

Ответ.

В прямоугольном треугольнике на гипотенузе выбрана точка так, что . Найдите площадь этого треугольника, если , а .

7.

Ответ.

Задачи для самостоятельного решенияИз одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной равна . Расстояние между точками касания равно . Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

8.

Ответ.

В треугольнике . Найдите .9.Ответ.

В треугольнике . Точка лежит на прямой так, что . Окружности, вписанные в треугольники и , касаются стороны в точках и . Найдите длину отрезка .

10.

Ответ.

Задачи для самостоятельного решенияДлина окружности равна , – диаметр этой окружности. Точка лежит на окружности, причем площадь треугольника равна . Найдите величину угла .

11.

Ответ.

Окружности с центрами в точках и пересекаются в точках и . Известно, что . Найдите длины радиусов окружностей.

12.

Ответ.

или

В трапеции боковые стороны и . Верхнее основание . Известно, что . Найдите .

13.

Ответ.

Задачи для самостоятельного решенияДлины оснований трапеции равны 4 и 6. Прямая, параллельная основаниям делит трапецию на две трапеции, площади которых относятся как . Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.

14.

Ответ.

Через середину стороны квадрата проведена прямая, пересекающая прямые и в точках и соответственно. Прямая образует с прямой угол , причем . Найдите площадь треугольника , если .

15.

Ответ.

Задачи для самостоятельного решенияПлощадь трапеции равна , одно основание вдвое больше другого. Диагональ трапеции пересекаются в точке . Отрезки, соединяющие середину основания с вершинами и , пересекаются с диагоналями трапеции в точках и . Найдите площадь треугольника .

16.

Ответ.

Диагонали и трапеции пересекаются в точке . Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника равна 9, а точка делит одну из диагоналей в отношении .

17.

Ответ.

С2

Задачи для самостоятельного решения. КонусСечением конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, является треугольник с углом и противолежащей стороной, равной . Найдите градусную меру угла между плоскостями основания и сечения. если высота конуса равна .

1.

Сечение, проходящее через вершину конуса, пересекает окружность его основания в точках и и наклонено к плоскости основания под углом . Объем конуса равен , а расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно . Найдите длину образующей конуса.

2.

Объем конуса равен , а радиус его основания равен . Сечение, проходящее через вершину конуса , пересекает окружность его основания в точках и . Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно . Найдите градусную меру угла наклона плоскости сечения к плоскости основания конуса.

3.

Задачи для самостоятельного решения. КонусПлоскость, проходящая через две взаимно перпендикулярные образующие конуса, наклонена к плоскости его основания под углом . Найдите градусную меру угла между образующей конуса и его высотой.

4.

Секущая плоскость проходит через вершину конуса. Сечение конуса – треугольник, бóльший угол которого равен . Найдите градусную меру угла между плоскостями основания и сечения, если высота конуса в раза меньше его образующей.

5.

Объем конуса равен , а радиус его основания равен . Сечение, проходящее через вершину конуса , пересекает окружность его основания в точках и . Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно . Найдите градусную меру угла наклона плоскости сечения к плоскости основания конуса.

6.

Высота конуса равна . Плоскость сечения, проходящая через вершину конуса, наклонена к плоскости основания под углом . Сечение конуса – треугольник, площадь которого равна . Найдите градусную меру бóльшего угла между сторонами сечения.

7.

Задачи для самостоятельного решения. ЦилиндрКонцы отрезка лежат на окружностях оснований цилиндра. Высота цилиндра , радиус основания равен , а угол между прямой и плоскостью основания цилиндра равен . Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки и , и .

1.

Через точки и , лежащие на окружностях оснований цилиндра, проведена плоскость, параллельная его оси. Высота цилиндра равна , угол между прямой и плоскостью основания равен , расстояние между осью цилиндра и плоскостью, проходящей через точки и , равно . Найдите радиус основания цилиндра.

2.

Концы отрезка лежат на окружностях оснований цилиндра. Высота цилиндра равная , радиус основания равен , а угол между прямой и плоскостью основания цилиндра равен . Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки и .

