第三节 几何概型（文）

一、几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

( 或 ) 成比例，则称这样的概率模型为几何

概

率模型，简称为 ．

长度

面积 体积

几何概型

二、几何概型的概率公式

在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：

P(A) ＝ .

古典概型与几何概型的区别？

提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性

都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几

何概型要求基本事件有无限个 .

1 ．在区间 [1,3] 上任取一数，则这个数大于等于 1.5 的概率 为 ( 　　 )

A ． 0.25 　　　　　　　　　　 B ． 0.5

C ． 0.6 D ． 0.75

解析： P ＝ ＝ 0.75.

答案： D

2 ．如图，矩形长为 6 ，宽为 4 ，在矩形内随机地撒 300 颗黄 豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为 依据可以估算出椭圆的面积约为 ( 　　 )

A ． 7.68 B ． 16.32

C ． 17.32 D ． 8.68

解析：根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率 P

＝ ，而 P ＝ ＝ 0.68 ， S 矩形＝ 24 ，故 S 椭圆

＝ P·S 矩形＝ 0.68×24 ＝ 16.32.

答案： B

S

S椭圆

矩形

3 ．在 500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2 mL

水 样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 ( 　　 )

A ． 0.001 B ． 0.002

C ． 0.004 D ． 0.005

解析：由几何概型的知识知 P ＝ ＝ 0.004.

答案： C

4 ．如图，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60° 的终边上，任

作

一条射线 OA ，则射线落在∠ xOT 内的概率是 ________ ．解析：∵∠ AOT ＝ 60° ，

故其概率为

答案：

5 ．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为 6 的正方 形将其包含在内，并向正方形内随机投掷 800 个点．已知 恰有 200 个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的 面积是 ________ ．

解析：设正方形的面积为 S 正，

阴影部分的面积为 S 阴，

则 又 S 正＝ 62 ，∴S 阴＝ 9.

答案： 9

1 ．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 则其概率的计算公式为： P(A) ＝2 ．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个 随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．

(2009· 山东高考 ) 在区间 [ － 1,1] 上随机取一个数 x ， cos 的值介于 0 到 之间的概率为 ( 　　 )

利用 y=cosx 的图象求 cosx [0, ]∈ 时的 x 所属区间，可求 .

1

2

【解析】　在区间 [ － 1,1] 上随机取一个实数 x ， cos

的值位于 [0,1] 区间，若使 cos 的值位于 [0 ， ] 区

间，取到的实数 x 应在区间 内，根据几何

概型的计算公式可知 P=

【答案】　 A

2 2[ 1, ] [ ,1]

3 5

1 ．在半径为 1 的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，求 弦长超过此圆内接正三角形边长的概率．

解：记 A={ 弦长超过圆内接正三角形边长 } ．如图，取圆内接正三角形的顶点 B 作为弦的一个端点，当另一个端点 E 在劣弧 上时， |BE| ＞ |BC| ，而 劣弧 长恰为圆周长的由几何概型的概率公式有 P(A) ＝

1 ．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，

则其概率的计算公式为：

P(A) ＝

2 ．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中

常考的题型．

3 ．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，

则其概率的计算公式为：

P(A) ＝

已知 |x|≤2 ， |y|≤2 ，点 P 的坐标为 (x ， y) ．(1) 求当 x ， y R∈ 时， P 满足 (x － 2)2 ＋ (y － 2)2≤4 的概率；(3) 求当 x ， y Z∈ 时， P 满足 (x － 2)2 ＋ (y － 2)2≤4 的概率．

本题第（ 1 ）问为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解，第（ 2 ）问为古典概型只需分别求出 |x|≤2 ，|y|≤2 内的点以及（ x—2 ） 2+(y—2) 2≤4 的点的个数即可 .

【解】　 (1) 如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部 ( 含边界 ) ，满足( x—2)2+(y—2)2≤4 的点的区域为以 (2,2)

为圆心， 2 为半径的圆面 ( 含边界 ) ．

∴所求的概率 P1 ＝

(2) 满足 x ， y Z∈ ，且 |x|≤2 ， |y|≤2 的点 (x ， y) 有 25

个，满足 x ， y Z∈ ，且 (x － 2)2 ＋ (y － 2)2≤4 的点 (x ， y) 有6 个，

∴所求的概率 P2 ＝

2 ．例 2 的条件不变，求当 x ， y R∈ 时，点 P(x ， y) 满足 x2

＋ y2≥4 的概率．

解：如图，当 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部 ( 含边

界 ) ，满足 x2+y2≥4 的点的区域为以原点为圆心， 2 为半径

的圆的外部 ( 含边界 ) ．

故所求概率

生活中的几何概型常见的有人约会问题、船停码头、等车等问题，解决时要注意：(1) 要注意实际问题中的可能性的判断；(2) 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体 积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件 A对应 的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率， 根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的 坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该 坐标系的点，便可构造出度量区域．

两人约定在 20 00∶ 到 21 00∶ 之间相见，并且先

到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自

独立的，在 20 00∶ 至 21 00∶ 各时刻相见的可能性是相等

的，求两人在约定时间内相见的概率．

两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟，即 小时，设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人在约定时间范围内相见，当且仅当— ≤ x—y≤ ，因此转化成面积问题，利用几何概型求解 .

2

3

2

32

3

【解】　设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两

人能在约定时间范围内相见，

当且仅当2 2

.3 3

x y ≤ ≤

两人到达约见地点所有时刻 (x ， y) 的各种可能结果可用图

中的单位正方形内 ( 包括边界 ) 的点来表示，两人能在约定

的时间范围内相见的所有时刻 (x ， y) 的各种可能结果可用

图中的阴影部分 ( 包括边界 ) 来表示．

因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时

间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为

3 ．甲、乙两人约定上午 7 00∶ 至 8 00∶ 之间到某站乘公共汽 车，在这段时间内有 3班公共汽车，它们开车时刻分别为 7 20∶ ， 7 40∶ ， 8 00∶ ，如果他们约定，见车就乘，求甲、 乙同乘一车的概率．

解：设甲到达汽车站的时刻为 x ，乙到达

汽车站的时刻为 y ，则 7≤x≤8,7≤y≤8 ，即

甲乙两人到达汽车站的时刻 (x ， y) 所对

应的区域在平面直角坐标系中画出 ( 如图所示 ) 是大正方形．

将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想同乘一

班车，必须满足1 1 1

7 7 ,7 7 ;7 ;3 3 3

x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤

即 (x ， y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，

所以由几何概型的计算公式得， P=

即甲、乙同乘一车的概率为

2 1 2 2 27 ,7 7 ;7 8,7 8.3 3 3 3 3

y y≤ ≤ ≤ ≤ x≤ ≤ ≤

几何概型为近几年高考新增考点内容，主要考查与

长度、面积有关的问题，难度不大，属中低档题型，要

注意分析与古典概型的区别与联系 .2009年辽宁卷主要

考查了几何概率中的面积型问题，难度不大，属较易题 .

(2009·辽宁高考 )ABCD 为长方形， AB ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， O

为 AB 的中点．在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到

O 的距离大于 1 的概率为

( 　　 )

[ 解析 ] 如图，根据几何概型概率公式得概率为

[ 答案 ] 　 B

本例为几何概型中的面积型问题，由题意知以 O 为原点1 为半径作圆，则圆外部分符合题意，这也是解决本问题的关键．