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第九节 各种积分间的关系. 一 格林（ Green) 公式及其应用. 二 高斯 (Gauss) 公式. 格林 （ Green.George ） 简介. 磨坊工数学家. 格林 （ 1793 — 1841 ）十八世纪英国数学家. 8 岁上学， 9 岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅 力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他 35 岁时发表 了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”，随后又完成了三篇论文。 40 岁终于进入 了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却 - PowerPoint PPT Presentation
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第九节 各种积分间的关系
一 格林（ Green) 公式及其应用
二 高斯 (Gauss) 公式
格林 （ Green.George ） 简介
格林 （ 1793—1841 ）十八世纪英国数学家 8 岁上学， 9 岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他 35 岁时发表了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理论中的应用”，随后又完成了三篇论文。 40 岁终于进入了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却包含了影响 19 世纪数学物理发展的宝贵思想。
磨坊工数学家
3
1. 区域连通性的分类一 格林公式及其应用
设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成
的部分都属于 D, 则称 D 为单连通区域 , 否则称为
复连通区域 .
复连通区域单连通区域
DD
有洞
4
2. 格林公式定理 1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成 ,
( )L
D
Q Pdxdy Pdx Qdy
x y
, , ,P x y Q x y D函数 在 上有一阶连续
偏导数，则有
.L其中 取正向
二重积分与其区域边界上的曲线积分之间的联系
格林公式?
2L
o x
y
5
L正向：逆时针 组成与由 21 LLL
边界曲线 L 的正向 : 当观察者沿边界行走时 ,区域 D总在他的左边 .
o
D
L
x
y
1L
D
规定
2L
注：1. 格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广。
2. 边界是反方向，则
( )L
D
Q Pdxdy Pdx Qdy
x y
3. 区域是复连通区域时，格林公式也成立，边界必须是区域的整个边界。
7
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD
证明： (1) 特殊情形设区域D既是 X 型又是 Y 型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.
}),()(),{( 21 dycyxyyxD
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy
)(2 xy
A
B
C
E
)(2 yx
)(1 yx
8
dxxQ
dydxdyxQ y
y
d
cD
)(
)(
2
1
d
c
d
cdyyyQdyyyQ )),(()),(( 12
CAECBE
dyyxQdyyxQ ),(),(
EACCBE
dyyxQdyyxQ ),(),(
L
dyyxQ ),(
同理可证
L
D
dxyxPdxdyyP
),(
y
xo
D
c
d
A
B
C
E
)(2 yx
)(1 yx
( , )L
D
Qdxdy Q x y dx
x
9
若区域D由分段光滑的闭曲线围成.如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D1D
2D3D
两式相加得
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
)(
将D分成三个既是 X 型又 是 Y 型的区域 1D , 2D , 3D .
321
)()(DDDD
dxdyyP
xQ
dxdyyP
xQ
10
1 2 3
( ) ( ) ( )D D D
Q P Q P Q Pdxdy dxdy dxdy
x y x y x y
321 LLL
QdyPdxQdyPdxQdyPdx
L
QdyPdx
1D
2D3D
L1L
2L3L
1, 2 3( ,
)
L L L D对 来说
为正方向
11
格林公式的实质 :
揭示了平面闭区域上二重积分与区域
边界上的曲线积分之间的联系 .
12
3. 简单应用(1) 简化曲线积分的计算
2
1
2 0.L
L
xydx x dy
例 设 是一条分段光滑的闭曲线，证明
13
证 : 令
,,2 2xQyxP 则
利用格林公式 , 得 22 d d
Lx y x x y
D
yx dd0 0
14
例 2 计 算
D
y dxdye2
, 其 中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为 顶 点的 三 角 形 闭 区 域 .
(2) 简化二重积分的计算
15
解 令2
,0 yxeQP ,
x
y
o
AB
1
1D则
2yeyP
xQ
,
应用格林公式,有
BOABOA
y
D
y dyxedxdye22
1
0
22
dxxedyxe x
OA
y ).1(21 1 e
16
例3 计算
L yxydxxdy
22 ,其中L为一条
无重点,分段光滑且不经过原点的连续 闭曲线, L的方向为逆时针方向.
17
则当 022 yx 时,
有yP
yxxy
xQ
222
22
)(.
记L所围成的闭区域为 D, 解
令 2222 ,yx
xQ
yxy
P
,
L yxydxxdy
22
18
L
(1) 当 D)0,0( 时,
(2) 当 D)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
LD由格林公式知 2 2 0
L
xdy ydx
x y
作位于D内圆周 222: ryxl ,
记 1D由L和l所围成,
应用格林公式,得
y
xo
1D L l
Q Pdxdy Pdx Qdy
x y
19
lL yxydxxdy
yxydxxdy
2222x
y
o r
1Dl
L02222
lL yxydxxdy
yxydxxdy
(其中l的方向取逆时针方向)
.2 ( 注意格林公式的条件 )
2 2 2 22
20
cos sin=
r rd
r
1D L l
Q Pdxdy Pdx Qdy
x y
L l
Pdx Qdy 0
20
格林公式:
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
)(
取 ,, xQyP 得
L
D
ydxxdydxdy2
闭区域D的面积 L
ydxxdyA21
.