3.

Задачи для самостоятельного решения. ЦилиндрПрямая пересекает окружности оснований цилиндра в точках и и наклонена к плоскости основания под углом . Плоскость, содержащая прямую , параллельна оси цилиндра и удалена от этой оси на расстояние . Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен .

4.

Через точки и . лежащие на окружностях оснований цилиндра, проведена плоскость. параллельная его оси. Высота цилиндра равна , угол между прямой и плоскостью основания цилиндра равен , расстояние между осью цилиндра и плоскостью, проходящей через точки и , равно . Найдите радиус окружности основания цилиндра.

5.

Концы отрезка лежат на окружностях оснований цилиндра. Высота цилиндра равна , радиус основания , угол между прямой и плоскостью основания равен Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки и .

6.

Доказательство. Докажем, что медианы AA1 и CC1 в точке пересечения M делятся в отношении 2:1.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.

Пусть D – середина отрезка BA1. Тогда C1D – средняя линия треугольника ABA1. Следовательно, прямые AA1 и C1D параллельны.

Так как CA1:A1D = 2:1, то по теореме о пропорциональных отрезках получим: CM:MC1 = 2:1.

Аналогично доказывается, что медианы BB1 и CC1 в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Значит, все медианы пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.

Медианы треугольника

Докажите, что если для сторон в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM.

Упражнение 1

Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD и BMC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC. Так как против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол, то угол ACD меньше угла ADC. Значит, угол ACM меньше угла BCM.

Докажите, что медиана CM треугольника ABC меньше полусуммы сторон AC и BC.


Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD и BMC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC. В силу неравенства треугольника, сторона CD меньше суммы сторон AC и AD. Значит, медиана CM треугольника ABC меньше полусуммы сторон AC и BC.

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите медиану этого треугольника, проведенную из вершины прямого угла.


Ответ. 2,5.

Доказательство следует из того, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина

гипотенузы.

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.


Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что для медианы mc, проведенной из вершины C, имеет место формула

2 2 212 2 .

2cm a b c

Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем:

22 2 2 cos ,

4 2c c

c cb m m ADC

22 2 2 cos .

4 2c c

c ca m m BDC

Складывая эти равенства, получим равенство

из которого непосредственно следует искомая формула.

22 2 22 ,

2 c

ca b m


Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Доказательство. Отрезок CO является медианой треугольника BCD. Из предыдущей задачи следует равенство

Что и требовалось доказать.

2 2 2 22 2 .c d a b


Стороны треугольника равны 11, 12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.


Ответ. 9,5.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 4. Найдите основание этого треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3.


Ответ. 10.

Докажите, что медиана треугольника делит его площадь пополам, а три медианы треугольника делят его на шесть треугольников одинаковой площади.


Площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.


Решение. На продолжении отрезка MC1 отложим равный ему отрезок C1D.Стороны треугольника ADM равны две трети медиан, а его площадь равна одной третьей. Следовательно, площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC, равна три четвертых.

Ответ. 0,75.

Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Биссектрисы треугольника

Доказательство. Пусть CD – биссектриса треугольника ABC. Докажем, что AD : DB = AC : BC. Проведем прямую BE, параллельную CD. В треугольнике BEC угол B равен углу E. Следовательно, BC = EC. По теореме о пропорциональных отрезках, AD : DB = AC : CE = AC : BC.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, угол A равен 30о. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM этого треугольника.

Ответ. 15о.


Угол C треугольника ABC равен 60о. Найдите угол между биссектрисами AA1 и BB1 этого треугольника.

Ответ. 120о.


Пусть в треугольнике ABC AC = b, BC = a. Докажите, что для биссектрисы lc, проведенной из вершины C, имеет место формула

где c’, c’’ – отрезки на которые биссектриса делит сторону AB

' '',cl ab c c

Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем:

Умножим первое равенство на c’’, второе на c’ и сложим полученные равенства. Делая тождественные преобразования, получим равенство .

