在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指

计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，

必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．

本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．

学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们

感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转

化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离

不开分类． 下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧！

AB 、

例1

数线段时，可以线段的左端点进行分类，逐类分别数出线段条数后相加

AC 、 AD 、AE 、AF 共 5 条

BC 、 BD 、 BE 、 BF 共 4 条CD 、 CE 、 CF 共 3 条DE 、 DF 共 2 条EF 共 1 条合计有 5+4+3+2+1=15 （条）

（一）数 线 段

基础训练 1 ． 共有 6×(6+1)÷2=21 （条）

注意：这里涉及到数学中很重要的思想方法——分类的思想方法。在几何计数中怎样分类？本例所介绍的是方法（ 1 ）：按照包含同一图形进行分类；（ 2 ）先划分出基本图形，再按照包含基本图形的数目分类．

你是怎样数的？

如果一条线段上有 n+1 个点 ( 包括两个端点 ) （或含有 n 个“基本线段”），那么

这 n+1 个点把这条线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+…+2+1= . 2

)1( nn

AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EF; AC 、 BD 、 CE 、 DF ； AD 、 BE 、 CF ；AE 、 BF ； AF 共 16 条

（二）数 角例2

B

A

CD

E

O

数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边

以 OA 为一条边的角有：

∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE 共 4 个同样还有：∠BOC ，∠ BOD ，∠ BOE 共 3 个∠COD ，∠ COE 共 2 个∠DOE 共 1 个合计有 4+3+2+1=10 （个）

（三）数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为 DE 上有 15 条线段，每条线段的两端点与点 A 相连，可构成一个三角形，共有 15 个三角形，同样一边在 BC 上的三角形也有 15个，所以图中共有 30 个三角形。

上面我们采用的方法是分类法这里采用的方法是“对应法”，这也是计数中常用的方法，这种方法实际上是数学的另一思想——转化思想的运用使用对应法时，总是在原图形中（有时需添加辅助线）找出它的某一部分作对应图形

本题的解决，既有分类法又有对应法

B

A

CD

E

O A1

B1

C1

D1E1 4×(4+1)÷2=10

4 个基本角的和 =90° ；两个相邻基本角组成的 3 个角的和 =90°+45°=135° ； 三个相邻基本角组成的 2 个角的和 =135° ； 4 个相邻基本角组成的 1 个角 =90° ，所以所有角的和 =90°+135°+135°+90°=450° ．

B

A

CD

E

O

顶点为 O ，且一边在 AB 上的三角形有 3×4÷2=6 （个）；一边在 BC 上的三角形有 4×5÷2=10 （个）；一边在 AC 上的三角形有 3×4÷2=6 （个），再加△ ABC ，所以共有 23 个三角形．

基础训练 5 下图中共有 个三角形 A

B C

O

（四）数长方形、平行四边形和正方形

AM 与 EB 对应着长方形 EPNB, AM 与 GB 对应着长方形 GQNB. 就是说 AM 与 AB 边的 6 条线段都分别对应着一个长方形，共 6 个长方形AD 边上共有 3 条线段，其余两条线段 AD 和 MD 也都分别对应着 6 个长方形，所以共有 3×6=18 个长方形

A

B C

DE FG HQ

PM

N

图中共有 --------- 个长方形

一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有 n 条线段，纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形） mn 个

线段 AM 与 AE 对应着长方形 AMPE ，AM 与 AG 对应着长方形 AMQG ，

AM 与 AB 对应着长方形 AMNB ，AM 与 EG 对应着长方形 EPQG,

例 4 横边上有 8×(8+1)÷2=36 条线段，纵边上有 7×(7+1)÷2=28 条线段，所以共有 36×28=1008 个平行四边形．

例 6 （雨露招生试题）如图，图中平行四边形的个数为

思考：能否像例 4 那样数平行四边形？

可以将图形分割成几部分，使每一部分都像例 4 那样的图形但分割的块数越少越好

302

144

2

122

）（）（

思考：原图中平行四边形的个数是否等于 60 ？

假设分为如下图所示的两块，那么每块中的平行四边形的个数都是

思考：如最右侧的图形中也有 30 个平行四边形， 那么原图中平行四边形的个数是否是 3×30=90 ？

不是 90 ，还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各 9 个平行四边形，因为这 18 个平行四边形已经包含在前 60 个之中．所以，原图形中平行四边形的个数是 90－ 18=72 ．

