Методическая разработка Савченко Е.М

Открытый банк заданий по математике Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

наибольшее наибольшее значениезначение


наименьшеенаименьшеезначениезначение


aa bb

aa bb

Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек.

Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.

Значит,

наибольшее и наименьшее значения наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b. значения в концах а и b.

функция возрастаетфункция возрастает

функция убываетфункция убывает






aa bb

aa bb

Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек.

Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b.

Чтобы найти наибольшее и Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно число критических точек, нужно вычислить значения функции во вычислить значения функции во всех критических точках и на всех критических точках и на концах отрезка, а затем из концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.наибольшее и наименьшее.

ПримерыПримеры

cc

nncc


Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]

1.1.

Найдем критические Найдем критические точки, которые точки, которые принадлежат принадлежат заданному отрезку.заданному отрезку.

Выбрать наименьшее из Выбрать наименьшее из полученных значений. полученных значений.

Значения функции в Значения функции в концах отрезка.концах отрезка.

1) y(0) = 0

y(4) = 43– 27 4 = – 44

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

x = 3 [0; 4]

x = –3 [0; 4]

y(3) = 33– 27 3 = –54

3 х1 0 хВ 11 - 5 4

Значения функции в Значения функции в критических точках, критических точках, которые принадлежат которые принадлежат заданному отрезку.заданному отрезку.

33 -3-3

Этапы Этапы

1. Найти 1. Найти ff //(x)(x)

2. Найти 2. Найти критические точки, критические точки, взять те, которые взять те, которые принадлежат принадлежат данному отрезку. данному отрезку.

3. Вычислить 3. Вычислить значения функции в значения функции в критических точках критических точках и на концах отрезка. и на концах отрезка.

4. Из вычисленных 4. Из вычисленных значений выбрать значений выбрать наименьшее или наименьшее или наибольшее наибольшее


1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)33 -3-3

x = 3 [0; 4]

x = –3 [0; 4]

y(4) = 43– 27 4 = – 44

y(3) = 33– 27 3 = –54

3 х1 0 хВ 11 - 5 4

3) y(0) = 0

Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно. Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.



aa bb

aa bb

Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] однуодну точку экстремума.

Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение.

Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Этапы Этапы

1. Найти 1. Найти ff //(x)(x)

2. Найти критические 2. Найти критические точки, взять те, точки, взять те, которые которые принадлежат принадлежат данному отрезку. данному отрезку.

3. Вычислить 3. Вычислить значения функции в значения функции в критических точках критических точках

и на концах отрезка. и на концах отрезка.

4. Из вычисленных 4. Из вычисленных значений выбрать значений выбрать наименьшее и наименьшее и наибольшее наибольшее


1) y / = 3x2 – 27

2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

33 -3-3

y(3) = 33– 27 3 = –54

3 х1 0 хВ 11 - 5 4

3)

Другой способ решения Другой способ решения

++++ ––x

y\

y -3 300 44

minmin

Наименьшее Наименьшее значение функция значение функция будет принимать в будет принимать в точке минимума.точке минимума.Можно сэкономить Можно сэкономить на вычислениях на вычислениях значений функции в значений функции в концах отрезка.концах отрезка.

Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

x = –1 [-2; 0]


Выбрать наибольшее из Выбрать наибольшее из полученных значений. полученных значений.


1) y(0) = 4

y(-2) = (-2)3– 3 (-2) +4 = 2

2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)

x = 1 [-2; 0]

y(-1) = (-1)3– 3 (-1) + 4 = 6

3 х1 0 хВ 11 6


11 -1-1

Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4 на отрезке [– 2; 0]

2.2.




1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3

y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39

2) y / = 3x2 – 4x + 1=

[1; 4]

y(1) = 3

3 х1 0 хВ 11 3


Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2x2 + x +3 на отрезке [ 1; 4 ]

3.3.