2 2 2' 2 ' cos ,c cb c l c l ADC 2 2 2'' 2 '' cos .c ca c l c l BDC


В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5. Найдите биссектрису CD.


Ответ: 12 2

.7

В треугольнике ABC AC = BC = 20, AB = 5, Найдите биссектрису AD.


Ответ: 6.

В треугольнике ABC AC = 12, BC = 15, AB = 18, Найдите биссектрису СD.


Ответ: 10.

В треугольнике ABC AC = BC, AD – биссектриса, AB = CD = 1. Найдите AC.


Ответ: 1 5

.2

Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его площадь на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство. У треугольников AC1C и BC1C высота, проведенная из вершины C, общая, а стороны AC1 и BC1 относятся как стороны AC и BC. Следовательно, площади треугольников AC1C и BC1C относятся как стороны AC и BC.


В треугольнике ABC AC = 3, BC = 4, AB = 5, CD – биссектриса. Найдите площадь треугольника ACD.


Ответ: 4

2 .7

Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что биссектриса CС1 делится точкой пересечения биссектрис в отношении (a+b):c, считая от вершины.


Доказательство. Проведем прямую C1C’, параллельную AA1. Тогда A1C’: C’B = AC1: C1B = b : a. Пусть A1C’ = bx, C’B = ax. Так как CA1: A1B = b : c, то CA1: A1C = b(a+b)x/c. Следовательно, CO : OC1 = (a + b)/c.

Высоты треугольникаТеорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

(Средним геометрическим двух положительных чисел a и b называется положительное число c, квадрат которого равен ab, т.е. c = ).a b

Доказательство. Треугольники ADC и CDB подобны.

Следовательно, , или CD2 = ADBD, т.е. CD является средним геометрическим AD и BD.

AD CD

CD BD


В треугольнике ABC AB = 5, BC = 4, AC = 3. Найдите высоту CH.

Ответ. 2,4.


В треугольнике ABC AB = 6, AC = BC = 5. Найдите высоту AH.

Ответ. 4,8.


В треугольнике ABC AB = 6, AC = 5, BC = 4. Найдите высоту CH.

Ответ. 5 7.

4


В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1AC и B1BC подобны.

Доказательство. Треугольники A1AC и B1BC прямоугольные и имеют общий угол C. Следовательно, они подобны по двум углам.


В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы A1AC и B1BC равны.

Доказательство. Окружность с диаметром AB пройдет через точки A1 и B1. Вписанные углы A1AC и B1BC опираются на одну дугу AB1. Следовательно, они равны.Для доказательства равенства углов можно было бы воспользоваться тем, что стороны данных углов перпендикулярны.


В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Доказательство. Окружность с диаметром AB пройдет через точки A1 и B1. Вписанные углы AA1B1 и ABB1 опираются на одну дугу AB1. Следовательно, они равны.


В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BAC и B1A1C равны.

Доказательство. Угол BAC равен 90о минус угол ABB1. Угол B1A1C равен 90о минус угол AA1B1. Так как углы AA1B1 и ABB1 равны (см. предыдущую задачу), то равны и углы BAC и B1A1C.


В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C.

Доказательство. Углы BAC и B1A1C равны (см. предыдущую задачу). Угол C треугольников ABC и A1B1C общий. Следовательно, данные треугольники подобны по двум углам.

Упражнение 9В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Докажите, что угол A1C1C равен углу B1C1C, т.е. биссектриса треугольника A1B1C1 лежит на высоте треугольника ABC.

Доказательство. Имеют место равенства:

1 1 1 1 1 1 .A C C A AC B BC B C C

Упражнение 10В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Его углы равны Найдите углы треугольника A1B1C1.

, , .

Ответ. 2 , 2 , 2 .

Упражнение 11Теорема. Для радиуса r окружности, вписанной в треугольник, имеет место формула

где ha, hb, hc – высоты треугольника.

