Embed Size (px)
DESCRIPTION
第七章 平面图形的几何性质. 研究截面几何性质的意义 从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积 A 、极惯性矩 I P 、抗扭截面系数 W P 等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。 另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。. 截面的几何性质. y. z. d A. y. z. 截面的几何性质. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
第七章 第七章
平面图形的几何性质平面图形的几何性质
研究截面几何性质的意义研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力
和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A 、极惯性矩 IP、抗扭截面系数 WP等一些几何量密切相关。因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
截面的几何性质
第一节 静矩 一、静距的概念一、静距的概念
AyS z dd AzS y dd
AA
yy
AA
zz
AzSS
AySS
dd
dd
z
y
dA
y
z
静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是 m3 或 mm3 。
截面的几何性质
形心
dA
z
y
y
z
Cx
Cy
A
yAy
A
zAz
C
C
A
ydAy
A
zdAz
AC
AC
A
Sy
A
Sz
zC
yC
Cy
Cz
zAS
yAS
平面图形对 z 轴（或 y
轴）的静矩，等于该图形面积 A 与其形心坐标 yC （或 z
C ）的乘积。
截面的几何性质
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
Cy
Cz
zAS
yAS
截面的几何性质
二、组合图形的静矩二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对 z 轴（或 y 轴）的
静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即
n
iCiiCnnCCy
n
iCiiCnnCCz
zAzAzAzAS
yAyAyAyAS
12211
12211
式中 yCi 、 zCi 及 Ai 分别为各简单图形的形
心坐标和面积 ;
n 为组成组合图形的简单图形的个数。
n
ii
n
iCii
C
n
ii
n
iCii
C
A
yA
y
A
zA
z
1
1
1
1
组合图形形心的坐标
计算公式
截面的几何性质
例 7-1 矩形截面尺寸如图 7-2 所示。试求该矩形对 z1 轴的静
矩 Sz1 和对形心轴 z 的静矩 Sz 。
z1
b/2 b/2
h/2
h/2
zC
y
22
2
1
bhhbhyAS Cz
解 (1) 计算矩形截面对 z1 轴的静矩
(2) 计算矩形截面对形心轴的静矩 由于 z 轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩
形截面对 z 轴的静矩为
Sz=0
截面的几何性质
例 7-2 试计算如图 7-3 所示的平面图形对 z1 和 y1 的静矩，并求该图形的形心位置。
80
120
10
10
z1
y1
C1
C2
解 将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成矩形Ⅰ
5mmmm2
101 Cz
60mmmm2
1201 Cy
矩形Ⅱ
45mmmm2
70012
Cz
5mmmm2
102 Cy
A1=10×120mm2=1200mm2
A2=70×10mm2=700mm2
截面的几何性质
80
120
10
10
z1
y1
C1
C2
C1 （ 5,60 ）C2 （ 45,5 ）
该平面图形对 z1 轴和 y1 轴的静矩分别为
343
122111 mm107.55mm5700602001
n
iCCCiiz yAyAyAS
343
122111 mm103.75mm4570051200
n
iCCCiiy zAzAzAS
求得该平面图形的形心坐标为
19.74mmmm7001200
103.75 4
1
1
n
ii
n
iCi
C
A
zA
zi
39.74mmmm7001200
107.55 4
1
1
n
ii
n
iCi
C
A
yA
yi
截面的几何性质
第二节 惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩一、惯性矩惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。
A
y
A
z
AzI
AyI
d
d
2
2
dA
z
y
y
z
极惯性矩是面积对极点的二次矩。yz
A
IIAI d2
惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。惯性矩恒为正值，常用单位为 m4 或 mm4 。
截面的几何性质
dA
z
y
y
z
二、惯性积二、惯性积惯性积面积与其到两轴距离之积。
A
zy AzyI d
惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。惯性积可能为正或负，也可能为零。单位为 m4 或 mm4 。
如果坐标轴 z 或 y 中有一根是图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。
Azy zydAI 0
截面的几何性质
三、惯性半径三、惯性半径
AiIAiIAiI PPyyzz222 ,,
A
Ii
A
Ii
A
Ii P
Py
yz
z ,,
式中 iz 、 iy 、 iP 分别称为平面图形对 z 轴、 y 轴、和极点的惯性半径，也叫回转半径。单位为 m 或 mm 。
或改写成
惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。
常将图形的惯性矩表示为图形面积 A 与某一长度平方的乘积，即
截面的几何性质
例 7-3 矩形截面的尺寸如图 7-6 所示。试计算矩形截面对其形心轴 z 、 y 的惯性矩、惯性半径及惯性积。
解 (1) 计算矩形截面对 z 轴和 y
轴的惯性矩 取平行于 z 轴的微面积 dA ， dA
到 z 轴的距离为 y ，则 dA=bdy
截面对 z 轴的惯性矩为 Az dAyI 2
截面对 y 轴的惯性矩为Ay dAzI 2
b
h/2 zC
y
dy
dz
2
2
32
12
h
h
bhbdyy
2
2
32
12
b
b
hbhdzz
截面的几何性质
(2) 计算矩形截面对 z 轴、 y 轴的惯性半径
截面对 z 轴和 y 轴的惯性半径分别为
12
123 h
bh
bh
A
Ii zz
12
123 b
bh
hb
A
Ii
yy
b
h/2 zC
y
(3) 计算矩形截面对 y 、 z 轴的惯性积因为 z 、 y 轴为矩形截面的两根对称轴，
故 Azy yzdAI 0
截面的几何性质
截面的几何性质
第三节 组合图形的惯性矩 一、平行移轴定理一、平行移轴定理
0AyS z
AaaSI
Aaayy
AayAyI
zz
A
AAz
2
22
2211
2
d)2(
d)(d
AaII zz2
11
dA
z1
y1
y1
z1
b
aC
z
y
以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴。
C
C
yby
xax
截面的几何性质
AbII
AaII
yy
zz
2
2
1
1
abAII zyyz 11
图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。 由于 a2 （或 b2 ）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。
截面的几何性质
例 7-5 计算如图 7-9 所示的矩形截面对 z1 轴和 y1 轴的惯性矩。
z1
b/2 b/2
h/2
h/2
zC
y
32122
3232
1
bhbh
hbhA
hII zz
解 z 、 y 轴是矩形截面的形心轴，它们分别与 z1 轴和 y1
轴平行，则由平行移轴公式得，矩形截面对 z1 轴和 y1 轴的惯性
矩分别为
32122
3232
1
hbbh
bhbA
bII yy
截面的几何性质
二、用平行移轴公式计算组合截面的惯性矩二、用平行移轴公式计算组合截面的惯性矩组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即
iynyyyy
iznzzzz
IIIII
IIIII
21
21
计算组合图形的惯性矩步骤 1. 确定组合图形的形心位置， 2. 查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩， 3. 利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。
截面的几何性质
580
120
500
250
zC
例 7-7 试计算图示 T 形截面对形心轴 z 、 y 的惯性矩。
a 1a 2
y c
z1C1
z2C2
zoO
A1
A2
截面的几何性质
3 3
3 3
60 10 640 145 10 290392
60 10 145 10i iA y
yc mm mmA
解 求截面形心位置 由于截面有一根对称轴 y ，故形心必在此轴上，即
zc=0 选坐标系 yoz′ ，以确定截面形心的位置 yC 。将截面图形分为两个矩形。
500
580
120
y c
250
z1C1
zCz2C2
z’O
A1
A2
矩形Ⅱ 矩形Ⅰ
截面的几何性质
1 2Z z zI I I
ZI yI计算 及 整个截面图形对 z 轴、 y 轴的惯性矩应分别等于两个矩形对 z 轴、 y 轴的惯性矩之和。即
两个矩形对自身形心轴的惯性矩分别为
500
580
120
y c
250
z1C1
zCz2C2
z’O
A1
A2
截面的几何性质
32 2 4 8 4
2 2 2 2 2
250 580102 250 580 55.6 10
12Z ZI I a A mm mm
8 8 4 8 41 2 (37.6 10 55.6 10 ) 93.2 10z Z ZI I I mm mm
应用平行移轴公式得
所以
500
580
120
a 1a 2
y c
250
z1C1
zCz2C2
z’O
A1
A2
截面的几何性质
y 轴正好经过矩形截面 A1 和 A2 的形心，所以
48433
21 mm1020.1mm12
250580
12
500120
yyy III
500
580
120
y c
250
z1C1
zCz2C2
z’O
A1
A2
截面的几何性质
对平面图形而言，对通过 O 点的任意两根正交坐标轴 z 、
y 的惯性积 Iyz ，如 Iyz ＝ 0 ，则这对坐标轴称为通过 O 点的
主惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩，简称主惯矩。
如果 O 点在截面形心，如同样满足上述条件，这时通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴；图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主惯矩。
第四节 形心主惯性轴 形心主惯性
截面的几何性质
对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：
1 ）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。
2 ）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。 3 ）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴
都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。
z
y
z
y
截面的几何性质