注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的！

例 5 如左、中、右三图，各包含多少个正方形？

为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为 1 ，那么左图中边长为 1 的正方形的个数是 3×2=6

边长为 2 的正方形的个数是 2×1=2所以左图中共有正方形 3×2+2×1=8 （个）

中图中边长为 1 的正方形的个数是 4×3=12

边长为 2 的正方形的个数是 3×2=6

边长为 3 的正方形的个数是 2×1=2

所以中图中共有正方形 4×3+3×2+2×1=20 （个） 右图中边长为 1 的正方形的个数是 6×4=24

边长为 2 的正方形的个数是 5×3=15

边长为 3 的正方形的个数是 4×2=8

边长为 4 的正方形的个数是 3×1=3

所以中图中共有正方形 6×4+5×4+4×2+3×1=50 （个）

如果一横行有 m 个小正方形，一竖行有 n 个（假设 m≥n ）小正方形，那么图中正方形的个数是 mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)

这里所采用的方法是分类法中的另一种，是：（ 3 ）按照图形的大小分类

例 7A

B

C

KD

EF

GH

L第 1 类：与三角形 ABE 形状有某些相似的三角形有▁▁个

你打算怎样数图中的三角形？

5

第 2 类：与三角形 ABF 形状有某些相似的三角形有▁▁个5

第 3 类：与三角形 ABG 形状有某些相似的三角形有▁▁个10

第 4 类：与三角形 ACD 形状有某些相似的三角形有▁▁个5

第 5 类：与三角形 AFL 形状有某些相似的三角形有▁▁个5

5第 6 类：与三角形 AGD 形状有某些相似的三角形有▁▁个

所以图中的三角形共有 35个

这里所采用的方法是分类法中的另一种，是：（ 4 ）按照图形的形状分类也可以说是（ 5 ）按照图形所处的位置分类

例 8 （华罗庚金杯竞赛题）下图中有 个正方形，有 个三角形．

能否将图中的正方形分类，按照不同类型分别数出其中的正方形个数？

6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=91

除上一类为，还有 个正方形4 共有 95 个正方形这里所使用的方法是分类法中的（ 4 ）按照图形的形状分类

6×6×2=72 个直角边长为 1 的三角形有1--2 行 2--3 行 3--4 行 4--5 行 5--6 行 直角边长为 2 的三角形 8 个 , 6 个 , 2 个 , 8 个 , 6 个 , 共 30

个4 个 , 2 个直角边长为 3 的三角形 1--2 行 3--5 行 4--6 行 4 个 , 共 10个

思考：还有漏数的三角形吗？各 4 个 , 共 12个

3 个1 个

斜边长为 2 的三角形 1--3 行 第 4 行第 5 行 第 6 行 4 个，共计 20 个

1-6列依次 3+3+3+2+3+3=17 （个） 思考：还有漏数的三角形吗？

思考：还有漏数的三角形吗？斜边长为 4 的三角形

直角边长为 4 的三角形3--6 行 2 个

所以图中的三角形共计 72+30+10+2+20+17+4=155 （个）这里用了分类法中的（ 3 ）按照图形的大小分类（之后又按图形所处位置分类）

1-4 行 1 个

,2-5 行 2 个，

4-5 行 1 个，共 4 个

分为两类，一类是有一组对边在水平方向的正方形，如左图 这类正方形的个数是

课后反思总结计数方法： 1 ．分类计数法 （ 1 ）按照包含同一图形分类； （ 2 ）按照图形所包含的“基本图形”的个数分类。 （ 3 ）按照图形的大小分类； （ 4 ）按照图形的形状分类； （ 5 ）按照图形所处的位置分类． 2 ．对应计数法 几个计算公式：

1 ．线段、角的计数公式：

2 ．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有 n 条线段，纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形） mn 个