1 1 1 1,

a b cr h h h

Доказательство. Пусть стороны треугольника ABC равны a, b, c. Для площади S треугольника имеют место равенства:

Из которых следует требуемая формула.

2 ; 2 ( ) ,a b cS a h b h c h S a b c r

Упражнение 12Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

Доказательство. Для точки C’, симметричной точке H пересечения высот треугольника ABC, имеем

1 1' 180 .AC B AHB A HB C

Следовательно, точка C’ принадлежит описанной окружности. Аналогично, описанной окружности принадлежат остальные две симметричные точки.

Окружность 1Теорема 1. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол.

Доказательство. Рассмотрим угол АСВ с вершиной С внутри круга и точками А и В на окружности. Пусть А1, В1 – точки пересечения с

окружностью сторон вертикального к нему угла. Проведем хорду BB1. Угол АСВ является внешним углом треугольника B1СВ.

Следовательно, ACB = AB1B + B1BA1. Углы, стоящие в правой

части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что и завершает доказательство.

Окружность 2Теорема 2. Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Доказательство. Пусть угол ACB образован

касательной AC и хордой BC окружности. Если этот угол – прямой, то BC – диаметр окружности и, следовательно, угол ACB измеряется половиной дуги полуокружности, заключенной внутри этого угла. Если угол ACB – острый, то проведем диаметр CD. Имеем ACB = ACD – BCD. Угол ACD измеряется половиной дуги CBD окружности. Угол BCD измеряется половиной дуги BD окружности. Следовательно, их разность (угол ACB) измеряется половиной дуги CB окружности, заключенной внутри этого угла.

Самостоятельно рассмотрите случай тупого угла.

Окружность 3Теорема 3. Угол с вершиной вне круга, стороны которого пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла.

Доказательство. Рассмотрим угол ACB с вершиной C вне окружности и точками A и B на окружности. Пусть А1, В1 – точки

пересечения с окружностью сторон AC и BC. Проведем хорду AB1.

Угол АВ1B является внешним углом треугольника AB1С.

Следовательно, ACB = AB1B – B1AA1. Углы, стоящие в правой

части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что и завершает доказательство.

Окружность 4Теорема 4. Произведение отрезков любой хорды, проведенной через внутреннюю точку круга, равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку.

Доказательство. Пусть дан круг с центром в точке O, хорда AB и диаметр CD пересекаются в точке E. Докажем, что Треугольники ACE и DBE подобны. Следовательно,

значит, ,AE CE

DE BE

.AB AE CE DE

.AB AE CE DE

Окружность 5Теорема. Произведение отрезков AE и BE секущей, проведенной к окружности из внешней точки E, равно квадрату отрезка CE касательной.

Доказательство. Треугольники EAC и ECB подобны. Следовательно, AE:CE = CE:BE, значит, AE·BE = CE2.


Вписанные углы ACB и CAD равны соответственно 36о и 20о. Найдите угол AQB, образованный пересекающимися хордами AC и BD.

Ответ: 56о.


Угол AQB, образованный пересекающимися хордами AC и BD окружности, равен 54о. Вписанный угол ACB равен 34о. Найдите вписанный угол CAD.

Ответ: 20о.


Дуги AB и CD окружности составляют соответственно 72о и 38о. Найдите угол AQB, образованный пересекающимися хордами AC и BD.

Ответ: 55о.


Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 118о и 38о.

Ответ: 40о.


Угол ACB равен 42о. Градусная величина дуги AB окружности равна 124о. Найдите угол DAE.

Ответ: 40о.


Угол ACB равен 42о. Градусная величина дуги DE окружности равна 38о. Найдите угол ADB.

Ответ: 61о.


Найдите угол ACB, если вписанный угол ADB равен 62о, а угол AQB равен 80о.

Ответ: 44о.


Хорда AB стягивает дугу окружности в 92о. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B.

Ответ: 46о.


Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32о. Найдите градусную величину дуги, стягиваемую хордой AB.

Ответ: 64о.


Через концы A, B дуги окружности в 62о проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB.