(3) 计算平面区域面积
21
cos4 L 0 2
sin
.
x a
y b
例 椭圆 ： ，
所围面积
22
2
0
22 d)sincos(21
abab
ab
解 由求面积的公式：
5 sin cos 1x x
Le y y dx e y dy 例 计算
2 2 ( 0) 0,0 1,0L x y x y O A 其中 ： 从 到
的上半圆周.
24
y
A xo
L
解 : 为了使用格林公式 , 添加辅助线段
,AO
D
它与 L 所围
原式 ( sin )d ( cos 1)dx x
L AOe y y x e y y
d dD
x y 0
1dx x
区域为 D , 则
5 sin cos 1x x
Le y y dx e y dy 例 计算
( sin )d ( cos 1)dx x
AOe y y x e y y
1
8 2
求曲线积分时 , 可利用格林公式简化计算 ,
若积分路径不是闭曲线 , 可添加辅助线 ;
注
26
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
o x
y
A B
CD
E F
G
若区域 如图
为复连通域，试描
述格林公式中曲线
积分中 L 的方向 .
思考题
27
思考题解答
o x
y
A B
CD
E F
GL 由两部分组成
外边界：
内边界：
BCDAB
EGFE
28
G
y
xo
1L
QdyPdx
则称曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关,
4. 平面上曲线积分与路径无关的等价条件
2L
QdyPdx
1L
2L
B
A
如果在区域 G 内有
否则与路径有关.
29
说明 : 积分与路径无关时 , 曲线积分可记为
B
AyQxP dd
AByQxP dd
30
定理 2. 设 D 是单连通域 , 在 D 内具有一阶连续偏导数 ,
(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L , 有
.0dd L
yQxP
(2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
(3)
( , )du x y P d x Q d y
(4) 在 D 内每一点都有
.x
Q
y
P
L
yQxP dd
与路径无关 , 只与起止点有关 .
函数则以下四个条件等价 :
在 D 内是某一函数 的全微分 ,
即
31
由定理 2 知： Q P
x y
当满足 时，
积分与路径无关，可以取路径为平行于
0 0
( , )
( , ), ,
x y
x yP x y dx Q x y dy
坐标轴的折线，即
x
xxyxP
0
d),( 0 y
yyyxQ
0
d),(y
x0y
0x
00( , )d
y
yQ x y y或
x
xxyxP
0
d),(
yxyxyx ,,, 000
0,x y
,x y
0 0,x y
32
2 2 46 ( 2 ) ( )
(0,0) (1,1)
sin .2
Lx xy dx x y dy
L O B
xy
例 计算 ，
其中 为由点 到点 的曲线弧
33
xxyxyy
P2)2( 2
xyxxx
Q2)( 42
解
xQ
yP
，
原积分与路径无关
故原式 1
0
1
0
42 )1( dyydxx .1523
34
2
(1,1) 2
(0,0)
7 ( )
(0) 0
( ) .
Lxy dx y x dy
xy dx y x dy
例 设曲线积分
与路径无关，其中 具有连续的导数，且 ，
计算
35
积分与路径无关xQ
yP
，
解
,2)( 2 xyxyyy
P
),()]([ xyxyxx
Q
,),( 2xyyxP ),(),( xyyxQ
36
由 0)0( ，知 0c 2)( xx .
故 )1,1(
)0,0(
2 )( dyxydxxy
由 xyxy 2)( cxx 2)(
1
0
1
00 ydydx .
21
37
由定理 2 知： , ,Q P
u x yx y
当满足 时，存在 使
0 0
( , )
( , )( , )
x y
x yu x y Pdx Qdy 且
, ,du P x y dx Q x y dy
由于积分与路径无关，可以取路径为平行于
坐标轴的折线，这样就可求出 u （ x ， y ）。
38
y
x
Dyx ),( 00 及动点 ,),( Dyx
x
xxyxP
0
d),( 0
或
y
yyyxQyxu
0
d),(),( 0
0y
0x
则
y
yyyxQ
0
d),(
x
xxyxP
0
d),(
取定点
, .u x y Pdx Qdy称 为 的原函数
, 0 .u x y c Pdx Qdy 是微分方程 的通解
称全微分方程
39
例 8 验证 是某个
函数的全微分 , 并求出这个函数 .
40
证 : 设 ,, 22 yxQyxP 2P Q
x yy x
则
由定理 2 可知 , 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxu ddd 22
。)0,0(
。),( yx
)0,(x
x
xx0
d0
yyxy
d0
2
yyxy
d0
2
41
内容小结1. 格林公式
LyQxP dd
2. 等价条件
在 D 内与路径无关 .
yP
xQ
在 D 内有d u P d x Q d y
yxyP
xQ
Ddd
L
yQxP dd
对 D 内任意闭曲线 L 有
0dd L yQxP
在 D 内有
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则有
根据定理 2 , 若在某区域内 ,xQ
yP
则
2) 求曲线积分时 , 可利用格林公式简化计算 ,
若积分路径不是闭曲线 , 可添加辅助线 ;
1) 计算曲线积分时 , 可选择方便的积分路径 ;
3) 可用积分法求
在域 D 内的原函数 :
d u P d x Q d y
43
设
思考题
44
提示 : ),(d yxu xxyx d)4( 34 yyyx d)56( 422
y
o x
),( yx
)0,(x
xxx
d0
4 yyyxy
d)56(0
422
C
5
51x 322 yx Cy 5
xxyx d)4( 34 yyyx d)56( 422
C
