Теорема Менелая.

•Теория.•Тренажеры.•Задачи.

Теорема Менелая (теория).

Теорема:Пусть некоторая прямая пересекает

две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. Точки

это пересечения со сторонами

или их продолжениями соответственно.

Тогда имеет место следующее равенство:

111 ,, CBA

11

1

1

1

1

1 AC

BC

BA

CA

CB

AB

ABACBC ,,

А

В

С

1A

1B

1C

Правило для запоминания

Обход можно начинать с любой точки, но при этом обязательно чередовать: вершина – точка на стороне – вершина – точка на стороне и т.д.

А

В

С

1A

1B

1C

Тренажер-1.

Для заданных чертежей записать теорему Менелая.

Тренажер-2.На заданных чертежах найти два

возможных применения теоремы Менелая. Пример:

Тренажер-3.Найти отношения отрезков:

?

?

2

6

9 4

6

2 3

1? ?

8

3

5

4

? ?

12

4

3

4? ?

Задачи.Задача 1.Доказать теорему о точке

пересечения медиан.

Задача 2.В треугольнике АВС проведена

медиана AD. На ней выбрана точка К так, что AK:KD=3:1. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС?

А СЕ

F

M

A

B СD

Р

K

3

1

Задачи.Задача 3.На сторонах треугольника АВС даны

соответственно точки М и N такие, что АМ:МВ=СN:NA=1:2. В каком отношении точка S (пересечение этих отрезков) делит каждый из этих отрезков?

Задача 4. В треугольнике АВС биссектриса

AD делит ВС в отношении 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису?

B

A СN

S

2

1

Р

12

B

A С

К

2

1Е

D

Задачи.Задача 5.В треугольнике АВС на стороне

АВ взята точка К так, что АК:ВК=1:3, а на стороне ВС взята точка L так, что CL:BL=2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и CК. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQL равна 2.

А

В

С

К

L

Qx

3x

y

2y

S=2

Решение:

1) Применим теорему Менелая к треугольнику ABL:

.1

21

2

3

3

QA

LQ

QA

LQ

y

y

x

x2z

z

S=1

2) Найдем площадь треугольника ABQ:

.12

ABQBQL

ABQ Sz

z

S

S

S=3

3) Используем отношение площадей треугольников ABL и ALC:

.62

ALCALC

ABL Sy

y

S

S

S=6

Ответ: площадь треугольника равна 9.

Задачи.

Задача 6. (ЕГЭ-2008)

Точка М, лежащая на стороне параллелограмма ABCD, соединена с вершиной В. Диагональ АС пересекает отрезок ВМ в точке К. Площадь треугольника КВС равна 6, площадь треугольника КМС равна 4. Найти площадь исходного параллелограмма.

А

BC

D

K

M

S=6

S=4

Решение:

.2

3

4

6)1

KM

BK

S

S

MKC

BKC 3x

2xO

2) Применим теорему Менелая к треугольнику BDM:

.3

21

2

3

1

1

CD

MC

CD

MC

x

x

2y

y

S=10

3) Используем отношение площадей треугольников BMС и DMC:

.51

2 BDM

BDM

BMC SS

S

S=5

S=15

S=15

Получаем, что площадь всего параллелограмма равна 30.

Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах.

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD точка F – середина ребра МВ, точка К делит ребро МD в отношении МК:KD=5:1.

• В каком отношении плоскость АFK делит:

1) Высоту МО данной пирамиды?

2) Ребро МС?A

B C

D

M

O

F

K

Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах.

A

B C

D

M

O

F

K

Решение: Построение сечения.

Н

L

1) AF и AK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды.

2) FK – пересечение плоскости сечения с BMD.

3) Прямая AL – пересечение плоскости сечения с АМС.

4) Прямые FL и FK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды.

5) AFLK – искомое сечение.

Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах.

A

B C

D

M

O

F

K

Н

L

S

B

M

DО

FK

x

x5y

yS

Н

1) По теореме Менелая для треугольника ВMD получаем:

5

11

5

SB

DS

SB

DS

y

y

x

x

2z 2z z3z

2) Для треугольника ВМС получаем:

3

51

5

3

HC

MH

z

z

HC

MH

x

x

Решение: нахождение отношения МН:НО

A

B C

D

M

O

F

K

Н

L

Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах.

Нахождение отношения ML:LC

CО

Н

М

А

L5x

3x

По теореме Менелая для треугольника МОС получаем:

6

51

1

2

5

3

LC

ML

LC

ML

x

x