Ответ: 118о.


Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122о. Найдите градусную величину дуги AB, стягиваемую точками касания.

Ответ: 58о.


Хорда АВ стягивает дугу окружности в 44о. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательными к окружности, проведенными через ее концы.

Ответ: 22о.


Найдите угол ACB, если его стороны CA и CB касаются окружности, а дуга ADB окружности, заключенная внутри этого угла, равна 132о.

Ответ: 48о.


Угол ACB равен 52о. Его стороны CA и CB касаются окружности. Найдите градусную величину дуги ADB окружности, заключенной внутри этого угла.

Ответ: 128о.


Найдите угол ACB, если его стороны CA и CB касаются окружности, а дуга ADB окружности, заключенная внутри этого угла, равна 232о.

Ответ: 52о.


Угол ACB равен 48о. Его стороны CA и CB касаются окружности. Найдите градусную величину дуги ADB окружности, заключенной внутри этого угла.

Ответ: 228о.


В угол АВС вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 5:4. Найдите величину угла АВС.

Ответ: 20о.


Окружность разделена точками А, В, С на дуги, градусные величины которых относятся как 11 : 3 : 4. Через точки А, В, С проведены касательные до их взаимного пересечения. Найдите углы образовавшегося треугольника.

Ответ: 80о, 60о, 40о.


Найдите величину угла ACB.

Ответ: 45о.


Найдите величину угла ACB.

Ответ: 45о.


Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом, т. е. таких точек С, для которых угол АСВ равен данному углу.

Ответ: Дуги двух окружностей одинакового радиуса, опирающихся на отрезок AB, без точек A и B.

Упражнение 22Найдите геометрическое место вершин C прямоугольных треугольников АВС с данной гипотенузой АB.

Ответ: Окружность с диаметром AB, за исключением точек A и B.


Ответ: а) ГМТ, лежащих вне окружности с диаметром AB и не принадлежащих прямой AB;

Для данных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для которых угол АСВ: а) острый; б) тупой.

б) ГМТ, лежащих внутри окружности с диаметром AB и не принадлежащих отрезку AB.


На прямой c отметьте точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.

Ответ:


На прямой c отметьте точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.

Ответ:


Пусть AC и BD – хорды окружности, пересекающиеся в точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE подобны.

Доказательство: Угол A треугольника ABE равен углу D треугольника CDE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности.

Аналогично, угол B равен углу C.

Следовательно, треугольники ABE и CDE подобны по первому признаку.


На рисунке AE = 3, BE = 6, CE = 2. Найдите DE.

Ответ: 4.


На рисунке AB = 8, BE = 6, DE = 4. Найдите CD.

Ответ: . 1

53


На рисунке CE = 2, DE = 5, AE = 4. Найдите BE.

Ответ: 10.


На рисунке CE = 4, CD = 10, AE = 6. Найдите AB.

Ответ: 15.


Ответ: DEK и DLF, DEK и ELK, DLF и ELK, DFK и DLE, DFK и FLK, DLE и FLK.

На рисунке DL – биссектриса треугольника DEF, вписанного в окружность. DL пересекает окружность в точке K, которая соединена отрезками с вершинами E и F треугольника. Найдите подобные треугольники.


Ответ: ABH и ADC, ACH и ADB, ABM и CDM, BMD и AMC.

В окружность вписан остроугольный треугольник ABC, AH – его высота, AD – диаметр окружности, который пересекает сторону BC в точке M. Точка D соединена с вершинами B и C треугольника. Найдите подобные треугольники.

Упражнение 33Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите, что треугольники ADE и BCE подобны.

Доказательство: Угол D треугольника ADE равен углу C треугольника BCE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Угол E этих треугольников общий.

Следовательно, треугольники ADE и BCE подобны по первому признаку.

Упражнение 34Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите, что AE·CE = BE·DE.

Доказательство: Треугольники ADE и BCE подобны. Значит, AE : DE = BE : CE.

Следовательно, AE·CE = BE·DE.