3x2 – 4x + 1 = 0

D=16–4*3*1=4

x2=4-2

6=

31 [1; 4]

313(x – 1)(x – )

6x1=

4+2= 1

1172797)3(93

)3()3(

3

у

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3; 3 ]

44.. 793

3

xx

y

x = –3 [-3; 3]




x = 3 [-3; 3]

y(-3) = 11

3 х1 0 хВ 11 1 1


2572797393

3)3(

3

у

)3)(3(993

3 22

/ хххх

у

y(-3) = -25

31128

112)2(1434)4( 2

322

3

у

112727

127)3(1939)9( 2

322

3

у

11311131)1( 2

3

у

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ]

5.5. 132

3

xxy




3 х1 0 хВ 11 1


32

33

2

3 2

1/ хху

4

2

063

032

3

х

х

х

х

[1; 9]

2

31128

112)2(1434)4( 2

322

3

у

112727

127)3(1939)9( 2

322

3

у

11311131)1( 2

3

у

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1; 9 ]

6.6. 13 xхxy




3 х1 0 хВ 11 - 3


32

33

2

3 2

1/ хху

4

2

063

032

3

х

х

х

х

[1; 9]

2Запишем функцию в удобном Запишем функцию в удобном для дифференцирования видедля дифференцирования виде

132

3

xхy

132

1

xхxy132

3

xxy

10555

1255)5(

у

26251)1( у

5,125,21010

12510)10(

у

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ]

7.7.х

хy

252



Значения функции в Значения функции в концах отрезкаконцах отрезка..

3 х1 0 хВ 11 5,- 1 2


2

2

2

22/

)5)(5(

25251

1251

х

хх

х

х

хху

Запишем функцию в удобном Запишем функцию в удобном

для дифференцирования видедля дифференцирования виде

ххy

125

хх

хy

252

хxy

125

x = –5 [-10; 1]

x = 5 [-10; 1]

x = 0 D(y)

x = 0 D(y):

22

//1111

хххх

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; 1 ]

7.7.х

хy

252




3 х1 0 хВ 11 5,- 1 2


x = 0 D(y):

Можно решить задание, Можно решить задание, применив формулу:применив формулу:

22

//////

vv

uvuvvvuuvvuu

12666

1366)6( у

13499

1369)9( у

371

1361)1( у


88..х

хy36




3 х1 0 хВ 11 3 7


2

2

2

22/

)6)(6(

36361

1361

х

хх

х

х

хху

Запишем функцию в удобном Запишем функцию в удобном для дифференцирования видедля дифференцирования виде

хxy

136

x = –6 [ 1; 9]

x = 6 [ 1; 9]

x = 0 D(y)

x = 0 D(y):

22

//1111

хххх

11)78()7( 077 eeу

33 2)108()10( eeу

4

45

)38()3(e

eу


9.9. 78 xeхy




3 х1 0 хВ 11 1


)7(

)81()8(

))(8()8(

7

777

/77//

хe

хeeхe

eхeху

x

xxx

xx

x = 7 [ 3; 10]

///uvvuuv

1). Первое число меньше 1, т.к. 1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель знаменатель ee44 > 5> 5. . 2). Второе число – отрицательно2). Второе число – отрицательноe.e.3). Значит, наибольшее число 1.3). Значит, наибольшее число 1.

77

11

Найдите наибольшее значение функции

y = 7cosx +16x – 2 на отрезке

3 х1 0 хВ 11 5

1144. .

Функция на всей области Функция на всей области определения возрастает. определения возрастает. Нетрудно догадаться, Нетрудно догадаться, что у что у // > 0 > 0..Тогда наибольшее Тогда наибольшее значение функция будет значение функция будет иметь в правом конце иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.отрезка, т.е. в точке х=0.

22422

316

2

3cos7

2

3

у

1. Найти 1. Найти ff //(x)(x) 16sin7/ ху

2. Найти 2. Найти критические точки, критические точки, взять те, которые взять те, которые принадлежат принадлежат данному отрезку.данному отрезку.

0;2

3 /cosx – sinx

7

16sin

016sin7

х

х

]1;1[sin.. хкт

52720160cos70 уЕсли вы не догадались, Если вы не догадались, то вычислите значения то вычислите значения функции в каждом конце функции в каждом конце отрезка и выберите отрезка и выберите наибольшее.наибольшее.

00

Критических точек нет.Критических точек нет.Тогда наибольшее Тогда наибольшее значение функция будет значение функция будет принимать в одном из принимать в одном из концов отрезка. концов отрезка.

Можно было и раньше Можно было и раньше догадаться, что догадаться, что наибольшее значение наибольшее значение будет именно в левом будет именно в левом конце отрезка! конце отрезка! Как?Как?

6655sinsin

66sinsin

3 х1 0 хВ 11 3 2


y = 10sinx – x + 7 на отрезке

1155. .