3 ．正方形的计数公式：如果一横行有 m 个小正方形，一竖行有 n 个（假设 m≥n ）小正方形，那么图中正方形的个数是 mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1) = mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)×1

2

)1(

nn图形个数

问题解答在 http://ylpxxx.blog.sohu.com/

成就测试答案1 ． 3+2+1=6 ，∠ A1OA4 ． 2 ． 6+5+4+3+2+1=21 ． D ECBA

4 ． 4×1+3×2+2×3+1×4=20

5 ．

B C

D E F

A

经过 AB 到 F 的有▁▁种爬法3

经过 AE 到 F 的有▁▁种爬法3

经过 AD 到 F 的有▁▁种爬法所以共 9 种爬法3

6 ．如图，图中的长方体和正方体共有多少个？ 说出你是怎样数的．

B

C

D E

FG

A

与数长方形和正方形的方法类似长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个(3+2+1)×(2+1)×(2+1)=54

正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个3×2×2+2×1×1=14

7 ．如图，图中的三角形共有多少个？请把它们都用记号表示出来．

MB C

D

E

F

G

N

A

(1) 一边在 AB 上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁△ABC, △ABE,△ABN,△ABF,△ADM,△ADC,△BDG,△BDC

(2) 一边在 BC 上而另一边 不在 AB 上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁

△BCA, △BCD,△BCF,△BCG,△BEA,△BEN,△ECA,△ECM

(3) 一边在 CA 上而另一边既不在 AB 上也不在 BC 上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁

△CAB, △CAD, △CAE,△CAM,△CFB , △CFG, △AFB, △AFN

(4) 三边不在 AB 、 BC 、 CA 上的有△MNG 所以图中的三角形共有 8+5+3+1=17 个共计 8+5+3=16 个吗？

3 ． (4+3+2+1)× （ 4+3+3+1 ） =100 ．

图中共有直线 6 条，设为 a, b,c,d,e,f, 每 3 条一组，列表如下

abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef 计 10 组

b

f ced

abcd bce bcf bde bdf bef 计 6 组

cde cdf cef 计 3 组

def 计 1 组

这里采用的是对应法，但是也要注意计数中是否有遗漏或重复

def 计 1 组 ，合计 10+6+3+1=20 组但是经过同一点的三条直线不能围成三角形，所以图中的三角形共有 20－ 3=17 （个）

提高训练 3．图中共有多少个三角形？

显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为 6 类（ 1 ）最大的三角形 1 个 (即△ ABC) ，（ 2 ）第二大的三角形有1+2=3 （个）（ 3 ）第三大的三角形有1+2+3=6 （个）（ 4 ）第四大的三角形有1+2+3+4=10 （个）（ 5 ）第五大的三角形有1+2+3+4+5=15 （个）

（ 6 ）最小的三角形有 1+2+3+4+5+6+3=24 （个） 最后加的 3 个是哪 3 个？

所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59 （个）

图中共有三角形 2×59=118 （个）

提高训练 4 在 8×8 的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“ L” 形（如图），一共有多少种不同的方法？

注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法

第 1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的 A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上。第 2步：明确对应关系　从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着 4 个不同的取法（“ L” 形的“角”在 2×2正方形的不同“角”上）。

第 4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有 49×4=196 （种）。第 3步：计算对应图形个数由于在 8×8 的棋盘上，内部有 7×7=49 （个）交叉点，

A·

提高训练 5 下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形，它们一共有 16 个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的 3 个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

1 ．显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是 3 ，则小正方形的边长是 1 ，阴影三角形的面积是 ½×2×3=3

2 ．思考图中怎样的三角形的面积等于 3

这时，长为 2 的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有 2×4×4=32 （个）；（ 1 ）一边长 2 ，这边上的高是 3 的三角形的面积等于 3 （即形如图中阴影三角形）。

（ 2 ）一边长 3 ，这边上的高是 2 的三角形的面积等于 3 。这时，长为 3 的边是原正方形的一边

所以这样的三角形共有 32+16=48 （个）注意：不能与（ 1 ）中的三角形重复这样的三角形有 8×2=16 （个）

或平行于一边的分割线。