На рисунке AE = 9, BE = 8, CE = 24. Найдите DE.

Ответ: 27.

Упражнение 36Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и касательная EС (C – точка касания). Докажите, что треугольники EAC и ECB подобны.

Доказательство. У треугольников EAC и ECB угол E общий. Углы ACE и CBE равны, как углы, опирающиеся на одну хорду. Следовательно, треугольники EAC и ECB подобны.


На рисунке AE = 6, BE = 24. Найдите CE.

Ответ: 12.

Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причем r < R и r + R < a. Найдите AB.

Ответ. или .2 2( )a R r 2 2( )a R r

Решение. Пусть O1 – центр окружности радиуса R, O2 – центр окружности радиуса r. Возможны два случая: AB – внешняя касательная, AB – внутренняя касательная.

В первом случае (рис. 1) через точку O2 проведем прямую, параллельную AB, и обозначим P ее точку пересечения с прямой O1A. Тогда AB =

2 2 2 21 2 1 ( ) .O O O P a R r

Во втором случае (рис. 2) через точку O2 проведем прямую, параллельную AB, и обозначим P ее точку пересечения с прямой O1A. Тогда AB =

2 2 2 21 2 1 ( ) .O O O P a R r


Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O, основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O.

В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ трапеции равна OQ – OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9.

2 225 7 24, 2 225 20 15.

Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ трапеции равна OQ + OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39.

2 225 7 24, 2 225 20 15.

Ответ. 9 или 39.


Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Известно, что угол AO1B равен 90о, угол AO2B равен 60о, O1O2 = a. Найдите радиусы окружностей.Решение. Возможны два случая: точки O1, O2 расположены по разные стороны от прямой AB, точки O1, O2 расположены по одну сторону от прямой AB. Обозначим r радиус окружности с центром O1. Тогда радиус окружности с центром O2 будет равен . Обозначим P точку пересечения прямых O1O2 и AB. Тогда O1P = , O2P = .

2r2 / 2r 6 / 3r

В первом случае (рис. 1)

и, следовательно,

6 /3 2 / 2r r a ( 6 2) ( 12 2)

, .2 2

a ar R

Во втором случае (рис. 2)

и, следовательно,

6 /3 2 / 2r r a ( 6 2) ( 12 2)

, .2 2

a ar R

Ответ. или( 6 2)

, ( 3 1).2

ar R a

( 6 2), ( 3 1).

2

ar R a


Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол AOC равен 60о. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите угол AMC.

В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75о и, следовательно, угол AMC равен 105о.

Ответ. 105о или 165о.

Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC.

Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15о и, следовательно, угол AMC равен 165о.


Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC.Решение. По теореме синусов Откуда

Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC.

6 424.

sin sinC A

1sin .

6A

1sin ,

4C

Опустим перпендикуляр BH на прямую AC. Тогда BH = ABsinA = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1)

AC = Во втором случае (рис. 2) AC =

26 1 35, 24 1 15.

35 15.35 15.

Ответ. или 35 15 35 15.


Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB.

В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA1, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45о. Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135о.

Ответ. 45о или 135о.

Решение. Пусть AA1, BB1 – высоты треугольника ABC. Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A1 и B1. Возможны два случая расположения точки H.


В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1, O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B1C1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC.

Решение. Возможны два случая расположения отрезка B1C1.

На BC, как на диаметре, опишем окружность с центром P. Треугольник B1C1P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB1 и CPC1 равна 120о. В первом случае (рис. 1) треугольники BPC1 и CPB1 равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120о. По теореме

синусов находим R = . 8 3

Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150о.

По теореме синусов находим R = 24.

Ответ. или 24.8 3


Презентация составлена на основе материала, разработанного преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем

Использовались задания, составленные Смирновым Владимиром Алексеевичем, доктором физико-математических наук, профессором, заведующим кафедрой элементарной математики Московского педагогического государственного университета

Спасибо за внимание!

Documents

Вебинар для учителей математики Хабаровского края 17 мая 2013 года