327302

1107

6

536

6

5sin10

6

5

у

1. Найти 1. Найти ff //(x)(x) 36

cos10/ ху


0;6

5 /sinx cosx

10

36cos

36cos10

х

х

]1;1[cos.. хкт

7700sin100 у00

3636

2211

66sinsin

6655

sinsin

Формула приведенияФормула приведенияСинус –нечетная функцияСинус –нечетная функция

Функция на всей области Функция на всей области определения убывает. определения убывает. Нетрудно догадаться, что Нетрудно догадаться, что у у // < 0< 0..Тогда наименьшее Тогда наименьшее значение функция будет значение функция будет иметь в правом конце иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0.отрезка, т.е. в точке х=0.

3 х1 0 хВ 11 9

Найдите наименьшее значение функции

y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке

16. 16.

4942

36

2

3cos5

2

3

у

1. Найти 1. Найти ff //(x)(x) 6sin5/ xу


0;2

3 /cosx – sinx

5

6sin

06sin5

х

x

]1;1[sin.. хкт

9400cos50 у11

00

Если вы не догадались, Если вы не догадались, то вычислите значения то вычислите значения функции в каждом конце функции в каждом конце отрезка и выберите отрезка и выберите наименьшее.наименьшее.

3 х1 0 хВ 11 1 2


y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке

1177. .

126323

363

cos123

у



2;0

2

3sin

036sin12

х

x

nх n

3)1(

36632

236

2cos12

2

у

3 3

3

Но нам не нужны ВСЕ Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. стационарные точки. Необходимо сделать выбор Необходимо сделать выбор тех значений, которые тех значений, которые попадут в заданный отрезокпопадут в заданный отрезок

2;0

32186320360cos120 у

3 х1 0 хВ 11 1 2


y = 12cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке

1177. .

126323

363

cos123

у



2;0

2

3sin

036sin12

х

x

3 33

Убедимся, что данная точка Убедимся, что данная точка является точкой максимума на является точкой максимума на заданном промежутке. заданном промежутке. Значит, наибольшее значение Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой функция достигает именно в этой точке.точке.Тогда значения функции в концах Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.отрезка можно не считать.

––++

33 x

y\

y22

00

Можно рассуждать иначе

maxmax

3 х1 0 хВ 11 4


y = 11 + – х – cosx на отрезке

18. 18.

47116

cos3

314

18

37

18

3711

6

у

1. Найти 1. Найти ff //(x)(x)xу sin

3

314

3

37/ 2. Найти 2. Найти критические точки, критические точки, взять те, которые взять те, которые принадлежат принадлежат данному отрезку.данному отрезку.

2;0

nх n

6)1(

6

Но нам не нужны ВСЕ Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. стационарные точки. Необходимо сделать выбор Необходимо сделать выбор тех значений, которые тех значений, которые попадут в заданный отрезокпопадут в заданный отрезок

2;0

18

37 3

373

314

2

1sin

0sin3

314

3

37

x

x

Можно убедиться, что данная Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума точка является точкой минимума на заданном промежутке. на заданном промежутке. Значит, наименьшее значение Значит, наименьшее значение функция достигает именно в этой функция достигает именно в этой точке.точке.Тогда значения функции в концах Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать.отрезка можно не считать.

++––

66 x

y\

y22

00

minmin

3 х1 0 хВ 11 1


y = 4tgx – 4x – + 5 на отрезке

19. 19.

1544

у

1. Найти 1. Найти ff //(x)(x) 4cos

14

2/

xу


4;4

4

Нам не нужны ВСЕ Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. стационарные точки. Необходимо сделать выбор Необходимо сделать выбор тех значений, которые тех значений, которые попадут в заданный отрезокпопадут в заданный отрезок

4;4

1cos

04cos

4

2

2

x

x

4

/tgx cos2x1

0

2954

4

у

55000у

3. Вычислим значения функции 3. Вычислим значения функции в критических точках в критических точках и на концах отрезка.и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наименьшего.сделаем выбор наименьшего.

3 х1 0 хВ 11 5


y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке

20. 20.

4

325

4

335

43

43

4

tgу

1. Найти 1. Найти ff //(x)(x) 3cos

13

2/

xу


0;4

Нам не нужны ВСЕ Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. стационарные точки. Необходимо сделать выбор Необходимо сделать выбор тех значений, которые тех значений, которые попадут в заданный отрезокпопадут в заданный отрезок

0;4

1cos

03cos

3

2

2

x

x4

/tgx cos2x1

0

550030 tgу

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего.4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего.

-1-1

00

Documents

Методическая разработка Савченко Е.М